MOMO Model Validation Report

Validation Report of the Vector Radiative Transfer Model
MOMO
André Hollstein, Jürgen Fischer, René Preusker
December 2, 2010
Abstract
The radiative transfer model MOMO is able to calculate the vector light field in a
plane parallel atmosphere ocean system (AOS) bounded by a rough (wind blown) surface.
The vector version of this model is based on the former scalar version of MOMO[1]. In
this document we describe our efforts to validate the new version of the model. We
describe our internal physical consistency checks, comparison with published tables and
a comparison with other radiative transfer models.
Contents
1 Validation
1.1 Fourier Expansion of Phase Matrices
1.2 Validation Using Tables . . . . . . .
1.2.1 Vijay et. al . . . . . . . . . .
1.2.2 Kokhanovsky et. al . . . . . .
1.3 Conservation of Flux . . . . . . . . .
1.4 Other Models . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Conclusion
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
3
6
9
9
12
Validation
1.1
Fourier Expansion of Phase Matrices
The scattering function for two given directions µs and µo can be calculated by rotating the
scattering matrix Z(θ) so that the incident and reflected Stokes vectors lie in the plane of
scattering. These rotation can be expressed by multiplying Z with the two rotation matrices
L:
Z (µs , µo , ϕ) = L (π − σs,o ) Z (θ) L (−σo,s ) .
(1)
The Fourier coefficient matrix Z̃ can then be derived by expanding Z in a Fourier series:
Z π
12 cos (iϕ) 12 sin (iϕ)
Z̃(µs , µo , i) =
dϕZ(µs , µo , ϕ) ∗
.
(2)
12 sin (iϕ) 12 cos (iϕ)
0
With the following definition of the rotation angles and rotation matrices:
1
µs − µo cos(θ)
cos (σs,o ) = √
1 − µo sin(theta)
p
p
cos(θ) = µs µo + 1 − µ2s 1 − µ2o cos(ϕ)


1
0
0
0
 0 cos(2α) sin(2α) 0 

L (µs , µo ) = 
 0 − sin(2α) cos(2α) 0  .
0
0
0
1
(3)
(4)
(5)
The Rayleigh phase matrix is due to its simple analytic form especially suited for the
validation of this part of MOMO. We use two independent approaches to verify the accuracy
of the program. First we derive analytic expressions of the Fourier coefficients for special cases
and secondly we compare the results of our program with an independent implementation in
Mathematica. The Rayleigh phase matrix without depolarization is defined as:
 3

3
2
2
0
0
4 cos (θ) + 1 4 cos (θ) − 1
 3 cos2 (θ) − 1 3 cos2 (θ) + 1

0
0


4
Z (θ) =  4
(6)

3 cos(θ)
0
0
0


2
3 cos(θ)
0
0
0
2
For the analytic approach we use the Z̃2,2 element of the Fourier coefficient matrix. This
element leads to simple analytic expressions and is also affected by the rotation matrices L.
We will discuss two scattering cases:
Z
π
2 3
dϕ cos(iϕ) 1 − 4µ2 + µ4 + cos(ϕ) ±2µ2 ∓ 2µ4 + cos(ϕ) 1 + µ2
4
0
(7)
These integrals can be solved analytically and lead to the following results:
2
3
2
9
3 2 2
2
2
π µ − 1 , ∓ πµ µ − 1 , π µ + 1
(8)
Z̃(µ, ±µ, i = 1, 2, 3) =
4
2
8
Z̃2,2 (µ, ±µ, i) =
These expressions can be evaluated to any numerical precision and have been used to verify
the preprocessor and its numeric precision. The numeric precession is mainly limited by the
number of sampling points of the phase matrices for the numeric evaluation of the Fourier
integrals. The Rayleigh phase function behaves nicely with respect to numeric integration
hence the the accuracy shown here represents an lower bound to the accuracy. For real world
applications phase matrices are given in form of numeric tables and the true values of the
Fourier coefficients is in principle not known.
In Table (1) we show the mean difference and mean quotient of the results of out program
and the true values. The results are shown for three sampling point numbers ranging from
101 to 1500.
These results show that the agreement between the numerical obtained results is very
well and tend to vanish when we are increasing the number of sampling points. Other cases
have been tested with independent integration methods in Mathematica and have lead to
similar results. This makes us very confident that our preprocessing program delivers the
right numbers.
2
sampling points
mean difference
mean quotient
101
3.110−5
0.99986
501
1.210−6
0.999987
1501
1.210−7
0.999992
Table 1: Mean differences and mean quotient of the Fourier expansion program and the
analytic truth. The mean difference decreases with increasing sampling points and the mean
quotient approaches unity.
1.2
Validation Using Tables
Tables containing numeric values of the polarized radiation field for special cases have been
published by several authors[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. In this study we will use the publications
from Natraj et al.. and Kokhanovsky et al.. to validate the scattering part our model.
First we compare Stokes vector tables for pure Rayleigh scattering for a set of different
optical thicknesses and surface albedos. Secondly we compare light fields calculated with
SCIATRAN[9] for scattering by two given scattering matrices over a black surface.
1.2.1
Vijay et. al
The tables for Rayleigh scattering given by Natraj et al.[7] have been calculated using a
numerically more stable approach to the solution of the X and Y functions given by Chandrasekhar and Coulsen[10, 2]. We have chosen these tables since the author claims that these
tables are accurate to eight decimal places and they are freely available from the authors website. The range of viewing angles in the tables is from 0◦ to 90◦ . The covered solar positions
range from 0◦ to 90◦ . Azimuth positions range from 0◦ to 180◦ . Surface albedos from 0.0 to
1.0 and Rayleigh optical depth ranging from 0.02 to 1.0. The intermediate values are given
in Table (2).
zenith angles:
solar positions:
azimuth angles:
optical depth:
surface albedos:
0.02, 0.06, 0.1, 0.16, 0.2, 0.28, 0.32, 0.4,
0.52, 0.64, 0.72, 0.84, 0.92, 0.96, 0.98, 1.
.1, .2, .4, .6, .8, .92, 1
0◦ , 30◦ , 60◦ , 90◦ , 120◦ , 150◦ , 180◦
0.02,0.05,0.1,0.25,1.0
0.,0.25,0.8
Table 2: Resolution of the Rayleigh tables.
The main result of our comparison is shown in Fig. (1). In panel (a) we show absolute
differences of every table entry and MOMO results for every viewing angle µ as a gray line.
The black line indicates the mean value over all cases. The black dashed line represents the
mean over all values. In panel (b) we show the same graph but for significant differences. We
define the significant difference of two numbers a and b as the difference of the significant in
Language Independent Arithmetic of a and b divided by ten to the power of the exponent of
a. The resulting value indicates the number of (nonzero) equal digits of the two numbers.
An over view over some explicit cases is given in Fig. (2).
We can conclude that our model agrees very well with the tables. Since the zenith angles
of our model are defined at the Gauss Lobatto quadrature angles we had to interpolate our
3
0.001
si, i=1,2,3
Μ0= 0°-84°
j= 0°-180°
Ω= 0.0-0.8
Τ= 0.0-1.0
-4
absolute differences
10
10-5
æ
6.4 ´ 10-6
æ
æ
æ
æ
æ
æ
10-6
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
10-7
10-8
10-9
0
20
40
60
80
Μ in °
(a) Absolute differences of the published tables and MOMO results.
æ
0.001
æ
æ
significant differences
æ
æ
æ
æ
0.00036
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
-5
10
10-7
0
si, i=1,2,3
Μ0= 0°-84°
j= 0°-180°
Ω= 0.0-0.8
Τ= 0.0-1.0
20
40
60
80
Μ in °
(b) Significant differences of the published tables and MOMO results. Significant
differences indicates the number of equal digits of the compared numbers.
Figure 1: Difference of MOMO calculations and Vijay tables[7]. All available cases are plotted
in gray. An zenith resolved mean in black and the overall mean as number on the right scale.
results to the angles given in the table. For the calculations we used 95 angles and a linear
interpolation scheme to the angles given in the table. The absolute difference is in the same
order as the accuracy of the Fourier expansion with the given azimuth resolution. The biggest
deviations in intensity are found for viewing directions close to the horizon which is probably
due to the lower density in Gaussian points in this region.
4
Sun at -66°
ìì
0.50
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
à
ì
ì ì
ì
à
ì ì
ì
ì
ì
ò
ô
ôìô
ò ô
ç çç
ô ç
æç
ç
çàì ò
áá
ò ô
áá
ô
á ì
áà
ì ò
á
ò
0.20
æ
ì
ì
æ
æ
àæ
ì
à
ì
à
ò
à
àæ
ì
ìì
æ
0.30
Sun at 66°
ì
ì
ì
à
à
æ
æà
à
ì
à
æ
à
à
à
0.10
æ
æ
à
æ
à
à
I
@
æ
à
rel
0.15
à
æ
à
à
æ
à
à
à
æ
à
à
à
à
à
æ
0.10
á
ô
á
ç
á
á
ç
ô
ç ç
ô
ô
à
ò
òì
ôô
ô òìô
çç
çç ô ç
ò ìç æ
ô
áá
àç
ô
ò
á
á
ì
ò
ì á
àá
ò
á
ì
ì
ì
ô
à
ò
ô
ô
ì
ò
ì
ò
ò
à
ì
ò
ô
ô
æ
à
ô
ô
ò
ì
à
æ
à
ò
ô
à
¯
Irel
ò
ô
ô
ç
ç
ô
ç
ç
ç
ç
ò
ç
á
ç
ç
ò
ì
á
ç
ô
á
á
á
á
à
æ
0.05
á
ç
á
ô
Τ=0.25
Ρ=0.8
Ρ=0.25
Ρ=0.
à
æ
á
á
ì
à
æ
á
ç
ì
à
æ
0.20
á
ç
á
à
æ
ò
æ
ì
à
ì
ò
ì
ò
ò
ò
ì
ì ì
ì
ò
à
ì
æ
ì
à
ì
æ
æ
æ
à
ò
æ
0.02
à
æ
ì
à
æ
à
æ
à
à
MOMO
æ
à
æ
à
à
æ
æ
à
0.01
æ
à
à
à
æ
Tables
Ρ=0.
Τ=1.
Τ=0.5
Τ=0.25
Τ=0.15
Τ=0.1
Τ=0.05
Τ=0.02
æ
æ
Tables
MOMO
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
0
Angel @°D in principle plane
-50
æ
æ
æ
æ
0
Angel @°D in principle plane
-50
50
50
(a) Upward directed intensity at optical thickness (b) Downward directed intensity for a black surface
τ = 0.25 for different ground albedos.
and varying optical thickness.
Sun at -66°
Sun at 66°
1.0
æ
æ
à
æ
0.8
æ
à
æ
æ
MOMO
ò
ò
ô
ç
ç
ì
ç
ò
æ
Τ=0.25
Ρ=0.8
Ρ=0.25
Ρ=0.
æ
p@ 0.4
æ
æ
à
à
à
à
à
à
æ
à
ì ì
à
ì
ì
ì
æ
àì
ìò
0.2
ìì
æ
ì
à
æ
ì
à
æ
æ
æà
àì
æ ìò
æà òô
æ àì ô
àìò
ç
ò
ì
ò ô
ì
æ
àæ
à
ìì
æ
à
ì
æ
àæ
ìì
à
0.0
à
ì
ì
à ìì
æ
à à ìì
æ
æ
àà
ææ
ì
à
æ
ì
ì
ò
ô
æ
à
ç
ì
ò
á
ç
ô
ì
æ
ì
æ
à
á
ô
æ
à
à
ì
á
á
æ
à
ì
ç
ç
ò
à
ì
ì
ì ì
à
ç
æ
à
ì
0.4
æ
æ
á
á
à
à
ò
ô
á
ô
p¯
æ
à
ì
à
æ
òô
ô
ç
ç
á
á
ò
ô
á
ç
æ
à
ì
ò
á
á
ô
ç
ç
á
0
Angel @°D in principle plane
æ
à
ì
ò
ô
ç
á
á
æ
à
ì
ò
ç
ôôç
á
á
áç
ç
áá
ô
ç
á
à
æ
-50
Ρ=0.
Τ=1.
Τ=0.5
Τ=0.25
Τ=0.15
Τ=0.1
Τ=0.05
Τ=0.02
ì
ç
ô
ò
à
0.2
Tables
æ
à
ì
à
æ
MOMO
ò
ô
ô
0.6
æ
à
ì
ô
ò
æ
à
æ
0.6
0.0
æ
à
ì
ì
0.8
Tables
æ
ì
50
0
Angel @°D in principle plane
-50
æ
æà
æ
à
ì
ò
ô
ç
á
æ
à
ì
ò
ô
ç
á
æ
à
ì
ò
ô
ç
á
ææ
àà
ì
ì
òò
ôô
ç
á
áç
æ àì
à ò
ææ
à ìì
ô
àì
òò
ôá
ì
òò ô ç
á
ç
ôô ç
ç á
ç
áá
50
(c) Upward directed degree of polarization at optical (d) Downward directed degree of polarization for a
thickness τ = 0.25 for different ground albedos.
black surface and varying optical thickness.
Sun at 66°
ô
á
ç
0.30
ô
ò
ô
ç
ô
á
á
ç
ô
ô
ò
ò
ò
ç
ò
á
ò
ô
ò
ô
ò
ò
ò
ò
ç
ô
æ
à
á
ò
ô
ì
ç
ò
ô
0.25
ç
ì
ì
á
ì
ì
0.20
ì
ì
ì ì
ò
ô
ì
ì
ì
à
ò
ô
ì
ç
ò
ô
æ
ì
á
à
p¯
ô
ì
ç
0.15
ô
ì
æ
à
ç
ç
á
æ
0.10
à
à
à
æ
á
æ
æ
à
à
ç
à
à
ç
à
à
ç
à
ç
à
MOMO
à
ç
æ
0.05
Ρ=0.8
Τ=1.
j=0°
j=30°
j=60°
j=90°
j=120°
j=150°
j=180°
æ
æ
Tables
æ
æ
æ
æ
á
á
á
á
æ
á
æ
á
0.00
á
0
20
40
60
Angel @°D in principle plane
80
(e) Downward directed degree of polarization for optical thickness of one and ground albedo of ρ = 0.8
for varying azimuth angle.
Figure 2: Overview of comparisons of radiance and degree of polarization results from MOMO
calculations and Rayleigh tables[7].
5
1.2.2
Kokhanovsky et. al
In a paper from 2010 Kokhanovsky et al.[8] have published some benchmark results from
their vector radiative transfer models. In the publication several authors compare the results
of their programs for three cases which each other. Tabulated results from SCIATRAN are
available at the website of Alexander Kokhanovsky. All three cases involve a purely scattering
homogeneous layer over a black surface. As scaterers they have chosen the Rayleigh-, an
aerosol- and a cloud phase matrix. Here we show the results for the two last cases since the
Rayleigh case was already considered in Sec. (1.2.1). The phase matrices under consideration
are shown in Fig. (3). Both phase functions are strongly peaked in the forward direction.
The other phase matrix elements are feature rich and hence useful to test the accuracy of the
models for given resolutions.
104
m1 m3
Aerosol
Cloud
1000
100
10
1
0.1
0
100
50
150
Μ in °
(a) M1 and M3 component.
m5 m6
0.15
Aerosol
Cloud
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
0
100
50
150
Μ in °
(b) M5 and M6 component.
Figure 3: Given benchmark phase matrices from Kokhanovsky et al..[8].
The results of MOMO calculations for the two cases together with the SCIATRAN results
are shown in Fig. (5). For the two cases we show the upward- and downward directed radiance
(I) and also the degree of polarization. This is done for three azimuth values (0◦ ,90◦ ,180◦ ).
Curves for different azimuth values are shown with different gray values. The SCIATRAN
results are indicated with symbols (square, circle, diamond) and the MOMO results are shown
with lines. The dashed lines represent cases in which the phase functions have been truncated.
In general our computations also agree well with the results from SCIATRAN. The results
using the truncated phase matrices also agree reasonable well since they do not (as expected)
reproduce the forward scattering peak.
In Fig. (4) we show the mean absolute differences in logarithmic scale for the computations
6
mean difference of Sciatran and MOMO for the I components
1
Benchmark phase matrix: aerosol rayleigh cloud
Truncated pase matrix:
Original phase matrix:
0.01
10-4
10-6
0
20
40
80
60
Μ in °
(a) Intensity differences with logarithmic scale.
mean difference of Sciatran and MOMO for Q,U,V components
0.001
10-4
10-5
10-6
0
20
40
60
80
Μ in °
(b) Q,U and V component differences with logarithmic scale.
Figure 4: Differences of MOMO calculations and SCIATRAN results from[8].
with original (lines) and truncated (dashed lines) results.
Concluding this comparison we can state that our results agree with the published tables
for cases with more complex scattering functions. We have also shown the effects of the phase
function truncation. These results can not reproduce the intensity in the forward scattering
direction but can reproduce the components Q,U,V in this region. Away from the forward
scattering region the SCIATRAN results can be reproduced with less computational effort.
7
upwelling radiance for aerosol case
azimuth angle:
Sciatran result:
Original phase matrix:
Truncated phase matrix:
1.00
0.20
0.10
0.05
0.02
0
upwelling radiance for cloud case
3.00
á á
á á
90° 180°
í
ç
azimuth angle:
Sciatran result:
Original phase matrix:
Truncated phase matrix:
á
á
á
á
2.00
á
á
á
á
á
á
1.50
á
á
á
á
á
á
á
á
í í í í
á
í í
á
í í
á
á
í í
á
í í
í í
í á á
í í í
í á í í í í í í í í í í í í
á
í
í á
ç ç ç ç ç
í á
ç ç
í á
á
ç
í
ç
í á
ç
í á
í á
ç ç
í á
í í á
ç ç
í í á á
ç ç
í í á á
ç ç
í í
á
ç ç
í í í
á á
í í í í
ç ç
í í í í í
á á
ç ç
í í
ç ç
á á
í
ç ç
í
á á
ç ç
í
á á
ç ç
í
ç ç
á á
ç
á
ç
í
á
ç ç ç
í
á á
ç ç ç
á á
í
ç ç ç
á á
í
ç ç ç
á á
í
ç ç ç
í á á á á
ç ç ç ç
í á
í á
ç ç ç ç
á á
á
í í
ç ç ç ç ç
á á á
í í ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
á á á á
í ç
á á ç
í ç
á ç
ç
í ç
á
á
í ç
á
ç
á
í ç
í í ç
í ç
í ç
í í ç
í ç
0.50
I
0°
á
20
40
90° 180°
í
ç
á
á á á
á á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
á
í
á
á
í í
á
í í
á
í
á
í í í
á
í
í í í í í í í í í í í í í í í í í í
á
á
í í
í
á
í
á
í
í í
á
í í
á
í
í í
á
ç ç ç ç ç ç ç ç ç
í í
á
í
ç ç ç ç ç ç
í
ç ç ç
á
í í
ç ç ç ç
á
ç ç
í í í
ç ç ç
ç
á á í í í í í í
ç ç ç
í í
á
ç
í
ç ç ç
í
í í
ç
í í
í
á
í
ç
ç
í
ç
í á
í í á
í
ç ç ç
ç
á
í
ç ç ç
ç
á á
ç ç ç
ç
á
í
ç
á
ç ç ç
í
á á
ç
ç ç ç
á á
í
ç ç ç
í á á á á
ç ç ç ç
ç
ç
í
ç
á ç ç ç ç ç
í ç
á ç
í ç
á
í ç
á
í ç
í ç
á
í ç
í ç
í ç
á
í ç
í ç
í ç
á
í ç
í ç
á
ç
á
í ç
á
á
á
á
á
á
á
0.70
0.50
0.30
80
60
0°
á
1.00
I
2.00
0
20
40
Μ in °
80
60
Μ in °
(a) Upward directed radiance for the aerosol case.
(b) Upward directed radiance for the cloud case.
downwelling radiance for cloud case
á
á
5.0
á
á
á
á
I
2.0
1.0
0.5
0.2
á
á
á
á
á á
á á á á
á
á á á á á
á á á á
á
á á á
á
á á á
á á
á á á
á á
á á á
á á
á á á
á á
á á
á á
á á
á á
á á
á á
á
á á
á á
á á
á á
á á
á á
á
á
á
á á
á
á á
á ç
á
á
ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
ç
á
í ç
í ç
í í ç
á
ç ç ç ç ç ç
í í í
ç ç ç ç
á
í í í
ç ç ç
ç ç ç
í í í
í í í í
ç ç
ç ç
í í í í
ç ç
í í í í í í
í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í í
ç ç
í í í í í
ç ç
í í í í
ç
í í í
ç
í í
ç
í í
í í
ç
í
í
í
í
0
20
40
80
60
Μ in °
(c) Downward directed radiance for the aerosol case. (d) Downward directed radiance for the cloud case.
upwelling degree of polarization for aerosol case
0.4
azimuth angle:
Sciatran result:
Original phase matrix:
Truncated phase matrix:
í í
í
í
í
í
í
í
í
0.3
í
upwelling degree of polarization for cloud case
0°
á
0.30
90° 180°
í
ç
azimuth angle:
Sciatran result:
Original phase matrix:
Truncated phase matrix:
í
í
í
0.25
í
í
í
í
í
í
í
0.20
í
í
í
0°
á
90° 180°
í
ç
í
í
í
í
í
í
DOP
DOP
í
í
0.2
0.15
í
í
í
í
í
í
í
0.10
í
í
í
0.1
0.0
í
í
á á á á á á á á á á
á á á á
á á á á á á
á á á á
á á á
á á á
á á
í
í
í
á á á
á á
á á á
í í
á á á
á á
í
ç ç ç ç ç
í
á
ç ç ç ç
á á á
í í í í
í
í
í
í
á
ç ç ç
í
í
á á ç
í
á
á ç
ç ç
í
í
á á á
í
á
í
á á á
ç ç ç
á á á á á
á
í
ç ç
í
á á á
í
í
ç ç
á á
á
á á á á
ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
í á á
ç ç
á
ç ç ç
í
ç ç ç ç ç ç
á á
í í
í ç
í ç
í ç
á ç ç ç ç
í
ç
á ç ç ç ç ç ç
á ç
ç ç ç
ç
ç
ç
í ç
ç
ç
ç
í
í
ç
í
ç
ç
í
í
ç
ç
á
ç
ç
á
í ç
ç
í
í
í
í í
ç í
ç ç ç
í í
í á í á
í í
í
ç ç ç
í á
í í
0
20
40
60
0.05
0.00
80
í
í
í
í
í í í í í
í í í í í í
í í
ç
á
í ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
ç ç ç ç ç
í
í í
á
í í
ç ç ç
á
í
ç ç ç
í
á
ç ç ç
í í í
í
í
ç ç ç
í í
á
í
á á á á á á á á á á á á á
ç ç ç
á
í á
í á á á á á á á á á á á á á
á á á á á á á
ç ç ç í í
á
í í
á á
á á
á
í ç
ç ç ç ç
í í ç
á á
í í
í í
á á á á á
í
í
ç ç
á á á á
á á á
í í
á ç
í
í
í í
á ç
í ç ç
á ç
í á á ç
ç ç ç ç ç ç
í í
á á á
ç ç
á
í í ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
í
í ç
á á á
ç ç ç í
á á á
í ç
ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
í í
í
í ç ç
í
á á á
á á á
í í
í í
í í
í
á á á
á á á
í
í í
í
á á á
0
20
40
Μ in °
60
80
Μ in °
(e) Upward directed degree of polarization for the (f) Upward directed degree of polarization for the
aerosol case.
cloud case.
upwelling degree of polarization for cloud case
0.06
í
í í í
í í
í
í í
í í
í í í í
í í í í í
í í í
í í
0.05
í
í í
í
í í
í
í
í
í
DOP
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
í
í
í
í
í
í
í
í
í
í
í
á á á ç
á ç
á
ç
á
í ç
á ç
í ç
ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç
á ç
í í ç ç
á ç
á ç
í
ç ç ç ç ç ç ç ç
á á
í í
ç ç ç ç ç ç ç
á á
í
í í
ç ç ç ç ç
ç ç ç ç ç ç ç
á á
í
í
ç ç ç ç ç ç ç ç
í
á á
ç ç ç ç ç ç ç ç ç
í
í
ç ç ç ç ç ç ç ç
á
ç ç ç ç ç
í
í
á
ç ç ç ç
í
á
ç ç ç
í
í
á
ç ç ç
á
í
í
á
í
á
í
í
á
í
á
í
á
í
í
á
á
í
í
á
á í
í
á
í
á
í
á
á á á á á á
í
á
í
á á á á
á á á
á á
á
á
í
á á
á á á
á
í
á
á á
á á
á
á
í
á
á
á
í
á á
á
á
á
í
á
á á
á
á
á á
á á á
á á á á
í í
á á
0
20
40
60
80
Μ in °
(g) Downward directed degree of polarization for (h) Downward directed degree of polarization for
the aerosol case.
the cloud case.
Figure 5: In detail comparisons of MOMO and SCIATRAN results.
8
1.3
Conservation of Flux
Conservative scattering is an energy conserving process and we can test weather our model
deviates from this assumption. To investigate only the effects of scattering we calculated a
number of test cases where the direct solar source is only present in the first layer. Hence
the upper layer is a source of diffuse radiation that can propagate trough the system. With
no internal sources and no absorption present the outward directed fluxes from a single layer
must balance the inward directed fluxes from the neighbour layers. If this is not the case the
layer would be a source or a sink for flux in the system:
= F ↑ (τn ) + F ↓ (τn ) − F ↑ (τn−1 ) + F ↓ (τn+1 )
|
{z
} |
{z
}
=:Fout
(9)
Fin
Fout − Fin
δ= 1
2 (Fout + Fin )
(10)
The deficiency value should be small for all layers and can serve as a proxy for the
accuracy of the program for a given resolution. For our test we use the value of δ which
describes the ratio of the deficiency to the mean of the two fluxes. To test the Fourier
expansion we calculate the fluxes from the zenith resolved light field at a layer boundary:
Z
↑,↓
F (τ ) = dµdφµL↑,↓ (τ, µ, φ)
(11)
It is of special interest to test the atmosphere ocean interface since it is computed by
an external program. We use our standard atmosphere ocean test case but deactivate the
source term for all but the first layer. For layers with only molecular scattering δ is very
well under 1% when choosing 30 atmospheric Gaussian points and 36 Fourier terms (for the
ocean interface) and azimuthal resolved output at every 30◦ . For the interface and the same
resolution we get deficiencies below 3%. For the given zenith and azimuth resolution we found
this to be a very good and reasonable agreement.
1.4
Other Models
We have validated the scattering part of the model using published tables. To completely
validate our model we would also need such trusted tables for well defined, possible simple,
atmosphere ocean systems. To our best knowledge these haven’t been published yet1 . We
can test the implementation of our reflection matrix using models without ocean but such an
interface as lower boundary. For this test we use the scalar COART model[12, 13] and the
6S[14, 15] model. The COART model can be operated trough an web interface2 and and 6S
can be downloaded from the homepage3 of the authors. As test case we use 545nm and a
wind speed of 7m/s. Solar zenith angle is 23.07◦ and relative refractive index of 1.34. We also
compute the case for a black surface to emphasize the effects of the ocean surface. At 545nm
the Rayleigh optical thickness is 0.10121 so we also could use the Rayleigh tables results to
verify the normalization conditions of the three programs. For direct comparisons with the
1
an statement also given by Zhai et al. in 2010[11]
http://snowdog.larc.nasa.gov/jin/rtset.html
3
http://6s.ltdri.org/
2
9
Rayleigh tables the MOMO results must be normalized with π and the 6S reflectances with
µs . The COART output is given in absolute Radiances and have been normalized to match
the zenith reflectance of the 6S results.
In Fig. (6) we show the top of atmosphere reflectance results from the models for the
case with and without interface. The MOMO Rayleigh (black line) and the 6S Rayleigh (gray
with circles) agree with each other. The results of COART (gray,small dashed), 6S (gray
large dashed) and MOMO (black with diamonds) agree in their characteristics but show
some signifficant numeric deviations.
ì
MOMO AOS
MOMO Ray
6S
6S Ray
COART
ì
0.200
ì
æ
ììììì
0.150ì
ì
ì
ì
ì
ì
reflectance I
ì
0.100æ
ì
ì
ì
æ
æ
æ
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
æ
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
æ
ì
ì
ì
ì
ì
ì
æ
ì
0.070
ì
æ
ì
ì
ì
ìììì
ì
æ
ì
ì
ì
æ
æ
ì
ì
ì
ì
ì
0.050
ìì
æ
ì
ì
ìì
ìì æ æ
ì
ì
ì ìì ì
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
0.030
-50
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
0
Μ in °
50
Figure 6: Comparison of the model reflectances. Solar zenith angle is 23.07◦ , relative refractive
index is 1.34 and wind speed is 7m/s. The vertical lines indicate real and opposite position
of the sun.
In Fig. (7) we show the top of atmosphere degree of polarization for MOMO and 6S. The
Rayleigh result for MOMO (black line) and 6S (gray line) show some significant deviations.
The relative difference is approximately 1.065 and almost constant for all viewing directions.
We found the same behavior for other solar angles. By now we don’t know the origin of this
deviation but will further investigate it. Since the Rayleigh results don’t agree with each
other we don’t expect that the polarization results do. The two curves show differences that
cant not be explained with a constant factor.
In Fig. (8) we show a plot where we corrected the 6S results. The Rayleigh results agree
after this correction but the results for the case with surface still differ. In the direction of
the sun glint the MOMO results are higher that 6S. In the opposite direction the MOMO
results are higher as well but the curvature of the results seem to have the wrong sign.
We will have to make more research on this comparison to fully explain our results.
10
ìì
MOMO AOS
MOMO Ray
6S AOS
6S Ray
ììììì
ì
ì
0.8ì ì ì
ì
ì
ì
æ
ì
æ
ì
æ
ì
æ
æ
ì
ì
æ
æ
ì
æ
æ
ì
ì
0.6
ì
æ
ì
ì
ì
ì
ì
dop
ì
ì
æ
ì
ì
ì
ì
æ
0.4
ì
ì
ì
æ
ì
ì
æ
ì
ì
ì
ì
æ
æ
ì
ì
ì
æ ì
0.2
æ
ì
æ
ì
ì
æì
æ
ì
ì
æì
ì
ì
ì
æì
ì
0.0
ì
ì
ìì
æ
ìì
ì
æì ì ì ì ì ì ì ì ì æ æ
æ æ æ æ
æ
æ
0
Μ in °
-50
æ
ì
ì
æì
ì
50
Figure 7: Like Fig. (6) but for the degree of polarization.
ìì
0.8ì ì ì
ì
ì
æ
æ
ì
æ
ì
ì
MOMO AOS
MOMO Ray
6S AOS
6S Ray
ììììì
ì
æ
ì
æ
ì
ì
ì
æ
æ
æ
æì
ì
ì
0.6
æì
ì
ì
dop
ì
æì
ì
ì
ì
ì
ì
æì
0.4
ì
ì
æ
ì
ì
æì
ì
ì
æì
ì
æ
ì
ì
ì
æ
ì
æ
ì
ì
ì
æ
ì
ì
æ
ì
ì
æì
ì
ì
ì
æì
ì
0.0
-50
æ
ì
ì
æì
0.2
æ
ì
ì
ì
ìì
æ
ìì
ì
æì ì ì ì ì ì ì ì ì æ æ
æ æ æ æ
0
Μ in °
æ
æ
50
Figure 8: Like Fig. (7) but with with the corrected values for 6S results.
11
2
Conclusion
We have used published results for scattering with and without a Lambertian reflector at
ground level. Partly these external results have been computed using independent methods
or at least independent implementations. The comparison efforts have shown that our results
and those published by other authors agree very well with each other. The validation of
the sea surface is not yet final since we found deviations we still have to explain. Since
no second combined atmosphere-ocean radiative transfer model which includes clear water
Raman scattering is known to us, the validation of the Raman module is performed with
azimuthally averaged results from the ocean model HydroLight.
12
References
[1] Frank Fell and Jürgen Fischer. Numerical simulation of the light field in the atmosphereocean system using the matrix-operator method. Journal of Quantitative Spectroscopy
and Radiative Transfer, 69(3):351 – 388, 2001.
[2] K.L. Coulson, J.V. Dave, and Z. Sckera. Tables related to radiation emerging from a
planetary atmosphere with Rayleigh scattering. University of California Press,Berkeley,
1960.
[3] R. D. M. Garcia and C. E. Siewert. A generalized spherical harmonics solution for
radiative transfer models that include polarization effects. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 36(5):401 – 423, 1986.
[4] R. D. M. Garcia and C. E. Siewert. The fn method for radiative transfer models that
include polarization effects. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,
41(2):117 – 145, 1989.
[5] K. F. Evans and G. L. Stephens. A new polarized atmospheric radiative transfer model.
Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 46(5):413 – 423, 1991.
[6] W.M.F. Wauben and J.W. Hovenier. Polarized radiation of an atmosphere containing
randomly-oriented spheroids. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 47(6):491 – 504, 1992.
[7] Vijay Natraj, King-Fai Li, and Yuk L. Yung. Rayleigh scattering in planetary atmospheres: Corrected tables through accurate computation of x and y functions. The
Astrophysical Journal, 691(2):1909, 2009.
[8] Alexander A. Kokhanovsky, Vladimir P. Budak, Celine Cornet, Minzheng Duan, Claudia
Emde, Iosif L. Katsev, Dmitriy A. Klyukov, Sergey V. Korkin, L. C-Labonnote, Bernhard Mayer, Qilong Min, Teruyuki Nakajima, Yoshifumi Ota, Alexander S. Prikhach,
Vladimir V. Rozanov, Tatsuya Yokota, and Eleonora P. Zege. Benchmark results in vector atmospheric radiative transfer. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative
Transfer, In Press, Corrected Proof:–, 2010.
[9] A. Rozanov, V. Rozanov, M. Buchwitz, A. Kokhanovsky, and J.P. Burrows. Sciatran 2.0
- a new radiative transfer model for geophysical applications in the 175-2400nm spectral
region. Advances in Space Research, 36(5):1015 – 1019, 2005.
[10] Subrahmanyan Chandrasekhar. Radiative transfer. Courier Dover Publications, 1960.
[11] Peng-Wang Zhai, Yongxiang Hu, Jacek Chowdhary, Charles R. Trepte, Patricia L.
Lucker, and Damien B. Josset. A vector radiative transfer model for coupled atmosphere and ocean systems with a rough interface. Journal of Quantitative Spectroscopy
and Radiative Transfer, 111(7-8):1025 – 1040, 2010.
[12] Zhonghai Jin and Knut Stamnes. Radiative transfer in nonuniformly refracting layered
media: atmosphere-ocean system. Appl. Opt., 33(3):431–442, Jan 1994.
13
[13] Zhonghai Jin, Thomas P. Charlock, Ken Rutledge, Knut Stamnes, and Yingjian Wang.
Analytical solution of radiative transfer in the coupled atmosphere-ocean system with a
rough surface. Appl. Opt., 45(28):7443–7455, Oct 2006.
[14] Svetlana Y. Kotchenova, Eric F. Vermote, Raffaella Matarrese, and Jr. Frank J. Klemm.
Validation of a vector version of the 6s radiative transfer code for atmospheric correction
of satellite data. part i: Path radiance. Appl. Opt., 45(26):6762–6774, Sep 2006.
[15] Svetlana Y. Kotchenova and Eric F. Vermote. Validation of a vector version of the 6s
radiative transfer code for atmospheric correction of satellite data. part ii. homogeneous
lambertian and anisotropic surfaces. Appl. Opt., 46(20):4455–4464, Jul 2007.
14