Gaston Tarry – Schema 1

Transcription

Patterns for the construction of pandiagonal bimagic squares with trimagic main diagonals:1
For scheme #1 the eight numbers
b−c+d
a+c
b+d
a
a+c+d
b−c
a+d
b
have to be chosen among 1, 2, 3, . . . , 8 and the eight numbers
cp − r (a − b) cp + cr
cp + cs
cp − r (a − b + c) + cs
cp − r (a − b) + cs
cp + cr + cs
cp
cp − r (a − b + c)
among 0, 8, 16, . . . , 56. This approach can be applied to the other schemes.
All generating numbers are given as sequence for a, b, c, d, p, q, r and s. If one of these numbers is not
contained in the patterns, it is written as 0, so that always 8 generating values are given.
These patterns will generate 320 different pandiagonal bimagic squares with trimagic main diagonals, but
only the following 80 squares are unique.
1 Gaston Tarry: Carrés cabalistique eulérien de base 8n, Association Française pour l’Avancement des Sciences, Compte-rendu de la 33e
Session, Grenoble, 1904, page 95 – 111
-1-
31 10 40 49 62 43 5 20
55 18 16 41 62 27 5 36
63 26 8 33 54 19 13 44
57 48 2 23 28 13 35 54
57 32 2 39 52 21 11 46
49 24 10 47 60 29 3 38
14 27 53 36 47 58 24 1
22 51 45 12 31 58 40 1
30 59 37 4 23 50 48 9
44 61 19 6
9 32 50 39
28 61 35 6 17 56 42 15
20 53 43 14 25 64 34 7
3 22 60 45 34 55 25 16
3 38 60 29 10 47 49 24
11 46 52 21 2 39 57 32
37 52 30 11 8 17 63 42
13 44 54 19 8 33 63 26
5 36 62 27 16 41 55 18
18 7 41 64 51 38 12 29
34 7 25 64 43 14 20 53
42 15 17 56 35 6 28 61
56 33 15 26 21 4 46 59
48 9 23 50 37 4 30 59
40 1 31 58 45 12 22 51
1 4 1 4 0 -64 8 32
1 4 1 4 0 -64 16 8
1 4 1 4 8 -64 16 -8
7 18 64 41 38 51 29 12
63 42 8 17 30 11 37 52
7 34 64 25 14 43 53 20
33 56 26 15 4 21 59 46
25 16 34 55 60 45 3 22
9 48 50 23 4 37 59 30
22 3 45 60 55 34 16 25
46 59 21 4 15 26 56 33
38 3 29 60 47 10 24 49
52 37 11 30 17 8 42 63
12 29 51 38 41 64 18 7
44 13 19 54 33 8 26 63
27 14 36 53 58 47 1 24
35 54 28 13 2 23 57 48
51 22 12 45 58 31 1 40
61 44 6 19 32 9 39 50
5 20 62 43 40 49 31 10
61 28 6 35 56 17 15 42
10 31 49 40 43 62 20 5
50 39 9 32 19 6 44 61
18 55 41 16 27 62 36 5
48 57 23 2 13 28 54 35
24 1 47 58 53 36 14 27
32 57 39 2 21 52 46 11
1 4 1 4 24 -64 -8 32
1 4 1 4 32 -64 8 -32
1 4 1 4 48 -64 -16 8
15 42 56 17 6 35 61 28
39 50 32 9
6 19 61 44
30 19 40 41 63 50 5 12
1 40 58 31 12 45 51 22
1 24 58 47 36 53 27 14
57 56 3 14 28 21 34 47
46 11 21 52 39 2 32 57
54 35 13 28 23 2 48 57
23 26 45 36 54 59 16 1
36 5 27 62 41 16 18 55
20 5 43 62 49 40 10 31
52 61 10 7 17 32 43 38
59 30 4 37 50 23 9 48
59 46 4 21 26 15 33 56
2 15 60 53 35 46 25 24
53 20 14 43 64 25 7 34
29 12 38 51 64 41 7 18
37 44 31 18 8
26 63 33 8 19 54 44 13
42 63 17 8 11 30 52 37
11 6 49 64 42 39 20 29
24 49 47 10 29 60 38 3
16 25 55 34 45 60 22 3
48 33 22 27 13 4 55 58
1 4 1 4 56 -64 -16 -8
1 4 1 4 56 -64 -8 -32
1 4 2 4 0 -64 8 16
54 35 16 25 63 42 5 20
62 43 8 17 55 34 13 28
6 11 64 49 39 42 29 20
9 62 51
57 48 3 22 52 37 10 31
49 40 11 30 60 45 2 23
33 48 27 22 4 13 58 55
39 50 29 12 46 59 24 1
47 58 21 4 38 51 32 9
15 2 53 60 46 35 24 25
44 61 18 7 33 56 27 14
36 53 26 15 41 64 19 6
44 37 18 31 9
2 23 60 45 11 30 49 40
10 31 52 37 3 22 57 48
26 23 36 45 59 54 1 16
13 28 55 34 8 17 62 43
5 20 63 42 16 25 54 35
61 52 7 10 32 17 38 43
19 6 41 64 26 15 36 53
27 14 33 56 18 7 44 61
19 30 41 40 50 63 12 5
32 9 38 51 21 4 47 58
24 1 46 59 29 12 39 50
56 57 14 3 21 28 47 34
1 4 2 4 0 -64 16 4
1 4 2 4 4 -64 16 -4
1 4 2 4 12 -64 -8 16
6 19 64 41 15 26 53 36
14 27 56 33 7 18 61 44
62 51 8
9 31 18 37 44
8 51 62
25 24 35 46 60 53 2 15
9 32 51 38 4 21 58 47
1 24 59 46 12 29 50 39
55 58 13 4 22 27 48 33
23 2 45 60 30 11 40 49
31 10 37 52 22 3 48 57
20 29 42 39 49 64 11 6
28 13 34 55 17 8 43 62
20 5 42 63 25 16 35 54
34 47 28 21 3 14 57 56
50 39 12 29 59 46 1 24
58 47 4 21 51 38 9 32
5 12 63 50 40 41 30 19
61 44 7 18 56 33 14 27
53 36 15 26 64 41 6 19
43 38 17 32 10 7 52 61
35 54 25 16 42 63 20 5
43 62 17 8 34 55 28 13
16 1 54 59 45 36 23 26
48 57 22 3 37 52 31 10
40 49 30 11 45 60 23 2
1 4 2 4 16 -64 8 -16
1 4 2 4 24 -64 -16 4
1 4 2 4 28 -64 -16 -4
-2-
38 43 32 17 7 10 61 52
47 10 24 49 60 29 3 38
63 26 8 33 44 13 19 54
1 16 59 54 36 45 26 23
57 32 2 39 46 11 21 52
41 16 18 55 62 27 5 36
47 34 21 28 14 3 56 57
12 45 51 22 31 58 40 1
28 61 35 6 15 42 56 17
12 5 50 63 41 40 19 30
30 59 37 4
9 48 50 23
14 43 53 20 25 64 34 7
58 55 4 13 27 22 33 48
5 36 62 27 18 55 41 16
21 52 46 11 2 39 57 32
29 20 39 42 64 49 6 11
19 54 44 13 8 33 63 26
3 38 60 29 24 49 47 10
51 62 9
8 18 31 44 37
34 7 25 64 53 20 14 43
50 23 9 48 37 4 30 59
24 25 46 35 53 60 15 2
56 17 15 42 35 6 28 61
40 1 31 58 51 22 12 45
1 4 2 4 28 -64 -8 -16
1 6 1 2 0 -64 8 16
1 6 1 2 16 -64 8 -16
7 34 64 25 20 53 43 14
23 50 48 9
4 37 59 30
44 37 24 25 63 50 3 14
17 56 42 15 6 35 61 28
1 40 58 31 22 51 45 12
57 56 5 12 46 35 18 31
36 5 27 62 55 18 16 41
52 21 11 46 39 2 32 57
39 42 27 22 52 61 16 1
54 19 13 44 33 8 26 63
38 3 29 60 49 24 10 47
54 59 10 7 33 48 29 20
45 12 22 51 58 31 1 40
61 28 6 35 42 15 17 56
2 15 62 51 21 28 41 40
59 30 4 37 48 9 23 50
43 14 20 53 64 25 7 34
19 30 47 34 8
10 47 49 24 29 60 38 3
26 63 33 8 13 44 54 19
13 4 49 64 26 23 38 43
32 57 39 2 11 46 52 21
16 41 55 18 27 62 36 5
32 17 36 45 11 6 55 58
1 6 1 2 40 -64 -8 16
1 6 1 2 56 -64 -8 -16
1 6 4 2 0 -64 8 4
9 47 34 19 30
4 13 64 49 23 26 43 38
20 29 48 33 7 10 59 54
41 40 21 28 62 51 2 15
17 32 45 36 6 11 58 55
1 16 61 52 22 27 42 39
55 58 11 6 36 45 32 17
15 2 51 62 28 21 40 41
31 18 35 46 12 5 56 57
38 43 26 23 49 64 13 4
30 19 34 47 9
8 53 60
14 3 50 63 25 24 37 44
18 31 46 35 5 12 57 56
42 39 22 27 61 52 1 16
58 55 6 11 45 36 17 32
60 53 8
9 60 53
3 14 63 50 24 25 44 37
59 54 7 10 48 33 20 29
43 38 23 26 64 49 4 13
29 20 33 48 10 7 54 59
37 44 25 24 50 63 14 3
53 60 9
16 1 52 61 27 22 39 42
56 57 12 5 35 46 31 18
40 41 28 21 51 62 15 2
1 6 4 2 4 -64 8 -4
1 6 4 2 10 -64 -8 4
1 6 4 2 14 -64 -8 -4
30 11 40 49 60 45 2 23
54 19 16 41 60 29 2 39
62 27 8 33 52 21 10 47
8 34 47 30 19
57 48 3 22 31 10 37 52
57 32 3 38 55 18 13 44
49 24 11 46 63 26 5 36
12 29 50 39 46 59 24 1
20 53 42 15 30 59 40 1
28 61 34 7 22 51 48 9
47 58 21 4
9 32 51 38
31 58 37 4 17 56 43 14
23 50 45 12 25 64 35 6
5 20 63 42 35 54 25 16
5 36 63 26 11 46 49 24
13 44 55 18 3 38 57 32
34 55 28 13 8 17 62 43
10 47 52 21 8 33 62 27
2 39 60 29 16 41 54 19
19 6 41 64 53 36 15 26
35 6 25 64 45 12 23 50
43 14 17 56 37 4 31 58
56 33 14 27 18 7 44 61
48 9 22 51 34 7 28 61
40 1 30 59 42 15 20 53
1 7 2 1 0 -64 4 16
1 7 2 1 0 -64 8 4
1 7 2 1 4 -64 8 -4
6 19 64 41 36 53 26 15
62 43 8 17 28 13 34 55
6 35 64 25 12 45 50 23
33 56 27 14 7 18 61 44
25 16 35 54 63 42 5 20
9 48 51 22 7 34 61 28
20 5 42 63 54 35 16 25
44 61 18 7 14 27 56 33
36 5 26 63 46 11 24 49
55 34 13 28 17 8 43 62
15 26 53 36 41 64 19 6
47 10 21 52 33 8 27 62
29 12 39 50 59 46 1 24
37 52 31 10 3 22 57 48
53 20 15 42 59 30 1 40
58 47 4 21 32 9 38 51
2 23 60 45 40 49 30 11
58 31 4 37 56 17 14 43
11 30 49 40 45 60 23 2
51 38 9 32 21 4 47 58
19 54 41 16 29 60 39 2
48 57 22 3 10 31 52 37
24 1 46 59 50 39 12 29
32 57 38 3 18 55 44 13
1 7 2 1 12 -64 -4 16
1 7 2 1 16 -64 4 -16
1 7 2 1 24 -64 -8 4
-3-
14 43 56 17 4 37 58 31
38 51 32 9
4 21 58 47
28 21 40 41 62 51 2 15
1 40 59 30 15 42 53 20
1 24 59 46 39 50 29 12
57 56 5 12 31 18 35 46
44 13 18 55 38 3 32 57
52 37 10 31 22 3 48 57
22 27 42 39 52 61 16 1
39 2 29 60 41 16 19 54
23 2 45 60 49 40 11 30
55 58 11 6 17 32 45 36
61 28 7 34 51 22 9 48
61 44 7 18 27 14 33 56
3 14 63 50 37 44 25 24
50 23 12 45 64 25 6 35
26 15 36 53 64 41 6 19
34 47 30 19 8
27 62 33 8 21 52 47 10
43 62 17 8 13 28 55 34
13 4 49 64 43 38 23 26
24 49 46 11 26 63 36 5
16 25 54 35 42 63 20 5
48 33 20 29 10 7 54 59
1 7 2 1 28 -64 -8 -4
1 7 2 1 28 -64 -4 -16
1 7 4 1 0 -64 4 8
52 37 16 25 62 43 2 23
60 45 8 17 54 35 10 31
4 13 64 49 38 43 26 23
9 60 53
57 48 5 20 55 34 11 30
49 40 13 28 63 42 3 22
33 48 29 20 7 10 59 54
38 51 26 15 44 61 24 1
46 59 18 7 36 53 32 9
14 3 50 63 44 37 24 25
47 58 19 6 33 56 29 12
39 50 27 14 41 64 21 4
47 34 19 30 9
3 22 63 42 13 28 49 40
11 30 55 34 5 20 57 48
27 22 39 42 61 52 1 16
8 53 60
10 31 54 35 8 17 60 45
2 23 62 43 16 25 52 37
58 55 6 11 32 17 36 45
21 4 41 64 27 14 39 50
29 12 33 56 19 6 47 58
21 28 41 40 51 62 15 2
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1 7 4 1 2 -64 8 -2
1 7 4 1 6 -64 -4 8
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1 7 4 1 14 -64 -8 -2
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8
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9
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2 3 2 4 16 -64 -16 4
-4-
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8
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9
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9
8
8
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2 5 4 2 8 -64 -8 4
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9
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3 2 1 4 40 -64 16 -8
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-5-
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8
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9
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3 5 4 1 8 -64 -8 2
3 5 4 1 10 -64 -8 -2
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8
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9
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3 5 4 1 12 -64 -4 -8
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5 2 1 2 32 -64 8 16
5 2 1 2 48 -64 8 -16
18 7 44 61 56 33 14 27
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-6-
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-7-
-8-
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4
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9
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-9-
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6
9
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1 6 4 2 14 -64 -8 -4
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7 44 38
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1 7 2 1 4 -64 8 -4
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7
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- 10 -
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- 11 -
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4
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6
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- 12 -
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9
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7
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5 3 -4 1 -10 -64 8 2
- 13 -
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5 3 -4 1 -2 -64 -4 -8
- 14 -
- 15 -
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6
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9
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7
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9
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- 16 -
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4
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9
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- 17 -
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- 18 -
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9
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3 2 -2 4 -4 -16 4 0
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- 19 -
7
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- 20 -
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- 21 -
- 22 -
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- 23 -
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- 24 -
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8
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9
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- 25 -
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8
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2 8 2 -1 24 0 -8 0
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9
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9
8
8
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2 8 4 -1 8 4 -8 0
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3 8 1 -2 8 32 -8 0
3 8 1 -2 16 8 -16 0
13 28 54 35 48 57 23 2
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- 26 -
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- 27 -
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- 28 -
- 29 -
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8
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- 30 -
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8
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9
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- 31 -
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8
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9
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- 32 -
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34 7 25 64 12 45 51 22
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9
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8
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- 33 -
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9
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8
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8
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9
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- 34 -
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- 35 -
- 36 -
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56 28 6 42 61 17 15 35
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- 37 -
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- 38 -
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19 15 36 64 26 6 41 53
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54 42 5 25 63 35 16 20
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6 26 53 41 15 19 64 36
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2 3 2 4 16 4 4 0
- 39 -
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39 19 61 9
- 40 -
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3 5 4 1 8 2 2 0
3 5 4 1 10 0 -2 0
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3 5 4 1 12 0 -8 0
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38 24 10 60 49 3 29 47
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9 59 37 23
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47 32 51 4
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9 58 21 38
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5 3 2 1 8 28 16 0
- 41 -
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23 40 11 60 49 2 45 30
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50 25 6 45 64 23 12 35
10 33 62 21 8 47 52 27
26 41 6 53 64 15 36 19
14 37 58 17 4 43 56 31
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38 21 58 9
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48 7 28 51 34 9 22 61
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5 3 2 1 20 0 -16 0
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- 42 -
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- 43 -
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8
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9
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- 44 -
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8
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9
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18 55 44 13 33 8 27 62
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- 45 -
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6 10 8 0 1 7 4 1
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8
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9
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- 46 -
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9
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8
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- 47 -
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-20 0 16 0 3 5 -2 1
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9
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-4 -16 -16 0 3 5 -2 1
-12 0 4 0 5 2 -4 2
25 24 37 44 51 62 15 2
33 48 29 20 11 6 55 58
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13 4 49 64 39 42 27 22
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19 30 47 34 57 56 5 12
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53 60 9
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34 47 30 19 12 5 56 57
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10 7 54 59 36 45 32 17
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8
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20 29 48 33 58 55 6 11
44 37 24 25 2 15 62 51
-8 -4 -4 0 5 2 -4 2
-6 -10 4 0 5 2 -4 2
-2 -14 -4 0 5 2 -4 2
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17 32 45 36 10 7 54 59
17 8 45 60 34 55 30 11
21 28 41 40 14 3 50 63
13 4 49 64 22 27 42 39
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58 55 6 11 33 48 29 20
34 47 30 19 57 56 5 12
58 47 6 19 9 32 53 36
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14 27 50 39 61 44 1 24
47 34 19 30 56 57 12 5
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31 10 35 54 48 57 20 5
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8
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-10 0 2 0 5 3 -4 1
9
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- 48 -
60 53 8
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- 49 -
- 50 -
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56 28 6 42 61 17 15 35
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24 12 4 0 1 4 2 4
28 4 -16 0 1 4 2 4
- 51 -
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6 56 42 28 17 35 61 15
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10 6 4 0 1 6 4 2
14 2 -4 0 1 6 4 2
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7 48 51 28 9 34 61 22
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18 57 38 13 32 55 44 3
10 57 22 37 48 31 52 3
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56 31 4 43 58 17 14 37
32 47 4 51 58 9 38 21
64 23 12 35 50 25 6 45
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4 8 -4 0 1 7 2 1
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11 36 63 24 5 46 49 26
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18 33 14 61 56 7 44 27
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13 62 17 34 43 28 55 8
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9 58 21 38 47 32 51 4
49 2 45 30 23 40 11 60
17 58 37 14 31 56 43 4
12 24 16 0 1 7 2 1
16 4 -16 0 1 7 2 1
24 20 4 0 1 7 2 1
- 52 -
3 52 31 48 37 22 57 10
3 44 55 32 13 38 57 18
61 38 15 24 51 44 1 26
63 16 35 20 25 42 5 54
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14 2 -8 0 1 7 4 1
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12 24 -4 0 2 3 2 4
16 4 4 0 2 3 2 4
- 53 -
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24 0 -16 0 2 3 2 4
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6 10 -4 0 2 5 4 2
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39 19 61 9
- 54 -
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6 12 -2 0 3 5 4 1
8 2 2 0 3 5 4 1
10 0 -2 0 3 5 4 1
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54 8 26 44 33 19 13 63
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10 60 38 24 29 47 49 3
2 41 28 51 40 15 62 21
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36 11 58 17 6 45 32 55
7 53 43 25 20 34 64 14
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- 55 -
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- 56 -
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- 57 -
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- 58 -
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1 6 1 2 0 -10 -2 0
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- 59 -
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2 8 2 -1 -2 -14 -4 0
2 8 4 -1 -24 0 16 0
- 60 -
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2 8 4 -1 -16 -4 -4 0
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2 8 4 -1 -8 -16 -16 0
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3 8 1 -2 -10 -6 8 0
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12 19 58 33 6 29 56 47
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3 8 1 -2 -6 -12 2 0
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55 32 45 6 17 58 11 36
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3 8 1 -2 -4 -8 -8 0
3 8 1 -2 -2 -14 -8 0
- 61 -
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20 40 10 62 49 5 43 31
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39 19 61 9
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3 8 4 -2 -40 0 32 0
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- 62 -
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52 2 32 46 39 21 11 57
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- 63 -
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- 64 -
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9
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- 65 -
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8
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1 6 1 2 -2 -8 2 0
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9
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- 66 -
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8
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9
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8
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- 67 -
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2 5 4 2 40 48 -8 0
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- 68 -
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9
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8
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8
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- 69 -
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9
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9
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20 29 48 33 58 55 6 11
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- 70 -
9 60 53 46 35 18 31
5 3 2 1 6 10 -4 0

Gaston Tarry – Schema 1

Transcription

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