Formelsammlung - Zeichner

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13. November 2011
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS .....................................................................................................2
ALGEBRA ........................................................................................................................7
QUADRATISCHE GLEICHUNG ...................................................................................................7
BINOMISCHE FORMELN..........................................................................................................7
Pascal'sche Dreieck .....................................................................................................7
POTENZIEREN & RADIZIEREN ..................................................................................................8
PHYSIK............................................................................................................................9
GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG ..................................................................................................9
BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG ..................................................................................................9
DICHTE .............................................................................................................................10
KRAFT ..............................................................................................................................10
HYDROSTATIK ....................................................................................................................10
WÄRMELEHRE ...................................................................................................................11
WÄRMELEITFÄHIGKEIT .........................................................................................................11
TEMPERATURVERLAUF .........................................................................................................12
WÄRMEVERLUST ÜBER 1 JAHR ..............................................................................................12
SOLARE GEWINNE ..............................................................................................................12
ARBEIT .............................................................................................................................13
LEISTUNG ..........................................................................................................................13
WIRKUNGSGRAD ................................................................................................................13
BODENPRESSUNG ...............................................................................................................14
AUFTRIEB ..........................................................................................................................14
Archimedisches Gesetz: .............................................................................................15
PLANIMETRIE ............................................................................................................... 15
DREIECKE ..........................................................................................................................15
Kathetensatz .............................................................................................................15
Höhensatz..................................................................................................................15
Pythagoras ................................................................................................................15
gleichseitiges Dreieck ................................................................................................15
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Diagonale im Quadrat ...............................................................................................15
SATZ DES HERON ................................................................................................................16
KREIS ...............................................................................................................................16
REGELMÄSSIGES SECHSECK ...................................................................................................17
ELLIPSE .............................................................................................................................17
INKREISE UND UMKREISE ......................................................................................................17
Umkreis gleichseitiges Dreieck ..................................................................................17
Inkreis gleichseitiges Dreieck .....................................................................................17
Umkreis schiefwinkliges Dreieck ...............................................................................17
Inkreis schiefwinkliges Dreieck ..................................................................................18
TRAPEZ .............................................................................................................................18
TRIGONOMETRIE .......................................................................................................... 19
RECHTWINKLIGES DREIECK ...................................................................................................19
SINUSSATZ (ALLGEMEINES DREIECK) .......................................................................................19
COSINUSSATZ (ALLGEMEINES DREIECK) ...................................................................................19
VERMESSUNG .............................................................................................................. 20
AZIMUT ............................................................................................................................20
Quadranten ...............................................................................................................20
GEGENAZIMUT ...................................................................................................................20
BANDDURCHHANG..............................................................................................................20
POLARAUFNAHMEN ............................................................................................................21
ERDKRÜMMUNG ................................................................................................................21
REDUKTION DER DISTANZEN .................................................................................................22
FEHLERGRENZEN BEIM NIVELLIEREN .......................................................................................22
FEHLERRECHNUNG ..............................................................................................................22
STEREOMETRIE ............................................................................................................. 23
GERADES PRISMA ...............................................................................................................23
SCHIEFES PRISMA ...............................................................................................................23
QUADER ...........................................................................................................................23
WÜRFEL ...........................................................................................................................23
GERADER KREISZYLINDER .....................................................................................................24
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SCHIEFER KREISZYLINDER......................................................................................................24
DREHZYLINDER ...................................................................................................................24
HOHLZYLINDER...................................................................................................................24
PYRAMIDE .........................................................................................................................24
REGULÄRES TETRAEDER .......................................................................................................25
PYRAMIDENSTUMPF ............................................................................................................25
FASS ................................................................................................................................25
SCHIEFER KEGEL .................................................................................................................25
GERADER KEGEL .................................................................................................................26
ABWICKLUNG GERADER KEGEL ..............................................................................................26
KEGELSTUMPF....................................................................................................................27
KUGEL ..............................................................................................................................27
KUGELHAUBE (KUGELSEGMENT) ............................................................................................27
KUGELAUSSCHNITT (KUGELSEKTOR) .......................................................................................28
KUGELSCHICHT ...................................................................................................................28
GULDINSCHE REGEL ............................................................................................................28
BAUGRUBE ................................................................................................................... 29
STEREOMETRISCHE BERECHNUNG ..........................................................................................29
SIMPSON'SCHE FORMEL .......................................................................................................29
NÄHERUNGSFORMEL ...........................................................................................................29
STRASSENBAU .............................................................................................................. 30
HORIZONTALE AUSRUNDUNG................................................................................................30
FALLLINIENGEFÄLLE .............................................................................................................30
KLOTHOIDE .......................................................................................................................31
KONSTRUKTION DER VERZIEHUNGSSTRECKE .............................................................................31
FAHRBAHNVERWINDUNG (QUERGEFÄLLSWECHSEL) ...................................................................32
KURVENVERBREITERUNG ......................................................................................................32
Deichsellänge ................................................................................................................. 32
VERTIKALE AUSRUNDUNG ....................................................................................................33
Wanne ........................................................................................................................... 33
Kuppe............................................................................................................................. 33
Hoch- und Tiefpunkt bei Kuppen und Wannen ............................................................. 34
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Tiefster Punkt in Ausrundung ........................................................................................ 34
HOCHBAU..................................................................................................................... 35
HOLZ – SCHWINDEN UND QUELLEN .......................................................................................35
SCHNEELAST ......................................................................................................................35
WINDLAST ........................................................................................................................35
ERDBEBENWIRKUNG............................................................................................................36
TRÄGHEITSMOMENT ...........................................................................................................36
STATIK ..............................................................................................................................36
Verteilte Belastung ........................................................................................................ 37
Kraftübertragung ........................................................................................................... 37
DREHMOMENT...................................................................................................................37
SPANNUNG UND DEHNUNG ..................................................................................................38
ABWASSER ................................................................................................................... 39
HYDRAULISCHE BERECHNUNGEN (STRICKLERFORMEL)................................................................39
FLIESSFORMEL NACH PRANDTL-COLEBROOK ............................................................................40
Rauhigkeitsbeiwert ............................................................................................................. 40
LISTENRECHNUNG NACH IMHOFF ...........................................................................................41
SCHWERPUNKT ............................................................................................................ 42
TABELLE FÜR SCHWERPUNKTBERECHNUNG ..............................................................................42
SCHWERPUNKTE .................................................................................................................43
rechtwinkliges Dreieck...............................................................................................43
Dreiecke allgemein ....................................................................................................43
Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid ..................................................................43
Trapez ........................................................................................................................43
rechtwinkliges Trapez ......................................................................................................... 43
Kreis, Kreisring ...........................................................................................................44
Kreissektoren .............................................................................................................44
Halbkreis ............................................................................................................................. 44
Viertelkreis ......................................................................................................................... 44
Kreissegment ...................................................................................................................... 45
Kreisringsektor ..........................................................................................................45
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Algebra
Quadratische Gleichung
D>0 → zwei Lösungen
D=0 → eine Lösung
D˂0 → keine Lösung
Binomische Formeln
Pascal'sche Dreieck
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
etc.
=
=
=
=
=
=
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
3
6
10
(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a-b)5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5
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1
1
4
10
1
5
1
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Potenzieren & Radizieren
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Physik
Gleichförmige Bewegung
Beschleunigte Bewegung
v0 = Geschwindigkeit am Anfang der Beobachtung
vt = Geschwindigkeit in einem beliebigen Zeitpunkt t der Beobachtung
Strecke während der Beschleunigung
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Dichte
Kraft
Erdbeschleunigung in der Physik = 9,81 m/s2
Erdbeschleunigung in der Baustatik = 10 m/s2
Hydrostatik
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Wärmelehre
∆l = Längenänderung [m]
l0 = Ausgangsmesslänge [m]
= Längenausdehnungskoeffizient (m/m*K)
∆T = Temperaturdifferenz
∆v = Volumenänderung
Wärmezustand eines Körpers = Bewegungszustand seiner Moleküle
Wärmeleitfähigkeit
RTotal = Ri + R1+ ... + Rn + Re
U-Wert
= Lambda = Wärmeleitfähigkeit (auf 1m2 Fläche auf 1m Länge)
= Gross Lambda = Wärmeleitfähigkeit auf eine bestimmte Materialdicke
W = Watt
m = Meter
K = pro Grad (1 Kelvin = 1° Celsius)
R = Widerstandswert (so viel setzt das Material der Wärme entgegen)
Ri = 0.13 = normierter Widerstandswert für die Luft innen am Bauteil
Re = 0.04 = normierter Widerstandswert für die Luft aussen am Bauteil
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Temperaturverlauf
Faktor =
Temperatur innen - (Ri * Faktor) = a
a - (R1 * Faktor) = b
b -... = c
c - (Rn * Faktor) = d
d -(Re * Faktor) = Temperatur aussen
a-d = Zwischentemperaturen im Bauteil
Wärmeverlust über 1 Jahr
U-Wert
* Fläche [m2]* Temperatur Differenz [K] * Zeit [h] = Energie [Wh]
Wh : 1000 = KWh
3.6 MJ = 1 KWh
KWh : 10 = Liter Öl
1 kg Öl
Temperatur Differenz : nach SIA im Mittelland der Schweiz 16.2°C
Zeit: Heizperiode im Mittelland der Schweiz 229 Tage -> 5500h
Solare Gewinne
direkte Strahlung + diffuse Strahlung = Globalstrahlung [
solarer Gewinn [KWh] = Globalstrahlung [
* g-Wert * Verschattung * Ausnutzungsgrad
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* Fensterfläche [m2] * Anteil Glas
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Arbeit
J = Joule = Nm = Newtonmeter
Leistung
W = Watt
Ws = Wattsekunde = J = Joule
Wirkungsgrad
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Bodenpressung
F = Kraft
σ = Bodenpressung
A = Fläche
m = Masse
g = Erdbeschleunigung = 10 m/s2
Auftrieb
l*b*t = Volumen der verdrängten Flüssigkeit
ρk = Dichte Körper
ρFl = Dichte Flüssigkeit
g = Erdbeschleunigung
t = Tiefe um die der Körper in der Flüssigkeit ist
Dichte Süsswasser : 1000 kg/m3
Dichte Salzwasser : 1300 kg/m3
Fg < Fa → Körper steigt auf
Fg > Fa → Körper sinkt ab
Fg = Fa → Körper schwimmt
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Archimedisches Gesetz:
Die Auftriebskraft eines eingetauchten Körpers ist so gross wie die Gewichtskraft
der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
Planimetrie
Dreiecke
Kathetensatz
Höhensatz
Pythagoras
gleichseitiges Dreieck
Diagonale im Quadrat
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Satz des Heron
(= ungleichseitiges Dreieck)
Kreis
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Regelmässiges Sechseck
U=6*s
d=2*s
e=2*h
Ellipse
A=a*b*π
U = (a + b) * π
Inkreise und Umkreise
Umkreis gleichseitiges Dreieck
Inkreis gleichseitiges Dreieck
Umkreis schiefwinkliges Dreieck
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Inkreis schiefwinkliges Dreieck
Trapez
U=a+b+c+d
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Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreieck
G
H
= sin
=cos β
A
H
= cos
=sin β
G
A
= tan
= cot β
A
G
= cot
= tan β
G = Gegenkathete
A = Ankathete
H = Hypothenuse
Sinussatz (allgemeines Dreieck)
oder:
Cosinussatz (allgemeines Dreieck)
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Vermessung
Azimut
Zielpunktkoordinate minus Standpunktkoordinate
Gleiche Vorzeichen 
Ungleiche Vorzeichen 
y = sin ZAB * d
x = cos ZAB * d
Quadranten
IV
= α + 300g
I
=α
III
= α + 200g
II
= α + 100g
Gegenazimut
ZBA = ZAB ± 200g
Banddurchhang
Distanzkorrektur (f) 
P = Durchhang [m]
D = Bandlänge [m]
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Polaraufnahmen
Z2NP = Z21 + α
400g ≤ Z21 + α = Z2NP
400g ≥ Z21 + α – 400g = Z2NP
Erdkrümmung
= Auf Tangentialebene projizierte Höhe bzw. Differenz
D = Distanz
RE = Mittlerer Erdradius (6370 km)
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Reduktion der Distanzen
( R + h) : D = R : d
d = ( D * R) : ( R + h )
d = D * [ R : ( R + h )]
D - d = Reduktion
D = gemessene Distanz auf Erdoberfläche
R = mittlerer Erdradius (6370 km)
h = Höhe über Meer
d = reduzierte Distanz auf Meeresspiegel
Fehlergrenzen beim Nivellieren
Präzisionsmessung:
f∆H = 0.004 *
Bauvermessung:
f∆H = 0.015 *
f∆H = Fehlergrenze [m]
D = Distanz [km]
Fehlerrechnung
v = arithmetisches Mittel = alle Messungen addiert : Anzahl Messungen
n = anzahl Messungen
vv = v2 = (arithmetisches Mittel - Messung)2
m = s = empirische Standortabweichung einer Messung --> mx = sx
Mittlerer Fehler einer Messung = m =
Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittel = mx = m :
Wahrscheinlicher Wert = m ± x
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= ±x
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Stereometrie
V = Volumen
G = Grundfläche
D = Deckfläche
M = Mantelfläche = Summe aller Seitenflächen
O = Oberfläche
h = Höhe
d = Diagonale
Gerades Prisma
V=G*h
O = G + D + M = 2*G + M
Schiefes Prisma
V = G*h
O = G + D + M = 2*G + M
Quader
V = G*h = a*b*c
O = 2*G+M = 2(ab + ac + bc)
D=
Würfel
V = a3
O = 6a2
d=
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Gerader Kreiszylinder
V=G*h=
O = 2G + M =
Schiefer Kreiszylinder
V=G*h=
Die Grundfläche G ist ein Kreis.
Drehzylinder
V=S*l=
V=G*h=a*b*π*h
Die Grundfläche G ist eine Ellipse. Die Mittelfläche S ist ein Kreis.
Hohlzylinder
V=
R = äusserer Radius
r = innerer Radius
Pyramide
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Reguläres Tetraeder
= 3-seitige Pyramide, bei welcher alle Kanten gleich lang sind.
Pyramidenstumpf
Fass
V = Volumen
h = Höhe
D = Durchmesser in der Mitte
d1 = Durchmesser Grundfläche
d2 = Durchmesser Deckfläche
Schiefer Kegel
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Gerader Kegel
a = Kegelachse
m = Mantellinie
α = Öffnungswinkel
Ein Achsenschnitt eines geraden Kegels ist ein gleichseitiges Dreieck. Bei einem
gleichseitigen Kegel ist der Achsenschnitt ein gleichseitiges Dreieck.
Abwicklung gerader Kegel
α = Zentriwinkel
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Kegelstumpf
G = Grundfläche
M = Mantelfläche
D = Deckfläche
Kugel
Kugelhaube (Kugelsegment)
O=2*r*π*h
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Kugelausschnitt (Kugelsektor)
Kugelschicht
(3d12 + 3d22 + 4h2)
(Oberflächen ohne Kreisflächen)
Guldinsche Regel
V = Volumen des Drehkörpers
A = Fläche der bewegten Fläche
M = Mantelfläche des Drehkörpers
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Baugrube
Stereometrische Berechnung
Quader/Prismen
Pyramide
Simpson'sche Formel
G = Grundfläche
D = Deckfläche
M = Mittelfläche
Näherungsformel
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Strassenbau
Horizontale Ausrundung
Fallliniengefälle
f = Fallliniengefälle [%]
i = Längsgefälle [%]
p = Quergefälle [%]
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Klothoide
A2 = R * L
A = Klothoidenparameter [m]
R = Radius [m]
L = Klothoidenlänge [m]
Konstruktion der Verziehungsstrecke
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Fahrbahnverwindung (Quergefällswechsel)
= Anrampungsneigung [%]
qe = Fahrbahnquerneigung am Ende [%]
qa = Fahrbahnquerneigung am Anfang [%]
Lv = Länge der Verwindungsstrecke [m]
a = Abstand des Fahrbahnrandes von der Drehachse (meist ) [m]
B = Fahrbahnbreite [m]
Kurvenverbreiterung
e = Kurvenverbreiterung pro Fahrbahnstreifen
D = reduzierte Deichsellänge
Ra = Radius aussen
Deichsellänge
A) D = 10.0m
Sattelschlepper und Lastwagen mit Anhängern nach EU-Norm.
B) D = 8.70m
Grosse Lastwagen und LKW mit Anhänger, Standardbusse, Reisecar
C) D = 6.70m
Lastwagen und grosse Lieferwagen
D) D = 4.00m
Personenwagen inkl. Grossraum-PW
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Vertikale Ausrundung
Wanne
Kuppe
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Hoch- und Tiefpunkt bei Kuppen und Wannen
Tiefster Punkt in Ausrundung
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Hochbau
Holz – Schwinden und Quellen
w = Wassergehalt
a = ursprüngliche Länge / Radius / Umfang
∆a = zunahme Länge / Radius / Umfang
Schneelast
Gilt nur bei Höhe mü.M. < 2000m
m2 = 1m2 überdeckte Grundfläche.
Windlast
W=c*q*A
pw = c * q
W = Windkraft [kN]
c = Körperformabhängiger Koeffizient
q = Staudruck
A = Fläche senkrecht zur Windrichtung
pw = Gleichmässig verteilte Windbelastung
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Erdbebenwirkung
Angriffspunkt der Gebäudehöhe.
FG = Gewichtskraft des gesamten Gebäudes
FE = Erdbebenwirkung (schwankt je nach Gebiet)
Trägheitsmoment
(= Wiederstand beim Biegen)
Statik
V = Volumen
ρ = Dichte
m = Masse
F = Kraft
g = Erdbeschleunigung
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Verteilte Belastung
Kraftübertragung
Drehmoment
Drehmoment = Kraft * Hebelarm
M = F [Nm] * a [kNm]
M1 = +F1 * a1
M2 = -F2 * a2
Uhrzeigersinn um Drehpunkt =
positiv
Moment:
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Spannung und Dehnung
Zug = positiv
Druck = negativ
ς = Normalspannung
F = Kraft [N]
A = Fläche [mm2]
= Länge im unbelasteten Zustand
= Längenänderung
E = Materialkonstante
z.B. Stahl = 210‘000
= Elastizätsmodul = E-Modul
, Beton = 21‘000 – 39‘000
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Abwasser
Hydraulische Berechnungen (Stricklerformel)
Menge des abfliessenden Wassers
Q=v*A
v = mittlere Fliessgeschwindigkeit [ ]
k = Rauhigkeitsbeiwert
Q = Wassermenge
HR = RH = Hydraulischer Radius (m)
A = Leitungsquerschnitt (m2)
J = Gefälle als absoluter Wert
Angabe J in %:
in ‰ :
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Fliessformel nach Prandtl-Colebrook
Anwendung bei Kreisprofilen oder kreisähnlichen Profilen mit Vollfüllung oder
Teilfüllung (min. halbvoll).
│v│= 2*√(8*g*Rh*Je) * log(
v
g
Rh
A
U
Je
di
kb
υ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
kb
2.51 *

)
3.71 * 4 * Rh 4 * Rh * 8 * g * Rh * Je
mittlere Fliessgeschwindigkeit
Erdbeschleunigung
hydraulischer Radius (A/U)
benetzte Fläche
benetzter Umfang
Energieliniengefälle
Rohrinnendurchmesser
Rauhigkeitsbeiwert
kinematische Zähigkeit
[m/s]
[9.81 m/s2]
[m]
[m2]
[m]
[m]
[1.0 * 10-3 m]
[1.3 * 10-6 m2/s]
Rauhigkeitsbeiwert
NICHT DER GLEICHE WIE BEI DER STRICKLERFORMEL!!!
allgemein für Kanalrohre aus Kunststoff mit Schächten:
kb = 1.0 mm
für gerade Leitungen ohne Schächte:
kb = 0.5 mm
für Leitungen mit seitlichen Anschlüssen und Schächten:
kb = 1.5 mm
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Listenrechnung nach Imhoff
Q = r * ψ * FA
Q
r
=
=
ψ
=
FA
=
Abflussmenge bei Regenwetter an einem bestimmten Punkt [l/s]
Regenintensität [l/s ha]
abhängig von:
- Dauer des Regens
- Ort
- Häufigkeit
Abflussbeiwert (< 1)
abhängig von:
- Bebauung
- geologischen Verhältnissen
- Terrainneigung
Fläche des Teileinzugsgebietes [ha]
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Schwerpunkt
Tabelle für Schwerpunktberechnung
Nr.
1
2
3
A
x
y
A*x
A*y
ATotal
(A*x)Total
(A*y)Total
=A1+A2+A3
=(A*x)1+(A*x)2+(A*x)3
=(A*y)1+(A*y)2+(A*y)3
A = Fläche
x = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in x Richtung, eines Teilkörpers
y = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in y Richtung,eines Teilkörpers
xs = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in x Richtung,
vom gesamten Körper
ys = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in y Richtung,
vom gesamten Körper
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Schwerpunkte
Dreiecke allgemein
rechtwinkliges Dreieck
Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid
Trapez
rechtwinkliges Trapez:
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Kreis, Kreisring
Schwerelinie: Durchmesser
Schwerpunkt: Im Mittelpunkt
Kreissektoren
Halbkreis
Viertelkreis
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Kreissegment
Kreisringsektor
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