Modélisation de l`invariance d`échelle des champs de pluie

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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
N° attribué par la bibliothèque
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THESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’INPG
Spécialité : « Océan, Atmosphère, Hydrologie»
préparée au
Laboratoire d’étude des Transferts en Hydrologie et Environnement
(LTHE, UMR 5564, CNRS-INPG-IRD-UJF)
dans le cadre de l’Ecole Doctorale Terre, Univers, Environnement
présentée et soutenue publiquement par
Abdou ALI
le 21/12/2004
Titre :
Modélisation
de l’invariance d’échelle des champs de pluie sahéliens
Application aux algorithmes d’estimation et aux études
de variabilité climatique
_______
Directeur de thèse :
Thierry LEBEL
JURY
M. Philippe BOIS
M. Christian ONOF
M. Michel DESBOIS
M. Gilles GUILLOT
M. Abou AMANI
M. Thierry LEBEL
Professeur Émérite, INPG, Grenoble
Professeur, Imperial College, Londres
DR CNRS, LMD, Paris
CR, INRA, Paris
PhD, Expert CRA, Niamey
DR, IRD, LTHE, Grenoble
Président
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
Résumé
Cette thèse se place dans une perspective de modélisation intégrée des champs de pluie sahéliens en
considérant l’événement pluvieux comme l’élément de base de la variabilité pluviométrique. La première
partie porte sur le développement d’un modèle géostatistique permettant de caractériser la variabilité
spatiale des champs de pluie sur une large gamme d'échelles temporelles. Pour ce faire, les variabilités
interne et externe des événements pluvieux ont été identifiées comme des invariants climatologiques et
caractérisées par leurs variogrammes respectifs ge et gI. A partir de ces deux éléments constituant le noyau
du modèle, une relation analytique permet de déduire le variogramme gZ des champs pluri-événementiels
en fonction du nombre d’événements. La deuxième partie combine l’expression théorique de la variance de
krigeage déduite du modèle développé dans la première partie et le résultat d’une intercomparaison de
méthodes d’interpolation optimale pour étendre sur toute la bande sahélienne une fonction de l’erreur
d’estimation des pluies initialement établie sur la zone expérimentale EPSAT-Niger. Cette fonction
d’erreur a servi à évaluer les réseaux pluviométriques des pays sahéliens et à intercomparer des estimations
de pluie par satellite sur la région. La troisième partie présente les bases d’un modèle conceptuel régional
de simulation des pluies en zone sahélienne, prenant en compte la formation et la dynamique des systèmes
convectifs pluviogènes. Le modèle est basé sur le formalisme des processus de point et exploite une base de
données satellitales établie à partir d’un suivi automatique des systèmes convectifs de méso-échelle. A
terme, il servira à produire des scénarios pluviométriques aux échelles régionales pour tester l’impact
hydrologique ou agronomique de la variabilité climatique.
Abstract
This thesis concerns an integrated modeling approach to Sahelian rainfields by considering rain
events as the basic elements of rainfall variability. The first part relates to the development of a
geostatistical model, allowing the characterization of the spatial variability of rainfields over a broad range
of time scales. For this, the internal and external variability of rain events have been identified as
climatological invariants and have been characterized by their respective variograms ge and gI. From these
two elements which constitute the core of the model, an analytical relation makes it possible to deduce the
variogram gZ of the multi-event rainfields as a function of the number of events. The second part combines
the theoretical expression of the kriging variance deduced from the model developed in the first part and
the result of an intercomparison of optimal interpolation methods to extend an estimation error function
initially established on the EPSAT-Niger experiment region to all the Sahelian region. This error function
has been used to evaluate the rainfall networks in the Sahelian countries and to intercompare various
satellite rainfall products for the region. The third part presents the basis of a conceptual simulation model
for Sahelian rainfields at regional scale, taking into account the initiation and the dynamics of convective
rain systems. The model is based on the formalism of the point processes and uses a satellite data base
established from an automatic tracking of meso-scale convective systems. Upon completion, this model
will be used to produce rainfall scenarios at regional scales in order to test the hydrological or agronomic
impact of climatic variability.
i
Remerciements
Le financement de ce travail de recherche a été assuré par l’Institut de Recherche pour le
Développement (IRD) auquel je tiens à exprimer toute ma gratitude, ainsi qu’au service d’action
culturelle et scientifique de l’ambassade de France au Niger qui a initialement financé mes études de
DEA.
Il a été réalisé au Laboratoire d’étude des Transferts en Hydrologie et Environnement (LTHE) en
collaboration avec le Centre Régional AGRHYMET. Je remercie les deux directeurs successifs du
LTHE, Michel Vauclin et Jean-Dominique Creutin ainsi que les responsables de AGRHYMET, en
particulier Sidibé Ibrahima, responsable du Programme Majeur Information. Le Centre AGRHYMET
a fourni une partie des données utilisées dans ce travail
Au cours de cette thèse, j’ai bénéficié du soutien et de l’appui de nombreuses personnes que je
tiens à remercier très sincèrement.
En premier lieu, je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Thierry Lebel et Abou Amani pour
tout ce que je leur dois. Ils m’ont fait confiance depuis le premier stage que j’ai effectué au Centre
AGRHYMET dans le cadre d’un projet commun AGRHYMET/IRD. Leur expérience et leur
compréhension de la variabilité des pluies au Sahel ont beaucoup marqué ce travail et je les remercie
de l’efficacité de leur réponse à mes questions. Thierry Lebel a su, tout au long de ce travail,
m’accorder une liberté académique, ce qui m’a permis de développer certaines idées. Merci à Abou
pour nos nombreuses discussions les implications opérationnelles de mes travaux.
J’exprime ma reconnaissance à Philippe Bois d’avoir assuré la présidence de mon Jury de thèse et
aussi parce qu’il a été mon enseignant d’Hydrologie statistique au DEA.
Je tiens à remercier Michel Desbois d'avoir accepté d'être rapporteur de cette thèse. Les
préoccupations exprimées au cours des réunions du groupe Précipitations Amma qu'il dirige m’ont
aidé dans l'orientation des applications de ce travail.
Je remercie vivement Christian Onof, Professeur à l’Imperial College de Londres, pour le plaisir
qu'il m'a fait en rapportant cette thèse. Il lui a ajouté un œil extérieur et les travaux sur les processus
de point de son équipe m'ont inspiré dés le début de ma thèse
Gilles Guillot m’a fait l’amitié de faire partie de ce jury. Au-delà de ce que je lui dois
scientifiquement, je tiens à le remercier tout spécialement pour son conseil précieux sur le choix des
outils adaptés à mon travail. Mes discussions avec lui restent toujours des sujets de réflexion très
enrichissants.
Une mention particulière doit être accordée à Henri Laurent sans qui il ne m’aurait pas été
possible d’utiliser les données satellitales issues du suivi des systèmes convectifs. Il a relu mon
manuscrit en français, qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance.
J’ai partagé pendant quatre ans, du DEA à la soutenance de thèse, le bureau et les mêmes
préoccupations de l’étude la variabilité pluviométrique au Sahel que Maud Balme. Je lui adresse ma
satisfaction et mon amitié pour ces temps passés ensemble. Je suis reconnaissant de l’aide qu’elle m’a
apporté avec Théo Vischel dans la préparation de ma soutenance.
Il ne serait sans doute pas possible de mentionner toutes les personnes impliquées dans ce travail
et je voudrais tout simplement dire grand merci à toutes. Je garde un bon souvenir des réunions
enthousiastes du groupe Amma du LTHE et l’équipe d’hydrométéorologie dont je tiens à remercier
tous les membres : Charles Obled, Christian Depraetere, Guy Delrieu, Isabelle Braud, Isabella Zin,
Marielle Gosset, Nadine Dessay, Nick Hall, Sylvie Galle, Sandrine Anquetin…
ii
J’exprime mon amitié à tous les doctorants du LTHE : Christophe Lavaysse, David Gélard,
Deveraj De Condappa, Eddy Yates, Guillaume Fourquet, Guillaume Nord, Laétitia Michel, Matthieu
Lelay, Noémie Varado, Romain Ramel, Véronique Guine,…ainsi qu’à Gaël Derive et Abdoulatif
Djerboua.
Merci à tous les membres du LTHE en particulier ceux de l’administration dont Agnès Agarla,
Brossier Martine, Elif Baggad, Odette Nave et Sylviane Fabry ainsi que l’informaticien Bruno
Galabertier. Je remercie Anne-Marie Boulier responsable de l’école doctorale Terre Univers
Environnement et Martine Barreau secrétaire pour leur gentillesse et leur disponibilité.
Je souhaite du courage à Moctar, Emmunel, Eric et Mohamed, thésards « africains » au LTHE.
La recherche se nourrit de collaborations. Je remercie très sincèrement les experts du Centre
Régional AGRHYMET avec qui j’ai eu des échanges très fructueux. Je remercie en particulier Somé
Bonaventure pour la mise à disposition des données. Patrick Bisson a suivi mon travail de recherche
depuis mon DEA, qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance.
Je remercie l’équipe IRD de Niamey pour l’accueil réservé lors mes séjours à Niamey, en
particulier Arona Diedhiou et Luc Descroix .
Que John Nicol, Ludovic Diasso et Harvey Harder qui ont relu les documents en anglais de ce
mémoire trouvent ici l’expression de ma gratitude..
Ma pensée va à Achène Semar, Enseignant à l’Ecole Nationale Polytechnique d’Alger qui m’a
ouvert la voie à la géostatistique à travers mon mémoire d’ingénieur. Je remercie mes enseignants de
L’INPG Grenoble, en particulier Rémy Garçon qui a été mon Professeur d’hydrologie approfondie.
Alain Morel a effectué le déplacement pour assister à ma soutenance, cela m’a beaucoup touché et
qu’il en remercié.
Enfin grand merci à Abbas Mahamane et du courage à Nassirou.
iii
TABLES DES MATIERES
Résumé - Abstract
i
Remerciements
ii
Tables des matières
iv
I. Présentation générale
1
I.1 Introduction
3
I.2 Contexte climatologique
5
I.2.1 Climatologie actuelle
5
I.2.2 Les systèmes pluvieux sahéliens : les systèmes convectifs au cœur
d’une interaction complexe
5
I.2.3 Quelques éléments essentiels du régime pluviométrique sahélien
I.3 Problématique scientifique de la thèse
7
8
I.3.1 Problématique de la modélisation
8
I.3.1 Intégration des données disponibles
9
I.4 Composition du mémoire
10
II. Modélisation de l’invariance d’échelle des champs de pluie sahéliens
13
II.1. introduction
15
II.2 Etapes clés du développement mathématique du modèle d’invariance d’échelle
16
II.3. Le modèle d’invariance d’échelle
17
4. Enjeux et portées d’un tel développement
19
Article: Invariance in the Spatial Structure of Sahelian Rain Fields
at Climatological Scales
21
III. Evaluation des incertitudes d’estimation et validation
des produits pluviométriques
39
III.1 Introduction
41
III. 2 Fonction d’erreur
42
III.2.1 Interpolation optimale des champs de pluie au Sahel
43
III.2.2 Evaluation et intercomparaison des méthodes
d’interpolation optimale
44
III.2.3 Dérivation de la fonction d’erreur
45
III.3 Evaluation des réseaux sol et intercomparaison de produits satellitaux
48
III.3.1 Evaluation du réseau CILSS
48
III.3.2 Evaluation et intercomparaison des produits pluviométriques
49
iv
Article : Rainfall Estimation in the Sahel. Part 1 : Error Function
53
Article : Rainfall Estimation in the Sahel. Part 2 : Evaluation of Raingauge
Networks in the CILSS Countries and Objective Intercomparison
of Satellite Rainfall Products
77
IV Modèle conceptuel pour des études climatiques régionales
97
IV.1 Introduction
99
IV.2 Méthodes de simulation des champs de pluie
99
IV.2.1 Les modèles déterministes
99
IV.2.2 Les modèles statistiques mécanistes
100
IV.2.3 Les modèles géostatistiques : au delà du cadre gaussien
ou gaussien anamorphosé
100
IV.2.4 Les algorithmes passe-partout
102
IV.2.5 Les modèles fractals
103
IV.2.6. Les processus de poisson
103
IV.3 Modèle conceptuel régional des systèmes pluvieux au Sahel
105
IV.3.1 Modèle conceptuel
105
IV.3.2 Structures spatio-temporelles des naissances
105
IV.3.3 Conception du modèle
106
Article : Towards a Conceptual Regional Model for Sahelian Rainfields
V. Conclusion
109
121
V.1 Principaux résultats
123
V.2 Perspectives
125
v
I. Présentation Générale
Présentation générale
3
I.1 Introduction
Une analyse à l’échelle mondiale, sur les changements annuels et saisonniers des
précipitations (Hume et al. 1992), suggèrent que les deux traits les plus marquants de la deuxième
moitié du vingtième siècle seraient l’accroissement des précipitations, allant jusqu'à 20%, en
Russie septentrionale, mais surtout la réduction des pluies sur l’Afrique de l’Ouest, comprise entre
20 et 50%.
La vulnérabilité de l’Afrique de l’Ouest à cette sécheresse qui sévit depuis les années 1970
(Nicholson et al. 1998 ; Le Barbé et al. 2002) et les préoccupations croissantes sur une possible
modification durable du régime pluviométrique (Lebel et al. 2003) mènent hydrologues et
climatologues à se poser deux grands types de questions : i) comment et avec quel degré de
précision peut-on procéder à un suivi en temps réel ou peu différé de la pluie au Sahel, ceci afin
de répondre aux besoins d’une large communauté d’utilisateurs confrontée aux effets de cette
sécheresse persistante (suivi des campagnes agricoles, gestion des ressources en eau, programmes
d’aide alimentaire) ; ii) comment et avec quel degré de signification peut-on caractériser les
fluctuations interannuelles et intra-saisonnières des champs de pluie au Sahel et d’éventuelles
modifications du régime pluviométrique.
L’étude du régime pluviométrique sahélien et du cycle hydrologique associé est liée à trois
enjeux majeurs. Le premier est d’ordre socio-économique à l’échelle de la région. L’agriculture
non irriguée est de loin la première activité des pays de cette zone et la sécheresse persistante a
conduit à des situations très dramatiques. Les séquences sèches les plus intenses (celles de 19721973 et 1983-1984) ont décimé la moitié du cheptel sahélien et causé des milliers de victimes,
ainsi qu’un exode durable vers les centres urbains. Cette situation a conduit à la création
d’institutions régionales pour mieux gérer les effets des accidents climatiques, dont le Centre
régional AGHYMET, mis en place par le Comité Inter-Etats de Lutte Contre la Sécheresse au
Sahel (CILSS) et basé à Niamey au Niger. Le second enjeu résulte du rôle joué par la ceinture
sahélo-saharienne dans le climat global de la planète. Les modifications de grande échelle du
bilan d’énergie associées aux sécheresses peuvent en effet avoir des répercussions sur le climat
d’autres régions. Le troisième enjeu tient à la configuration particulière de la région. Les
caractéristiques géographiques (plus de 3 millions de km² en un seul tenant, répartition zonale de
la végétation, fort contraste Océan-Continent) de la région concernée font du climat sahélien un
cas d’étude particulièrement intéressant pour la communauté scientifique. Alors que les processus
individuels constituant le noyau de ce système climatique sont raisonnablement bien connus et
compris, leurs interactions restent à étudier de manière systématique.
Une abondante littérature existe sur les tentatives d’explication des causes et des mécanismes
de la variabilité pluviométrique au Sahel. Les rôles des surfaces des océans (Palmer 1986 ; Lmab
and Peppler 1992 ; Janicot et al. 1996 ; Fontaine et al. 1998 ; Ward 1998 ; Rowell 2001), des
surfaces continentales (Charney et al. 1997 ; Semazzi and Sun 1997, Zheng and Eltahir 1998 ;
Wang and Eltahir 2000) et des structures atmosphériques (Burpee 1972 ; Reed et al. 1977 ; Cook
1997 ; Thornroft and Blackburn 1999 ; Diedhiou et al. 1998, 1999) ont été examinés. Tous ces
facteurs interagissent de façon complexe et Lebel et al. (2003) ont proposé de distinguer un
"régime océanique" et un "régime continental" dans le cycle saisonnier. Le premier correspond à
4
la phase préliminaire de la saison des pluies où dominent les apports d’énergie liés au chauffage
sur le golfe de Guinée, tandis que le second est associé à la domination des gros systèmes
convectifs mobiles comme source principale de pluviométrie.
Par ailleurs, cette littérature s’accompagne d’une quantité sans cesse croissante de données de
nature et d’échelle variées. Ces données proviennent, d’une part, de diverses observations de
terrain. Les expériences GATE (Global Atmosphere Tropical Experience, 1974) et COPT81
(COnvection Profonde Tropicale, 1981) ont produit des données essentielles à la compréhension
et à la paramétrisation de la convection dans la Mousson Africaine (MA). En zone sahélienne,
d’un côté, Hapex-Sahel (Hydrological and Atmospheric Pilot Experiment in the Sahel, 1992),
était focalisé sur les interactions entre surfaces continentales et atmosphère, et de l’autre, EPSAT
(Estimation des Précipitations par Satellite, initié en 1990 et qui se poursuit encore) se concentrait
sur la caractérisation des systèmes précipitants. D’autre part, diverses missions satellitales
(METEOSAT, NOAA, TRMM, GOES, LANDSAT, SPOT, ENVISAT…), dotées de capteurs de
plus en plus sophistiqués, fournissent des données précieuses sur l’atmosphère et l’environnement
terrestre qui peuvent être combinées aux données climatologiques, archivées de longue date par
les pays nationaux. Il faut souligner néanmoins que, malgré ces progrès, aucun moyen de mesure
ne peut prétendre couvrir à lui seul toutes les échelles intervenant pour décrire la variabilité
pluviométrique et son impact.
Cette situation impose de mettre en œuvre des modélisations de pluie capables d’intégrer des
données d’échelles et de portées différentes. Cette thèse, dont l’objectif général est de rendre
compte de la variabilité pluviométrique en identifiant des invariants, se place dans cette
perspective. Elle s’appuie, dans un premier temps, sur des observations fines de champs
pluviométriques acquises à partir de 1990 grâce à l’expérience EPSAT-Niger. Ces données
permettent d'accéder à la variabilité d'échelle kilométrique (échelle des cellules convectives) et
intra-saisonnière (liée à la montée de la mousson et à la fréquence de formation des systèmes
convectifs). Ensuite, les données pluviométriques journalières des réseaux nationaux, archivées
depuis 1950, donnent une idée de la structure des champs pluvieux sur toute la sous-région
sahélienne. La combinaison des ces deux sources d'informations de résolution différente permet
d'étudier des propriétés d'invariance d'échelle, caractérisant la variabilité interne des champs
pluvieux. Enfin, on dispose d'une base de données issue d'un suivi ("tracking") des systèmes
convectifs de méso-échelle (SCM) observés par satellite géostationnaire sur la région. On peut
ainsi étudier les naissances, le cycle de vie et la taille de ces systèmes convectifs et modéliser les
propriétés externes des champs de pluie associés. A partir de ces deux éléments, l'objectif est de
construire un modèle intégré de la variabilité pluviométrique permettant, d’une part, d’aborder des
questions d’estimation de la pluie et, d’autre part, d’étudier les variations du régime
pluviométrique en cas de modification de telle ou telle composante de la circulation
atmosphérique. Ces modifications peuvent soit correspondre à une variabilité climatique déjà
observée dans le passé (exemple : la sécheresse des années 70 et 80), soit à des scénarios pour le
futur.
5
I.2 Contexte climatologique
I.2.1. Climatologie actuelle
Après deux décennies (1971-1990) particulièrement sèches au Sahel, la période actuelle
(1991-2002) n’a pas vu le retour aux conditions humides des années 1950-1970 – mais des
différences avec la période précédente sont tout de même à signaler. Tout d’abord on a observé
deux années très pluvieuses (1994 et 1999) – proches des records observés et une année bien
arrosée (1998). Ensuite, comme le montre la figure I.1, une opposition est apparue entre le Sahel
Ouest – qui reste très sec – et le Sahel Est qui a vu, pour ce qui est de la moyenne interannuelle,
un retour à une meilleure pluviométrie.
Fig. I.1 Comparaison des isohyètes moyennes (200 mm, 500 mm, 1000 mm) pour les
périodes humide (1950-1969), sèche (1970-1989) et récente (1990-2002). On note l’apparition
de deux comportements différents entre le Sahel Est et le Sahel Ouest. Sur le Sahel Ouest,
la dernière décennie est très proche de 1970-1989, alors que sur le Sahel Est, elle est
souvent plus humide que la période 1970-1989, avec des valeurs proches de la moyenne long
terme (1950-2002). Entre la période humide 1950-1969 et la période sèche 1970-1989, on
assiste une descente d’environ un 1° en latitude des isohyètes vers le Sud. Le décalage est
assez important sur l’ensemble de la zone. Par contre à compter du début des années 1990, on
note une remontée des isohyètes de la partie Est par rapport à la partie Sud.
I.2.2 Les systèmes pluvieux sahéliens : les Systèmes convectifs de Méso-échelle au cœur
d’une interaction complexe
Les précipitations sahéliennes, essentiellement d’origine convective, résultent de l’interaction
complexe de multiples facteurs d’échelles différentes : i) facteurs régionaux (gradients d’énergie
liés au contraste entre l’océan et le continent et aux gradients de végétation sur le continent), ii)
6
éléments synoptiques (ondes du jet d’Est africain), iii) facteurs de méso-échelle (systèmes
convectifs) et localisés (végétation et reliefs).
Facteurs régionaux). La circulation méridienne advecte de l’air humide dans la couche de la
Mousson et ce à partir du Golfe de Guinée. De l’air plus sec est simultanément advecté dans la
troposphère moyenne en provenance du Sahara. Le conflit et le mélange des ces deux masses d’air
ont principalement lieu dans les basses couches de la Zone de Convergence Inter-Tropicale
(ZCIT). Il en résulte des gradients d’énergie dans la couche limite (e.g. Eltahir and Gong 1996 ;
Zheng and Eltahir, 1998 ; Fontaine et al. 1999). Ces gradients sont modulés par les conditions de
surface aussi bien océaniques que continentales et dépendent donc de la surface des mers et des
propriétés des paramètres de surface sur le continent tels que l’albédo, l’humidité des sols et le
couvert végétal. Notons par ailleurs que les précipitations saisonnières sur l’Afrique de l’Ouest
dépendent non seulement de la température de surface de la mer (TSM) dans l’Atlantique tropical
(Lamb 1978), mais aussi de la TSM à l’échelle globale (Folland et al. 1986 ; Rowell et al. 1995).
Des études récentes (Janicot et al. 2001 ; Rowell 2001 ) tendent à montrer que ce forçage par
l’océan a pu changer de nature à compter du début des années 70.
Éléments synoptiques). Sur le continent, la surface continentale rétroagit sur la pluviométrie à
différentes échelles spatiales et temporelles. Charney (1975) fut le premier à évoquer une possible
rétroaction de la dégradation du couvert végétal sur les pluies au Sahel, par le biais de la
modification de l’albédo. Plusieurs simulations à l’aide des Modèles de Circulation Générale
Atmosphérique (MCGA) ont montré par la suite, une certaine sensibilité de la Mousson Africaine
aux conditions de la surface continentale (champ des humidités des sols par exemple, voir
Douville et al. 2000). D’autre part les ondes 3-5 jours et 6-9 jours liées au Jet d’Est Africain
interagissent avec la convection (Thorncroft and Blackburn 1999 ; Diedhiou et al. 1999) en
modulant la localisation des systèmes convectifs et des précipitations.
Ces interactions d’échelles régionale et synoptique se résume en un régime moyen constitué
par deux sous-régimes (Lebel et al. 2003) : un régime océanique caractérisé par une augmentation
progressive du flux de l’humidité des océans sur le continent et un régime continental dans lequel
la pluie provient essentiellement de gros systèmes associés aux instabilités dans le Jet d’Est
Africain (JEA). Ce régime continental se met en place avec un saut brusque des pluies vers le
nord. Les précipitations dans ce régime sont apportées pour l’essentiel par quelques systèmes très
bien organisés, du type lignes de grains. 90% des pluies sont produites par 12% du nombre total
des systèmes (Mathon et al. 2002).
Éléments de méso-échelle). En ce qui concerne la méso-échelle, les reliefs constituent un
terrain privilégié pour l’initiation des systèmes convectifs, susceptibles d’évoluer en ligne de
grains (figure I.2). Mais le rôle des gradients d’humidité dans leur initiation et le maintien de leur
dynamique n’est pas encore bien étudié. Un aspect important souligné par plusieurs auteurs
(Desbois et al. 1988 ; Polcher 1995) est la distinction à établir entre systèmes convectifs de Mésoéchelle (SCM) et systèmes convectifs locaux. Les SCM sont des systèmes mobiles se déplaçant
d’est en ouest, avec éventuellement une composante nord-sud, à une vitesse moyenne de 50 à 60
km/h. Parmi ces SCM, c’est seulement une catégorie, appelés systèmes convectifs organisés
(SCO) représentant 12% des systèmes, qui est responsable de l’essentiel de la pluie de la saison.
Ces SCO comprennent les complexes convectifs de méso-échelle, ainsi que les lignes de grain.
Les SCO se distinguent des autres SCM par des caractéristiques tant dynamiques que
morphologiques (vitesse de déplacement, taille, forme).
Téléconnexions à l’échelle globale. A ces interactions d’échelle sur la région, s’ajoutent des
possibles téléconnexions à l’échelle du globe. La simultanéité de la canicule de 2003 en Europe et
7
d’une année exceptionnellement pluvieuse sur le nord du Sahel pourrait être une manifestation des
liens dynamiques entre le climat sahélien et le climat de l’Europe.
Comme déjà mentionné, ces différents facteurs sont aujourd’hui relativement bien
documentés, mais leur interaction est mal connue. Ces questions d’interaction sont au cœur du
programme AMMA.
Fig. I.2 : Répartition spatiale de la probabilité de naissance des systèmes convectifs
organisés, valeurs calculées sur la période 1990-1999. Les zones vertes représentent les
lieux de forte probabilité de naissance. On note une forte hétérogénéité spatiale. L’effet
du relief est bien présent (Plateau de Joss, Aïr), mais il existe aussi des zones de maxima
sans relief marqué, au Mali par exemple.
I.2.3 Quelques éléments essentiels du régime pluviométrique sahélien.
Le Sahel est correctement instrumenté en pluviomètres sur une zone comprise entre les
latitudes 11°N et 15°-16°N. Le cumul moyen de la pluviométrie interannuelle sur cette zone a une
organisation zonale quasi parfaite (figure I.1). La période sèche (1971-1990) a été caractérisée par
un glissement assez régulier des isohyètes vers le sud de 1° environ. La durée de la saison des
pluies, contrôlée par le mouvement saisonnier de la ZCIT, est d’environ 7 mois (avril à octobre)
sur le Sud de la région et de trois mois sur le Nord. A la latitude de Niamey (13°N), la saison des
pluies dure en moyenne un peu plus de 5 mois. La moyenne interannuelle du cumul saisonnier a
été de 650 mm sur la période humide 1950-1969 et de 490 mm sur la période sèche 1970-1989.
Sur les années récentes (1990-2002) analysées dans ce travail, la pluviométrie moyenne est
remontée à 515 mm, essentiellement du fait de quelques années plus humides en fin de période.
Le cumul de l’année la plus sèche (1990) a été de 400 mm et celui de l’année la plus humide
(1998, l’année du plus fort El-nino) d’environ 680 mm. Il faut noter que plus de 50% de ce cumul
annuel tombe sur une durée cumulée de moins de 4 h (Balme 2004). Quant à la variabilité intrasaisonnière, elle est caractérisée par un maximum de pluie pour les mois de juillet et août. La
dynamique saisonnière est marquée par un saut brutal vers le Nord pendant la dernière décade de
juin. Ce phénomène est appelé saut de Mousson (Sultan and Janicot 2000 ; Le Barbé et al. 2002).
Contrairement à une vision classique qui suppose un fort lissage spatial des champs de pluie pour
des pas de temps de cumul assez grands, la variabilité spatiale du champ de pluie saisonnier
8
demeure très forte comme le montre Balme (2004) dans son analyse synthétique du jeu de
données EPSAT-Niger. En 1992 par exemple, un gradient de 270 mm sur 9 km a été enregistré
dans le champ du cumul annuel. Ceci pose des problèmes d’interpolation, les réseaux nationaux
étant peu denses. Cette grande variabilité pourrait provenir en partie d’un effet de persistance
comme suggéré par Taylor and Lebel (1998). Par contre, la pluviométrie associée aux événements
pluvieux est caractérisée par une faible variabilité interannuelle des paramètres tels que la
fréquence de pluie nulle (26%), la moyenne événementielle (14 mm) et la variance (205 mm²). La
variabilité interannuelle du nombre d’évènements pluvieux est, elle, beaucoup plus importante et
explique la majeure partie de la variabilité interannuelle des cumuls saisonniers. Ces résultats que
nous avons obtenus à partir des données couvrant la période 1990-2002, confirment ceux de Lebel
et al. (2002) obtenus pour la variabilité décennale, la période sèche 1970-1997 s’étant caractérisée
par une forte baisse, surtout en août et septembre, du nombre moyen d’évènements pluvieux.
I.3 Problématique scientifique de la thèse
I.3.1 Problématique de la modélisation
La modélisation climatique, à travers des outils comme les modèles de circulation générale
atmosphérique (MCGA), rend bien compte de la dynamique grande échelle de l’atmosphère. Par
contre, elle n’est pas encore capable de produire des sorties de précipitation réalistes aux échelles
d’intérêt pour les hydrologues et les agronomes à cause des limites de la résolution. Dans ce
contexte, la modélisation stochastique se présente soit comme une approche alternative produisant
stochastiquement des séquences de situations humides ou sèches correspondant à des situations
déjà observées, soit comme une approche complémentaire – et c’est la plus prometteuse – en
reproduisant la variabilité pluviométrique requise dans la planification des ressources en eau et
agricole, tout en la conditionnant aux valeurs moyennes prédites par les MCGA ou estimées par
l’observation satellitale. Cela peut se faire soit par le biais de désagrégation des sorties des
MCGA, soit par le biais d’agrégation des modèles hydrologiques à qui on impose de respecter les
moyennes prédites par les MCGA. Donc, et loin de vouloir faire ressurgir ici un débat qui a le
plus souvent opposé partisans d’une modélisation mécaniste, soucieux de représenter la genèse
des phénomènes en cause et ceux d’une approche plus probabiliste, convaincus que les lois
déterministes ne peuvent décrire correctement des phénomènes complexes et hétérogènes, nous
dirons que le recours à des modèles probabilistes n'implique pas une foi en un hasard qui
régenterait le monde. Comme il est évoqué ci-dessus, il y a une vraie complémentarité entre la
modélisation stochastique et celle déterministe. Une même modélisation peut intégrer les deux
volets.
C’est avec cet esprit que nous abordons ce travail, en considérant l’événement pluvieux
comme l’élément de base d’une modélisation stochastique intégrée. Ce choix a un fondement
climatologique important au Sahel. Plus que nulle part ailleurs, les événements pluvieux se
présentent comme des objets individuels, facilement identifiables et dotés de caractéristiques
stables dans le temps et dans l’espace. A l’échelle événementielle proprement dite, des acquis
importants sont à souligner. La typologie des événements pluvieux sahéliens a d’abord été étudiée
par Amani (1995) et Amani et al. (1996). Sur cette base, Lebel et al. (1998) ont proposé un
9
premier modèle adapté à leur désagrégation spatio-temporelle. Guillot (1998) et Guillot and Lebel
(1999) généralisèrent ce travail dans un cadre mathématique rigoureux, qui maintient la cohérence
des différents aspects (spatiaux, cinématiques, hyétogrammes) des champs événementiels. La
désagrégation est conditionnée aux données ponctuelles mesurées. Onibon et al. (2004) ont
parachevé ce travail en conditionnant la désagrégation spatiale à la moyenne de l’événement via
l’algorithme de Gibbs. Pour capitaliser ces travaux aux échelles supérieures de temps et d’espace,
il convient de mener un travail de fond pour assurer les fondements théoriques de nouveaux
algorithmes.
Le problème est posé de deux manières. Tout d’abord, le cadre des travaux cités ci-dessus
relevant de la géostatistique, il s’agit d’exprimer la structure des champs de pluie issus des cumuls
d’événements en fonction des paramètres du champ de pluie événementiel. Le cadre
géostatistique a été choisi car, moyennant des hypothèses d’homogénéité, il permet de quantifier
les incertitudes associées aux estimations. Le passage de la structure événementielle à la structure
multi-événementielle fait appel à la notion d’invariance d’échelle. L’invariance d’échelle dans son
sens strict (auto-similarité et formalisme multifractal) implique toute absence d’échelles
caractéristiques dans le système étudié. Or il est bien clair que dans notre cas, l’échelle
événementielle est une échelle caractéristique. La notion d’invariance d’échelle est prise ici dans
un sens général, en la prolongeant dans un cadre plus souple, donc plus adaptable à des situations
réelles. Le cœur de notre démarche va donc consister à relier la géostatistique aux questions
d’invariance d’échelle.
Une seconde approche doit être envisagée pour passer à de grands domaines (tout le Sahel par
exemple), l’hypothèse de continuité spatiale de la variable régionalisée (le champ événementiel)
n’étant plus adaptée. On aura alors recours aux modèles objets, ce qui nous place dans le cadre
plus général des ensembles aléatoires.
I.3.2 Intégration des données disponibles
Les données disponibles pour ce travail se prêtent bien à la problématique décrite dans la
section ci-dessus. Nous avons trois sources de données différentes mais très complémentaires et
chacune apporte sa pierre dans la construction de l’édifice.
Données de Meso-échelle. A cette échelle, nous avons accès à la base de données de
l’expérience EPSAT-Niger (Estimation des précipitations par Satellite) qui a débuté en 1990 dans
la région de Niamey au Niger et qui se poursuit encore (Balme 2004). Le réseau de pluviographes
comptait entre 1990 et 1993 plus 100 appareils à acquisition numérique couvrant une superficie de
16,000 km². Un dispositif de suivi à long terme comprenant 30 pluviographes, a été maintenu
depuis lors et constitue un réseau de base. Cette instrumentation de méso-échelle a permis de
documenter la variabilité des champs de pluie aux échelles kilométriques dans l’espace et de
façon quasi continue dans le temps. Ce réseau, qui fournit un échantillonnage dense mais de
couverture spatiale limitée, est référencé ici par la notation E-N.
Au niveau régional, nous utilisons les données du réseau pluviométrique du Centre Régional
AGRHYMET, à Niamey (CRA) qui centralise les données des réseaux opérationnels des pays du
CILSS (Comité Inter-Etas de Lutte contre la Sécheresse au Sahel). Ce réseau (référencé ici par la
10
notation CILSS) couvre environ trois millions de km² et est constitué de près de 1200 stations,
mais 750 seulement en moyenne font parvenir leurs données au CRA chaque année. Sur ces 750,
une centaine présentent des lacunes qui les rendent inexploitables et on dispose donc en moyenne
de 650 stations réellement utilisables chaque année. Ces données constituent une longue
chronique temporelle (depuis 1950). Par conséquent, bien que beaucoup moins dense que le
réseau précédent (1 station tous les 5000 km² en moyenne sur le Sahel et 1.5 station tous les 2500
km² sur la partie Sud, contre 1 station pour 400 km² pour le réseau E-N), le réseau CILSS
constitue une source d’informations complémentaire indispensable pour, d’une part, appréhender
la variabilité interannuelle ou décennale et, d’autre part, pour disposer d’une vision spatiale des
champs de pluie à des échelles plus larges. Chacun de ces deux réseaux représente à son échelle,
le meilleur de la région.
A partir du réseau CILSS, on sera amené à distinguer deux sous-réseaux. Les données du
réseau CILSS ne sont totalement disponibles que plusieurs semaines après la fin de la saison des
pluies. C’est pourquoi les experts du centre AGRHYMET s’appuient sur un réseau moins fourni,
constitué par les données qui leur parviennent en cours de saison (théoriquement chaque 10 jours),
pour effectuer le suivi opérationnel de la compagne hydro-agro-sylvo-pastorale. Ce réseau
d’environ 250 postes est le réseau de suivi, noté CRA. Le deuxième sous-réseau est le réseau
synoptique. Ses données sont en principe transmises quotidiennement à tous les opérateurs
nationaux et régionaux dans le monde via le Système Mondial de Télécommunication (SMT).
Dans la réalité, toutes les stations synoptiques (environ 80) des pays sahéliens ne sont pas
transmises sur le SMT, pour différentes raisons techniques ou organisationnelles. Le sous-réseau
SYN considéré ici est celui de toutes les stations synoptiques, correspondant à l’échantillonnage
qui pourrait être obtenu des champs pluviométriques si le SMT fonctionnait à son niveau optimal.
Données satellites. Un suivi ("tracking") des systèmes convectifs de méso-échelle (SCM)
réalisé à partir des images du satellite METEOSAT (Mathon and Laurent 2001) donne accès aux
paramètres suivants des SCM: durée de vie, taille, vitesse de déplacement, direction, lieu de
naissance. De plus, une analyse croisée de cette base avec celle d’EPSAT-Niger a permis de
discriminer les SCM pluviogènes responsables de plus de 90% de la pluie sur la zone. Cette
catégorie de SCM a reçu le nom des systèmes convectifs organisés (SCO) et les caractéristiques
de ces SCO serviront pour identifier à partir de la seule donnée satellite un événement pluvieux
(Mathon et al. 2002). Un SCO est un SCM dont la vitesse moyenne de déplacement est supérieure
à 10 ms-1, la taille atteinte au seuil en température de 213 K est supérieure à 5000 km² et la durée
de vie est supérieure à 3 h.
Un des objectifs majeurs de ce travail est d’élaborer une modélisation multi-échelle capable
d’intégrer de façon cohérente ces données de natures et d’échelles différentes à des fins
d’estimation et de simulation .
11
30
Réseaux nationaux
Tracking des événements pluviogènes (SCO)
par image satellite
25
20
15
10
5
0
MésoMéso-échelle: réseau dense EPSATEPSAT-Niger
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Fig. I.3. Les trois sources de données utilisées dans ce travail.
I.4 Composition du mémoire
Le mémoire est rédigé sous forme d’articles. Il est articulé en trois parties. La première
propose une modélisation par invariance d’échelle des champs de pluie, dans un cadre
géostatistique. L’essentiel de cette partie est contenu dans un article paru dans Journal of
Hydrometeoroloy (2003) et intitulé « Invariance in the Spatial Structure of Sahelian Rainfields
at Climatological Scale ». Cette partie constitue le fondement conceptuel de la thèse. L’intérêt à
la fois théorique et pratique du modèle proposé est analysé. Les applications de ce formalisme
constitue la deuxième partie du mémoire consacrée au développement d’un modèle d’erreur qui a
servi à évaluer des produits pluviométriques opérationnels sur la région. Ce travail est présenté
dans une série de deux articles soumis à Journal of Applied Meteorology : « Rainfall estimation
in the Sahel. Part 1: Error Function » et « Rainfall estimation in the Sahel. Part 2: Evaluation
of CILSS countries Raingauge Networks and Objective Intercomparison of Satellite Rainfall
Products ». La troisième et dernière partie de la thèse porte sur le développement d’un modèle
conceptuel pour des études climatiques régionales. Cette partie n’est pas encore soumise pour
publication, mais une ébauche d’article, « Towards a Conceptual Regional Model for Sahelian
Rainfields », en constitue la trame.
II. Modélisation de l’invariance d’échelle
des champs de pluie sahéliens 1
1
Article : Invariance in the Spatial Structure of Sahelian Rain fields at Climatological Scales . Ali, Lebel, Amani, 2003.
Journal of hydrometeorology 4(6), 996-1011.
Modélisation de l’Invariance d’échelle des champs de pluie sahéliens
15
II.1 Introduction
Les systèmes convectifs matérialisent le lien entre l’environnement grande échelle et la pluie.
La pluviométrie associée à ces systèmes convectifs a des caractères relativement stables, qu’on
soit en année humide ou sèche, même si par ailleurs les champs de pluie constitués par des cumuls
d’événements, présentent eux une grande variabilité sur une large gamme d'échelles temporelles:
variabilité décennale associée à la sécheresse 1970-1997; variabilité interannuelle incarnée par
l'année 1994, seule année humide au sein de la période précédente; variabilité intra-saisonnière
(arrêt brutal de la mousson de l'année 2000) et enfin intermittence au sein des événements
pluvieux. Le Barbé et al. (2002) montrent que la différence entre années sèches et humides est liée
à une fluctuation importante du nombre d’événements pluvieux, leur intensité moyenne
demeurant relativement constante. La figure II.1 montre également que les différents
variogrammes climatologiques annuels des cumuls événementiels sont assez semblables pour la
période 1990-2000, qui comprend autant d’années très humides (1994, 1998, 1999), très sèches
(1990, 1997, 200) et d’années moyennes (1991, 1992, 1995, 1996).
L’organisation spatiale des cumuls de pluie au Sahel est, en fait, commandée par deux
processus dominants. Tout d’abord, les événements pluvieux sont associés à des systèmes
convectifs organisés (Mathon et al. 2002) en nombre relativement faible (12% seulement de
l’effectif total des systèmes), mais qui apportent plus de 90% de la pluie totale de la saison. Ils
sont identifiables par satellite (Mathon and Laurent 2001). Ces systèmes se développent dans une
circulation d’Est, ce qui engendre une anisotropie marquée des champs de pluie événementiels :
les distances de corrélation sont plus importantes selon l’axe Est-Ouest que selon l’axe Nord-Sud.
Aussi, conformément au schéma de Austin et Houze (1972), les systèmes convectifs de mésoéchelle pluviogènes, sont organisés en un emboîtement de structures d’échelles différentes
(cellules convectives, front convectif, partie stratiforme). La variabilité des pluies associée à ces
processus constitue la variabilité interne de l’événement pluvieux (ou variabilité interne, tout
court). A plus grande échelle de temps, et c’est le deuxième processus important, la climatologie
régionale est contrôlée par les mouvements saisonniers de la ZCIT, ce qui implique des structures
d’échelles dominées par une dérive Nord-Sud. Cette variabilité peut être qualifiée de variabilité
externe aux événements.
Se basant sur ces deux variabilités caractérisant l’organisation interne et externe des
événements pluvieux au Sahel, le but recherché dans cette première partie de la thèse, est de
développer un modèle d’invariance d’échelle dans un contexte géostatistique qui, d’une part, soit
capable de décrire la variabilité totale des champs de pluie pour des pas de temps supérieurs à
l’événement pluvieux et, d’autre part, servira d’outil permettant de lier la variabilité climatique et
la variabilité spatiale des pluies aux échelles hydrologiques. Le modèle est calé de manière
robuste à l’échelle de l’événement pluvieux (la taille des échantillons étant grande à cette échelle,
par exemple 470 contre 11 à l’échelle du pas de temps annuel, quand on considère les 11 années
de EPSAT-Niger). Il permet ensuite le passage aux échelles supérieures (pluri-journalière à pluriannuelle). Pour ce faire, les deux variabilités (interne et externe) sont considérées comme des
invariants climatologiques des systèmes pluvieux. Elles sont représentées par les variables
H (cumul de pluie événementielle) et I (variable indicatrice l’événement pluvieux). La variable
16
I indique s’il y a eu événement (quand elle prend la valeur 1) ou pas (quand sa valeur est égale à
zéro). Chacune des deux variables est caractérisée par son variogramme g e et g I en tenant
compte des emboîtements d’échelles et des anisotropies, précédemment cités. Le modèle global
est une fonction de ces deux éléments invariants ( g e et g I ) et le facteur d’échelle est le nombre
total d’événements ( N T ) enregistré pendant la période DT sur la zone considérée.
scaled variogram
1.6
1.2
0.8
0.4
0
0
20
40
60
80
100
120
distance (km)
Fig. II.1 : Variogrammes climatologiques pour les
années 1990 à 2000 construits à partir des données
EPSAT-Niger. Ces variogrammes varient peu entre années
sèches et années humides.
II.2 Etapes clés du développement mathématique du
modèle d’invariance d’échelle
La définition générale du variogramme g d’un processus bidimensionnel Z est comme suit :
1
g Z ( x, y ) = Var[Z ( x) - Z ( y )]
2
(II.1)
avec x et y deux points de l’espace et Z le cumul de pluie enregistré pendant une période
DT (jours, décade, mois, …, etc.)
II.2.1 Première étape clé: décomposer Z en H et I
La première étape clé du développement consiste à décomposer le champ Z en deux
variables H et I représentant respectivement les deux types de variabilité décrits au paragraphe 1.
17
H est le cumul de pluie par événement et I la variable indicatrice de l’événement (1 ou 0 selon
que l’événement est passé à la station x ou pas). On pose alors :
Z ( x) =
N ( x)
NT
k =1
k =1
å H k ( x) et N ( x) = å I k ( x)
(II.2)
II.2.1 Deuxième étape clé: décomposer N (x) en N xy , N x
'
Le nombre d’événements N ( x) touchant le point x est décomposé en un nombre
d’événements N xy qui touchent à la fois x et y , et N x' qui touchent seulement x mais pas y .
Au point y , N ( y ) est également décomposé en N xy , et N y' qui touchent seulement y .
Autrement dit :
N ( x) = N xy + N x' et N ( y ) = N xy + N y' .
(I.3)
Après ces deux étapes de décomposition clé, la variable Z est remplacée dans l’expression
(I.1) par les différentes sous-variables ( H , I et N ) et le reste du problème devient une question
de calcul mathématique. L’hypothèse fondamentale qui est faite, est l’indépendance entre les
cumuls de pluie enregistrés en un point d’un événement à l’autre. Cette hypothèse est tout à fait
soutenable et elle diffère de celle considérant l’indépendance entre les événements, qui, elle, est
moins soutenable comme nous le verrons dans la partie 3 de cette thèse.
II.3 Le modèle d’invariance d’échelle
Le résultat final du calcul dont les détails se trouvent dans Ali et al. 2003, donne le modèle
d’invariance d’échelle de la structure spatiale des champs de pluie, résumé par la relation
suivante :
g~Z Ne = N T
{
1
2
}
{
[ mI1 + m I 2 ]g~e + [(s e ) 2 + (me ) 2 ]g~I - g~eg~I + N T ( N T - 1)
(1)
1
2
(me ) 2 (m I 2 - mI1 ) 2
}
(I.4)
(2)
g~Z Ne est le variogramme pour un champ Z composé de N événements.
me , s e et g e sont la moyenne, la variance et le variogramme de l’événement pluvieux,
mI et g I sont la moyenne et le variogramme de l’indicatrice. Tous ces éléments sont
considérés climatologiquement invariants. N T est le nombre total d’événements sur la
zone pendant la période DT considérée et représente le facteur d’échelle de cette relation
d’invariance d’échelle.
18
Dans cette équation on peut noter que N T est effectivement un facteur d’échelle qui permet à
lui seul de passer de l’échelle événementielle aux échelles N T -événementielles. Mais ce facteur
intervient de deux manières : i) si le champ est stationnaire le second terme s’annule et le facteur
d’échelle est simplement en N T ; ii) si le champ est non stationnaire, le facteur d’échelle est une
fonction quadratique de N T [i.e en N T ( N T - 1) ]. La stationnarité ou non dépend seulement de mI
(qui est la moyenne de l’indicatrice). La stationnarité correspond à mI indépendant de la position
du point dans l’espace, ce qui revient à dire que la probabilité d’avoir un événement est constante
dans l’espace. Cette hypothèse est valable dans la direction Est-Ouest, où nous pouvons
considérer qu’il n’y a pas de gradient systématique en mI . Par contre dans la direction Nord-Sud,
la probabilité d’avoir un événement diminue systématiquement du Sud vers le Nord. La dérive
étant alors une fonction quadratique de N T , devient rapidement prépondérante quand N T devient
grand. C’est la situation observée en analysant les données réelles.
La validation a été effectuée avec succès sur les données EPSAT-Niger et celles de Centre
Régional AGRHYMET (figure II.2). Il n’était pas possible, sans utilisation de données
satellitaires, de différencier l’intermittence interne de l’intermittence externe ; H représentait la
variable conditionnelle : H * = H / H > 0 , c’est-à dire les valeurs de pluie non nulles et
I indiquait si la pluie enregistrée était nulle ( I = 0 ) ou non ( I = 1 ).
Fig. II.2. Exemple de validation du modèle d’invariance d’échelle. Le variogramme
expérimental correspond au variogramme moyen décadaire calculé à partir des données du
réseau pluviométrique du Niger pour la période (JAS). Le nombre d’événements N T dans
le modèle théorique est pris égal à 4.
19
II.4 Enjeux et portées d’un tel développement
Les enjeux d’une telle modélisation sont multiples. On va en passer quelques uns en revue ciaprès.
4.1) Robustesse et cohérence des variogrammes aux différentes échelles. La robustesse de la
méthode proposée vient du fait que le modèle est calé à une échelle où l’information est
abondante (échelle événementielle). Cette information est ensuite transférée vers les échelles
supérieures où on en a moins (échelle annuelle par exemple) par la relation d’invariance. La
cohérence est garantie de deux manières. D’abord de manière statistique : les champs de pluie
étant très variables, les variogrammes expérimentaux à partir d’une seule réalisation sont peu
robustes et mal structurés. Pour pallier cela, le variogramme moyen (Guillot and Lebel 1999) ou
le variogramme climatologique (Bastin et al. 1988) sont utilisés. Or le nombre d’événements
variant fortement d’un champ à un autre (par exemple d’un cumul mensuel à un autre), le
variogramme moyen n’est pas statistiquement cohérent. Cet inconvénient disparaît dans cette
nouvelle approche, le nombre d’événements étant explicitement pris en compte. Ensuite la
cohérence des variogrammes est garantie entre les différentes échelles, car ils sont liés par un
facteur d’échelle.
4.2) Quantification de l’erreur d’estimation. Traditionnellement les approches d’invariance
d’échelle sont abordées dans le domaine fractal. Dans ce travail, il est mené dans un cadre
géostatistique, ce qui permet d’aborder de manière optimale les questions de l’estimation et de la
quantification des incertitudes associées. En effet, grâce au réseau dense de pluviographes de
l’expérience EPSAT-Niger, il est démontré que cette variabilité temporelle des pluies est associée
à une forte variabilité spatiale dont l’impact hydrologique et agronomique est extrêmement
important (Peugeot et al. 1997 ; Balme et al. 2004 ; Lebel and Vischel 2004). Cette variabilité
spatiale pose des problèmes d'interpolation des champs pluvieux (les réseaux nationaux étant peu
denses), il est donc fondamental de disposer d’une fonction quantifiant l’erreur d’estimation. Cette
fonction d’erreur peut être déduite de la relation d’invariance. La deuxième partie de ce mémoire
est consacrée à l’exploitation de cette voie.
4.3) Estimation des pluies par satellite. La performance des algorithmes d’estimation des
pluies par satellite au Sahel est encore très insuffisante. La quantité de pluie qui arrive au sol est
très mal estimée. Mais des travaux récents (Mathon et al. 2002) permettent d’envisager la
possibilité de déterminer assez efficacement le nombre d’événements pluvieux à partir
uniquement de l’imagerie satellitaire. Il serait par conséquent possible de déterminer assez
objectivement la fonction de structure des champs de pluie pour une période donnée, uniquement
à partir de l’imagerie satellitaire. Ceci permet d’envisager de nouveaux algorithmes d’estimation
des pluies par satellite en combinant de manière optimale les possibilités du satellite et les
quelques informations pouvant être obtenues au sol, dans la perspective d’un suivi en temps réel
ou peu différé de la saison des pluies au Sahel.
4.4) Diagnostique des différentes échelles de variabilité. Le poids associé à chaque type de
variabilité (interne ou externe) pour une échelle donnée peut être quantifié directement à partir du
modèle. Par exemple en figure II.3, pour un cumul moyen de 40 évènements qui correspond à la
20
moyenne saisonnière au Sahel, on peut noter que l’intermittence interne prédomine pour les
distances inférieures à environ 150 km, alors qu’au delà la variabilité externe prend plus de poids.
4.5) Dans le cadre des changements climatiques, on pourrait anticiper la structure des champs
de pluie en se basant sur des informations sur la taille ou la dynamique des systèmes qui seraient
données par les MCGA pour des scénarios climatiques. Il est envisageable que de telles
informations soient disponibles dans un futur proche avec la synergie des efforts dans le cadre du
programme AMMA qui a pour objectif de mieux observer la mousson ouest africaine et ses
composantes, ce permettra de fournir des éléments pouvant aider à l’amélioration des MCGA.
Fig II.3. Proportion de la variabilité d’un champ de pluie moyen issu de 40
événements liée à l’intermittence du processus à l’échelle de l’événement. La variabilité
totale moins la variabilité interne de l’événement et celle liée au gradient climatique du
nombre d’événements représente la variabilité liée à l’intermittence du processus
.
Article
Invariance in the Spatial Structure of Sahelian
Rain fields at Climatological Scales
996
JOURNAL OF HYDROMETEOROLOGY
VOLUME 4
Invariance in the Spatial Structure of Sahelian Rain Fields at Climatological Scales
ABDOU ALI
IRD, LTHE, Grenoble, France, and Centre AGRHYMET, Niamey, Niger
THIERRY LEBEL
IRD, LTHE, Grenoble, France
ABOU AMANI
Centre AGRHYMET, Niamey, Niger
(Manuscript received 8 November 2002, in final form 21 March 2003)
ABSTRACT
The occurrence of rainfall in the semiarid regions is notoriously unreliable and characterized by great spatial
variability over a large spectrum of timescales. Based on analytical considerations, an integrated approach is
presented here in order to describe the spatial structure of rain fields for timescales used in climatological studies,
that is from the daily to the seasonal scales and beyond to the interannual scale. At the scale of the rain event,
two factors determine the spatial structure of rain fields. One is the spatial variability of the conditional rainfall
H* (H . 0), represented by its variogram g e* . The other is the intermittency, its spatial structure being described
by the indicator variogram g 1 . It is shown that the spatial structure of rain fields for time steps larger than the
event may be analytically derived from g e* and g 1 , taking into account the anisotropy and nonstationarity that
may affect either of these two functions, which are thus two timescale invariants of the rainfall process. The
upscaling factor used to obtain the structure at large timescales is the number of rain events recorded over the
period under consideration. An application using a large dataset of 450 Sahelian rain events observed with the
Estimation des Précipitations par Satellite (EPSAT)–Niger monitoring network is presented. The theoretical
model provides a good representation of the spatial variability observed in the data. The validation of the model
confirms that knowledge of the average event rain field structure and the number of events N is sufficient to
determine the structure of the N-event rain fields.
1. Introduction
Rainfall monitoring in semiarid regions of the world
remains a challenging problem, mostly because of the
intermittency of the rain process. This intermittency is
a source of great variability for rainfall in space, having
important consequences on agriculture, which is often
entirely composed of rain-based crops. This variability
also influences the water cycle and it is a main concern
for hydrologists and climatologists alike to understand
how this influence evolves depending on the timescale
considered. Are there critical spatial scales when upscaling from the daily scale used in water resources
modeling to the 10-day scale used in many crop models
and beyond to the seasonal scale used in many climatological studies? Another question is related to the
strong interannual variability characterizing the tropical
climates: are the characteristics of intermittency changCorresponding author address: Thierry Lebel, LTHE, BP 53,
38041 Grenoble Cedex 9, France.
E-mail: [email protected]
q 2003 American Meteorological Society
ing from a dry year to a wet year and if yes, in what
way?
Intermittency may be defined as an accumulation of
zero values in a given part of a study area. As such, it
is mostly apparent at the scale of the rain event. At this
scale, especially when convective rain is dominant, large
areas of zero rainfall are commonly embedded in rain
areas. When rainfall is accumulated over several events,
these areas of zero rainfall tend to disappear. At the
seasonal scale, for instance, there will be rainfall everywhere and, strictly speaking, intermittency has vanished. It is easy to conceive, however, that the intermittency of the underlying rainfall process must have
an influence on the structure of the rain fields at larger
scales: in the Sahel, Lebel et al. (1997) have observed
seasonal rainfall gradients of nearly 300 mm over 10
km in an area where rain average is about 500 mm. The
purpose of this article is to propose a framework allowing for a coherent representation of rain fields at the
various timescales of interest for climatological and water resources studies, taking into account the variability
DECEMBER 2003
997
ALI ET AL.
associated with areas of nonzero-event rainfall and that
associated to areas of zero-event rainfall.
Four elements led to the development of the approach
proposed here. First, in many regions of the world, especially where rainfall unreliability is a daily threat to
people, there is no radar monitoring of rainfall due to
the high cost of this technology. Therefore the data
available for the modeling are point data. Second, a
basic need for water resources management and water
cycle modeling is to be able to interpolate these point
measurements in order to produce areal rainfall estimates along with the uncertainty attached to these estimates. Third, in many water resources applications the
timescale of interest is the rain event and beyond. A
final and important point is that the algorithms used for
the interpolation should not be based on ad hoc parameters derived separately for various time steps; rather,
there must be some coherency in the interpolation models used, whatever the time step considered.
Scale invariance in rainfall modeling has become a
fruitful field of investigation over the past 15 years. A
whole corpus of theories emerged from the use of multifractal representations of rain fields, the focus being
on the small- time and space scales [see, e.g., Holley
and Waymire (1992); Gupta and Waymire (1993) for a
mathematical representation of rain fields as a random
cascade; and Foufoula-Georgiou and Krajewski (1995)
for a review of rainfall models based on concepts of
scale invariance]. The scaling properties at these scales
are essentially inferred from the study of spatial rainfall
data, mostly obtained from radar measurements (e.g.,
Wheater et al. 2000). As mentioned above, the context
of the study presented in this paper is somewhat different, the emphasis being on larger timescales documented from point observations. Previous work (e.g.,
Creutin and Obled 1982; Bastin et al. 1984; Kassim and
Kottegoda 1991) demonstrated that in such a context
geostatistics provide a convenient and efficient way of
characterizing some key properties of the rain fields that
need to be inferred for interpolation purposes. However
upscaling the geostatistical model characterizing a given
timescale to obtain models at larger time steps is not
very common in rainfall modeling, even though there
are well-known links between the multifractal theory
and the geostatistical theory (Federico and Neuman
1997; Deidda 2000). The use of the geostatistical framework in this paper results from a few theoretical and
practical considerations that are expressed in the following section 2, where point rainfall data are used as
illustration. Then in section 3, an analytical derivation
is given for indicator functions—describing the spatial
structure of the intermittency—used in the estimation
of the spatial structure of rain fields over a range of
scales. Some aspects of the model implementation are
examined in section 4 and a validation is presented in
section 5. Section 6 synthesizes the results obtained and
presents some possible applications.
2. General framework
The scaling approach proposed here was developed
in the context of a long-term monitoring program carried
out in the region of Niamey, Niger, where a network of
a 100 recording rain gauges was installed over a 16 000
km 2 area in 1990 (see map and details in section 5).
One important requirement of this approach is to provide a simple and direct computation of the uncertainty
associated with rainfall estimation (Lebel and Amani
1999). This is especially important in order to take into
account the effect of input errors in hydrological models
used to study the impact of rainfall variability on water
resources [see, e.g., Troutman (1983) for theoretical
considerations on how input rainfall errors produce biased estimates of mean runoff and of physical parameters in rainfall-runoff models]. This requirement is met
by identifying the covariance function—or for that matter the associated variogram—characterizing the spatial
structure of the rainfall process at the timescale of interest. The first step consists in identifying the variogram
at the scale of the rain event, using point sampling of
rainfall accumulation H over a rain event [see D’Amato
and Lebel (1998) for a definition of a rain event, typically lasting for less than 1 day].
The challenge is then to deduce the covariance functions at larger timescales, with a minimum of hypothesis
and parameters.
The variogram of a random process X is defined as
g (t1 , t 2 ) 5 1/2{Var[X(t 2 ) 2 X(t1 )] 2 },
(1a)
where t1 (x1 , y1 ) and t 2 (x 2 , y 2 ) are two points in the 2D
space.
The variogram of the event rainfall (H) will be denoted here g e :
g e (t1 , t 2 ) 5 1/2{Var[H(t 2 ) 2 H(t1 )]}.
(1b)
The inference of the theoretical variogram g is based
on the computation of an experimental variogram g averaged for classes of distances {h to h 1 Dh} using the
available realizations of the random process:
g(h; h 1 Dh) 5
1
2NJh
O O [X (t ) 2 X (t )] ,
N
Jh
k51
1
2
k
j
k
i
(2)
where J h is the number of pairs (t i , t j ) belonging to the
class {h to h 1 Dh} and N is the number of realizations.
The variogram provides a simple representation of
the spatial structure of a rain field at a given temporal
scale. It is conveniently used as a basis for interpolation
and estimation purposes [see Bacchi and Kottegoda
(1995) for a review on the identification of rainfall spatial correlation patterns with reference to the theory of
variograms]. In many applications, the inference of the
variogram is carried out directly on data accumulated
at the time step of interest. This may generate two types
of difficulties: (i) the greater the time step, the smaller
the number N of available realizations (in the case study
treated here, the value of N decreases from 450 at the
998
event scale to 11 at the annual scale), thus making the
inference less and less robust; (ii) there is no guarantee
of consistency between the different variograms inferred
for different time steps. Considering that the large number of realizations make the inference of g e robust, the
objective is then to find a theoretical framework that
will allow the derivation of the variogram of Z T from
the variogram of H, where Z T is the rainfall accumulated
over a period of length T (T being larger than 1 day).
This will be done by following the approach proposed
by Bras and Rodriguez-Iturbe (1976), which consists in
distinguishing the variability linked to the internal structure of the event rain fields from the external variability
linked to the life cycle of the convective systems. This
requires taking into account three important factors influencing the organization of rain fields—namely, intermittency, stationarity, and anisotropy—knowing that
the influence of these three factors changes depending
on the temporal scale considered. The method proposed
to upscale from the event scale to the T-scale (T varying
from a few days to 1 yr) must therefore be able to
correctly reproduce these changes.
a. Intermittency
T-day rain fields are the accumulation of a number
N T of event rain fields, that is at each location t(x, y),
the T-day rainfall Z T is expressed as
Z T (t) 5
O H (t),
NT
k
(3)
k51
where H k (t) is the rainfall of event k at location t(x, y).
The value H is an unconditional variable that can take
zero or nonzero values at point t.
An important point to stress here is that N T is a random function of T both in space and time. This implies
that, for a given period of length T, N T is a regionalized
variable. In other words not all the points of the study
area will record the same number of rain events, due to
the intermittent nature of the rain process at the event
scale. As visible in Fig. 1, intermittency is linked to
two factors: (i) there are areas of zero rainfall embedded
in the rainy areas (internal intermittency), and (ii) there
are areas that are not covered by the convective system
(external intermittency). One difficulty that will be addressed later in the paper is to separate the effects of
the internal intermittency from that of the external intermittency. They generally do not have the same spatial
structure and their respective weight in the spatial variability of a T-day rain field is a function of T. In the
Niamey region the average intermittency of the event
rainfall process over the study area is equal to 0.26. This
statistic is strongly dependent on the size of the study
area. The smaller the study area with respect to the
average size of the convective systems, the smaller the
external intermittency. On the other hand, if the study
area is too small, the sampling of the variability of the
VOLUME 4
rain fields is limited to a range of space scales that are
too small for hydrological applications. It is difficult to
find a proper trade-off between these two (E–N) constraints but the experience gained from Estimation des
Précipitations par Satellite (EPSAT)–Niger is that the
size of the study area should be of the same order of
magnitude as the average size of the rain-efficient convective systems. From the study of Mathon et al. (2002)
it can be deduced that the average size of the active
area of the convective systems producing 90% of the
rain over the Niamey region is around 20 000 km 2 ,
compared to a study area of 16 000 km 2 .
A direct consequence of intermittency on the estimation of the variogram at the T-day scale may be observed in Fig. 2. Theoretically, if the T-day rain field
was the accumulation of a constant number N T of independent events with the same spatial structure characterized by the variogram g e , then the spatial structure
of Z T , denoted g Ne , would be
g Ne (h) 5 N T*g e (h)
(4)
since the variances of independent realizations of a random process are additive.
Consequently the theoretical variogram N T*g e should
fit the experimental variogram g Ne computed from the
observations. This is clearly not the case in Fig. 2 where
the variograms were computed directionally in order to
eliminate possible anisotropy effects (see later for that
question). It is seen that in both directions N T*g e underestimates the experimental g Ne variogram. The derivation of g Ne from g e , is thus not straightforward and
requires some analytical work.
b. Stationarity
There are a number of reasons causing nonstationarity
of rain fields. In space, topography is a well-known and
major source of increased rainfall and variability in privileged directions. Other geographical factors cause nonstationarity, especially in tropical regions where the rain
field organization largely depends on the contrast between the oceans and the continents creating a monsoon
circulation. In flat regions, where there is no detectable
mean rainfall gradient at the event scale, it may appear
at larger timescales, as illustrated in Fig. 3. This is because the field of the number of events is not stationary
in space, its mean is increasing in a given direction as
shown in Fig. 4. In this case, averaging over latitudinal
bands 10-km wide, allows for a crude quantification of
the south-to-north gradient of the rain occurrence rate
(Fig. 5), this gradient being a consequence of the West
African monsoon dynamics (Le Barbé et al. 2002). Similar climatological characteristics are found in other regions of the world, causing nonstationarity and anisotropy of the monthly to seasonal rain fields, while stationarity may be an acceptable assumption at the event
scale.
DECEMBER 2003
999
ALI ET AL.
F IG . 1. (a) Internal intermittency—the zero-rainfall area (white) is imbedded in a nonzerorainfall area; and (b) external intermittency—the zero-rainfall area is outside of the area
covered by rainfall.
c. Anisotropy
Figure 6 shows two average event variograms computed for two orthogonal directions. The variability appears to be larger in the north–south direction than in
the east–west direction. This is linked to the average
east–west direction of displacement of convective systems (see Mathon and Laurent 2001) producing higher
correlations in that direction than in the north–south
direction. This kind of dominant direction of displacement of the convective systems is found in most of the
tropical regions. It has to be taken into account in the
expression of the variogram by distorting the Euclidian
space, using the following formula:
h5
! 12
h12 1
2
h2
,
a
(5)
where h1 and h 2 are the distances along two orthogonal
axes, and a is the anisotropy factor. The main directions
of anisotropy are chosen so as to maximize the differ-
1000
VOLUME 4
ence between the two directional variograms (Cressie
1994).
Nonstationarity and anisotropy are often linked but
not always. For instance the anisotropy of H in Fig. 6
does not necessarily involve nonstationarity in space.
On the contrary, the nonstationarity of N T (t) shown in
Fig. 5 is associated with an anisotropy which becomes
significant for T $ 1 month. This means that at smaller
timescales the dominant source of spatial variability is
that caused by the intrinsic variability of the event rain
fields, the effect of the variability of N T (t) being weak
in comparison.
3. Analytical derivation
a. General formulation
It follows from the examples given above that, from
both a climatological perspective and a statistical point
of view, a proper representation of the structure of the
T-day rain fields (represented by the variogram g Ne )
requires that the structure of N(t) be taken into account.
One way of doing so is to characterize the spatial structure of N(t) by a variogram—denoted g N . This was first
proposed by Lebel and Le Barbé (1997) who, in addition
to the variogram g e given by expression 1, define the
two other following variograms:
FIG. 2. Experimental and theoretical (N T* g e ) variograms computed
for N T 5 40 in two directions (angular tolerance of 308). The N T* g e
variogram underestimates the experimental variogram, especially at
large distances in the north–south direction.
g Ne (t 2 , t1 ) 5 1/2{E [(Z2 2 Z1 ) 2 ] 2 [E (Z2 2 Z1 )] 2} (6)
and
g N (t 2 , t1 ) 5 1/2{E [(N2 2 N1 ) 2 ] 2 [E(N2 2 N1 )] 2}, (7)
where N1 (N 2 ) is the number of events at location t1 (t 2 ).
Following the calculation given in the appendix, an
analytical relationship is found between g Ne , g e , and
g N:
FIG. 3. From 11 yr of EPSAT-Niger (E–N) observations at 30 stations computation of the map of the (a) conditional mean event rainfall
(avg of 450 events) and (b) mean annual rainfall (avg of 11 yr). A clear increasing meridional (north–south) gradient appears on the mean
annual rainfall map, which is not visible on the mean event rainfall map.
DECEMBER 2003
1001
ALI ET AL.
FIG. 4. (a) The mean annual rainfall (avg of 11 yr) produced by the rain events defined from the E–N network. These events are defined
from a spatial criterion (a minimum of 30% of operating stations must record rainfall) and thus the probability of observing an event is
larger at the center than on the borders of the network window. This window effect explains why the clear gradient visible in Fig. 3b is
attenuated here on the borders of the window. (b) The number of rain events recorded over the 11 yr; the meridional gradient is visible even
though the window effect makes it less visible on the west and east edges of the map.
g Ne 5 E(N12 )g e 1 {E [(N1 1 N2 )/2] 2 [E(N12 )]}s 2e
1 g N m e2 ,
(8)
where N12 is the number of events covering both t1 and
t 2 , and m e and s e are, respectively, the average and
standard deviation of the point event process.
In expression (8), E(N12 ) is a function of the 2D space
related to the mean size of the rain events and g N characterizes the spatial structure of the number of events
recorded during the period under consideration. Dealing
with expression (8) requires the ability to identify the
coverage of each event with respect to the study area
in order, to infer E(N i ) and E(N ij ). The greater T is, and
thus N T , the smaller the sample size available is for this
inference (this size is equal to K/N T , where K is the total
number of events observed during the period of study).
It is therefore necessary to find a formulation allowing
for a robust inference of these two functions, as far as
possible independently of the period T considered. In
the following, it is proposed to resort to the formalism
of indicator functions in order to reduce the previous
inconveniences in the method initially proposed by Lebel and Le Barbé (1997). This formalism was first used
by Barancourt et al. (1992) for delineating and estimating rainfall fields and then applied to the analysis
of Sahelian rainfall by Braud et al. (1994) at an hourly
time step, but no attempt was made to use it for retrieving the scale invariance properties of the rain process
as is proposed here.
b. Scaling structures based on indicator functions
The binary function I is defined as follows:
I k (t) 5
5
1 if H k (t) . 0 and
0 if H k (t) 5 0.
(9)
I is called the indicator variable of the regionalized variable H at threshold H 5 0 (Rivoirard 1988). It is used
to characterize the intermittency of H. From the definition given in expression (9), it follows that the number
of events at a given location t i—denoted N i—is defined
as the number of occurrences of nonzero rainfall at that
location:
Ni 5
O I (t ).
NT
k
i
(10)
k51
FIG. 5. The averages of the number of events computed over latitudinal bands 10 km wide. A model of meridional drift is fitted to
the central part of the curve, in order to remove the border effects.
No discrimination is made between zero rainfall occurring within the area covered by a convective system and
zero rainfall corresponding to the area outside of the
coverage zone. Since all the intermittency is included
1002
1O O I I 2 5 N (N 2 1)[E(I )] 1 N E(I )
NT
E
VOLUME 4
NT
2
2k 2k9
T
T
2
T
2
2
k51 k951
5 P1
1O O I I 2 5 N (N 2 1)[E(I )] 1 N E(I )
NT
E
(13)
NT
2
1k 1k9
T
T
1
T
2
1
k51 k951
5 P2
1O O I I 2 5 N (N 2 1)E(I )E(I )
NT
E
(14)
NT
2k 1k9
T
T
2
1
k51 k951
1 N T E(I2 I1 ) 5 P3
FIG. 6. Experimental variograms of the event rainfall (g e ), computed along two orthogonal directions [from Guillot and Lebel (1999),
angular tolerance of 308].
in the variable I the remaining variability at the event
scale is that of the conditional process H* 5 H | H .
0. The variogram to consider is thus the variogram of
H*, denoted g e* and defined as:
g *(t
e
1 , t 2 ) 5 1/2{Var[(H*(t 2 ) 2 H*(t1 )]}.
[1O
O I 2]
1
2 E 1O I 2 O I 2
]
2[
1
g (t , t ) 5 E 1O O I I 1 O O I I
2 [
22O O I I 2
]
I2k 2
NT
k51 k951
NT
1k 1k9
k51 k951
NT
2k 1k9
k51 k951
1
2 N 2T [E(I2 2 I1 )] 2.
2
Cov(I tk I tk9 ) 5 d kk9 Cov(I tk I t9k9 ),
5
1
0
E(N12 ) 5 N T* P12 ,
(12)
Assuming that the value recorded at station t for event
k is independent of that recorded for event k9, it follows
that
d kk9 5
(19)
(20)
Denoting E(I t ) 5 m It (the expectation of I at station
t), the probability of observing a nonzero event at station
t is P t 5 m It . For a total number of events N T over the
study area, the average number of nonzero events at
station t is N T*m It . Denoting P12 the probability that two
stations t1 and t 2 record nonzero rainfall for a given
event [P12 5 P(I1 . 0 and I 2 . 0)], then the expectation
of N12 is
1k9
2k 2k9
NT
g N (t1 , t 2 ) 5 N T*g I (t1 , t 2 ).
k951
NT
2
(18)
Defining the variogram of the indicator variable as
2
NT
2k
NT
1
2 N 2T [E(I2 ) 2 E(I1 )] 2 .
2
k951
k51
1
1
1 N T [E(I2 2 I1 ) 2 ]
2
1k9
k51
NT
N
(17)
the variogram of the number of events is related to the
variogram of the indicator variable by
2
NT
(16)
1
g N (t1 , t 2 ) 5 N T (N T 2 1)[E(I2 ) 2 E(I1 )] 2
2
1
1
g I (t1 , t 2 ) 5 E [(I2 2 I1 ) 2 ] 2 [E(I2 2 I1 )] 2 ,
2
2
1
1
g N (t1 , t 2 ) 5 E [(N2 2 N1 ) 2 ] 2 [E(N2 2 N1 )] 2
2
2
NT
g N (t1 , t 2 ) 5 (P1 1 P2 1 P3 2 P4 )/2
(11)
In the following g N , E[N12 ], E[N1 1 N 2 ], appearing
in Eq. (8) will be expressed as functions of I k (t1 ) and
I k (t 2 ), denoted I1k and I 2k , respectively:
1
5 E
2
N 2T [E(I2 2 I1 )] 2 5 P4 and
(15)
if k 5 k9, and
otherwise.
Since N T is a constant, the sums in the brackets take
the following form:
(21)
which is equivalent to
E(N12 ) 5 N T* E(I1 I2 ).
(22)
This involves
1
1
[E(N2 1 N1 )] 5 [E(N2 1 E(N1 )]
2
2
5
NT
[E(I2 ) 1 E(I1 )]
2
and finally expression (8) becomes
(23)
DECEMBER 2003
1003
ALI ET AL.
g Ne (t1 , t 2 ) 5 N T ^E(I1 I2 )g e*(t1 , t 2 )
2
1 {[E(I1 ) 1 E(I2 )]/2 2 E(I1 I2 )}(s *)
e
2
1 (m*)
g I (t1 , t 2 )&.
e
(24)
All the elements of this expression are invariant with
the period T considered except for N T . While s *e and
m*e characterize the probability density function (pdf )
of the conditional point event process, g *e characterizes
its spatial structure and g I the spatial structure of the
intermittency. Expression (24) may thus be viewed as
a scale-invariant characterization of the structure of the
rain fields at timescales larger than the event scale, with
N T being the upscaling parameter. One important advantage of this formulation is that the indicator variable
is defined at the scale of the rain event. Consequently
the inference of its parameters will be based on a large
number of realizations and it is independent of the timescale of interest.
Before validating the method on observations, there
are a few practical points to consider, as will be discussed in the next section.
I is stronger than that of H. This is especially the case
in semiarid regions where rainfall variability at climatological scales may primarily be caused by the fluctuations of the number of events rather than by those
of the mean event rainfall (Le Barbé et al. 2002).
The transformation of expression (24) is given below
for two cases: stationarity or nonstationarity of I.
1) STATIONARITY
g I (t1 , t 2 ) 5 E[(I 2 2 I1 )] 2 /2.
In the theoretical development presented above no
separation is made between the internal and the external
intermittency of the process even though they may have
very different characteristics. A theoretical separation
between the internal intermittency and the external intermittency can be made as follows. For a given event
k, let V k be the set of 2D space points t(x, y) belonging
to the domain covered by the event k. For any t(x, y)
∈ V k if H k (t) 5 0, this is the internal intermittency. If
t(x, y) ∈ V k , H k (t) is by definition equal to 0, which
leads to the definition of the binary function I as
1 if t(x, y) ∈ V k and
0 if t(x, y) ¸ V k .
(25)
Thus the variable H includes zero values when they are
observed within the area covered by the rain event and
the indicator variable I represents the external intermittency only. In pratice it is not easy to identify V k
although satellite data may be used to define the area
covered on the ground by a convective system during
its entire lifetime (see an example of this in Mathon and
Laurent 2001). Therefore in most applications the intermittency will have to be treated globally. When the
window of ground observation is sufficiently large the
external intermittency will usually be the predominant
factor, though it will be difficult to exactly assess in
what proportion.
b. Stationarity
Nonstationarity may affect either H, I, or both. In
many regions of flat topography the nonstationarity of
(26)
In addition the probability P t is constant and equal
to the mean of the indicator function m I . For a total
number of events N T over the study area, the average
number of nonzero events at any station t is constant
and equal to N T*m I . The stationarity of I also implies
that its covariance can be computed as
Cov(I1 , I2 ) 5 E(I1 I2 ) 2 E(I1 )[E(I2 )],
Cov(I1 I2 ) 5 E(I1 , I2 ) 2 (m I ) 2 .
a. Intermittency
5
I
When I is stationary, g I , defined in expression (19),
reduces to
4. Implementation and inference
I k (t) 5
OF
(27)
For a stationary process, the variogram and the covariance are related as follows:
g I (t1 , t 2 ) 5 Var(I ) 2 Cov(I1 , I2 ) and
(28)
Var(I ) 5 s 5 E(I ) 2 [E(I )] 5 m I (1 2 m I ). (29)
2
I
2
Thus,
g I (t1 , t 2 ) 5 m I (1 2 m I ) 2 E(I1 I2 ) 1 m I2 ,
E(I1 I2 ) 5 m I 2 g I (t1 t 2 )
and
1
[E(I1 ) 1 E(I2 )] 5 m I .
2
(30)
(31)
(32)
Introducing expressions (31) and (32) in expression (24)
it gives
2
2
g Ne 5 N T* {(m I 2 g I )g e* 1 [(s *)
1 (m*)
]g I}.
e
e
(33)
Note also that in this stationary case the probability
P12 that two stations t 1 and t 2 record nonzero rainfall
is equal to
P12 5 m I 2 g I (t1 , t 2 ),
(34)
and using expression (29), it may be easily shown that
P12 (h12 5 0) 5 m I and
2) NONSTATIONARITY
limP12 (h12 → `) 5 m I2 . (35)
OF
I
In the case of nonstationarity we are led to consider
two distinct variograms. One is the ‘‘true’’ variogram
g defined in Eq. (1a). The other is the raw variogram
defined as
1004
g̃ (t1 , t 2 ) 5 1/2^E{[X(t 2 ) 2 X(t1 )] 2}&
g̃ Ne 5 G1 (N T ) 1 G 2 (N T ) 1 G 3 (N T )
1
5 g (t1 , t 2 ) 1 ^{E[X(t 2 )] 2 E[X(t1 )]} 2 &.
2
(36)
For a stationary process, g̃ 5 g . However, for a nonstationary process, the variability measured by g̃ is larger
than the variability associated with g alone, since the
quantity {E[X(t 2 )] 2 E[X(t1 )]} 2 is greater than zero. In
fact, if one assumes the mean of the process to be a
deterministic trend, the raw variability of X is the sum
of two components: a deterministic component linked to
the function mX (t) 5 E(X t ), and a stochastic component
g«X, «X being classically defined as a stochastic residual
«X (t) 5 X(t) 2 mX (t).
(37)
Assuming the underlying deterministic trend to be
known with no error it is easy to show that
g (t1 , t 2 ) 5 g« X (t1 , t 2 ).
(38)
In practical applications a problem arises when m X (t) is
not known. In such a case it is impossible to compute
«X (t i ) at each sampling point t i and to study the true
variogram. Therefore only the raw variogram is accessible and it is thus important to compute the theoretical
formulations for both the true variograms of Z and I
(g Ne and g I ) and their raw variograms (g̃ Ne and g̃ I ).
The nonstationarity of I requires expression (28) to
become
1
g I (t1 , t 2 ) 5 (s 2I1 1 s 2I 2 ) 2 Cov(I1 , I2 ),
(39)
2
which, by combination with expression (31), yields
E [(I1 I2 )] 5 (m I1 1 m I 2 )/2 2 (m I1 2 m I 2 ) 2 /2
2 g I (t1 , t 2 ).
Replacing in expression (24) leads to
g Ne 5 N T*
VOLUME 4
(40)
(44)
with
G1 (N T ) 5
NT
[(m I 2 2 m I1 )g̃ e*],
2
2
2
G2 (N T ) 5 N T {[(s *)
1 (m*)
]g̃ I 2 g̃ e*g̃ I},
e
e
G3 (N T ) 5
NT
2
[(N T 2 1)(m*)
(m I 2 2 m I1 ) 2 ].
e
2
(44a)
(44b)
(44c)
It can be immediately noted that the raw variogram is
not scaled by N T . In fact the weight of the trend is N T (N T
2 1) as compared to N T for the stochastic component.
This indicates that in the raw structure of the cumulative
rain fields the weight of the trend will grow much faster
with distance than the weight of the stochastic component, ultimately shaping the rain field, as will be seen
in the next section.
c. Anisotropy
The anisotropy of g Ne may result from an anisotropy
affecting either the structure of the event rain fields
[g e*(t)] or the structure of the intermittency [g I (t) and/
or m I (t)]. There are several examples where the event
process may be considered isotropic, while the probability of occurrence of rain is anisotropic. In mountainous regions, the anisotropy may exist for both H and I
but for different directions. The formulation developed
earlier permits the influence of each type of anisotropy
in the overall anisotropy of g Ne to be quantified separately and the main axes of anisotropy to be determined
accordingly.
5. Validation on the EPSAT-Niger dataset
a. Elements of Sahelian rainfall climatology
5
1
[m 1 m I 2 2 (m I1 2 m I 2 ) 2 ]g e*
2 I1
2
2
1 [(s *)
1 (m*)
]g I 2 g e* g I
e
e
6
1
2
1 (m I1 2 m I 2 ) 2 (s *)
,
(41)
e
2
where g Ne , g *e , and g I stand for g Ne (t1 , t 2 ), g e*(t1 , t 2 ),
and g I (t1 , t 2 ), respectively.
It is easy to verify that, if m I1 5 m I2 then Eq. (41)
reduces to (33).
Consider now the raw variograms. First, since H* is
assumed stationary, g̃ *e 5 g e*. Then,
1
g̃ I 5 g I 1 (m I 2 2 m I1 ) 2 and
(42)
2
1
2
g̃ Ne 5 g Ne 1 N 2T m*(m
(43)
e
I 2 2 m I1 ) .
2
Using the two expressions above, Eq. (41) becomes
An experimental rainfall recording network (Fig. 7)
has been operated in the area surrounding Niamey, the
capital of Niger, since 1990, yielding 11 yr of high
space–time resolution data and providing a unique insight into the spatial variability of rainfall in semiarid
regions. Rain in the region is almost exclusively of convective origin. It falls as distinct events lasting for a
few hours. Between 1990 and 2000, 450 events were
recorded. The initial network (1990–93) comprises 107
gauges. This number was decreased to 34 in 1994. Spatial analysis was carried out using all the data at all the
stations (heterotop1 context). The identification of the
parameters of the distribution function is performed on
30 stations having operated continuously from 1990 to
2000 (shown by a combination of black dots and crosses
in Fig. 7).
Two important elements of Sahelian rainfall play a
1
Heterotop: not all the realizations of the random process are observed at the same points in the 2D space.
DECEMBER 2003
1005
ALI ET AL.
FIG. 7. The EPSAT-Niger network. Black dots are the gauges of
the dense network in operation from 1990 to 1993; open circles represent the 34 stations in operation between 1990 and 2000. The subset
of 30 stations used for computing the parameters of the event rainfall
distribution function are shown as crosses superimposed on black
dots.
role in the way the structure of the rain fields will evolve
with the timescale considered. First, as shown by
D’Amato and Lebel (1998), 50% of the rain events are
associated with mobile convective systems moving
westward at an average speed of 50–60 km h 21 . These
rain events produce more than 80% of the annual rainfall. It has therefore to be anticipated that, on average,
the spatial structure of the event rain fields will display
some anisotropy with higher ranges of correlation in the
east–west direction than in the north–south direction.
Hence, there is a decreasing south–north gradient of the
mean annual rainfall—evaluated at 1 mm km 21 by Lebel
et al. (1997), linked to the seasonal migration of the
intertropical convergence zone (ITCZ). This gradient is
associated with a decreasing probability of rain when
moving northward and thus the external intermittency
of the rain process is stronger in the north than in the
south. This is another source of anisotropy that will
affect the structure of the rain fields.
At the event scale, the dominant source of anisotropy
is linked to the direction of displacement of the rain
systems. At the multiyear scale, the dominant source of
anisotropy is linked to the smaller number of rain events
recorded when moving from south to north as already
shown in Fig. 5.
b. The event-scale variogram
Confirming our climatological knowledge, the two
variograms of the nonconditional-event rainfall H,
FIG. 8. Directional variograms (g e ) of the nonconditional-event
rainfall H, computed with an angular tolerance of 308; 11 yr of
EPSAT-Niger data were used to compute the experimental variograms. In both directions these experimental variogram are extremely
similar to those shown in Fig. 6 for a smaller period (1990–95). This
indicates an interannual stationarity of the rainfall process at the event
scale. The parameters of the variogram models are given in Table 1,
line 1.
shown in Fig. 8, display significant differences when
computed along the north–south direction relative to the
east–west direction. The N–S variogram is above the
E–W variogram because, for a given distance of separation between two points, the east–west displacment of
rain systems increases the correlation along this axis. It
is worth noting that the variograms computed from 11
yr of data are very close to those computed by Guillot
and Lebel (1999) from 6 yr of data (1990–95), and used
in Fig. 6 as an illustration. The statistics of the point
process are almost identical for the two periods (Table
1), implying that (i) the EPSAT-Niger network samples
the variability of the rain events robustly and (ii) this
variability is not significantly dependent on the wet/dry
character of the rainy season (the period 1990–95 is
made of five dry years and one wet year, whereas the
period 1996–2000, has two wet years, two normal years
and one dry year).
The variograms of the conditional event rainfall H*
were also studied. They are shown in Fig. 9. The anisotropy of H* appears similar to that of H. Due to the
null values being removed, the variance of H* is
larger—by 11%—than that of H. Table 1 shows that the
variance of the 30 series of 450 events (225 mm 2 ) is
significantly larger than the value reached by the experimental variogram for the largest distances sampled
TABLE 1. Statistics of the nonconditional (H ) and conditional (H*) event rainfall.
H (1990–2000)
H (1990–95)
H* (1990–2000)
Spatial variance 1st
structure (mm 2 )
Spatial variance 2d
structure (mm 2 )
Variance (se2) of the
point series (mm 2 )
Mean (m e ) of the
point series (mm)
Intermittency
100
100
N–S: 85
E–W: 90
105
100
N–S: 140
E–W: 135
205
200
225
10.8
10.8
13.7
25%
26%
0%
1006
FIG. 9. Same as in Fig. 8 except for the conditional-event rainfall
process H*.
by the network (180 mm 2 in the E–W direction and 200
mm 2 in the N–S direction).
This means that our window of measurement is too
small to reach the integral range of the process (see
Lantéjoul 1991; Vargas-Guzman et al. 2000). Also, a
single elementary variogram is not able to account correctly for the structure observed over our window at
both small distances and larger distances. Using a combination of elementary structures [on this issue, see
Wackernagel (1995)] provides a mean to represent such
a complex structure and to be consistent with the experimental variances computed on the point series. Consequently, the following nested variograms were fitted
to each of the average directional experimental variograms:
N–S direction:
[
] [
]
1 202 1 140 1 2 exp 12 702 ,
g e*(h) 5 85 1 2 exp 2
|h |
|h|
(45a)
E–W direction:
[
] [
]
1 112 1 135 1 2 exp 12 1202 ,
g e*(h) 5 90 1 2 exp 2
|h |
|h|
(45b)
where h is the distance in km [anisotropy being accounted for by using expression (5) to compute h] and
g *e is the value of the variogram in square millimeters.
As recommended by Cressie (1994), the anisotropy of
the two structures were analyzed separately in order to
identify the anisotropy factor of the first structure (a1
5 3/4) and the anisotropy factor of the second structure
(a 2 5 2/3).
c. The indicator variogram
Figure 10 shows the indicator variograms. The main
axes of anisotropy are north–south and east–west. Since
VOLUME 4
FIG. 10. Directional indicator variograms (g I ), angular tolerance
of 308. The theoretical variance of the process [computed from expression (29)] is indicated. The E–W variogram is bounded by this
variance—an indication of stationarity—while the N–S variogram
displays an overshooting behavior.
these axes are identical to those of the H process, it is
possible to study the N-event variogram along these two
same axes.
In the E–W direction the variogram can be assumed
to reach a sill, which is equal to the theoretical variance
computed from Eq. (29) for (1 2 m I ) 5 0.26 (the average intermittency of the process). It follows that stationarity is a plausible hypothesis in that direction, leading to the fitting of the following model:
[
]
1 482 .
g I (h) 5 0.03 1 0.16 1 2 exp 2
|h |
(46)
Even though this is not fully apparent from Fig. 10,
the smaller number of rain events recorded in the north
of the study area (see Fig. 4) means that, while the
internal intermittency might also be stationary in the
north–south direction, the external intermittency is not.
The structure function in that meridional direction was
thus taken as the sum of a linear trend and of a variogram
of the residuals « I to that trend:
E(I t ) 5 m I (t) 5 a 1 by t ,
(47)
where y t is the latitude of t, expressed here in km,
« I (t) 5 I(t) 2 E(I t ).
(48)
From Fig. 5 we obtain, dividing by the total number of
events (450),
m I (t) 5 0.811 2 0.00125y t
(49)
and from Fig. 11 the variogram fitted to the residuals
[
]
1 352 .
g« I (h) 5 0.04 1 0.15 1 2 exp 2
|h |
(50)
The raw variability of I is thus the sum of two components: a deterministic component linked to the gradient of m I (t), as given by Eq. (49), and a stochastic
component g«I . This raw variability may be expressed as
DECEMBER 2003
ALI ET AL.
1007
FIG. 11. The N–S indicator variogram (angular tolerance of 308):
comparison of the raw variogram and of the variogram of the residuals
to the trend shown in Fig. 5. The theoretical model fitted to the raw
variogram is the sum of the trend and of the theoretical model fitted
to the variogram of the residuals.
g̃ I (t1 , t 2 ) 5 g « I (t1 , t 2 ) 1 0.5 3 1026 (y t1 2 y t 2 ) 2 .
(51)
The raw variogram model obtained from Eq. (51) is
plotted in Fig. 11. It fits the observed raw variogram
well. It does not differ from the variogram of the residuals much—g« I—for distances smaller than 100 km.
However the raw variogram becomes significantly larger than the variogram of the residuals for distances
above 150 km, because of the additional square term in
h2.
d. Validation
The validation consists in comparing(i)-the experimental variogram g Ne to the theoretical variogram g Ne
computed from Eq. (33) in the stationary case (east–
west direction) and (ii) the experimental raw variogram
g̃ Ne to the theoretical raw variogram g̃ Ne computed from
Eq. (44) in the nonstationary case (north–south direction). This comparison is first carried out for N T 5 40,
roughly corresponding to the average number of rain
events during one rainy season. The total sample of 450
events is divided into 11 random samples of 40 events.
Rainfall is accumulated over all the events of a given
sample, so as to obtain the variable Z T . Then the average
experimental variogram of Z T is computed.
The comparison of the theoretical variogram—computed using the values of Table 1 for s *e and m*e , expression (45) for g e* and (46) (stationary case) or (49)–
(50) (nonstationary case) for g I —with the experimental
raw variogram is shown in Fig. 12 for the two directions.
In both cases the model compares far better to the experimental raw variogram than the model that was obtained by neglecting the variability linked to the intermittency [direct application of Eq. (4), see Fig. 2]. This
validates the idea that the underlying scale-invariant
structure of the rain fields at the event scale may be
FIG. 12. Comparison of the theoretical variogram to the experimental variogram for N T 5 40, roughly corresponding to the annual
rainfall. (a) The E–W direction (stationary case): the comparison is
between the true theoretical variogram g Ne and the true experimental
variogram g Ne [expression (33)]; (b) N–S direction (nonstationarity
of the indicator variable) the comparison is between the raw theoretical variogram g̃ Ne and the raw experimental variogram g̃ Ne [expression (44)].
used as the fundamental element to characterize the
structure at large timescales, based on Eq. (24).
In a second step, N T is increased to 90. Since N T is
a linear scaling coefficient in Eq. (33), but not in Eq.
(44), the comparison is focused on the N–S direction
in order to study whether the effect of the nonlinearity
in N T is correctly picked up by Eq. (44). The experimental raw variogram is the average of the five raw
variograms obtained from five random independent
samples built from the set of 450 events. Given the small
number of variograms (5) used to compute the average,
the experimental raw variogram displays larger erratic
fluctuations than those observed for N T 5 40, as may
be seen in Fig. 13. However, it is possible to identify
clear differences between the two variograms. While for
N T 5 40, the effect of the trend is not visible (Fig. 12),
it clearly appears at distances larger than 40 km for N T
5 90 (Fig. 13). The theoretical model fits the experi-
1008
VOLUME 4
FIG. 13. Same as in Fig. 12, except for N T 5 90 and for the N–S
direction only.
mental variogram well, even though it seems to slightly
underestimate the variability for intermediate distances.
In particular, the variability at distances smaller than 30
km is well reproduced, corresponding to distances where
the first scaling structure (internal variability at the event
scale) is dominant, as is the variability for the largest
distances, when the second scaling structure (linked to
the trend associated to the external intermittency) is
dominant. For still-larger values this second structure
becomes increasingly dominant, even at small distances,
explaining that 10- or 20-yr isohyetal maps essentially
display a regular north-to-south increase of rainfall, with
only small scale fluctuations. In fact, these fluctuations
do not disappear but their relative magnitude becomes
small in comparison with the magnitude of the climatological gradient.
e. Discussion
In the example treated here, the drift affecting the
indicator variable in the north–south direction plays a
major role in shaping the differences of structure between the two main directions of anisotropy at large
distances. An illustration of this is given in Fig. 14,
showing–for the north–south direction—the evolution
with distance of the three components of the total variability as given by Eq. (44). The area above the upper
bold curve corresponds to the first term of the equation—G1 (N T )—which represents the variability at the N T
scale produced by the internal variability associated with
an individual convective system. The hatched area between the two curves corresponds to the second term
of the equation—G 2 (N T )—which represents the variability associated to the stochastic stationary component
of the intermittency (this variability will be referred to
as the stationary intermittency). The shaded area below
the bottom curve corresponds to the third term of the
equation—G 3 (N T )—which represents the variability associated with the drift of the indicator variable, that is
the climatological gradient of the number of convective
FIG. 14. Proportion of the total variability of the N T-event rain field
linked to the intermittency of the rain process at the event scale (N–
S direction). This intermittency-linked variability is decomposed into
two terms. (top) The total variability produced by the intermittency,
(bottom) The variability produced by the north–south drift of the
indicator variable. The difference between the two curves (hatched
area) corresponds to the variability associated with the indicator variogram. Results are shown for (a) N T 5 40 and (b) N T 5 90.
systems. At the seasonal scale (N T 5 40), the internal
variability associated with the individual convective
systems is predominant for distances below 150 km.
This largely explains the sharp gradients observed in
seasonal rainfields over the E–N study area (see, e.g.,
Lebel et al. 1997). At 100 km the intermittency explains
38% of the total variability, half of this being associated
with the stationary intermittency and half with the drift.
At 500 km the intermittency explains 88% of the total
variability, almost all of it associated with the climatological gradient of the number of convective systems,
the influence of the stationary intermittency becoming
negligible. For N T 5 90, the internal variability still
accounts for about 50% of the total variability at 100
km but decreases to 7% at 500 km.
In order to verify whether the figures given previously
at large distances are realistic, a further validation was
carried out using data available over the whole of Niger
from 1995 to 1998. The results of this validation are
DECEMBER 2003
ALI ET AL.
FIG. 15. Extrapolation at larger distances, using the data of the
Niger operational network (1995–98). Comparison of the raw experimental variogram to the theoretical variogram of the 10-day rainfall for the months of Jul and Aug (four events per 10-day period on
average).
summarized in Fig. 15 where daily rainfall data from
the Niger operational network are used to compare the
theoretical 10-day variograms (N T 5 4) to the raw experimental variograms for the months of July and August. This comparison confirms that the theoretical model correctly reproduces the structure of these 10-day rain
fields for distances between 100 and 500 km.
Thus, even though there are obvious difficulties in
the identifying the structures linked to the external intermittency from a mesoscale window, the theoretical
formulation proposed here and the structures inferred
from this limited window seem to provide an appropriate
characterization of the spatial variability at larger timeand space scales. This tends to support the idea that the
description of the spatial structure of the Sahelian rainfields obtained from the E–N data is relevant and could
be used as a basis for developing rainfall estimation
algorithms using a combination of satellite data (in order
to estimate N T ) and rain gauge data (in order to measure
H* or Z T at a few locations).
6. Conclusions
A method is proposed to identify scaling functions
allowing the description of the spatial structure of rain
fields over the wide range of timescales most often used
in climatological studies (from daily to seasonal and
beyond). The elementary timescale considered is that
of the rain event. The structure at larger timescales is
given as a function of the event-scale structure and the
number of rain events N T observed over the timescale
considered. Two scaling functions describe the structure
at the event scale: the variogram of the conditional-event
rainfall g *e and the variogram of the indicator variable
g I describing the intermittency of the event rainfall process. The rain field spatial structure for time steps larger
1009
than the event is analytically derived from g *e and g I ,
which constitute two scale invariants for the rainfall
process. The effect of anisotropy and nonstationarity
that may affect either of these two functions, is taken
into account.
The model was successfully tested on a large set of
450 Sahelian rain events. The structure of the Sahelian
rain fields is dominated by two major factors displaying
marked anisotropy. One factor is linked to the internal
structure of the MCCs and to their privileged direction
of displacement—from east to west. The second factor
is the probability of occurrence of a mesoscale convective complex (MCC), which decreases from south to
north as a result of the meridional migrations of the
ITCZ. The anisotropy and nonstationarity of these two
factors are well captured by the two scaling functions
g e* and g I . In addition, a linear drift of the indicator
variable is associated with the important positive gradient of the probability of rain in the north–south direction. The variability associated with that drift is a
function of h 2 (square of the distance between two given
points) and N 2T (square of the average number of rain
events for a given timescale), while the variability associated to the scaling variograms is a linear function
of h and N T . Consequently, at large distances and/or for
a large number of rain events, the influence of the drift
becomes progressively predominant in shaping the
structure of the rain field. For instance at the seasonal
rainfall scale (N T 5 40), the intermittency accounts for
about 38% of the total variability at 100 km. At 500
km in the south–north direction, this proportion increases to 88% of the total variability, mostly associated to
the climatological gradient of the number of convective
systems (85% of the total variability). For larger values
of N T the influence of the climatological gradient increases rapidly (for N T 5 90 the proportion of the total
variability associated with this gradient is 52% and 93%
at 100 and 500 km, respectively). This explains how the
regular pattern of zonal isohyets characterizing the longterm annual rainfall averages over the Sahel (an average
of 20 yr corresponds to about 800 rain events) emerges
from individual annual rain fields displaying a somewhat chaotic pattern.
The formulation proposed in this paper provides a
simple and climatologically meaningful basis for analyzing possible changes in the structure of the Sahelian
rain fields in relation to regional or large-scale atmospheric patterns. It seems from the E–N dataset that
g e* is fairly stable between wet and dry years. Previous
studies (e.g., Le Barbé and Lebel 1997) indicate that a
major factor in decadal-scale rainfall variability over the
Sahel is the number of rain events observed for a given
rainy season. It thus remains to be studied whether g I
is as stable as g e* seems to be or whether it displays
changes between dry and wet years [which would indicate, for instance, that convective systems might be
smaller in dry years as suggested by Bell and Lamb
(1994)].
1010
Another more immediate application of this formulation is in the area of rainfall estimation. The interpolation functions derived from the theoretical formulation do not depend in any manner on the time step
considered and the coherency of the interpolation carried out for different time steps is guaranteed. The accuracy of the estimation procedure is directly given; the
uncertainty linked to the internal variability and that
linked to the intermittency may be quantified depending
on the time- and space scales considered. Based on this,
geostationary satellite data can be used to count the
number of convective systems and to estimate the upscaling factor N T , while ground data provide local accurate measurements of the rainfall accumulation.
APPENDIX
1
J1 5 E
2
[1O
N12
H2 j 2
j51
O 2]
2
N12
H1i
i51
1
5 E(N12 )E(H 12 1 H 22 ) 2 E(N12 )E(H1 H2 )
2
5 E(N12 )g e (t1 , t 2 ),
1
J2 5 E
2
(A8)
[1O H 2 O H 2 ]
N 29
N 19
2
2 j9
1i9
j951
i951
1
5 {[E(N1 1 N2 2 2N12 )] Var(H )
2
1 [E(N2 2 N1 ) 2 ][E(H )] 2},
J3 5 E
(A9)
[1O H 2 O H 21O H 2 O H 2] 5 0.
N12
N 92
N12
2j
1i
j51
Calculation of the N-Event Variogram
VOLUME 4
N 91
2 j9
i51
1i9
j951
i951
(A10)
Starting from the definition of the N-event variogram
g Ne (t1 , t 2 ) 5 1/2{E[(Z 2 2 Z1) 2] 2 [E(Z 2 2 Z1)] 2},
(A1)
1
g Ne (t1 , t 2 ) 5 E
2
[1O
[ 1O
H2 j 2
i51
N2
N1
H2 j
or
(A2)
i51
(A3)
with
[1O
H2 j 2
2
N1
H1i
j51
i51
N2
N1
,
and
(A4)
(A5)
1i
i51
In case of stationarity D is equal to zero and g Ne 5 J.
Defining N12 as the number of events covering both
t1 and t 2 , and N 19 5 N1 2 N12 (N 92 5 N 2 2 N12 ) as the
number of events covering t 1 only (t 2 ), J may be written as
1
J5 E
2
1
J5 E
2
[1O
[1O
[1O
N12
j51
N12
O H 2 O H 2 O H 2 ] , (A6)
H 2 O H 2 1 1O H 2 O H 2 1 · · ·
]
H 2 O H 21 O H 2 O H 2 . (A7)
]
H2 j 1
N 92
1
1 E
2
j51
1i
i51
2
N12
i951
N 92
1i
N91
2 j9
i51
N12
2
N91
1i9
2 j9
j951
2j
j51
N12
j951
2j
1i
i51
(A11)
Combining expressions (A3), (A8), (A9), (A10), and
(A11), it gives
1 [E(N1 1 N2 2 2N12 )] Var(H )
2 · · · [E (N2 2 N1 )] 2 [E (H )] 2 .
(A12)
Using the following notations:
s 2e 5 Var(H ),
m e 5 E(H ),
and
g N 5 E(N2 2 N1 ) 2 2 [E(N2 2 N1 )] 2
it follows finally that
g Ne (t1 , t 2 ) 5 E(N12 )g e (t1 , t 2 )
1 {E [(N1 1 N2 )/2] 2 [E(N12 )]}s e2
1 m e2 g N (t1 , t 2 ).
(A13)
1i9
N91
2 j9
j9519
1
D 5 [E(N2 2 N1 )] 2 [E(H )] 2 .
2
i951
N 92
N12
1i
i51
1 E(N2 2 N1 ) 2 [E(H )] 2
2
2j
j51
2
E(N1)
2g Ne (t1 , t 2 ) 5 2E(N12 )g e (t1 , t 2 )
O 2]
1
D 5 E 1O H 2 O H 2 .
]
2[
N2
1i
i51
2j
g Ne (t1 , t 2 ) 5 J 2 D
1
J5 E
2
H2 j 2
j51
2
N1
j51
2
1i
j51
O H 2]
1
5 5 O E(H ) 2 O E(H ) 6 ,
]
2 [
N2
E(N2)
1i
j51
1
E
2
2
OH 2]
2OH 2
]
2
N1
[ 1O
1
D5 E
2
it follows that
N2
In case of nonstationarity D is written as
1i9
i9
Expressing J 5 J1 1 J 2 1 J 3 and assuming independence between the events, Lebel and Le Barbé (1997)
showed that
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III. Evaluation des incertitudes
d’estimation et validation des produits
pluviométriques 1
1
Cette partie fait l’objet d’une série de deux articles.
Evaluation des incertitudes d'estimation et validation des produits pluviométriques
41
III.1 Introduction
Les difficultés rencontrées pour estimer correctement les précipitations au Sahel font l’objet
depuis quelques années d’une attention renouvelée. La dégradation des réseaux (figure III.1), la
difficulté pour accéder aux données, la vulnérabilité de l’Afrique de l’Ouest à la sécheresse qui
sévit depuis les années 1970 et les préoccupations croissantes sur une possible modification
durable du régime pluviométrique (Lebel et al. 2003), les performances encore modestes des
algorithmes satellitaires (Jobard 2001) sont autant de facteurs qui ont motivé des études récentes
sur le sujet (Ramage 2002 ; Nicholson et al. 2003, Grimes and Diop 2003). D’une manière
générale, la problématique de l’estimation quantitative des précipitations a fait l’objet de
nombreux travaux au cours des 20 dernières années et on pourra notamment se référer aux
synthèses sur : i) les méthodes disponibles (Kidder and Vonder 1995), ii) le statut des satellites
dédiés à l’estimation des pluies (Petty 1995) et iii) les perspectives qui s’offrent aujourd’hui
(Levizzani et al. 2001). Ces différents points sont également abordés dans le contexte Ouest –
Africain par Ramage (2002).
Le problème posé est bien cerné : d’une part, on dispose de données pluviométriques
ponctuelles – considérées comme étant de « vraies » valeurs de pluie, après évaluation d’un
certain nombre d’erreurs possibles (Sevruk 1982; WMO 1994); d’autre part, il existe également
des mesures obtenues par télédétection qui sont reliées à la pluie de manière indirecte.
L’utilisateur est, lui, intéressé par une valeur moyenne sur un domaine, valeur que ne fournissent
directement ni les réseaux de pluviomètres, ni les mesures par télédétection. Part exemple, la pluie
spatialisée est l’entrée principale de nombreux outils (systèmes d’alerte précoce, de gestion de
ressource en eau, de suivi hydrologique et agronomique) utilisés actuellement en mode
opérationnel au Centre régional AGHYMET, qui est la principale institution spécialisée du CILSS
pour mieux gérer les effets de la sécheresse. Cependant, quelles que soient les sources
d’information et la procédure utilisées pour estimer cette pluie, l’erreur associée est rarement
évaluée avec rigueur, et encore moins utilisée dans les modèles.
Or, pour obtenir une valeur moyenne sur un domaine à partir d’un réseau de pluviomètres, il
faut spatialiser des valeurs ponctuelles, c'est-à-dire reconstituer de l’information manquante, ce
qui implique des erreurs. Pour faire de même à partir de données satellitales, il faut convertir une
réflectance ou une température de brillance en pluie, via des modèles plus ou moins complexes
dont l’utilisation entraîne également des erreurs, parfois importantes. Dans un tel contexte deux
questions deviennent centrales. i) Peut-on disposer d’une estimation de pluie qui, à défaut d’être
exacte, soit utilisable comme valeur de référence pour départager les autres estimations entre
elles ? ii) Comment peut-on évaluer la précision réelle d’un produit par rapport à une valeur de
référence elle-même entachée d’erreur ?
Pour y répondre, il convient d’estimer deux quantités. L’une est la valeur de référence dont la
qualité est supposée être meilleure que celle des autres produits évalués. L’autre est une fonction
d’erreur qui permet, d’une part, de juger objectivement que la qualité de la valeur de référence est
effectivement meilleure que celle des produits évalués et, d’autre part, d’accéder à la précision
réelle de ces produits. Pour accéder à cette précision réelle, les statistiques doivent être rapportées
42
à la vraie valeur de la pluie moyenne sur la zone considérée, même si par ailleurs cette valeur
demeure en elle-même inconnue.
La deuxième partie de ce mémoire est consacrée à cette problématique, s’appuyant sur une
série de deux articles. Le premier traite du calcul d’une fonction d’erreur. Pour ce faire, elle
combine les méthodes d’interpolation optimale basées sur la théorie des « Best Linear Unbiased
Estimators, (BULEs) » et une approche expérimentale de validation. Les besoins de la
communauté s’étendant sur une large gamme d’échelles spatiales et temporelles, la fonction
d’erreur s’appuie sur les propriétés d’invariance d’échelle des champs de pluie décrites dans la
partie I. Dans un deuxième article, la fonction d’erreur est utilisée pour évaluer les réseaux sol et
intercomparer différents produits pluviométriques. Avant de présenter ces deux articles, un
élément important de contexte est à souligner. Comme le montre la figure III.1, le réseau
pluviométrique des pays sahéliens a tendance à se dégrader depuis le milieu des années 80. Par
ailleurs, malgré la disponibilité de capteurs satellitaires de plus en plus sophistiqués (e.g., TRMM,
MSG), la précision des estimations satellitaires est encore loin d’être parfaite. Quantifier la qualité
des réseaux sol et des produits satellitaires reste donc un sujet d’actualité, en particulier dans la
perspective du projet AMMA.
Fig. III.1. Evolution du nombre moyen de stations pluviométriques (période de
cinq ans) de la base de données du Centre AGRHYMET. Réseau mensuel (pour qu’une
station soit prise en compte il faut qu’il y ait au minimum un cumul mensuel non
manquant). La tendance est à la baisse à partir des années 1985.
43
III.2 Fonction d’erreur2
III.2.1 Interpolation optimale des champs de pluie au Sahel
Plusieurs travaux (e.g., WMO 1994) notent, après évaluation d’un certain nombre d’erreurs
possibles, que les mesures ponctuelles des pluviomètres (placés en quelques endroits seulement),
peuvent être admises comme étant les «vraies » valeurs de la pluie ponctuelle en ces endroits.
Pour connaître la pluie aux points où il n’y a pas de mesure ou pour calculer la moyenne sur un
certain domaine, il faut l’estimer. Pour ce faire il existe de nombreux outils et l’utilisateur perd
souvent plus de temps en amont, dans le choix des outils à utiliser que dans l’exécution des
travaux de spatialisation proprement dits. Une analyse détaillée et spécifique à chaque zone
climatique est donc utile pour fournir à l’utilisateur une méthode s’adaptant bien à cette zone.
Les méthodes d’interpolation se basent sur une hypothèse fondamentale: la continuité dans
l’espace de la variable à interpoler, ce qui implique que la position dans l’espace des points est un
élément essentiel à prendre en compte. Si on exclut la moyenne arithmétique, qui ne fait aucun cas
de cette considération élémentaire, les méthodes d’interpolation prennent en compte la
distribution spatiale des points de mesure, mais le font de deux manières très
différentes (déterministe et stochastique). L’approche déterministe procède indépendamment de la
structure spatiale propre au phénomène analysé, ne prenant en compte que la structure du réseau
de mesure : des champs de températures, de pluie ou d’ensoleillement seront traités d’une manière
équivalente si ils sont observés sur un même réseau de mesure. Le groupe des méthodes
déterministes comporte notamment la méthode du plus proche voisin, les méthodes de
pondération par distance inverse, la méthode des isohyètes, la méthode des splines. Outre que ces
méthodes ne donnent pas d’écart-type sur l’estimation réalisée, elles sont en général univariées et
ne peuvent donc tenir compte de l’information apportée par une variable auxiliaire.
A l’opposé, les approches stochastiques s’appuient sur une modélisation statistique de la
structure spatiale des champs de pluie pour calculer un modèle d’erreur associé à l’interpolation.
Elles se rapportent plus ou moins à la notion d’interpolation optimale, initialement promue par
Gandin (1965), en ce sens qu’elles travaillent à partir d’une fonction de corrélation spatiale, les
deux premiers moments du processus ponctuel étant supposés connus. La théorie des variables
régionalisées de Matheron (1971) fournit un cadre plus général qui tient compte des incertitudes
introduites dans la connaissance de la fonction aléatoire par un échantillonnage sur un espace
nécessairement limité.
Cette section capitalise nos connaissances en terme de spatialisation des pluies au Sahel et
aboutit au choix d’une méthode de krigeage. Les algorithmes d’interpolation, d’une part, prennent
en compte les structures emboîtées (les modèles de variogramme sont la somme de deux modèles
élémentaires) et anisotropes (les variogrammes n’ont pas la même portée dans chaque direction)
qui caractérisent de façon marquée les champs de pluie sahéliens, voir par exemple Guillot and
Lebel (1999). D’autre part, ils exploitent la description intégrée et cohérente de la fonction de
structure, basée sur la formulation d’invariance d’échelle proposée par Ali et al. (2003). La prise
en compte de la connaissance de la variance du processus, déterminée ponctuellement à partir de
la série de 13 années de données EPSAT-Niger (1990-2002), est testée par rapport aux approches
classiques du krigeage où la variance du processus est estimée à partir du champ spatial. Une
évaluation globale des différentes méthodes de krigeage est effectuée pour chaque pas de temps,
non seulement en terme de valeurs estimées, mais aussi et surtout en terme de l’erreur
2
Article : Estimation of Rainfall in the Sahel. Part 1 : Error Function. Article accepté pour publication au Journal of
Applied Meteorology.
44
d’estimation. Le travail initié à la méso-échelle, région densément instrumentée, est étendu à
l’échelle régionale où une analyse structurale fine est menée. Huit années de données sont
utilisées pour l’échelle régionale.
L’analyse variographique sur la zone CILSS a confirmé que les structures spatiales des
champs de pluie sont caractérisées, à l’échelle régionale également, par de fortes anisotropies à
tous les pas de temps examinés (jour, décade, mois, année) et sont constituées de deux structures
emboîtées. L’anisotropie de la seconde structure (avec 0.3 comme coefficient d’anisotropie) est
plus forte que celle de la première structure (0.5). La portée de la première est très stable (60 km
dans la direction est-ouest quelque soit le pas de temps). Au Sahel, les cumuls de pluie, au delà du
pas de temps événementiel, sont tous entachés d’une dérive spatiale (gradient systématique), dont
l’importance augmente avec le pas de temps. Par ailleurs, la pente de cette dérive est plus faible
dans la direction Est-Ouest et augmente progressivement pour atteindre son maximum dans la
direction Nord-Sud (figure III.2).
III.2.2 Evaluation et intercomparaison des méthodes d’interpolation optimale
L’évaluation des méthodes d’interpolation réalisée ici traite du cas stationnaire et du cas non
stationnaire. A l’échelle de l’événement (cas stationnaire) deux interpolateurs de krigeage
ordinaire sont comparés. L’un avec un variogramme climatologique isotrope et sans structure
emboîtée (Lebel and Le Barbé 1997). Il est noté OK-NAN (ordinary kriging with no anisotropic
and nested variogram). L’autre considère un variogramme anisotrope et emboîté (Guillot and
Lebel 1999) avec la variance ponctuelle des événements (205 mm²) comme palier. Il est noté OKNA (ordinary kriging with nested and anisotropic varioram). Notons que la variance spatiale
moyenne des événements sur EPSAT-Niger est de 120 mm². Pour le cas non-stationnaire (i.e.
pour les pas de temps plus grands que l’événement : décade, mois, année), trois méthodes sont
considérées. Elles utilisent toutes des fonctions de structure anisotropes et emboîtées. Ce sont le
krigeage universel (Universal Kriging, UK), le krigeage des résidus (Regression Kriging, RK), et
un krigeage universel utilisant la fonction de structure dérivée de la méthode d’invariance
d’échelle. Il est appelé « scaling kriging » (SC). L’évaluation dans le cas stationnaire, vise plutôt à
évaluer l’apport de l’un par rapport à l’autre des deux types de variogrammes utilisés, alors que
dans le cas non stationnaire, elle vise à trouver la meilleure méthode de krigeage. Les données
utilisées couvrent deux échelles spatiales différentes. La comparaison de différentes méthodes
d’interpolation débouche sur le choix des outils les mieux adaptés. Ces outils fournissent des
valeurs de référence pour la calibration et la validation de la fonction d’erreur qui servira de
métrique opérationnelle utile à la fois pour l’estimation des pluies et pour la validation des
produits pluviométriques.
Les critères utilisés pour évaluer les méthodes sont calculés à partir d’une procédure de
validation croisée : la pluie est estimée en un point où la mesure est connue en utilisant les autres
stations différentes de celle du point concerné et le résultat est comparé avec la mesure réellement
observée. Ces critères sont: le biais (b) de la valeur interpolée par rapport à la valeur mesurée,
l’erreur expérimentale ou erreur quadratique moyenne entre valeur interpolée et valeur mesurée
(notée RMSE), l’erreur théorique fournie par la méthode d’interpolation à travers l’écart type de
krigeage (ksd) et un indice I quantifiant la co-fluctuation entre erreur théorique et expérimentale.
Une valeur de I = 1 indique une parfaite égalité des deux erreurs et I = 0 indique une absence
totale de relation entre ces deux quantités.
1. Notons tout d’abord que les deux réseaux utilisés (E-N et CILSS) sont suffisamment
robustes face aux méthodes de krigeage, il n’y a aucune différence significative concernant la
valeur interpolée en elle même. Le biais calculé pour l’ensemble des méthodes est pratiquement
45
nul (il est inférieur à 0.1%). Le RMSE également n’est pas significativement différent d’une
méthode à l’autre; la différence est inférieure à 3%.
2. Par contraste, les valeurs théoriques de l’erreur fournies par les différentes méthodes varient
fortement d’une méthode à l’autre (dans certains cas, l’erreur théorique de certaines méthodes est
deux fois plus faibles que celle fournie par d’autres). On peut tout d’abord noter que quand la
taille de la zone est assez petite par rapport à la portée du processus, la variance spatiale sousestime la variance réelle du processus, et donc sous-estime l’erreur d’estimation. L’écart-type de
krigeage fourni par OK-NAN est de 7 mm, celui de OK-NA est de 8.2 mm et l’erreur observée est
de 8.3 mm à l’échelle événementielle sur la zone E-N. Le réseau E-N est suffisamment dense et la
taille de l’échantillon suffisamment grande pour que la différence entre ces valeurs soit considérée
très significative. Par ailleurs, si le nombre d’événements3 (KT) est connu avec une assez bonne
précision, comme cela est le cas sur la zone E-N, la méthode SC est meilleure pour évaluer
l’erreur d’estimation ( I = 1.02 pour SC contre 1.08 pour RK et 1.09 pour UK). Pour ce qui est de
l’estimation de l’erreur à l’échelle régionale, RK est apparu comme étant la meilleure méthode. I
est proche de 1 pour tous les pas de temps considérés et l’erreur théorique fournie par cette
méthode est très proche des erreurs expérimentales. Par exemple à l’échelle du mois sur la zone
CILSS, RMSE = 53.9, ksd = 52.3, et I = 1.07, alors que pour UK ces statistiques sont
respectivement égales à 54.1, 33.6, 1.61. Cette performance de RK est due, d’une part, à une
meilleure représentation de la dérive qui a non seulement une composante Nord-Sud mais aussi
Est-Ouest. Bien que le gradient Est-Ouest soit beaucoup plus faible que celui de la direction NordSud, son influence sur la variance de krigeage est assez significative. Cette dérive n’est pas
homogène sur la zone CILSS et différentes zones sont considérées : la partie centrale du Sahel
(14° W - 12° E en longitude et 12° N -15° N en latitude), la zone Nord (latitudes supérieures à 15°
N), la partie Ouest (longitudes inférieures à 14° W), la partie Est (longitudes supérieures à 12° E),
et la partie Sud (latitudes inférieures à 12° N). D’autre part, cette performance de RK s’explique
par le fait que la distribution statistique des résidus (obtenus après avoir soustrait la dérive) est
beaucoup plus gaussienne que celle des valeurs brutes mesurées. Un test normalité de ShapiroWilk au seuil de 0.1 effectué sur les valeurs brutes des cumuls mensuels de la période JAS est
accepté pour seulement 35% des 135 stations du réseau CILSS qui ont fonctionné sur toute la
période 1950-2002. Ce pourcentage devient 82% si le test est effectué sur les résidus. Ces derniers
sont calculés par les moindres carrés généralisés afin de tenir compte de leur corrélation spatiale.
Pour ce qui est de l’interpolateur SC, la difficulté à estimer correctement le nombre
d’événement K T à cette échelle régionale sera examinée ci-après.
III.2.3 Dérivation de la fonction d’erreur
Pour évaluer réseau sol et produits satellites, il est nécessaire de disposer d’une fonction
d’erreur. A travers l’analyse des données EPSAT-Niger, Lebel and Amani (1999) ont établi de
manière expérimentale la fonction d’erreur dont la forme générale est présentée par la relation
suivante :
e( A, N S , K T , PT ) =
æ PT
C1
ç
N S × K T çè K T
ö
÷÷
ø
-0.2
é
æ A
êC2 + C3 Log çç
è NS
ë
öù
÷÷ú + C4
øû
(III.1)
avec : A la surface en km² ; N s le nombre de stations que contient A ; K T le nombre
d’événements pendant la période considérée ; PT le cumul de pluie pendant la même période
en mm ; e l’erreur relative de l’estimation de la pluie moyenne sur la surface A.
3
La notation du nombre d’événements par NT de la première partie est remplacée par KT pour garder la même notation
que celle utilisée dans les travaux de Lebel et Amani, 1999.
46
Cette fonction offre un moyen de calcul direct de l’erreur associée à l’estimation de la valeur
moyenne sur une zone A et résume l’essentiel des facteurs dont elle dépend. Elle a été calibrée et
validée avec succès sur la zone EPSAT-Niger. La densité du réseau EPSAT-Niger permet cela.
La question qui se pose est de vérifier sa validité à l’échelle régionale, et si nécessaire de
réajuster ses paramètres, afin de tenir compte des effets d’échelle. Pour cela il est nécessaire de
disposer d’une valeur de référence à cette échelle régionale. L’évaluation des méthodes
d’interpolation a montré, dans la section précédente, que RK estimait correctement l’erreur
d’estimation avec une erreur inférieure à 3%. Elle sert donc de référence à l’échelle régionale,
pour la mise en œuvre de la fonction. Cette mise en œuvre passe par deux étapes. Dans un premier
temps, il s’agit d’estimer le nombre d’événements K T , à une échelle où on ne dispose au mieux
que du cumul journalier. Dans un second temps, il s’agit d’optimiser les paramètres de la fonction
d’erreur à partir de cette référence.
1) ESTIMER LE NOMBRE D’EVENEMENTS: K T
La méthode d’interpolation SC (scaling) a été moins performante à l’échelle régionale,
essentiellement à cause d’une mauvaise estimation du nombre d’événements K T , le jour pluvieux
ayant été directement pris à la place de l’événement pluvieux. A l’échelle de EPSAT-Niger, où un
comptage direct de K T est possible, la méthode SC est meilleure. L’adaptation de SC sur la zone
CILSS fournit un moyen d’estimer K T . Une méthodologie rigoureuse a d’abord été utilisée pour
filtrer les jours pluvieux associés à des systèmes convectifs isolés. Le nombre de jours pluvieux
majeurs obtenus après ce filtrage est noté N J . La relation (III.2) est ensuite considérée pour
déterminer le nombre d’événements K T .
2
Ksd RK
(C , A) = aN J [mI s e2 (C , A) + (s e2 + me2 )s I2 (C , A) + mI s e (C , A)s I (C , A)]
(III.2)
2
avec Ksd RK
(C , A) la variance de krigeage fournie par RK pour une surface A
échantillonnée par un réseau C ; s e2 (C , A) et s I2 (C , A) sont les variances de krigeage du
cumul événementiel et de l’indicatrice pour le même réseau; me et s e2 représentent la
moyenne et la variance de l’événement ; mI et s I2 moyenne et variance de l’indicatrice ; a
est le paramètre qui permet d’ajuster le nombre d’événements K T sur le nombre de jours
pluvieux majeurs N J , i.e. K T* = aN J .
Le second membre de la relation (III.2) représente la variance théorique de krigeage déduite
de la relation d’invariance d’échelle. Dans cette équation tous les termes, en dehors du paramètre
a , peuvent être calculés à partir des données. On peut alors déduire la valeur de a et donc
d’estimer le nombre d’événements K T avec K T* = aN J . Notons que les échantillons utilisés sont
très robustes. Par exemple, pour une résolution spatiale de 1°x1° à l’échelle du mois, la taille de
l’échantillon est de 8(années)x3(mois)x400(mailles) soit 9600. Le résultat de la résolution de
l’équation (III.2) donne a = 1.2 pour A=1°x1° et a = 1.5 pour A=2.5°x2.5°. Comme on peut le
constater, a est un paramètre d’échelle. L’espérance du nombre d’événements sur une grille de
1°x1° (1.2 fois le nombre de jours pluvieux majeurs) est inférieure à celle de 2.5°x2.5° (1.5 fois le
nombre de jours pluvieux majeurs).
47
2) OPTIMISER LES PARAMETRES DU MODELE D’ERREUR A L’ECHELLE REGIONALE
La valeur du paramètre C1 de la fonction d’erreur (relation III.1) est fixée à la valeur calculée
par Lebel et Amani 1999 ( C1 =1.05), car elle est indépendante de l’échelle considérée. Pour
obtenir les valeurs des paramètres C 2 , C3 et C 4 la relation (III.3) est optimisée à partir des
moindres carrés non linéaires (Bates and Watts, 1988 ; Bates and Chambers, 1992).
Ksd RK
=
PT
æ PT
çç *
K T* è K T
1.05
NS
ö
÷÷
ø
-0.2
é
æ A
êC 2 + C3 Log çç
è NS
ë
öù
÷÷ú + C 4
øû
(III.3)
Le résultat de l’optimisation donne C 2 = 0.25 ; C3 = 0.11 ; C 4 = 0.03 pour la résolution de
1°x1° et C 2 = 0.28 ; C3 = 0.17 ; C 4 = 0 pour 2.5°x2.5°.
Une utilisation très simplifiée du modèle d’erreur (relation III.1) consiste à considérer le
P
nombre d’événements K T égal au rapport T avec m la moyenne climatologique de
m
l’événement. Cette simplification donne une bonne approximation de l’erreur d’estimation (voir
Ali et al. 2004 a).
a)
b)
Fig III.2. Comportement de la dérive des champs de pluie sahéliens analysé à partir des données
CILSS. a) représente le rapport en pourcentage entre la pluie moyenne sur une bande de 0.5° et celle
calculée sur toute la zone considérée en fonction de la latitude. Les différentes courbes correspondent à
différents nombres de jours cumulés variant entre 1 et 80 jours. On peut noter que la dérive existe à
tous les pas de temps de cumuls et que son gradient augmente avec le nombre de jours cumulés. b)
représente la dérive à l’échelle mensuelle dans différentes directions. De la direction Est-Ouest (0°) –
l’origine est prise en -15° en longitude – on tourne jusqu’à la direction Nord-Sud (90°). Les pluies sont
moyennées sur des bandes perpendiculaires à la direction considérée avec des largeurs diminuant
linéairement de 1.5° dans la direction Est-Ouest à 0.5° dans la direction Nord-Sud. On peut noter que la
dérive est maximale dans la direction Nord-Sud (90°) et minimale dans la direction Est-Ouest (0°).
48
III.3 Evaluation des réseaux sol et intercomparaison des
Produits satellitaux4
III.3.1 Evaluation du réseau CILSS
En dehors de son application directe pour le calcul de l’erreur d’estimation, la fonction
d’erreur peut être utilisée pour définir un réseau "optimum" et évaluer le réseau existant par
rapport à celui-ci. La notion de réseau optimum est contingente d’une échelle de travail (temps K
et espace A) et renvoie à la définition d’un critère d’erreur qui ne doit pas être dépassé. Dans ce
travail, ce critère est le RMSE, dont la valeur seuil a été fixée à 10%.
Pour ce qui est de l’erreur d’estimation sur la zone CILSS à l’échelle du mois, la moyenne des
valeurs calculées par la fonction d’erreur sur toutes les cellules de 2.5°x2.5° est de 12%. Cette
valeur est de 9% pour les latitudes inférieures à 15° N. A cette résolution de 2.5°x2.5°, 80% des
erreurs sont comprises entre 5% et 22%, alors qu’à la résolution de 1°x1°, l’intervalle est 8% 28%.
Par cohérence avec la résolution des produits satellites qui seront intercomparés par la suite,
l’optimalité du réseau a été analysée à la résolution de 2.5°x2.5° et à l’échelle du mois pour le
seuil d’erreur de 10%. Il ressort de l’analyse que la différence entre le nombre total de stations
existant et le nombre total de stations optimal n’est pas significative (568 contre 561). Par contre
42% seulement des mailles ont un nombre de stations supérieur ou égal au nombre de stations
optimal. La non-optimalité du réseau CILSS à cette échelle s’explique donc principalement par la
mauvaise distribution spatiale des stations plutôt qu’à un déficit de leur nombre total. Quand on
considère la zone située de 15° N et à l’Ouest de 11° E, toutes les mailles ont un nombre de
stations qui garantit en moyenne une erreur d’estimation inférieure à 10%.
Fig. III.3. Différence entre le nombre de stations par maille de 1°x1° du réseau CILSS
existant et le nombre optimal de stations pour la même résolution spatiale garantissant une erreur
d’estimation de la pluie moyenne décadaire inférieure à 10%. Cette échelle est acceptable pour les
applications hydrologiques ou agronomiques au niveau régional. On observe que la différence est
négative sur la presque totalité de la zone CILSS, montrant ainsi l’insuffisance du réseau CILSS à
cette échelle décadaire pour le seuil d’erreur considéré.
4
Article : Estimation of Rainfall in the Sahel. Part 2: Evaluation of CILSS countries Raingauge Networks and Objective
Intercomparison of Satellite Rainfall Products. Soumis au Journal of Applied Meteorology, 2004.
49
D’un point de vue agronomique ou hydrologique, le critère d’optimalité à viser serait plutôt
une erreur inférieure à 10% à l’échelle décadaire sur 1°x1°. Le nombre total de stations requis sur
toute la zone serait alors de 3074. Pour respecter ce critère sur la zone située au sud de 15°N
seulement, il faudrait 1725 stations. Comme l’illustre la carte de la figure III.3, la presque totalité
de la zone CILSS est alors déficitaire, seulement 1.5% contient un nombre de stations supérieur
ou égal au nombre requis. Actuellement on est donc loin d’un réseau "hydrologiquement" optimal
pour le CILSS. Or il n’y a pas que les zones agricoles ou fortement habitées qui présentent un
intérêt. L’invasion récente des criquets sur la partie Nord du Sahel, montre que la mesure de la
pluie est importante même dans le désert.
III.3.2 Evaluation et intercomparaison des produits pluviométriques
On appelle produit pluviométrique tout type de combinaison de données provenant de
différentes sources et procédés pour une résolution donnée. Cette section est composée de trois
sous-sections. Premièrement les estimations satellitales internationales CMAP, GPCC, GPCP et
GPI sont évaluées par rapport à une référence calculée par krigeage à partir du réseau total CILSS.
Notons que si, par commodité, tous ces produits sont ici qualifiés de "satellitaux", ils incluent,
tous, sauf GPI, des données mesurées au sol et GPCC est même élaboré uniquement à partir de
données pluviométriques. Deuxièmement, l’intercomparaison englobe non seulement ces produits
internationaux, mais aussi l’estimation des pluies par satellite du Centre Régional AGRHYMET
ainsi que des "produits sol". Ces produits sol sont obtenus uniquement par interpolation optimale
des données pluviométriques de deux sous-réseaux du CILSS : le réseau de suivi (CRA) qui
compte environ 250 stations et dont les données parviennent au Centre AGRHYMET chaque
décade, et le réseau synoptique (SYN) dont les données sont reçues chaque jour et qui compte
environ 85 stations. Troisièmement, une approche est proposée pour tenir compte, dans
l’évaluation des produits satellitaux, de l’erreur de la valeur référence qui est elle-même une
estimation. Les produits internationaux sont considérés à l’échelle mensuelle et à la résolution
spatiale de 2.5°x2.5° long ´ lat sur la période 1986 - 1999. Les produits CILSS, CRA, SYN sont
élaborés à partir du krigeage des résidus.
1) EVALUATION DES PRODUITS SATELLITES
Dans cette évaluation plusieurs statistiques sont calculées, car un seul critère ne peut prétendre
rendre utilement compte de tous les aspects d’un produit: biais, erreur moyenne, valeurs centrales,
valeurs extrêmes. L’analyse des distributions expérimentales a montré que les produits satellitaux
sous-estiment la fréquence des valeurs faibles (intermittence) ainsi que celle des très fortes pluies,
par contre ils surestiment fortement les fréquences des valeurs centrales. Cette situation peut
conduire à des biais hydrologiques ou agronomiques importants (surévaluation de la ressource en
eau, de la croissance des plantes, les grandes crues liées à des pluies exceptionnelles peuvent
échapper, comme on peut également avoir le contraire de ces situations). Les modes des
distributions des produits satellites, en dehors de GPI, et des produits CILSS coïncident dans les
parties centrales et sud de la zone CILSS, mais sont complètement décalés dans la partie Nord. En
moyenne pour la période JAS, CMAP est apparu comme étant le meilleur produit comparé aux
autres estimations internationales, tant sur le plan du biais que sur celui du RMSE ou des
distributions. Le RMSE de CMAP est toutefois le double de l’erreur de spatialisation du CILSS :
50
25% contre 10% pour les mailles centre 11.25° en latitude, 16% contre 8% à 13.75° et 55% contre
34% à 16.25°. GPI, qui est le seul produit satellite n’incluant pas de données sol, donne des
valeurs de RMSE très élevées (plus du double de celles des autres produits). Par contre des tests
statistiques effectués montrent que GPI a la même performance à estimer la variance des champs
de pluie que les autres produits qui incluent des données sol. Ce résultat est conforme au fait que
la variance des champs de pluie est essentiellement expliquée par le nombre d’événements et que
celui-ci peut être déterminé par l’utilisation de l’information satellitale seule (Mathon et al. 2002).
2) COMPARAISON DES PRODUITS SATELLITES ET PRODUITS SOL
Les produits internationaux et l’estimation des pluies par satellite de AGRHYMET sont
comparés aux produits CRA et SYN avec CILSS comme référence. Il ressort de l’analyse que ces
sous-réseaux sol bien spatialisés sont meilleurs que les produits satellites internationaux. Par
exemple sur la zone au sud de 15°N et à l’ouest de 12°E du CILSS, le RMSE de CMAP qui est le
meilleur international est de 15.9% contre 13.8 pour CRA et 14.1% pour SYN. Quant à
l’estimation des pluies par satellite de AGRHYMET, elle est certes meilleure que les produits
internationaux du fait qu’elle utilise plus de données sol, mais comparée au produit CRA elle ne
paraît plus performante. En effet son RMSE est 13.9% contre 13.8% pour CRA. Ces résultats sont
surprenants du fait que, d’une part, l’estimation de pluie par satellite de AGRHYMET est sensée
inclure le réseau de suivi (CRA) et, d’autre part, les produits internationaux sont sensés inclure les
données du réseau synoptique (SYN) transmises via le système mondial de télécommunication
(SMT). Cette situation pose la question de l’optimalité des algorithmes d’estimation des pluies par
satellite au Sahel. Premièrement, ils ne sont pas optimaux parce que les méthodes de détection de
la pluie par imagerie infrarouge sont indirectes et imparfaites. Deuxièmement, la manière
d’inclure les données sol dans ces algorithmes n’est pas optimale, sinon on ne devrait pas être
moins bon que CRA pour ce qui est de la méthode AGRHYMET et SYN pour ce qui est des
produits internationaux. Une troisième question cruciale est de savoir si toutes les données du
réseau synoptique sont transmises via le SMT et avec quelle qualité sont-elles transmises. Un
travail d’évaluation des données pluviométriques du réseau SMT s’avère donc nécessaire. Cette
étude montre l’extrême importance du réseau des mesures au sol dans l’estimation des pluies par
satellite.
Dans une dernière partie, l’estimation des pluies par satellite de AGRHYMET est évaluée par
rapport au réseau CILSS à l’échelle décadaire et à la résolution spatiale de 0.5°x0.5° pour la
période 1990-2000. L’erreur moyenne (le RMSE) est de 58% à cette échelle. La comparaison des
distributions empiriques (figure III.4) montre un comportement particulier pour l’estimation par
satellite de AGRHYMET. On note une discontinuité pour les fréquences des valeurs faibles. Cela
pourrait s’expliquer par la manière dont est effectué le seuillage des valeurs nulles ; en deçà d’un
certain seuil des valeurs des indices satellitaux les estimations des pluies seraient
systématiquement considérées comme nulles. La méthode AGRHYMET a récemment subi
quelques améliorations et cette version mérite également d’être évaluée.
CILSS
Fig. III.4 : Comparaison des distributions de fréquence observées pour les pluies
spatialisées à partir réseau total du CILSS (CILSS) et l’estimations de pluie par satellite de
AGRHYMET (CRA ST) à l’échelle de la décade et à la résolution spatiale 0.5°x0.5° pour la
période 1992-1999.
51
52
3) PRISE EN COMPTE DE L’ERREUR DE LA REFERENCE DANS L’EVALUATION DES PRODUITS SATELLITES
Soit la relation (III.4) suivante :
2
2
2
RMSE ST
= RMSESR
- RMSE RT
+ 2Cov(D ST , D RT ) + 2bST bRT
(III.4)
avec RMSEST le RMSE du produit satellite par rapport à la vraie valeur mais inconnue de
la pluie moyenne. RMSESR est le RMSE du produit satellite par rapport à la référence
considérée. RMSERT est l’erreur (RMSE) de la référence par rapport à la vraie valeur. bST et
bRT sont les biais de l’estimation satellite et de la référence par rapport à la vraie valeur.
D SR = RS - RT est l’écart entre estimation satellite et vraie valeur ; D SR = RR - RT écart entre
référence et vraie valeur.
Cette relation (III.4) montre comment l’erreur de la référence, qui est elle-même une
estimation, intervient dans l’évaluation d’un produit satellital. Pour avoir accès à l’erreur réelle
des produits satellites, il convient de disposer, d’une part, d’une fonction d’erreur pour calculer
RMSERT , et d’autre part, de pouvoir estimer Cov(D SR , D RT ) ; le biais bRT peut être négligé. Du
fait de la difficulté de l’estimer, la covariance Cov(D SR , D RT ) a toujours été négligée dans les
études qui ont tenté d’appliquer la relation (III.4) pour corriger l’erreur d’évaluation des
estimations satellitales. Dans ce travail nous avons utilisé la zone du CILSS où le réseau est le
plus dense pour l’estimer. Voir Ali et al. (2004b) pour des détails sur la comparaison des résultats
obtenus en estimant cette covariance et en la négligeant. Notons simplement que le fait d’estimer
ce terme donne des erreurs d’évaluation des produits satellites plus objectives que le fait de le
négliger. L’erreur d’évaluation est ainsi indépendante de la référence utilisée et demeure
constante. Alors que dans le cas où il est négligé, l’erreur d’évaluation dépend du réseau de
référence, surtout quand sa densité est faible ou quand il a un fort lien avec le réseau utilisé dans
l’élaboration du produit satellite. L’application de la relation III.4 fait chuter l’erreur brute
d’évaluation des produits satellites, par exemple elle passe de 15.9% à 11% pour CMAP. Par
contre elle n’a pas changé l’ordre de classement des produits, obtenu avec le calcul direct à partir
de la référence CILSS.
Rainfall estimation in the Sahel. Part 1: Error Function
Article
Rainfall estimation in the Sahel.
Part 1: Error Function
53
55
1,2
1
2
Abdou ALI , Thierry LEBEL , Abou AMANI
Accepted for publication in the Journal of Applied Meteorology
Abstract
Rainfall estimation in semi-arid regions remains a challenging issue since it displays great spatial
and temporal variability and networks available for monitoring are often of low density. This is
especially the case in the Sahel, a 3 million km² region where the life of populations is still heavily
dependent on rain for agriculture. Whatever the data and sensors available for rainfall estimation –
including satellite IR and microwave data and possibly weather radar systems – it is necessary to
define objective error functions to be used in comparing various rainfall products. This first paper of a
series of two presents a theoretical framework for the development of such an error function and the
optimization of its parameters for the Sahel. A range of time scales – from rain event to annual – are
considered, using two data sets covering two different spatial scales. The mesoscale (E-N) is
documented over a period of 13 years (1990-2002) on a 16,000 km² area covered by 30 recording rain
gauges; the regional scale is documented by the CRA (Centre Regional AGRHYMET) data set, with
an annual average of between 600 to 650 rain gauges available over a period of 8 years. The data
analysis showed that the spatial structure of the Sahelian rain fields is markedly anisotropic,
nonstationary and dominated by the nesting of two elementary structures. A cross validation
procedure on point rainfall values leads to the identification of an optimal interpolation algorithm.
Using the error variances computed from this algorithm on 1°x1° and 2.5°x2.5° cells, an error
function is derived, allowing the calculation of standard errors of estimation for the region. Typical
standard errors for monthly rainfall estimation are 11% (10%) for a 10-station network on a 2.5°x2.5°
(1°x1°); 40% (30%) for a single station on a 2.5°x2.5° (1°x1°). In a companion paper, this error
function is used to investigate the differences between satellite rainfall products and how they
compare with ground based estimates.
* Corresponding author address:
Abdou ALI, LTHE, BP 53
38041 Grenoble Cedex 9, France
[email protected]
1
2
1. Introduction
The possible long-term modification of the
Sahelian precipitation regime (e.g., Lebel et al. 2003),
makes hydrologists and climatologists ask themselves
two major types of questions: i) how and to what
degree of accuracy can Sahelian rainfall be monitored
in real or near real time in order to meet the needs of a
large community of users faced with the effects of
persistent drought (seasonal crop monitoring, water
resource management, food aid programs)?; ii) how
and to what degree of significance can the interannual
fluctuations of Sahelian rain fields and possible
modifications of the precipitation regime be characterized?. Considering the deterioration of rain gauge
networks (Fig. 1), data access problems, and the
significant variability in time and space of Sahelian
rainfall, satellite estimates are looked to as a substitute
– or complement– of ground-based network estimates
particularly as satellite borne sensors become increasingly efficient. This problem is not specific to the
Sahel: the past decade has seen the development of
rain products intended for a large community of users
aiming to summarize as well as possible the information from ground-based networks and satellites for a
given region. Monitoring rainfall performance is
nevertheless a particularly sensitive issue in the Sahel
and this work aims at developing an objective method
for evaluating the quality of rainfall estimates over the
region. The emphasis is on the determination of an
error function, inferred from the analysis of several
years of data – years that can be considered to be
representative of the region’s current climate – and on
a range of scales meeting the needs of a large community of users. The requirements to be met by a climatological product are different enough from those of
products that will be described here as "hydrological",
in the sense that they should especially serve as input
data for water balance or water resource quantification
models. Yet, intuitively speaking – and it is clearly
shown in this study – the errors depend heavily on rain
field variability and this variability is far from being
consistent from one year to the next. Moreover, this
variability naturally depends on the time scale on
which our work is based.
Accordingly, this series of two articles deals with
two closely related issues. The first, which is the
subject of this article, consists of determining an error
function, used to: i) develop reference rainfields by
minimizing this function; ii) provide criteria for the
intercomparison of various rain products. The second
issue is addressed in a companion paper and relates to
the intercomparison of various rain products, while
focusing more on error distributions than on mean
values.
The vulnerability of West Africa to the drought
that has been prevailing since the 70s has resulted in
the creation of regional institutions in order to better
manage its effects. The AGRHYMET Regional Centre
based in Niamey, Niger, is one of the major bodies
56
among them, which currently uses many tools for
operational activities: systems for early warning,
resource water management, hydrological and agronomic monitoring. Areal rainfall is the main input data
for these tools. Yet, whatever the sources of information and procedure used for estimating this rainfall are,
the associated error is seldom evaluated with rigour
and less often used in the models.
The main objective of this paper is thus to provide
a general framework for users who need to build or to
evaluate rain products. In this respect, the results are
felt to extend beyond the Sahelian region itself and to
apply to most semi-arid regions of the inter-tropical
belt. Great care is paid to account for all the information provided by various sources of rain gauge data,
whether from operational or research origins. Using
the wide conceptual possibilities of geostatistics, a
refined characterization of the Sahelian rain fields is
used to compare several estimation methods. This in
turn proposes a coherent interpolation approach and an
operational metrics for the evaluation of rain products
that are presented in the companion paper.
Section 2 briefly reviews the general question of
rainfall estimation and the methods available for a
quantitative evaluation of the errors associated with
any estimation procedure. The application of these
methods to the interpolation of Sahelian rain fields
(characterized by a strong intermittency in time and
space) is then the object of section 3. Section 4
presents a comparison of results between different formulations of kriging, showing that the non stationarity
and anisotropy of the Sahelian rain fields heavily
influence the performance of these methods. This
leads in section 5 to the derivation of an error function
associated with the choice of an optimal model of
covariance, before concluding in section 6.
2. Rainfall estimation from ground data
a. General framework
For the problem treated here, stochastic interpolation methods are the most relevant, since they
provide an error evaluation of the estimation made.
Apart from some empirical-statistical studies (e.g.,
Huff 1970; Rudolf et al. 1994; Huffman 1997), almost
the entire group of statistical methods refer more or
less to the concept of optimal interpolation, initially
promoted by Gandin (1965). Matheron’s theory of
regionalized variables (1971) expands the framework
of optimal interpolation, by taking into account the
uncertainties related to sampling over a necessarily
limited area. As a matter of fact, the empirical mean
and spatial variance (i.e., inferred from data) may be
highly biased estimators of the mean and variance of
the process. Geostatistical methods are widely recognized as performing better than conventional
methods (see e.g., Creutin and Obled 1982; Boussières
and Hogg 1989; Philips et al. 1992; Zimmerman et al.
1999). This is particularly the case with anisotropic
57
FIG. 1. Evolution of the mean number of CILSS network gauges providing
monthly values (averages over 5-year periods) between 1950 and 2002. After a
maximum of over 700 stations at the end of the 1980’s, the average number of
monthly values has decreased over the past 15 years.
data, as shown by Collins and Bolstad (1996) in comparing kriging with the inverse distance method.Very
often, the choice of an interpolation method is not so
much a question of interpolation per se than a
question of evaluating as precisely as possible the
errors associated with the interpolation procedure.
Geostatistical methods are deemed optimal, in the
sense that they seek to minimize an error function
derived from a representation of the spatial covariance
function of the process being studied, with rainfall
treated as a bi-dimensional random process P. This
error function is the variance of estimation error. It
should be noted that as rainfields are not linear, nonlinear kriging (Matheron 1976; Journel 1983; Rivoirard
1994; Chica-Olmo and Luque-Espinar 2002) could
improve the quantification of the estimation variance.
However nonlinear kriging has its own inconveniences. Nonlinear methods require assumptions for
which no methods of verification are currently
available and they can yield solutions that are
computationally complex (Cressie 1993; Huang et al.
2000). Also, the mathematical rationale underlying the
indicator kriging is flawed, as mentioned by Moyeed
and Papritz (2002) which explains why linear kriging
remains a good compromise between the search for
optimality and the requirements of simplicity.
They are thus two important factors to take into
account in the inference process.
In order to infer the mean structure of the rainfall
process a mean variogram (Guillot and Lebel 1999;
Furrer 2002) will be computed as follows:
g m* ( x1 , x2 ) =
1 ìK
2ü
íå [P ( x1k ) - P ( x2 k )] ý
2 K î k =1
þ
-
1 ìK
ü
íå [P( x1k ) - P( x2 k )]ý
2 K 2 î k =1
þ
g m* (h) =
1
K
K
å
k =1
2ü
1 ì n *
*
í å e ( xik ) - e ( x jk ) ý
2n îi , j =1
þ
[
In order to filter out any bias in the estimation of
the mean and variance of the random process under
consideration, its spatial structure is represented by the
variogram defined as:
Consider PS =
where x1 and x2 are two points in the 2D-space.
Nonstationarity (e.g., Sampson and Guttorp 1992)
and anisotropy (Ecker and Gelfand 2003) may imply
that the field variance and/or the decorrelation distance change according to the directions considered.
]
(3)
where n is the number of couples of points xi and xj
separated by distance h ± Dh .
c. Kriging estimators
(1)
(2)
where x1 , x 2 Î Â 2 and K is the number of rain events.
For large time steps (e.g. month), due to the non
homogeneity of the rainfields and to the presence of a
drift (see Ali et al. 2003), the variogram considered is
the mean variogram of the residual e*. The model used
for the interpolation is obtained by grouping the KxN
available data into distance classes:
b. Structural analysis and inference of the spacecovariance function
1
g ( x1 , x 2 ) = Var[ P( x1 ) - P( x2 )]
2
2
1
P ( x) d ( x)
S òS
(4)
where PS is the areal rainfall to estimate over a given
domain S, x being a point in the 2D-space. Based on
the available measurements at N stations located in xi,
the linear estimator is:
N
PS* = å li P( xi )
(5)
i =1
Linear estimators are distinct from each other in
the way they compute the weighting coefficients li. In
58
Kriging the weighting coefficients are computed in
such a way as:
· The estimate is unbiased : E ( PS* - PS ) = 0
(6a)
· Its variance (the Kriging variance) is minimi(6b)
zed: min [Var(P*S -PS)]
Whereas at small time scales, rainfields may be
treated as a purely stochastic process, at larger time
scales (daily and over) a deterministic component –
m(x) – may be present (linked to the topography or
any other geographical forcing factor) along with a
stochastic component – e(x):
P ( x ) = m( x ) + e ( x )
(7)
The stochastic component is assumed to be
second-order stationary and E[e(x)] =0. The various
formulations of kriging depend on the nature of m(x).
If m(x) is constant and known, the kriging
formulation is called simple kriging (SK). If it is
constant but unknown, the kriging formulation is
called ordinary kriging (OK). One can refer to Cressie
1993 and Chilès and Delfiner 1999 for example, for a
full presentation of these methods. The kriging
variance of estimation error at point x 0 for SK and
OK are:
N
2
s SK
= å l SK i g e ( xi , x0 )
(8)
m( x ) = å a l f l ( x )
The estimation variance of the UK is obtained as
follows:
2
s UK
=
s
UK
g e ( xi , x 0 ) + å m UK l * f l ( x0 )
l
In the UK system the variogram
g e of the underlying
process e is unfortunately not known in practice,
because the coefficients of the drift [m(x)] model are
not known. Several authors (Cressie 1993; Goovaerts
1997; Chilès and Delfiner 1999) draw attention to the
biased behavior of the variogram used in the universal
kriging system.
ii) The second approach, in case of non stationarity,
is regression kriging, RK (Ahmed and De Marsily
1987; Odeh et al. 1995; Goovaerts 1997). Here the
predictions are made separately for the drift and the
residuals and then added back together. The method
consists of three steps: a) subtracting the drift values
{m(xi)} from the observations{P(xi)}, b) kriging the
obtained residuals {e*(xi)} and c) for each point x0
where an estimation is sought, combining the
ˆ ( x0 ) to the kriged
estimated value of the drift m
residual
eˆ ( x0 ) :
PˆRK ( x0, ) = mˆ ( x0 ) + eˆ ( x0 )
(9)
i =1
g e the variogram of the underlying process e
which in this case is also the variogram of P; m OK is
with
the Lagrange multiplier accounting for the constraint
on the weights of the OK system.
If m(x) depends on the 2-D coordinates x,
nonstationary geostatistical methods must be considered (Matheron 1969). The two following methods
are tested1 here:
i) The Universal kriging (UK) was firstly formulated
by Matheron (1969) and further developed by several
authors (Journel and Huijbregts 1978 ; Papritz and
Stein 1999), and is based on a global resolution of the
kriging system, assuming a polynomial form for the
drift, that is to say:
1
i
(11)
N
= å lOK i g e ( xi , x0 ) + m OK 0
ål
i =1, N
i =1
2
OK
(10)
Note that only the univariate form of kriging is
considered here since the Sahel is a fairly flat region
and no direct relation between vegetation and rainfall
is known; bivariate kriging, such as cokriging
(Wackernagel, 1998) may be more suitable in other
contexts.
(12)
The drift model coefficients are optimally estimated
using the generalized least squares (GLS) in order to
account for the spatial correlation of residuals (Cressie
1993; Hengl et al. 2003). This idea resolves the
problem mentioned for UK , since only the
variogram of the residuals is required, which can be
estimated from the experimental residuals. However
the experimental residuals contain the drift estimation
error which produces a nugget effect on the residual
variogram:
2
gˆ RK = g e + s m
where
(13)
2
s m is the regression error variance assumed
to be stationary over the study area.
Numerically residual kriging is thus comparable to
kriging data affected by a measurement error. The
residual kriging variance represents the global error
associated with the estimation by the RK system i.e.,
the sum of two errors, one linked to the regression
estimation and the other to the undersampling of the
underlying process e :
2
s RK
( x0 ) = s 2 [ mˆ ( x 0 )] + s 2 [eˆ ( x0 )]
(14)
59
s 2 [ m( x0 )] is the regression variance error and
s 2 [eˆ ( x 0 )] is the kriging variance of the stochastic
process component due to the sampling.
It is important to specify that whichever kriging
method is used, the estimation error does not depend
on an eventual bias of the point measurements. Also,
as can be noted from above, all the kriging variances
are expressed from the variogram and the drift, which
implies the importance of inferring them properly.
3. Structural analysis of the Sahelian
rainfields and scale considerations
a. Data used for calibration and validation
The data used in this work come from two networks
covering two different scales. One is the EPSATNiger (E-N) mesoscale network, described in
D’Amato and Lebel (1998). This network covers a
16,000 km² area in the region of Niamey - Niger (Fig.
2a) and has been in operation since 1990. It consists of
digitized recording raingauges providing time series of
5-minute rainfall at 30 stations. From 1990 to 1993, a
greater number of stations were available, which, due
to a nested pattern, allowed for a characterization of
the spatial structure of the rainfields at a 1-km
resolution. The data from the 1990-2002 period are
used here. They correspond to a total of 548 rain
events, associated with Mesoscale Convective
Systems. These rain events represent 90% of the total
rainfall over the area covered by the network.
At the regional scale, the AGRHYMET Regional
Center (CRA) data base includes the daily rain data
collected by the national raingauge networks of the
CILSS (Comité Inter-Etats de Lutte Contre la
Sécheresse au Sahel) countries. These networks cover
more than 3 million km² and they total more than 1200
stations. There are however significant fluctuations in
the number of stations providing data each year. Over
the period 1990-2000 they are less than 800 stations
available each year. At the daily scale, a consistent
data set of 8 years (1990, 1992, 1994, 1996-2000) was
retained: 914 stations have at least one year of data
over the period 1990-2000, the minimum number of
gauges is 704 (for 1990 and 2000) and the maximum
is 760 (for 1997 and 1999); 427 stations have full data
for the entire period. At the monthly scale, there must
be less than 10% of missing daily data in order to keep
the station. For larger time scales (10-day and over),
all years of the 1990-2002 period were used. The
localization of this network, thereafter referred to as
the “CILSS” network, and its pattern for the year 2000
are shown in Fig. 2b.
The E-N network allows the computation of areal
rainfall over areas ranging from 1000 to 10,000 km²
with an average error of less than 5 % at the monthly
scale and 10% at the event scale (Lebel and Amani
1999). In particular, this allows an objective definition
of rain events, which makes the calibrations of some
integrated approaches in modeling Sahelian rainfields
possible, since the number of events is the major
factor of rainfields variability.
The CILSS network provides relatively good
coverage at the regional scale with an average density
of 1 station/3500 km² (in comparison with 1 station/
400 km² of the E-N network); however the stations are
unevenly distributed. While the number of raingauges
is on average 15 gauges per 2.5°x2.5°, 5% of the
2.5°x2.5° cells are without any gauge and 30% of the
1°x1° cells are without any gauge. This situation
(medium density and uneven distribution of stations)
is a typical of cases where optimal interpolation
performs better than other methods (e.g., Delhomme
1978; Lebel et al. 1987).
a
b
b)
FIG. 2. a. Mesoscale: the Epsat-Niger network is made of recording rain gauges covering 16,000 km², with a denser
network (+) of 107 stations (1990-1993) and a long-term network (circles) of 30 stations (1990-2003). b. Regional Scale: the
CILSS data set in 2000 covering approximately 3,000,000 km², with 680 daily reading rain gauges; also shown is the synoptic
network which includes 87 stations.
60
b. The Sahelian rainfields and scale related
considerations
There are three important characteristics of the
Sahelian rainfields to consider for interpolation
purpose. The first is the existence of a strong
intermittency in space linked to the convective nature
of rain in the region; this involves a significant spatial
variability at all time scales. At the rain event scale,
D'Amato and Lebel (1998) have estimated the
intermittency in space to be 0.26, which means that,
on average, over an area of 1°x1°, 26% of the surface
area is not touched by rain. A second important factor
is that the rainfall process may be considered
stationary at the event scale, whereas at higher time
scales, the process is non stationary, the mean and
variance presenting a North-South and East-West
drift. The third characteristic to consider is the
existence of two anisotropic directions: an East-West
direction associated with the dominant direction of
movement of convective systems and a North-South
direction associated with the number of events, the
probability of occurrence being greater in the South
than in the North. Depending on the time scale
considered, one direction of anisotropy has a greater
effect than the other.
c. Structural analysis
1. MESOSCALE
The characterization of the spatial structure of
Sahelian rainfields at the event scale for distances
smaller than 150 km is based on the E-N data set.
Over a 16,000 km² area, the mean of the spatial
variance of the events is 120 mm², whereas the point
variance computed on the 548 rain events is 205 mm².
Obviously the area covered is too small for the
integral variance to reach the variance of the process
as confirmed when analyzing the daily CILSS data
(daily rainfields have a structure comparable to that of
the event rainfields), showing a decorrelation range of
1000 km in the East-West-direction. This led Guillot
and Lebel (1999) to propose a nested variogram,
which is the only way to account for both the
mesoscale structure and the regional structure of the
rain process. This model was fitted to the E-N data by
Ali et al. (2003), using two anisotropic exponential
functions with an anisotropy coefficient of 1 2 for the
first structure and 1 3 for the second structure. At
larger time scales (10-day to seasonal), the non
stationarity of the rainfields requires to infer
separately a drift and the variogram of the residuals to
this drift (see appendix A for details).
2. REGIONAL SCALE
The CILSS data are used to analyze the spatial
structure at larger distances and for time steps ranging
from the daily to seasonal scale. In order to verify that
the modeling of the event rainfield structure carried
out with the sole E-N data alone was reasonably
extrapolated for distances larger than 150 km, a
comparison of the daily variograms obtained from the
E-N data, on the one hand, and from the CILSS data,
on the other hand, was carried out. (see Fig. 3a).
The decorrelation distance of the CILSS daily
variogram is larger than 1000 km with a spatial
variance of 150 mm². The point variance of the daily
E-N data is 180 mm². The CILSS variogram displays
an anisotropy comparable to that of the E-N
variogram. Accounting for the differences in sampling
and of the sensors, the CILSS data and the E-N data
provide a coherent picture of the variability of the
daily rainfields. The difference between the spatial
variance and the point variance is likely to be linked to
the assumption of a homogeneous population of rain
events not being fully verified, thus adding some
variance in the inter-event dimension. The daily
variogram is represented by a model similar to the one
used for the event variogram, with identical
parameters for the decorrelation distance and
anisotropy of the first structure, and a larger range and
stronger anisotropy of the second structure at the daily
scale.
At the monthly scale, the raw variograms (whether
computed as the mean or as the climatological) are
highly biased by the drift. When subtracting only the
North-South drift, the East-West residual variogram
still displays a drift, even though somewhat smaller.
This allows the identification of an East-West drift.
Subtracting both the North-South and the East-West
drifts produce a mean variogram devoid of any
apparent drift as can be seen in Fig 3b. The mean
monthly drift (correlation coefficient = 0.97) is the
following:
m( x, y ) = -0.75 y 2 - 9.62 y - 2.44 x + 412
(15)
x and y being the longitude and the latitude
coordinates in degree and m being in mm. The
decorrelation distance of the monthly residual
variogram is of the same order as that of the event
residual variogram (more than 1000 km) and is also
strongly anisotropic ( 1 3 ). An important point to
underline is that from the daily scale to the seasonal
scale, the raw variograms are biased by the NorthSouth and the East-West drifts. This drift is in fact a
function of the number of rainy days as shown in Fig.
4. RK is therefore a good candidate for interpolating
these fields.
d. A model of spatial structure based on scale
considerations
Ali et al. (2003) have developed a scale invariant
formulation of the structure function used for kriging
interpolation. This formulation uses the structure
function of the event rainfields as the kernel from
which the structure functions at larger time scales are
derived. This avoids the computation of a specific
61
a. DAILY VARIOGRAMS
b. MONTHLY VARIOGRAMS
1
1
2
2
3
3
FIG. 3. Variograms computed from 8 years of the CILSS data set for daily rainfall (left) and 13 years
(1990:2002) for the monthly rainfall (right). a1: mean East-West (E-W) variogram; a2. mean South-North
(S-N) variogram; a3: residual variogram of the daily rain field in the E-W direction. b2: mean monthly E-W
variogram with only the S-N drift subtracted. In b1 (S-N variogram) and b3 (E-W variogram), the drift is
subtracted both in the E-W and S-N direction. We can note a high anisotropy between the E-W
(decorrelation distance >10°) and the N-S (decorrelation distance » 4°) variogram both for the daily and the
monthly scale.
variogram for each time step of interest, and guarantees the overall coherence of the structure functions
over a broad spectrum of time scales. Rather than
identifying an average variogram for the 10-day or
monthly rainfall, for instance, rainfields are treated as
the accumulation of N event-rainfields, characterized
by a N-event variogram. The scaling function which
allows the derivation of this N-event variogram is the
field of the number of events N(x), the spatial structure
of which may be represented through the variogram of
the indicator function I: Ik(x)= 0 if no rainfall is
recorded at point x for event k and Ik(x)= 1 if rainfall is
recorded at point x for event k. Scale invariant kriging
will be considered here as a possible alternative to
traditional OK, UK, or RK, in order to obtain an
optimal error function.
62
FIG. 4. The drift along progressive time scales. Each curve represents the conditional (on non-zero values) mean rainfall for
the cumulative number of rainy days by band, normalized by the corresponding overall mean rainfall. The bands are either of
width 0.5° in latitude or 1° in longitude. We can note a progressive augmentation of the rainfall gradient with an increasing
number of rainy days, both in latitude (left) and longitude (right). The drift exists at all the cumulative time scales, thought the
gradient is smallest at one-day scale. The gradient is stronger as a function of latitude (around 6% at the one-day scale to 23% for
80 cumulative rainy days) than as a function of longitude (around 0.13% at the one-day scale to 3% for 80 cumulative rainy days).
4. Optimal interpolation of the Sahelian
rainfields
a. Possible interpolation functions
Five formulations of kriging are considered in
what follows for selecting an optimal interpolation
function of Sahelian rainfields. The tradeoff between
ordinary kriging and more sophisticated methods is
that the latter usually imply a greater number of
parameters to infer, which in turn means a lack of
robustness of the estimated parameters.
The first two formulations retained for the
comparison are thus two ordinary kriging methods
(corresponding to a stationarity assumption, assumed
to hold only at the event scale): i) ordinary kriging
with a simple climatological variogram (no anisotropy
and no nesting), denoted OK-NAN, ii) ordinary kriging
with a nested and anisotropic mean variogram denoted
OK-NA.
Three formulations are retained for the non
stationary case, all three using a nested and anisotropic
variogram (NAV) corresponding to the main features
of the empirical variograms (Fig 3b). As already
mentioned the number of rain events varies from
month to month (or from one season to another),
which makes the cumulative monthly (or seasonal)
rainfields inhomogeneous with respect to the
underlying stochastic process. To overcome this
problem, the NAV is scaled in order to account for the
variability of number of events. As kriging utilizes
this normalized variogram in this case, the “true”
kriging variance is obtained for a given rainfield by
multiplying the estimated (normalized) kriging
variance by the spatial variance of the field concerned.
Note that this problem of non-homogeneity does not
arise in the scaling approach since the number of
events is explicitly and directly taken into account in
its formulation (see Ali et al. 2003). In the application
of UK, it is assumed that the East-West drift is
negligible in comparison with the North-South drift.
In the application of RK, the drift is computed month
by month. Also, recent analyses show that there are
differences in the average rainfall pattern between the
Eastern and the Western Sahel. Consequently, the drift
model used reflects these differences. The last
formulation selected for the comparison is the scaling
approach referred to hereafter as SC. For the regional
comparison, the SC formulation was used in a
simplified way by assuming that the number of events
is equal to the number of rainy days, since at this scale
only daily raingauges are available.
b. Cross validation and criteria used for the
intercomparison
A cross-validation procedure (Seaman 1983) is
carried out to determine which of the five formulations under consideration can produce: i) the best
interpolation and ii) the more realistic value for the
associated errors. Several statistical indicators will be
used to that end, referring to the work of Willmott
(1984) who used five statistical criteria to evaluate the
performances of various interpolation methods. The
RMSE is sensitive to extreme values, though this
problem is attenuated in this study by the extremely
large size of the samples used. It was underlined that
the relationship between the correlation coefficient (r²)
and model performance is not well defined and the
magnitudes of r² are not consistently related to the
accuracy of prediction. It was suggested that in
conclusion, that the RMSE and the mean bias error
(ME) are among the "best" overall measures of model
performance for intercomparison.
The ME and the RMSE will thus be used here as
indicators of the overall coherency between the fields
under comparison. Defining ei as the difference
between the estimate Pi* and the observed value Pi :
ei = (Pi* - Pi)
(16)
The mean error is:
ME =
1
N
N
å (e )
(17)
i
i =1
with:
N = NS x Nf
(18)
where NS is the number of stations (cross-validation)
and Nf is the number of fields. As an example, for the
8 years of the CILSS network and a monthly time
step, NS = 600 to 650 and Nf = 24 (8x3), so that N
@ 15000.
The RMSE is computed as:
RMSE =
1
N
N
å (e )
2
i
(19)
i =1
The RMSE is of special interest to this study since
it provides a mean value of the estimation error that
can be directly compared to the average of the
theoretical standard deviation of the kriging estimation
error (ksd).
Two additional criteria are computed, in order to
quantify how close the theoretical errors are to the
empirical errors. The first, denoted I, is the quadratic
mean of the relative errors:
I=
1
N
æ ei
çç
å
i =1 è ksd i
N
ö
÷÷
ø
2
(20)
The closer to 1 that I is, the better the agreement
between the empirical and the kriging theoretical
errors. The other additional criterion is a comparative
measure of the dispersion of the theoretical error and
the dispersion of the empirical errors:
P1 = Nb{-ksdi< ei < ksdi; i= 1,N} and
(21a)
P2 = Nb{-2*ksdi< ei < 2*ksdi; i= 1,N}
(21b)
c. Results of the intercomparison
The intercomparison is carried out for the two
scales covered by the two available networks: the
mesoscale and the regional scale. At the mesoscale (EN network), a direct determination of the number of
rain events is possible, the drawbacks being, the area
covered is small in comparison of both the correlation
distance of the rainfall process and the resolution of
satellite products (typically 2.5°x2.5°). The regional
scale (CILSS network) is more relevant in the
perspective of satellite product validation and the
63
integral range of the process is well covered, the
drawback being that only daily values are available.
At the mesoscale, all three non stationary methods
provide similar and realistic values of the estimation
error, provided that the variance of the point series is
used as an estimate of integral range of the variogram,
instead of using the empirical spatial variance
computed from the observations. As already
underlined by Guillot and Lebel (1999), this variance
largely under-estimates the variance of the process and
the theoretical errors largely underestimate the
observed errors of the cross-validation procedure. At
the monthly time step, the value of I is 1.02 for SC,
1.08 for RK and 1.09 for climatological UK. These
results mean that, with a direct and precise
quantification of the number of rain events, SC is the
method providing the best evaluation of the estimation
errors, while RK and UK tend to slightly
underestimate the estimation errors.
The second step of the intercomparison procedure
is to work at the regional scale. Table 1 provides a
synthesis of the results obtained for the four time steps
considered and the various statistical criteria.
Differences in these statistical criteria are significant
due to the size of the samples (8 years of data and
cross validation on 600 to 650 stations in average).
There are three main results: i) Even though ME and
RMSE for RK are the smallest, the RMSE of the
different methods are generally very similar, meaning
that the CILSS network is dense enough for every
kriging estimate to perform similarly in terms of
interpolation [Vicente-Serrano et al. (2003) also find
that RK performs a little better in their intercomparison of interpolation methods applied to annual
precipitation in Spain]; ii) the theoretical estimation
error is far more sensitive to the approach under
consideration with, for a given time step, differences
of more than 60% in the average ksds and differences
of more than 100% in the values of I; iii) the RK
method provides the best estimates of the errors, with
I being close to 1 and ksd and RMSE differing by less
than 5%. One obvious reason for the good behavior of
RK is that the drift and the variogram of the residuals
are inferred separately, due to the large size of the
multi-annual data set. Another reason to consider, is
the fact that the residuals are more Gaussian than the
raw values, as linear kriging performs best for
multigaussian processses. A multivariate ShapiroWilk normality test (Royston 1982) applied to raw
monthly data of the 130 rain gauges (which have full
data since 1950) was rejected. When a simple ShapiroWilk normality test is applied gauge by gauge and
month by month (July, August, September), the test
was accepted for 35% of the samples, at the level 0.1.
When subtracting the drift (inferred by a Generalized
Least Square method), the test was accepted for 82%
of the gauges at the same level.
The Scale Invariance method does not perform as
well as expected, which is obviously linked to the
algorithm used to estimate the number of events from
64
the number of rainy days. A not surprising though
important conclusion arising from Table 1, is the fact
that using an inadequate structure function leads to
unrealistic theoretical values of the estimation errors,
strongly underestimating the observed errors. This is
illustrated in Fig. 5, reporting the distribution of the
ME values at the monthly scale on the left and the
distribution of the ksd values on the right. Caution is
thus required when using a kriging error directly as an
estimate of the ground-based error in the evaluation of
satellite algorithms.
5. Adaptation of the scaling approach and
derivation of the error function
The intercomparison of the various kriging formulations presented in section 4 was carried out through
a cross validation procedure comparing measured and
reconstituted point values. Most users are rather
interested in evaluating the error associated with an
areal estimation. This is especially true when it comes
to the evaluation of satellite estimates computed over
gird cells of typical size 1°x1° or 2.5°x2.5°. In many
circumstances, most linear interpolators taking the
geometry of the measurement network into account
(which is not the case for the arithmetic mean)
produce similar results (Weber and Englund 1992). In
our case, this is clear from the results of Table 1.
Differences in RMSE of point interpolation are small
and they would be still smaller for areal values (since
there are no “observed” areal values, the
intercomparison of section 4 cannot be carried out for
areal estimates) given the smoothing out of errors
produced by spatial averaging. On the other hand,
using a non-optimal method generates unrealistically
low theoretical errors, as shown in section 4.
TABLE 1. Intercomparison of interpolation methods at the regional scale. Regression Kriging (RK) performs the best with
RMSE close to ksd and a value of I that is nearest to 1 at all time scales. The other methods strongly underestimate the observed
errors (ksd < RMSE) and I >>1).
Mean
Sd
(observed (observe
)
d)
Daily scale
10-day scale
Monthly scale
OK –NAN
Climatological
Variogram
OK – NA Mean
Variogram
Regression kriging
(RK)
Universal kriging
(UK)
Scale invariance
(SC)
Regression kriging
(RK)
Universal kriging
(UK)
Scale invariance
(SC)
15.66
53.94
158.60
Scale invariance
(SC)
Regression kriging
(RK)
493.42
ksd
(mm)
RMSE
(mm)
I
P
0.015
7.75
11.08
2.21
0.78
0.008
10.02
10.62
1.40
0.84
0.002
10.1
9.63
1.01
0.85
0.05
25.72
29.73
1.26
0.72
-0.10
21.47
28.38
1.13
0.61
0.02
26.82
26.98
1.01
0.74
0.08
33.69
54.11
1.61
0.56
0.10
37.15
54.62
1.41
0.60
0.06
52.33
53.92
1.07
0.73
0.33
77.62
99.39
1.28
0.65
0.52
64.93
101.04
1.50
0.57
0.212
101.02 101.23
1.006
0.76
17.01
43.27
103.17
Regression kriging
(RK)
Universal kriging
(UK)
Annual scale
ME
(mm)
208.12
65
a
b
FIG. 5. a. distributions of the observed errors obtained by three different kriging estimates, computed by a
cross validation procedure over the 600 to 650 observations available each month (July, August, September) of a
eight year period. b. distributions of the theoretical kriging standard deviations computed with the same four
methods. The kriging interpolation value are not significantly different (a), in contrast the kriging estimation
variance is more sensitive to the method under considered (b).
Based on this, Lebel and Amani (1999) derived an
error function analytically that could be applied to
evaluate the errors associated with areal rainfall
estimation independently of the estimation method
used, providing that it makes a reasonable use of the
information available on the structure of the
phenomenon. This method is based on the time
scaling properties of the rain fields and was
successfully validated at the mesoscale. The general
expression of the function giving the relative error is
the following:
e( A, N g , K T , PT ) =
æ PT
ç
N g × K T çè K T
C1
ö
÷÷
ø
é
æ A
´ êC 2 + C3 Log ç
çN
êë
è g
only daily data are available. The resulting values
taken by the parameters C1, C2, C3 and C4 of equation
22 are as follows. For a 1°x1° grid cell, C1= 1.05, C2=
0.25, C3= 0.11 and C4= 0.03, which leads to:
1.05
N g × KT
e( A, N g , K T , PT ) =
æ PT
çç
è KT
ö
÷÷
ø
-0.2
é
æ A
´ ê0.25 + 0.11Log ç
çN
êë
è g
öù
÷ ú + 0.03
÷ú
øû
(23a)
-0.2
For a 2.5°x2.5° grid cell, C1= 1.05, C2= 0.28, C3=
0.17 and C4= 0, which leads to:
öù
÷ú + C 4
÷ú
øû
e( A, N g , K T , PT ) =
(22)
where A is the area (km²) for which the estimation is
performed, Ng is the number of gauges over this area,
KT and PT being the number of rain events and rainfall
total over the period considered respectively; C1, C2,
C3 and C4 are parameters whose values may depend
on the area A considered.
Rather than providing standard errors for 10-day or
monthly rainfall estimates, this error function yields
the error associated with the estimation of a PT
cumulative rainfall produced by KT rain events. As
seen in section 4 the direct application of the scaling
approach at the regional scale does not perform so
well, which is likely to be due to a poor evaluation of
the number of rain events (it was shown that SC was
the best method at the mesoscale when the number of
rain events was directly and precisely quantified).
Following a procedure presented in Ali (2004), the SC
method was thus adapted to deal with situations where
æ PT
ç
N g × K T çè K T
1.05
ö
÷÷
ø
-0.2
é
æ A
´ ê0.28 + 0.17 Log ç
çN
è g
ëê
öù
÷ú
÷ú
øû
(23b)
The distribution of errors obtained with these two
error functions is close to the corresponding reference
RK distributions of errors (Fig. 6). The error function
(Eqs. 23a,b) can thus be used as a realistic approximation to compute the uncertainty of areal rainfall
estimation in this region. One factor which is not
explicitly accounted for in this formula is the spatial
distribution of the gauges inside the cell of interest.
However, since the parameters C2 and C3 were
optimized using the current Sahelian network, their
value implicitly incorporate the diversity of situations
ranging from an almost uniform distribution in some
cells to much more uneven distributions in other cells.
66
2.5°x2.5
1°x1°
FIG. 6. Comparison of the distribution of errors obtained with the error function (expression 23) and with a full
application of the reference kriging algorithm (regression kriging). The errors are computed over the 6720 1°x1° and the
1152 2.5°x2.5° cells covered by the CILSS network. The two distributions are very similar. However, for the 1°x1°
cells, the error function tends to slightly overestimate the frequency of the larger errors (between 35 mm and 60 mm).
Typical error values for average months of
September and August are given in Table 2. Fig. 7
shows how the estimation error for a cumulative
rainfall of 210 mm (average August rainfall)
decreases when the number of stations increases
depending on the number of events. For instance, on a
2.5°x2.5° cell, a similar error of about 15% is obtained
for the 4 following configurations: 5 events-7 station,
10 events-5 stations, 15 events-4 stations, 25 events-3
stations. Another result worth noting in Table 2 stems
from the comparison of the errors computed for 1
station on a 1°x1° cell with those computed for 6
stations on a 2.5°x2.5° cell (underlined numbers in
Table 2). These two configurations correspond to
approximately the same density of observations.
However the errors are far smaller for 6 stations on a
2.5°x2.5° cell than for 1 station on a 1°x1° cell: the
spatial integration over large areas significantly
reduces the effect of the variability of the
phenomenon.
Expression 23 takes into account the time structure
of rainfall, through the parameter KT and will thus in
general provide more accurate values of the estimation
errors than methods not taking into account this time
structure. A simplified climatological formulation
considers that all the rain events bring the same
amount of point rainfall me, meaning that when PT is
known then KT = PT/me.
Assuming this mean event rain depth me to be 14
mm (as determined from the EN observations), then
expression 23a may be written as:
e( A, N g , K T , PT ) =
1.05 * 14
N g × PT
(14 )-0.2
é
æ A
´ ê0.25 + 0.11Log ç
çN
êë
è g
öù
÷ú + 0.03
÷ú
øû
Replacing A by its value for a 1°x1° cell (12000
km²), it then comes:
e( N g , PT )
1°
0.232
=
[
N g × PT
]
´ 1.28 - 0.11Log (N g ) + 0.03
(24a)
Similarly for a 2.5°x2.5° cell (75000 km²):
0.232
e( N g , PT )
=
2.19 - 0.17 Log (N g )
2.5°
N g × PT
[
]
(24b)
The errors computed using the climatological
formula 24 are reported in Fig. 7 (thick dashed line)
for the month of August (15 events bringing 14 mm
each), showing that in case of stronger rain events
than average (meaning a smaller number of events),
using the climatological formula leads to a significant
underestimation of the estimation error. In reality the
most common situation is when one or two very
strong events occur. This will not necessarily change
by much the total number of rain events but will
produce a similar effect to having a smaller number of
events because there will be a large error associated
with the strong events (this effect was studied in Lebel
and Amani, 1999).
In Fig.8 the errors obtained for the three most rainy
months (July, August, September) with the climatological formula are compared. If one considers the
average situation of 3 stations on a 1°x1° cell and 15
stations on a 2.5°x2.5° cell, then the climatological
errors range from 14% to 20% on the 1°x1° cell and
from 7% to 12% on the 2.5°x2.5° cell. With a more –
but much less representative of the average situation –
favorable density of 6 stations on a 1°x1° cell, then the
67
climatological errors decrease to 10% in August and
14% in September. Note that, after correction for
different densities and area of integration, these values
remain larger by about 15-20% than those computed
in Lebel and Amani (1999) for a 10,000 km² area. For
instance Lebel and Amani (1999) gave an error of 9%
for a 4-station network on 10,000 km², as compared to
10.8% computed here with formula 24 for a 5-station
network on a 1°x1° cell (11,800 km²). This is due to
the second nested structure in the variogram that was
neglected in Lebel and Amani (1999).
1°*1°
50
Nb of Events: 5
Nb of Events: 10
Nb of Events: 15
Nb of Events: 20
Nb of Events: 25
Climatology
Estimation error (%)
40
30
20
10
0
2
4
6
8
10
8
10
Number of Stations
2.5°*2.5°
50
Nb of Events: 5
Nb of Events: 10
Nb of Events: 15
Nb of Events: 20
Nb of Events: 25
Climatology
40
30
20
10
0
2
4
6
Number of Stations
FIG. 7. Estimation error (for an August mean rainfall of 210 mm) as a function of the
number of available stations; the errors are computed using the error functions 23a (1°x1°) and
23b (2.5°x2.5°) for different time distributions of the monthly rainfall (the time distribution is
represented by the number of events, KT, having produced the monthly total of 210 mm). The
simplified formula correspond to a mean event rainfall of 14 mm, or 15 events for a monthly
rainfall of 210 mm (expression 24a and 24b).
68
60
'July, 1°'
'August, 1°'
'Sept, 1°'
'July, 2.5°'
'August, 2.5°'
'Sept, 2.5°'
50
40
30
20
10
0
2
4
6
8
10
Number of Stations
FIG. 8. Estimation errors for the three most rainy months (July, August, September). The errors are
computed for the average monthly rainfall and number of events of the period 1990-2000 in the region of
Niamey (July: 155 mm in 11 major events; August: 210 mm in 15 major events; September: 70 mm in 6
major events).
TABLE 2. Estimation errors (%) for average months of August (210 mm in 15 events) and September (70
mm in 6 events) – climatology for the region of Niamey.
August
1 station
3 stations
6 stations
10 stations
23.5
13.7
10.1
8.2
35
18.5
12.3
9.1
1°x1°
36.6
20.6
14.6
11.5
2.5°x2.5°
57.3
30.3
20.1
14.9
1°x1°
2.5°x2.5°
September
6. Conclusion :
The ultimate goal of the work presented here was
to develop and validate an error function to be used as
a tool in the evaluation of the performances of satellite
rainfall products over the Sahel. This development
was carried out in three steps, each of which produced
its own results.
The first step, led to the identification of the
average structure of the Sahelian rain fields at five
time steps (rain event, daily, 10-day, monthly,
seasonal). These fields are all characterrized by a
strong anisotropy and, for time steps larger than daily,
are spatially nonstationary. It is therefore necessary to
identify the climatological drift before inferring the
structure function of the stationary residuals to the
drift. This structure function is made of two nested
structures. The first corresponds to the convective
scale. The decorrelation distance (0.2°) and anisotropy
coefficient (0.5) are invariant with the time step
considered. The second structure is related to the
general organization of the Mesoscale Convective
Systems and is characterized by a décor-relation
distance increasing from 4° for daily rainfall to 5° for
69
annual rainfall. The anisotropy (0.3) coefficient is
larger than the anisotropy coefficient of the first
structure.
The second step used two networks representing
different scales (EN, 16,000 km² and CILSS, 3
millions km²) in order to intercompare five kriging
algorithms, whose optimality depends on the relevance of the structure function used. At the regional
scale more than 600 rain gauges were available to
carry out a cross validation study focusing on three
months (July, August, September) and 8 years. All
methods perform similarly in terms of estimation bias
with an average error of 54 mm at the monthly scale
for instance. Regression kriging appears to be the best
method in the sense that its theoretical errors are the
closest to the observed errors, as computed from the
cross validation procedure. The superiority of
Regression Kriging is attributed to both an accurate
representation of the drift and to the residuals being
more Gaussian in distribution than the raw values.
The last step was the derivation of an error
function to be applied for computing relevant
estimation errors when rainfall is estimated over grid
cells (in the previous step, the cross validation relates
to the estimation of point values). The analytical
formulation allows the computation of the error
associated with rainfall estimation over an area A with
a number Ng of gauges over this area. For the CILSS
network – which is the best network possibly
accessible today in the region – 80% of the monthly
estimation errors over the 280 1°x1° cells of the
region are ranging from 8% to 28%; 80% of the
monthly estimation errors over the 48 2.5°x2.5° cells
of the region range from 5% to 22%. Typical errors
for the average situation of 3 stations on a 1°x1° cell
and 15 stations on a 2.5°x2.5° cell were also computed. The climatological errors range from 14% for the
month of August to 20% for the month of September
on the 1°x1° cell and from 7% for the month of
August to 12% for the month of September on the
2.5°x2.5° cell. The theoretical errors given here,
taking into account the anisotropy and nested structure
of the Sahelian rainfields and extensively validated on
observations using a cross-validation procedure, are
deemed more accurate than those previously
computed by Lebel and Amani (1999).
The logical follow up of this work – that is using
the error function for the intercomparison of satellite
rainfall products – is the object of a companion paper.
initiated by the French Ministry of Research. Special
thanks are due to the “Departement Soutien et
Formation” of IRD for the grant allocated to the first
author of this paper. We would also like to
acknowledge S. Bonaventure for his efforts in the
valorization of the AGRHYMET Center rainfall data
base, J.-L. Diasso and J. Nicol for their help in proofreading the article.
Acknowledgments
where
This research was funded by IRD in the
framework of the AMMA-CATCH “ORE” program
NOTATION
Some nonstandard notation used in the text
OK-NAN : ordinary kriging with a simple climatological
variogram (no anisotropy and no nesting)
OK-NA: ordinary kriging with a nested and
anisotropic mean variogram denoted
NAV: nested and anisotropic variogram
Ksd: the theoretical standard deviation of the kriging
estimation error
I: quadratic mean of the relative errors
SC : "scaling" kriging
APPENDIX A
On the different variogram models used
for different times scales
All variograms apply to the residuals (e) from the
drift ( m ), apart from the event and daily variograms.
They all have the same form:
g (h) = s 0 + s 1[1 - Exp(- Sh1 )] + s 2 [1 - Exp(- Sh2 )]
(A.1)
The two main axes of anisotropy are oriented
East-West (EW) and South-North (SN). The
anisotropy is accounted for by computing an non
Euclidian distance, using the following formula:
2
h = h
2
EW
æh ö
+ ç SN ÷
è a ø
2
(A.2)
a is the anisotropy coefficient.
The parameters of the variograms inferred from
the E-N and CILSS data sets are reported in table A.
70
Table A. Parameters of the variograms inferred from the E-N and CILSS data sets. Note that the first structure is very stable at all
time steps (S1= 0.2 and a1= 0.5 or 0.6).
Exponential nested and anisotropic model parameters
Spatial scale
Mesoscale
(E-N)
Regional
Scale
(CILSS)
Temporal
s0: nugget, s1: sill 1st structure, s2: sill 2nd structure (mm²);
scale
S1: range 1st structure, S2: range 2nd structure (km);
Event
a1 and a2 anisotropy coefficients.
s0 = 0, s1 = 100, s2 = 105, S1= 0.2, S2= 2, a1= 0.6, a2 = 0.5
10-day
s0= 20, s1= 380, s2= 500, S1= 0.2, S2= 3, a1= 0.5, a2= 0.6
Monthly
s0= 60, s1= 1200, s2= 900, S1= 0.2, S2= 3.5, a1= 0.5, a2= 0.52
Annual
s0= 300, s1= 3000, s2= 4000, S1= 0.2, S2= 3.5, a1= 0.5, a2= 0.52
Day
s0= 0, s1= 100, s2= 50, S1= 0.2, S2= 4, a1= 0.6, a2= 0.3
10-day
s0 = 210, s1 = 525, s2 = 420, S1 =0.2, S2 =4.3, a1 =0.5, a2 =0.3
Monthly
s0 = 560, s1 = 1120, s2 = 1120; S1 = 0.2, S2= 5, a1= 0.5, a2= 0.3
Annual
s0=2700, s1= 3600, s2=3600, S1= 0.2, S2= 5, a1= 0.5, a2= 0.3
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72
Complement* à l’article : “Rainfall estimation in the Sahel. Part 1: Error Function”
The scaling approach and its implementation at regional scale
a. Theoretical estimation error derived from the
scaling approach
Ali et al. (2003) proposed a scaling approach to
describe the structure of Sahelian rainfields over a
range of time scales. For any value of KT (KT = total
number of rain events over the whole region during
the period considered), the scale invariant approach
permits a direct computation of the associated
variogram gK for the KT event cumulative rainfields:
g K (h) = K T {[mI - g I (h)]g e (h)
}
+ [(s e ) 2 + (me ) 2 ]g I (h)
The estimation error associated with the estimation
of the areal rainfall over an area A sampled by a
network C is defined as (Journel and Huijbregts,
1978):
(B.2)
with
g 00 =
1
A2
N
òò g
K
(h) d 2 A
(B.2a)
A
N
g NN = åå li l j g K (hij )
i =1
1
g K (hix )dA
A òA
(B.2c)
Assuming that the event variogram and the
indicator variogram are independent, relation (B.2)
yields:
s 2 K (C , A) = K T [mI s e2 (C , A) + (s e2 + me2 )s I2 (C , A)
+ mI s e (C , A)s I (C , A)]
(B.3)
(B.1)
where ge(h) is the event variogram (see Table B) and
gI(h) is the indicator variogram (see Table B); me,
se², mI, sI² represent respectively the mean and the
variance of the rain process at the event time scale,
and the mean and the variance of the indicator, also
at the event time scale.
sK²(C,A)= – g00 – gNN –2g0N
N
g ON = å li
where se²(C,A) is the event kriging variance, and
sI²(C,A) is the indicator kriging variance.
The knowledge of KT is sufficient to compute the error
at any time scale. Note that the scale relation can be
used for kriging or for the direct computation of the
error associated with a given network C, after
evaluating the error at the event scale. se²(C,A) and
sI²(C,A) are computed using expressions B.2 through
B.2c where gK is replaced by ge and gI respectively.
The application of the scaling approach at the regional
scale and for large grids encounters two major
difficulties: i) when only daily reading gauges are
available, a direct determination of the rain event is
not possible, and the hypothesis is made that the
number of rain events over a grid can be determined
from the number of rainy days, ii) it has to be
determined how a given day will be considered as a
rainy day for a given cell.
(B.2b)
i =1 j =1
TABLE B. Parameters of the daily indictor variogram model (expression A.1)
Exponential nested and anisotropic model parameters
s0: nugget, s1: sill 1st structure, s2: sill 2nd structure (mm²);
Spatial scale
Temporal scale S1: range 1st structure, S2: range 2nd structure (km);
a1 and a2 anisotropy coefficients.
Regional (CRA)
*
Daily Indicator
s0= 0.085, s1= 0.06, s2= 0.095, S1= 0.12, S2= 4.1, a1= 1, a2= 0.5
Ce complément n’est pas publié avec l’article, mais il détaille la procédure de mise en œuvre de la fonction
d’erreur à l’échelle de toute la bande sahélienne utilisée dans l’article. On y notamment trouve la procédure de
calcul du nombre d’événements à partir des cumuls de pluie journaliers.
73
b. Adaptation of the scaling approach when only
daily observation are available
1. FILTERING OUT THE ISOLATED SMALL RAIN EVENTS
Five approaches to determine the number of events
have been tested in order to filter out small isolated
systems whose contribute less than 10% of the total
JAS rainfall.
The first three approaches are based on the
exploration of the 8 cells surrounding the cell of
interest (Fig. B.1), thus forming a 3x3 window. In the
first approach 2x2-cell windows are taken into account
(case 1 in Fig. B.1). In the second approach 2x3-cell
windows are used (case 2 in Fig. B.1). In both cases
there are four possible configurations. In the third
approach the whole 3x3 window is considered (case 3
in Fig. B.1). For each of these three cases, all the
windows are explored and the percentage p of gauges
reporting rainfall in each of them is computed. A
threshold ap is then determined. If p>ap, for at least
one of the four possible configurations of cases 1 and
2 the day is counted as being “rainy” for the central
cell of the 3x3 window. For case 3 the criterion
applies to the whole 3x3 window.
The fourth method consists of kriging the indicator
for the cell under consideration (value = 1 at the gauge
if daily rainfall is larger than 0.5 mm; value = 0
otherwise). Using the E-N area as a test area it was
then shown that the cell could be considered as
associated with a major rain event if the integral of the
indicator over the cell is larger or equal to 0.4.
The fifth approach consists in kriging the indicator
at 50 nodes into the grid. The day is considered as
associated with a major rain event if the percentage of
nodes with value 1 is over a threshold (threshold
values of 20 and 30% were tested).
The criterion to determine the optimal threshold
for each method and then to determine the best of the
five approaches was the capacity of reproducing the
number of rainy days computed on the E-N study
area (where a major rainy day can be precisely
known). The best method is the first approach with a
threshold value ap =20%. The correlation coefficients
between the number of major rainy days during a
month determined by these approaches with the CRA
data and the number of the rainy days directly
computed from the E-N data is 0.96 for the best
approach, 0.91 for the fourth approach and 0.87 for
the fifth approach.
2. ADDITIONAL CORRECTION FOR TWO DIFFERENT
SYSTEMS BEING PRESENT IN THE WINDOW
Another bias in the computation of the number of
rain events from the number of rainy days is linked to
the possibility of having two different systems in the
window the same day. When comparing the error
distribution of SC to that of RK, it is seen that the SC
distribution is shifted to the left (Fig B2), indicating an
underestimation of the errors that can be attributed to
an underestimation of KT in expression B.3. This is
consistent with the results obtained in Table 1 for the
estimation of point values (non adapted SC tends to
underestimate the estimation errors). The following
procedure was followed in order to compute an
optimal value of KT ( K T* = a * K T )
Since RK was shown to be the best linear unbiased
estimator for the region studied here, it is used as a
reference. The theoretical RK monthly estimation
errors associated with the CRA network are
computed for each grid cell of the regional study area
(280 1°x1° cells and 48 2.5°x2.5° cells) and for 24
months (JAS for 8 years). The distributions of the 1°
errors (6720 values) and of the 2.5° errors (1152
values) are the references to which the SC
distribution of errors is compared. The optimal value
a* is the one for which the best matching is obtained
between the RK and SC theoretical distributions of
errors. As may be seen from Fig. B2, the values a* =
1.2 for 1°x1° grid cells and a* = 1.5 for 2.5°*2.5°
grid cells provide a good matching between the RK
and SC theoretical distributions of errors. As expected the optimal value a* is scale dependant, since the
probability of having two different rain events
occurring on a grid cell for a given day increases with
the size of the cell.
Replacing KT by K*T in expression B.3 leads to
expression B.4 which allows the computation of more
realistic estimation errors with the SC method and to
the calculation of the error function presented in
section 5 of this paper.
s 2 K (C , A) = K T* [m I s e2 (C , A) + (s e2 + me2 )s I2 (C , A) + m I s e (C , A)s I (C , A)]
(B.4)
1.
2.
3.
FIG. B1. Different approaches to filter out the rainy days associated with small isolated rain events.
74
75
2.5°x2.5
1°x1°
FIG. B2. adaptation of the scaling approach. After optimal determination of the major rainy day
(see appendix B for detail), the distribution of the ksd from the SC is left shifted both for the 1°x1° grid
and 2.5°x2.5° grid, which is conform with the table 1: the SC underestimates the error variance. The
adaptation yields
K T*
= 1.2 N day over 1°x1° and
K T* = 1.5 N day
over 1.5°x1.5° . And the final
figure show a good agreement between the SC adapted and the RK optimal reference value.
76
Rainfall Estimation in the Sahel. Part 2
77
Article
Evaluation of Raingauge Networks in the CILSS Countries and
Objective Intercomparison of Satellite Rainfall Products
79
Rainfall Estimation in the Sahel. Part 2: Evaluation of Raingauge
Networks in the CILSS Countries and Objective Intercomparison
of Satellite Rainfall Products.
1,2
2
1
1
Abdou ALI , Abou AMANI , Arona DIEDHIOU , Thierry LEBEL
Submitted for publication in Journal of Applied Meteorology
Abstract
This study concerns the accuracy of ground-based precipitation estimates and those of various satellite
products in the Sahelian region covering the period 1986 to 2000. The evaluation of the entire operational
network of Sahelian countries indicates that on average the monthly estimation error for the July, August,
September period (JAS) is around 12% at spatial scale 2.5°x2.5°. The estimation error increases from
south to north and remains below 10% for the area south of 15°N and west of 11°E (representing 42% of
the region studied). In the Southern Sahel (South of 15°N) the rain gauge density needs to be at least 10
gauges per 2.5°x2.5° grid cell for a monthly error of less than 10%. In the Northern Sahel this density
increases to more than 20 gauges, due to the large intermittency of rainfall. In contrast, for other
continental regions outside Africa, some authors have found that only 5 gauges per 2.5°x2.5°grid cell are
needed to give a monthly error of less than 10%.
The satellite products considered in this comparison are: CMAP, GPCP, GPCC and GPI*. Two
operational networks (CRA* and synoptic) of smaller density than the entire reference network are also
considered. Several methods (scatter plots, distribution comparisons, root mean square error, bias, Nash
Index, significance test for the mean, variance and distribution function and the standard deviation
approach for the kriging interval) are first used for the intercomparison. All these methods lead to the
same conclusion that CMAP is the best product overall, followed by GPCC, GPCP and GPI with large
errors for GPI. However, based on the root mean square error, it is found that the ground rainfall product
obtained from the CRA and synoptic networks are better than the four satellite products in the region.
Finally, based on the error function developed in a companion paper, an approach is proposed to take into
account the uncertainty due to the fact that the reference values are not the real ground truth. This method
was applied to the most densely sampled region in the Sahel and led to a significant decrease of the raw
evaluation errors. The re-evaluated error is independent of the gauge references.
Abdou ALI, LTHE, BP 53
[email protected]
*
For acronyms see section 3
1
2
80
1. Introduction
Various rainfall products, widely available through
Internet, are increasingly used as standard input to run
hydrological and crop models or to validate
atmospheric model outputs. In general, these products
combine information from satellites – Infrared
imagers (IR), Microwave Imager (such as SSM/I),
Radars (TRMM) – and/or raingauges. In recognition
of the necessity to evaluate these rainfall products as
rigorously as possible, several studies (e.g., Morrissey
and Greene 1993; Chiu et al. 1993; Xie and Arkin
1995; Ebert and Maton 1998; Bell et al. 2001; Adler et
al. 2001; Ha et al. 2002) have assessed the quality of
products from different parts of the world and have
shown that the performance of algorithms and the
added value of rainfall products may depend on the
region concerned (Kummerow 2004).
For at least three main reasons, such a validation is
especially needed in West-Africa: i) the severe
drought that started in the beginning of the 1970’s, has
made precipitation more irregular and more difficult to
estimate; ii) after reaching a peak in the early 1980’s,
in situ networks are now becoming less dense iii)
West-Africa is one of the world's most sensitive
regions in terms of precipitation variability because its
economy is still largely dependent on rain-fed
agriculture.
Several papers dealing with rainfall estimation in
Africa were published in recent years, such as those of
Thorne et al. (2001) for South Africa and McCollum
(2000) in equatorial Africa. In West Africa, Laurent et
al. (1998) compared and discussed the validation of
estimates resulting from five satellites methods, while
Ramage et al. (2000) compared rainfall products with
different resolutions in Niger. Jobard (2001) reviewed
satellite-based rainfall retrieval using multi-source
data. However, a comprehensive evaluation of various
rainfall products remains to be carried out for Africa.
The work presented here may be considered as one
step in that direction. Focusing on the Sahel, it adds to
previous work in several ways. Firstly it explicitly
addresses the problem that the reference values are not
the real ground truth (section 2). Secondly, as
explained in section 3, this study covers a longer
period (1986-2000) than any previous work carried
out in West Africa, thus dealing with a much larger
range of climatological conditions. Thirdly, based on
the error function developed in a companion paper
(Ali et al. 2004), this study deals with both groundbased estimates and satellite products (sections 4 and
5). Finally, a way of incorporating the uncertainty
associated with reference rainfields into the
assessment of the quality of satellite estimates is tested
in section 6.
2. Problem Statement and Methodology
a. Generalities
Satellite-based rainfall estimates have been an
important research topic since the first operational
methods were proposed in the early 1980’s [e.g. from
the initial review of Barret and Martin 1981, to the
more recent analyses of Petty 1995, dealing with
satellite rainfall estimation over land, and Levizzani et
al. 2001, dealing with future perspectives]. Two
important points must be considered with respect to
satellite-based estimate evaluation and intercomparison. First, satellite-based estimates are areal values
while ground based references are point values,
raising the question of the significance of statistics
computed using a reference estimate instead of the
unknown true value. The second concern is linked to
the objectives of the evaluation and intercomparison,
raising the question of which statistics should be used.
In others words, which products give the best
estimates and in what ways these estimates are better.
Several statistics will be used here to substantiate this
analysis. Traditionally, estimate evaluation has laid
emphasis on bias (correspondence between mean
values), co-fluctuation (the strength of the linear
relationship between the estimate and a reference
value) and accuracy (the point by point level of
agreement between the estimate and the reference).
However, other performance characteristics are
important in assessing the quality of an estimate. For
example, a difference in the frequency of low values
for two products having similar mean statistics is of
great importance for agricultural applications. On the
other hand, upper extreme values are of greater
importance in hydrology.
b. Relationship between statistics computed using
a reference value and those of the unknown true
value
The most usual statistics used in satellite product
evaluation relate to the bias (b), the root mean square
error (RMSE) and the correlation coefficient (r). For
more details and discussion of these standard
statistics, see, for example, Stanski et al. (1989).
These statistics are in general computed from an
estimated reference value (bSR, RMSESR, rSR). In the
following, the bias and the root mean square error are
computed using the true reference value (bST,
RMSEST). As this true reference is unknown, the
statistics will be expressed as a function of those
derived from the estimated reference value.
Considering that RS is a satellite estimate, RT the
true unknown value and RR the reference value, bST
will be the bias of RS with respect to RT, bSR the bias of
RS with respect to RR and bRT the bias of RR with
respect to RT. Also RMSEST, RMSESR, RMSERT will be
the respective RMSEs. Thus:
·
bST = E ( RS - RT )
= E ( RS - RR ) + E ( RR - RT )
= bSR + bRT
(1)
81
So if the reference value is unbiased, the bias of the
satellite estimate with respect to this reference value is
the true bias.
· Computation of RMSEST
Denoting:
DSR = RS –RR ; DST = RS -RT ; DRT = RR -RT and:
s D2SR = E ( RS - RR ) 2 = ( RMSE SR ) 2 ;
s D2ST = E ( RS - RT ) 2 = ( RMSE ST ) 2 ;
s D2RT = E ( RR - RT ) 2 = ( RMSE RT ) 2 and
since RS –RR = (RS – RT ) – (RR –RT), we have:
s D2SR = E ( RS - RT ) 2 - 2Cov( RS - RT , RR - RT )
+ E ( RR - RT ) 2 - 2 E ( RS - RT ) E ( RR - RT )
(2)
or:
s D2ST = s D2SR -s D2RT + 2 Cov (D ST , D RT )
+ 2bST bRT
(3)
The relationships above show how the bias and the
random error of the reference value can have a
significant influence on the computation of the raw
statistics. The evaluation of the reference value is thus
a crucial part of any objective validation and intercomparison exercise.
Using these relationships, two approaches are
possible. First, one can directly base the analysis on
the raw statistics computed using the estimated
reference values, without taking into account their
uncertainty. This means that more confidence is given
to the reference value than to the evaluated products.
This is acceptable if the reference value error is much
smaller than the expected error of the evaluated
product.
This is, for example, the implicit assumption of
Nicholson et al. (2003) in their comparison of rain
products, which does not include a quantification of
the possible error of the reference. This makes it
difficult to assess the degree of significance of the
statistics obtained. Thorne et al. (2001), on the other
hand, evaluate the reference uncertainty to draw
attention to the significance of their statistics, but do
not use it directly in their calculation.
The second approach is more objective but also
more complicated. The statistics (bST, RMSEST) are
related to the true unknown values. Considering Eqs.
(1), and (3), this approach first requires estimation of
the following associated statistics: bRT, RMSERT,
Cov (D ST , D RT ) . Correction of the raw RMSE
s D2ST = s D2SR - s D2RT
(4)
In others words, the satellite product errors and
ground product errors are assumed to be independent.
Since “satellite” products often consist of a merging of
raingauge data and satellite information, the reference
raingauge and satellite products have some common
information, which implies that Cov(D ST , D RT ) may
not be equal to zero and its influence may be
significant in relation (3). The importance of
Cov(D ST , D RT ) may depend on the relation between
the gauges used for validation and the gauges which
are included in satellite estimates. This situation is a
critical point for large scale validation exercises of
satellite products in West-Africa, since the available
raingauge network generally used to create the
reference value is often not dense and not very
different from the network used to create the merged
satellite products. Moreover, the nongaussianity of
rain-fields accentuates the effects of the computing
bias. The application of the assumption that the error
covariance is equal to zero must be considered with
much attention. We analyze below how to account for
ground-based sampling error in the evaluation error of
satellite products i.e how can RMSEST be computed by
application of Eq. (3) without neglecting the
covariance. The results obtained with and without
taking into account the reference uncertainty will be
compared.
a. Estimation of the terms of equation (3)
In order to assess the RMSEST from Eq. (3), the
terms bRT, RMSERT, Cov(D ST , D RT ) are estimated as
follow.
1) ESTIMATION OF THE TERM RMSERT
The question of computing RMSERT has been
treated in the companion paper, Ali et al. (2004). A
cross validation procedure has been used to
investigate different kriging methods designed to
improve the calculation of the ground-based error
(RMSERT). A relative error function [Eq. (5) below]
has been established and will be used here for the
computation of RMSERT.
e( A, N g , K T , PT ) =
1.05
N g × KT
æ PT
çç
è KT
ö
÷÷
ø
-0 .2
é
æ A
´ ê0.28 + 0.17 Log ç
ç Ng
è
ëê
öù
÷ú
÷ú
øû
(RMSESR) has been attempted by some authors.
Branston (1991), Ciach and Krajewski (1999),
Gebremichael et al. (2003), for instance, have used
Eq. (3) in which they assume Cov (D ST , D RT ) and
(5)
with:
A grid area in km², N g number of raingauges in area
bST bRT to be equal to zero. The method has been
called EVS (error variance separation) and Eq. (3)
becomes:
period, PT cumulative rainfall over the same period in
A , K T number of events during the considered
82
mm, e relative estimation error of the mean areal
rainfall.
A major variable concerning the error variability in
this error model is the number of events, which is the
most important explanatory factor of the Sahelian
rainfall variability (Le Barbé et al. 2002). Several
approaches to determine the number of events on a
regional scale, where only daily data is available, are
discussed and validated in part 1.
2)ESTIMATION OF THE TERMS: bRT, Cov (D ST , D RT )
·
The bias: bRT
Geostatistical analysis is an unbiased interpolation
method. The evaluation procedure in the companion
paper shows that the bias is practically equal to zero.
So if the point measurement is assumed to represent
the "true" rainfall, the areal rainfall bias can be
assumed to be equal to zero. Otherwise the bias of the
areal rainfall is equal to the point one.
·
Cov(D ST , D RT )
Since a direct computation is not possible here, we
analyze on the one hand the possibility of neglecting
this term. This option consists of an application of
EVS (Eq. 4). On the other hand an area with dense
network coverage (D) will be chosen for the
assessment of this covariance. The estimation R D from
this dense network can be assimilated to RT , then
Cov(D ST , D RT ) will be estimated as Cov(D SD , D RD ) .
The importance of the estimated covariance will be
analyzed and the two approaches compared in section
6.
3. Sahelian Rainfall Products: Raingauges
and Satellites
a. Raingauge Products
The AGRHYMET raingauge database (see Ali et
al. 2004, for details) is used here to study various
ground based products. Three kinds of networks (Fig.
1) are considered: i) the whole operational network
(average of 650 raingauges with data available at the
end of the rainy season), hereinafter referred to as
“CILSS”; ii) the monitoring network (about 250
Raingauge with data available on a 10-day basis at the
AGRHYMET Regional Center), hereinafter referred
to as “CRA”; iii) the synoptic network (80 raingauges
with data available on a daily basis through the GTS),
hereinafter referred to as “SYN”. In accordance with
the resolution of the satellite products presented
below, regression kriging is used to create a rainfall
product based on a 2.5°x2.5° grid for these three
networks over the period 1950-2002.
Fig. 1: The operational networks for the Sahelian region. The CILSS network (650 gauges on
average) is available at the end of the rainy season at the AGRHYMET Center, the CRA network
(280 gauges) is available every 10 days and the SYN network (80 gauges) is available daily.
83 -
b. Satellite Products
1) THE GPCC AND GPCP OPERATIONAL DATA SETS
The Global Precipitation Climatology Center
produces monthly gridded 2.5°x2.5° rainfall estimates
based on gauge-only data from GTS (the Global
Telecommunications System) and other records
(Rudolf 1993). This product is referred to as GPCC.
Even though GPCC is treated as a satellite product in
this work, this is only for purposes of comparison, the
GPCC product is only based on raingauge measurements. The Global Precipitation Climatology Project
(GPCP) rainfall product combines different information (gauges, satellites IR and MO). The GPCP
product is described in Huffman et al. 1997. The
primary GPCP product is a monthly analysis based on
a global 2.5° latitude ´ 2.5° longitude grid spanning
the period from January 1979 up to the present date. A
second product is a 5-day global analysis (Xie et al.
2003) and a third is a daily 1° latitude ´ 1° longitude
analysis from January 1997 to the present date
(Huffman et al. 2001).
2) THE CMAP DATA SET
CMAP (Climate Prediction Center Merged
Analysis of Precipitation) was constructed by Xie and
Arkin (1997). The temporal and spatial scales are
similar to those of GPCP, except that there is no daily
CMAP product. The first step is to combine the
various satellite estimates based on IR, SSM/I and
MSU data using a maximum likelihood approach in
which weighting coefficients are inversely proportional to the squares of the individual random errors.
The resulting satellite-based analyses provide the field
shape, which is then adjusted to the raingauge data
(where available).
3) THE GPI
The GOES Precipitation Index (Arkin et al. 1994)
assumes that a 3 mm rainfall occurs every hour of cold
cloud duration over a pixel. Due to its simplicity, GPI
is still widely used for climatological studies of global
precipitation. This is the only pure satellite product,
among the four studied here.
4. Evaluation of the CILSS Raingauge
Networks
a. Sahelian Operational Network Error
Analysis
Several authors (e.g., Rudolf et al. 1994; Morrissey
et al. 1995; Xie and Arkin 1995) suggest that 5
raingauges over a 2.5°x2.5° cell are sufficient to
guarantee an estimation error of less than 10% (1) for
the areal monthly rainfall over the cell. This result
1
Percentage error is calculated with respect to the
mean of the variable considered.
does not hold for the Sahelian region, as may be seen
from the study of Lebel and Amani (1999). In fact, as
clearly shown in Eq. (5), the estimation error depends
both on the monthly total and the number of recorded
rain events in this total. The greater the number of
events for a given total, the greater the smoothing of
the event-scale spatial variability and consequently the
smaller the estimation error.
This is well illustrated in Fig. 2a, showing the
dispersion of estimation errors computed for the same
number of gauges available over a 2.5°x2.5° cell. For
5 gauges over a 2.5°x2.5° grid, the error varies from
5% to 30%, depending on the area and month
considered. The error is maximum for dry months in
the northern part of the domain and minimum in the
south of the domain where, on the average, a larger
number of rain events are recorded. This dispersion
factor is amplified by the fact that, as seen in Fig. 1,
the network is far from homogeneous in terms of
density. Even when limiting the computation to the
three months of the core of the rainy season (JAS:
July, August, September), in order to obtain a more
homogenous sample, the dispersion of errors over a
total sample of 1287 values (39 cells * 3 months * 11
years) is still significant, with 80% of the 2.5x2.5°
errors in the range of 5% to 22%. Averaged over the
whole period of study and JAS, the mean monthly
error is 12% for the entire Sahel but only 9% for
latitudes below 15°N. A similar computation performed for 1°x1° grids shows that 80% of the errors at
that resolution range from 8% to 28%.
The overall performance of the CILSS network is
presently decreasing, as shown in Fig. 2b. This is the
result of both the decrease in the number of gauges
since the optimum of the mid-1980’s and the decrease
in the monthly rainfall of August and September that
characterize the drought.
b. Optimal Networks
One application of the error function is the determination of optimal networks. The optimal network
concept depends on the scale of interest [time K T and
space A in Eq. (5)]. The criterion of optimality
corresponds to the accepted error threshold. For a
fixed error, the inversion of Eq. (5) makes it possible
to compute the minimum number N g* of stations
needed to remain below the error threshold. The error
threshold e considered here is 10%. The analysis will
focus on the 2.5°x2.5° resolution [A= 75000 km² in
Eq. (5)] and monthly rainfall corresponding to the
resolution of the most widely used operational rainfall
products.
Considering the JAS period, it is found that for the
period 1990-2000, the mean optimal number of
raingauges over a 2.5°x2.5° cell is 14.6, corresponding
to a total of 569 gauges (Fig 3a). By comparison, the
network available over this whole period (shown in
84 -
a
b
Fig. 2 : a) Relationship between the estimation error and the number of operational
gauges. There is a significant dispersion for the same number of gauges (e.g. for 5
gauges over 2.5°x2.5°, the error varies from 5% to 30%). b) Mean number of gauges and
the performance (percentage of cells for which the monthly estimation error over
2.5°x2.5° is less than 20%) of the network for the period 1950-2002. Note that the rapid
increase in the number of gauges during the dry period (1970-1990) did not involve a
better performance (smaller estimation error), because in dry years, rainfall is more
variable in space and thus requires a comparatively larger number of gauges to guarantee
a given level of accuracy.
Fig 3b) counts 561 gauges. However this rough
comparison is not really meaningful given the strong
heterogeneity in the statistics. The optimal number of
gauges per 2.5°x2.5° cell is 6 in the south-west (south
of 13°N and west to 5°W), 15 for the central part and
35 in the north (north of 16°N). This variability in the
optimal number of raingauges is linked to the
variability in the number of events K T as may be
seen in Table 1. The network evaluation of Fig. 3c
shows that the only area that is in fact optimally
covered is the one located south of 15°N and west of
11°E, representing 42% of the CILSS region. For
example, at 11°N, the mean optimal number of
raingauges is 8.3, the actual number being 18.3. At
16°N, the optimal number is 20.6 and the actual
number is 5.9.
At the smaller scales of 10 days and 1°x1°, the
number of required stations over the whole region
increases to 3559. In order to comply with the 10%
error criterion only for the area located south of 15°N,
one would need 1736 stations. Only 1.5% of the cells
have a number of raingauges above the optimum
number (see also the Table 1 for details).
A rough rule of thumb concerning times scales can
be proposed: on the average, a network producing a
20% error on a monthly basis provides estimates with
a 30% error on a 10-day basis and a 10% error on a
seasonal basis at 1°x1° scale.
85
a
b
c
Fig. 3: a) Mean optimal number of gauges per grid cell (2.5°x2.5°) which provide the
estimation error of less than 10% at the monthly scale for the period 1990-2000. b) Actual mean
number of gauges of the CILSS operational network for the same period. c) The difference between
a) and b). The CILSS operational network guarantees a monthly error smaller than 10% for 42 % of
the grid cells, located south to 15°N and west of 11° E.
Table 1: Details on the characteristics of optimal networks and the evaluation of the CILSS operational network for different areas
and for two scales: monthly values over 2.5°x2.5° grid cells and 10-day values over 1°x1° grid cells. The only area over which the
CILSS network is optimal everywhere for the 2.5°x2.5° resolution is the area lying south of 15°N and west of 11°E. N g * is the average
number of gauges per cell satisfying the optimality criterion and N g real is the average number of gauges per cell of the CILSS network
over the sub-area. Optimality corresponds to grid cells for which the error is less than 10%.
area
KT
Ng
*
Ng
real
Ng
real
- Ng
Ng
real
*
Number
of
optimal cells
Monthly
total
11.8
14.6
14.4
-1%
42%
values
10-12.5° lat
16.3
8.2
18.3
55%
72%
(JAS)
12.5°-15° lat
12.1
11.2
21.1
47%
69%
15°-17.5° lat
7
20.6
5.9
-248%
0%
<15° lat &
West of 11°E
11.27
9.9
27.1
82%
100%
total
5.6
16.7
2.6
-538%
1.5%
10°-13°lat
7.33
11
3.4
-223%
2%
13-15° lat
6
14.25
3.6
-296
2.8%
15-18° lat
3.9
23.4
1.2
-1900%
0%
<15° lat &
West of 11°E
6.8
12.2
4.5
-169%
3.2%
2.5°x2.5°
10-day
values
1°x1°
86 -
5. Satellite Product Evaluation: The CILSS
Product as a Reference Value
This section uses the classical approach to evaluate
satellite products. The optimal estimates from the
CILSS network are used as reference values, not
taking into account their uncertainty. The scale
considered is monthly and 2.5°x2.5° spatial resolution.
a. Interannual and Intra-seasonal Homogeneity
Analysis
Before combining any monthly or annual data for
global analysis, we carry out a systematic trend
analysis to check for homogeneity. This section aims
at determining whether there is a seasonal cycle in the
various statistics used for the evaluation and also
whether there are systematic differences between wet
and dry years. The period 1986 to 1999 is considered,
i.e. the period over which the GPCC product was
available. Fig. 4a1, 4a2 and 4a3 show that there is
indeed a seasonal cycle for all three indicators. The
RMSE and the bias are minimum in the middle of the
rainy season and inversely the correlation is maximum
in the middle of the season. These results show that,
for sake of homogeneity, the core and the margin of
the season must be separated.
a1
b1
a2
b2
a3
b3
Fig. 4: a. Monthly mean values for the three statistics used to compare each satellite product with the CILSS reference
(RMSE,a1; correlation coefficient, a2; bias, a3). The minimum RMSE and Bias and the maximum correlation occur in the core of
the rainy season (i.e August). All three statistics show a systematic intraseasonal pattern; b. Annual mean values computed from
JAS monthly values only for the three statistics used to compare each satellite product with the CILSS reference (RMSE,b1;
correlation coefficient, b2; bias, b3). In general, the statistics do not show any systematic difference between wet and dry years.
However, the RMSE shows an increase in recent years.
87
Fig. 4a1, 4a2 and 4a3 also show that CMAP has a
good score in the core of the season, while GPCC and
GPCP are best in the margins. GPI has the poorest
score for the whole season. In view of these results,
the analysis will be restricted to the months of July,
August, and September (JAS). Fig. 4b1, 4b2 and 4b3
show that there are no systematic differences between
wet and dry years, which indicates that wet and dry
years can be mixed in a global analysis covering the
whole 1990-1999 period. Another result of this
analysis is that, unfortunately, the RMSE has
increased in recent years for all products. The nonexistence of this trend for the bias suggests that this
deterioration is due to an increased sampling error.
The decrease of the network density observed in Fig. 2
for recent years supports this assumption.
b. Global Analysis of the JAS period.
1) SCATTER PLOTS AND HISTOGRAMS
Fig. 5 is a joint representation of the linear
relationship between the satellite products and the
CILSS product and the experimental distribution of
monthly areal rainfall for different products. Note that
for all products, the regression line is under the
bisecting line for high values, suggesting an
underestimation with respect to the ground estimate.
Also, the regression line tends to be over the bisecting
line for low values, suggesting an overestimation.
Note that the GPI distribution is far less asymmetric
than the other distributions due to the way it is
computed.
2) COMPARISON OF DISTRIBUTIONS
Apart from GPI, for which the 25% quartile is
roughly equal to the 50% quartile of the other
products, the boxplots (Fig. 6a) of the different
products are similar. However, the 25% quartiles of
CMAP, GPCC and GPCP are slightly higher than for
CILSS. The interquartile intervals (25% - 75%) of
CILSS and CMAP are very close and that of GPCC is
close to that of GPCP. Looking at the empirical
distributions (Fig. 6b), all the products underestimate
the frequency of the low values, as compared to
CILSS, and they over-estimate the frequency of
medium values.
Fig. 5: A joint analysis of scatter plots and histograms for the four satellite products (CMAP,
GPCC, GPCP, GPI) with respect to CILSS. The values represent the JAS monthly rainfall between
1990 and 1999.
88 -
a
b
Fig. 6: Comparison of boxplots (a) and observed probability distribution function (b) for the CILSS
reference and the four satellite products for the JAS period over the entire CILSS region. The satellite
products over-estimate the frequency of the median while the frequency of low values is under-estimated.
Fig. 7: The observed probability distributions as a function of latitude. At 11.25° N and 13.75° N, apart from the
GPI product, the other distributions are similar and display the same mode. At 16.25° N all the distributions become very
different from the reference CILSS distribution.
The proportion of values below the 25% quartile is
17% for CMAP, 13% for GPCC, 13% for GPCP and
6% for GPI. This underestimation of the frequency of
low values is due to the inability of satellites to
correctly estimate intermittency. Concerning the
extremes values, apart from GPI, which continues to
be biased, the product distributions are similar. For
example, the probability of exceeding 320 mm, which
is the CILSS's 95% quartile, is 5%, 4%, 3.7% and
3.3% for CILSS, CMAP, GPCC and GPCP,
respectively. As for GPI, 11% of its values are over
the CILSS's 95% quartile.
Fig. 7 shows that the major discrepancy between
the distribution of the satellite product and that of the
CILSS is observed for the northern part of the domain
(north of 15°N), the GPI distribution being completely
unrealistic. In this area the ground-based estimate is
also highly uncertain (theoretical kriging error equal to
34%).
3) NUMERICAL CRITERIA: RMSESR, BIAIS (bSR)
AND THE NASH INDEX (ISR)
For this analysis, the Nash Index (ISR) presented
below is considered as an additional statistic to the
RMSE, bias and correlation criteria, since it is not
influenced by the bias, as is the correlation.
I SR
RMSESR
=12
sR
2
(6)
The Nash Index is equal to 1 for a perfect estimate
[i.e. (RS)i =(RR)i for all i] and equal to 0 if, for all i,
(RS)i = R R .
Table 2 shows that, in fact, the CMAP, GPCC and
GPCP have a very low bias (less than 5%), while GPI
is highly biased (43%). This of course is related to the
fact that CMAP, GPCC and GPCP incorporate ground
observations.
89
Due to this low bias the other statistics computed
for these products give similar results, with CMAP
being slightly better, with 2% and 25% in terms of
bias ( ) and RMSE (RMSESR), followed by GPCC
(4% and 27%), GPCP (5%, 28%) and GPI (43% and
55%)
Analyzing these statistics along latitudes, the
conclusion is the same as for the analysis of
distributions: the quality of the products is far worse
in the northern part of the domain. The minimum
errors (RMSESR) are obtained for the medium strip
(12.5°N - 15°N): 16% for CMAP, 17% for GPCC,
21% for GPCP and 53% for GPI, against 24%, 22%,
23% and 44%, respectively for the southern strip
(10°N-12.5°N). For the northern strip (15°N-17.5°N),
the errors are very high: 55%, 69% and 80% for
CMAP, GPCC and GPCP, respectively, and 130% for
GPI.
c. Significance Test for the Statistics
Because the statistical distribution of rainfelds is not Gaussian, non-parametrical statistical tests
are used to verify the equality of the means, variances
and distributions (CDF) of satellite products and
ground-based estimates. The tests are:
· The W Wilcoxon U test (Hollander and Wolfe
1973), for the equality of the means.
· The Ansari-Bradley (Hollander and Wolfe 1973)
and Mood (Conover 1971) tests for the equality of
the variances.
· The KS
Kolmogorov-Smirnov test, for the
equality of the CDFs.
A p-value of 10% is used to accept or reject the
hypothesis tested. The calculations are performed so
as to test the homogeneity of statistics with respect to
time [the means are computed over 3(months)*
14(years) samples with 39 cells both for CILSS and
the product under consideration] and with respect to
space [the means are computed over 39 (cells)
samples of 3 (months)*14(years)].
The results, summarized in table 3, show that the
temporal fields are more homogeneous than the spatial
fields. The percentage of cases accepted is larger for
the temporal than for the spatial fields, except for the
variance. The equality of means and CDFs is accepted
for more than 95% of the temporal fields for CMAP,
GPCC, and GPCP. CMAP also performs very well for
the equality of variances, both in time and space,
confirming that it is the closest product to the CILSS
reference. Except for the variance, it can be concluded
that the satellite products do a better job in
reproducing the seasonal cycle than in accounting for
the spatial variability of the monthly rainfall. GPI is an
interesting case to analyze since, as already seen
previously, its CDF and mean are very different from
the CILSS references. However, GPI performs as well
as the other products – and even better than GPCC and
GPCP – in terms of the equality of the variances.
This means that products using only the satellite
information may correctly estimate the rainfield
variances at the scale tested here, confirming the
finding of Mathon et al. 2002, that satellite is able to
distinguish rain events; since in Sahelian region, the
variability of rainfields is mainly due to the variability
in the number of events.
Table 2: Average statistics over the entire Sahel when using the CILSS rainfall as a reference,
not taking into account its uncertainty.
CMAP
GPCC
GPCP
GPI
RMSE(%)
25
27
28
55
BIAS(%)
2
4
5
43
I
0.88
0.86
0.76
0.42
R2
0.88
0.86
0.85
0.77
90
Table 3: Percentage of H0 assumption accepted with regard to the tests applied month by month or cell by cell for a
10% acceptance level.
Products
Equality of the
Equality of the
CDF*: KS test
means: W test
Equality of the variances:
Ansari-Bradley test
Mood test
Months
Cell
Months
Cell
Months
Cell
Months
Cell
CMAP
100
76
100
72
98
98
98
95
GPCC
95
71
100
74
74
93
70
88
GPI
5
9
2
2
90
88
92
90
GPCP
95
67
97
62
74
90
71
90
The computation performed here counts the number of
times the estimate of a given rainfall product falls into
the theoretical one or two standard deviation interval.
The theoretical standard deviation considered is the
kriging standard deviation ( ksd ) of estimation error
of the reference. The probability of belonging to this
interval must be found experimentally because
rainfields are not Gaussian. A cross-validation procedure performed on the reference CILSS fields shows
that this probability is 73% on a monthly basis. This
approach has already been used by Thorne et al.
(2001) and is a useful complement to linear statistics
because it makes it possible to quantify the non-linear
cofluctuation between the products and the raingaugebased reference.
Fig. 8: Probability distributions of the percentage difference
between the four satellite products and the CILSS reference.
The distributions for CMAP and GPCC are very similar while
the distribution of GPCP is more dispersed. GPI shows
significant differences from the other products
b. Interval of Kriging Standard Deviation for
Performing the Analysis: Non-Linear
Correlation
P = the number of times that
- ksd £ RS - RR £ + ksd
or
- 2ksd £ RS - RR £ +2ksd .
In accordance with this criterion P , table 4 shows
that CMAP is still the best product, followed by
GPCC, GPCP and GPI. These results indicate some
consistency between the different criteria used in this
study and show the robustness of the statistics used.
Fig. 8 also shows that the distribution of the
discrepancy between CMAP and CILSS is very close
to the discrepancy between GPCC and CILSS.
Table 4: The number of times the discrepancy (D) between the products and ground-based estimate is within one
or two times the standard kriging deviation.
P
CMAP
GPCC
GPI
GPCP
%(-ksd £ D £ ksd)
40
38
8
37
%(-2*ksd £ D £ 2*ksd)
71
69
21
66
91
6. Taking into Account the Ground-Based
Error in Statistics
This section deals with the implementation of a
solution to the problem theoretically addressed in
sections 2b and 2c. The objective is to analyze the
degree of uncertainty associated with the classical
approach used in section 5 and to obtain a supposedly
closer to reality estimation of RMSEST. Three analyses
are carried out: i) the whole CILSS network is the
reference and the gridded estimates from the two
others networks (CRA, SYN) are considered as
operational ground-based products to be compared to
the satellite products (CMAP, GPCC, GPI and
GPCP); ii) the CRA and SYN networks are considered
as possible alternate references and the fluctuation of
RMSESR as a function of the reference used is
analyzed; iii) using a densely instrumented sub-region,
an empirical study is carried out to estimate the
different terms of Eq. (3), in order to assess RMSEST as
compared to RMSESR.
a. Comparing ground and satellite products with
respect to CILSS
In this section, for stationarity and homogeneity
purposes, only the area south of 15°N (southern
Sahel) is considered, representing 23 grid cells with an
average density of 19.2 gauges per cell. As may be
seen from the column CILSS of Table 5, CRA and
SYN have a smaller error than the satellite products
when the optimal CILSS rainfields are taken as the
references. On the other hand, when neglecting the
drift in the computation of the ground products (no
drift sub-column in Table 5), SYN performs worse
than CMAP. This means that: i) a blended satellite/
ground product, thanks to the continuous space
coverage of the satellite information, is able to better
restitute the latitudinal gradients than a non-optimally
interpolated ground product; ii) it is necessary to use
interpolation algorithms incorporating the drift in their
interpolation scheme. Considering the best spatialization method, the ranking of the different products is
thus: CRA, SYN, CMAP, GPCC, GPCP and GPI.
b. Comparing satellite products with CRA and
SYN as references
Changing the reference to either CRA or SYN
(columns CRA or SYN in Table 5) produces contrasted
results. On the one hand, the CRA reference is
associated with larger RMSESR values of the satellite
products, indicating that references obtained from less
dense networks will tend to produce larger values of
RMSESR. On the other hand, for CMAP and GPCC,
the RMSESR values decrease when shifting from the
CRA reference to the SYN reference (for CMAP
RMSESR= 15.9% when CILSS is used as reference,
18% when CRA is considered to be the reference and
16% when the reference is SYN). A likely explanation
is that CMAP and GPCC include ground data
provided by synoptic stations only (not all the
synoptic stations however). This clearly illustrates
how the choice of the reference (both the network
used and the interpolation algorithm) may influence
the results of an intercomparison exercise.
Table 5: Estimation errors (RMSESR) when using different references for the area lying south to 15°N. Values
are in %. The estimation error associated with each reference ( RMSE RT ) is 8.2% for CILSS, 12% for CRA and
13.6% for SYN.
Values of RMSESR for different references
Products
CRA
SYN
CMAP
CILSS Reference
drift
no drift
14.1
18
14.4
24.5
15.9
21
GPCC
GPCP
GPI
16
18
42
25
27
45
CRA Reference
SYN Reference
18
16
18
19.5
44
15.9
19.1
44.5
92
Fig. 9. The target area (bold dashed line) for the sub-sampling approach in the estimation of the covariance of
errors. A total of 217 gauges are covering this area. Various sub-sampled networks are used to create ground references
of varying accuracy over the three central grid meshes (full line).The objective is to evaluate the influence of the
reference on the computation of both RMSESR and RMSEST.
c. Assessment of RMSEST
The sensitivity of RMSESR to the reference used
underlines the necessity to evaluate the neglected
terms of Eq. (3) in order to obtain a more credible
assessment of the rainfall product errors. Assuming
the reference rainfields to be unbiased, two terms
remain to be evaluated as addressed in section 2c:
RMSERT and Cov(D ST , D RT ) . The theoretical computation of RMSERT is straightforward in the statistical
context used here (the results of this computation are
given in the caption of Table 5 for the three references
tested here). The EVS method presented in Eq. (4)
only makes use of RMSERS and RMSERT to compute
RMSEST, assuming the covariance to be negligible in
comparison of these terms. Because there is no
straightforward way to compute Cov(D ST , D RT ) , this
assumption is rarely tested. For the case treated here,
the EVS computation leads to surprising results, with
a CMAP EVS error equal to 13.6% when CILSS is
used as reference and 8.4% when SYN is used. There
is a clear reference-dependency in these results,
pointing out the need to assess how the neglected term
Cov(D ST , D RT ) could influence value of RMSEST.
Since the gauge network used in CMAP is closer to
the SYN network than to the CILSS network one can
reasonably assume that Cov(D ST , D RT ) is larger when
SYN is the reference than when CILSS is the
reference.
A way to test how Cov(D ST , D RT ) might influence
the overall assessment of RMSEST is to work on a
more densely instrumented area where it is possible to
build better proxys of RT than when considering the
whole Sahel. Over the target area delimited by the
bold dashed line in Fig. 9 a total of 217 gauges is
available, corresponding to twice the density of the
CILSS network over the southern Sahel (19.2 gauges
per 2.5°x2.5° grid cell). In order to study the effects of
using various references on the computation of
RMSESR and RMSEST, a sub-sampling approach is used
to create different reference networks of increasing
density, by choosing randomly between 5 and 217
gauges with increments of 10 gauges. For each
number of gauges 21 sub-sample networks are
created. The comparison is then carried out for the
three 2.5°x2.5°cells located at the centre of this target
area.
As a first step, RMSESR is computed for the
different reference networks, leading to the results
shown in Fig. 10 [the computations are made with a
sample of 14 years (1986-1999) x 3 cells x 3 months x
21, that is 2646 values]. Except for GPI, which is less
dependent on the reference used, RMSESR decreases
significantly until reaching a density of approximately
10 gauges over a 2.5°x2.5° grid cell). This density is
half than the CILSS density over the southern Sahel.
The second step is to use the denser network of
217 gauges to provide a supposedly better proxy of RT
in order to estimate the covariance Cov(D ST , D RT ) in
Eq. (3). It then becomes possible to compute RMSEST
for all the references of step 1. The computation of
RMSEST taking into account an estimation of
COV
, and when the
Cov(D ST , D RT ) is denoted RMSE ST
EVS
covariance is neglected it is denoted RMSE ST
. The
results of the computation of these two RMSEST are
shown in Fig. 11 for CMAP, GPCC, GPCP and SYN.
The comparison of Fig. 10 and Fig. 11 leads to three
main conclusion.
93
COV
It is important to note that using RMSE ST
does not
change the ranking of products obtained from the
simple computation of RMSESR, but leads to a reevaCOV
being, in
luation of the estimation error, RMSE ST
our case – and this cannot be extended to other regions
without specific studies – significantly lower than
RMSESR.
Fig. 10: The raw evaluation error of the satellite products
(RMSESR) as a function of the number of gauges used to
compute the reference value in the dense coverage area. There
is a decrease of the evaluation error for all products when the
number of gauges increases. However, the effect on GPCP and,
most notably on GPI, is weaker.
EVS
i) The behavior of RMSE ST
depends on the
reference and the products under evaluation, while the
COV
value of RMSE ST
does not depend on the gauge
density of the reference and seems to be constant for a
given product. ii) For all products the values of
EVS
COV
and RMSE ST
are lower than RMSESR. For
RMSE ST
a reference with a density of 3 gauges per 2.5°x2.5°,
COV
is 11%
RMSESR is approximately 18% and RMSE ST
for CMAP and GPCC. These statistics are respectively
15% and 11% for a reference network with a density
of 25 gauges per 2.5°x2.5°.
EVS
is highly sensitive to the density of
iii) RMSE ST
the reference, especially when it is low. This leads to
some incoherence in the product ranking which can
change with the density of the reference network. For
EVS
example, the values of RMSE ST
are respectively
11.5% and 10% for CMAP and GPCP for a 20-gauge
reference network, changing to respectively 11% and
12.5% for a 60-gauges reference network. The
COV
is more stable and coherent
behavior of RMSE ST
EVS
than that of RMSE ST
. For instance, when SYN is
used as reference in this target area, RMSESR is 12.8%,
EVS
COV
RMSE ST
is 4.8% and RMSE ST
is 11.4% for
CMAP. When CILSS is used as a reference, RMSESR
EVS
COV
is 15.9%, RMSE ST
is 14 % and RMSE ST
is 11% for
COV
CMAP. This is just an illustration of how RMSE ST
is
less sensitive to the density of the reference used than
the two other RMSE as may be seen from Fig. 11.
Fig. 11: Correction of the raw evaluation errors shown in
Fig. 10. EVS means that the error covariance is neglected
EVS in the text). COV (bold line) takes into account the
( RMSE ST
COV in the text). Note that
estimation of this covariance ( RMSE ST
the EVS error displays a much larger sensitivity to the gauge
density (oscillations in the curves) than the COV error.
7. Discussion and Conclusion
This works presents the use of an error function
developed in a companion paper (Ali et al., 2004) to
treat three interwoven questions: i) the definition of an
optimal raingauge network for the ground-based
estimation of monthly and 10-day rainfall over the
Sahel, optimality being defined as guaranteeing an
estimation error below 10% for grid meshes of a given
size (2.5°x2.5° for monthly rainfall and 1°x1° for 10day rainfall); ii) the intercomparison of satellite
products, based on a reference considered as being the
ground truth; iii) incorporation of the uncertainty of
the reference into the quantification of the estimated
error of the rainfall products.
Globally, over the Sahel (an area of roughly 3
million km²), the total number of gauges guaranteeing
an error smaller than 10% is 568 on the monthly /
2.5°x2.5° scale. This corresponds to a density of 14.5
gauges per 2.5°x2.5° cell, a number significantly
greater than the value of 5 gauges per 2.5°x2.5° cell
given by several authors for other regions of the
world. Globally this number of 568 gauges, compares
well to the 561 gauges available over the region for
the period 1990 to 2000. However, the density of the
94
optimal network should increase when moving North
due to the gradient of the average number of rain
events. The distribution of the present network does
not conform to this pattern. For instance, the
“optimal” network should count 238 gauges south of
15°N – or 10.3 gauges per 2.5°x2.5°cell – while the
actual network counts 465 gauges (19.2 per cell),
meaning that the South Sahel is well covered. Over
the whole region however, only 42% of the 39
2.5°x2.5° meshes satisfy the optimality criterion for
monthly rainfall, the Northern and Eastern areas being
undersampled. North of 15°N, the average estimation
error is 34%, which makes the validation of satellite
products very difficult there (the density should be
20.6 gauges per cell in this area). On the 10-day /
1°x1° scale, 1736 gauges would be needed to ensure a
good coverage of the area located South of 15°N, as
compared to the 465 available. Accordingly it is not
surprising that the optimality criterion is satisfied for
only 3.2% of the 135 cells in this area.
In a second step, four rainfall products (GPCC,
CMAP, GPCP, GPI) were compared, using the
rainfields produced by the entire raingauge network
(CILSS) as a reference. All these products (CMAP
and GPCP blend satellite and ground information,
GPCC is ground-based and GPI is satellite-based
only) highly under-estimate the frequency of small
rainfall, linked to the high spatial intermittency, which
is better documented by direct point measurements.
Only 17% of the CMAP values, 13% of the GPCC
values and GPCP values and 6% of the GPI values are
under the 25% CILSS quantile. Satellite products also
slightly underestimate the frequency of the high
values.
Two ground-based products were also considered:
the CRA monitoring network (about 250 gauges
providing data in real time on a 10-day basis) and the
synoptic network (about 80 gauges, available daily).
Comparison of these two ground products to satellite
products have been carried out for the CILSS area
with latitudes less than 15°N. At the coarser resolution
(1 month, 2.5°x2.5°) the synoptic network performs
quite well, its RMSE (14.4%) with respect to the
CILSS reference being smaller than the RMSE of the
four satellite products. The best satellite product is
CMAP with a 15.9% RMSE. This result is somewhat
surprising since, in principle, the mixed products
incorporating ground information make use of the
synoptic information available on the GTS and should
therefore perform at least as well as the synoptic-only
product. An explanation may reside in the fact that
mixed products do not use all the synoptic stations
because not all of them transmit their data on the GTS.
The last part of the paper was devoted to assessing
how using a reference value that is not the true value
might influence the computation of evaluation errors.
This leads us to take into account two quantities which
are usually neglected in the computation: the error of
the reference and the covariance between the satelliteto-truth errors and the reference-to-truth errors. Using
a denser instrumented zone an empirical evaluation of
these two quantities was performed, leading to an
estimation that the “true” evaluation errors of both the
ground and satellite products might be significantly
lower than when these two terms are neglected. For
instance, the re-evaluated value of RMSE for CMAP is
around 11%, as compared to the above mentioned
value of 15.9% when the simplified computation is
used. This difference is due both to the reference error
and to the non-zero covariance existing between the
satellite-to-truth errors and the reference-to-truth
errors. Note also that this re-evaluation of the RMSE
does not change the ranking of methods established
from the simplified computation. The ground products
remain, in this region, superior to the blended products
analyzed here.
It is clear that ample room remains for improving
the quality of satellite rainfall estimates over the
Sahel. The availability of new Infrared (e.g., MSG)
and microwave (e.g., TRMM, GPM) sensors will
undoubtedly lead to more accurate satellite rainfall
products. This study shows however, that a careful
and optimal use of ground information is needed in
order to evaluate and intercompare any rainfall
products, especially in regions of high rainfall
variability.
Acknowledgments
This research was funded by IRD in the
framework of the AMMA-CATCH "ORE" program
initiated by the French Ministry of Research. Special
thanks are due to the "Departement Soutien et
Formation" of IRD for the grant allocated to the first
author of this paper. We would also like to
acknowledge S. Bonaventure for his efforts in the
valorization of the AGRHYMET Center rainfall data
base, H. Harder for his help in proof-reading the
article.
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Modèle conceptuel pour des études climatiques régionales
IV. Modèle conceptuel pour des études
climatiques régionales
97
99
IV.1 Introduction
Il y a plusieurs façons d’approcher la modélisation et la simulation des précipitations. Cox and
Isham (1994) ont classé les modèles de pluie en trois catégories principales. Les modélisations
"statistiques empiriques", comme leur nom l’indique, sont essentiellement basées sur l’analyse
des caractéristiques empiriques des données des stations et aucune tentative de modélisation
explicite du processus n’est réalisée. Elles traitent généralement des donnés d’un seul site pour un
seul pas de temps. Ces modèles ont été largement utilisés pour la caractérisation mono-site des
précipitations.
Les modèles déterministes, au contraire, intègrent de façon explicite des paramétrisations des
processus atmosphériques qui vérifient la conservation de la masse, de la quantité de mouvement
et de l’énergie. Ces modèles sont largement utilisés dans la prévision du temps et du changement
global du climat. Ils regroupent les Modèles de Circulation Générale Atmosphérique (MCGA), les
modèles climatiques régionaux et les modèles de Méso-échelle pour la prévision à court terme.
Les modèles conceptuels constituent la troisième catégorie et peuvent être agrégés pour
n’importe quelle échelle spatiale ou temporelle. Une représentation conceptuelle simplifiée du
processus des pluies est définie, utilisant des hypothèses probabilistes simples mais peuvent
nécessiter un nombre important de paramètres. Les paramètres du modèle représentent des
propriétés physiques observables du processus (par exemple durée de vie des événements, taille,
vitesse, direction, etc.) et peuvent être utilisés pour une simulation quasi-physique.
Quelque soit l’approche utilisée, les modèles hydrologiques ou agronomiques exigent des
entrées pluviométriques de "bonnes" propriétés spatio-temporelles ; en effet la variabilité du
champ spatial (lisse, erratique, intermittent) à l’échelle considérée joue un rôle important. De
même, le champ temporel doit être conforme aux séquences sèches et humides, aux persistances
et dérives de ces séquences. Ces caractéristiques sont particulièrement importantes, d’autant plus
que la réponse hydrologique ou agronomique au forçage pluviométrique est non linéaire.
IV.2 Méthodes de simulation des champs de pluie
IV.2.1 Les modèles déterministes.
Du fait de leur faible résolution spatiale, les MCGA actuellement disponibles fournissent des
sorties pluviométriques inadéquates aux applications hydrologiques ou agronomiques. Par
exemple, Lebel et al. (2000) ont montré que les MCGA tendaient à produire au Sahel, un nombre
trop grand de jours de pluvieux au cumul de pluie élevé. Cette surestimation conduit à des biais
amplifiés en sortie des modèles hydrologiques où l’intermittence spatio-temporelle joue un rôle
important. La modélisation climatique régionale était susceptible d’apporter une réponse à ce
problème de résolution spatiale. Fonctionnant à des résolutions de l’ordre de 40 km x 40 km, ces
modèles, forcés aux frontières par des modèles globaux, fournissent une image plus réaliste des
champs de pluie que ces derniers et avec une résolution qui devrait permettre d’envisager un
forçage direct des modèles hydrologiques (Messager 2004). Cependant, des simulations réalisées
à l’aide du modèle MAR (Gallée and Schayes 1994) montrent également des biais importants des
sorties pluviométriques aux échelles hydrologiques (surestimation des jours pluvieux, lissage de
100
l’intermittence spatiale), même si quelques améliorations sont à noter (Moufouma 2003 ; Ramel
2004). Cette inadéquation des scénarios climatiques des modèles atmosphériques à la variabilité
pluviométrique s’explique essentiellement par leur incapacité à modéliser les systèmes convectifs.
Ajouté à cette inadéquation, Il faut noter que la simulation à travers ces modèles déterministes
nécessite des moyens de calcul importants (Mason 1986). En vue de combler le fossé entre les
MCGA et les modèles hydrologiques, des recherches importantes devraient se poursuivre dans le
domaine de la désagrégation (communément appelée downscaling dans la littérature).
IV.2.2 Les modèles statistiques "mécanistes"
Considérant la pluie comme une variable aléatoire P (t ) , ils conduisent le plus souvent à
l’ajustement d’une loi statistique. En général, ce sont des modèles ponctuels et ne traitent que de
l’aspect temporel des champs de pluie. Parmi ces modèles, on peut noter les modèles de la
variable hauteur de pluie non nulle H (t ) et les modèles d’occurrence I (t ) de pluie. La loi de
poisson (caractère aléatoire de l’occurrence de la pluie) et les chaînes de Markov (dépendance
temporelle entre les occurrences) sont deux exemples de modèles I (t ) fréquemment utilisés. Bien
qu’on rencontre des applications de ces deux types de modèles sous un même climat, ils
impliquent des hypothèses contraires sur le processus physique. Pour ce qui est des champs de
pluie sahéliens, Gozé (1990) a élaboré un générateur des jours pluvieux sur la base d’une Chaîne
de Markov d’ordre 1 pour l’occurrence et un modèle exponentiel pour les hauteurs de pluie
journalière. Ce modèle est actuellement utilisé en opérationnel au Centre AGRHYMET. Deux
points sont à souligner : i) les modèles purement stochastiques (modèles boîtes noires) sont moins
pertinents pour la modélisation des champs de pluie où l’on possède des connaissances a priori sur
le phénomène (par exemple la hiérarchie des structures établie par Austin and Houze 1972) ; ii) la
nécessité de disposer des champs spatio-temporels rend les simulations mono-sites moins
pertinentes pour les applications hydrologiques. Et la prise en compte de la dépendance des
champs de pluie entre les sites lorsqu’on génère des séries chronologiques à plusieurs sites semble
requise.
IV.2.3 Les modèles géostatistiques : au delà du cadre gaussien ou gaussien anamorphosé
La construction de simulations géostatistiques est extrêmement commode dans le cadre des
fonctions aléatoires de loi spatiale multigaussienne, c’est-à-dire telles que toute combinaison
linéaire de valeurs suit une distribution gaussienne. La distribution multigaussienne ne dépend que
des moments d’ordre un et deux (espérance et fonction de covariance ou variogramme), ce qui
facilite la tâche d’inférence statistique. De nombreux algorithmes ont été développés pour simuler
des variables gaussiennes : e.g. décompositions matricielles, bandes tournantes, méthode
séquentielle (Matheron 1972 ; Journel 1974 ; Davis 1987; Chilès 1995 ; Lantuéjoul 2002). Si la
variable régionalisée n’est pas gaussienne, elle doit être préalablement transformée en une
variable dont la distribution marginale est gaussienne, laquelle est supposée posséder une loi
spatiale multigaussienne. Cette transformation est connue sous le nom “d’anamorphose”
gaussienne (Journel and Huijbregts 1978 ; Rivoirard 1994). Une fois la procédure de simulation
achevée dans le cadre gaussien, l’anamorphose inverse est appliquée pour revenir à la variable
initiale. Pour ce qui est des champs de pluie sahéliens, Guillot (1998) a construit une anamorphose
atomisée par la fréquence des valeurs nulles des champs qui a servi de cadre pour une simulation
101
des champs de pluie événementiels, conditionnée aux valeurs ponctuelles mesurées. L’algorithme
des bandes tournantes a été utilisé. Onibon et al. (2001) ont conditionné cette anamorphose par
rapport à la moyenne évènementielle à l’aide de l’algorithme de Gibbs.
Toutefois, la simulation dans le cadre gaussien ou gaussien anamorphosé présente plusieurs
caractéristiques limitatives. Par exemple il est difficile de réaliser l’anamorphose lorsque
l’histogramme de la variable régionalisée est fortement dissymétrique (Rivoirard 1994). Le cadre
gaussien ne s’adapte pas quand il y a discontinuité de la variable régionalisée (voir exemple de la
figure IV. 1). Ces situations motivent la recherche d’algorithmes de simulation non gaussienne.
On peut d’abord noter les méthodes de simulation non gaussienne qualifiées d’exactes. Les
simulations exactes sont définies à partir des procédés de construction de fonctions aléatoires.
Parmi celles-ci on peut citer i) les modèles mosaïques où l’espace est partitionné en cellules
aléatoires stationnaires et la fonction aléatoire générée (dite “mosaïque”) est stationnaire d’ordre
deux et sa covariance est proportionnelle au covariogramme géométrique des cellules, lequel
mesure la probabilité que deux sites appartiennent à la même cellule en fonction de leur
séparation (e.g. Rivoirard 1994). ii) Les modèles construits par implantation d’objets où la
construction de la simulation est réalisée de manière “dynamique”. Des points de position
aléatoire apparaissent au cours du temps. En général, ils sont issus d’un processus ponctuel de
Poisson dont la densité peut être uniforme ou variable dans l’espace ou dans le temps. Chaque
point est le centre de gravité d’un “objet”, par exemple une forme géométrique prédéterminée, de
taille et orientation aléatoires. Les points sont appelés germes et les objets grains primaires.
Lorsqu’un objet nouveau rencontre un objet ancien, une convention est adoptée pour définir la
valeur des sites où les deux objets se chevauchent, par exemple : valeur du dernier objet ou du
premier objet : modèle des feuilles mortes ; somme des valeurs des objets : modèle de dilution ;
valeur maximale : modèle booléen (Serra, 1968, 1988). iii) La technique des gaussiennes
tronquées simule un ensemble aléatoire, que l’on représente par une variable binaire ou
“indicatrice”, par seuillage d’une fonction aléatoire de loi spatiale multigaussienne (Journel and
Isaaks 1984). Cette approche peut être étendue pour simuler une partition de l’espace en plusieurs
ensembles aléatoires en travaillant sur plusieurs fonctions aléatoires gaussiennes. Cette
généralisation, connue sous le nom de méthode des plurigaussiennes (Armstrong et al. 2003),
fournit une vaste classe de modèles capables de reproduire de nombreuses caractéristiques
morphologiques des ensembles aléatoires à simuler, notamment les relations de contiguïté et
d’emboîtement.
Une méthode intermédiaire de simulation non gaussienne est la simulation isofactorielle. Elle
est intermédiaire par rapport aux simulations exactes en ce sens qu’elle repose sur la spécification
d’un modèle, mais cette spécification reste incomplète (lois bivariables au lieu de multivariables
pour les cas ci-dessus). Elle est basée sur les techniques du krigeage disjonctif (Emery 2002), dont
les équations peuvent être résolues analytiquement lorsque la loi bivariable est isofactorielle,
c’est-à-dire lorsqu’il existe une famille complète de fonctions sans corrélations spatiales croisées
appelées facteurs (Delfiner and Chilès 1999).
Le choix de telle ou telle méthode est dicté par les propriétés structurales observées sur la
variable régionalisée. Cependant, traiter à la fois la variabilité spatiale des champs de pluie,
l’occurrence temporelle et la dynamique des événements pluvieux, tel que cela nous préoccupe
102
dans cette étude, n’est pas de tradition en géostatistique classique. En comparant par exemple la
figure IV.1a représentant un champ de pluie journalière au Sahel vu par satellite et la figure IV.1b
représentant une réalisation d’un modèle booléen, la tentation de recourir au schéma booléen est
forte. Mais on se trouve vite coincé par la dynamique, indépendamment des germes, des grains
primaires (i.e. des images instantanées des événements).
a
b
Fig. IV.1 : a) Un champ de pluie journalier vu par satellite METEOSAT à travers le tracking des
systèmes convectifs organisés (SCO). b) un exemple de simulation à travers un schéma booléen.
IV.2.4 Les algorithmes passe-partout
Ces algorithmes de simulation échappent à la contrainte de spécifier un modèle de loi
spatiale : ce sont des algorithmes qui se veulent passe-partout. Ils ont été élaborés en vue de
s’adapter à tous les types de variable étudiée, ce qui explique leur côté séduisant pour l’utilisateur.
Parmi les algorithmes passe-partout, les techniques d’optimisation sont couramment utilisées. Le
problème de simulation est entièrement formulé en termes d’optimisation, sans se référer à un
modèle de fonction aléatoire : il s’agit de construire une image qui minimise une fonction objectif
donnée, mesurant l’écart entre les caractéristiques structurales expérimentales de l’image et celles
souhaitées (Deutsch and Cockerham 1994 ; Deutsch and Journel 1998). On peut inclure, dans
cette catégorie des méthodes passe-partout, les réseaux de neurones, techniques séduisantes se
présentant en outils universels.
Matheron (1982) résume l’esprit et la méfiance des géostatisticiens vis à vis de ces modèles:
"une méthode passe-partout, qui serait utilisable quelle que soit la variable étudiée, a peu de
chance de tomber juste".
103
IV.2.5 Les modèles fractals
L’avantage essentiel, qui est aussi une limite, des modèles fractals vient du fait qu’ils sont
indépendants de toute échelle considérée dans le système et sont caractérisés par un nombre très
faible de paramètres. Ils essaient de représenter au mieux le degré d’irrégularité des phénomènes à
travers un paramètre invariant d’échelle : « la dimension fractale ». Une revue de ces modèles
peut être trouvée dans Foufoula-Georgiou and Krajewski (1995). Elles ont fait l’objet d’intense
recherche ces deux dernières décennies et continuent de mobiliser des énergies. Cependant, la
précision avec laquelle sont restituées les périodes sèches et humides par ces modèles fractals
(scaling en anglais), peut être jugée insuffisante (Gupta and Waymire 1993). Par ailleurs,
l’application de la théorie des cascades multi-fractales à des données réelles requiert un nombre
important de réalisations disponibles. Une modélisation complète espace-temps des processus des
précipitations utilisant ces cascades multi-fractales est un domaine encore en développement du
point de vue théorique.
IV.2.6 Les processus de Poisson
L’utilisation des processus ponctuels a été un terrain fructueux pour la modélisation
stochastique des pluies depuis les travaux pionniers de Le Cam (1961). Waymire and Gupta
(1981a, b, c) ont traité, de façon détaillée, la représentation mathématique des pluies à travers les
processus ponctuels. Les processus ponctuels de Poisson sont le prototype des processus
ponctuels. Ils sont pour ces processus ce qu’est la loi normale pour les distributions statistiques.
La modélisation à travers les processus de Poisson groupés (Poisson-cluster processes) a permis
de rendre compte avec succès de certaines propriétés intéressantes des champs des pluies,
notamment les agrégations dans l’espace et le temps. Une revue des développements des modèles
des processus de Poisson composés (PPC) peut être trouvée dans Onof et al. (2000). Afin de
définir un PPC, il est nécessaire de spécifier le processus qui génère les centres des groupes
d’agrégation et les mécanismes qui gouvernent chaque groupe. La modélisation des pluies à
travers les PPC a principalement concerné deux échelles: l’événement pluvieux et les cellules
pluvieuses. Il s’agit d’associer à chaque réalisation d’un événement pluvieux (processus mère) un
nombre aléatoire de cellules pluvieuses (processus fils). Deux schémas spécifiques ont été les plus
utilisés: le schéma de Neyman-Scott et celui de Bartlett-Lewis. Pour un PPC de Neyman-Scott les
cellules pluvieuses associées à un événement pluvieux sont identiquement et indépendamment
distribuées autour de son centre, alors que pour un PPC de Bartlett-Lewis les intervalles de temps
séparant deux cellules successives de chaque événement suivent une distribution statistique
quelconque.
Il y a eu beaucoup de développements et de validations des PPC. On peut regrouper les
modèles en i) mono-site (e.g. Rodriguez-Iturbe et al. 1987, 1988 ; Cowpertwait 1991 ;
Cowpertwait et al. 1996a ; Onof and Wheater 1993 ; Onof and Wheater 1994a, b ; Kakou 1997 ;
Khaliq and Cunnane 1996, Gyasi-Agyei and Willgoose 1997, Calenda and Napolitano 1999). ii)
En multi-site (e.g. Wheater et al. 1991a, b ; Cox and Isham 1994; Cowpertwait 1995;
Cowpertwait et al. 1996b ; Kakou 1997 ; Gyasi-Agyei 1999). Ceux-ci incluent les modèles
linéaires généralisés, GLMs en anglais (Generalized Linear Models) et s’attachent à générer des
séries chronologiques en plusieurs points dans l’espace en tenant compte des corrélations spatiales
entre ces points. iii) En spatio-temporels continus (e.g. Cox and Isham 1994 ; Northrop 1996 ,
1998).
Le modèle développé par Northrop (1998) considère des événements pluvieux qui arrivent
suivant un processus de Poisson bidimensionnel dans l’espace d’intensité l . Suivant chaque
événement de centre ( u 0 ,t 0 ) arrivent des cellules convectives suivant un schéma d’agrégation
temporel de Bartlett-Lewis. Les cellules sont dotées d’une durée de vie, d’une vitesse de
déplacement et d’une taille (de forme elliptique).
104
Ce modèle correspond à l’idée de génération des SCO qui peuvent être assimilés au processus
fils et le processus mère correspondrait à une situation synoptique favorisant leur naissance (cette
situation synoptique peut être une Onde d’Est). Cependant vu l’information disponible, il ne nous
est pas possible de déterminer l’intensité de ce processus mère qui serait responsable du
déclenchement des SCO. Le modèle Northrop (1998) n’est donc pas applicable aux échelles de
cette étude eu égard à l’information disponible.
A l’inverse de ce modèle, Le Barbé and Lebel (1997) ont développé un modèle mixte
(occurrence et hauteur de pluie) adapté à la variabilité des champs des pluies à l’échelle de
l’événement. Ce modèle de loi de fuite est cependant un modèle mono-site et utilise une loi de
Poisson homogène. Signalons qu’une autre catégorie de modèles n’ayant pas été rappelés dans la
brève revue ci-dessus porte sur les modèles d’état, utilisant les chaînes de Markov cachées (Huges
et al. 1994, 1999 ; Lambert et al. 2003). Ces modèles ont un avenir du fait qu’ils combinent
l’information sur l’état de l’atmosphère fournie pour les MCGA et une approche stochastique de
la modélisation.
105
IV.3 Modèle conceptuel régional des systèmes pluvieux au
Sahel
L’objectif est de développer un modèle conceptuel s’étendant à l’échelle régionale et qui soit
capable de simuler la pluviométrie associée aux SCO. Le modèle doit pouvoir intégrer les
informations relevant de la variabilité climatique.
IV.3.1 Modèle conceptuel
La dénomination de modèle conceptuel fait référence au fait que, quand la structure du
système et les lois le régissant sont mal connues ou lorsque la pauvreté des informations et la
complexité des phénomènes en jeu prévalent, le comportement du système en question est
simplifié. Ainsi les modèles conceptuels intègrent des facteurs complexes en essayant de décrire
le concept physique du comportement du système par une représentation plus simple, qui
bien qu’ayant un sens physique, est dépourvue de réalité physique. A travers ce type de
modélisation, on reproduit au mieux le comportement d’un système, plutôt que d’avancer des
explications causales sur son comportement. Notons qu’un modèle conceptuel n’implique pas
forcément une modélisation stochastique (comme cela est le cas dans cette étude).
IV.3.2 Structures spatio-temporelles des naissances
Pour analyser la structure spatio-temporelle des naissances des SCO la fonction espace-temps
K (d , t ) de Ripley (Diggle et al. 1995) est utilisée ; où d est la distance spatiale et t le temps.
Cette fonction espace-temps de Ripley ( K ) quantifie le nombre de naissances par unité d’espace
et de temps suivant diverses valeurs de d et t . Les figure IV.2a et b représentent la moyenne de
cette fonction ; calculée à partir des 9 années de données (1990 à 1999 sauf 1995) issues du
tracking des systèmes convectifs pluviogènes. Les courbes continues viennent des données et
celles qui sont discontinues représentent un processus de Poisson homogène (HPP en anglais). Si
la fonction calculée pour le processus analysé est au dessus de celle de HPP, les données
présentent un clustering, si elle est en dessous c’est une répulsion.
On observe à travers les figure III a et b que "localement" le processus spatial de naissance
des SCO est assimilable à un processus de poisson homogène; par contre dans le temps la courbe
des naissances est nettement au dessus de celle de HPP, ce qui indique une forte agrégation
temporelle. L’agrégation spatiale observée pour les grandes distances peut être interprétée comme
un effet de relief. La figure IV.2 de l’introduction générale montre des zones privilégiées de
naissance. Cette situation nous amène à adopter le modèle d’intensité des naissances représenté
par l’équation IV.1
106
b)
a)
Fig. IV.2. Fonction K espace-temps de Ripley . a) composante spatiale et b) composante temporelle.
IV.3.3 Conception du modèle.
Nous nous plaçons dans le cadre général des processus ponctuels avec un modèle de
l’intensité conditionnelle qui ne fait plus apparaître explicitement une intensité pour le processus
mère et une autre pour le processus fils, comme cela a été le cas des PPC. Le modèle de l’intensité
conditionnelle résume l’information de la naissance des SCO en tenant compte du clustering
temporel et de l’inhomogénéité spatiale due au relief. Ce clustering est lié à la fois à des
conditions de méso-échelle et synoptiques.
Les étapes du modèle sont les suivantes:
1. Génération spatio-temporelle des événements suivant un processus ponctuel d’intensité
conditionnelle l ( x, y, t ) .
l ( x, y, t / H t ) = h * m( x, y ) + n * s (t ) + å g (t - t i )
IV.1
ti < t
m( x, y ) : état de base spatial qui tient compte de l’inhomogénéité des naissances due
au relief et la végétation.
s (t ) : variabilité temporelle basse fréquence, représentant la variabilité
intrasaisonnière.
g (t ) : fonction de clustering temporel.
H t : indique que l’intensité des naissances au temps t est conditionnée par la situation
antérieure.
h et n : deux paramètres à optimiser.
2. Pour chaque événement généré, on lui associe une taille, une vitesse, une direction de
déplacement et une durée de vie. L’événement ainsi généré va évoluer dans le temps et
l’espace suivant la distribution temporelle de ses différents paramètres.
107
3. Une hauteur de pluie H i correspondant à sa moyenne lui est associée. Et enfin ce cumul H i
sera désagrégé via l’algorithme de Gibbs pour obtenir une distribution spatiale suivant la trace
au sol de l’événement durant son cycle de vie.
4. Pour un temps DT donné, le cumul de pluie est la somme des pluies apportées par les
différents événements. En espérance cette pluie est égale :
E[ P( x, y )](DT ) = lDT m D m A H [( y0 - y ) / m D mV ]
IV.2
Où
lDT : espérance du nombre de naissance pendant la période DT
m D : espérance de la durée des événements
m A : espérance de la taille des événements
y0 : limite nord du Sahel, qui représente la limite de la zone des naissances
mV : espérance de la vitesse
Une des caractéristiques importantes de ce modèle est qu’il doit pouvoir restituer le gradient
climatologique connu des cumuls de pluie au Sahel, à travers la limite qu’impose le Sahara. La
prise en compte de ce gradient était un challenge, puisqu’il n’existe ni sur les cumuls
événementiels pouvant donner des intensités plus faibles au Nord qu’au Sud, ni sur le nombre de
naissances. Cette non-existence de dérive sur le nombre de naissances correspond bien au saut de
Mousson qui fait qu’à une certaine période, brusquement tout le Sahel devient favorable aux
naissances des événements. Précisons que l’équation IV.2 n’est valable que pour la zone comprise
entre les latitudes y0 et y0 - m D mV . Au sud de cette zone, le facteur ( y0 - y ) / m D mV de
l’équation disparaît et il n’y a plus de gradient dans le régime pluviométrique dû aux SCO.
En dehors de l’effet du relief et de la végétation prise en compte à travers une inhomogénéité
spatiale du potentiel des naissances des événements, le modèle prend également en compte la
variabilité intra-saisonnière à travers la composante basse fréquence de l’intensité conditionnelle
et la variabilité inter-annuelle à travers une typologie des années sèches et des années humides. La
figure IV.3 présente une image instantanée des SCOs vus par satellite Meteosat et les lieux des
naissances des SCOs pour la période 1990-1994 et 1996-1999. La mise en œuvre numérique et la
validation du modèle proposé, constitue une suite à ce travail.
a)
b)
y0
Fig. IV.3. a) une image temporelle (image en un instant donné) des systèmes convectifs
organisés (SCOs) vus par satellite Meteosat et modélisés sous forme d’ellipses et b) l’ensemble
des lieux de naissances des SCOs pour la période comprise entre 1990-1999 mais sans 1995.
108
Towards a Conceptual Regional Model for Sahelian Rainfields
109
Article
Towards a Conceptual Regional Model
for Sahelian Rainfields
109
110
110
111
Ali A*. et al.
Not Submitted for publication
Abdou ALI
LTHE
BP 53
Abdou [email protected]
111
112
1. Introduction
The spatio-temporal variability of rainfall is a key
component in studying the impact of climatic
fluctuations on water resources and agronomic
monitoring in the Sahel. The spatial intermittence and
the sequence of wet and dry periods are of great
importance. The main tools in climate scenario forecasting are the general circulation models (GCMs).
These numerical models are based on large systems of
non-linear partial differential equations. These
equations are chosen to represent the physical
processes involved fairly realistically (Mason 1986).
However rainfall outputs of GCMs are unrealistically
biased at hydrological and agronomic scales. For
example, in the Sahelian region, Lebel et al. (2000)
showed that GCMs provide poor representation of the
seasonal rainfall cycle, which is probably linked to
problems in representing the large scale rain-fall
system. Also, GCMs are not able to simulate the
rainfall of mesoscale convective systems, which
represent 90% of the total seasonal rainfall. Since
rainfall is a complex phenomena and because it is
difficult to explicitly represent all the components of
the rainfall process and their interactions, stochastic
modelling is a complementary alternative. The
objective of this study is to propose the basis, for the
Sahelian region, of a conceptual stochastic rainfall
model at the regional scale, based on a generation of
Mesoscale Convective Systems (MCSs).
2. Problem statement
Space-time rain event generation, when the area
considered is too large, is faced with high spatial
intermittence and a complex temporal wet and dry
sequence. This situation is due to the fact that the
resulting rainfield cannot be considered as a
continuous variable. It is composed of two forms of
variability: the internal variability of the rain event
and that of its indicator. It is not indicated in such a
context to analyze the variability of the phenomenon
by considering the realization point by point. The rain
event must be considered as an object and the process
of its generation which constitutes the external variability, must be analyzed first, before analyzing the
internal variability. In this study, multi-dimensional
point processes will be considered for the generation
of rain event initiation.
The problem of applying clustered Poisson point
processes is that it is difficult to estimate explicitly the
density of the master process generating the rain
events.
3. Spatio-temporal point process
A spatio-temporal point process is a random
collection of points, where each point represents the
time and location of an event. A spatial-temporal point
process N is mathematically defined as a random
measure on a region S Í R ´ R 3 of space-time, taking
+
values in the non-negative integers Z . In this
framework the measure N ( A) represents the number
of points falling in the subset A of S . The twodimensional space (longitude and latitude) and time
are considered in this study, so S Í R ´ R 2 . A marked
spatial-temporal point process is a spatial-temporal
point process where each point has a further random
variable associated with it, called a mark.
a. Conditional rate
Any analytic spatial-temporal point process is
uniquely characterized by its conditional rate process
l (Fishman and Snyder 1976). l ( x, y, t ) may be
thought of as the frequency with which events are
expected to occur around a particular location
(x, y,t ) in space-time, conditional on the prior
history
H t of the point process up to time t . Note
that in the statistical literature (e.g. Daley and VereJones 1988; Karr 1991), l is more commonly
referred to as the conditional intensity rather than
conditional rate. Formally, the conditional rate
l ( x, y, t ) associated with a spatial-temporal point N
may be defined as the limiting conditional
expectation:
lim
DxDyDt ¯ 0
E {N [( x, x + Dx) ´ ( y, y + Dy ) ´ (t , t + Dt )] H t }
DxDyDt
provided that the limit exists.
The conditional rate represents the infinitesimal
increment of the expected rate of events at time t and
location ( x, y ) , given all the observations up to time
t.
b. Models for the conditional rate
The behavior of a spatial-temporal point process
N is typically modeled by specifying a functional
form for l ( x, y, t ) . Although this may be estimated
nonparametrically (Diggle 1985; Guttorp and
Thompson 1990), it is more common to estimate l
via a parametric model. l ( x, y, t ) generally depends
not only on x , y , t but also on the times and
locations of preceding events. When N is a Poisson
process, l is deterministic; i.e. l ( x, y, t ) depends
only on x , y and t . The simplest model is the
stationary Poisson process, where the conditional rate
is constant: l ( x, y, t ) = a for all x , y and t . In this
112
113
case, the probability of occurrence of the events is the
same at all locations and times, regardless of how and
where events have occurred previously. A point
process is self-correcting, if for any two disjoint sets
A and B in S , Cov[ N ( A), N ( B )] < 0 . For this
class of point processes, the presence of points in one
area tends to inhibit the presence of points in nearby
areas. A point process is self-exciting, if this
covariance is positive. For self-exciting point
processes the occurrence of events in one area
increases the likelihood of vents in nearby areas. Selfexciting point process models are often used to model
events that are clustered in time and/or space. A hardcore point process is a point process in which the
constituent points are forbidden to lie closer together
than a certain minimum distance.
4. Data Analysis
Sahelian rainfields have been substantially studied
from raingauges (e.g. Amani et al. 1996; D’Amato and
Lebel 1998; Le Barbé et al. 2002; Ali et al. 2003).
Mathon and Laurent (2001) described an automated
method for tracking MCSs from Meteosat infrared
images. This algorithm of tracking was used to create
a data base of MCSs characteristics.
b. Distributions
A Gamma distribution with three parameters
[equation (1)] is adjusted for each of the four variables
which will be considered in the model: the lifetime,
the size, the velocity and the direction (orientation) of
the OCSs. Except for the orientation, the values of x0
in the Gamma distribution are fixed for the three other
variables, as are the minimum values of the variables
in the definition of the OCSs.
f ( x,a , r , x0 ) =
é ( x - x0 ) ù æ x - x0
1
ç
exp ê r úûçè r
G(a )
ë
ö
÷÷
ø
a -1
1
r
(1)
a = the shape parameter and r = the scale
parameter.
c. correlation analyzed
This section aims at determining whether there is a
significant correlation between the four variables.
Table 1 shows that apart from the size and the
lifetime, the other variables do not display any
correlation.
a. Tracking database
d. Spatial analysis
Ten years (1990-99) of full-resolution (30 min;
5x5 km²) Meteosat infrared channel (10.5 –12.5 mm )
images covering the 1 July – 15 September period
were used to create this database (Mathon and Laurent
2001). However, 1995 is not used because 10 days of
data are lacking in July. The statistics presented here
are thus computed over a period of 9 years: 1990 – 94
and 1996 – 99. The MCSs are tracked by considering
three different brightness tempera-ture thresholds:
253, 233 and 213 K. Dynamical and morphological
characteristics of the MCSs are computed, along with
their lifetime. The MCSs are modeled as ellipses. The
database contains for each MCS: the lifetime; and for
every 30 min corresponding to the slots of Meteosat
images, the time of occurrence, the size, coordinates
of the geometric center, the effective radius,
eccentricity and orientation of the ellipse.
A sub-population of MCSs are identified to
represent the rain events (they represent more than
90% of the total annual rainfall). For these, their
velocity must be more than or equal to 10 m/s, their
size more than 5000 km² and their lifetime more than
3 h. The MCSs of this sub-population are called
organized convective sys-tems (OCSs) and represent
12% of the total number of the MCSs. In the
following, of this study, the OCSs characteristics are
considered at 233 K which is assumed to be the
optimum threshold corresponding MCSs to rainfall
(Arkin 1979; Mathon et al. 2002).
It’s well known that the annual rainfield in the
Sahel displays organized spatial isohyets with a northsouth gradient of roughly 1 mm km-1.This is illustrated
well by Fig. 2a calculated for the JAS period of 1992.
Also, the annual occurrence of the OCSs calculated
for the same period displays an spatial organization
with a north-south gradient (Fig. 2b). This high
similarity between the rainfield and the OCSs
occurrence organization explains the solid link
between these two variables. However, Fig. 2c does
not show any latitudinal organization in the initiation
of the OCSs as it does for the occurrence. The mean
event rainfall calculated from the EPSAT-Niger data
for the same period (Fig. 2d) is also well known
without any systematic spatial gradient (north-south or
east-west).
TABLE1: Contingency table for the correlation coefficient
between the different parameters of the OCSs.
Correlation
lifetime
size
velocity
Coefficient (r)
size
0.566
velocity
0.038
0.122
direction
0.066
-0.061
0.365
113
114
Fig. 1: Gamma distribution parameterization for the characteristic variables of the OCS.
114
115
a
b
c
d
Fig. 2: a) the spatial behavior of the JAS cumulative rainfall for the year 1992 calculated from
the CILSS raingauge database, b) the occurrence of the OCSs and c) the OCSs initiation calculated
from the tracking database for the same JAS period – 1992, d) the mean event rainfall calculated
from the EPSAT-Niger for the same period 1992. The cumulative rainfall and the OCSs occurrence
both display a north-south gradient and that are very similar. The OCSs initiation and the mean
event rainfall do not show any systematic spatial gradient.
115
116
e. Clustering analyze in OCSs initiation
The space-time K-function (Diggle et al. 1995) is
used to analyze the space-time behavior of OCS
initiation. This is defined by the relationship:
ld lt K (d , t ) = E[# (events £ distance d and
where R is the area of region R , n is the observed
number of events, T is the overall timespan observed.
I d (d ij ) is an indicator function that takes the value 1
when
d ij is less than d . Consider a circle centred on
event
i , passing through the point j , then wij is the
£ time t of an arbitrary event )]
where E ( ) denotes the expectation value, # signifies
conditional probability that an event is observed in
R , given that it is a distance d ij from the ith event.
ld is the spatial intensity i.e. the
mean number of events per area and lt the temporal
t ij is the time interval between the ith and jth
"the number of" and
intensity.
Essentially, K function describes the extent to
which there is space-time dependence in the
arrangement of events. We use the splancs package
for R (Ihaka and Gentleman, 1996) to compute
K (d , t ) following the formula of equation 2 (Diggle
et al. 1995).
RT
Kˆ (d , t ) = 2
n
åå i ¹ j
I d (d ij ) I t (t ij )
wij vij
(2)
observed events, I t (t ij ) is an indicator function
which is 1 if t ij £ t and 0 otherwise and
temporal equivalent of
vij is the
wij .
For a homogenous Poisson process (HPP),
K (d ) = pd 2 in space and K (t ) = t in time. Fig. 3
shows that OCS initiation has the same behavior as a
HPP in space for distances of less than 14° on
average, the behavior for large distances may be
explained by the spatial inhomogeneity. The temporal
component of the K function shows a clustering for the
temporal process of OCS initiation.
a
b
Fig. 3. Space-time K Function: a) spatial component and b) temporal component. The values represent the
mean for the period 1990 - 1999 without 1995.
5. Model conception
In this section, we propose a space-time rain-fall
model based on our undertanding of the key behaviors
of Sahelian rainfall systems as descri-bed above.
a. The different steps of the model
We consider three main steps for the model. These
steps are: i) generating the initiation of the OCSs. This
first step is the key part of the model. ii) Then, for
each OCS we draw from the statistical distribution an
associated lifetime, mean size, mean velocity, mean
orientation (which describes its trajectory) and a mean
cumulative rainfall ( H ). These variables are assumed
to be constant during the lifetime of the OCS. Note
that, a Gamma distribution is also considered for the
variable H (Guillot and Lebel 1999). iii) In the last
main step, the variable H is desegregated in the space
covered by the OCS during its lifetime. The Gibbs
116
117
algorithm will be used to allow a spatial desegregation
of H , which is performed conditionally on its mean
(see Onibon et al. 2004).
The expectation value of the cumulative rain-fall
P , for a given DT period and a given spatial location
(x, y ) is expressed by equation (3). A demonstration
of this equation for a non-limited area can be found in
Northrop 1998. Only the factor in square brackets
which is linked to the Sahara limit is not considered in
its demonstration.
E[ P ( x, y )](DT ) = lDT m D m A H
´ [( y0 - y ) / m D mV ]
where
lDT
(3)
: expected number of initiation during the
DT period; m D : expectation value of the lifetime of
the OCSs; m A : expectation value of the size of the
OCSs; y0 : northern limit in OCS initiation (this is
the southern border of the Sahara, see Fig. 4);
mV :
expectation value of the velocity.
b. A model for the conditional rate
The key part of equation (3) is the function
l ( x, y, t ). In prescribing a model for the conditional
rate l ( x, y , t / H t ) , we use three components:
i) a spatial background m( x, y ) which takes into
account the spatial inhomogeneity of the probability of
OCS initiations. This component can be thought of as
incorporating the effect of the relief and other local
conditions that can have an impact of OCS initiation.
For this component, a simple two-dimensional kernel
smoother is used.
i
i
i
1 N é 1 n0 æ x - x0 j ö÷ æç y - y0 j ö÷ ù
m( x, y ) = å ê i å K ç
K
ú
N i=1 ê n0 j =1 çè f x ÷ø çè f y ÷ø ú
û
ë
(4)
In estimating the spatial background, the data must
be separated into two subsets. The spatial locations of
the initiations are smoothed for the first data subset,
guaranteeing that the estimate of the conditional
intensity at time t is based strictly on information
before t .
In equation (4) N is the number of years
constituting the first data subset used to compute the
smoothing function;
for the year
i and ( x0i j , y0i j ) represents the spatial
coordinates of the
and
n0i is the number of initiations
J th initiation in that subset. f x
f y are the bandwidth parameters. K is a suitable
kernel function (i.e positive, symmetric and integrates
to 1). Similar approaches using kernel smoothing have
been taken in the area of seismology (see e.g. Zhuang
et al. 2002). We use a Normal density kernel function:
K ( z) =
(
1
exp - z 2 2
2p
)
(5)
For the bandwidth selection, see the discussion in
Choi and Hall 1998.
ii) A seasonal component is used to describe the
overall seasonal variation of the OCS initiation
activity.
1
s (t ) =
N
N
1
å
i
i =1 n0
æ t - t0i j
ç
K
å
ç f
j =1
è seas
n0i
ö
÷
÷
ø
(6)
Here, the terms have the same signification as
above.
iii) Finally, we use a one-dimensional Hawkestype cluster model (Ogata, 1998) for describing the
instantaneous temporal probability of OCS initiation.
Thus, the component of the conditional rate is:
å g (t - t )
(7)
i
ti < t
where
g is the trigger function
M
g ( z ) = å am z m -1e -cm
(8)
m =1
a1 ,..., aM and c control the level
of the clustering. M represents the order of the trigger
The parameters
function.
The final conditional rate is expressed as:
l ( x , y , t / H t ) = h * m ( x , y ) + n * S (t )
+ å g (t - t i )
ti <t
h and n are two parameters.
(9)
c. Parameters estimation
All the parameters of the models are estimated by
maximizing the log-likelihood function.
n
T2
l(q ) = å log l (t i , xi , y i ,q ) - ò òò l (t , x, y,q )dxdydt
i =1
T1 S
(10)
where q is the vector of free parameters and n is
( xi , yi , t i ) in the second
dataset, observed in the time interval [T1 ,T2 ] over the
area S . The parameters to be estimated are: h , n , as
well as a1 ,..., a M , c , and M . Under fairly general
the total number of events
conditions, maximum likelihood estimates have
shown to be consistent (e.g. Rathbun and Cressie,
1994). When optimizing the log-likelihood function
some restrictions must be placed on the parameters in
order to maintain a positive conditional intensity
117
function and ensure the numerical stability of the
optimization procedure. The critical point is the
selection of the value of M . This is allowed to take
various values and that which gives the minimum
value for the Akaike Information Criteria
AIC (Akaike 1983) is chosen.
d. Accounting for dry and wet years
118
with the intraseasonal variability of these initiations.
This shows a distinct spatial behavior between wet
and dry years. The maximum initiations during wet
years in the North-East of Niger is not present during
dry years. It may also be seen that there is a large
decrease in the number of initiations in the middle of
the rainy season (i.e. August). The model must
therefore take this variability between wet and dry
years into account.
Fig. 5 represents the composite spatial distributions
of OCS initiations for wet and dry years, along
Composite of Wet years
Composite of Dry years
Fig. 4. OCS initiation typology for wet and dry years. The spatial distribution of initiations
between wet and dry years do not display the same behavior and a distinct difference is shown in
seasonal behavior.
6. Conclusion
This work has addressed a theoretical conception of
a space-time rainfall model, based on the initiation of
Organized Convective Systems (OCSs). The proposed
model is able to take into account the spatial inhomogeneity, the seasonal variability and the temporal
clustering of OCS initiations. The interannual variability
must be taken into account by considering the different
behavior observed between wet and dry years, both in
terms of the spatial and temporal characteristics.
However, the practical implementation and
validation of this study have not been addressed here.
These will constitute one of the immediate extensions of
this thesis.
118
119
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119
120
120
121
Conclusion
V - Conclusion
Conclusion
123
V.1 Principaux Résultats
Trois principaux objectifs étaient assignés à cette thèse. Il s’agissait dans un premier temps de
modéliser dans un contexte géostatistique, la variabilité interne ge et externe gI des événements
pluvieux, considérées comme des invariants, et de les intégrer pour décrire la structure spatiale
des champs de pluie pour tous pas de temps supérieurs à l’événement. Dans un second temps, le
modèle ainsi développé devait être testé dans le domaine de l’estimation des pluies. Enfin, le
troisième objectif portait sur le développement d’un modèle stochastique régional pour étudier la
variabilité climatique aux échelles hydrologiques. Les données utilisées sont issues de deux
échelles différentes, une échelle locale, densément instrumentée par le réseau EPSAT-Niger, et
une échelle régionale, couverte par les données rassemblées dans la base du Centre Régional
AGRHYMET.
Le premier et le deuxième objectifs ont été atteints. Un modèle d’invariance d’échelle basé sur
les éléments invariants ge et gI avec NT (nombre d’événements) comme seul paramètre d’échelle, a
été développé et validé avec succès sur des données réelles. Cette validation a eu lieu à la fois à la
méso-échelle (avec les données de EPSAT-Niger) et à l’échelle régionale (avec les données du
Centre Régional AGRHYMET). En dehors de son usage pour l’interpolation des champs de
pluies, le modèle a permis de diagnostiquer les différentes échelles de variabilité. Ainsi à l’échelle
de la saison (NT = 40, nombre moyen d’événements pour une année de pluviométrie moyenne), la
variabilité interne est prédominante pour des distances inférieures à 150 km sur le variogramme.
Par exemple à 100 km, l’intermittence de la pluie explique 38% de la variabilité totale et à 500 km
elle en explique 88%. Il a aussi été montré que la dérive spatiale des champs de pluie sahéliens
s’explique essentiellement par le nombre d’événements, NT, qui intervient dans le modèle
d’invariance d’échelle en forme quadratique dans la direction Nord-Sud. La dérive liée à ce
gradient devient alors rapidement prépondérante quand NT augmente. Cette situation correspond
aux structures des isohyètes observés sur la région.
Dans la deuxième partie axée sur les applications, nos connaissances sur la structure spatiale
des champs de pluie sahéliens (structures emboîtées et anisotropes, modèle d’invariance d’échelle,
dérive spatiale) ont été capitalisées en terme de spatialisation. Ainsi, l’évaluation des méthodes
d’interpolation optimale basées sur ces structures, a montré que le réseau CILSS, a fortiori celui
de EPSAT-Niger, sont suffisamment denses pour fournir des valeurs de référence robustes pour
tous les interpolateurs utilisés. En procédant par validation croisée sur les 650 postes disponibles
on constate que les estimations fournies par quatre variantes de krigeage ne diffèrent entre elles
que d’un maximum de 4%. En revanche, l’estimation théorique de l’erreur d’estimation varie
fortement en fonction de la méthode considérée (elle va du simple au double dans certains cas).
On peut noter tout d’abord que si NT est correctement estimé, comme cela est le cas sur la zone
EPSAT-Niger, l’interpolateur utilisant la fonction de structure déduite du modèle d’invariance
d’échelle a donné la meilleure estimation de la variance de krigeage. A l’échelle régionale, où on
ne disposait au mieux que des données journalières, le krigeage des résidus (Regression Kriging,
RK) est apparu comme fournissant la meilleure évaluation de l’erreur d’interpolation, les trois
autres méthodes testées la sous-estimant fortement. La différence entre l’erreur théorique fournie
par RK et l’erreur expérimentale calculée par une procédure de validation croisée est inférieure à
Conclusion
124
3% à tous les pas de temps considérés. Cette excellente performance de RK s’explique à la fois
par une bonne représentation de la dérive spatiale, qui n’est pas homogène sur toute la zone
CILSS, et le fait que les résidus sont plus gaussiens que les valeurs brutes : un test de normalité
montre que 35% des distributions des valeurs brutes peuvent être considérées comme gaussiennes
contre 82% pour les résidus. Les hypothèses sur lesquelles repose le calcul de l’écart-type de
l’erreur de krigeage sont alors mieux respectées et les valeurs ainsi calculées sont plus réalistes.
L’estimateur RK a donc été considéré comme la référence à l’échelle régionale. L’erreur
théorique de krigeage associée est considérée comme une valeur approchée réaliste de
l’incertitude liée à cette référence. Cela a permis, dans un premier temps, de mieux estimer NT à
partir de la relation d’invariance d’échelle et, dans un second temps, d’optimiser une fonction
d’erreur, initialement définie et validée à partir des données EPSAT-Niger. Cette fonction d’erreur
a été par la suite utilisée pour évaluer les réseaux pluviométriques des pays du CILSS et
intercomparer plusieurs estimations satellites. Il ressort de cette analyse que les réseaux des pays
sahéliens sont certes capables de fournir des valeurs de référence mensuelles à moins de 10%
d’erreur à l’échelle de 2.5°x2.5°, mais ils sont complètement inaptes aux échelles hydrologiques.
S’il s’agit par exemple de garantir une erreur d’estimation inférieure à 10% à l’échelle de la
décade pour une résolution spatiale de 1°x1° – qui est l’échelle des modèles hydrologiques ou des
bilans hydriques régionaux – la presque totalité de la zone CILSS est déficitaire (seulement 2%
des cellules répondent à cette condition).
Pour ce qui est des produits satellitaux, ils sous-estiment tous la fréquence des valeurs faibles
(intermittence) et celle des très fortes pluies. Par contre ils surestiment largement la fréquence des
valeurs centrales. Cette situation peut conduire à des biais « hydrologiques » importants. L’erreur
d’évaluation du meilleur produit satellite (CMAP) est le double de l’erreur théorique de la
référence (obtenue à partir du réseau CILSS) : 15.9% contre 8% pour la zone bien couverte située
au sud de 15°N. GPI, qui est le seul produit satellite n’incluant pas de données pluviométriques,
conduit à des estimations totalement inadaptées (40% d’erreur au sud de 15°N et plus de 80% au
nord de 15°N). Mais GPI a montré la même performance à estimer la variance des champs de
pluie que les autres produits incluant des données sol, du fait de sa capacité à détecter les
événements pluvieux. Ce résultat oriente vers des nouvelles approches d’estimation des pluies par
satellite au Sahel, basées sur une exploitation optimale de la capacité des capteurs satellitaires à
identifier les événements pluvieux. Par ailleurs une intercomparaison par rapport à l’estimation
utilisant le réseau total du CILSS, considérée comme référence, montre que les estimations
obtenues uniquement par interpolation optimale de deux réseaux moins denses que le réseau
CILSS (CRA, 250 postes et SYN, 80 stations) s’avèrent meilleurs que les produits satellites. Le
fait que SNY soit meilleur que les produits internationaux est un peu surprenant du fait que ces
produits internationaux sont sensés inclure les données du réseau synoptique transmises via le
système mondial de télécommunications (SMT). Une explication de ce résultat peut venir, d’une
part, du fait que toutes les données du réseau synoptique sont ne transmises sur le SMT et,
d’autres part, d’une mauvaise qualité des données du SMT.
Dans une dernière partie, une approche est proposée pour tenir compte, dans l’évaluation des
produits satellites, de l’erreur de la valeur de référence qui est elle même une estimation. La mise
en œuvre de cette approche est basée sur l’estimation de la covariance entre l’erreur du produit
satellite et celle de la référence dans la zone CILSS où le réseau est le plus dense. Les résultats
obtenus donnent des erreurs d’évaluation des produits satellites et des produits sol plus faibles que
Conclusion
125
celles qui n’intègrent pas l’erreur de la référence. Par exemple l’erreur de CMAP passe de 15.9%
à 11%. Les nouvelles erreurs n’ont cependant pas changé le classement des produits établi sans
tenir compte de l’erreur de la référence. Notons enfin que l’approche proposée donne des erreurs
d’évaluation objectives, car elles sont indépendantes de la référence considérée.
Le but visé dans la troisième partie de cette thèse était d’élaborer un modèle conceptuel de
simulation stochastique du régime pluviométrique sahélien à l’échelle régionale. L’essentiel est
acquis, mais des développements restent à poursuivre. La base des données issue du suivi
(tracking) des systèmes convectifs organisés (SCO) a été utilisée à cet effet. Les systèmes ont été
considérés comme des objets dont il faut générer la naissance, ensuite la taille et la durée de vie,
ainsi que les directions, vitesses de déplacement et la quantité de pluie associée à ces systèmes.
L’analyse des données du tracking a d’abord montré une certaine inhomogénéité spatiale de la
probabilité de naissance des SCO, principalement liée à l’effet du relief. Par contre il n’y a pas de
gradient systématique (Nord-Sud ou Est-Ouest par exemple) de cette probabilité. La structure des
naissances montre un phénomène d’agrégation temporelle. L’analyse des corrélations interparamètres (taille, durée de vie, vitesse, direction) a montré qu’en dehors de la taille et de la durée
de vie, il y a une certaine indépendance entre les paramètres du système. Le modèle, basé sur le
formalisme des processus de point, prend en compte ces caractéristiques de formation et de
dynamique des systèmes convectifs pluviogènes. Pour tenir compte de la variabilité interannuelle,
le modèle utilise une typologie effectuée entre année et année sèche.
V.2 Perspectives
Les perspectives de ce travail se situent dans trois directions. La plus évidente est de finaliser
le modèle conceptuel et de tester des scénarios hydrologiques ou agronomiques pour le Sahel. Ces
scénarios constitueront des outils d’aide à la décision pour les décideurs nationaux et
internationaux dans le cadre par exemple d’un programme d’adaptation des pays sahéliens aux
changements climatiques. Ce travail peut se faire de deux manières. Soit en générant
stochastiquement le nombre des SCO sur la base des tendances déjà observées dans le régime
pluviométrique Sahélien ; soit en procédant par approche de downscaling en liant la grande
échelle et l’échelle des systèmes convectifs. Un travail en cours (en collaboration avec Nick Hall,
figure V) montre par exemple une bonne relation entre des paramètres de la dynamique grande
échelle et le nombre de systèmes convectifs.
La deuxième perspective consiste à adapter les outils de désagrégation développés à l’échelle
de l’événement pluvieux aux échelles des cumuls de plusieurs événements. Cette adaptation
s’avère particulièrement intéressante car la possibilité actuelle des MCGA, qui sont les seuls outils
capables de prédire des tendances climatiques, porte sur des cumuls de plusieurs événements,
typiquement des cumuls mensuels à la résolution spatiale 2.5°x2.5°. Une telle adaptation est
possible à travers le modèle d’invariance d’échelle, mais nécessite un développement
mathématique préalable pour pouvoir lier les paramètres des algorithmes de désagrégation
calculés pour l’échelle de l’événement à des paramètres adaptés pour des échelles spatiotemporelles plus grandes.
126
Conclusion
La troisième perspective porte sur le développement d’un algorithme d’estimation des pluies
par satellite. Ce développement devrait s’appuyer sur la capacité du satellite à identifier les
systèmes convectifs pluviogènes et par conséquent sur la capacité d’identifier la structure des
champs de pluie associés via le modèle d’invariance d’échelle. Un tel développement est un
besoin fort exprimé par le Centre AGRHYMET basé à Niamey et qui a pour vocation le suivi
opérationnel de la campagne agricole au Sahel.
Période de cinq jours entre 1990 et 1999
Fig. V Relation entre la première composante EOF de la divergence du champ de vent
synoptique sur le Sahel (dénommée Chi et dont les valeurs sont comprises entre 0 et -1) et
l’occurrence des systèmes convectifs organisés (SCO) sur la même zone. La période est
comprise entre 1990-1999 sans 1995 et concerne uniquement le cœur de la saison (20 juin à
10 septembre). Les valeurs représentées sont des moyennes mobiles sur cinq jours. La
moyenne du nombre d’occurrence des SCO sur cinq jours est environ 9.
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Modélisation de l`invariance d`échelle des champs de pluie

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