Frage 1: Mass determination of a dwarf planet Frage 2: Stability of

Einführung in die Astronomie 
Wintersemester 2007/08
Übungsaufgaben 1 – Musterlösung
Frage 1: Mass determination of a dwarf planet
Dysnomia, the recently discovered moon of the dwarf planet Eris moves on a circular orbit with a
period P = 15.773 days. The orbital radius is R = 37400 km (Brown & Schaller, Science Vol 316, 15
June 2007). The diameter of Eris has been measured by the Hubble Space telescope to be 2400km
(Brown et al. 2006, Astrophysical Journal 643, L61).
Determine the mass and density of Eris and compare them with those of Pluto.
Lösung:
Mit a = 3.7107m, P = 8.177107 s, G = 6.67310−11m3 kg−1 s−2 und dem dritten Keplerschen Gesetzes
ergibt sich
2 a3
MEris + MDysnomia = 4π
= 1.621022 kg
GP2
Da die Masse von Dysnomia vernachlässigbar klein ist, ergibt sich MEris = 1.621022kg.
3M
3
Die Dichte ergibt sich mit R = 1.2106 m zu ρ = 4πR
3 = 2238kg/m
3
sehr ähnlich zu Pluto’s (2200 kg/m )
Die Masse des Pluto beträgt 0.002 M♁ = 0.002 5.97 1024 kg = 1.21022 kg.
Eris ist massereicher als Pluto. Die ähnlichen Dichte legt einen ähnlichen Aufbau der beiden Zwergplaneten nahe.
Frage 2: Stability of planetary atmospheres
Some planets and some of their moons have atmospheres, others do not. Why? Can a planet or moon
maintain its atmosphere?
According
to kinetic gas theory the mean velocity of a molecule in a planetary atmosphere is vmol =
q
3kT
.
mmol
T is the temperature [K], mmol the mass of the molecule and k=1.3807 10−23 J/K is the Boltzmann constant. A molecule can escape from the planet if its kinetic energy is larger than its potential
energy, where E kin = 1/2mmol v2mol and E pot = GMplanet mmol /Rplanet . Hence a planet would quickly loose
its atmosphere. The velocity corresponding to E kin = E pot is called the escape velocity.
However, the molecules do not have the same velocity but rather a distribution of velocities (Maxwell
distribution) which, in particular, has a tail of high velocities. Hence, some molecules can escape even
when the mean velocity is lower than the escape velocity.
As a rule of thumb a planet can keep half of its original atmosphere for more than a billion (german:
Milliarde) years if the escape velocity is less than 0.2 times the mean velocity of the molecule.
Earth and Moon formed about 4 billion years ago. Assume they had originally atmospheres containing
hydrogen and nitrogen (H2 and N2 molecules). What happened to their atmospheres? The global
1
(effective) temperature of the earth is T♁ =255K and that of the moon T$ =274K (Unsöld & Baschek,
Der Neue Kosmos, Tab. 3.1).
Lösung: ACHTUNG: Schreibfehler in Formel für die potentielle Energie ist ein Faktor 2 zuviel
angegeben worden. Hier in der Aufgabenstellung bereits korrigiert !!!
Anmerkung: bei der globalen Temperatur der Erde ist der Treibhauseffekt herauskorrigiert.
Die atomare Masseneinheit beträgt amu=1.6605 10−27 kg. Die Masse von H2 ist etwa 2 amu, die von
N2 etwa 28 amu. Die Mondmasse beträgt 0.012 M♁ , der Mondradius 0.27 R♁ . Die Entweichgeschwinq
digkeit ergibt sich zu vesc = 2GM
R
Erde: v(H2 )=1.78 km/s, v(N2 )=0.48km/s, vesc =11.2km/s, vcrit =2.24 km/s
Die mittleren thermischen Geschwindigkeiten für beide Moleküle sind kleiner als die kritische Geschwindigkeit, so dass die Erde beide halten kann. Beim Wasserstoff allerdings ist mit Verlusten seit
der Entstehung der Erde zu rechnen. Aufgrund des Treibhauseffektes sind die Atmosphärentemperaturen heute deutlich höher, so dass erheblich mehr Wasserstoff verloren gegangen ist als hier geschätzt.
Mond: v(H2 )=1.85 km/s, v(N2 )=0.49 km/s, vesc =2.36 km/s, vcrit =0.47km/s
Die mittlere thermische Geschwindigkeit von H2 ist ist fast so groß wie die Entweichgeschwindigkeit.
Der Mond verliert Wasserstoff daher sehr schnell. Die mittlere thermische Geschwindigkeit von N2 ist
etwa so gross die kritische Geschwindigkeit. Stickstoff könnte sich also seit Entstehung des Molndes
gehalten haben, wenn auch deutlich reduziert.
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