3. Der AKS–Test

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3. Der AKS–Test

Feruniversität Hagen im Fachbereich Mathematik
Bachelorarbeit über das Thema
Der Primzahltest von Agrawal-Kayal-Saxena im Vergleich
zum Primzahltest von Rabin-Miller
Name und Anschrift:
Annabell Berger
Mendelssohnweg 7
07743 Jena
Matr.-Nr.: 5014697
Betreuerinnen:
Frau Professor Dr. Luise Unger
Frau Dr. Silke Hartlieb
Abgabedatum: 15. Oktober 2004
1
Inhaltsverzeichnis
0. Motivation
3
1. Begriffe aus der Komplexitätstheorie
4
2. Der Rabin–Miller–Test
6
0. Notation
6
1. Idee
7
2. Definitionen und Beweise
8
3. Der Algorithmus und seine Komplexität
10
3. Der AKS–Test
11
0. Notation
11
1. Idee
12
2. Definitionen und Beweise
13
3. Der Algorithmus und seine Komplexität
17
4. Experimente: Untersuchung der durchschnittlichen Laufzeit bei
verschiedenen Bitstellenzahlen
20
1. Ansatz
20
2. Durchschnittliche Schnelligkeit des Rabin Miller Tests beim
Erkennen von Primzahlen bzw. zusammengesetzten Zahlen
20
3. Durchschnittliche Schnelligkeit des AKS–Tests beim
Erkennen von Primzahlen bzw. zusammengesetzten Zahlen
30
5. Vergleich und Zusammenfassung
35
Literatur
37
Anhang: Programme
38
2
0. Motivation
Die Suche nach Primzahlen begleitet unsere Kulturgeschichte seit über 2000 Jahren. Die
Frage nach den Beweggründen lässt sich je nach Weltanschauung auf unterschiedliche Art
und Weise beantworten. Für Pythagoras aus Samos (530 v. Chr.) ist die Welt ein begrenzter,
strukturierter in Harmonie befindlicher Kosmos. Prinzip der Harmonie ist die Zahl.
250 Jahre später leben in der wissenschaftlichen und dichterischen Metropole des
hellenistischen Systems, Alexandria, bedeutende Gelehrte wie Euklid, sein Schüler
Archimedes und der Vorsteher der Bibliothek und Erzieher des Kronprinzen, Eratosthenes.
Euklid erbringt den Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Eratosthenes
entwickelt einen ersten Primzahltest genannt „Das Sieb des Eratosthenes“. Das Prinzip
besteht darin, alle Vielfachen der natürlichen Zahlen von 2 bis zu einer gegebenen Zahl n zu
streichen. Übrig bleiben alle Primzahlen, die kleiner oder gleich n sind. Somit lässt sich für
eine gegebene Zahl n ermitteln, ob es sich um eine Primzahl handelt. Obwohl zu dieser Zeit
die traditionelle griechische Religion weitergepflegt wird, gibt es zweifelsfrei die Suche nach
einer mathematischen Wahrheit um ihrer selbst willen. Simon Singh erzählt in seinem Buch
„Fermats letzter Satz“ eine Anekdote über Euklid, der einen Schüler auszahlte und ausschloss,
als dieser ihn nach der Nützlichkeit der Mathematik befragte [SNGH02].
Unsere abendländische Kultur, geprägt von der Antike und ihren geistigen Nachfolgern,
beinhaltet unterschwellig so manchen ideellen Gedanken der „alten Gelehrten“. Seit den 70er
Jahren des 20. Jahrhunderts kommt jedoch ein neuer, ganz praktischer Grund für die
Beschäftigung mit Primzahlen hinzu, nämlich das Verschlüsseln von Informationen.
Das ist zwar auch eine sehr alte Idee, neu daran ist jedoch die Größe und Unterschiedlichkeit
des Personenkreises, der, bedingt durch die Informationsgesellschaft, Verschlüsselungen
benutzt. Damit einher geht eine Renaissance der Kryptographie, die Mitte letzten
Jahrhunderts beginnt. In den 70er Jahren gelang durch Withfield Diffie und Martin E.
Hellmann ein Durchbruch. Sie erfanden das Prinzip des öffentlichen Schlüssels. Eine erste
konkrete Umsetzung gelang den drei Wissenschaftlern Ronald Rivest, Adi Shamir und
Leonard M. Adleman mit dem nach ihnen benannten RSA–Kryptosystem [RSA78]. Der
öffentliche Schlüssel ist hier das Produkt aus zwei Primzahlen, der wie der Name schon sagt,
für jede Person offen gelegt wird. Geheim bleiben jedoch die zwei Primzahlen selber. Möchte
man dem Kenner der Primzahlen eine geheime Nachricht übermitteln, so tut man dies mit
dem öffentlichen Schlüssel. Die Entschlüsselung der Botschaft ist nur mit Kenntnis der zwei
Primzahlen möglich. Damit einher geht eine weitere Forderung. Die Primzahlen müssen so
groß sein, dass ein Faktorisierungs–Algorithmus eine Zerlegung des öffentlichen Schlüssels
in seine Primfaktoren in absehbarer Zeit unmöglich macht. Mit den heute bekannten
nichteffizienten Faktorisierungs–Algorithmen und den Rechenleistungen von modernsten
Computern ergeben sich für die Gewährleistung der Sicherheit des RSA–Kryptosystems
Forderungen an eine Größe der Primzahlen von 1024 Bitstellen (Stand September 2004).
[BSI04] Die Tendenz ist mit verbesserten Rechenkapazitäten steigend.
Das RSA–Kryptosystem ist nicht das einzige Kryptosystem, das auf die Kenntnis von
Primzahlen angewiesen ist. Beispielsweise benötigt das Massey–Omura–Kryptosystem
Primzahlen mit 2000 Bitstellen (Stand 2004), um endliche Körper zu konstruieren. Endliche
Körper besitzen immer die Mächtigkeit einer Primpotenz [SW90]. Die Sicherheit dieses
Systems beruht auf der Unkenntnis eines effizienten Algorithmus für die Berechnung eines
diskreten Logarithmus.
Die Primzahlen bestimmt man mit Algorithmen, den so genannten Primzahltests, welche bei
einer zufällig gewählten ungeraden Zahl erkennen, ob es sich um eine Primzahl handelt. Doch
das alleine reicht für praktische Anwendungen nicht aus. Es geht nicht nur um das Bestimmen
von Primzahlen, sondern auch um die dafür benötigte Zeit. Inzwischen benutzen auch private
3
Personen Verschlüsselungen zum Beispiel, um elektronische Post vor „fremden Blicken“ zu
schützen. Keiner gibt sich mit einer minuten– oder gar stundenlangen Wartezeit zufrieden.
Der Informatiker Donald E. Knuth schreibt: „In practice we not only want algorithms, we
want algorithms that are good in some loosely defined aesthetic sense.” [KNU02]
Das „Sieb des Eratosthenes“ genügt solchen Ansprüchen nicht.
In unserer Arbeit untersuchen wir zwei so genannte effiziente Primzahltests auf ihre
praktische Einsatzfähigkeit, den Rabin–Miller–Test und den AKS–Test. Beide erfüllen auf
den ersten Blick moderne Ansprüche zumindest per Definition. Bei genauerer Untersuchung
kommen jedoch starke Unterschiede zum Vorschein. Es geht in unserer Arbeit nicht darum,
die schnellstmöglichen Laufzeiten der Tests zu erreichen. Vielmehr soll die Frage beantwortet
werden, welcher Algorithmus für praktische Anwendungen besser geeignet ist. Dazu werden
die Laufzeiten für verschiedene mögliche Fälle, die beim Abarbeiten der Algorithmen
eintreten können, untersucht. Selbstverständlich werden beide Tests effizient programmiert.
Die gemessenen Laufzeiten sind abhängig von den Rechenkapazitäten des verwendeten
Computers (in unserem Fall ein Intel Pentium 4 Prozessor 2,6 GHz mit 1 GB RAM) und von
der Art der Implementierung. Wir benutzten das Computeralgebrasystem MuPAD, um die
beiden Algorithmen zu programmieren. Auf dieser Grundlage führen wir eine Reihe von
Experimenten durch.
1. Begriffe aus der Komplexitätstheorie
Im 9. Jahrhundert lehrte in Bagdad der Begründer des mathematischen Lehrbetriebs des
„Hauses der Weisheit“, Muhammad ibn Musa al-Choresmi, das stellenweise Operieren mit
einzelnen Ziffern beim Multiplizieren, Quadratwurzelziehen und Dividieren. Aus der
lateinisierten Form seines Namens „Algorismus“ entstand der Begriff Algorithmus mit der
Bedeutung „Dezimalkalkül für die Grundrechenarten“. Die heutige Bedeutung des Begriffes
ist viel weiter gefasst. Als Algorithmus bezeichnet man eine Anleitung, wie eine Aufgabe
oder ein Problem in endlichen Schritten zu lösen ist. In unserer Arbeit handelt es sich bei der
Anleitung um ein Computerprogramm. Die Aufgabe besteht darin, für eine gegebene Zahl n
in Dezimaldarstellung zu entscheiden, ob sie eine Primzahl ist. Intern wird diese Zahl jedoch
in eine Binärzahl verwandelt. Demnach sind die Schritte des Algorithmus elementare
Bitoperationen, das heißt Berechnungen, wie Additionen oder Multiplikationen, mit einzelnen
Bits. Vergleiche werden in aller Regel nicht als elementare Bitoperation gezählt. Als Alphabet
bezeichnet man eine endliche Kollektion von Zeichen. Seine Elemente heißen Buchstaben.
Unter einem Wort versteht man eine endliche Folge von Buchstaben. In unserer
Implementierung ist das Alphabet {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ein Wort ist demnach eine
natürliche Zahl in Dezimaldarstellung. Für Komplexitätsberechnungen von Algorithmen
bestimmt man die maximale Laufzeit, die ein Algorithmus für feste Bitlängen von Worten
benötigt. Dieser am meisten zeitraubende Fall, der „worst case“, tritt insbesondere ein, wenn
der Algorithmus vollständig in jedem Schritt abgearbeitet wird.
Es ergeben sich folgende Definitionen.
1.1. Definition: Laufzeit
Sei A ein Algorithmus, ∑ ein Alphabet,
∑
*
die Menge aller Wörter über ∑ ,
n ∈ ∑* ein Wort. Dann ist die Laufzeit T A(n) die Anzahl der elementaren Bitoperationen,
welche A benötigt, um ausgehend von n, zum Stillstand zu kommen.
4
1.2. Definition: Laufzeitfunktion
Bezeichne lg(n) die Länge der Binärdarstellung des Wortes n.
Sei TA: 0 → 0 mit TA(B):= max { T A(n) | y ∈ ∑* , lg (n) ≤ B}.
TA(B) ist die größtmögliche Laufzeit, die für den Algorithmus A, bei Eingabe eines Wortes n
der Bit-Länge lg(n) kleiner oder gleich B, auftreten kann.
Die Länge der Binärdarstellung einer natürlichen Zahl n in Dezimaldarstellung beträgt
log2(n). Somit ist in unserem Fall lg(n) = log2(n)=:log(n).
Für die Lösung eines Problems existieren häufig verschiedene Algorithmen. Man benötigt für
die Bewertung der Schnelligkeit eines Algorithmus ein vernünftiges Kriterium.
Hier ein Beispiel. Seien A und C verschiedene Algorithmen für das gleiche Problem mit
TA(B):=100B und TB(B):=10B2. Für B = 2 ist offenbar C schneller als A, während für
B = 200 A schneller als C ist. Es erweist sich als sinnvoll, den asymptotisch schnellsten
Algorithmus zu suchen.
1.3. Definition: asymptotisch schneller
Seien A und C Algorithmen.
A ist asymptotisch schneller als C, wenn lim B →∞
TA ( B )
TC ( B )
= 0 ist.
Im obigen Beispiel ist also A asymptotisch schneller als C. Um eine Klassifizierung von
Algorithmen bezüglich ihrer Laufzeit vorzunehmen, wird das Landausche Symbol benutzt.
1.4. Definition: Landausches Symbol
Seien f, g : 0 →
Abbildungen.
Dann ist O(f):= { g | Es gibt ein c∈ und ein B0 ∈ mit g(B) ≤ c f(B) für alle B ≥ B0. }
das Landausche Symbol bzw. die Ordnung von f.
Ist TA ∈ O(f) und f ein Polynom, dann ist die Laufzeitfunktion TA polynomial beschränkt.
Ist 2p(B) ∈ O(TA), wobei p(B) ein Polynom vom Grad m ≥ 1 ist, dann ist die Laufzeitfunktion
TA exponentiell wachsend.
Für eine polynomial beschränkte Laufzeitfunktion eines Algorithmus schreibt man häufig
TA ∈ O(Bm). Der Grund dafür findet sich in folgendem Satz.
1.4. Satz:
Sei f ein Polynom vom Grad m, dessen maximaler Koeffizient eine positive reelle Zahl ist.
Dann folgt f ∈ O(Bm).
Beweis:
m
Sei f(B):= ∑ ci Bi mit ci ∈
i =0
für 0 ≤ i ≤ m und cm > 0 .
Dann existiert ein B0 ∈ mit cmBm ≥ cm-1Bm-1 + …+ c1B + c0 für alle B ≥ B0.
Es folgt, dass f(B) ≤ 2 cmBm für alle B ≥ B0 gilt.
Also ist f∈ O(Bm). Aus der Definition 1.2. folgt, dass die Bildmenge der Laufzeitfunktion TA nur aus positiven
reellen Zahlen bestehen kann. Somit muss für ein Polynom f, das TA nach oben beschränkt,
der maximale Koeffizient eine positive reelle Zahl sein. Die Anwendung von Satz 1.4. auf
dieses Polynom f ergibt für eine polynomial beschränkte Laufzeitfunktion TA, dass
TA ∈O(Bm) ist.
5
Einen Algorithmus mit polynomial beschränkter Laufzeitfunktion bezeichnet man als
effizient. Diese Einteilung erscheint sehr theoretisch und es stellt sich die Frage, wann ein
effizienter Algorithmus auch „praktisch effizient“ ist. Genau mit diesem Problem beschäftigt
sich unsere Arbeit und zwar in Bezug auf zwei Algorithmen, die bei Eingabe einer beliebigen
natürlichen Zahl n mit n > 1 entscheiden, ob es sich um eine zusammengesetzte oder eine
Primzahl handelt. Der Rabin-Miller Test ist ein effizienter probabilistischer Test. Seine
Ergebnisse unterliegen einer gewissen Unsicherheit. Der Algorithmus kann bei unabhängig
durchgeführten Versuchen mit der gleichen Eingabezahl n einen unterschiedlichen Verlauf
nehmen. Eine präzise Erklärung des Begriffs probabilistisch wird in 2.1. gegeben. Beim
AKS–Test handelt es sich um einen deterministischen effizienten Algorithmus. Seine
Ergebnisse sind sicher. Der Algorithmus nimmt bei einer festen Eingabezahl immer den
gleichen Verlauf. Der Rabin-Miller-Algorithmus ist asymptotisch schneller als der AKSAlgorithmus (siehe 2.3.2. und 3.3.2.).
2. Der Rabin–Miller–Test
1980 entwickelte Michael O. Rabin einen der ersten nichtdeterministischen, dafür aber
effizienten Tests für Primzahlen, der auf einigen Ideen von Gary L. Miller von 1975 aufbaute.
Dieser Test wird in der Praxis gern benutzt, denn er lässt sich leicht umsetzen und ist relativ
schnell [RAB80].
2.0. Notation
Sei n∈ und ( /n ) der Restklassenring über dem Ring der ganzen Zahlen modulo dem
Ideal n :={nz | z ∈ }. Die Elemente von /n sind die Nebenklassen 0,…, n-1. (Wir
vermeiden hier bewusst eine nähere Kennzeichnung der Nebenklassen beispielsweise durch
eckige Klammern, da zu einem späteren Zeitpunkt unserer Arbeit durch erneute Bildung eines
Restklassenringes über dem Restklassenring ( /n [T] Verwirrung durch eine Vielzahl von
Klammern auftreten würde.) Elemente einer Restklasse nennt man Repräsentanten.
Zwei Elemente a, b ∈ heißen kongruent modulo n wenn a ≡ b(mod n ). Das heißt die
Repräsentanten a und b liegen in derselben Restklasse, wenn (a–b) ∈ n gilt. Äquivalent dazu
ist a = b mit meiner Schreibweise. Das heißt die zwei Restklassen von a und b sind gleich.
Bezeichne a mod n die Funktion, die einer ganzen Zahl a nach Division mit n einen Rest
zuordnet, der betragsmäßig kleiner als n ist. Dann ist (a–a mod n) ∈ n , wobei a ∈ ist.
Daraus folgt, dass die Repräsentanten a und a mod n in der gleichen Restklasse liegen. Also
gilt a = a mod n. Ob ich im weiteren Repräsentanten oder ihre Nebenklassen betrachte, ist
somit an den Zeichen ≡ und = erkennbar.
Mit ( /n ) × bezeichnet man die Menge der invertierbaren Elemente in ( /n ) bezüglich der
Multiplikation. Sei a∈ , dann ist die Restklasse des Repräsentanten a genau dann invertierbar
in ( /n ), wenn ggT(a,n)=1 ist [SW90]. Ist n eine Primzahl, dann gilt das offensichtlich für
alle Elemente von ( /n ) außer dem Nullelement. In diesem Fall ist ( /n ) ein Körper.
6
2.1. Idee
Der Rabin Miller Test beruht auf zwei Grundideen. Erstens dem kleinen Satz von Fermat.
2.1.1. Satz (Fermat):[SW90]
Sei n eine Primzahl und b ∈ ( /n ) × . Dann folgt bn-1 mod n = 1.
Leider gilt die Umkehrung des Satzes nicht und tatsächlich gibt es die zusammengesetzten
Carmichael-Zahlen, bei denen bn-1mod n =1 für alle b ∈ ( /n ) × ist. Somit kann diese
Bedingung in dieser Form nicht zur Beantwortung der Frage, ob eine gegebene Zahl n eine
Primzahl ist, herangezogen werden.
Die zweite Idee des Tests beruht auf der Tatsache, dass /n genau dann ein Körper ist, wenn
n eine Primzahl ist [SW90]. In einem Polynomring über einem Körper kann ein Polynom
zweiten Grades höchstens zwei Nullstellen besitzen [SW90]. Also existieren für
f ∈ ( /n [T] mit f = T2-1 höchstens zwei Nullstellen. Diese sind offensichtlich 1 und
n-1=-1modn. (Für n=2 hat f nur die doppelte Nullstelle 1 = -1mod 2.) Da n als Primzahl für
n > 2 ungerade ist, folgt mit dem kleinen Satz von Fermat ,dass für b ∈ ( /n ) ×
n −1
0 = (b n −1 − 1) mod n = ((b 2 ) 2 − 1) mod n ist. Somit muss im Körper /n für das Element
n −1
n −1
n −1
(b 2 ) mod n ∈ ( /n ) × entweder (b 2 ) mod n = 1 oder (b 2 ) mod n = n − 1 sein. Falls 4 ein
Teiler von n-1 und wenn (b
n −1
2
) mod n = 1 ist, können wiederum nur die Fälle (b
n −1
4
) mod n = 1
n −1
4
und (b ) mod n = n − 1 eintreten. Das Prinzip lässt sich für jede Potenz von 2, die n–1 teilt,
verallgemeinern. Sei also n-1 = 2r s, wobei r, s ∈ sind und s ungerade ist. Erfüllt ein i mit
1 ≤ i ≤ r die Bedingung (b
n −1
2 i +1
n −1
2i
) mod n = 1 , so können für i < r nur die Fälle (
n −1
2 i +1
(b ) mod n = 1 und (b ) mod n = n − 1 ) und für i = r nur die Fälle ( (b s ) mod n = 1 und
(b s ) mod n = n − 1 ) eintreten. Ist das nicht gegeben, dann kann n keine Primzahl sein. Es stellt
sich nun die Frage, ob es zusammengesetzte Zahlen n gibt, bei denen diese Bedingungen auch
für alle b∈ ( /n ) × erfüllt werden. Ist n keine Primzahl, dann handelt es sich bei /n nicht
um einen Körper sondern um einen Ring [SW90]. In einem Polynomring über einem Ring
kann es mehr als zwei Nullstellen von f geben. Erfüllt also ein i mit 1<=i<= r die Bedingung
n −1
n −1
n −1
(b 2i ) mod n = 1 , so kann für ein i < r auch der Fall ( (b 2 i +1 ) mod n ≠ 1 und (b 2i +1 ) mod n ≠ n − 1 )
beziehungsweise für i = r auch der Fall ( (b s ) mod n ≠ 1 und (b s ) mod n ≠ n − 1 ) eintreten.
Erfreulicherweise trifft das für mindestens die Hälfte aller Elemente von ( /n ) × zu (siehe
2.2.3.). Für die restlichen Elemente b aus ( /n ) × nennt sich n starke Pseudoprimzahl zur
Basis b. Im Gegensatz zum kleinen Satz von Fermat könnte man durch einen Test aller
Elemente b aus ( /n ) × zweifelsfrei Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen
unterscheiden. Das dauert aber leider zu lange. Deshalb geht man folgendermaßen vor. Man
wählt zufällig ein b∈{1,…, n-1}. Liegt b nicht in ( /n ) × , dann ist der ggT(b,n) >1. Also ist
n zusammengesetzt. Liegt b in ( /n ) × , so untersucht man die „Nullstellen“ für dieses b.
Wird n vom Test als Primzahl erkannt, dann besteht die Möglichkeit, dass n eine starke
Pseudoprimzahl zur Basis b und damit eine zusammengesetzte Zahl ist. Somit „irrt“ sich der
Test beim Erkennen einer Primzahl mit einer Wahrscheinlichkeit, die kleiner als ½ ist. Denn
eine Zahl n kann für höchstens die Hälfte aller Elemente b aus ( /n ) × eine starke
Pseudoprimzahl sein (siehe 2.2.3.). Demnach entscheidet die zufällige Wahl von b über das
Ergebnis des Tests, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist. Daher stammt die Bezeichnung
probabilistischer Test. Verringern lässt sich die Irrtumswahrscheinlichkeit für das Erkennen
7
einer zusammengesetzten Zahl als Primzahl auf
Wiederholungen des Tests.
1
2k
, durch k-malige, unabhängige
2.2. Definitionen und Beweise
2.2.1. Definition: starke Pseudoprimzahl
Eine zusammengesetzte, ungerade Zahl n heißt starke Pseudoprimzahl zur Basis
b ∈ ( /n ) × , falls für eine ungerade Zahl s und ein r∈ mit n-1 = 2 r s entweder b s mod n =
1 gilt oder wenn es ein i mit 0 ≤ i< r gibt, so dass b 2 s mod n = n-1 gilt.
i
2.2.2. Lemma
Sei P := { b ∈ ( /n ) × | b n−1 mod n = 1}.
Ist n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b, dann liegen alle Basen b aus ( /n ) × in P.
Beweis:
Sei n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b. Mit 2.2.1. gibt es zwei mögliche Fälle.
r
Fall 1: Aus b s mod n = 1 folgt b n−1 mod n = (b s ) 2 mod n = 1 .
Fall 2: Aus b 2 s mod n = n-1 mit 0 ≤ i< r folgt, dass ( b 2 s )2mod n =1 ist. Dann ist
b n−1 mod n = 1.
i
i
2.2.3. Satz:
Sei n zusammengesetzte ungerade Zahl. Dann gilt für höchstens die Hälfte aller
b ∈ ( /n ) × , dass n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b ist.
Beweis:
Fall 1: Es gibt ein b∈ ( /n ) × mit b n−1 mod n ≠ 1.
Sei P := { b∈ ( /n ) × | b n−1 mod n = 1}.
Wegen Lemma 2.2.2. enthält P alle Basen b, für die n eine starke Pseudoprimzahl ist.
Die Menge P ist eine Untergruppe von ( /n ) × . Denn P ist eine Teilmenge von ( /n ) × .
Seien a,c ∈P. Dann ist
(a ⋅ c −1 ) n −1 mod n = (a n −1 mod n) ⋅ ((c n −1 ) −1 mod n) = (1 mod n) ⋅ (1−1 mod n) = 1 . Daraus folgt,
dass a ⋅ c −1 ∈ P ist. Mit dem Untergruppenkriterium ist demnach P eine Untergruppe von
( /n ) × .
Da nach Vorraussetzung P ≠ ( /n ) × ist und weil die Ordnung von P ein Teiler der Ordnung
von ( /n ) × ist (Satz von Lagrange [SW90]), folgt, dass P höchstens die Hälfte der
Elemente von ( /n ) × enthalten kann. Das heißt, für höchstens die Hälfte aller
b ∈ ( /n ) × ist n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b.
Fall 2: Für alle b ∈ ( /n ) × gilt, dass b n−1 mod n = 1 ist.
Eine zusammengesetzte Zahl n, die diese Bedingungen erfüllt, heißt Carmichael–Zahl. Eine
Folgerung aus dem Satz von Korselt (1899) besagt, dass solch eine Zahl das Produkt von
mindestens drei Primzahlen und das Quadrat einer Primzahl kein Teiler einer CarmichaelZahl ist [B99].
8
k
Somit gilt n =
∏p
i
,wobei pi verschiedene Primzahlen sind und k ≥ 3 ist.
i =1
Wir unterteilen den Beweis in einige Teilbehauptungen:
Behauptung (i):
i
Sei I:={ i ∈ 0 | 0 ≤ i ≤ r und für alle b ∈ ( /n ) × gilt b 2 s mod n = 1 }.
Dann gilt:
(a)
r ∈Ι.
(b)
Sei i ∈Ι mit 0 ≤ i< r. Dann folgt i +1 ∈ I.
(c)
Es existiert ein j ∈ mit 0 ≤ j< r für das j ∉ I ist, aber für das (j+1) ∈ I gilt.
Beweis (Behauptung (i))
(a) Klar wegen Voraussetzung.
i
(b) Sei i ∈ I mit 0 ≤ i <r. Dann ist b 2 s = 1 mod n für alle b ∈ ( /n ) × .
i
i +1
Somit folgt für alle b ∈ ( /n ) × , dass ( b 2 s )2 mod n = b 2 s = 1 mod n ist.
Dann ist i+1 ∈ I.
(c) Sei g ∈ und sei g(mod p1) ein primitives Element von ( /p1 ) × . Das heißt die Ordnung
von g in ( /p1 ) × ist gerade, denn ord(g) = p1-1.
Dann ist p1-1 kein Teiler von s, denn s ist nach Voraussetzung ungerade.
Daraus folgt, dass gsmod p1 ≠ 1 ist.
Somit existiert wegen des chinesischen Restsatzes ein b∈ mit bsmod n ≠ 1.
Daraus folgt, dass 0 ∉ I ist. Das heißt es gibt ein j ∈
mit 0 ≤ j< r für das j ∉ I ist, aber für
das (j+1) ∈ I gilt.
Behauptung (ii)
Wegen Behauptung (i) existiert ein j∈ mit 0 ≤ j< r für das j ∉ I ist, aber für das (j+1) ∈ I gilt.
j
Setze G:={ b ∈ ( /n ) × | b 2 s = ± 1 mod n}. Dann ist G eine Untergruppe der multiplikativen
Gruppe ( /n ) × . Dabei ist G eine echte Teilmenge von ( /n ) × .
Beweis (Behauptung (ii))
G ist eine Teilmenge von ( /n ) × .
Seien a, c ∈ G. Dann ist
j
j
j
(a ⋅ c −1 ) 2 s mod n = (a 2 s mod n) ⋅ (c 2 s mod n) −1 mod n = (±1 mod n) ⋅ (±1 mod n) −1 = ±1 mod n .
Denn ( 1 mod n ) und ( − 1 = (n − 1) mod n ) sind in ( /n ) × jeweils zu sich selbst invers.
Daraus folgt, dass a ⋅ c −1 ∈ G ist. Mit dem Untergruppenkriterium ist demnach G eine
Untergruppe von ( /n ) × .
Des Weiteren folgt:
j
Da j ∉I ist, gibt es ein a ∈ ( /n ) × mit a 2 s mod n ≠ 1.
j
Dann existiert ein i0 ∈ mit 0 ≤ i0 ≤ k und a 2 s mod pi0 ≠ 1.
Mit dem chinesischen Restsatz folgt, dass es ein b ∈ gibt, für das b = a mod pi0 und
b= 1 mod pi gilt, wobei i ≠ i0 ist.
j
j
Dann folgt, dass b 2 s =mod pi0 ≠ 1 und b 2 s ≠ -1mod pi gilt.
Daraus folgt b 2 s ≠ ± 1(mod n).
Das heißt aber (b mod n)∉G und somit ist G eine echte Teilmenge von ( /n ) × .
j
9
Behauptung (iii)
( /n ) × \G enthält keine Basis b, für die n starke Pseudoprimzahl ist.
Beweis (Behauptung (iii))
j
Sei b∈ ( /n ) × \G. Dann ist b 2 s ≠ ± 1(mod n). Weil j+1∈I ist (siehe (i)(c)),
j +1
folgt, dass b 2 s =1 mod n gilt. Das heißt n ist keine starke Pseudoprimzahl zur Basis b.
Aus (iii) folgt, dass in G alle Basen liegen, für die n starke Pseudoprimzahl ist. Da G eine
Untergruppe von ( /n ) × ist und mit (ii) eine echte Teilmenge, folgt mit dem Satz von
Lagrange [SW90], dass die Ordnung von G ein echter Teiler der Ordnung von ( /n ) × sein
muss. Damit kann G höchstens die Hälfte der Elemente von ( /n ) × enthalten. Weil G alle
Basen enthält, für die n eine starke Pseudoprimzahl ist, liegt der Anteil an Basen in
( /n ) × bei höchstens ½.
In 2.1. wurde bereits erklärt, dass die zufällige Wahl von b in ( /n ) × darüber entscheidet,
ob eine zusammengesetzte Zahl n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b ist. Die
Wahrscheinlichkeit, dass deswegen n fälschlicherweise als Primzahl erkannt wird, liegt mit
2.2.3. bei höchstens ½. Da b nicht zufällig aus ( /n ) × sondern aus {1,…, n-1}gewählt wird
(siehe 2.1. und 2.3.1.), liegt die Irrtumswahrscheinlichkeit für das Erkennen einer
zusammengesetzten Zahl als Primzahl sogar unter ½, denn die Ordnung von ( /n ) × ist
kleiner als n-1, wenn n zusammengesetzt ist (siehe Eulersche Funktion [SW90]).
Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist sogar nur kleiner oder gleich ( 14 ) k , wenn k die Anzahl der
Durchläufe des Rabin-Miller-Algorithmus bezeichnet. Michel O. Rabin zeigte in einem
Ergebnis von 1980, dass höchstens ein Viertel aller Elemente von ( /n ) × Basen für n als
starke Pseudoprimzahl sein können. [RAB80]
2.3. Der Algorithmus und seine Komplexität
2.3.1. Der Algorithmus
Sei n ∈ ungerade. Wähle zufällig b ∈ mit 0 <b< n.
1.) Ist ggT(b,n) ≠ 1, dann ist n zusammengesetzt.
Ist ggT(b,n) = 1, berechne r, s ∈ , so dass n-1 = 2rs gilt, wobei s eine ungerade Zahl ist.
2.) Berechne die Folge
r
(x0, …,xr) :=( b s mod n, b 2 s mod n ,…, b 2 s mod n = b n −1 mod n ).
Gilt (x0, …,xr) = (#,…,#), (x0, …,xr) = (#,..,#,1,…,1) oder (x0, …,xr) = (#,…,#,-1) mit
# ≠ ± 1 mod n , dann ist n zusammengesetzt.
Gilt (x0, …,xr) = (1,…,1) oder (x0, …,xr) = (#,…,#,-1,1,…,1), dann ist n entweder prim
oder n ist zusammengesetzt und die Wahrscheinlichkeit eine solche Zahl b zu wählen, war
höchstens ½.
2.3.2. Die Komplexität
Die Komplexität eines Algorithmus` hängt erheblich von der Umsetzung der einzelnen
Schritte ab. Deshalb gebe ich kurz einen Überblick der Grundideen. Die Komplexitäten
berechne ich nicht im Einzelnen, sondern zitiere sie.
10
Sei
∑
:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet und n∈ ∑* ein Wort, das aus dem Alphabet
gebildet wurde. Weiterhin bezeichne B die Länge der Binärdarstellung von n. Mit den
Begriffen aus 1. ergeben sich folgende Komplexitäten.
Schritt 1.) von 2.3.1.
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen wird mit dem Euklidischen
Algorithmus berechnet. Bezeichne TEuklid die Laufzeitfunktion des Euklidischen Algorithmus.
Dann ist TEuklid ∈ O(B2). [KNU02]
Für das Faktorisieren von n-1 in eine Potenz von 2 und eine ungerade Zahl finden r
Divisionen mit je einer Laufzeitfunktion O(B2) statt [KNU02]. Wegen n-1= 2rs folgt, dass
r<log n ist. Bezeichne TFaktor die Laufzeitfunktion dieses Algorithmus. Dann ist TFaktor ∈ O(B3).
r
Das erste Folgenglied der Folge (x0, …, xr):=( b s mod n, b 2 s mod n ,…, b 2 s mod n = b n −1 mod n )
wird mit der Methode des wiederholten Quadrierens berechnet. Die Idee beruht auf der
Darstellung von s als s = k020+…+km2m mit k0,…, km ∈ {0,1} und km=1. Weil
0
1
m
0
1
m
(b mod n) s = b s mod n = b ( k0 ⋅2 + k1 ⋅2 +...+ k m ⋅2 ) mod n = ((b 2 ) k0 mod n) ⋅ ((b 2 ) k1 mod n) ⋅ ... ⋅ ((b 2 ) k m mod n)
gilt, wird statt s-maliger Multiplikation von ( b mod n ) mit sich selber eine m-malige
Multiplikation der jeweiligen Quadrate vorgenommen. Da log s < m ≤ log s + 1 ist, entsteht
ein wesentlich geringerer Aufwand. Bezeichne TQuad die Laufzeitfunktion des Algorithmus
vom wiederholten Quadrieren, dann ist TQuad ∈ O(B3). [HMU] Des Weiteren müssen noch die
restlichen r Folgenglieder durch Quadrieren berechnet werden. Da r < log n ist (siehe Schritt
1), folgt, dass die Laufzeitfunktion für das r-malige Quadrieren ein Element von O(B3) ist.
Insgesamt ergibt sich für die Laufzeitfunktion des Rabin-Miller-Algorithmus TRabin ∈ O(B3).
Mit der Definition von 1. ist der Rabin–Miller–Test ein effizienter Algorithmus.
2.3.3. Bemerkungen
In unserer Implementierung wird der Rabin–Miller–Test 20 mal durchgeführt. Damit beträgt
die Irrtumswahrscheinlichkeit beim Erkennen einer zusammengesetzten Zahl als Primzahl
höchstens (½ )20 (siehe 2.1.).
3. Der AKS–Test
Im August 2002 überraschten drei indische Informatiker mit dem ersten deterministischen,
effizienten Primzahltest. M. Agrawal, der Professor, der diesen Traum nie aus seinen Augen
verlor, entwickelte mit Studenten schrittweise wichtige Details. N. Kayal und N. Saxena
leisteten in ihrer Bachelorarbeit im April 2002 mit dem Titel „ Towards a deterministic
polynomial-time primality test“ einen entscheidenden Beitrag.
Inzwischen haben einige Wissenschaftler Verbesserungsvorschläge innerhalb des
Algorithmus beziehungsweise der Beweise eingebracht. Wir benutzen deshalb in unserer
Arbeit die augenblicklich neueste Version (Stand August 2004). [AKS04]
3.0. Notation
Sei R:=(( /n )[T])/(Tr-1). Dann ist R der Restklassenring über dem Polynomring ( /n )[T]
modulo dem Ideal (Tr-1):={q(Tr-1) | q ∈ ( /n )[T] }, wobei Tr-1 ∈ ( /n )[T] gilt. Die
11
Elemente von R sind dann die Nebenklassen [p] = p +(Tr-1) mit p ∈ ( /n )[T], wobei der Grad
von p kleiner als r ist. Liegen zwei Elemente p1, p2 ∈ ( /n )[T] in der gleichen Nebenklasse,
so ist p1 ≡ p2 mod (Tr-1). Also liegen die zwei Repräsentanten p1 und p2 in der gleichen
Restklasse. Äquivalent dazu ist [p1] = [p2]. Das bedeutet die Nebenklassen von p1 und p2 sind
gleich [SW90]. Bezeichne (p mod Tr-1) die Funktion, die einem Polynom p aus ( /n )[T]
nach Division mit Tr-1 einen polynomialen Rest zuordnet, dessen maximaler Grad kleiner als
r ist. Dann ist (p– p mod Tr-1) ∈ (Tr-1). Daraus folgt, dass die Repräsentanten p und
(p mod Tr-1) in der gleichen Restklasse liegen. Also gilt p ≡ p mod (Tr-1) beziehungsweise
[p] = [p mod Tr-1]. Insgesamt folgt, es gibt ein f ∈ [T], so dass
[p]=[(f mod n) mod Tr-1)] =:[f mod (Tr-1, n)] ist.
3.1. Idee
Eine entscheidende Idee des Algorithmus findet sich in der binomischen Formel für
kommutative Ringe der Charakteristik p, wobei p eine Primzahl ist.
3.1.1. Satz: binomische Formel für endliche Ringe der Charakteristik p [SW90].
Sei p eine Primzahl und R ein kommutativer Ring der Charakteristik p. Dann gilt:
k
k
k
(c + d ) p = c p + d p
für alle c, d ∈ R und alle k ∈ .
Angewandt auf den Restklassenring R wie in 3.0. definiert, ergibt das Folgendes:
Seien T, b= bT0 Elemente von ( /n )[T]. Dann sind [T] und [b] Nebenklassen von R
und n ist die Charakteristik von R. Außerdem handelt es sich bei R um einen kommutativen
Ring.
Ist n eine Primzahl, dann sind die Vorraussetzungen von 3.1.1. erfüllt und es gilt:
[T ]n + [b]n = ([T ] + [b]) n für alle k ∈ .
k
k
k
Insbesondere gilt die Gleichheit für k=1, also
[T ]n + [b]n = ([T ] + [b]) n .
Oder anders ausgedrückt:
(T + b) n ≡ (T n + b n ) mod(T r − 1) .
Sei nun b invertierbar in ( /n )[T], also b ∈ ( /n ) × . Dann folgt mit 2.1.1.:
(T + b) n ≡ (T n + b ) mod(T r − 1) .
Ist a ∈ ein Repräsentant von b und damit ggT(a,n) = 1 (siehe 2.0.), dann ist dazu äquivalent
(siehe 3.0.):
[T + a] n = [T n + a mod(T r − 1, n)] .
Ist diese Bedingung für ein b ∈ ( /n ) × nicht erfüllt, dann ist n keine Primzahl.
12
Was ist aber mit der Umkehrung des Satzes? Die drei fanden eine Antwort und zwar für ein
spezielles r<n (siehe 3.2.1.) und für b’s in gewissen Schranken (siehe 3.2.). Wird die
Bedingung (T + b) n ≡ (T n + b ) mod(T r − 1) für alle b ∈ ( /n ) × in speziellen Schranken
erfüllt, dann zeigten sie, dass n eine Primpotenz sein muss.
Daraus ergibt sich folgender Algorithmus.
Zuerst testet der Algorithmus, ob die eingegebene Zahl n eine Primpotenz ist.
Kann die Antwort verneint werden, sucht er ein spezielles r. Welche Eigenschaften dieses r
besitzt und dass es existiert, wird noch gezeigt. Jetzt können zwei verschiedene Fälle
eintreten. Entweder ist r >= n oder r < n. In beiden Fällen testet man, ob ggT(a,n) = 1 oder
ggT(a,n) >= n für alle a <= r mit a ∈ ist. Das bedeutet (siehe 2.0), dass die Nebenklasse von
a in ( /n ) invertierbar ist. Ist diese Bedingung erfüllt, dann gibt es für r >= n keinen Teiler
von n und damit ist n eine Primzahl. Ansonsten ist für diesen Fall n zusammengesetzt. Im
Gegensatz dazu besteht für r < n die Möglichkeit, dass natürliche Zahlen a mit r < a < n
existieren, für die ggT(a,n) >1 ist. An dieser Stelle kommt die Hauptidee, die wir oben
erläutert haben, zum Tragen. Wird die Bedingung [T + b] n = [T n + b mod(T r − 1, n)] für alle
b’s in gewissen Schranken erfüllt, dann ist n eine Primpotenz. Da Primpotenzen für
Exponenten mit k >= 2 mit effizienten Algorithmen bestimmt werden können [KN02], testet
man diese Eigenschaft im ersten Schritt des AKS-Algorithmus. Genauer gesagt, überprüft
man, ob die Zahl n eine Potenz einer natürlichen Zahl ist und beantwortet so auch die Frage,
ob n eine Primpotenz ist (siehe 3.3.1. und 3.3.2.). Ist n keine Primpotenz und wird
[T + b] n = [T n + b mod(T r − 1, n)] für alle b in gewissen Schranken erfüllt, so muss die Zahl
n demnach eine Primzahl sein.
3.2. Definitionen und Beweise
3.2.1. Satz
Sei n ∈ mit n>1.
Dann existiert ein r ∈
mit r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ , so dass für alle k ∈
mit k ≤ 4 log 2 n gilt:
n k ≠ 1 mod r.
Beweis:
Seien r1, r2,…, rt alle natürlichen Zahlen ri ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ für die es ein ki ∈
mit ki ≤ 4 log 2 n
gibt, so dass n ki mod ri = 1 gilt. Dabei sei ki jeweils die kleinste natürliche Zahl, die dieser
Bedingung genügt.
Dann folgt ri | (n ki − 1) .
⎣4 log2 n ⎦
Sei P := ∏ (n l − 1) .
l =1
Daraus folgt ri | P .
Dann folgt kgV (r1 ,..., rt ) | P .
⎣4 log2 n ⎦
Sei Q := ∏ (nl ) . Dann ist P ≤ Q .
l =1
⎣4 log2 n ⎦
2
2
Für den höchsten Grad m des Polynoms Q gilt: m = ∑ l = ⎣4 log ⎦⋅( ⎣42log n ⎦−1) .
l =1
Weil n∈
mit n>1 ist, muss ⎣4 log 2 n ⎦ > 1 und damit ⎣4 log 2 n ⎦ − 1 > 0 sein.
13
Somit folgt, dass − ⎣4 log 2 n ⎦( ⎣4 log 2 n ⎦ − 1) < 0 ist. Daraus ergibt sich
− ( ⎣4 log 2 n ⎦) 2 + 4 log 2 n < 0 . Dann folgt, dass ⎣4 log 2 n ⎦ + 4 log 2 n < 2 ⋅ ⎣4 log 2 n ⎦ ist.
2
2
Damit gilt für den höchsten Grad m des Polynoms P: m < ⎣4 log 2 n ⎦ ≤ 16 log 4 n .
5
4
4
5
Insgesamt folgt, dass kgV (r ,..., r ) ≤ P < n16 log n ≤ (2 log n )16 log n = 216 log n ≤ 2 ⎡16 log n ⎤ ist.
2
1
t
Sei kgV (1,..., m) das kleinste gemeinsame Vielfache der ersten m natürlichen Zahlen.
Ein Ergebnis von M.Nair [NAI82] besagt, dass mit m ≥ 7 das kgV (1,..., m) größer oder gleich
5
2m ist. Für m := 16 log 5 n ist demnach 2 ⎡16 log n ⎤ ≤ kgV (1,..., 16 log 5 n ).
⎡
⎤
⎡
⎤
Daraus folgt kgV (r1 ,..., rt ) < kgV (1,..., ⎡16 log 5 n ⎤ ) .
Das heißt es existiert eine natürliche Zahl r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ , für die n k ≠ 1 mod r für alle
k ≤ 4 log 2 n ist.
3.2.2. Folgerung
Seien n und r wie in 3.2.1.
i) Ist ggT (n, r ) ≠ 1 , dann gilt n k ≠ 1 mod r für alle k ∈ .
ii) Ist ggT(n,r)=1, dann gibt es k > 4 log 2 n mit n k = 1 mod r .
Die folgende Definition spielt für den Beweis des kommenden Hauptsatzes eine tragende
Rolle.
3.2.3. Definition: introspektiv
Seien f ∈ [T], m∈ und p eine Primzahl.
Die Zahl m ist introspektiv zu f, wenn [ f (T )]m = [ f (T m )](mod T r − 1, p ) gilt.
3.2.4. Lemma: [AKS04]
Sind m und m ′ introspektiv zu f, dann ist auch m ⋅ m′ introspektiv zu f.
3.2.5. Lemma: [AKS04]
Ist m introspektiv zu f und g , dann ist m auch introspektiv zu f ⋅ g .
3.2.6. Folgerung
Sei p ein Primteiler von n, p > r und l := 2 ϕ (r ) log(n) .
⎣
⎦
l
Seien I := {n i p j | i, j ≥ 0} und P := { f := ∏ (T + a )
ea
| ea ≥ 0, 1 ≤ a ≤ l} .
a =1
Sei [T + a ] n = [T ] n + a mod(T r − 1, n) für alle 1 ≤ a ≤ l .
Ist m ∈ I , so ist m introspektiv zu jedem f ∈ P .
Beweis:
Nach Voraussetzung ist [T + a ] n = [T ] n + a mod(T r − 1, n) für alle 1 ≤ a ≤ l .
Daraus folgt [T + a] n = [T ] n + a mod(T r − 1, p) , denn p teilt n.
Wegen 3.1.1. gilt außerdem [T + a] p = [T p + a mod(T r − 1, p )] .
Dann sind p und n introspektiv zu (T+a) (siehe 3.2.3.).
Also ist m introspektiv zu (T+a) für alle m ∈ I (siehe 3.2.4.).
14
Daraus folgt, dass m introspektiv zu jedem f ∈ P ist (siehe 3.2.5.).
Für folgende wichtige Lemmata ist es notwendig, noch einige Bemerkungen zu speziellen
Begriffen zu geben.
Sei Qr das r-te Kreisteilungspolynom über Fp:= ( /p ) [LN86]. Dann ist T r − 1 = ∏ Qd .
d |r
r
Daraus folgt, dass Qr das Polynom T -1 teilt. Außerdem zerfällt Qr in irreduzible Faktoren
vom Grad k mit pkmod r = 1, wobei k minimal ist.
Sei h solch ein irreduzibler Faktor. Dann ist F := ( Fp [T ] /( h(T )) ein Körper und [T] eine
primitive r-te Einheitswurzel in F, denn h(T) teilt Tr-1.
3.2.7. Lemma: [LEN02]
Seien n und r wie in 3.2.1..
Sei p ein Primteiler von n mit p > r und ggT(i, n) = 1 für alle i∈
Seien G:={ (nipj)mod r | i, j∈ 0 } mit |G|=:t und
l
Γ:={[ f ] = [∏ (T + a )
ea
mit 1 < i ≤ r .
mod(h(T ), p)] |(ea ≥ 0) für alle 1 ≤ a ≤ l und [ f ] ∈ F × }.
a =1
⎛t + l − 2⎞
⎟⎟ .
Dann ist | Γ |≥ ⎜⎜
⎝t −1 ⎠
Beweis:
Nach Voraussetzung ist ggT(n,r) = ggT(p,r) = 1, denn es gilt p > r und p ist eine Primzahl.
Wegen Folgerung 3.2.2.(ii) gibt es ein k > 4 log 2 n mit n k = 1 mod r .
Dann ist G eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe ( /r ) × .
Die Menge Γ ist Untergruppe der multiplikativen Gruppe F × . Denn Γ ist eine Teilmenge von
F × . Des Weiteren ist das Einselement in Γ enthalten. Seien k der maximale Grad von h,
ea > 0 und (T + a) ea mod(h(T ), p) ∈ F × . Dann ist (T + a) k −ea mod(h(T ), p) ∈ F × sein inverses
Element. Somit sind beide Elemente in Γ enthalten, woraus folgt, dass jedes Element in
Γ invertierbar ist.
Sei P wie in 3.2.6. und seien f , g ∈ P mit f ≠ g und grad ( f ), grad ( g ) < t . Dann sind
[ f ], [ g ] ∈ F .
Denn angenommen es gilt [ f ] = [ g ] in F. Dann ist [ f (T )]m = [ g (T )]m mit m ∈ I . Mit
Folgerung 3.2.6.und weil h(T) das Polynom Tr-1 teilt, folgt dass [ f (T m )] = [ g (T m )] in F ist.
Daraus folgt, dass [ T m ] für alle m ∈ I eine Wurzel von [Q] := [ f ] − [ g ] ist.
Weil G eine Untergruppe von ( /r ) × ist (siehe oben), folgt, dass ggT (m, r ) = 1 für alle
m ∈ I ist. Das heißt alle [ T m ] sind primitive r-te Einheitswurzeln, denn [T] ist primitive r-te
Einheitswurzel (siehe (i)). Somit folgt für alle i ∈ G , dass [T i ] eine primitive r-te
Einheitswurzel ist. Nun gilt nach Voraussetzung |G|=t. Deswegen existieren t verschiedene
Wurzeln für [Q]. Weil nach Definition aber grad([Q]) < t und [Q] ein Element vom Körper F
ist, ergibt das einen Widerspruch. Das heißt die Annahme war falsch und es folgt [ f ] ≠ [ g ] in
F.
Wegen l = 2 ϕ (r ) log(n) < 2 r log(n) < r < p müssen alle [T + a] ∈ Γ verschieden
voneinander sind. Somit gibt es mindestens (l-1) verschiedene Polynome vom Grad 1 in Γ,
denn höchstens ein Polynom [T+a] kann gleich h sein und ist somit kein Element von Γ.
⎣
⎦
15
Alle Polynome vom Grad t-1 in Γ ergeben sich dann aus den Kombinationen der l-1
⎛t + l − 2⎞
⎟⎟
verschiedenen Polynome ersten Grades in Γ. Daraus folgt, es gibt mindestens ⎜⎜
⎝t −1 ⎠
verschiedene Polynome vom Grad t-1 in Γ. Wegen obigem Widerspruchsbeweis gibt es in
⎛t + l − 2⎞
⎟⎟ unterschiedliche Polynome, die einen Höchstgrad, der kleiner als t
Γ mindestens ⎜⎜
⎝t −1 ⎠
ist, besitzen. 3.2.8. Lemma: [AKS04]
Es gelten die Voraussetzungen von 3.2.7.
Sei p ein Primteiler von n.
Ist n keine Potenz von p, dann ist | Γ |< 12 n 2 t .
Beweis:
Setze Iˆ := {n i p j | 0 ≤ i, j ≤ t } . Damit ist Iˆ ⊆ I . Es folgt, dass | Iˆ |= ( t + 1) 2 > t ist.
Sei Gˆ :={ (n i p j ) mod r | 0 ≤ i, j ≤ t }. Da Gˆ ⊆ G und | G |= t (siehe (i)) ist, existieren
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
m1 , m2 ∈ Iˆ mit m1 > m2 aber ( m1 mod r ) = (m2 mod r ) in Ĝ . Daraus folgt
[T m1 ] = [T m2 (mod T r − 1, p )] .
Sei f ∈ P . Dann gilt [ f (T )]m1 = [ f (T m1 )(mod T r − 1, p )] = [ f (T m2 )(modT r −1)] = [ f (T )]m2
(wegen 3.2.6.). Somit ist jedes [ f ] ∈ Γ eine Wurzel von [Qˆ ] := [T m1 − T m2 ] mit [Qˆ ] ∈ F .
Dann existieren mindestens | Γ | verschiedene Wurzeln von Qˆ in F [KSS02].
Nun ist Grad (Q) = m1 ≤ (np) ⎣ t ⎦ < 12 n 2 t , denn es gilt p|n und p < n nach Voraussetzung.
Daraus folgt, dass | Γ |< 12 n 2
t
gilt. 3.2.9. Hauptsatz
Seien n, r ∈ , r < n, r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ und sei ggT(i, n) = 1 für alle i ∈
mit 1 < i ≤ r .
Sei p ein Primteiler von n.
Für T, a=aT0 ∈ [T] mit 1 ≤ a ≤ l := 2 φ (r ) log n sei weiterhin
⎣
⎦
[T + a] = [T + a mod(T − 1, n)] .
Dann ist n = pm mit m ∈ 0.
n
n
r
Beweis:
Vorbemerkung:
Nach Voraussetzung ist ggT(n,r) = ggT(p,r) = 1. Denn es ist p > r und p ist eine Primzahl.
Wegen Folgerung 3.2.2. (ii) gibt es ein k > 4 log 2 n mit n k = 1 mod r , wobei k minimal ist.
Da nach dem Satz von Lagrange [SW90] die Ordnung von n in G, also k, ein Teiler von |G|
ist, folgt, dass | G |= t ≥ 4 log 2 n ist. Wegen t = t ⋅ t > t ⋅ 2 log n ist dann | G |> 2 t log n .
16
Insgesamt ergibt sich:
⎛t + l − 2⎞
⎟⎟
| Γ |≥ ⎜⎜
⎝t −1 ⎠
⎣
(wegen 3.2.7.)
⎦
⎛ l − 1 + 2 t log(n) ⎞
⎟ (wegen der Vorbemerkung)
≥⎜
⎜ 2 t log(n)
⎟
⎝
⎠
⎛ 2 ⋅ 2 t log(n) − 1⎞
⎟ (Das folgt wegen der Definition von l und weil G eine
≥⎜
⎜ 2 t log(n)
⎟
⎝
⎠
Untergruppe von ( /r ) × ist und damit t ≤ ϕ (r ) gilt.)
⎣
⎣
≥ 2 ⎣2
⎦
⎣
t log( n )
⎦
⎦
⎦
(für 2 t log(n) ≥ 3 )
≥ 12 n 2 t .
Daraus folgt mit der Kontraposition von 3.2.8., dass n ist eine Primpotenz von p ist.
3.3. Der Algorithmus und seine Komplexität
3.3.1. Der Algorithmus
Sei n∈ eine Zahl mit n > 1.
1.)
Ist n = mb mit m, b∈ , dann ist n zusammengesetzt.
2.)
Ist n keine Potenz, dann suche ein r ∈ , für das n k ≠ 1(mod r ) für alle k ≤ 4 log 2 (n)
ist.
3.)
Ist 1<ggT(i,n)<n für ein i ≤ r , dann ist n zusammengesetzt.
4.)
Ist n ≤ r , dann folgt: Ist ( ggT (i, n) = 1 für alle i < n ) oder ist ( ggT (i, n) ≥ n für alle
r ≥ i ≥ n ), dann ist n eine Primzahl.
5.)
Ist n > r und ist ( ggT (i, n) = 1 für alle i ≤ r ), dann teste für a=1 bis 2 ϕ (r ) log(n) :
⎣
⎦
Gibt es ein a mit [T + a ] ≠ [T + a(mod T − 1, n)] , dann ist n zusammengesetzt.
Gibt es kein a mit [T + a ] n ≠ [T n + a(mod T r − 1, n)] , dann ist n eine Primzahl.
n
n
r
3.3.2. Die Komplexität
Auch hier gebe ich wie in 2.3.2. einen Überblick der Grundideen einzelner Schritte. Die
Komplexitäten berechne ich nicht im Einzelnen, sondern zitiere sie.
Sei ∑ :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet und n∈ ∑* ein Wort, das aus dem Alphabet
gebildet wurde. Weiterhin bezeichne B die Länge der Binärdarstellung von n. Mit den
Begriffen aus 1. ergeben sich folgende Komplexitäten.
Wenn n eine Potenz ist, dann ist die kleinstmögliche Basis m = 2 Somit gilt für den
Exponenten b ≤ log n . Der Algorithmus sucht für einen festen Exponenten b ab der Zahl
b = 2 eine mögliche Basis m nach folgendem Prinzip. Seien a: = 1 und c: = n und m = (a+c)
div 2. Dann wird m2 berechnet. Ist m2 = n, dann ist n eine Potenz. Ist m2 < n, dann setzt man
a:= m beziehungsweise ist m2 > n, dann setzt man c:=m und überprüft wieder, ob das neue
17
m2 gleich n, ob es kleiner als n oder größer als n ist. Das kann man solange fortsetzen bis c–a
< 2 ist. Man setzt also durch Intervallhalbierungen der jeweiligen Intervalle [a, c] die Anzahl
der in Frage kommenden Basen immer mehr herab. Ergibt sich für den Exponenten b =2
keine Basis, dann wird das gleiche Prinzip für b = {3 ,…, log n } fortgeführt. Gibt es für
keinen dieser Exponenten b eine Basis, so ist n keine Potenz.
Die Laufzeitfunktion des Algorithmus für Schritt 1 ist TPotenz ∈ O(B2logB) [D04].
Für alle natürlichen Zahlen ab r=2, wird getestet, ob n k ≠ 1(mod r ) für alle k ≤ 4 log 2 (n) ist.
Satz 3.2.1. zeigt die Existenz von einem r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ .
Daraus ergibt sich für die Laufzeitfunktion des Algorithmus TTestr ∈ O(B7) [D04].
Mit dem Euklidischen Algorithmus wird r mal der größte gemeinsame Teiler bestimmt.
Daraus ergibt sich für die Laufzeitfunktion des Algorithmus TrEuklid ∈ O(B5B2)=O(B7)
[KNU02].
Zur Umsetzung dieses Schrittes gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir wählten die
Methode des wiederholten Quadrierens. Ihr Prinzip haben wir bereits in 2.3.2. beschrieben.
Berücksichtigt man die Ausführung der Operation für 1 ≤ a ≤ l := 2 φ (r ) log n (siehe
⎣
⎦
3.2.9.), dann ist die Laufzeitfunktion TPolynom ∈ O(B
) für ein ε > 0 [AKS04].
Schritt 5 dominiert alle anderen Schritte. Die Laufzeitfunktion des AKS-Algorithmus ist
TAKS ∈ O(B10.5+ε) . Das heißt der AKS-Algorithmus ist ein effizienter Algorithmus.
10.5+ε
3.3.3. Bemerkung
In unserer Implementierung haben wir Schritt 2.) erst ab einer natürlichen Zahl r mit
r > 4 log 2 (n) durchgeführt. Die Laufzeiten von Schritt 2 werden damit geringer. Eine
Rechtfertigung der Existenz eines solchen r, geben wir durch folgendes Lemma.
3.3.3.1. Lemma
Sei n ∈ .
Dann existiert ein r ∈
mit 4 log 2 n < r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ , so dass für alle k ≤ 4 log 2 n mit k ∈
gilt: n k ≠ 1 mod r.
Beweis:
Wegen Satz 3.2.1. existiert ein r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ mit n k ≠ 1 mod r für alle k ≤ 4 log 2 n mit
k∈ .
Fall 1: Sei n eine Primzahl und n > 4 log 2 (n) .
Ist r ein Vielfaches von n, dann gilt r > 4 log 2 (n) . Ist r kein Vielfaches von n, dann
gibt es ein minimales k0 ∈ , so dass n k0 = 1 mod r und k 0 > 4 log 2 (n) ist (3.2.2).
Somit bezeichnet k0 die Ordnung von n in ( /r ) × .
Angenommen, es gibt ein r ≤ 4 log 2 (n) . Dann ist k die Ordnung von n in ( /r ) × .
0
Mit dem Satz von Lagrange folgt, dass k ein Teiler der Gruppenordnung von
( /r ) × ist [SW90]. Mit der Eulerschen Funktion ϕ gilt | ( /r ) × |= ϕ (r ) < r , und
18
daraus folgt, dass k 0 ≤ r ≤ 4 log 2 n ist. Widerspruch !
Somit gilt r > 4 log 2 (n) .
Fall 2: Sei n eine Primzahl und n ≤ 4 log 2 (n) .
Dann ist n das kleinste r mit n k ≠ 1 mod r für alle k ≤ 4 log 2 n , denn es gilt
n k = 0 mod n für alle k ∈ . Setze r := n ⋅ ⎡4 log 2 n ⎤ . Dann ist n ein echter Teiler von r.
Somit gilt n k mod r ≠ 1 für alle k ∈ . Da für alle n>1
4 log 2 n < r ≤ ⎡16 log 4 n ⎤ ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ ist, existiert somit ein r > 4 log 2 (n) , so dass
für alle k ≤ 4 log 2 n mit k ∈
gilt: n k ≠ 1 mod r.
Fall 3: Sei n eine zusammengesetzte Zahl.
Sei r0 ∈ die kleinste natürliche Zahl für die n k ≠ 1 mod r0 für alle k ≤ 4 log 2 n mit
k ∈ gilt.
Behauptung: Ist ro ≤ 4 log 2 (n) , dann ist der ggT(n, r0)>1.
Beweis:
Angenommen ggT(n, r0)=1. Dann existiert ein minimales k0 ∈ , so dass
n k0 mod r0 = 1 und k 0 > 4 log 2 (n) ist. Mit dem Satz von Lagrange folgt, dass k0 ein
Teiler der Gruppenordnung von ( /r0 ) × ist [SW90]. Da mit der Eulerschen
Funktion ϕ folgt, dass | ( /r ) × |= ϕ (r ) < r ist, gilt k ≤ r ≤ 4 log 2 n . Widerspruch !
0
0
0
Also ist ggT(n, r0) > 1.
Aus ggT(n, r0) > 1 folgt, dass n k mod r0 ≠ 1 für alle k ∈ ist (3.2.2.). Setze
r := r0 ⎡4 log 2 n ⎤ . Dann ist r0 ein echter Teiler von r. Daraus folgt, dass ggT(n, r) > 1
ist. Somit gilt n k mod r ≠ 1 für alle k ∈ . Da für alle n < 1 folgt, dass
4 log 2 n < r ≤ ⎡16 log 4 n ⎤ ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ ist, existiert somit ein r > 4 log 2 (n) , so dass für
alle k ≤ 4 log 2 n mit k ∈ gilt: n k ≠ 1 mod r.
Aus den Fallunterscheidungen folgt die Behauptung.
Für unsere Implementierung ergeben sich folgende praktische Auswirkungen.
Für eine Zahl n wird nicht in jedem Fall der kleinstmögliche Wert von r ermittelt (siehe
Beweis Fall 2 und Fall 3). Dadurch kann es vorkommen, dass in unserer Implementierung ein
zu n bestimmtes r größer als n ist, während es in der Implementierung, die r ab einem Wert
von 2 sucht, kleiner als n sein kann. In unserer Implementierung wird daher diese
zusammengesetzte Zahl in Schritt 3 oder eine Primzahl in Schritt 4 erkannt, während sie sonst
den Schritt 5 durchlaufen müsste. Wie man später noch sehen wird (4.3.1., 4.3.2) ist die
Laufzeit für unsere Implementierung in diesen Fällen schneller. Ein weiterer Vorteil ist, dass
im Fall einer Primzahl n mit n > 4 log 2 n der Schritt 2 schneller wird, denn r existiert erst für
r > 4 log 2 n (siehe Beweis Fall 1) und die unnötigen Fälle des Tests werden nicht
durchgeführt. Ein Nachteil entsteht durch eine Verlängerung der Laufzeit von Schritt 2 für
einige Zahlen. Dort wird nicht das kleinstmögliche r bestimmt. Das betrifft zum einen
zusammengesetzte Zahlen mit kleinen Teilern. Durch ein größeres r wird dann aber in Schritt
3 des Algorithmus dieses kleinste r0 als größter gemeinsamer Teiler erkannt und demnach
endet der Algorithmus auch in Schritt 3. Zum anderen ergibt sich ein Nachteil für kleine
Primzahlen. Ist n ≤ 4 log 2 n so folgt daraus n < r (siehe Beweis Fall 2). Somit werden diese
Primzahlen in Schritt 4 erkannt, was sich auch als ein Vorteil erweisen wird. Unserer
19
Meinung nach würde es sich für die Schnelligkeit des Algorithmus als günstig erweisen, wenn
man die Existenz eines r in einem möglichst kleinen Intervall zeigen könnte. Das heißt, nicht
nur die Abschätzung nach oben von r mit r ≤ ⎡16 log 5 n ⎤ ist wichtig für die Laufzeit, sondern
auch eine Abschätzung nach unten. Die kleinste ungerade Zahl, für die n > r gilt, ist in unserer
Implementierung die zusammengesetzte Zahl n = 28+11 mit r = 28+2. Die kleinste ungerade
Zahl, für die n > r gilt, ist in der ursprünglichen Fassung n = 9 mit r =3. In unserer
Implementierung beträgt für n= 9 der Wert r=42.
4. Experimente – Untersuchung der durchschnittlichen Laufzeit bei
verschiedenen Bitstellenzahlen
4.1. Ansatz
Beide Algorithmen sind effizient (siehe 2.3.2.und 3.3.2.). Der Rabin–Miller–Test ist
offensichtlich asymptotisch schneller als der AKS–Test. Wie groß der Unterschied der
Laufzeiten in der Praxis ist, zeigen folgende Experimente.
Die Komplexitätsberechnungen beziehen sich ausschließlich auf den „worst case“. Der tritt in
beiden Tests ein, wenn eine natürliche Zahl n als Primzahl erkannt wird. Der Rabin-MillerTest wird dann 20mal durchgeführt (siehe 2.4.). Aufgrund der Sicherheit beim Erkennen einer
zusammengesetzten Zahl bricht der Test ab, sobald n als zusammengesetzt erkannt wurde.
Uns interessierte deswegen die Frage, wie oft der Test bei zusammengesetztem n ausgeführt
wird. Wie sieht es mit seiner Schnelligkeit aus?
Auch der AKS–Test führt nicht jede Schleife vollständig durch, wenn n zusammengesetzt
oder eine Primzahl ist. Hier interessierte uns die Frage, wie oft Schritt 5 des Algorithmus
durchlaufen wird und wie schnell eine Auswertung stattfindet. Insgesamt ergeben sich vier zu
untersuchende Fälle.
Die Korrektheit der Ergebnisse unserer Primzahltests überprüften wir zur Sicherheit mit der
Prozedur isprime in MuPAD. Es ergaben sich keine Unterschiede.
4.2. Durchschnittliche Schnelligkeit des Rabin Miller Tests beim
Erkennen von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen
4.2.1. Experiment 1: Durchschnittliche Schnelligkeit des Rabin Miller Tests beim
Erkennen von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen von
2-22 Bitstellen
Im Intervall ]2k,2k+1[ , k ∈ {2,…,22}, werden alle ungeraden Zahlen gesucht, die Primzahlen
oder zusammengesetzte Zahlen sind. Bei fester Bitstellenanzahl werden getrennt die
jeweiligen Laufzeiten von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen gemessen und
gemittelt. Als Ergebnis erhält man die mittleren Laufzeiten für das Erkennen von 2 Bit, 3
Bit,…, 22 Bit Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen beim Rabin Miller Test.
20
Des Weiteren untersuchten wir für feste Bitstellenanzahl die durchschnittliche Anzahl der
Runden, die der Test bei zusammengesetzten Zahlen ausführt. Dabei ließen wir uns auch den
jeweils größten Wert ausgeben.
4.2.2. Messergebnisse von Experiment 1
Bitstellen
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Durchschnittliche
Mittlere
Anzahl
Mittlere
Anzahl
Anzahl der
Zeit
Zeit Zusammeng.
Primzahlen
ausgeführten
Erkennen
Zahlen n
p Erkennen
Runden bei
von
von
zusammeng. zusammengesetzten
Primzahl
Zahlen
Zahl n in
in msec
msec
2
15.0
0
----2
20.0
2
0
1
5
18.0
3
3.3333
1
7
15.86
9
0
1
13
13.08
19
1.0526
1.0526
23
15.26
41
0
1.0244
43
14.67
85
0.3529
1
75
15.79
181
0.5028
1
137
14.89
375
0.5333
1.0053
255
16.10
769
0.7125
1
464
16.13
1584
0.6572
1.0013
872
16.22
3224
0.6659
1.0022
1612
16.60
6580
0.6807
1.0014
3030
17.06
13354
0.6989
1.0006
5709
17.52
27059
0.7008
1.0003
10749
17.80
54787
0.7485
1.0003
20390
18.20
110682
0.7336
1.0002
38635
18.43
223509
0.7605
1.0001
73586
18.60
450702
0.7642
1.0001
140336
18.72
908240
0.7815
1.0001
268216
19.21
1828936
0.7924
1.0000
21
Maximale
Rundenzahl
bei
zusammeng.
Zahlen
--1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
4
3
2
2
2
2
2
3
4
3
mittlere Zeit zum Erkennen von p in msec
20
19
18
17
16
15
14
mittlere Zeit zum Erkennen von n in msec
13
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Anzahl der Bitstellen
3
2
1
0
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
22
mittlere Anzahl Schleifendurchläufe
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1.00
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Auf den ersten Blick fallen sofort zwei Dinge auf.
Erstens ist erwartungsgemäß der Test für zusammengesetzte Zahlen wesentlich schneller.
Zweitens wurde eine zusammengesetzte Zahl nach maximal vier Durchläufen des Rabin–
Miller–Tests erkannt – und das bei über zwei Millionen Zahlen. In den meisten Fällen endet
der Algorithmus sogar nach einem Durchlauf.
Die Werte sind trotz alledem mit Vorsicht zu betrachten, da der Rabin Miller Test vom
Zufall abhängig ist.
4.2.3. Experiment 2: Durchschnittliche Schnelligkeit des Rabin–Miller–Tests beim
(Bitstellen von 100, 200,…,2100, 2200)
Im Intervall ]2k,2k+1[ ,k ∈ {100, 200, …, 2100,2200}, werden zufällig 20000 ungerade Zahlen
gewählt. Im Gegensatz zu Experiment 1 konnten wir aus „Zeitgründen“ nicht alle ungeraden
Zahlen einer festen Bitstellenanzahl untersuchen. Wie viele Primzahlen beziehungsweise
zusammengesetzte Zahlen jeweils gefunden wurden, kann in den Ergebnissen des
Experiments unten nachgelesen werden.
Die ungeraden Zahlen werden hinsichtlich Zusammengesetztheit und Primzahleigenschaft
untersucht und die jeweiligen Laufzeiten gemessen und gemittelt. Als Ergebnis erhält man die
mittleren Laufzeiten für das Erkennen von 100 Bit, 200 Bit,…, 2200 Bit zusammengesetzten,
ungeraden Zahlen beziehungsweise Primzahlen beim Rabin–Miller–Test.
Des Weiteren untersuchten wir für feste Bitstellenanzahl bei zusammengesetzten Zahlen die
durchschnittliche Anzahl der Runden, die der Test ausgeführt wurde. Dabei ließen wir uns
auch die jeweils maximale Rundenzahl ausgeben.
Bitstellen
Maximale
Mittlere Zeit Durchschnittliche
Anzahl
Mittlere
Anzahl
Rundenzahl bei
Anzahl der
Erkennen
Zusammeng.
Zeit
Primzahlen
zusammeng.
ausgeführten
von
Zahlen n
Erkennen
p
Zahlen
Runden bei
Zusammeng.
von
zusammng.
Zahl n in sec
Primzahl
23
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
562
260
108
222
0
112
62
41
93
20
60
37
27
70
0
36
32
20
53
21
31
31
p in sec
0.05
0.101
0.177
0.282
---0.614
0.847
1.149
1.55
2.00
2.516
3.142
3.867
4.681
---6.667
7.950
9.258
10.703
12.344
14.140
16.03
Zahlen n
19438
19740
19892
19778
20000
19888
19938
19952
19907
19980
19940
19963
19973
19930
20000
19964
19968
19980
19947
19979
19969
19969
24
0.002
0.002
0.004
0.013
0.008
0.025
0.019
0.024
0.071
0.041
0.102
0.072
0.081
0.213
0.107
0.271
0.185
0.196
0.508
0.260
0.603
0.379
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
mittlere Zeit zum Erkennen von n in sec
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
mittlere Zeit zum Erkennen von p in sec
0.0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200
16
14
12
10
8
6
4
2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200
Für die Messwerte dieses Tests rechnete der Computer eine ganze Nacht.
Das erstaunlichste Ergebnis dieses Experimentes ist die Tatsache, dass der Rabin Miller Test
bei zusammengesetzten Zahlen in über 400000 Tests nie mehr als einmal durchlaufen wurde.
25
In Experiment 1 zeigte sich auch schon diese Tendenz, dort wurde der Test aber in wenigen
Fällen noch maximal viermal durchlaufen (siehe 4.1.1.2).
Wie zu erwarten war, werden zusammengesetzte Zahlen schneller erkannt als Primzahlen. Je
größer die Bitstellenanzahl ist, desto länger dauert der Test in beiden Fällen.
4.2.5. Experiment 3: Durchschnittliche Schnelligkeit des Rabin–Miller–Tests beim
Erkennen einer zusammengesetzten Zahl
(Bitstellen von 5200, 10200,…,30200, 35200)
Im Intervall ]2k,2k+1[, k ∈ {5200, 10200, …, 30200, 35200}, werden zufällig 200 ungerade
Zahlen gewählt. Im Gegensatz zu den Experimenten 1 und 2 mussten wir uns aus
„Zeitgründen“ auf wesentlich weniger ungerade Zahlen einer festen Bitstellenanzahl
beschränken. Die ungeraden Zahlen werden hinsichtlich Zusammengesetztheit untersucht und
die jeweiligen Laufzeiten gemessen und gemittelt. Als Ergebnis erhält man die mittleren
Laufzeiten für das Erkennen von 5200 Bit, 10200 Bit,…, 35200 Bit zusammengesetzten,
ungeraden Zahlen beim Rabin–Miller–Test. Des Weiteren untersuchten wir für feste
Bitstellenzahl bei zusammengesetzten Zahlen die durchschnittliche Anzahl der Runden, die
während des Tests ausgeführt wurden. Dabei ließen wir uns auch die jeweils maximale
Rundenzahl ausgeben.
Bitstellen
Anzahl
zusammeng.
Zahlen n
5200
10200
15200
20200
25200
30200
35200
200
200
200
200
200
200
200
Mittlere Zeit
Erkennen
von n
in min.
0.145
1.102
3.490
8.370
16.353
27.271
43.543
Durchschnittliche
Anzahl der
ausgeführten Runden
bei n
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
26
Maximale Rundenzahl bei
zusammeng.Zahlen n
1
1
1
1
1
1
1
mittlere Zeit zum Erkennen von n in min
40
30
20
10
0
5200
10200
15200
20200
25200
30200
35200
Anzahl der Binärstellen
Für dieses Experiment rechnete der Computer 2 Wochen lang während der Urlaubszeit.
Die Erkennungszeiten rücken nun in Bereiche, wo man „sehr lange warten muss“, zumal,
wenn man bedenkt, dass zusammengesetzte Zahlen viel schneller erkannt werden als
Primzahlen. Die erstaunlichen Beobachtungen aus Experiment 3 setzten sich fort. Auch hier
wurde der Rabin–Miller–Test nur ein einziges Mal durchlaufen.
4.2.7. Experiment 4: Schnelligkeit beim Erkennen von bekannten Primzahlen
(Mersenne – Primzahlen)
(Bitstellen 9688, 9940, 11212, 19936, 21700, 23208, 44496)
Durch zufällige Suche konnten wir in der Größenordnung von Experiment 3 keine Primzahlen
finden. Aus Zeitgründen entschlossen wir uns deshalb, eine Liste von bekannten Mersenne
Zahlen (Primzahlen), die der Größenordnung von Experiment 3 entsprechen, abarbeiten zu
lassen und die Zeit zur Berechnung zu bestimmen.
Aufgrund der Beobachtung in obigen Experimenten, dass zusammengesetzte Zahlen nach
einer Runde erkannt werden, setzten wir die Anzahl der zu durchlaufenden Runden des
Rabin–Miller–Tests auf 10 herunter. Auch in MuPAD wird der Rabin–Miller–Test 10 Runden
ausgeführt. Um die Erkennungszeiten von Primzahlen des Experiments 4 mit den
Experimenten 1 – 3 vergleichen zu können, müssten diese also ungefähr verdoppelt werden.
Mersennsche Primzahl
29689-1
29941-1
211213-1
219937-1
221701-1
223209-1
244497-1
Zeit zum Erkennen in min.
10,13
10.96
15.65
86.77
112.10
137.30
974.66
27
Zeit zum Erkennen von p in min
120
100
80
60
40
20
9689
11213
19937
21701
23209
Exponenten m der Mersennschen Primzahlen (2^m)-1
In dieser Größenordnung ist die Wartezeit sehr lang. Das eigentliche Problem für die Praxis
liegt unserer Meinung nach aber eher in der Tatsache, dass es immer schwieriger wird, große
Primzahlen durch zufällige Suche zu finden, denn dazu wäre es notwendig sehr viele „große“
Zahlen zu testen, was zuviel Zeit in Anspruch nimmt. Die Verteilungen der Primzahlen sind
zwar bekannt, erweist es sich aber beispielsweise als notwendig, 10 Zahlen zu testen, um eine
Primzahl mit 20000 Bitstellen zu finden, dann dauert das über 3 Stunden. Bei Primzahlen mit
40000 Bitstellen sind in diesem Fall 17 Stunden notwendig (siehe 4.2.6. und 4.2.7.). Die
Suche nach einer Primzahl nimmt mehr Zeit in Anspruch als die Laufzeit, die zum Testen
einer Primzahl benötigt wird.
4.2.9. Experiment 5: Untersuchung der relativen Häufigkeiten von Basen, für die n
eine starke Pseudoprimzahl ist
Die Experimente 1-3 hinterließen bei uns die Frage, wieso der Rabin–Miller–Test für große
Größenordnungen bei zusammengesetzten Zahlen ausschließlich nur einmal ausgeführt
wurde. Eine Vermutung von uns ist, dass der Anteil der Basen bei „großen
Größenordnungen“, für die eine zusammengesetzte Zahl n eine starke Pseudoprimzahl ist,
wesentlich kleiner sein könnte als im Beweis von M.O. Rabin angegeben (siehe 2.2. und
[RAB80]). Hinzu kommt, dass sich der Satz 2.2.2. auf die multiplikative Gruppe
( /n ) × bezieht. Ihre Ordnung ist aber (siehe Eulersche Funktion) bei zusammengesetzten
Zahlen kleiner als n-1. Im Algorithmus jedoch werden natürlichen Zahlen zwischen 1 und n-1
zufällig gewählt. Deswegen liegt die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine Basis zu wählen, für
die n eine starke Pseudoprimzahl ist, unter dem angegebenen Wert von ½ bzw. ¼ (mit dem
Ergebnis von Rabin [RAB80]). Eine andere Vermutung von uns ist, dass es nur sehr wenige
starke Pseudoprimzahlen n gibt, deren Basenanteil an die ¼ heranreicht. Bei größeren Zahlen
konnten wir aus Zeitgründen (siehe oben) nicht mehr alle Zahlen mit konstanter
Bitstellenanzahl absuchen und fanden vielleicht deswegen die möglicherweise wenigen
starken Pseudoprimzahlen, die einen großen Anteil an Basen besitzen, nicht.
Wir bestimmten deswegen für alle zusammengesetzten Zahlen n mit 3 bis 14 Bitstellen die
Anzahl der starken Pseudoprimzahlen und berechneten ihren Anteil an der multiplikativen
Gruppe ( /n ) × . Den maximalen und den gemittelten Wert für jeweils feste
28
Bitstellenanzahl ließen wir uns ausgeben. Des Weiteren berechneten wir den Anteil dieser
Basen an den Zahlen 1 bis n-1, also die relative Häufigkeit der Basen. Hier ließen wir uns die
durchschnittlichen und die maximalen relativen Häufigkeiten bei fester Bitzahl berechnen.
Damit erhält man einen Eindruck davon, wie viele starke Pseudoprimzahlen mit einem großen
Anteil an Basen (also um die ¼) bei fester Bitstellenzahl existieren.
Für eine größere Anzahl an Bitstellen konnten wir leider die Tests nicht durchführen. Das
Überprüfen jeder natürlichen Zahl in der Menge {1,…, n-1} auf eine mögliche
Baseneigenschaft ist nicht effizient und das machte sich schnell bemerkbar.
Anzahl der
Bitstellen der
zusammengesetzten
Zahl n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Maximaler
Anteil der
Basen in
( /n ) × für
die n starke
Pseudoprimzahl
0.333
0.2
0.143
0.25
0.167
0.167
0.25
0.25
0.188
0.167
0.25
0.167
Maximale
relative
Häufigkeit
der Basen
in {1,…,n-1}
0.25
0.167
0.125
0.2
0.136
0.147
0.231
0.238
0.18
0.162
0.245
0.165
29
Durchschnittl.
Anteil der
Basen
in ( /n ) × für
die n starke
Pseudoprimzahl
0.1167
0.0531
0.0421
0.0322
0.0200
0.0135
0.0076
0.0057
0.0032
0.0021
0.0015
0.0009
Durchschnittliche
relative
Häufigkeit der
Basen in
{1,…,n-1}
0.0786
0.0382
0.0288
0.0237
0.0140
0.0106
0.0061
0.0047
0.0027
0.0018
0.0013
0.0008
Die Ergebnisse dieses Experiments zeigen, dass eine Abschätzung der
Irrtumswahrscheinlichkeit unter dem angegebenen Wert von ¼ durch M. O. Rabin nicht zu
erreichen ist. Andererseits besteht die Möglichkeit einer besseren Abschätzung bei sehr
großen Zahlen. Diese muss jedoch auf theoretischer Ebene stattfinden.
Das Experiment zeigt eine weitere Tendenz. Der Anteil an starken Pseudoprimzahlen, deren
Basenanteil in ( /n ) × in der Nähe von ¼ liegt, wird mit steigender Bitstellenanzahl
geringer. Vielleicht wird es möglich auf der Grundlage weiterer Beobachtungen eine
30
Spezialform des Satzes 2.2.2. zu geben. (Etwa: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine starke
Pseudoprimzahl der Bitstellenzahl größer gleich x einen Basenanteil in ( /n ) × besitzt, der
größer als der Wert y ist, liegt unter dem Wert z. y und z sollten dabei sehr klein sein.) Mit
solch einem Satz wäre es möglich die Anzahl der zu durchlaufenden Runden für spezielle
Größenordnungen im Rabin–Miller–Test herabzusetzen. Damit würde sich die
Berechnungszeit für große Primzahlen deutlich verringern.
4.3. Durchschnittliche Schnelligkeit des AKS –Tests beim
4.3.0. Vorbemerkung
Bereits nach den ersten Testreihen vom AKS-Algorithmus wurde uns klar, dass einige
Unterschiede zum Rabin-Miller–Algorithmus andere Herangehensweisen zur Ermittlung der
Schnelligkeit erfordern. Es treten vier verschiedene Möglichkeiten für das Erkennen von
zusammengesetzten Zahlen beziehungsweise Primzahlen auf. Das Erkennen der
entsprechenden Zahlen ohne Schritt 5 (ohne den Polynomvergleich des Hauptsatzes)
beziehungsweise mit Schritt 5 (siehe 3.3.). Die gemessenen Zeiten hängen erheblich davon
ab, welcher dieser Fälle eintritt. Beim Erkennen von Primzahlen erscheint alles noch sehr
einfach. Ab der Primzahl 28+15 wird immer der Schritt 5 durchgeführt. Der Grund dafür liegt
darin, dass r ab dieser Zahl immer kleiner als n ist (siehe 3.3. Schritt 5). Allerdings zeigte sich
schnell ein anderes Problem. Das Erkennen einer Primzahl dauert sehr lange. Beispielsweise
benötigte der AKS für die Primzahl 213-1 fast eine halbe Stunde und bei der Zahl 219-1 gaben
wir nach zweitägiger Wartezeit auf. Deshalb bestimmten wir die Laufzeit, die der Schritt 5
zur Berechnung des ersten Polynoms [T + 1] n im Restklassenring R benötigt. Betrachtet man
weiter die Anzahl der zu berechnenden Polynome, dann erhält man eine Vorstellung von der
Größenordnung der benötigten Laufzeit in Schritt 5. Beim Erkennen von zusammengesetzten
Zahlen erscheint vieles komplizierter. Die kleinste zusammengesetzte Zahl, bei der Schritt 5
ausgeführt wird, ist 221+1835121. Die Durchführung von Schritt 5 ist abhängig von der
Größe des kleinsten Teilers von n. Ist dieser größer als r (siehe Schritt 3 von 3.3.), dann wird
immer Schritt 5 ausgeführt. Das heißt, sollte es jemandem gelingen ein r mit kleinerer
Größenordnung zu finden, bedeutete dies für zusammengesetzte Zahlen kleiner
Größenordnung, dass sich der Test verlangsamt, da diese dann auch den Schritt 5 durchlaufen
müssen. Da die kleinsten Teiler einer Zahl nicht von ihrer Größenordnung abhängen, gibt es
somit Zahlen jeder Größenordnung für deren Test der Schritt 5 durchlaufen bzw. nicht
durchlaufen wird. In unserer Implementierung spielt auch der etwas veränderte Schritt 2 eine
Rolle (siehe 3.3.3.). Trotz dieser Unterschiede zum Rabin Miller Test versuchten wir äußere
Randbedingungen wie Messergebnisse zu Bitstellen von 2-22 zu erhalten, um einen
Vergleich zu ermöglichen.
31
4.3.1. Experiment 1: Durchschnittliche Schnelligkeit des AKS–Tests beim
Erkennen zusammengesetzter Zahlen von 2-20 Bitstellen
Innerhalb dieser Größenordnung durchläuft keine einzige zusammengesetzte Zahl den Schritt
5 des AKS–Tests. Das ermöglichte uns, die Laufzeiten aller zusammengesetzten Zahlen zu
bestimmen und zu mitteln.
Anzahl der zus. Zahlen
Zeit zum Erkennen von n in msec
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
3
9
19
41
85
181
375
769
1583
3224
6580
13354
27059
54787
110682
223509
450702
Mittlere Laufzeit in sec.
0.000
0.000
0.0067
0.004
0.007
0.007
0.010
0.010
0.011
0.013
0.015
0.017
0.019
0.022
0.024
0.028
0.030
0.040
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Anzahl der Bitstellen von n
32
4.3.3. Experiment 2: Schnelligkeit der ersten 20 zusammengesetzten Zahlen, die Schritt
5 des AKS –Tests durchlaufen (21 Bitstellen)
Die ersten 20 zusammengesetzten Zahlen, die Schritt 5 durchlaufen, besitzen 21 Bitstellen.
Alle werden bereits nach der Berechnung des ersten Polynoms als zusammengesetzt erkannt.
(Alle Koeffizienten sind ungleich 0.)
Leider hatten wir nicht die Möglichkeit einen Vergleich der Schnelligkeit von
zusammengesetzten Zahlen von 21 Bitstellen mit einer größeren Anzahl von Bitstellen
vorzunehmen. Die Suche nach solchen Zahlen nimmt erhebliche Zeit in Anspruch.
Hinzu kommt, dass auch die Berechnungszeiten der Polynome immer größer werden.
Die Zahl 241-1 ist auch eine zusammengesetzte Zahl, die Schritt 5 durchläuft. Bereits für die
Berechnung des ersten Polynoms [T + 1] n im Restklassenring R benötigte der Rechner 83,21
Minuten. Damit war der Algorithmus aber noch nicht beendet, denn der Vergleich zeigte
Gleichheit. So entschlossen wir uns, die Laufzeiten für das Erkennen der ersten 20
zusammengesetzten Zahlen, die in Schritt 5 erkannt werden, zu messen. Die maximalen
Polynomgrade dieser Polynome entsprechen dem Wert von n mod r. Oft ähneln sich die
verschiedenen Werte von n mod r und auch die theoretische Anzahl der zu berechnenden
Polynome. Deswegen haben wir interessehalber, ohne eine Interpretation, diese Werte
aufgenommen.
Zusammengesetzte
Zahl n der Form
221+i , i
1752171
1755317
1759919
1763877
1779485
1787205
1790111
1798995
1802897
1807415
1810701
1822287
1823199
1826309
1835037
1835121
1838015
1842929
1846875
1846995
Maximaler
Polynomgrad, r
Anzahl der zu
berechnenden
Polynome
1922
1922
1922
1931
1923
1923
1923
1923
1923
1933
1924
1924
1933
1933
1924
1924
1924
1934
1934
1934
1930
1930
1930
1948
1930
1930
1930
1930
1930
1950
1930
1930
1948
1948
1930
1930
1930
1948
1948
1948
33
Schnelligkeit in min.
0.96
1.52
1.79
1.23
1.92
2.25
2.44
2.55
2.59
2.66
2.71
2.64
2.63
2.74
2.74
2.77
2.70
2.72
2.68
2.70
Zufällig machte ich eine weitere Beobachtung, die ich nicht unerwähnt lassen möchte.
Die Zahlen der Form 2p-1 sind entweder Mersennsche Primzahlen oder zusammengesetzte
Zahlen. Der Schritt 5 wurde bei meinen Tests nur von zusammengesetzten Zahlen bei denen p
Primzahl ist, ausgeführt. Alle anderen wurden vorher entdeckt. Hier folgt eine Liste der
entsprechenden Zahlen. (241-1, 259-1, 267-1,271-1, 2101-1, 2103-1, 2109-1, 2523-1, 2541-1,2563-1,
2569-1, 2599-1)
4.3.5. Experiment 3: Schnelligkeit des AKS- Tests beim Erkennen von Primzahlen
von 2-22 Bitstellen
Wie wir bereits weiter oben erwähnt haben, wird im AKS-Algorithmus ab der Primzahl
28+15, der Schritt 5 bei allen größeren Primzahlen durchlaufen. Wir hatten nicht die
Möglichkeit, die Laufzeit für eine Zahl wie 217-1 zu bestimmen. Der Grund findet sich in der
Berechnung des Polynoms [T + a] n im Restklassenring R (siehe 3.0.). Dieses wird mittels
wiederholten Quadrierens (siehe 3.3.2.) ausmultipliziert. Das beansprucht in diesem Fall für
ein a eine viertel Minute. Das erscheint nicht lange. Allerdings beträgt hier die Anzahl der zu
berechnenden Polynome 1170, nämlich von a = 1 bis a = 1170. Das bedeutet, allein der
Schritt 5 erfordert mehr als einen Tag Berechnungszeit. Deshalb sind wir in unserem Versuch
folgendermaßen vorgegangen.
Für je eine Primzahl der Bitstellenlängen 2 bis 10 stellten wir die Laufzeit des Algorithmus
fest. Für je eine Primzahl der Bitstellenlänge von 8 bis 22 stoppten wir die Zeit zur
Berechnung des Polynoms [T + 1] n im Restklassenring R und die Gesamtzeit vom Start des
AKS–Algorithmus bis nach der Berechnung dieses Polynoms. Das fanden wir wichtig, weil
es zeigt, dass einzig der Schritt 5 „viel“ Zeit in Anspruch nimmt (siehe 4.3.3.). Auch die
Anzahl der zu berechnenden Polynome ließen wir uns ausgeben. Damit wird es möglich, eine
sehr grobe Abschätzung über die Größenordnung der gesamten Rechenzeit zu geben, da der
Algorithmus im Falle einer Primzahl alle Polynome berechnen muss. Man könnte also die
Laufzeit zur Berechnung eines Polynoms mit der Anzahl der zu berechnenden Polynome
multiplizieren und erhält eine Vorstellung davon, in welcher Größenordnung sich die Laufzeit
des gesamten Algorithmus bewegen wird.
Tabelle 1:
Primzahl n
22+1
23+3
24+1
25+5
26+3
27+3
28+1
28+15
29+9
210+7
Berechnungszeit in msec.
0
0
0
0
16
16
16
6797
30985
139359
34
Zeit zum Erkennen von n in sec
30
20
10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
Wie zu erwarten war, lassen sich die Primzahlen von 2 bis 28+1 innerhalb kürzester Zeit
testen. Darüber steigt die Laufzeit bei Primzahlen rasant an.
Tabelle 2:
Primzahl
p
Berechnungszeit von
[T + 1] n in R in min.
28+15
29+9
210+7
211+21
212+3
213+17
214+27
215+3
216+1
217+29
218+3
219+21
220+7
221+17
222+15
0.0003
0.002
0.004
0.009
0.027
0.053
0.101
0.184
0.280
0.424
0.628
0.870
1.211
0.883
1.162
Berechnungszeit von
Beginn des
Algorithmus bis nach
[T + 1] n Berechnung
in min.
0.0003
0.002
0.004
0.107
0.027
0.054
0.101
0.184
0.281
0.424
0.628
0.870
1.212
0.884
1.164
35
Anzahl der zu
prüfenden Polynome
im Algorithmus
264
327
409
493
581
679
785
904
1027
1167
1307
1445
1603
1775
1963
Zeit zum Berechnen von [T+1]^p in min.
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Anzahl der Bitstellen von p
Die Ergebnisse dieses Experiments zeigen, dass der AKS-Algorithmus bereits bei Primzahlen
der Größenordnung von 15 Bitstellen keinen praktischen Anforderungen genügt. Wenn man
außerdem bedenkt, was wir in der Einleitung über die Größenordnung von heute in der Praxis
gebräuchlichen Primzahlen geschrieben habe, wird klar, dass der AKS-Algorithmus nicht
annähernd an die Schnelligkeit des Rabin–Miller–Tests heranreicht. Dabei ist der am meisten
zeitraubende Schritt offensichtlich die Berechnung der Polynome [T + a] n in R. Selbst wenn
die Anzahl der zu berechnenden Polynome durch entsprechende Beweise auf ein einziges
gesenkt werden könnte (wie unter der Überschrift „6 Future Work“ in [AKS04] vermutet), die
Berechnung mit der Methode des wiederholten Quadrierens dauert zu lange. Für die Primzahl
241+27 benötigte dieser Schritt bereits 83,22 Minuten. Diese Verbesserung würde zwar die
Laufzeit des AKS–Tests wesentlich verringern, praxisrelevant wäre er aber trotz alledem
nicht. Es sei denn, es gelingt, einen effizienteren Algorithmus als das wiederholte Quadrieren
zu finden (siehe 3.3.2.).
5. Vergleich und Zusammenfassung
Der Rabin–Miller–Test schneidet in unsren Experimenten bezüglich der praxisorientierten
Anwendung nicht nur wesentlich besser ab, sondern er scheint auch als einziger von beiden
dafür in Frage zu kommen. Ob es sich um das Erkennen von Primzahlen oder
zusammengesetzten Zahlen handelt, er ist nicht nur asymptotisch schneller als der AKS–Test,
sondern in jedem Einzelfall schneller. Der AKS–Test ist in dieser Form für praktische
Anwendungen wie in der Kryptographie nicht geeignet. Bereits bei Primzahlen mit 15
Bitstellen befindet sich die Laufzeit für Benutzer in inakzeptablen Bereichen. Auch eine
Verbesserung von Schritt 5, wie in [AKS04] vorgeschlagen wird, führt mit der Methode des
wiederholten Quadrierens nicht zur Praxistauglichkeit. Möglicherweise können an dieser
Stelle aber theoretische Untersuchungen über das Vorhandensein einzelner Koeffizienten des
Polynoms im Restklassenring R bei zusammengesetzten Zahlen weiterhelfen. Bisher geben
die Sätze für Zusammengesetztheit keine konstruktive Auskunft (siehe 3.3.). Sollten solche
Ergebnisse gelingen, dann kann möglicherweise auf die Berechnung des gesamten Polynoms
verzichtet werden, weil man sich auf einzelne Koeffizienten beschränken kann. Das würde die
Situation ändern.
36
Der Rabin–Miller–Test ist für heutige Ansprüche außerordentlich gut für praktische
Anwendungen geeignet. Eine Primzahl mit 2200 Bitstellen wird bei unserer Programmierung
mit 20 unabhängig gewählten Basen in 16 Sekunden erkannt. In 4.2.10 haben wir die
Vermutung geäußert, dass sich die Anzahl der unabhängigen Versuche drastisch verringern
lässt. Unsere Annahme basiert auf der Beobachtung, dass der Rabin-Miller-Algorithmus für
heute in der Praxis relevante Größenordnungen nur einmal durchlaufen wird, um eine
zusammengesetzte Zahl zu erkennen. Werden in Zukunft für die Sicherheit von
Kryptosystemen höhere Größenordnungen von Primzahlen notwendig, muss man sich
sicherlich mit der Frage auseinandersetzen, welcher theoretische Hintergrund dieser
Beobachtung zugrunde liegt. In 4.2.10. haben wir eine Vermutung darüber geäußert, in
welcher Hinsicht eine Auseinandersetzung stattfinden könnte.
Trotz der Schlussfolgerungen aus unseren Experimenten bleibt die besondere Bedeutung des
AKS–Tests als erster deterministischer effizienter Primzahltest, der noch in den
Kinderschuhen steckt und dem vielleicht einige Kapazitäten zur Verbesserung innewohnen.
Für theoretische Informatiker ist allein diese Tatsache von großer Bedeutung. Beenden
möchten wir deswegen unsere Arbeit mit einem Zitat des Mathematikers G. H. Hardy
[SNGH02].
„… Gemessen an allen praktischen Kriterien ist der Wert meines Mathematikerlebens gleich
null; und außerhalb der Mathematik ist es ohnehin belanglos. Ich habe nur eine Chance, dem
Urteil völliger Belanglosigkeit zu entkommen, nämlich wenn es heißt, ich hätte etwas
geschaffen, das schaffenswert war. Und dass ich etwas geschaffen habe, ist unbestreitbar: in
Frage steht nur dessen Wert.“
Danksagung
Mein allergrößter Dank gilt meiner Schwiegermutter Frau Dr. Ursula Berger, die in den
schwierig zu organisierenden Wochen von Vorlesungszeit und Schulferien ihren Jahresurlaub
opferte, um meine Kinder nicht nur zu betreuen, sondern ihnen eine unvergessliche Zeit zu
bereiten.
Mein herzlicher Dank gilt auch Frau Dr. Silke Hartlieb, die mir mit zahlreichen nützlichen
Ratschlägen zu Seite stand und Frau Prof. Luise Unger, die mir durch die Art ihrer Lehre das
Denken beigebracht hat.
Vielen Dank auch an Herrn Kai Gehrs vom MuPad–Team. Die unkomplizierte und
freundliche Bereitstellung einer Lizenz hat mir sehr geholfen.
37
Literatur
[AKS04] M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena. PRIMES is in P, 2004.
[B99]
J. Buchmann. Einführung in die Kryptographie. Springer, 1999.
[BSI04]
Webseite http://www.bsi.de. Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik.
[D04]
M. Dietzfelbinger. Primality Testing in Polynomial Time. Lecture Notes in
Computer Science 3000. Springer, 2004.
[DI04]
M. Dietzfelbinger. Primality testing in polynomial time. Lecture Notes in
Computer Science 3000. Springer-Verlag, 2004.
[HMU]
J.E. Hopcroft, R. Motwani. Einführung in die Automatentheorie. Formale
Sprachen und Komplexität. Pearson Studium 2003.
[KNU02]
D. E. Knuth. The art of computer programming. Volume 2, 285, 337, AddisonWesley, 2002.
[KR98]
R. Kumanduri, C. Romero. Number theory with computer applications. Prentice
Hall, 1998.
[LEN02]
H. W. Lenstra, Jr. Primality testing with cyclotomic rings. Unpublished
(http://cr.yp.to/papers.html#aks has an exposition of Lenstras argument), August
2004
[LN86]
R. Lidl and H. Niederreiter. Introduction to finite fields and their applications.
Cambridge University Press, 1986.
[NAI82]
M. Nair. On Chebyshev-type inequalities for primes. Amer. Math. Monthly.
89:126-129, 1982.
[PLO98]
Der große Ploetz. Verlag Herder, 1998.
[RAB80]
M. O. Rabin. Probalistic algorithm for testing primality. J. Number Theory,
12:128-138, 1980.
[RSA78]
R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman. A method for obtaining digital signatures and
public key kryptosystems, Communication of ACM 21, 2, 1978, S. 120-126.
[SCH02]
P. Schreiber. Algorithmen. Spektrum der Wissenschaft Spezial - Forschung und
Technik im Mittelalter, Februar 2002.
[SNGH02] S. Singh. Fermats letzter Satz. Deutscher Taschenbuchverlag, 2002.
[SW90]
U. Storch, H. Wiebe. Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BIWiss.-Verlag, 1990.
38
Anhang A
Programm des Rabin-Miller-Algorithmus in MuPAD
RabinMiller:=proc(n:Type::PosInt)
begin
Ende:=FALSE;
j:=1;
s:=n-1;
r:=0;
while (_mod(s,2)=0)
do
s:=_div(s,2);
r:=r+1
end_while;
//Programmierung des Rabin-Miller-Algorithmus, siehe 2.3.
//Laufvariable
//n-1 wird in das Produkt von einer geraden und ungeraden Zahl(2^r und s)zerlegt.
while (not Ende and j<21)
//Der Rabin Miller Test endet, wenn n als zusammengesetzt erkannt wurde.
do
//Insgesamt sind 20 unabhängige Durchläufe möglich.
if (_mod(n,2)=0) then
//Wenn n gerade ist, dann ist n keine Primzahl.
primzahl:=FALSE
else
myRnd:=random(2..(n-2));
Basis:=myRnd();
//Zufällige Erzeugung einer potentiellen Basis.n ist für 1 und n-1 immer starke Pseudoprimzahl.
ggT:=igcd(Basis,n);
//Deswegen werden 1 und n-1 nicht berücksichtigt.
if (ggT>1) then
//Schritt 1. in 2.3.1.: Der ggT von potentieller Basis und n wird bestimmt.
primzahl:=FALSE;
//Ist der ggt>1, dann ist n keine Primzahl.
else
//Sonst erfolgt Schritt 2. in 2.3.1.
b:=Basis;
//Dieser testet, ob n starke Pseudoprimzahl zur potentiellen Basis b ist.
xxx:=Basishochs(b,s,n);
//Die Prozedur Basishochs erfolgt mir wiederholtem Quadrieren (siehe weiter Anhang A).
if (xxx=1 or xxx=n-1) then
//Ist das 1.Folgenglied 1 oder -1, dann ist n starke Pseudoprimzahl zur Basis (siehe 2.2.1.).
primzahl:=TRUE
else
//Sonst wird b^s wiederholt quadriert.
k:=0;
while (xxx<>1 and xxx<>n-1 and k<>r)//Solange eines der Folgenglieder nicht 1 oder -1 oder bis b^n-1 erreicht wird, wird quadriert.
do
xxx:=_mod(xxx^2,n);
k:=k+1
end_while;
if (k=r) then
//Wurde bis b^n-1 quadriert, dann kann n keine starke Pseudoprimzahl zur Basis b sein.
primzahl:=FALSE
//Denn dann ist das vorletzte Folgenglied weder 1 noch n-1.
else
if (xxx=n-1) then
//Wurde nicht bis zum Schluss quadriert und ist xxx=n-1,
primzahl:=TRUE
//dann ist n starke Pseudoprimzahl zur Basis b.
else
primzahl:=FALSE
//Wurde nicht bis zum Schluss quadriert und ist xxx<>n-1,
39
end_if
end_if
end_if
end_if
end_if;
Ende:=not primzahl;
j:=j+1
end_while;
RabinMiller():=[primzahl,j-1]
end_proc;
//dann kann n keine starke Pseudoprimzahl zur Basis b sein.
//Ist n eine starke Pseudoprimzahl zur Basis b, so wird der Test für eine weitere
//potentielle und zufällig gewählte Basis durchgeführt.
//Rückgabe:[n ist Primzahl TRUE oder FALSE, Anzahl der Durchläufe des Tests]
Prozedur Basishochs
Basishochs:=proc(b,s,n)
begin
y:=matrix(numlib::g_adic(s,2));
z:=1;
Zeilenzahl:=linalg::matdim(y);
l:=Zeilenzahl[1];
for i from 1 to l
do
if (y[i]=1) then
z:=_mod(z*b,n);
end_if;
b:=_mod(b^2,n);
end_for;
Basishochs():=z
end_proc
//Berechnet die s-te Potenz der Zahl b im Restklassenring Z/nZ mit dem Prinzip
//des wiederholten Quadrierens siehe 2.3.2.
//Binärdarstellung von des Exponenten s.
//Hilfsvariable
//Bestimmt die Anzahl der Bitstellen von s.
//Ist die jeweilige ite Bitstelle vom Exponenten s eine 1,
//dann wird die 2^i te Potenz von b multipliziert.
//Berechnet die 2^i te Potenz von b.
40
Anhang B
Programm des AKS-Algorithmus in MuPAD
AKS:=proc(n:Type::PosInt)
begin
vielleichtPrimzahl:=TRUE;
if ((n=1) or _mod(n,2)=0) then
vielleichtPrimzahl:=FALSE
else
aa:=numlib::ispower(n);
if (aa<>FALSE) then
end_if
end_if;
if (vielleichtPrimzahl)then
r:=SucheR(n);
for i from 2 to r
do
ggT:=(igcd(i,n));
if ((ggT>1) and (ggT<n))then
end_if
end_for
end_if;
wardrinnen:=FALSE;
if vielleichtPrimzahl then
if (n<=r) then
else
wardrinnen:=TRUE;
vielleichtPrimzahl:=HaupttestAnna(n,r)
end_if
end_if;
AKS():=[vielleichtPrimzahl,wardrinnen]
end_proc;
//Berechnet deterministisch, ob eine Zahl n eine Primzahl ist siehe 3.3.1..
//Hilfsvariable
//Wenn n gerade ist oder gleich 1,
//dann ist n keine Primzahl.
//Schritt 1 von 3.3.1. Ist n Potenzzahl mit Potenz >= 2 ?
//Wenn n eine Potenzzahl ist, dann ist n keine Primzahl.
//Schritt 2 von 3.3.1. Sucht ein kleinstes r
//mit der Prozedur SucheR.
//Schritt 3 von 3.3.1. mit euklidischem Algorithmus.
//Die Hilfsvariable kontrolliert, ob Schritt 5 von 3.3.1.durchlaufen wurde.
//Schritt 4 von 3.3.1.
//Schritt 5 von 3.3.1. wird durchlaufen mit der Prozedur HaupttestAnna.
//Rückgabe:[ist n Primzahl TRUE oder FALSE, Schritt 5 durchlaufen TRUE oder FALSE]
41
Prozedur SucheR
SucheR:=proc(n)
begin
mini:=trunc(4*(log(2,n))^2)+1;
fertig:=FALSE;
r:=mini;
while (not fertig)
do
ungleicheins:=TRUE;
kk:=1;
xx:=1;
m:=_mod(n,r);
while (ungleicheins and (kk<mini))
do
xx:=_mod(xx*m,r);
if (xx=1) then
ungleicheins:=FALSE
else
kk:=kk+1
end_if;
end_while;
if ((kk=mini) and ungleicheins) then
fertig:=TRUE
else
r:=r+1
end_if
end_while;
SucheR():=r
end_proc;
//Schritt 2 von 3.3.1.
//Kleinstmöglicher Wert von r, siehe 3.3.3.
//Entscheidungsvariable der ersten while-Schleife.
//Laufvariable r.
//Zählt r hoch und überprüft, ob n^k(modr)<>1 für alle k<mini.
//Entscheidungsvariable der zweiten while-Schleife.
//kk steht für k siehe 3.3.1.
//Hilfsvariable.
//Berechnet kte Potenz von (n mod r) bis maximal k=mini.
//Ist das Produkt für k<mini 1, dann wird wird für r+1 getestet.
//r ist gefunden, wenn x^k mod r für alle k <>1 ist.
//sonst r+1 testen
42
Prozedur HaupttestAnna
HaupttestAnna:=proc(n,r)
begin
a:=1;
Schranke:=trunc(sqrt(numlib::phi(r))*log(2,n)*2);
zuEnde:=FALSE;
while not zuEnde and (a<=Schranke)
do
q:=poly(x+a,[x],IntMod(n));
VergleichsPolynom:=poly(x^(_mod(n,r))+_mod(a,n),[x],IntMod(n));
qhochn:=powermod(q,n,poly(x^r-1,[x],IntMod(n)));
if (qhochn=VergleichsPolynom) then
a:=a+1;
else
zuEnde:=TRUE
end_if;
end_while;
HaupttestAnna():=(not zuEnde)
end_proc
//3.3.1. Schritt 5. Bestimmt für n>r, ob n prim oder n zusammengesetzt ist.
//Laufvariable a im Polynom ((X+a)^n)(mod X^r-1,n).
//Obere Schranke von a.
//Abbruchbedingung der While-Schleife.
//Initialisierung des Polynomfaktors (X+a).
//Initialisierung des Vergleichspolynoms (X^n+a)mod(X^r-1,n).
//Berechnet (X+a)^n im Ring mit wiederholtem Quadrieren.
//Vergleich der beiden Polynome für ein a.
//Bei Gleichheit weiter mit Vergleich für a+1.
//Bei Nichtübereinstimmung Ende der While-Schleife,n keine Primzahl.
//Wenn n zusammengesetzt ist, dann Rückgabe False sonst TRUE.
43

3. Der AKS–Test

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