Kängourou 2007 - Weblearn

Hochschule Bremen
Fachbereich E-Technik & Informatik
Mathematikwettbewerb Känguru e.V.
XIII. Mathematik-Wettstreit 2007
für Schüler und Studenten
Prof. Dr. Th. Risse
Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um
die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende
(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich
am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere
in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß
machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.
c 2007 [email protected]
Letzte Änderung: 12. Oktober 2009
Version 0.1
Abschnitt 1: Einführung
2
1. Einführung
Bei Kangourou 2007 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der
11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit
meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern.
Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch
mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle
http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
unter
Viel Erfolg!
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
3
2. Aufgaben mit Lösungen
Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren
und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb
Stunden lösen.
Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten.
Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß
beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!
Aufgabe
1. Mathematik ist
(a) fun
(b) cool
(c) out
(d) in
Auf die Plätze – fertig – los!
(e) voll krass
3. Taschenrechner sind nicht zugelassen.
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
4
3-Punkte-Aufgaben
Aufgabe
3-Punkte-Aufgaben
Welcher
oder
der Körper
unten sind
abgebildeten
Welcher 1.
oder
welche der
untenwelche
abgebildeten
aus dem rechts
bildeten durch
Drehung
Körper
sindhervorgegangen?
aus dem rechts abgebildeten durch
1. Welcher
welche der unten abgebildeten Körper sind aus dem re
Drehungoder
hervorgegangen?
III
I
abgebildeten durch
II Drehung hervorgegangen?
I
IIIII
(B) nur I und
) nur I und IV
D) nur I, II und III
(E) nur I
III
IV
(C) nur IV
IV
nur IIbesitzen
nur I
nur I, II
Meine drei(A)
Brüder
57 (B)
derI Ringe“-Sammelkarten.
Beimnur IV
nur
und (b)
IVzusammen
nur
und
(C)
(a)
(c)”Herr
nur IV
(d) III
(e) nur
I
IV Karten und
III Nico gibt 4 seiner Karten
und III
ch gibt Matti 7und
seiner
an Nico,
an Ole und Ole 6
(D) nur I, II und III
(E) nur I
einen an
Nun
hatBrüder
jeder gleich
viele. Wie
viele Karten
hatte Ole
Beginn?
2.Matti.
Meine
drei
besitzen
zusammen
57 ”Herr
derzuRinge”-Sam-
melkarten.
Tausch
Matti
7 seiner
an
Nico
) 13 2. Meine
(B)drei
17 Beim
(C)
18 gibt zusammen
(D)
21 57 Karten
23 Nico,
Brüder
besitzen
Herr(E)der
Ringe“-Samm
”
gibtgibt
4 seiner
anKarten
Ole undanOle
6 der
seinen
Matti.Karten
Nun an
Tausch
MattiKarten
7 seiner
Nico,
Nico
gibt an
4 Cseiner
er Inhalt
Dreiecks
wobei
Mittelpunkt
des Kreises
ist, Ole zu Beginn?
hat
jeder
gleich
viele.
Wie
viele gleich
Karten
hatte
√ derdes
seinen
an AOC,
Matti.
NunO hat
jeder
viele.
Wie viele Karten hatte O
ägt 3. Dann beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks ABC
A
B
(a)
13
(b)
17
(c)
18
(d)
21
(e) O23
√
√
(A)
13
(B)
17
(C)
18
(D)
21
(
)2 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
(E) 4 3
ust an 3.
demDer
Tage,
als ihr
Vater
20 Jahre
alt wurde,
erblickte
Gisa das Licht
Welt. ist,
Inhalt
des
Dreiecks
AOC,
wobei
O Mittelpunkt
des der
Kreises
ich fragte sie ihn√verschmitzt: Wie oft ist – seit meiner Geburt – mein Alter ein Teiler
beträgt
3. Dann beträgt der Flächeninhalt des Dreiecks ABC
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
3. Der Inhalt des Dreiecks ∆(AOC),
wobei O Mittelpunkt
des Kreises
√
ist, beträgt 3. Dann beträgt der
Flächeninhalt des Dreiecks ∆(ABC)
5
C
A
O
B
√
√
(a) 2 3
(b) 2
(c) 5
(d) 4
(e) 4 3
4. Just an dem Tage, als ihr Vater 20 Jahre alt wurde, erblickte Gisa
das Licht der Welt. Neulich fragte sie ihn verschmitzt: Wie oft ist
- seit meiner Geburt - mein Alter ein Teiler deines Alters, wenn
wir beide ausreichend lang leben? Die richtige Antwort ist:
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
(e) 8
5. Eine Billardkugel trifft die erste Bande
AD exakt unter einem Winkel von 45o .
Der bärenstarke Bruno hat sie mit enormer Wucht in Bewegung gesetzt. In welches Loch wird sie fallen?
(a) A
(b) B
(c) C
(d) D
D
C
A
B
(e) keines
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
6
6. Wie viele Hamster müssen mindestens in einem Käfig sein, damit
die folgende Aussage zutrifft: Es gibt mindestens zwei Männchen
oder mindestens zwei Weibchen, die im selben Monat geboren
wurden?
(a) 13
(b) 16
(c) 25
(d) 32
(e) 48
7. (sin 1o )/(cos 89o ) = ?
(a) 0
(b) tan 1o
(c) cot 1o
(d) 1/89
(e) 1
8. Verschiedene Buchstaben stehen für verschiedene Ziffern; keine
Ziffer darf 0 sein. Welcher größte Wert kann mit der mehrfachen
Subtraktion 2007 − KA − EN G − U RU gebildet werden?
(a) 1572
(b) 1863
(c) 1573
(d) 1865
(e) 1574
9. B, C und D zerlegen die Strecke AE in vier
gleichlange Teilstrecken. AE, AD und DE
D
sind Durchmesser von Halbkreisen. Ent- A
E
B
C
lang dieser Halbkreise gibt es zwei Wege
von A nach E.
Das Verhältnis aus der Länge des oberen und der Länge des un-
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
teren Weges ist gleich
(a) 1:2
(b) 2:3
(c) 2:1
7
(d) 3:2
(e) 1:1
10. Seit jeher züchtet die Frühlingsfee Schmetterlinge. Dies Jahr so versichert sie ihrer Freundin - schlüpfen mindestens 80% der
Schmetterlingspuppen. Bei dem Wetter! Es sind auch schon aus 10
der Puppen prächtige Falter geschlüpft. Als sie jedoch 5 vertrocknete Puppen findet, ist ihr klar, dass sie die 80% nur noch erreichen kann, wenn alle übrigen Puppen zu Schmetterlingen werden.
Wie viele Schmetterlingspuppen hatte sie insgesamt?
(a) 20
(b) 25
(c) 30
(d) 35
(e) 40
11. Welchen größten Wert kann der Quotient aus einer dreistelligen
Zahl und der Summe ihrer Ziffern annehmen?
(a) 99
(b) 100
(c) 109
(d) 110
(e) 111
12. Bei einer Bilanzrechnung zeigt sich: Der Ertrag β ist um 5% kleiner als der Ertrag γ und um 10% größer als der Ertrag α. Dann
ist γ um x größer als α, und es ist x
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
(a) ca 50% (b) 7,5%
(c) ca 2%
8
(d) 25%
(e)
knapp
16%
13. Gegeben ist die Gleichung 2x+1 + 2x = 3y+2 − 3y , wobei x und y
ganzzahlig sind. Dann ist x gleich
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
(e) -1
14. Gegeben ist ein Quadrat 2(ABCD) mit Seitenlänge 1. Welches ist
die Summe der Flächeninhalte aller Quadrate, die mit 2(ABCD)
genau zwei Eckpunkte gemeinsam haben?
(a) 14
(b) 12
(c) 6
(d) 17
(e) 10
15. Das schraffierte Gebiet wird durch zwei
Halbkreise begrenzt. Die Sehne CD ist par- C
allel zum Durchmesser AB des größeren
Halbkreises, berührt den kleineren Halb- A
kreis und hat die Länge 4.
Dann ist der Inhalt des schraffierten Gebiets
(a) π
(b) 1.5π
(c) 2π
(d) 3π
D
B
(e) 2.5π
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
9
2007
16. Eine Känguru
mathematisch
besonders begabte
Spinne webt ein Netz mit Netzstücken
16. Eine mathematisch besonders begabte Spinne webt ein
ganzzahliger
Länge.ganzzahliger
Auch die
x die
Netz mit Netzstücken
Länge Länge
(s. Abb.). Auch
Länge
x ist eine
ganze Zahl.
lang ist
ist x?x?
(Abb. ist nicht
ist eine
ganze
Zahl.
WieWie
lang
maßstabsgerecht.)
(Die Abb. ist nicht maßstabsgerecht.)
(A) 5
(B) 9
(C) 13
(D) 14
◦
◦
10
9
10
(E) 16
der Summe
cos 1 +(c)
cos 2 13
+ cos 3
(a) 5 17. Der Wert(b)
9
◦
3
16
18
x
5 x
5
28
17
28
28
+ · · · (d)
+ cos 358
ist gleich
14 + cos 359 (e)
16
◦
◦
cos−13o + . .(E)
. +10cos 358o +
17. Der Wert der Summe cos 1 + cos 2o +(D)
o Eine ferne Insel wird von lügnerischen Lumpen (lL), die stets die Unwahrheit, und
18.
cos 359 ist gleich
wahrheitsliebenden Weisen (wW), die stets die Wahrheit sprechen, bewohnt. Ein junger
ist,(d)
strandet
(a) 1 Mathematiker,
(b)demπ dieses Phänomen
(c) wohlbekannt
0
-1 auf der Insel,
(e)und
10sein
(A) 1
(B) π
o (C) 0
Blick fällt auf zwei am Strand weilende Schöne, eine groß, die andere klein. An näherer
Bekanntschaft
fragt erlügnerischen
die Kleine, die sein Herz
am meisten(lL),
bewegt,die
zu welcher
18. Eine ferne
Inselinteressiert,
wird von
Lumpen
stets die
der Gruppen sie gehört, worauf sie ihm antwortet: Mindestens eine von uns beiden gehört
” Weisen (wW), die stets die
Unwahrheit,
und
wahrheitsliebenden
zu den lügnerischen Lumpen.“ Welcher der folgenden Sätze ist dann wahr?
Wahrheit
sprechen,
junger
(A) Die
Kleine kann bewohnt.
diesen Satz nichtEin
aussprechen,
weilMathematiker,
sie sonst weder zu den dem dielL noch zu den wW gehören würde.
ses Phänomen
wohlbekannt ist, strandet auf der Insel, und sein
(B) Beide sind lL.
Blick fällt
aufsindzwei
(C) Beide
wW. am Strand weilende Schöne, eine groß, die
andere (D)
klein.
Angehört
näherer
Bekanntschaft
interessiert, fragt er die
Die Kleine
zu den lL,
die Große zu den wW.
GroßeHerz
gehört zu
denmeisten
lL, die Kleine
zu den wW.
Kleine,(E)
dieDiesein
am
bewegt,
zu welcher der Gruppen
sie gehört,
worauf
sie Tripel
ihm(x;antwortet:
19. Wie viele
ganzzahlige
y; z) sind Lösung”Mindestens
der Gleichung x2 + eine
y 2 + z 2 von
= 9? uns
Anmerkung: Den Lösungen entsprechen im kartesischen Koordinatensystem Punkte mit
ganzzahligen Koordinaten auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 3.
(A) 30
(B) 24
(C) 12
(D) 6
(E) 3
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
10
beiden gehört zu den lügnerischen Lumpen”. Welcher der folgenden Sätze ist dann wahr?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Die Kleine kann diesen Satz nicht aussprechen,
weil sie sonst weder zu den lL noch zu den wW gehören würde.
Beide sind lL.
Beide sind wW.
Die Kleine gehört zu den lL, die Große zu den wW.
Die Große gehört zu den lL, die Kleine zu den wW.
19. Wie viele ganzzahlige Tripel (x, y, z) sind Lösung der Gleichung
x2 + y 2 + z 2 = 9 ? Anmerkung: Den Lösungen entsprechen im
kartesischen Koordinatensystem Punkten mit ganzzahligen Koordinaten auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 3.
(a) 30
(b) 24
(c) 12
(d) 6
(e) 3
p
20. Welcher Graph gehört zur Funktion y(x) = |(1 + x)(1 − |x|)| ?
Abschnitt
2: Aufgaben
20. Welcher
Graph gehörtmit
zur Lösungen
Funktion y =
y
2
−2 −1
y
2
1
(A)
2 x −2 −1
y
2
1
(B)
2x
y
2
1
−2 −1
(C)
(a)5-Punkte-Aufgaben
(A)
(b) (B)
11
p
|(1 + x)(1 − |x|)| ?
2x
y
2
1
−2 −1
(D)
2 x −2 −1
1
2x
(E)
(c) (C)
(d) (D)
4x
2x
(e) (E)
√
21. Welche der folgenden Zahlen lässt sich nicht in √
der Form x + x
21.
Welche der wobei
folgendenxZahlen
sichZahl
nicht in
der Form x + x schreiben, wobei x
schreiben,
eine lässt
ganze
bezeichnet?
eine ganze Zahl bezeichnet?
(a)
(b)
(c)
(d) 60
(e)
(A) 870
870
(B) 110
110
(C) 90
90
(E) 30
30
(D) 60
2x
22. Es gelte f (x) =
2x 3x+4 . Wenn f g(x) = x gelten soll, dann ist
. Wenn f (g(x)) = x gelten soll, dann ist g(x) gleich
22.
Es gilt:
f (x) =
g(x)
gleich
3x + 4
4x
3x
2x + 4
3x + 4
3x
4x
3x
2x+4
3x+4
3x
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(A) 2−3x
(B) 2x+4
(C) 4x
(D) 2x
(E) 2x−4
2 − 3x
2x + 4
2x − 4
23. Ann, Belinda und Charles werfen nacheinander einen Würfel. Ann
gewinnt, wenn sie eine 1, 2 oder 3 wirft. Belinda gewinnt, wenn
sie eine 4 oder eine 5 wirft. Charles gewinnt, wenn er eine 6 wirft.
Ann beginnt und gibt den Würfel an Belinda, diese gibt ihn an
Charles, Charles gibt ihn an Ann usw., solange, bis jemand zum
ersten Mal gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
23. Ann, Belinda und Charles werfen nacheinander einen Würfel. Ann gewinnt, wenn sie
eine 1, 2 oder 3 wirft. Belinda gewinnt, wenn sie eine 4 oder eine 5 wirft. Charles gewinnt,
12
wenn er eine 6 wirft. Ann beginnt und gibt den Würfel an Belinda, diese gibt ihn an
Charles, Charles gibt ihn an Ann usw., solange, bis jemand zum ersten Mal gewinnt. Wie
offenbar benachteiligte Charles gewinnt?
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der offenbar benachteiligte Charles gewinnt?
1
1
(a)
(b)3 3
(c) 1 1
(d) 33
(e) 113
1 6
(A)
(B) 23
(C) 11
(D) 38
(E)
6
23
11
38
13
24. Wie groß ist der spitze Winkel eines Rhombus (auch Raute ge-
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
24. Wie
groß ist
der spitze
Winkel
einesdem
Rhombus
(auch Raute genannt),
dessen Seite
nannt),
dessen
Seite
gleich
geometrischen
Mittel seiner
Diagleichgonalen
dem geometrischen
Mittel seiner
Diagonalen
ist?
√
ist? Hinweis:
Das
geometrische
Mittel
zweier
positiver
√ zweier positiver Zahlen a und b ist a · b.
Hinweis: Das geometrische Mittel
Zahlen a und b ist ab.
(B) 22, 5◦ o
(C) 30◦ o
(a) 15o
(b) 22.5
(c) 30
(A) 15◦
(D) 37, 5◦ o
(d) 37.5
y
2
25. Die Figur zeigt einen Ausschnitt des
Graphens zur Funktion
25. Die Figur zeigt einen Ausschnitt des Graphen zur
2
=bxx2 3++
cx gilt:
+ db ≈
Funktion f (x)f=(x)
x3 +
cxbx
+ d. +
Dann
(A)
−4 gilt
(B) näherungsweise
−2
(C) 0
(D)
Dann
b 0,
≈5
(E) 2, 5
(E) 45◦
(e) 45o
1
−2
−1
1
2
3 x
−1
−2
−3
26. Bestimme die Anzahl der verschiedenen Werte für a so, dass die quadratische Glei(a) −4
(b) −2
(c) 0
(d) 0.5
(e) 2.5
chung x2 + ax + 2007 = 0 zwei ganzzahlige Lösungen für x hat.
26.(A)Bestimme
die
der(C)
verschiedenen
für a(E)
so,0 dass die
3
(B)Anzahl
4
8
(D)Werte
6
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
13
quadratische Gleichung x2 + ax + 2007 = 0 zwei ganzzahlige
Lösungen für x hat.
(a) 3
(b) 4
(c) 8
(d) 6
(e) 0
27. Teilen wir eine dreistellige Zahl durch die Summe ihrer Ziffern
(Quersumme), so entsteht bei dieser Division in der Regel ein
Rest. Wie groß ist der größtmögliche Rest?
(a) 20
(b) 22
(c) 24
(d) 25
(e) 26
28. Nach ihrem anstrengenden Lauf-Training ziehen die 5 Sportler
ihre Trikots aus, werfen sie auf einen Haufen und stürzen unter die
Dusche. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, dass bei zufälligem
Aufteilen der Trikots keiner der 5 sein eigenes zurück erhält?
(a) 16
(b) 44
(c) 57
(d) 64
(e) 125
29.
√ 1 √
2 1+1 2
9
(a) 10
+
√ 1 √
3 2+2 3
99
(b) 100
√ 1 √
100 99+99 100
999
(c) 1000
(d)
+ ... +
=
9
(e) 1
30. Die wachsende Zahlenfolge 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, . . . = 30 , 31 , 30 +
31 , 32 , 30 + 31 + 32 , . . . besteht aus den Potenzen der Zahl 3 so-
Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen
14
wie aus allen möglichen Summen verschiedener solcher Potenzen.
Dann ist die hundertste Zahl der Folge gleich
(a) 1008
(b) 977
(c) 729
(d) 981
(e) 39
Lösungen der Aufgaben
15
Lösungen der Aufgaben
Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar
Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern leihweise
zur Verfügung stellen:
• Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e
und viele weitere Titel
• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985
ISBN 3-7643-1359-5
• Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list;
www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html
• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9
• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi
Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s. http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
16
Lösung zu Aufgabe: Lösung aus Berlin:
Nur der Körper I ist aus dem rechts neben dem Aufgabentest abgebildeten durch Drehung hervorgegangen. Die anderen sind Spiegelbilder
Ende Aufgabe
dieses Körpers. also Antwort a.
Lösungen der Aufgaben
17
Lösung zu Aufgabe: Sei M , N bzw. O die Anzahl der Karten von
Matti, Nico bzw. Ole. Offensichtlich gilt M + N + O = 57 sowie
M −7+6=N −4+7=O−6+4
also
M − 1 = N + 3 = O − 2 =: x
Eingesetzt ergibt sich
57 = M + N + O = (x + 1) + (x − 3) + (x + 2) = 3x
und damit x = 19 sowie O = x + 2 = 21, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
18
Lösung zu Aufgabe: Wegen des Satzes von Thales ist der Winkel
∠(ACB) = 90o . Die Höhe hO im Dreieck ∆(AOC) habe den Fußpunkt
D. Die Höhe h0O im Dreieck ∆(OBC) habe den Fußpunkt D0 .
C
D’
D
A
O
B
Dann sind die Dreiecke ∆(OCD) und ∆(OD0 C) kongruent. Also sind
die beiden Dreiecke ∆(OCA)√
und ∆(OBC) flächengleich und es folgt
|∆(ABC)| = 2|∆(OCA)| = 2 3, also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
19
Lösung zu Aufgabe: Sei g das Alter von Gisa und g + 20 das Alter
ihres Vaters. Dann gilt für v ∈ ZZ
g|(20 + g) ⇐⇒ vg = 20 + g ⇐⇒ (v − 1)g = 20
Genau dann wenn g Teiler von 20 ist, teilt g das Alter von Gisas
Vater. Es gibt die Teiler 1, 2, 4, 5, 10 und 20 von 20, also Antwort
Ende Aufgabe
c.
Lösungen der Aufgaben
20
Lösung zu Aufgabe: In einem Koordinaten-System mit Ursprung in
A = (0, 0) ergeben sich folgende Koordinaten: B = (8, 0), C = (8, 6)
und D = (0, 6).
D
C
A
B
Seine Pi die Aufprallpunkte an der Bande. Dann gilt P1 = (0, 2),
P2 = (4, 6), P3 = (8, 2), P4 = (6, 0) und P5 = D, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
21
Lösung zu Aufgabe: 24 Hamster, nämlich ein Männchen pro Monat plus ein Weibchen pro Monat reichen offensichtlich nicht. Aber
25 Hamster reichen, weil es dann mindestens 13 Männchen oder aber
mindestens 13 Weibchen gibt, von denen jeweils mindestens zwei Vertreter im selben Monat Geburtstag haben müssen, also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
22
Lösung zu Aufgabe: Wegen cos 89o = cos(90o − 1o ) = sin 1o gilt
(sin 1o )/(cos 89o ) = 1, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
23
Lösung zu Aufgabe: Folgende Fallunterscheidungen sind zu treffen:
• Falls E = 1 und U = 2 gilt, so folgt aus {K, N, R} = {3, 4, 5}
und {A, G} = {6, 7} eben 2007 − 100(1 + 2) − 10(3 + 4 + 5) −
(6 + 7 + 2) = 2007 − 300 − 120 − 15 = 1572.
• Falls E = 2 und U = 1 gilt, so folgt aus {K, N, R} = {3, 4, 5}
und {A, G} = {6, 7} eben 2007 − 100(1 + 2) − 10(3 + 4 + 5) −
(6 + 7 + 1) = 2007 − 300 − 120 − 14 = 1573.
also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
24
Lösung zu Aufgabe: Die Länge des oberen Weges ist O = 2π.
A
D
B
C
E
Die Länge des unteren Weges ist U = π 32 + π 12 = 2π.
Das Verhältnis der Weglängen O : U ist somit 1:1, also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
25
Lösung zu Aufgabe: Sei x die Gesamt-Anzahl von Schmetterlingspuppen. Wenn 5 vertrocknete schon 20% entsprechen, muß x = 25
gelten und die verbleibenden 10 Schmetterlingspuppen müssen alle
Ende Aufgabe
schlüpfen, also Antwort b.
Lösungen der Aufgaben
26
Lösung zu Aufgabe: Untersuche (100h + 10z + e)/(h + z + e).
Der Nenner wird möglichst klein, wenn viele Ziffern verschwinden,
der Zähler dagegen möglichst groß, wenn (wenigstens) h groß ist:
100h/h = 100.
Des weiteren gilt (100h + 10z + e)/(h + z + e) < 109, weil
(100h + 10z + e) < 109(h + z + e) ⇐⇒ 10z + e < 9h + 109z + 109e
also Antwort b.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
27
Lösung zu Aufgabe: Lösung aus Berlin:
Dass β um 5% kleiner als γ ist, lässt sich auch so ausdrücken: β =
0.95γ. Dass β um 10% größer als α ist, besagt, dass β = 1.1α ist.
1.1
α. Dann
Setzen wir gleich, erhalten wir, 0.95γ = 1.1α oder γ = 0.95
ist der gesuchte Prozentsatz 110 : 0, 95 = 11000 : 95 ≈ 115.8, also ist
Ende Aufgabe
(E) richtig.
Lösungen der Aufgaben
28
Lösung zu Aufgabe: Aus
32x = 2x (2 + 1) = 2x+1 + 2x = 3y+2 − 3y = 3y (9 − 1) = 8 · 3y
folgt
2x−3 = 3y−1
Diese Potenzen können nur mit verschwindenden Exponenten identisch sein, also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
29
Lösung zu Aufgabe: Es gibt vier Quadrate mit einer
√ Seite als Diagonalen
4( 2/2)2 = 4 24 = 2,
vier Quadrate mit genau einer gemeinsamen Seite
√4 · 1 = 4,
und vier Quadrate mit einer Diagonalen als Seite
4( 2)2 = 8.
Insgesamt also Quadrate mit einem Gesamt-Flächeninhalt von 14 FE,
Ende Aufgabe
also Antwort a.
Lösungen der Aufgaben
30
Lösung zu Aufgabe: Sei r der Radius des kleinen und R der Radius
des großen Halbkreises. Die gesuchte Fläche F ist F = 12 π(R2 − r2 ).
Der Ursprung liege im Mittelpunkt des großen Halbkreises.
C
D
A
B
2
2
2
Für D =
√ (x, r) gilt x + r =√R . Damit gilt für die Länge der Sehne
2x = 2 R2 − r2 = 4, d.h. R2 − r2 = 2 und daher R2 − r2 = 4.
Damit ist F = 12 π4 = 2π, also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
31
Lösung zu Aufgabe: Die folgende Lösung stammt aus Berlin:
3
16
18
gabte Spinne webt ein
nge (s. Abb.). Auch die
g ist x? (Abb. ist nicht 10
(D) 14
(E) 16
10
9
x
28
5 x
5
28
17
28
◦
benutzen
wir,◦ dass
in jedem Dreieck die Dreiecks2◦ +Lösung:
cos 3◦ +Zur
· · · Lösung
+ cos 358
+ cos 359
ist gleich
ungleichung gilt, d.h. dass die Summe der Längen zweier Seiten stets
(C) 0größer ist als (D)
−1 der dritten
(E) Seite.
10 So gilt im Dreieck mit den
die Länge
Seitenlängen 5, 17 und x, dass 5 + x > 17 bzw. x > 12 ist.
chenIm
Lumpen
die Seitenlängen
stets die Unwahrheit,
Dreieck(lL),
mit den
5, 9 und x und
gilt, dass 5 + 9 > x bzw.
< 14Wahrheit
ist. Daraus
folgt wegen
der für
x junger
geforderten Ganzzahligkeit,
stetsx die
sprechen,
bewohnt.
Ein
dass x = 13
wohlbekannt
ist,ist.strandet auf der Insel, und sein
de Schöne,
eine
also Antwortgroß,
c. die andere klein. An näherer
Ende Aufgabe
Kleine, die sein Herz am meisten bewegt, zu welcher
Lösungen der Aufgaben
32
Lösung zu Aufgabe: Der Cosinus ist Punkt-symmetrisch u.a. zu
1
3
o
o
o
2 π und 2 π. Daher gilt einerseits cos 90 = 0, cos 89 + cos 91 = 0,
o
o
o
o
cos 88 + cos 92 = 0, . . . cos(90 − i) + cos(90 + i) = 0, . . . cos 1o +
cos 179o = 0 und andererseits cos 270o = 0, cos 269o + cos 21o =
0, cos 268o + cos 272o = 0, . . . cos(270 − i)o + cos(270 + i)o = 0,
. . . cos 181o + cos 359o = 0.
Damit bleibt einzig cos 180o = −1 übrig, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
33
Lösung zu Aufgabe:
(A) siehe (E)
(B) Wenn beide lL sind, müßte sie eine falsche Aussage machen, aber
ihre Aussage trifft zu: Widerspruch!
(C) Wenn beide wW sind, müßte ihre Aussage zutreffen, was nicht
der Fakll ist: Widerspruch!
(D) Wenn die kleine Schöne lL ist, müßte sie eine falsche Aussage
machen, aber ihre Aussage trifft zu: Widerspruch!
(E) Die kleine Schöne ist wW und macht eine wahre Aussage! ok
also Antwort e.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
34
Lösung zu Aufgabe: Da mit einer Lösung (x, y, z) auch alle 23 = 8
Tripel (±x, ±y, ±z) Lösungen sind, muß die Anzahl der Lösungen
durch 8 teilbar sein. Dies trifft nur auf Antwort b zu.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
35
Lösung zu Aufgabe: Für positive Argumente x gilt
p
p
p
y(x) = |(1 + x)(1 − |x|)| = |(1 + x)(1 − x)| = |(1 − x2 )|
Der Graph der Funktion y ist für positive Argumente also sicher in
keinem Intervall eine Strecke, was die Alternativen (A), (B), (C) und
(E) ausschließt. Es bleibt nur die Alternative (D) übrig.
Für negative Argumente x gilt
p
p
p
y(x) = |(1 + x)(1 − |x|)| = |(1 + x)2 | = (1 + x)2 = |1 + x|
Der Graph der Funktion y besteht für negative Argumente also sicher
aus Strecken, was nur die Alternativen (A), (B) und (E) ausschließt.
insgesamt also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
36
Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich muß x eine Quadratzahl sein.
x
16 25
√
x
4
5
√
x + x 20 30
√
so daß 60 nicht als x + x
36 49 64 81 100 . . . 841
6
7
8
9
10 . . . 29
42 56 72 90 110 . . . 870
dargestellt werden kann, also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
37
Lösung zu Aufgabe: g ist die Inverse von f . Um g zu bestimmen,
vertausche x und y in f (x) und löse nach y auf:
2x
2y
y=
vertausche x und y x =
3x + 4
3y + 4
4x
also 3xy+4x = 2y, so daß y(3x−2) = −4x und damit y = g(x) = 2−3x
folgt, also Antwort a.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
38
Lösung zu Aufgabe: Sei zunächst ein Wurf betrachtet.
Wahrscheinlichkeit
Anne
Belinda
Charles
gewinnt
a = 12
b = 31
c = 16
verliert
ā = 12
b̄ = 23
c̄ = 56
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Charles in der ersten Runde ge1
, diejenige dafür, daß Charles in der zweiwinnt, ist āb̄c = 12 32 16 = 18
5 1
ten Runde gewinnt, ist āb̄c̄āb̄c = 18
18 .
Die Wahrscheinlichkeit pi dafür, daß Charles in genau der i-ten Runde
5 i−1 1
gewinnt, ist pi = 18
18 . Also ist die Wahrscheinlichkeit p dafür,
daß Charles überhaupt – in irgendeiner Runde – gewinnt, gerade p =
P∞ 5 i−1
P∞ 5 i
P∞
1
1
1
1
1 18
= 18
= 18
i=1 pi = 18
i=1 18
i=0 18
1−5/18 = 18 13 =
1
13 , also Antwort e.
Aus Berlin gibt es eine zweite Lösung: Charles gewinnt, wenn er das
1
erste Mal an der Reihe ist, mit der Wahrscheinlichkeit c = 18
; mit
5
der Wahrscheinlichkeit c̄ = 18 wirft er keine ”6”, und die Würfelei
Lösungen der Aufgaben
39
beginnt von vorn. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P gilt also die
folgende Gleichung:
1
5
P = c + c̄ P =
+ P
18 18
1
mit der Lösung P = 13
.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
40
Lösung zu Aufgabe: Eine Raute oder Rhombus ist ein ebenes Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang und paarweise parallel sind.
Sei α der Spitzen-Winkel, s die Rhombus-Seite und a sowie b die
beiden Diagonalen. Aus
α
a/2
a/2
= sin = √
s
2
ab
α
b/2
b/2
= cos = √
s
2
ab
folgt wegen sin α = 2 sin α2 cos α2 durch Multiplikation
1
α
α
a/2 b/2
1
sin α = sin cos = √ √ =
2
2
2
4
ab ab
Somit gilt sin α =
1
2
und daher α = 30o , also Antwort c.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
41
Lösung zu Aufgabe: Wegen f 0 (x) = 3x2 + 2bx + c und f 00 (x) =
6x + 2b ist die Wendepunktsabszisse xw = − 26 b = − 31 b. Der Graph
zeigt die Wendepunktabszisse xw zwischen 0.5 und 1, etwa xw ≈ 23 .
Dann ergibt sich b zu −2, also Antwort b.
Lösung aus Berlin: Wir bezeichnen mit x1 , x2 und x3 die Nullstellen
der Funktion. Nach dem Satz von Vieta ist nun b = −(x1 + x2 + x3 ).
Die Nullstellen der Funktion lassen sich am Graphen gut ablesen,
Ende Aufgabe
somit ist b ≈ −(1 + 0, 5 + 2, 5), also b ≈ −2.
Lösungen der Aufgaben
42
Lösung zu Aufgabe: Die beiden Lösungen sind
p
x1,2 = − 12 a ± 12 a2 − 4 · 2007
Wegen 0 = x2 +a x+2007 = (x−x1 )(x−x2 ) = x2 −(x1 +x2 )x+x1 x2
muss mit den beiden Lösungen auch −a = x1 + x2 ganzzahlig sein.
Wegen x1 x2 = 2007 = 1 · 3 · 3 · 223 (223 ist prim, weil 2, 3, 5, 7, 11, 13
6 |223) gilt (x1 , x2 ) ∈ {(x1 , 2007/x1 ) : x1 = 1, 3, 9, 223, 669, 2007}.
x1
1
3
9
−9
−3
−1
2007
669
223 −223 −669 −2007
x2
a
−2008
−672 −232
232
672
2008
a2
20072 + 2 · 2007 + 1 451584 53824
...
...
...
a√2 − 4 · 2007 20072 − 2 · 2007 + 1 443556 45796
...
...
...
a2 − 8028
2006
666
214
...
...
...
also Antwort d.
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
43
Lösung zu Aufgabe: Die Zahl z = 100h + 10z + e hat die Quersumme s = h + z + e. Damit große Reste entstehen können, muß die
Quersumme s groß sein.
s = 27 Dann ist z = 999 = 37s + 0.
s = 26 Dann gilt z = 998 = 38s + 10 oder z = 989 = 38s + 1 oder
z = 899 = 34s + 15.
s = 25 Dann gilt z = 997 = 39s + 22 oder z = 988 = 39s + 13 oder
z = 979 = 39s+4 oder z = 979 = 39s+4 oder z = 898 = 35s+23
oder z = 889 = 35s + 14 oder z = 799 = 31s + 24.
Da für s ≤ 24 nur Reste kleiner als 24 entstehen können, ist der
Ende Aufgabe
größtmögliche Rest eben 24, also Antwort c.
Lösungen der Aufgaben
44
Lösung zu Aufgabe: Die Zahlen {1, 2, 3, 4, 5} sind auf Plätze Nr.
{p1 , p2 , p3 , p4 , p5 } so anzuordnen, daß immer pi 6= i gilt, in lexikographischer Reihenfolge also
21453
21534
23154
23451
23514
24153
24513
24531
..
.
d.h. für jede der vier zulässigen Zahlen in der ersten Position gibt es
jeweils 2 + 3 · 3 zulässige Anordnungen, insgesamt also 4(2 + 3 · 3) = 44
Ende Aufgabe
zulässige Anordnungen, also Antwort b.
Lösungen der Aufgaben
45
Lösung zu Aufgabe: Rational-machen des Nenners liefert für die
Summe s
1
1
1
√ + √
√ + ... +
√
√
s = √
2 1+1 2 3 2+2 3
100 99 + 99 100
√
√
99
99
X
X
1
(i + 1) i − i i + 1
√
=
=
√
(i + 1)2 i − i2 (i + 1)
(i + 1) i + i i + 1
i=1
i=1
!
√
√
√
√
99
99
X
(i + 1) i − i i + 1 X
i
i+1
=
=
−
i(i + 1)
i
i+1
i=1
i=1
!
√
√ !
√
√ !
√
√
1
2
2
3
99
100
=
−
+
−
+ ... +
−
1
2
2
3
99
100
10
1
9
=1−
=
100
10
10
also Antwort a.
= 1−
Ende Aufgabe
Lösungen der Aufgaben
46
Lösung zu Aufgabe: Die Zahlenfolge besteht aus allen Zahlen, deren
Darstellung im Stellenwert-System zur Basis 3 keine Ziffer 2 aufweist.
n
n(2)
(n(2) )(3)
1
1
1
2
10
3
3
4
11 100
4
9
5
101
10
6
110
12
7 ...
100 . . .
111 . . . 1100100 . . .
13 . . .
981 . . .
weil 36 + 35 + 32 = 9(1 + 33 + 34 ) = 9 1 + 27(1 + 3) = 9(1 + 108) =
9 · 109 = 981, also Antwort d.
Ende Aufgabe