Kugel - Gaalop

Transcription

Kugel - Gaalop

Geometric Algebra Computing
09.11.2012
Dr.-Ing. Dietmar Hildenbrand
LOEWE Priority Program Cocoon
Technische Universität Darmstadt
Am Montag keine Übung!
Dietmar Hildenbrand | "Foundations of Geometric Algebra Computing" | TU Darmstadt
Nächste Vorlesungen
09.11.2012
• Pyramiden-Aufgabe Kinderuni
• Einfacher Roboter in CLUCalc
• Prinzip von Gaalop (Symbolisches
Rechnen)
Mathematische Grundlagen
The way to Gaalop
…
19.10.2012 | Technische Universität Darmstadt | Dietmar Hildenbrand
Was ist das Besondere an der
geometrischen Algebra?
Schule:
Multiplizieren von Zahlen
Geometrische Algebra:
Multiplizieren von geometrischen Objekten
(Punkten, Kugeln etc.)
Multiplikation von Punkten
Punktpaar: P1^P2
Kugel: P1^P2^P3^P4
Kreis: P1^P2^P3
!
Kugel
S = P - 0.5*r*r*einf;
(Mittelpunkt P, Radius r)
Kugel mal Kugel
S1, S2 sind Kugeln
das Produkt
C = S1 ^ S2
beschreibt den Schnitt von S1 und S2,
den Schnitt-Kreis C
Kugel mal Gerade
Kugel S,
Gerade L
Punktpaar PP = S^L
Kugel mal Gerade
Kugel S,
Gerade L
Punktpaar PP = S^L
Kugel mal Gerade
Kugel S,
Gerade L
Punktpaar PP = S^L
Was passiert beim Multiplizieren von Kugel und Kreis?
Kugel mal Kreis
Kugel S, Kreis C
PP = S^C
Kugel mal Kugel mal Kugel
Was passiert, wenn drei Kugeln miteinander multipliziert werden?
Kugel mal Kugel mal Kugel
Was passiert, wenn drei Kugeln miteinander multipliziert werden?
das gleiche wie wenn ein Kreis mit einer Kugel multipliziert wird
Punktpaar: PP = S1^S2^S3;
Geometrische Algebra
Kugel:
S = P - 0.5*r*r*einf;
S = *(P1^P2^P3^P4);
Kreis:
C = S1^S2;
Punkt:
P = SelectPoint(PP);
Aufgabe 1
Dreieck mit den Eckpunkten P1, P2 und P3
Berechne den Punkt P4 mit Abstand
a1
a2
a3
Aufgabe 2
Dreieck mit den Eckpunkten P1, P2 und P3
Berechne den Punkt P4 mit Abstand
a1
a2
a3
Umhüllende Kugel der Pyramide?
CLUCalc
Software zum Rechnen mit geometrischer Algebra
Kostenlos aus dem Internet von www.clucalc.info
Geometrische Algebra
Kugel:
S = P - 0.5*r*r*einf;
S = *(P1^P2^P3^P4);
Kreis:
C = S1^S2;
Punkt:
P = SelectPoint(PP);
Farbe:
Color(Rot,Grün,Blau,Durchsichtigkeit)
(Werte zwischen 0 und 1)
:S für die obige Kugel etc.
Anzeige:
Pyramidenaufgabe mit CLUCalc
Übersicht der geometrischen Basisobjekte
Bem: Repräsentationen sind dual zueinander
10.11.2012 | Technische Universität Darmstadt | Computer Science Department | Dietmar Hildenbrand | 20
Übersicht der geometrischen Basisobjekte
IPNS
OPNS
Bem: Repräsentationen sind dual zueinander
IPNS von e0?
Menge aller Punkte, welche
erfüllen
kann überführt werden in die implizite Form
was dem Ursprungspunkt entspricht
Anm.: Skalierte algebraische Ausdrücke haben keine Auswirkung auf die
geometrische Form des Objekts (homogene Koordinaten)
Bedeutung von
?
Das 5D- konforme Modell beinhaltet eine stereographische Projektion
in den R3
R3
wird auf die Unendlichkeit im zugrunde liegenden Raum abgebildet
Geometrische Basisobjekte in
konformer GA
Kugeln unterschiedlicher Dimension
Dimension 3
Kugel mit endlichem Radius
Punkt als Kugel mit Radius = 0
Ebene als Kugel mit unendlichem Radius
Dimension 2
Kreis als 2-dimensionale Kugel
Gerade als Kreis mit unendlichem Radius
Orientierter Punkt als Kreis mit Radius = 0
Dimension 1
Punktpaar als 1-dimensionale Kugel
Rechnen in 5D (konforme
geometrische Algebra)
Aufgabenstellung liegt in 3D vor
Übersetzung nach 5D
Bsp. Punkt
Rechnung einfacher und intuitiver
Nicht linear -> linear
Rechnung in 5D
-> Lösung in 3D
Einfacher Roboter mit CLUCalc
Prinzip von Gaalop
Symbolisches Rechnen mit Maple
Computer Algebra System
Erlaubt symbolisches Rechnen
Cliffordlib für Geometrische Algebra (Fauser/Ablamowicz)
Ziel: Reduktion von Ausdrücken bis zu den einfachsten Additionen und
Multiplikationen
10.11.2012 | Computer Science | Interactive-Graphics Systems Group (GRIS) | Dietmar Hildenbrand | 28
Beispiel für symbolische
Vereinfachung mit Maple
C_e[9] := -1/2*pwx*L1^2
C_e[10] := pwx
…
C_e[16] := …
Geometric Algebra Computing Architecture
Geometric Algebra Computing Architecture
Horizon Example in Gaalop
based on the CLUCalc language (www.clucalc.info)
Symbolic Evaluation of C
32-dim multivector array with optimized coefficient computations
… to be further optimized from the storage point of view
Different formulae -> same optimized result
Gaalop optimizes parts of algorithms!
Advantages for GPUs
Sum of products -> SIMD
Few special cases
Reference
„Foundations of
Geometric Algebra Computing“
Dietmar Hildenbrand
Springer, Nov. 2012
Article in Elektronik-Praxis:
http://www.elektronikpraxis.vogel.de/grundlagenwissen/articles/376044/
Thanks a lot

Kugel - Gaalop

Transcription

Similar documents

Masterarbeit Michael Burger

Übungen mit dem Applet „Zentraler Grenzwertsatz“