Prof. Dr. P. Recher K. Janzen Thermodynamik und Quantenstatistik

Prof. Dr. P. Recher Thermodynamik und Quantenstatistik
WS 2013
K. Janzen
Blatt 12
Abgabe am 29. 1. 2013
1. Pauli-Paramagnetismus
Die Leitungselektronen eines Metalls haben aufgrund ihres Spins ein magnetisches Moment. In einem äußeren Magnetfeld H = (0, 0, h) verschiebt sich die Einteilchenenergie ε
je nach Spinausrichtung um ∆ε = ±µB h. Das untere Vorzeichen gilt für die Ausrichtung
des Spins mit dem Magnetfeld, und µB bezeichnet das Bohrsche Magneton.
a) Zeigen Sie, dass für die Zustandsdichten der parallel bzw. entgegengesetzt zum
äußeren Feld ausgerichteten Spins
1
D± (ε) = D(ε ± µB h)
2
gilt wobei D die Zustandsdichte des feldfreien Falles bezeichnet.
b) Die Magnetisierung kann auf M = µB (N+ − N− ) zurückgeführt werden. N+ und
N− ist dabei die Anzahl der Spins parallel bzw. entgegengesetzt zum Magnetfeld.
Berechen Sie den Beitrag der Leitungselektronen zur isothermen magnetischen
Suszeptibilität
∂M
χT = lim
h→0
∂h T,N
bei T = 0.
2.Wissensfragen
1. Was besagt der erste Hauptsatz der Thermodynamik?
2. Zeigen Sie, dass für ein Gas immer
∂P
∂S
=
∂V T
∂T V
gilt, wobei die Symbole die üblichen Bedeutungen haben.
3. Wie lautet die thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases?
4. Skizzieren Sie eine Gaußverteilung.
5. Wie lautet die Chapman-Kolmogorov-Gleichung?
6. Wodurch ist ein Markov-Prozess definiert?
7. Was passiert mit einem Bose-Gas bei tiefen Temperaturen in drei Dimensionen?
8. In welchem Ensemble ist die Entropie durch das Phasenraumvolumen definiert?
9. Wie hängt die Freie Energie mit der kanonischen Zustandssumme zusammen?
10. Was ist der Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen?
1
3. Quanten-Magnetismus
b
b
Sei ~` der Operator des Bahndrehimpulses eines Atoms. Mit ~` ist ein magnetisches
Moment
b
m
~b = µB ~`
verbunden, wobei µB das Bohrsche Magneton bezeichnet.
Jede Komponente des Drehimpulsoperators besitzt 2 ` + 1, ` = 0, 1, 2, . . . verschiedene
Eigenwerte −`, −` + 1, . . . , ` − 1, `. Der magnetische Anteil des Hamiltonoperators eines
~ ist durch
Atoms in einem äußeren Magnetfeld B
c1 = −m
~
H
~b · B
gegeben.
Betrachten Sie N unterscheidbare, ungekoppelte, gleichartige Atome mit dem Bahndreb
~ = B ~ez . Das System befinde sich im Kontakt
himpuls ~` in einem äußeren Magnetfeld B
mit einem Wärmebad der Temperatur T .
a) Berechnen Sie die freie Energie des Systems als Funktion der Temperatur T , der
Feldstärke B und der Teilchenzahl N .
∂F
, den Mittelwert der magnetib) Berechnen Sie die Magnetisierung M = − ∂B
T,N
schen Energie hHN i, sowie die Wärmekapazität CB .
c) Diskutieren Sie für die Magnetisierung die beiden Grenzfälle, in denen der Quotient
B
“groß” bzw. “klein” ist.
T
2