Fokker-Planck Gleichung

Transcription

Fokker-Planck Gleichung - homepages.math.tu

Motivation
Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators
Beispiel
Fokker-Planck Gleichung
Fabian Faulstich
03.07.2015
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
1
Motivation
2
3
4
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
1
Motivation
2
3
4
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Pollenteilchen im Wassertropfen
Klassisch:
Auf das Pollenteilchen wirkt die Stoke’sche Reibung
FR = 6π r η v =: −αv .
Mit Newton folgt
mv̇ + αv = 0
v (0) = v0
(1)
eine deterministische DGL mit der Lösung
v (t) = v0 e −γt , mit γ = α/m = 1/τ .
(2)
Problem: In der statistischen Physik kommt es zu thermischen
Fluktuationen, welche in der obigen Behandlung nicht berücksichtigt
werden.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Grundlagen der statistische Physik
Ziel:
Behandlung von Systemen, welche aus einer großen Anzahl von
Teilsystemen bestehen, aber nur Aussagen über die Gesamtheit von
Interesse sind.
Idee:
Betrachtung von statistischen Ensembles
In der statistischen Physik ist ein Ensemble eine Menge gleichartig
präparierter Systeme von Teilchen im thermodynamischen
Gleichgewicht
Zentrales Gesetz:
Äquipartitionstheorem
hE i =
1
kB T
2
1.dim.
Fabian Faulstich
⇐⇒
1
1
mhv 2 i = kB T
2
2
(3)
Motivation
Beispiel
In einem Tropfen Wasser sind ∼ 2, 23 1021 H2 O-Moleküle.
→ Zu großes System von gekoppelten DGLn.
Statistische Physik:
Teilchen Zahl und Volumen des Systems ist konstant.
Energieaustausch zwischen Pollen- und H2 O-Teilchen möglich.
(Gibbs-Ensemble)
Energieaustausch → Änderung der Kraft, die auf das Pollenteilchen
wirkt. Fluktuationskraft Ff (t)
Damit wird (1) zu
F (t) = FR (t) + Ff (t)
⇔
v̇ + γ v = Γ(t) :=
Ff (t)
.
m
Dies ist eine stochastische DGL, da Γ(t) eine stochastische Kraft
(Langevin Kraft) ist.
Fabian Faulstich
(4)
Motivation
Beispiel
Was wissen wir über Γ(t)?
hΓ(t)i = 0
hΓ(t)Γ(t 0 )i = 0, für |t − t 0 | ≥ τ0
hΓ(t)Γ(t 0 )i = qδ(t − t 0 )
Die genaue Darstellung der Langevin Kraft ist abhängig des Systems.
Die Geschwindigkeit hängt über die Ableitung mit der Kraft zusammen
→ Geschwindigkeit ist eine stochastische Größe.
Wir sind an der Dichtefunktion der Geschwindigkeitsverteilung
interessiert.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Die Gleichung, die die Dichtefunktion beschreibt ist von der Form
∂ W (v , t)
∂ v W (v , t)
kB T ∂ 2 W (v , t)
=γ
+γ
.
∂t
∂v
m
∂v 2
Gleichung (5) ist eine Fokker-Planck Gleichung.
Fabian Faulstich
(5)
Motivation
Beispiel
1
Motivation
2
3
4
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Markov-Prozess in stetiger Zeit
Markov-Prozess in stetiger Zeit
Xt , t ≥ 0 ist ein Markov-Prozess in stetiger Zeit, falls für alle
0 ≤ s0 < s1 ... < sn < s und alle möglichen Zustände i0 , ..., in , i, j gilt
P(Xt+s = j|Xs = i, Xsn = in , ..., Xs0 = i0 ) = P(Xt = j|X0 = i)
Fabian Faulstich
(6)
Motivation
Beispiel
Chapman-Kolmogorow-Gleichung
Für einen Markov-Prozess in stetiger Zeit gilt:
P(Xt3 = i3 , Xt2 = i2 , Xt1 = i1 )
= P(Xt2 = i2 , Xt1 = i1 )P(Xt3 = i3 |Xt2 = i2 , Xt1 = i1 )
= P(Xt1 = i1 )P(Xt2 = i2 |Xt1 = i1 )P(Xt3 = i3 |Xt2 = i2 )
Z
⇔ P(Xt3 = i3 , Xt1 = i1 ) = P(Xt3 = i3 , Xt2 = i2 , Xt1 = i1 )di2
Z
= P(Xt1 = i1 ) P(Xt2 = i2 |Xt1 = i1 )P(Xt3 = i3 |Xt2 = i2 )di2
(7)
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Chapman-Kolmogorow-Gleichung
Mittels Division der Gleichung (7) durch P(Xt1 = i1 ) erhalten wir die
Chapman-Kolmogorow Gleichung
Chapman-Kolmogorow Gleichung
Z
P(Xt3 = i3 |Xt1 = i1 ) =
P(Xt2 = i2 |Xt1 = i1 )P(Xt3 = i3 |Xt2 = i2 )di2 .
(8)
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Kramers-Moyal-Entwicklung (Rückwärts)
Wir betrachten drei Zeiten t ≥ t 0 + τ ≥ t 0 . Nach Chapman-Kolmogorov
gilt:
Z
P(Xt = x|Xt 0 = x 0 ) = P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 00 )P(Xt 0 +τ = x 00 |Xt 0 = x 0 )dx 00 .
(9)
Weiter ist
P(Xt 0 +τ = x 00 |Xt 0 = x 0 ) =
Z
P(Xt 0 +τ = y |Xt 0 = x 0 )δ(y − x 00 )dy . (10)
Wir betrachten nun die Taylorentwicklung der δ-Distribution um x 0 − x 00
δ(y − x 00 ) =
n
∞
X
(y − x 0 )n
∂
δ(x 0 − x 00 ) .
0
n!
∂x
n=0
Fabian Faulstich
(11)
Motivation
Beispiel
Setzt man (11) in (10) ein, so erhält man:
Z
P(Xt 0 +τ = x 00 |Xt 0 = x 0 ) = P(Xt 0 +τ = y |Xt 0 = x 0 )δ(y − x 00 )dy
n
∞
X
(y − x 0 )n
∂
δ(x 0 − x 00 )dy
0
n!
∂x
n=0
n
Z
∞
X
1
∂
0 n
0
0
0
=
(y − x ) P(Xt +τ = y |Xt = x )dy
δ(x 0 − x 00 )
n!
∂x 0
n=0
n !
∞
X
∂
1
0 0
Mn (x , t , τ )
δ(x 0 − x 00 ) .
= 1+
0
n!
∂x
n=1
Z
=
P(Xt 0 +τ = y |Xt 0 = x 0 )
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Wir betrachten zunächst (9):
P(Xt = x|Xt 0 = x 0 )
Z
= P(Xt 0 +τ = x 00 |Xt 0 = x 0 )P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 00 )dx 00
n !
Z
∞
X
∂
1
0 0
Mn (x , t , τ )
δ(x 0 − x 00 )P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 00 )dx 00
=
1+
0
n!
∂x
n=1
n
∞
X
∂
1
Mn (x 0 , t 0 , τ )
=P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 0 ) +
P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 0 )
0
n!
∂x
n=1
(12)
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Bestimmung des Differenzenquotient. Mit (12) folgt
P(Xt = x|Xt 0 = x 0 ) − P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 0 )
∂P(Xt = x|Xt 0 = x 0 )
+ O(τ 2 )
∂t 0
n
∞
X
∂
1
0 0
Mn (x , t , τ )
P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 0 )
=
n!
∂x 0
n=1
n
∞
X
∂
(n) 0 0
=τ
D (x , t )
P(Xt = x|Xt 0 +τ = x 0 ) + O(τ 2 ) .
0
∂x
n=1
= −τ
Mit Taylorentwicklung von Mn (x, t, τ )
1
Mn (x, t, τ )
= 0+D (n) (x, t)τ +O(τ 2 ) ⇒ D (n) (x, t) =
lim h(Xt+τ −Xt )n iX =x .
t
n!
n! τ →0
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Betrachten wir nur die Terme, welche linear in τ sind, so erhalten wir
∂P(Xt = x|Xt 0 = x 0 )
= −L†KM (x 0 , t 0 )P(Xt = x|Xt 0 = x 0 ) ,
∂t 0
(13)
wobei
L†KM (x, t)
=
LKM (x, t) =
∞
X
D
n=1
∞ X
n=1
(n)
∂
∂x
D
(n)
(x, t)
∂
−
∂x
n
(14)
n
(x, t)
LKM (x, t) ist der Kramers-Moyal-Operator. Äquivalent zu (13) findet man
∂fX (x, t)
= LKM fX (x, t),
∂t
mit der Dichtefunktion f .
Fabian Faulstich
(15)
Motivation
Beispiel
Satz von Pawula
Satz von Pawula
Für positive Übergangswahrscheinlichkeiten P(x, t|x 0 , t 0 ) bricht die
Entwicklung (15) (bzw. (13)) entweder nach dem ersten oder dem
zweiten Term ab. Ist dies nicht der Fall, so bricht sie niemals ab.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Satz von Pawula
Wir betrachten
Z Z
(f (x)g (y ) − f (y )g (x))2 P(x)P(y ) dxdy ≥ 0 ,
was für positive Funktionen P richtig ist. Dies ist äquivalent zu
Verallgemeinerte Schwartzsche Ungleichung
2
Z
f (x)g (x)P(x) dx
Z
≤
f 2 (x)P(x)dx
Fabian Faulstich
Z
g 2 (x)P(x) dx .
(16)
Motivation
Beispiel
Satz von Pawula
Mit f (x) = (x − x 0 )n , g (x) = (x − x 0 )n+m und P(x) = P(x, t + τ |x 0 , t 0 ),
wobei n, m ≥ 1 folgt
2
M2n+m
≤ M2n M2n+2m .
(17)
Eine Taylorentwicklung mit der Annahme n, m ≥ 1 führt auf
(2n + m)!(D (2n+m) )2 ≤ (2n)!(2n + 2m)!D (2n) D (2m+2n)
(18)
Mit r = m + n geht aus (18) hervor, dass
D (2n) = 0 ⇒ D (2n+1) = D (2n+2) = ... = 0
D
⇔D
(2r )
(2r −1)
=0⇒D
=D
(r +n)
(2r −2)
=0
= ... = D
(n ≥ 1)
(n = 1, ..., r − 1)
(r +1)
=0
(19)
(r ≥ 2)
Insgesamt also
D (2r ) = 0 ⇒ 0 = D (3) = D (4) = ...(r ≥ 1)
Damit folgt der Satz von Pawula.
Fabian Faulstich
(20)
Motivation
Beispiel
Fokker-Planck-Gleichung
Bricht die Kramers-Moyal-Entwicklung nach dem zweiten Term ab, so
erhält man die Fokker-Planck-Gleichung
Fokker-Planck-Gleichung
∂W (x, t)
∂
∂2
= − D (1) (x, t)W (x, t)+ 2 D (2) (x, t)W (x, t) = LFP W (x, t)
∂t
∂x
∂x
(21)
D (1) ist der Drift-Koeffizient und D (2) der Diffusions-Koeffizient.
LFP = −
∂2
∂ (1)
D (x, t) + 2 D (2) (x, t)
∂x
∂x
ist der Fokker-Planck-Operator
Fabian Faulstich
(22)
Motivation
Beispiel
1
Motivation
2
3
4
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Settings
Wir betrachten hier die Langevin-Gleichung
s
s
!
Z t̃
dx
2 dw
2 dw
= −∇V (x)+
⇔ x(t̃) =
−∇V (x) +
dt (23)
dt
γ dt
γ dt
0
w ist hier eine Brown’sche Bewegung. Nun gilt
1
hx(t + ∆t) − x(t)i = −∇V
τ
1
1
1
= lim h(x(t + ∆t) − x(t))2 i =
2 τ →0 τ
γ
D (1) = lim
τ →0
D (2)
und damit folgt die Fokker-Planck-Gleichung
∂u(x, t)
1
= ∇ · (u∇V ) + ∆u
∂t
γ
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten
1
hx(t + ∆t) − x(t)i
τ
s Z
!
Z t+τ
t+τ
1
2
−∇V (x)dt +
h
dw i = −∇V (x)
= lim
τ →0 τ
γ t
t
D (1) = lim
τ →0
In obiger Gleichung wurde verwendet, dass die Langevin-Kraft im
Erwartungswert Null ergeben muss. Alternativ kann über die
Martingaleigenschft der Brown’schen Bewegung diskutiert werden.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten
1
1
lim h(x(t + ∆t) − x(t))2 i
2 τ →0 τ
s Z
Z t+τ
1
2 t+τ
1
= lim h(
−∇V (x)dt +
dw )2 i
2 τ →0 τ
γ t
t
Z t+τ
Z t+τ
1
2
1
2
2
(
−∇V (x)dt) + h(
dw ) i
= lim
2 τ →0 τ
γ
t
t
Z t+τ
1
12
1
= lim
h
12 dti =
τ
→0
2
τγ t
γ
D (2) =
In der letzten Gleichung wurde die Ito-Isometrie
Z
h
!2
T
Xt dWt
0
Z
i=h
T
Xt2 dti,
0
verwendet.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Eigenschaften
Die Boltzmann-Verteilung ist Eigenfunktion des FPO zum Eigenwert
Null.
Der FPO ist Symmetrisch bzgl. des Gibbs-Maßes
Folgen für dem Transferoperator
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Eigenfunktion des Fokker-Planck-Operators
Wir betrachten die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung
φ0 (x) = Ce −γV (x) .
Dann gilt:
C
∆e −γV + ∇ · Ce −γV ∇V
γ
C 2 −γV
=
γ e
(∇V )2 − γe −γV ∆V + Ce −γV ∆V − C γe −γV (∇V )2
γ
= C γe −γV (∇V )2 − Ce −γV ∆V + Ce −γV ∆V − C γe −γV (∇V )2
LFP φ0 (x) =
=0
Also ist die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung Eigenfunktion von
LFP zum Eigenwert Null.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß
Mit Hilfe der Eigenfunktion φ0 können wir ein SKP h·, ·iφ0 durch
Z
1
hf , g iφ0 = uv dµ(x)
φ0
definieren. Das Produkt der Funktionen wird bzgl. des Gibbs-Maßes
integriert. Der Operator LFP ist symmetrisch bzgl. dieses SKP.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß
Z 1
1
dµ(x) = u ∇ · (v ∇V ) + ∆v Ce γV dµ(x)
φ0
γ
Z
1
= Ce γV u ∇ · v ∇V + ∇v dµ(x)
γ
Z
1
=−
Ce γV ∇u + uC γe γV ∇V
v ∇V + ∇v dµ(x)
γ
Z 1
=−
∇u + u∇V
vC γe γV ∇V + Ce γV ∇v dµ(x)
γ
Z 1
∇u + u∇V
v ∇Ce γV + Ce γV ∇v dµ(x)
=−
γ
Z 1
=−
∇u + u∇V ∇ Ce γV v dµ(x)
γ
Z 1
∇ · (u∇V ) + ∆u vCe γV dµ(x) = hLFP u, v iφ0
=
γ
Z
hu, LFP v iφ0 =
uLFP v
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Transferoperator
Wir betrachten die Anfangsverteilung u(x, 0) =: u0 (x)
Tt u0 (x) := e tLFP u0 (x) = P(x, t|u0 (x)) = u(x, t) .
Tt ist der Transferoperator. LFP symmetrisch bzgl. h·, ·iφ0 ⇒ Tt
symmetrisch bzgl. h·, ·iφ0 . Mit dem Spektralsatz folgt nun
u(x, t) = Tt u0 (x) = e tLFP u0 (x) =
∞
X
e −λk t hu0 (x), φk (x)iφ0 φk (x) ,
k=1
wobei φk die Eigenfunktionen von LFP zu den Eigenwerten −λk (λk > 0)
sind.
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
1
Motivation
2
3
4
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Wir betrachten erneut das Pollenteilchen im Wassertropfen
Z t
0
−γt
v̇ (t) + γ v (t) = Γ(t) ⇔ v (t) = v0 e
+
e −γ(t−t ) Γ(t 0 )dt 0
0
Die Koeffizienten der Kramers-Moyal-Enwicklung sind
1
h(v (t + τ ) − v (t))1 iv (t)=v = −γv
τ →0 τ
1
1
γkB T
(2)
.
D (v , t) = lim h(v (t + τ ) − v (t))2 iv (t)=v =
2 τ →0 τ
m
D (1) (v , t) = lim
Damit erhalten wir die Fokker-Planck-Gleichung
∂ W (v , t)
∂
kB T ∂ 2
= γ (v W (v , t)) + γ
W (v , t) .
∂t
∂v
m ∂v 2
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Wir nehmen an
lim W (v , t) = W (v )
t→∞
(24)
Dieses Verhalten (24), nennt man ergodisch. Dann gilt die FPG
0=γ
∂
kB T ∂ 2
(v W (v , t)) + γ
W (v , t) .
∂v
m ∂v 2
(25)
Diese DGL besitzt die Lösung
r
W (v ) =
2
m
− mv
e 2kB T .
2γπkB T
Wir erwarten Konvergenz gegen eine Normalverteilung,
unabhängig der Startverteilung.
Fabian Faulstich
(26)
Motivation
Beispiel
Lösung dieser FPG (γ = 2,
T
m
=
6
kB
Fabian Faulstich
) ergibt
Motivation
Beispiel
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Quellen
H. Risken: The Fokker-Planck Equation - Methods of Solution and
Applications, 2. Auflage, Springer Verlag
R. Durrett: Essentials of stochastic Processes, 1. Auflage, Springer
Verlag
R.R. COIFMAN, I.G. KEVREKIDIS, S. LAFON, M. MAGGIONI,
AND B. NADLER:
DIFFUSION MAPS, REDUCTION COORDINATES AND LOW
DIMENSIONAL REPRESENTATION OF STOCHASTIC SYSTEMS,
August 2008
W. Dieterich: Stochastische Prozesse in der Physik kondensierter
Materie, Vorlesungsmitschrift SS 2000
J. Dreger: Untersuchung des Starkkopplungsverhaltens der
Fokker-Planck-Gleichung mit anharmonischer Drift, Diplomarbeit
Fabian Faulstich
Motivation
Beispiel
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Fabian Faulstich

Fokker-Planck Gleichung - homepages.math.tu

Transcription

Similar documents

Infrarot-Absorption - Prof. Dick

WMI deutsch

Dread Disease Versicherung

7. Vorlesung - Martin-Luther-Universität Halle

Recent Work by Subscribers

Einführung in die Grundlagen der Numerik Übungsblatt 8.

Hardy-Raum Methoden zur numerischen Lösung von Streu