Formelsammlung Leitungen

Berner Fachhochschule
Technik und Informatik TI
Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik EKT
Formelsammlung
Nachrichtentechnik
2012 F. Dellsperger
BFH TI
Formelsammlung
1
SYMBOLE UND EINHEITEN
1
2
GRÖSSEN UND KONSTANTEN
3
3
4
5
6
2.1
Physikalische Konstanten
3
2.2
Grössen und Einheiten
3
2.3
Spez. Widerstand  und Spez. Leitfähigkeit  bei 20oC, Temp. Koeffizient 
4
MATERIAL
5
3.1
Chip-Abmessungen
5
3.2
Substratmaterialien
6
MATHEMATIK
7
4.1
Komplexe Zahlen
7
4.2
Trigonometrische Formeln
8
4.3
Arkusfunktionen
12
4.4
Hyperbel- und Areafunktionen
13
4.5
Besselfunktionen Jn() erster Art der Ordnung n
14
FOURIERANALYSE UND FOURIERTRANSFORMATION
15
5.1
Fourieranalyse, Fourier-Reihe
15
5.2
Fourier-Transformation
17
LEITUNGEN
18
6.1
Leitungskenngrössen
18
6.2
Verschieden HF-Leitungen
19
6.3
Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung
20
6.4
Eingangswiderstand und Reflexionsfaktor
6.4.1
Zusammenhänge der verschiedenen Reflexionsgrössen
20
21
6.5
Verlustlose Leitungen
6.5.1
Eingangswiderstand und Reflexionsfaktor
23
23
6.6
Ausbreitungsgeschwindigkeit
24
6.7
Leitungen als Schaltungsbauteile
25
6.8
-Transformator
25
6.9
Nonsynchronous-Transformer
25
6.10
Smith-Diagramm
26
2012 F. Dellsperger
BFH TI
Formelsammlung
6.10.1
6.10.2
Smith Chart Equations
Smith-Chart
26
28
7
STROMVERDRÄNGUNG, SKIN-EFFEKT
31
8
S-PARAMETER
34
8.1
Messung der S-Parameter
8.1.1
Parameterübersicht
37
38
8.2
Beschaltete Zweitore
8.2.1
Verstärkungsdefinitionen
8.2.2
ZG =Z0 =ZL
8.2.3
Unilaterale Zweitore (rückwirkungsfrei)
8.2.4
Nicht unilaterale Zweitore
39
39
40
40
42
8.3
Umrechnung von Parametern
Fehler! Textmarke nicht definiert.
8.4
Stabilität
8.4.1
Unstabil (unstable)
8.4.2
Unbedingt stabil (unconditionally stable)
8.4.3
Bedingt stabil (conditionally stable)
44
44
45
46
8.5
46
9
Touchstone S-Parameter Fileformat
ZWEITORE
49
9.1
Zusammenschaltung von Zweitoren
49
9.2
Definitionen
52
9.3
Parameter Umrechnungstabelle
53
9.4
Umrechnung von Zweitorparametern in Streumatrizen (und vice versa)
54
9.5
Umrechnung der y-Parameter zwischen Emitter-, Kollektor-
56
9.6
Umrechnung der h-Parameter der Emitterschaltung in
Kollektorschaltung
und Basisschaltung
h-Parameter der Basis- und
57
9.7
Zweitorparameter der wichtigsten Elemente
58
9.8
Beschalteter Zweitor
61
10
NETZWERKE
62
10.1 Transformation von Pi- ↔ T-Schaltungen
10.1.1 Pi → T
10.1.2 T → Pi
62
62
63
10.2 Umwandlung Serie ↔ Parallel
10.2.1 Serie → Parallel
10.2.2 Parallel → Serie
64
64
64
10.3 DÄMPFUNGSGLIEDER
10.3.1 PI-Glieder
10.3.2 T-Glieder
10.3.3 Minimum Loss Pad (MLP)
10.3.4 Überbrücktes T-Glied
66
66
67
68
68
2012 F. Dellsperger
BFH TI
11
Formelsammlung
INTERMODULATION
69
11.1
Intercept Punkt
72
11.2
Intercept Punkt kaskadierter Zweitore
75
11.3
Messignale ungleicher Amplituden
77
12
DYNAMIKBEREICH
78
13
FREIRAUMAUSBREITUNG
79
13.1
Elektromagnetisches Feld
79
13.2
Freiraumdämpfung
81
13.3
Bestimmung der Feldstärke
83
13.4
Bestimmung der Empfangsspannung an einem 50-System
83
14
TERRESTRISCHE AUSBREITUNG
84
14.1 Die drei grundsätzlichen Ausbreitungsmechanismen
14.1.1 Reflexion
14.1.2 Diffraktion (Beugung)
14.1.3 Streuung (Scattering)
84
84
85
86
14.2
Freiraum (Free-Space)
87
14.3
Ebene Erde
87
14.4
Das Hata-Modell
88
14.5
Das London-Modell
89
14.6
Über Horizont Ausbreitung
89
2012 F. Dellsperger
BFH TI
1
Formelsammlung
Symbole und Einheiten
Symbole und Einheiten
Kettenparameter
Aij
B
C
C'
co
S
F
F/m
m/s
Suszeptanz
Kapazität
Kapazitätsbelag
Ausbreitungsgeschwindigkeit im freien Raum
E
f
G
G'
GA
V/m
Hz
S
S/m
Elektrische Feldstärke (Vektor)
Frequenz
Konduktanz, Leitwert
Ableitungsbelag
Verfügbare Leistungsverstärkung, Available
Power Gain
Betriebsleistungsverstärkung, Operating Power
Gain
Übertragungsleistungsverstärkung, Transducer
Power Gain
Unilaterale Übertragungsleistungsverstärkung,
Unilateral Transducer Power Gain
Hybridparameter
A
A
A
Strom
Strom der hinlaufenden Welle
GP
GT
GTU
hij
I
Ih
Ir
k
L
L'
el
mech
m
P
pv
R
R'
RL
r
rG
rL
r1
r2
Sij
s
t
te
U
Uh
Ur
vd
vr
vu
X
H
H/m
m
m
m
W
W/m

/m
dB
2.997925  108 m/s
Strom der rücklaufenden (reflkektierten) Welle
Stabilitätsfaktor (Linvill)
Induktivität
Induktivitätsbelag
Leitungslänge
Elektrische Länge der Leitung
Mechanische Länge der Leitung
Anpassungsfaktor
Leistung
Verlustleistung pro Längeneinheit
Widerstand
Widerstandsbelag
Rückflussdämpfung, Return Loss
Reflexionsfaktor
Reflexionsfaktor des Generators
Reflexionsfaktor der Last
Reflexionsfaktor am Eingang der Leitung
Reflexionsfaktor am Ausgang der Leitung
Streuparameter
s
m
V
V
V
m/s
Welligkeitsfaktor, Stehwellenverhältnis
Zeit
Eindringtiefe des Stromes
Spannung
Spannung der hilaufenden Welle
Spannung der rücklaufenden (reflektierten)
Welle
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Leitung mit
Dielektrikum
Rekative Ausbreitungsgeschwindigkeit
Spannungsverstärkung

Reaktanz
2012 F. Dellsperger
1
BFH TI
Formelsammlung
Y
yij
S
Admittanz Y=G+jB
Admittanzparameter
Z
zij

Impedanz Z=R+jX
Impedanzparameter
Z1
Z2
ZF
ZFo
Z0





Eingangsimpedanz

Np / m
G
R


Np / m
Systemimpedanz, Kennimpedanz,
Wellenwiderstand der Leitung
Dämpfungsbelag einer Leitung 1Np=8.686 dB
Ableitungsdämpfung
Np / m
Widerstandsdämpfung
Rad / m
Rad
Phasenbelag einer Leitung
Übertragungsbelag, Ausbreitungsmass einer
Leitung =+j
Verlustwinkel des Dielektrikums
F/m
Dielektrizitätskonstante im freien Raum
G
0
Symbole und Einheiten
Ausgangs- oder Abschlussimpedanz
Feldwellenwiderstand
Feldwellenwiderstand im Vakuum
r

0
m
H/m
r



  mm / m
Rad
Rad/s
1
10-9 =8.854  1012F / m
36
Relative Dielektrizitätskonstante
Wellenlänge
Permeabilitätskonstante im freien Raum
4  107H / m
Relative Permeabilitätskonstante
2
Spezifischer Widerstand
Winkel
Kreisfrequenz
2012 F. Dellsperger
2
BFH TI
2
Formelsammlung
Größen und Konstanten
Grössen und Konstanten
2.1
Physikalische Konstanten
q
1.6022 10-19
As
Elementarladung
k
1.38054 10-23
WsK-1
Boltzmannkonstante
h
6.625 10-34
Ws2
Planksches Wirkungsquantum
c
2.997925 108
ms-1
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
meo
9.1095 10-31
kg
Ruhemasse des Elektrons
mp
1.67265 10-27
kg
Ruhemasse des Protons
R
8.314
N m mol-1 K-1
Gaskonstante
o
1
8.854 10-12 
109
36
A s V-1 m-1
Dielektrizitätskonstante des Vakuum
o
1.2566 10-6  4  107
V s A-1 m-1
Induktionskonstante des Vakuum
(Permeabilität)
gn
9.80665
m s-2
Fallbeschleunigung
ZF
376.7303 

0
 120
0
Wellenwiderstand des Vakuum
0K
-273.15
oC
absoluter Nullpunkt der Temperatur
UT
24.988
mV
Thermospannung bei T = 290 K
25.85
mV
Thermospannung bei T = 300 K
2.2
(UT = kT/e)
Grössen und Einheiten
Newton
1N
=
1 kg m s-2
Joule
1J
=
1 kg m2 s-2 = 1 V A s = 1 W s = 1 N m
Watt
1W
=
1 kg m2 s-3 = 1 V A = 1 J s-1 = 1 N m s-1
Volt
1V
=
1 kg m2 A-1 s-3
Coulomb
1C
=
1As
Farad
1F
=
1 A s V-1
Henry
1H
=
1 V s A-1
2012 F. Dellsperger
3
BFH TI
Formelsammlung
Größen und Konstanten
Weber
1 Wb
=
1Vs
Tesla
1T
=
1 V s m-2
1 kWh
=
3.6 MJ = 3.6 MW s
Gauss
1G
=
10 T
Kalorie
1 cal
=
4.1868 J
Oersted
1 Oe
=
79.5775 A m-1
PS
1 PS
=
735.49875 W
Inch
1 in
=
25.4 mm
Foot
1 ft
=
12 in = 30.48 cm
mil
1 mil
=
25.4 m
2.3
-4
Spez. Widerstand  und Spez. Leitfähigkeit  bei 20oC,
Temp. Koeffizient 
Spez. Widerstand 
Spez. Leitwert 
in 10 m
in 10 S m
Aluminium
2.78
36
39
Blei
20.8
4.8
42
Gold
2.22
45
40
Kupfer
1.72
58
38
Messing MS58
5.9
17
15
Messing MS63
7.1
14
15
Nickel
8.7
11.5
47
Platin
11.1
9
39
Silber
1.6
62.5
37.7
Zink
6.1
16.5
37
Zinn
12
8.3
42
Material
-8
2012 F. Dellsperger
6
-1
Temp. Koeffizient 
-4
-1
in 10 K
4
BFH TI
3
Formelsammlung
Material
Material
3.1
Chip-Abmessungen
Bezeichnung
0201
0402
0603
0805
1206
1210
L (mm)
0.5
1.0
1.6
2.0
3.2
3.2
2012 F. Dellsperger
W (mm)
0.25
0.5
0.76
1.25
1.6
2.5
5
BFH TI
Formelsammlung
3.2
Material
Substratmaterialien
Handelsbezeichnung
r
Material
Luft (trocken)
tan 
Formsta- Bearbeitbilität
barkeit
-o+
-o+
10 GHz
1
0
Preis
-o+
FR-4
Epoxy/Glas
4.70.3
0.025
1)
+
+
--
GT, GX
PR
2.50.05
0.0018
-
-
o
Rogers Duroid 5880
PR
2.20.02
0.0009
-
-
o
Rogers RO 4350B
CTW
3.660.05
0.0038
+
+
-
Rogers RO 3006
PC
6.150.15
0.0020
+
-
+
Rogers RO 3010
PC
10.200.3
0.0023
+
--
+
Taconic TLC-32
PCW
3.20.05
0.003
o
-
-
Taconic TLE-95
PCW
2.950.05
0.0028
o
-
-
Taconic TLT-8
PW
2.550.05
0.0019
-
-
o
Taconic RF-35
PCW
3.50.05
0.0018
+
+
-
Arlon Epsilam 10
PC
10.20.25
0.002
+
--
+
Alumina
Al2O3 99.5%
9.7
0.0003
+
--
+
Beryllia
BeO
6.9
0.0003
+
--
+
Saphir
9.4/11.6
0.0001
+
--
+
Glas
5
0.002
+
--
+
Quarz
3.8
0.0001
+
--
++
2)
97%
Dacron
Epoxy
3.2
0.015
-
o
-
Kapton
Polimid
3.5
0.01
2)
-
o
-
2)
Mylar
Polyester
3.3
0.01
-
o
-
Gallium Arsenid
GaAs
13.1
0.0016
+
--
++
Germanium
Ge
16.0
+
--
++
Silizium
Si
11.7
+
--
++
0.005
1) 1 GHz
2) 1 MHz
Cu Clad
2
oz/ft
um
0.500 17.5
1.000 35
2.000 70
P = PTFE resin
T = Thermoset resin
C = Ceramic filler
R = Random Glass weave
W = Woven Glass
Cu Surface Roughness:
ED 0.4 - 2.5 um; Rolled 0.3 - 1.4 um
2012 F. Dellsperger
mil
4
5
6.6
10
15
19
20
25
30
31
Thickness
mm
mil
0.102
45
0.127
50
0.168
60
0.254
62
0.381
75
0.483
93
0.508
100
0.635
125
0.762
187
0.787
250
mm
1.143
1.270
1.524
1.575
1.905
2.362
2.540
3.175
4.750
6.350
6
BFH TI
Formelsammlung
4
Mathematik
Mathematik
4.1
Komplexe Zahlen
  j    j  1
 1    j   j
  j    j  1
  j    j  1
1
 j
j
1
 j
j
j  x    jx
Addition (Subtraktion): Komplexe Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem man deren Realund Imaginärteil für sich addiert (subtrahiert).
R1  jX1   R2  jX2   R1  R2  j  X1  X2 
R1  jX1   R2  jX2   R1  R2  j  X1  X2 
R1  jX1   R2  jX2   R1  R2  j  X1  X2 
Multiplikation (Division): Komplexe Zahlen werden multiplitziert (dividiert), indem man ihre
Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert).
Z1   Z2   Z1  Z2     
Z1 
Z1

Z2 
Z2
    
Potenzieren (Radizieren): Komplexe Zahlen werden mit n potenziert (radiziert), indem man den
Betrag mit n potenziert (radiziert) und den Winkel mit n multipliziert (durch n dividiert).
 Z  
n
n
 Z  n   
Z  
n
n
Z

n
Umwandlungen rechtwinklig <---> polar:
Z   R  jX

 R  Z cos 
X  Z sin 
R  jX  Z 


  arctan
Z  R 2  X2
X
R
2012 F. Dellsperger
7
BFH TI
Formelsammlung
4.2
Mathematik
Trigonometrische Formeln
1
sin x
1
sec x 
cos x
cosec x 
sin2 x  cos2 x  1
sec 2 x  tan2 x  1
cosec 2 x  cot 2 x  1
sin x  cosec x  1
cos x  sec x  1
tanx  cot x  1
Funktionswerte
Grad
0
30
45
60
90
120
135
150
Rad
0

6

4

3

2
2

3
3

4
5

6

5
2
1
1
3
1
1
1  1  1  1  1  1  1 
3
3
6
6
2
4
4
sin =
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0

cos =
1
3
2
2
2
1
2
0
1

tan =
0
3
3
1
3

cot =

3
1
3
3
0
Beziehungen
sin(2  n  x)  sinx

1
2

3
2

2
2
3
3
 3
1

3
3
1
 3

180
210
1
2
225

240
3
2

2
2
3
2 1

2
2
2
270
1
300

315
330
0
3
2
1
1
2
2
2
 3
1

3
3
1
 3
3
3
1
3


3
1
3
3
0

sin(x)   sin x
cos(2  n  x)  cos x
cos(x)  cos x
tan(  n  x)  tanx
tan(x)   tan x
cot(  n  x)  cot x
cot(x)   cot x
2012 F. Dellsperger
2
3
2 1

2
2
2
0
0
360
8
3
3
0

BFH TI
Formelsammlung
cos x 
sin x 


sin  x  
2

sin
Mathematik
tan x 
sin x

1  sin2 x
cot x 

1  sin2 x
sin x


sin   x 
2


 1  sin2 x
1  2sin2
cos


cos  x  
2


1
1
sin2 x
x
2
1  cos2x
2

1  cos2 x
cos x

cos x
1  cos2 x


cos   x 
2


 1  cos2 x
1
1
cos2 x
1
1  cos2 x
cos2 x  cos2x
tan

1  cos2x
2
tan x
1  tan x
2

1
2 tan
1  tan x
2
x
2
1  tan2
2 tan
x
2
1  tan2
cot
sin, cos, tan,
cot, sec, cosec
e

x
2
2 x
1  tan
2
cot x

1  cot 2 x
x
2


tan   x 
2

1  tan2
x
2
1
1  cot x
2
x
x
2sin cos
2
2
cos x  tanx
cos2
x
x
 sin2
2
2
1
cosec x
sin x
tan x
1
sec x
e jx  e jx
2j
e jx  e jx
2
2012 F. Dellsperger
1
tan x
1
cot x


cot   x 
2

sin x
cos x
j
e jx  e jx
e jx  e jx
x
cot 2    1
2
x
2cot
2
cos x
sin x
j
e jx  e jx
e jx  e jx
9
BFH TI
Formelsammlung
Mathematik
Additionstheoreme
sin  x1  x2   sinx1  cos x2  cos x1  sinx2
cos  x1  x2   cos x1  cos x2
sinx1  sinx2
tan  x1  x 2  
tan x1  tan x 2
1 tan x1  tan x 2
cot  x1  x 2  
cot x1  cot x 2 `1
cot x 2  cot x1
Halbe Winkel
1  cos x
x
sin    
2
2
 
1  cos x
x
cos    
2
2
 
1  cos x
sin x
1  cos x
x
tan    


2
1

cos
x
1

cos
x
sin x
 
1  cos x
sin x
1  cos x
x
cot    


1  cos x 1  cos x
sin x
2
Doppelte Winkel
sin  2x   2sin x  cos x
cos  2x   cos2 x  sin2 x  1  2sin2 x  2cos2 x  1
tan  2x  
2tan x
2

1  tan2 x cot x  tan x
cot  2x  
cot 2 x  1 cot x  tan x

2cot x
2
Dreifache Winkel
sin  3x   3sin x  4sin3 x
cos  3x   4cos3 x  3cos x
tan  3x  
3 tan x  tan3 x
1  3 tan2 x
n-fache Winkel
n
n
n
sin  nx     sin x  cosn1 x    sin3 x  cosn3 x    sin5 x  cosn5 x  ..  ...
 1
3
5
n
n
cos nx   cosn x    sin2 x  cosn2 x    sin4 x  cosn 4 x  ..  ...
 2
 4
2012 F. Dellsperger
10
BFH TI
Formelsammlung
Mathematik
Potenzen
1
tan2 x
sin2 x  1  cos  2x    1  cos2 x 
2
1  tan2 x
1
sin3 x   3sin x  sin  3x  
4
1
sin4 x   cos  4x   4cos  2x   3 
8
1
1
cos2 x  1  cos  2x   1  sin2 x 
2
1  tan2 x
1
cos3 x   3cos x  cos  3x  
4
1
4
cos x   cos  4x   4cos  2x   3 
8
1
cos5 x 
cos 5x   5cos 3x   10cos  x 
16
1
cos  6x   6cos  4x   15cos  2x   10
cos6 x 
32 
1
cos  7x   7cos  5x   21cos  3x   35cos  x 
cos7 x 
64 
tan2 x 
sin2 x
1  cos2 x

2
1  sin x
cos2 x
Summen und Differenzen
 x  x2 
 x1  x 2 
sin x1  sin x 2  2sin  1
  cos  2 
2




 x  x2 
 x1  x 2 
sin x1  sin x 2  2cos  1
  sin  2 
2




sin  x1  x2   sin  x1  x2   2sinx1  cos x2
sin  x1  x2   sin  x1  x2   2cos x1  sinx2
 x  x2 
 x  x2 
cos x1  cos x 2  2cos  1
 cos  1


 2 
 2 
 x  x2 
 x  x2 
cos x1  cos x 2  2sin  1
 sin  1


 2 
 2 
cos  x1  x2   cos  x1  x2   2cos x1  cos x2
cos  x1  x2   cos  x1  x2   2sinx1  sinx2
tan x1  tan x 2 
cot x1  cot x 2 
sin  x1  x 2 
cos x1  cos x 2
sin  x 2  x1 
sin x1  sin x 2
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11
BFH TI
Formelsammlung
Mathematik
Produkte
1
cos  x1  x2   cos  x1  x2 
2
1
cos x1  cos x 2   cos  x1  x 2   cos  x1  x 2  
2
1
sin x1  cos x 2   sin  x1  x 2   sin  x1  x 2  
2
1
   sin  x 2  x1   sin  x1  x 2  
2
tan x1  tan x 2
tan x1  tan x 2
tan x1  tan x 2 

cot x1  cot x 2
cot x1  cot x 2
sin x1  sin x 2 
cot x1  cot x 2 
cot x1  cot x 2
cot x1  cot x 2

tan x1  tan x 2
tan x1  tan x 2
cot x1  tan x 2 
cot x1  tan x 2
cot x1  tan x 2

tan x1  cot x 2
tan x1  cot x 2
4.3
Arkusfunktionen
arcsin x 
arccos x 
arctan x 
arc cot x 
 x 
arctan 

2
 1 x 
 x 
arc cot 

2
 1 x 

 arcsin x
2
 x 
arcsin 

2
 1 x 

 arc cot x
2
x
arcsin
1  x2
 x 
arccos 

2
 1 x 

 arctan x
2
 arctan 1/ x 

arctan 1/ x   
arccos 1  x2
arc cot
1  x2
x
arcsin 1  x2
arctan
1  x2
x
1
arccos
arc cot
1 x
2
1
x
arcsin
arccos  x     arccos x
arctan  x    arctan x
arc cot  x     arc cot x

2
arctan x  arc cot x 
2012 F. Dellsperger
1
1  x2
1
arctan
x
arcsin  x    arcsin x
arcsin x  arccos x 
x  0

x  0

2
12
BFH TI
Formelsammlung
4.4
Mathematik
Hyperbel- und Areafunktionen
sinh x 
e e
2
x
cosh x 
x
e e
2
x
 cosh2 x  1
coth x 
tanh x 
x
sinh2 x  1
x
e e
e 1

ex  e x e2x  1
sinh x
x
2x
ex  e x e2x  1

ex  e x e2x  1
sinh x  1
2

tanh x
1
1  tanh2 x
1
1  tanh2 x
coth x
coth2 x  1
sech x 
2
1

x
x
cosh x
e e

coth2 x  1

cosh2 x  1
cosh x
1
coth x

sinh x
cosh x
cosh x
sinh x
cosh2 x  1
1
tanh x
csch x 
2
1

x
x
sinh x
e e
sinh jx  jsin x
sin jx  jsinh x
cosh jx  cos x
cos jx  coshx
tanh jx  jtan x
tan jx  jtanh x
coth jx   jcot x
cot jx   jcoth x

sinh2 x  1
sinh x
cosh x


ar sinh x  ln x  x 2  1

ar cosh x  ln x  x 2  1
ar tanh x 
1  1 x 
ln
2  1  x 
für x  1
ar coth x 
1  x  1
ln
2  x  1 
für x  1
 1  1  x2
ar sech x  ln 

x





 1  1  x2
ar csch x  ln 

x





2012 F. Dellsperger
13
BFH TI
Formelsammlung
4.5
Mathematik
Besselfunktionen Jn() erster Art der Ordnung n
1
0.9
Jn(0,)
0.8
0.7
Jn ( 0   )
Jn ( 1   )
Jn ( 2   )
Jn ( 3   )
Jn ( 4   )
Jn ( 5   )
0
Jn(1,)
0.6
Jn(2,)
Jn(3,)
0.5
Jn(4,)
0.4
Jn(5,)
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Modulations index bzw P hasenhub
Die Besselfunktion Jn bestimmt die Amplituden der beiden Seitenfrequenzen
im Abstand von + nfm und -nfm vom Träger. J0 führt zur Amplitude der
Spektallinie auf fc.
Nullstellen der Besselfunktionen
Jede Besselfunktion weist bei bestimmten Phasenhüben c (bzw.
Modulationsindex ) Nullstellen auf. Diese können zum präzisen
Bestimmen der Modulationsindexes genutzt werden.
Nullstellen der Besselfunktionen erster Art
Nullstellen
Besselordnung
1
2
0
2.405
5.520
1
3.832
7.016
2
5.136
8.417
3
6.380
9.761
Besselordnung 0
Besselordnung 1
Besselordnung 2
etc.
=
=
=
3
8.654
10.173
11.620
13.015
4
11.792
13.324
14.796
Träger
1. Seitenband-Spektrallinie
2. Seitenband-Spektrallinie
Das Argument der Funktion entspricht dem Modulationsindex  
f H

fm fm
H = Frequenzhub
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14
BFH TI
Formelsammlung
5
Mathematik
Fourieranalyse und Fouriertransformation
5.1
Fourieranalyse, Fourier-Reihe
Für periodische Funktionen:

a0
  an cos n0 t   bn sin n0 t  
2 n 1
a
 0  a1 cos  0 t   a2 cos  20 t   ....  an cos n0 t   b1 sin  0 t   b 2 sin  20 t   ....  bn sin  n0 t 
2
x t 
für x  t 
für x  t 
a0 
2
x  t  dt
T T 
a0 
1
x  t  d  t 
  2
an 
2
x  t  cos  n0 t  dt
T T 
an 
1
x  t  cos n0 t  d  t 
  2
bn 
2
x  t  sin  n0 t  dt
T T 
bn 
1
x  t  sin  n0 t  d  t 
  2
 T  ,  2  : Integration über ein beliebiges Periodenintervall der Länge T, resp. 2
0  2f0 
A0 
2
T
a0
2
DC  Anteil
A n  an2  bn2
n  a tan
Amplitude der n. Harmonischen
an
bn
Phase der n. Harmonischen (+ für bn  0)


n 1
n 1
x  t   A 0   an cos  n0 t   bn sin n0 t    A 0   A n sin n0 t  n 
 A 0  A1 sin  0 t  1   A 2 sin  20 t  2   ....  A n sin  n0 t  n 
Gerade Funktionen x  t   x  t  (symmetrisch zur y-Achse):
a0 
an 
2
4
x  t  dt 

T T
T
T/2
 x  t  dt
0
2
4
x  t  cos  n0 t  dt 
T T 
T
T/2
 x  t  cos n t  dt
0
0
bn  0
Ungerade Funktionen x  t   x  t  (punktsymmetrisch zum Ursprung)
a0  0
an  0
bn 
2
4
x  t  sin  n0 t  dt 
T T 
T
T/2
 x  t  sin n t  dt
0
0
2012 F. Dellsperger
15
BFH TI
Formelsammlung
Mathematik
Komplexe Fourier-Reihe (Exponentialform):
x t 

c e
n 
cn 
jn0 t
n
1
x  t  e jn0 t dt
T T 
A0  c0
An  2 cn
c n  c n*
n  c n
Die komplexen Fourierkoeffizienten können auch aus den reellen Koeffizienten berechnet werden
(und umgekehrt):
1
 2  an  jbn 

a
cn   0
2
1
 2  an  jbn 

n0
n0
an  2Re  c n 
n0
bn  2Im  c n 
n0
n0
Tabelle einiger Funktionen aus „Taschenbuch der Elektrotechnik, Kories/Schmidt-Walter“
2012 F. Dellsperger
16
BFH TI
Formelsammlung
5.2
Mathematik
Fourier-Transformation
Für nicht periodische Funktionen:
Xf  

 x t e
 j2 ft
dt

x t 

 Xf  e
j2 ft
df

x t
 X f 
2012 F. Dellsperger
17
BFH TI
6
Formelsammlung
Leitungen
LEITUNGEN
6.1
Leitungskenngrössen
Induktionsbelag L' (H/m)
L' 
Z o r
co
C' 
r
c o Zo
co = 3*108 m/s
Kapazitätsbelag C' (F/m)
Übertragungsbelag
    j 
Dämpfungsbelag

R' jL' G' jC'  
Z' Y '

(Np/m)
R' G' Zo

2Zo
2
1Np  8.686 dB
Phasenbelag

   L 'C' 
(Rad/Längeneinheit
2 


v
Wellenwiderstand Z ()
o
Zo 
Zo 
R' jL '
 RL  jXL 
G' jC'
Z'
Y'
Uh
U
 r
Ih
Ir
Frequenzabhängigkeit der Leitungsbeläge
R'
1 j
R' jL '
L'
L '
Z 

o
G' jC'
C' 1  j G'
C'
f > 10 kHz
Zo 
L'
C'
2012 F. Dellsperger
18
BFH TI
Formelsammlung
6.2
Leitungen
Verschieden HF-Leitungen
60 
r
ln
D
d
d
D
Z0 
60 
D

ln  1.078 
d
r

d / D  0.8
d
D
Z0 
D

 h  
4d  tanh   

60 
 D 
Z0 
ln 
d


r




D
d
h
D
B
Z0 
b
t
60 
r
ln
d  h
d  D
A B
bt
A
d
Z0 
D
Z0 
a
Z0 
b
d
r
2
D

D


ln      1
d

 d


377  a
r b
120 
r
ln
ab
4a
b
ab
2
 2h

2h


Z0 
ln 
    1
 d

r
 d


60  4h
Z0 
ln
d
r
60 
h
b
Z0 
h
Z0 
Z0 
d
D
b
t
120 
D
Z0 
377  h
r b
60 
r
60 
r
d  h
hb
ln
8h
b
hb
ln
4D
d
d / D  0.75
8





ln 

r
 b  1.4 t 
D
D
60 
2012 F. Dellsperger
t  0.25D
b  0.35 D  t 
19
BFH TI
6.3
Formelsammlung
Leitungen
Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung
U1  U2 cosh   I2 Zo sinh 
I1  I2 cosh  
U2
sinh 
Zo
U1  Uz cosh z  Iz Zo sinh z
I1  Iz cosh z 
Uz
sinh z
Zo
    j    j
U  z   U1he
z
e
j
j
U
I  z   1h ez e
Zo
2 z

2 z

2


z
 U1r e e
j
2 z

j
U
 1r ez e
Zo
2 z

U1  Zo  e  Zo  e
 1
 1 

U2  Z2  2  Z2  2
I1  Z2  e  Z2  e
 1
 1 

I2  Zo  2  Zo  2
Für Z =Z verschwindet die reflektierte Welle (ideale Anpassung).
2 o
In diesem Fall bleibt
U1
 e
U2
6.4
I1
 e
I2
U1 U2

 Zo
I1
I2
Eingangswiderstand und Reflexionsfaktor
U2r
U
U  U2r
1  r2
U2h
Z2  2  Zo 2h
 Zo
 Zo
U
I2
U2h  U2r
1  r2
1  2r
U2h
1
r2 
Z 2  Zo
Z 2  Zo
r1  r2 e2 e
j
4

e j  r2 e2 e
 4 
j  

 

2012 F. Dellsperger
Winkel in Rad
20
BFH TI
Formelsammlung
r1  r2 e2

r
720 

Np
Längeneinheit
Z1  Zo
6.4.1

Leitungen
Winkel in Grad
1 Np = 8.686 dB
1 dB = 0.1151 Np
Z2  Zo tanh 
Zo  Z2 tanh 
Zusammenhänge der verschiedenen Reflexionsgrössen
Z  Zo
Ur
I
 r  2
r
Uh
Ih Z2  Zo
r dB  20  log
s  VSWR 
r 

RL

Z  Zo
s  1 1 m

 10 20  2
s  1 1 m
Z 2  Zo
1
r
Umax
Umin

Imax
Imin
Uh  Ur

RL
Z
1 1  r 1  10 20

 

 o
RL

Uh  Ur m 1  r
Z2
1  10 20

Z 2  Zo
Z2
Zo
Z 2  Zo
s dB  20  log s
m
Umin
Umax

RL  10  log
Imin
Imax

Uh  Ur
Uh  Ur

1
s
Z  Zo
Ph
s 1
1 m
 20  log r  20  log
 20  log
 20  log 2
Pr
s 1
1 m
Z 2  Zo
2012 F. Dellsperger
21
BFH TI
Formelsammlung
Leitungen
RL [dB]
|r|
VSWR
RL [dB]
|r|
VSWR
1
0.891
17.39
21
0.089
1.196
2
0.794
8.72
22
0.079
1.173
3
0.708
5.85
23
0.071
1.152
4
0.631
4.42
24
0.063
1.135
5
0.562
3.57
25
0.056
1.119
6
0.501
3.01
26
0.050
1.106
7
0.447
2.61
27
0.045
1.094
8
0.398
2.32
28
0.040
1.083
9
0.355
2.10
29
0.035
1.074
10
0.316
1.92
30
0.032
1.065
11
0.282
1.78
31
0.028
1.058
12
0.251
1.67
32
0.025
1.052
13
0.224
1.58
33
0.022
1.046
14
0.200
1.50
34
0.020
1.041
15
0.178
1.43
35
0.018
1.036
16
0.158
1.38
38
0.013
1.025
17
0.141
1.33
40
0.010
1.020
18
0.126
1.29
46
0.005
1.010
19
0.112
1.25
50
0.003
1.006
20
0.100
1.22
2012 F. Dellsperger
22
BFH TI
Formelsammlung
6.5
Leitungen
Verlustlose Leitungen
U  ZoI2 j
U1  2
e
2
I1 
U2  ZoI2 j
e
2Zo
U1  U2 cos
I1  I2 cos
6.5.1
2

2

U  ZoI2  j
 2
e
2
U2  ZoI2  j
e
2Zo

2

2

2
2
 jZoI2 sin


2
U
2
 j 2 sin

Zo

Eingangswiderstand und Reflexionsfaktor
2

Z1  Zo
2
Zo  jZ2 tan

Z2  jZo tan
Z =0
2
Z10  jZo tan
(Kurzschluss)
2

Daraus folgt:
Z =
2

Z1
ist induktiv für 0  
Z1
ist  für =
Z1
ist kapazitiv für
Z1
ist 0 für

4

4
=


 
4
2

2
Z1   jZo cot
(Leerlauf)
Daraus folgt:
Z1
ist kapazitiv für 0  
Z1
ist 0 für =
Z1
ist induktiv für
Z1
ist  für
2


4

4
=


 
4
2

2
2012 F. Dellsperger
23
BFH TI
Formelsammlung
Leitungen
Z10  Eingangsimpedanz bei Z2  0
Z1  Eingangsimpedanz bei Z2  
Z10  jZo tan 

2

Z1   jZo cot 
Z10  Z1  j    j  Z2 tan   cot   Zo
  tan1 
Zo  Z10  Z1


4
Z
Z1  o
Z2

2
Z1  Z2

2
Z10
Z1
2
 0
r1  r2 e
j
4

r1  r2 e je
r1  r2 
6.6
j
4

 r2 e
 4 
j  

 

1 m s  1

1 m s  1
Ausbreitungsgeschwindigkeit
vd 
co
vr 
1
mech
r
r

el
r

el
vr
2012 F. Dellsperger
24
BFH TI
Formelsammlung
6.7
Leitungen als Schaltungsbauteile
6.8
/4-Transformator
Leitungen
2
Z
Z1  o
Z2
6.9
Nonsynchronous-Transformer
Z1
Z1
Z2
L
Z2
L
L = Leitungslänge einer Sektion
R  Z1 / Z2





1

L
a tan 


2  r
1
 R  1
R


2012 F. Dellsperger
25
BFH TI
Formelsammlung
6.10
Smith-Diagramm
6.10.1
Smith Chart Equations
Leitungen
+jx
v
-1
+r
-jx
u
-Plane
Normalized Impedance Plane
z  r  jx 
+1
Z
R
X

j
Z0 Z0
Z0
  u  jv 
Z  Z0 r  jx  1

Z  Z0 r  jx  1
Z0  real
General circle equation:
v
R
C
v0
u
u  u0 
2
u0
  v  v 0   R2
2
2012 F. Dellsperger
26
BFH TI
Using
Formelsammlung
  u  jv 
Leitungen
Z  Z0 r  jx  1
after some algebraic manipulation we get circles for Re(z)

Z  Z0 r  jx  1
and Im(z):
Real part of z:
CRe(z)  u0 ;v 0 
RRe(z) 
Imaginary part of z:
r
;0
r 1
1
r 1
CIm(z)  u0 ;v 0  1;
RIm(z) 
1
x
1
x
Q-Circles
Q
x
x
x


r
r
r
CQ  u0 ;v 0  0; 
RQ  1 
1
Q
1
Q2
VSWR-Circles
 
VSWR  1
VSWR  1
CVSWR  u0 ;v 0  0;0
R VSWR 
VSWR  1
VSWR  1
2012 F. Dellsperger
27
BFH TI
Formelsammlung
6.10.2
Leitungen
Smith-Chart
Impedanzebene
Z  R  jX
90
0.4
135
2
45
0.2
4
0
0
0.2
2
1
0.4

4
-0.2
-jx, +jb (capacitive)
 180
+jx, -jb (inductive)
1
-4
225
-135
-2
-0.4
315
-45
-1
270
-90
Kreise konstanter Imaginärteile
jX = konstant
Kreise konstanter Realteile
R = konstant
Impedanzebene
Z  R  jX
Serie L oder C
90
1
2
45
jx=
j
L/
Z
0
+jx (inductive)
Zin
0.5
135
Z1
4
jx=-jZ /
C
0
0.2
0
0
Zin 0.2
0.5
2
1
4
8
-4
-0.2
Zin
jx=
jL
/Z
0
225
-135
Z1
jx=-jZ0/C
-0.5
Zin
-2
-jx (capacitive)
180
315
-45
-1
270
-90
Zin
jX
Z1  R1  jX1
Zin  R  j(X1  X)
Z1
Realteil = konstant
2012 F. Dellsperger
28
BFH TI
Formelsammlung
Leitungen
Impedanzebene
Z  R  jX
Serie R
90
1
2
45
0.2
+jx (inductive)
0.5
135
4
r=R
/Z
Z1
0
Zin
0
0
0.2
0.5
2
1
4
8
-jx (capacitive)
180
Zin
r
-0.2
/Z 0
=R
-4
Z1
225
-135
-2
-0.5
315
-45
-1
Zin
270
-90
R
Z1  R1  jX1
Zin  R1  R   jX1
Z1
Imaginärteil = konstant
Verlustlose Serieleitung
90
1
2
Gene
ra
tor
+jx (inductive)
45
0.2
Zin
4
Rich
tung
Z1
0.2
180
0
0.2
0.5
1
0.4
0.6
2
0.8
1
4
Rich
tung
t
Las
-4
-0.2
225
-135
-2
-0.5
0
8
-jx (capacitive)
0.5
135
315
-45
-1
270
-90
Zin
Z = Z0
Z1
VSWR = konstant
2012 F. Dellsperger
29
BFH TI
Formelsammlung
Leitungen
Admittanzebene
Y  G  jB
Parallel L oder C
-1
Yin
-2
-0.4
jb
=jY
0
/
L
Y1
-4
-0.2
/Y
jb=jC 0
4
2
1
0.4
0.2
0
Yin
4
Yin
jY
=jb
2
Yin
jb=jC/Y 0
Y1
0.2
L
/
0
0.4
1
Yin
Y1  G1  jB1
jB
Y1
Yin  G  j(B1  B)
Realteil = konstant
Konstant-Q-Kreise
2012 F. Dellsperger
30
BFH TI
Skin-Effekt
Stromverdrängung, Skin-Effekt
Fliesst ein Wechselstrom durch einen Leiter, so ist der gesamte Raum innerhalb und ausserhalb des
Leiters mit einem magnetischen Wechselfeld erfüllt, das wiederum Spannungen im Leiter induziert.
Die dadurch hervorgerufenen Ströme überlagern sich dem induzierenden Strom so, dass die
Stromdichte im Leiter an dessen Oberfläche am grössten ist. Diese Erscheinung bezeichnet man als
Stromverdrängung oder Skin-Effekt.
Die Abnahme des Stromes nach dem Leiterzentrum verläuft
nach einer e-Funktion.
Bei hohen Frequenzen berechnet man den Wirkwiderstand R
w
eines runden Leiters mit dem Radius r
mit der Näherungsgleichung:
l
r
7
Formelsammlung
Rw 
2 r 
 f   o r
Rw = Wirkwiderstand des Leiters

r
f
= Länge des Leiters
= Radius des Leiters
= Frequenz

= Leitfähigkeit =
o
r
-6
-6
= Induktionskonstante = 1.2566*10 H/m = 1.2566*10 Vs/Am
1

= Permeabilitätszahl (Nichtmagnetisch = 1)
2012 F. Dellsperger
31
BFH TI
Formelsammlung
Skin-Effekt
Der Widerstand R
ist gleich dem Gleichstromwiderstand R eines hohlen Leiters mit dem
w
g
Aussenradius r und der Ringdicke t .
e
l
te
Für t << r gilt:
e
Rg 
2 r t e 
Durch gleichsetzen von R
w
und R erhält man die Leitschichtdicke, oder Eindringtiefe t :
g
e
=
r
l
l
te
Rw
Rg
1
te 
 f   o r
Im Abstand t von der Leiteroberfläche ist der Strom auf das 1/e-fache (37%) abgesunken, im
e
Abstand von 5*t auf <1%.
e
Für Kupfer mit
  58  106 Sm/ m2 erhält man die Zahlenwertformel:
te 
0.06609
f
mm
f in MHz
2012 F. Dellsperger
32
BFH TI
Formelsammlung
Skin-Effekt
Material
Leitfähigkeit 
in Sm/m2
Ag
62.5*106
45*106
36*106
58*106
17*106
14*106
Au
Al
Cu
Ms58
Ms63
Eindringtiefen in Silber, Kupfer, Gold, Aluminium und Messing:
100
Ms63
Ms58
Al
Au
Eindringtiefe in um
10
Cu
Ag
1
0.1
10
1 10
3
100
1 10
4
Frequenz in MHz
2012 F. Dellsperger
33
BFH TI
8
Formelsammlung
S-Parameter
S-Parameter
(Streuparameter, Scattering-Parameter)
U1  U1h  U1r
I1 
U2  U2h  U2r
U1h  U1r
Zo
I2 
U2h  U2r
Zo
U1r  S11U1h  S12U2h
U2r  S21U1h  S22U2h
Nach Division beider Seiten der Gleichungen durch
a1 
U1h
Zo
a2 
U2h
Zo
b1 
U1r
Zo
b2 
U2r
Zo
zO erhält man die neuen Variablen :
Die Gleichungen zur Beschreibung des Zweitors lauten damit:
b1  S11a1  S12a 2
N4.4
b2  S21a1  S22a 2
oder in allgemeiner Matrizenschreibweise:
2012 F. Dellsperger
34
BFH TI
Formelsammlung
LMb OP  LMS
Nb Q NS
1
11
S12
2
21
S22
OP LMa OP
Q Na Q
1
S-Parameter
N4.5
2
Die Betragsquadrate dieser Variablen bedeuten:
2
a1  am Eingang des Zweitors einfallende Leistung
2
b1  am Eingang des Zweitors reflektierte Leistung
a2
b2
2
 am Ausgang des Zweitors einfallende Leistung
2
 am Ausgang des Zweitors austretende Leistung
Die physikalische Deutung der s-Parameter ergibt:
S11 =
Eingangsreflexionsfaktor bei angepasstem Ausgang
S12 =
Rückwärtsübertragungsfaktor bei angepasstem Eingang
S21 =
Vorwärtsübertragungsfaktor bei angepasstem Ausgang
S22 =
Ausgangsreflexionsfaktor bei angepasstem Eingang
2012 F. Dellsperger
35
BFH TI
Formelsammlung
S-Parameter
Leistung reflektiert an Tor 1
2
 r1
Leistung einfallend an Tor 1
2
S11 
2
S12 
Leistung geliefert an eine Last Z o an Tor 1
Leistung verfügbar von einer Quelle mit Z G  Z o an Tor 2
 Rückwärtsleistungsübertragungsverhältnis bei Z G  ZL  Z o
Leistung geliefert an eine Last Z o an Tor 2
Von der Quelle mit Z G  Z o an Tor 1 ve rfügbare Leistung
2
S21 
 Leistungsübertragungsverhältnis bei Z G  ZL  Z o
2
S22 
Leistung reflektiert an Tor 2
2
 r2
Leistung einfallend an Tor 2
2
10 logS11  20logS11 = Reflexionsdämpfung (Returnloss) am Eingang
2
10logS12  20logS12 = Einfügungsdämpfung rückw ärts
2
10logS21  20logS21 = Einfügungsdämpfung vorwä rts
2
10logS22  20logS22 = Reflexionsdämpfung (Returnloss) am Ausgang
Die S-Parameter können somit bestimmt werden mit
S11 
S12 
b1
a1 a

2 0
U1r / Zo
U1h / Zo

a 2 0
U1r
U1h a
 r1 r 0 
2 0
2
Z1  Zo
Z1  Zo
ZL  Zo
b1
U
 1r
a2 a 0 U2h a 0
1
1
2012 F. Dellsperger
36
BFH TI
Formelsammlung
S21 
S22 
b2
a1 a
b2
a2

2 0

a10
U2r
U1h
S-Parameter
a2 0
U2r
Z  Zo
 r2 r 0  2
1
U2h a 0
Z2  Zo
1
ZG  Z o
Beschaltung des Zweitors zur Bestimmung von S11 und S21
Beschaltung des Zweitors zur Bestimmung von S22 und S12
8.1
Messung der S-Parameter
Bild 4.2.1: Schaltung zur Messung der S-Parameter
2012 F. Dellsperger
37
BFH TI
Formelsammlung
S-Parameter
Die Wirkungsweise der Messchaltung ergibt sich direkt aus den Ausführungen im vorausgehenden
Abschnitt.
S11 
b1 UB1

a1 UA
S21 
b2 UB 2

a1 UA
Für die Messung von S22 und S12 wird entweder das Messobjekt DUT (Device Under Test)
umgedreht, oder mit einem sogenannten S-Parameter Test Set über HF-Schalter die
Messanordnung zur Rückwärtsspeisung umgeschaltet.
Zur Kalibrierung der Messanordnung für S11 wird das DUT durch einen Kurzschluss (Leerlauf)
ersetzt und die Anzeige auf 1 /180° (1 /0°) kalibriert.
Entsprechend wird bei der Kalibrierung von S21 verfahren, indem das DUT durch eine
reflektionsfreie Verbindung ersetzt wird und die Anzeige auf 1 /0° kalibriert wird.
8.1.1
Parameterübersicht
Transmission - Reflexion
Frequenzgang der Amplitude
Frequenzgang der Phase
vorwärts
Änderung der Gruppenlaufzeit
Gruppenlaufzeit
Verstärkung
Übertragungsmessung
Transmission
Dämpfung
S21
Kompression
DUT
S12
Dämpfung
Verstärkung
Frequenzgang der Phase
rückwärts
Frequenzgang der Amplitude
2012 F. Dellsperger
38
BFH TI
Formelsammlung
8.2
S-Parameter
Beschaltete Zweitore
Die folgenden Gleichungen sind mit Hilfe der "Flow Chart Analysis" abgeleitet. Diese Methode
eignet sich sehr gut zur Bearbeitung von beschalteten Zweitoren.
In Lit..[N4.3],.[N4.5],.[N4.9],.[N4.10]. ist dieses Verfahren sehr verständlich beschrieben.
8.2.1
Verstärkungsdefinitionen
Für beschaltete Zweitore sind folgende Verstärkungen definiert:
Übertragungsleistungsverstärkung (Transducer Power Gain):
GT 
P
Leistung geliefert an Last
 L  Uebertragungsleistungsverstärkung
Leistung verfügbar von Gen. PAVG
Betriebsleistungsverstärkung (Operating Power Gain):
Gp 
P
Leistung geliefert an Last
 L  Betriebsleistungsverstärkung
Leistung geliefert an Eingang PIN
Verfügbare Leistungsverstärkung (Available Power Gain):
GA 
Leistung verfügbar vom Ausg. PAVA

 verfügbare Leistungsverstärkung
Leistung verfügbar vom Gen. PAVG
2012 F. Dellsperger
39
BFH TI
Formelsammlung
8.2.2
S-Parameter
ZG =Z0 =ZL
Uebertragungsleistungsverstärkung (transducer power gain):
G T  S21
2
2
G T dB  10 log S21  20 log S21
Betriebsverstärkung (operating power gain):
Gp 
8.2.3
S21
2
1  S11
2
Unilaterale Zweitore (rückwirkungsfrei)
Rückwirkungsfrei bedeutet, dass S12 = 0 ist (oder vernachlässigbar klein).
In diesem Falle wird r1=S11 und r2=S22.
Unilaterale Übertragungsleistungsverstärkung (unilateral transducer power gain):
rG  S11 und rL  S22 :
G TU 
1  rG
2
1  rG S11
1  rL
2
2
 S21 
2
1  rL S22
2
GTU  GG  Go  GL
wobei
2012 F. Dellsperger
40
BFH TI
Formelsammlung
GG 
1  rG
GL 
2
1  rG S11
G o  S 21
S-Parameter
2
2
1  rL
2
1  rL S 22
2
Maximale Unilaterale Übertragungsleistungsverstärkung (maximum unilateral transducer
power gain):
Den maximalen Gewinn und damit die maximale Unilaterale
Uebertragungsleistungsverstärkung erhalten wir durch Anpassung am Ein- und Ausgang mit

rG  S11
und
G Gmax 
1
GLmax 
1  S11
rL  S22

(konjugiert komplexe Anpassung):
2
1
1  S22
2
G TUmax 
1
1  S11
1
2
2
 S21 
1  S22
2012 F. Dellsperger
2
41
BFH TI
Formelsammlung
8.2.4
S-Parameter
Nicht unilaterale Zweitore
Übertragungsleistungsverstärkung (transducer power gain):
GT 
2
1  rG
1  rL
2
 S 21 
2
1  rG S11
r2  S 22 
2
1  rL r2
2
S12 S 21rG
1  S11rG
oder
GT 
1  rG
2
1  rL
2
1  rGr1
2
 S 21 
r1  S11 
2
1  rL S 22
2
S12 S 21rL
1  S 22rL
Verfügbare Leistungsverstärkung (available power gain):
GA 
1  rG
2
1  rG S11
1
2
2
 S21 
1  r2
2
Maximale Betriebsleistungsverstärkung (maximum operating power gain):

rG  r1 und rL  r2

Gpmax 
S21
S12
2
K
eK 
K2 1
2
2
1    S11  S22
2  S12  S21
2012 F. Dellsperger
j
1
42
BFH TI
Formelsammlung
S-Parameter
  S11S22  S12 S21
r1  S11 
S12 S 21rL
1  S 22rL
r2  S 22 
S12 S 21rG
1  S11rG
Maximale stabile Betriebsverstärkung:
Gpmax( stabil ) 
S21
S12
2012 F. Dellsperger
(K  1)
43
BFH TI
8.3
Formelsammlung
S-Parameter
Stabilität
Instabil (unstable)
ist ein Zweitor, wenn Störamplituden anklingen
und so zu einer Oszillation führen.
Unbedingt stabil (unconditionally stable)
ist ein Zweitor, wenn bei einer Frequenz der
Realteil von Z1 und Z2 positiv ist für alle positiven,
reellen Quell- und Lastimpedanzen (ZG und ZL).
Bedingt stabil (conditionally stable)
ist ein Zweitor, wenn bei einer Frequenz der
Realteil von Z1 und Z2 positiv ist für einige
positive, reelle Quell- und Lastimpedanzen
(ZG
und ZL).
8.3.1
Unstabil (unstable)
Oszillationen eines Zweitors sind nur möglich, wenn Z oder Z (oder beide) einen negativen
1
2
Realteil besitzen.
Das bedeutet:
r1  1
oder
2012 F. Dellsperger
44
BFH TI
Formelsammlung
S-Parameter
r2  1
Für den unilateralen Verstärker bedeutet dies:
(vergleiche N4.8 , N4.9 für G   )
S11  1
oder
S22  1
8.3.2
Unbedingt stabil (unconditionally stable)
rG  1
rL  1
r1  S11 
S12 S21rL
1
1  S22rL
r2  S22 
S12 S21rG
1
1  S11rG
Aus den Gleichungen N4.18 bis N4.21 können folgende Bedingungen für unbedingte Stabilität
abgeleitet werden:
rG  1
rL  1
S11  1
S22  1
2
K
2
1  S22  S11  S
2 S12 S21
2
1
S  1
S  S11S22  S12 S21
Eine neuere Stabilitätsdefinition MU nach Edwards/Sinsky berücksichtigt die für K notwendigen
Nebenbedingungen und erlaubt eine sichere Stabilitätsuntersuchung.
2012 F. Dellsperger
45
BFH TI
Formelsammlung
MU 
1  S11
S-Parameter
2
S22  S  S*11  S21S12
Für unbedingte Stabilität muss gelten:
MU  1
S*11  konjugiert komplexes S11
S  S11S22  S12 S21
8.3.3
Bedingt stabil (conditionally stable)
Es können vielleicht Werte für rG und/oder rL gefunden werden, bei denen der Realteil von Z1
und Z1 positiv wird. Dies ergibt die bedingte Stabilität, d.h. Stabilität ist nur für bestimmte
Wertebereiche von ZG und ZL gegeben.
Mit Hilfe einer graphischen Darstellung in der Smith-Chart können diese Lösungen gefunden
werden.
8.4
Touchstone S-Parameter Fileformat
Twoport-Parameter - Files (S-, H-, Z-, Y- and ABCD-Parameter) in Touchstone ® - Format must follow
the rules below:

In one line all characters after a exclamation-mark '!' are comment only. The line terminates
with carriage return and line feed

In front of data there must be a parameter-line:
<Frequency unit> <Parameter-designation> <Format> <R n>
: Parameter-line designator
<Frequency unit>: 'GHz', 'MHz', 'kHz' or 'Hz'
<Parameter-Designation>:
'S' for S-Parameter
'H' for H-Parameter
'Z' for Z-Parameter
'Y' for Y-Parameter.
<Format>:
'MA': magnitude-angle
'DB': decibel-angle
'RI': real-imaginary
<R n>: n = normalization impedance in Ohm (e.g. R 50)

Data:
Each line contains the data for one frequency. The parameters are separated with one space
minimum. Data must be in following sequence:
1.
2.
Frequency
Real part or magnitude of x11
2012 F. Dellsperger
46
BFH TI
Formelsammlung
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
S-Parameter
Imaginary part or angle of x11
Real part or magnitude of x21
Imaginary part or angle of x21
Real part or magnitude of x12
Imaginary part or angle of x12
Real part or magnitude of x22
Imaginary part or angle of x22
x = S, H, Z, or Y.
Frequencies must be ascending sequence
At the end of the twoport parameters, noise parameters can be added:
Each line contains the data for one frequency. The parameters are separated with one
space minimum. Data must be in following sequence
1.
2.
3.
4.
5.
Frequency
Nfmin Minimum Noise Figure in dB
Magnitude of reflection coefficient for NFmin
(Gamma_opt)
Angle of reflection coefficient for NFmin
(Gamma_opt) in degree
Normalized equivalent noise resistor
The lowest noise parameter frequency must be less or equal to the highest SParameter frequency.
Example:
! SIEMENS Small Signal Semiconductors
! CF750
! GaAs Microwave Monolithic Integrated Circuit in SOT143
! VDGND = 3.8 V ID = 2 mA
! Common Source S-Parameters:
April 1992
! Parameters valid for V D-GND between 3.0 and 5.0 VDC
! for Id=1.6mA MAG[S21] is abt. 10% lower
! for Id=2.8mA MAG[S21] is abt. 20% higher
! >>>>>> Source bypass capacitor must be low inductance!!
# GHz S MA R 50
! f
S11
S21
S12
S22
! GHz MAG ANG
MAG ANG
MAG ANG
MAG ANG
0.010 0.9700 -1.0 1.780 179.0 0.0020 89.0 0.9800 -1.0
0.100 0.9700 -3.0 1.780 175.0 0.0080 84.0 0.9800 -2.0
0.250 0.9600 -8.0 1.760 169.0 0.0150 78.0 0.9700 -6.0
0.500 0.9400 -16.0 1.730 155.0 0.0270 75.0 0.9500 -11.0
0.750 0.9100 -26.0 1.700 141.0 0.0390 71.0 0.9300 -16.0
1.000 0.8700 -34.0 1.680 127.0 0.0460 64.0 0.9100 -22.0
1.250 0.8300 -42.0 1.650 118.0 0.0540 62.0 0.8900 -26.0
1.500 0.7800 -49.0 1.620 108.0 0.0610 57.0 0.8800 -30.0
1.750 0.7200 -57.0 1.590 95.0 0.0660 55.0 0.8700 -34.0
2.000 0.6600 -65.0 1.540 82.0 0.0690 52.0 0.8600 -38.0
2.250 0.6100 -73.0 1.510 71.0 0.0710 54.0 0.8500 -43.0
2.500 0.5600 -81.0 1.470 60.0 0.0730 60.0 0.8400 -48.0
2.750 0.5200 -87.0 1.450 52.0 0.0740 63.0 0.8300 -52.0
3.000 0.4900 -93.0 1.420 45.0 0.0750 66.0 0.8200 -56.0
!
! NOISE
! f
Fmin Gammaopt rn/50
2012 F. Dellsperger
47
BFH TI
Formelsammlung
S-Parameter
! GHz
dB MAG ANG 0.900 1.60 0.63 26 0.98
1.800 1.90 0.52 51 0.72
!
! SIEMENS AG Semiconductor Group, Munich
2012 F. Dellsperger
48
BFH TI
Formelsammlung
9
Zweitore
Zweitore
9.1
Zusammenschaltung von Zweitoren
Nebst der Kaskadenschaltung von Zweitoren sind auch andere Zusammenschaltungen
möglich:

Kaskadierung

Serie-Serie-Schaltung

Parallel-Parallel-Schaltung

Serie-Parallel-Schaltung

Parallel-Serie-Schaltung
In der Namensgebung bezeichnet der erste Ausdruck die Beschaltung am Eingang, der zweite
Ausdruck die Beschaltung am Ausgang.

Kaskadierung
I1
U1
I2,A
Zweitor A
U2,A
I1,B
U1,B
I2
Zweitor B
U2
A  A A  AB
 A11
A A
 A 21A
A12 A  A11B

A 22 A  A 21B
A12B   A11A A11B  A12 A A 21B

A 22B   A 21A A11B  A 22 A A 21B
(Die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ:
2012 F. Dellsperger
A11A A12B  A12 A A 22B 

A 21A A12B  A 22 A A 22B 
A B  B  A )
49
BFH TI
Formelsammlung

Zweitore
Serie-Serie-Schaltung
i1
i1A
u1A
i1A
U1
i2A
u2A
ZA
i2A
i1B
u1B
U2
i2B
u2B
ZB
i1B
i2B
i1
U1
i2
i2
U2
Z
Z  Z A  ZB

Parallel-Parallel-Schaltung
i1
YA
U1
i2
U2
YB
Y  YA  YB
2012 F. Dellsperger
50
BFH TI
Formelsammlung

Zweitore
Serie-Parallel-Schaltung
i1
HA
i2
U2
U1
HB
H  HA  HB

Parallel-Serie-Schaltung
i2
i1
KA
U1
U2
KB
K  K A  KB
2012 F. Dellsperger
51
BFH TI
9.2
Z
Y
H
K
A
Formelsammlung
Zweitore
Definitionen
u1  z11i1  z12i2
u2  z21i1  z22i2
i1  y11u1  y12u2
i2  y 21u1  y 22u2
u1  h11i1  h12u2
i2  h21i1  h22u2
i1  k11u1  k12i2
u2  k 21u1  k 22i2
u1  A11 u2  A12 i2
i1  A 21 u2  A 22 i2
 u1   z11 z12  i1 
 
 
 u2   z21 z22  i2 
 u1

 i1 i2 0
Z
 u2
 i1
 i2 0

u1

i2 i 0 
1

u2

i2 i 0 
1

 i1   y11 y12  u1 
 
 
 i2   y 21 y 22  u2 
 i1

 u1 u2 0
Y
 i2
 u1
 u2 0
i1
u2
 u1   h11 h12  i1 
 
 
 i2   h21 h22  u2 
 u1

 i1 u2 0
H
 i2
 i1
 u2 0
u1
u2
 i1   k11 k12  u1 
 
 
 u2   k 21 k 22  i2 
 i1

 u1 i2 0
K 
 u2
u
 1 i2 0


u1 0 

u2

i2 u 0 
1

 u1   A11 A12  u2 
 
 
 i1   A 21 A 22  i2 
 u1

 u2
A
 i1
 u2

u1
i2 u
2012 F. Dellsperger
i2 0
i2 0


u1 0 

i2

u2 u  0 
1



i1 0 

i2

u2 i  0 
1

i1
i2


2 0 

i1

i2 u 0 
2

52
BFH TI
9.3
Formelsammlung
Parameter Umrechnungstabelle
Z
z11
Z
Y
H
K
A
Zweitore
Y
z12
z21 z22
H
K
A
y 22
y
 y12
y
h
h22
h12
h22
1
k11
k12
k11
A11
A 21
A
A 21
 y 21
y
y11
y
h21
h22
1
h22
k 21
k11
k
k11
1
A 21
A 22
A 21
1
h11
h12
h11
k
k 22
k12
k 22
A 22
A12
A
A12
h21
h11
h
h11
k 21
k 22
1
k 22
1
A12
A11
A12
h11 h12
k 22
k
k 21
k
k12
k
k11
k
A12
A 22
A
A 22
1
A 22
A 21
A 22
A 21
A11
A
A11
1
A11
A12
A11
z 22
z
z 21
z
z12
z
z11
z
z
z 22
z12
z 22
1
y11
 y12
y11
 z 21
z 22
1
z 22
y 21
y11
y
y11
1
z11
z12
z11
y
y 22
y12
y 22
z 21
z11
z
z11
 y 21
y 22
z11
z 21
z
z 21
1
z 21
z 22
z 21
y11
y12
y 21 y 22
h21 h22
h12
h
h11
h
k 21 k 22
1
y 22
h22
h
h21
h
 y 22
y 21
1
y 21
h
h21
h11
h21
1
k 21
k 22
k 21
y
y 21
 y11
y 21
h22
h21
1
h21
k11
k 21
k
k 21
z  z11z22  z12 z21
y  y11y 22  y12 y 21
k  k11k 22  k12k 21
A  A11A 22  A12 A 21
2012 F. Dellsperger
k11 k12
A11
A12
A 21 A 22
h  h11h22  h12h21
53
BFH TI
Formelsammlung
9.4
Z:
Y:
H:
G:
A:
Zweitore
Umrechnung von Zweitorparametern in Streumatrizen
(und vice versa)
Impedanzparameter
Admitanzparameter
Hybridparameter
Inverse Hybridparameter
Kettenparameter
X
X   11
 X 21
S: Streuparameter
T: Transmissionsparameter
X12 
X 22 
S ↔ Z:
S11 
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
z '11 
1  S11 1  S22   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
S12 
2z '12
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
z '12 
2S12
1  S11 1  S22   S12S21
S21 
2z '21
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
z '21 
2S21
1  S11 1  S22   S12S21
S22 
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
 z '11  1 z '22  1  z '12 z '21
z '22 
1  S11 1  S22   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
z '11 
z11
Zo
z '12 
z12
Zo
z '21 
z 21
Zo
z '22 
z 22
Zo
S ↔ Y:
S11 
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
y '11 
1  S11 1  S22   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
S12 
2y '12
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
y '12 
2S12
1  S11 1  S22   S12S21
S21 
2y '21
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
y '21 
2S21
1  S11 1  S22   S12S21
S22 
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
1  y '11 1  y '22   y '12 y '21
y '22 
1  S11 1  S22   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
y'11  y11Zo
y'12  y12 Zo
y'21  y21Zo
2012 F. Dellsperger
y'22  y22 Zo
54
BFH TI
Formelsammlung
S ↔ H:
Zweitore
S11 
 h '11  1 h '22  1 h '12 h '21
 h '11  1 h '22  1  h '12 h '21
h '11 
1  S11 1  S22   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
S12 
2h '12
 h '11  1 h '22  1  h '12 h '21
h '12 
2S12
1  S11 1  S22   S12S21
S21 
2h '21
 h '11  1 h '22  1  h '12 h '21
h '21 
2S21
1  S11 1  S22   S12S21
S22 
1  h '11 1  h '22   h '12 h '21
 h '11  1 h '22  1  h '12 h '21
h '22 
1  S22 1  S11   S12S21
1  S11 1  S22   S12S21
h '11 
h11
Zo
h '12  h12
h '21  h 21
h '22  h 22 Zo
S ↔ A:
A
Zo 1  S11 1  S22   S12S21  
1  1  S11 1  S22   S12S21


2S21  Yo 1  S11 1  S22   S12S21 
1  S11 1  S22   S12S21 
S
1  A11  A12 Yo  A 21Zo  A 22

1 
2
2  A11A 22  A12 A 21 


A11  A12 Yo  A 21Zo  A 22 
1  A11  A12 Yo  A 21Zo  A 22
S ↔ T:
T
1 1
S21 S11
S22

S12S21  S11S22 
S
2012 F. Dellsperger
1 T21
T11  1
T11T22  T12T21 

T12

55
BFH TI
9.5
Formelsammlung
Zweitore
Umrechnung der y-Parameter zwischen Emitter-, Kollektorund Basisschaltung
y11e  y11b  y12b  y 21b  y 22b  y11c
y12e    y12b  y 22b     y11c  y12c 
y 21e    y 21b  y 22b     y11c  y 21c 
y 22e  y 22b  y11c  y12c  y 21c  y 22c
y11b  y11e  y12e  y 21e  y 22e  y 22c
y12b    y12e  y 22e     y 21c  y 22c 
y 21b    y 21e  y 22e     y12c  y 22c 
y 22b  y 22e  y11c  y12c  y 21c  y 22c
y11c  y11e  y11b  y12b  y 21b  y 22b
y12c    y11e  y12e     y11b  y 21b 
y 21c    y11e  y 21e     y11b  y12b 
y 22c  y11e  y12e  y 21e  y 22e  y11b
2012 F. Dellsperger
56
BFH TI
9.6
Formelsammlung
Zweitore
Umrechnung der h-Parameter der Emitterschaltung in
h-Parameter der Basis- und Kollektorschaltung
Emitter- nach Basisschaltung:
h11b 
h11e
Ne
h12b 
he  h12e
Ne
h21b 
( he  h21e )
Ne
h22b 
h22e
Ne
Ne  1  h12e  h21e  he
hb 
he
Ne
Approximationen
h21e  1
h12e  1
h11b 
h11e
h21e
h21b 
h21e
 1
h21e  1
h22eh11e  1
h12b 
he  h12e
h21e
h22b 
h22e
h21e
Emitter- nach Kollektorschaltung:
h11c  h11e
h12c  1  h12e
h21c  (1  h21e )
h22c  h22e
hc  Ne  1  h12e  h21e  he
2012 F. Dellsperger
57
BFH TI
Formelsammlung
9.7
Zweitore
Zweitorparameter der wichtigsten Elemente
Z
Zweitor
Y
1
Z
1

Z
Z
nicht definiert
1
Y
1
Y
Y
1
Y
1
Y
1
Z
1
Z

nicht definiert
H
K)
A
Z 1
1 0
0 1
1 Z
1 Z
0 1
0 1
1 Y
Y 1
1 0
1 0
Y 1
C
nicht definiert
C
1
j C
1
jC
1
j C
1
jC
L
nicht definiert
jC  jC
 jC jC

jL
jL
L
jL
jL
L
nicht definiert
C
L
C
1  2LC
jC
1  2LC
jC
1  2LC
jC
1  2LC
jC
1
jL

1  2LC
jL
nicht definiert
0
1
1
1
j C
jC 1
1
1
0
1
j C
0
1
0
1
1 jL
1 jL
0
1
j L
1
1
0
1
1
j L
1
0
1
1
1
j L
jL
1
1  2LC
1
0
0
0
1
1
jC
1  2LC
jC
1  2LC
1
2012 F. Dellsperger
1
1 0
jC 1
1
1
0
nicht definiert
2LC  1
jL
0
j L
1
jL
2LC  1
jL
1
1 jC
1
j L
1  2LC
jL
1
0
nicht definiert
1
j L
1
j C
1
0
1
jL
1  2LC
jC
1
1
1  2LC 0
1
1
0
1
0
jC
1  2LC
1
58
BFH TI
Formelsammlung
Z
Zweitor
Y
Zweitore
H
K
A
Z1
Z1 Z2
Z2
Z2
Z2
Z2
Z1
1
Z1
1
Z1
1
Z1
Z1 Z2
Z1Z2
1
1
Z2
Z2
Z1 Z2
Z2
Z1 Z2
Z1Z2
Z1 Z2
1
Z1
1
Z2
Z1
Z2
Z1
Z2
1
Z2
1
Z2
Z1
Z1
Z1 Z2
Z1Z2
1 Z1Z2
Z2 Z1 Z2
Z1
Z1 Z2
1
Z2
1 Z 1Z
1
2
Z2
Z1
Z1
Z
Z1
Z1 Z2
1
Z1 Z2
1
Z2
1
Z1
Z1 Z2
Z1
1
Z1
1
1
Z2
Z2 Z1 Z2
Z1 Z2
Z2
Z3
Z1 Z2
Z2
Z2
Z3
Z2
P
Z2
Z2
Z2
P
Z3
P
Z2
1
Z3
Z1
Z2
Z3
Z1
Z2
Z2
Z2
Z3
Z2
P
Z2
Z2
Z3
Z2
1
Z2
Z1Z2
K
Z1
K
M
L Z1
Z3
L
Z1
K
M
K Z3
Z3
L
Z2 Z3
L
PZ 4
S
Q
S
N
R
Q
S
N
S
Q
R
P
Z2
Z1
Z2
1
P
Z1 Z2
P
Z2
Z2
1
Z2
Z3
Z2
Z2
Z1
Z3
L Z1
M
Z1Z3 Z1 Z2
Z1Z2
M
Z1Z3
M
K Z3
M
Z2 Z3
Z 2 Z3
1
Z2
Z2
Z3
Z2
Z3
M
Z1Z3
Z1
Q
R
R
Q
PZ 4
Q
PZ 4
R
N
Q
S
Q
Z2
Z1
Z4
Z1
Z3
Z2
R
N
Q
N
Q
N
S
N
K Z1
L Z2
M Z1
N Z1
L
P
Z2
P
Z2
Z3
Z2 Z3
Z3 Z4
1
Z4
1
Z4
Z2
P
K
P
1
Z4
1
Z4
P Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3
Q Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 Z2Z4 P Z2Z4
R Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3 Z2Z4 Z1Z4 Q Z1Z4
S
Z1Z2
2012 F. Dellsperger
Z1Z3
Z2Z3
Z2Z4
Z3 Z4
Q Z3 Z4
59
BFH TI
Formelsammlung
Z
Zweitor
Y
Zweitore
H
K
A
Leitung
Zo
Q = bl
 =0
Zo
Z
bl
bl
Q
Z
jsin 
Zo
cos 
Zo sinh 
cosh 
1
0
j tan 
Zo
1
1
0
cot 
1
jZo
=
o
Q
=
o
l
Stub
kurzgeschl
.
jZo sin 
cosh 
sinh 
Zo
Leitung
Stub
offen
cos 
n:1
Trafo
nicht
definiert
nicht
definiert
0 n
n 0
0
1
n

1
n
n 0
0
0
VCCS
R
i1
g.u1
R
u1
nicht
definiert
CCCS
b .i1
1
n
1
g
0

0 
1
Rg
R

1


0 
nicht
definiert
0
2012 F. Dellsperger
60
BFH TI
9.8
Formelsammlung
Zweitore
Beschalteter Zweitor
Zin
RG
Zout
I1
I2
ZT
U1
vU 
u2
u1
vi 
i2
i1
U2
ZL
Z
Y
H
K
A
z21ZL
z11ZL  z
 y 21ZL
y 22 ZL  1
h21ZL
h11  hZL
k 21ZL
k 22  ZL
ZL
A12  A11ZL
-z21
z22  ZL
y 21
y11  yZL
h21
1  h22 ZL
k 21
k11ZL  k
1
A 21ZL  A 22
H, RL = reell
vp 
P2
P1
Zin 
u1
i1
z11ZL  z
z22  ZL
 z11 
Zout
vu
2
h21 RL
(1  h22RL )(h11  hRL )
Re  Zin 
Re  ZL 
1  y 22 ZL
y11  yZL
h11  hZL
1  h22 ZL
k 22  ZL
k11ZL  k
A11ZL  A12
A 21ZL  A 22
1  y11ZG
y 22  yZG
h11  ZG
h22 ZG  h
k 22  ZG k
1  k11ZG
A 22 ZG  A12
A 21ZG  A11
z12 z21
z22  ZL
z 22 ZG  z
z11  ZG
 z22 
2
z12 z 21
z11  ZG
2012 F. Dellsperger
61
BFH TI
Netzwerke
Transformation von Pi- ↔ T-Schaltungen
Z3
Zb
Z2
Z1
Zc
10.1
Netzwerke
Za
10
Formelsammlung
Pi- oder T-Schaltungen lassen sich leicht von einer Topologie in die andere transformieren.
Sind die Elemente frequenzabhängig, gilt die
Transformation nur für eine Frequenz.
10.1.1
Pi → T
Z1 
Z a Zb
D
Z2 
Za Zc
D
D  Z a  Zb  Z c
D0
Z3 
Zb Z c
D
2012 F. Dellsperger
62
BFH TI
10.1.2
Formelsammlung
Netzwerke
T → Pi
Za 
N
Z3
Zb 
N
Z2
Zc 
N
Z1
N  Z1Z 2  Z 2 Z3  Z1Z3
2012 F. Dellsperger
63
BFH TI
Formelsammlung
10.2
Umwandlung Serie ↔ Parallel
10.2.1
Serie → Parallel
Netzwerke
Rs
Rp
jXp
jXs
1 R  Xs
Rp   s
G
Rs
2
2
R  Xs
1
jXp 
j s
jB
Xs
2
10.2.2
2
Parallel → Serie
Rs
Rp 
1
G
jXp 
Rs 
Rp Xp
2
XpRp
2
2
Rp  Xp
2
jXs
2
Rp  Xp
jXs  j
1
jB
2
2012 F. Dellsperger
64
BFH TI
Formelsammlung
Q
Rs 
Rp
Q2  1
Xs
Rs

Netzwerke
Rp
Xp


Rp  Q2  1 Rs
Xs  RsQ
Xp 
Rp
Q
Für Q > 10:
Rs 
Rp
Q
2
Rp  Q2 Rs
Xs  Xp
Xp  Xs
2012 F. Dellsperger
65
BFH TI
10.3
Formelsammlung
Netzwerke
DÄMPFUNGSGLIEDER
(Pad)
a dB  10 log
P1
 10 logD  20 log S21
P2
für RG  Z1 und RL  Z 2
D
P1
P2
für Z1 nicht gleich Z0 gilt:
Dmin 
10.3.1
FG
H
IJ
K
2Z1
Z Z1
 1 2 1
1
Z2
Z2 Z2
PI-Glieder
PI-Glied
Für unsymmetrische PI-Glieder gelten bei Z1 > Z2 folgende Gleichungen:
R1 
bD  1gZ Z
bD  1g Z  2 DZ
1
2
R2 
2
1
D  1 Z1Z 2
2
D
2012 F. Dellsperger
66
BFH TI
Formelsammlung
R3 
bD  1gZ Z
bD  1g Z  2 DZ
2
Netzwerke
1
1
2
und für Z1 = Z2:
D 1
D 1
R1  R3  Z1
R2 
10.3.2
b g
Z1 D  1
2 D
T-Glieder
T-Glied
Für unsymmetrische T-Glieder gelten bei Z1 > Z2 folgende Gleichungen:
R1 
R2 
R3 
b g
Z1 D  1  2 DZ1Z 2
D 1
2  D  Z1Z 2
D 1
b g
Z 2 D  1  2 DZ1Z 2
D 1
und für Z1 = Z2:
R1  R3  Z1
R2 
D 1
D 1
2Z1 D
D 1
2012 F. Dellsperger
67
BFH TI
10.3.3
Formelsammlung
Netzwerke
Minimum Loss Pad (MLP)
Wenn D
verwendet werden soll, so wird beim T-Glied R = 0 und beim PI-Glied R = ∞.
min
1
3
Minimum Loss Pad
Für Z1 > Z2:
R1  Z1 1 
R2 
Z2
Z
1 2
Z1
F
DG
H
10.3.4
Z2
Z1
I
JK
Z1
Z1

1
Z2
Z2
2
Überbrücktes T-Glied
Überbrücktes T-Glied
R1  R2  Z
e
j
R4  Z D  1
R3 
Z
D 1
2012 F. Dellsperger
68
BFH TI
Formelsammlung
11
IM, DR
Intermodulation
Wenn die Nichtlinearität der Uebertragungsfunktion klein ist, kann die Übertragungsfunktion mit einem
Polynom dargestellt werden:
af
af
af
u2 t  k1u1 t  k 2 u1 t
2
af
 k 3 u1 t
3
af
......k n u1 t
n
IM1.1
Wird der Zweitor mit zwei Signalen der Frequenzen f und f ausgesteuert, so gilt
1
2
u1(t)  A1 cos 1t  A 2 cos 2t
IM1.2
Wenn 1 und 2 nahe beieinander liegen, kann k für beide Signale gleich angenommen werden.
i
Für Gleichung IM1.1 gilt dann
b
g b
g
b
2
u2 (t)  k1 A1 cos 1t  A2 cos  2 t  k 2 A1 cos 1t  A2 cos  2 t  k 3 A1 cos 1t  A2 cos  2 t
g
3
IM1.3
Mit den Beziehungen
1  cos 2
2
cos
3
  3 cos 
cos 3  
4
cos 1   2  cos 1   2
cos 1 cos  2 
2
cos 2  
b
b
g
g
erhält man schliesslich:
b
u2 (t)  k 1 A1 cos  1t  A 2 cos  2 t
g
LM 1 cos 2 t  A 1 cos 2 t  A A cosmb   gtr  cosmb   gtr OP
2
2
N
Q
RL F cos  t  cos  t  cos 3 t I  A F 3 cos  t  cos 3 t I O
 k SMA
K H 4
K PQ
4
4
4
TN H 2
L 3 cos  t  3 cosmb2   gtr  3 cosmb2   gtr OP
A A M
4
4
MN 2
PQ
L 3 cos  t  3 cosmb2   gtr  3 cosmb2   gtr OPU|
A A M
4
4
MN 2
PQV|W
 k 2 A12
3
1
3
2
1
2
2
1
1
1
2
1
3
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
oder aufgegliedert nach Frequenzkomponenten
2012 F. Dellsperger
69
BFH TI
1. Ordnung
Formelsammlung
IM, DR
FG k A  3 k A  3 k A A IJ cos  t
H
K
4
2
FG k A  3 k A  3 k A A IJ cos  t
H
K
4
2
1
1
1
2
3
1
3
2
3
1
3
3
2
3
2
2
1
1
2
2
2. Ordnung
bk A A g cosb   gt
FG 1 k A IJ cos 2 t
H2 K
FG 1 k A IJ cos 2 t
H2 K
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
3. Ordnung
2
FG 3 k A A IJ cosb2   gt
H4
K
FG 3 k A A IJ cosb2   gt
H4
K
FG 1 k A IJ cos 3 t
H4 K
FG 1 k A IJ cos 3 t
H4 K
3
2
1
3
1
3
3
1
3
2
2
1
2
2
1
2
2
1
3
2
Es sind also 11 neue Frequenzen entstanden:
2. Ordnung
f1 + f2
f1 - f2
f2 - f1
2f1
2f2
Mischprodukte, IM 2. Ordnung
Oberwellen
3. Ordnung
2f1 + f2
2f1 - f2
2f2 + f1
2f2 - f1
3f1
3f2
Intermodulation 3. Ordnung
Oberwellen
Bei den Intermodulationsprodukten ist überall k3, d.h. der kubische Anteil der
Übertragungsfunktion, beteiligt.
2012 F. Dellsperger
70
BFH TI
Formelsammlung
IM, DR
Bei den Mischprodukten ist überall k2, d.h. der quadratische Anteil der Übertragungsfunktion,
beteiligt.
Daraus kann geschlossen werden:
Mischer sollten möglichst ideale quadratische
Kennlinien aufweisen.
Verstärker sollten möglichst keine kubischen
Kennlinienanteile aufweisen.
Aus den Gleichungen IM1.5 - 7 können auch die Amplitudenverhältnisse berechnet werden.
Beispiel:
A f1  f2
A 2f1
für A = A
1
2
Auf diese Weise kann auch bewiesen werden, dass die Amplituden der Produkte 2f1-f2, 2f2-f1, 2f1+f2
und 2f2+f1 gleich gross sind.
dB
A
Intermodulationsprodukte 2. und 3. Ordnung
2012 F. Dellsperger
71
BFH TI
Formelsammlung
11.1
IM, DR
Intercept Punkt
Der Intercept-Punkt n-ter Ordnung (IPn) ist
diejenige Leistung, bei der die Nutzsignale die
gleiche Leistung aufweisen, wie die IM-Produkte nter Ordnung.
Dieser Punkt kann nur theoretisch ermittelt werden, weil er bei Leistungen liegt, bei denen der
Zweitor längst in Sättigung betrieben wird.
+60
+40
IP2
1dB
IP3
Sättigungsleistung
1dB-Kompressionspunkt
0
,f2
P f1
IMA3
IMA2
-20
-40
1
1
P
I M3
IM 2
-60
P
Ausgangsleistung in dBm
+20
-80
3
2
-100
-80
1
-60
1
-40
-20
0
+20
+40
+60
Eingangsleistung in dBm
2012 F. Dellsperger
72
BFH TI
Formelsammlung
IM, DR
Für A1 = A2 (Pf1 = Pf2) ist aus den Gleichungen IM1.5 und IM1.7 ersichtlich, dass die
Amplituden der IM2-Produkte mit der Potenz 2 und die IM3-Produkte mit der Potenz 3 der
Amplituden der Nutzsignale verknüpft sind.
Dies bedeutet, dass bei einer Pegeländerung der
Nutzfrequenzen um 1 dB,
die Pegel der IM2-Produkte um 2 dB
und
die Pegel der IM3-Produkte um 3 dB ändern.
Diese Zusammenhänge führen zu den Gleichungen
OIP = P
+ IMA
2
out
2
alle Leistungen in dBm
OIP3  Pout 
IMA 3
2
alle Leistungen in dBm
oder allgemein
OIPn  Pout 
IMA n
n 1
alle Leistungen in dBm
OIPn = Output Intercept Punkt n-ter Ordnung, dBm
Pout = Ausgangsleistung der Nutzsignale, dBm
IMAn = Intermodulationsabstand der Produkte n-ter Ordnung, dB
In vielen Fällen wird der IP auf den Eingang des Zweitors bezogen (Empfänger, Mischer, etc).
2012 F. Dellsperger
73
BFH TI
Formelsammlung
IM, DR
Es gilt
IIP = OIP - v
n
n
IIPn = Input Intercept Punkt n-ter Ordnung, dBm
v = Verstärkung der Zweitors, dB
Analog zu IM1.1.3 gilt
IIPn  Pin 
IMA n
n 1
alle Leistungen in dBm
OIPn 
n  Pout  PIMn
n 1
alle Leistungen in dBm
und auf den Eingang bezogen
IIPn 
n  Pin  PIMn
n 1
alle Leistungen in dBm
2012 F. Dellsperger
74
BFH TI
11.2
Formelsammlung
IM, DR
Intercept Punkt kaskadierter Zweitore
Bei Bezug auf den Ausgang gilt:
2. Ordnung:
POIP2 
1

1
1


POIP2B
 vB  POIP2 A



2
alle Leistungen in mW, Verstärkung als Leistungsverhältnis
POIP2 = Ausgangs Intercept-Punkt 2. Ordnung der kaskadierten Schaltung, mW
POIP2A = Ausgangs Intercept-Punkt 2. Ordnung des 1. Verstärkers, mW
POIP2B = Ausgangs Intercept-Punkt 2. Ordnung des 2. Verstärkers, mW
vB
= Leistungsverstärkung der 2. Stufe, Verhältnis
3. Ordnung:
POIP3 
1
1
1

vB  POIP3 A POIP3B
alle Leistungen in mW, Verstärkung als Leistungsverhältnis
2012 F. Dellsperger
75
BFH TI
Formelsammlung
IM, DR
Bei Bezug auf den Eingang gilt:
2. Ordnung:
PIIP2 
1
 1
vA 



PIIP2B 
 PIIP2 A
2
alle Leistungen in mW, Verstärkung als Leistungsverhältnis
3. Ordnung:
PIIP3 
1
1
PIIP3 A

vA
PIIP3B
alle Leistungen in mW, Verstärkung als Leistungsverhältnis
2012 F. Dellsperger
76
BFH TI
11.3
Formelsammlung
IM, DR
Messignale ungleicher Amplituden
Für die Messung des Intercept-Punktes werden normalerweise zwei Signale gleicher Amplitude
verwendet, wie in den bisherigen Betrachtungen immer angenommen wurde.
Für spezielle Anwendungen wie z.B. Fernsehsender, Breitband Kabelfernsehanlagen, etc. werden
die Signalamplituden der Anwendung angepasst und es werden zwei oder drei Signale
verschiedener Amplituden verwendet.
Diese Signale können in äquivalente Signale gleicher Amplituden umgerechnet werden:
IM 2. Ordnung:
P  Pa  Pb
IM 3. Ordnung:
P  3 Pa  Pb
2
Pa>Pb
oder bei 3 Signalen
P  3 Pa  Pb  Pc
alle Leistungen in mW
2012 F. Dellsperger
77
BFH TI
12
Formelsammlung
IM, DR
Dynamikbereich
Die untere Grenze wird durch das Rauschmass NF bestimmt. Auf den Eingang bezogen ergibt sich
eine Rauschleistung von
PN1 dBm  174 dBm  10 log
B
dB  NF dB
1Hz
Die obere Grenze ist je nach Anwendung erreicht, wenn
a)
Die Intermodulationsprodukte die gleiche Leistung
aufweisen, wie die Rauschleistung
b)
Die Intermodulationsprodukte einen bestimmten,
störenden Wert erreichen, z.B. beim Fernsehen
die Sichtbarkeitsgrenze
c)
Der Zweitor in stark nichtlineares Verhalten
übergeht, z.B. 1dB-Kompressionspunkt
Für die meisten Anwendungen ist die Grenze nach a)
massgebend. In diesem Falle wird der Bereich zwischen
unterer und oberer Grenze "Intermodulationsfreier
Dynamikbereich" DRIM genannt.
Es gilt dann:
DRIM dB  Pmax dBm  PN1 dBm
DRIM
F P IJ
G
HP K
IIP3
2
3
N1
in logarithmischer Darstellung:
DRIM dB 
c
2
IIP3 dBm  PN1 dBm
3
h
oder
Pinmax dBm 
c
1
2  IIP3 dBm  PN1 dBm
3
2012 F. Dellsperger
h
78
BFH TI
13
Formelsammlung
Freiraumausbreitung
Freiraumausbreitung
13.1
Elektromagnetisches Feld
Im Fernfeld einer Antenne (d>4) stehen elektrische und magnetische Komponente des Feldes
senkrecht aufeinander und liegen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Senkrecht auf dieser Ebene ist der „Poyntingsche Vektor“
stellt das Vektorprodukt aus
S in Ausbreitungsrichtung definiert und
E und H dar:
S  Poyntingscher Vektor
E  elektrischer Feldvektor
SE x H
H  magnetischer Feldvektor
S wird auch als Leistungsdichte bezeichnet und stellt die Leistung pro Flächeneinheit dar.
Bei Betrachtung der stationären Welle in der Ebene können die Vektorprodukte als normale Produkte
der Betragsgrössen geschrieben werden:
S  S  E  H  E H
S  Leistungsdichte in
W
m2
E  elektrische Feldstärke in
V
m
H  magnetische Feldstärke in
A
m
In der Praxis wird S verwendet, um Grenzwerte für die Belastung des Menschen im Bereich
strahlender Antennen festzulegen.
Für das Fernfeld ist die Impedanz des freien Raumes, der Feldwellenwiderstand:
ZF 
o
E

 120   
H
o
Aus den Gleichungen 1) und 2) erhält man:
S  E H 
E2
ZF
2012 F. Dellsperger
79
BFH TI
Formelsammlung
Freiraumausbreitung
Verwenden wir als Sendeantenne einen isotropen Kugelstrahler, d.h. eine theoretische, punktförmige
Antenne, die die zugeführte Leistung gleichmässig in den kugelförmigen Raum abstrahlt, so erzeugt
diese Antenne im Abstand d die Leistungsdichte
S
Ps
P
 s2
A 4d
Ps  Sendeleistung
A  Kugeloberfläche
d  Radius
Wird als Antenne nicht ein isotroper Kugelstrahler, sondern eine Antenne, die bezogen auf den
Kugelstrahler den Gewinn Gs aufweist verwendet, so ist die Leistungsdichte
S
Das Produkt
PsGs
4d2
PsGs wird als Equivalent Isotropic Radiated Power EIRP bezeichent.
PsGs  EIRP
In vielen Fällen wird als Referenzantenne der /2-Dipol verwendet. Der Halbwellendipol hat
gegenüber dem isotropen Strahler einen Gewinn von 1.64 (2.14 dB). Bei Bezug des
Antennengewinnes auf den Halbwellendipol wird das Produkt PsGsD als Effectiv Radiated Power ERP
bezeichnet.
PsGsD  ERP
GsD  Antennengewinn bezogen auf Halbwellenstrahler
Wird eine Empfangsantenne in ein elektromagnetisches Feld gestellt, so wird von ihr folgende
Leistung aufgenommen (Empfangssituation):
Pe  S  A e
Pe = Empfangsleistung
A e = Wirkfläche der Empfangsantenne
Ae 
 2Ge
4
 =Wellenlänge
Ge =Gewinn der Empfangsantenne (isotrop)
2012 F. Dellsperger
80
BFH TI
Formelsammlung
Freiraumausbreitung
Aus 5), 8) und 9) erhalten wir die Empfangsleistung zu
PsGs  2Ge PsGsGe  2


2
4d2 4
 4 d2
Pe  S  A e 
13.2
Freiraumdämpfung
Die Freiraumdämpfung (Free Space Loss FSL)
aFSL erhalten wir
2
Ps  4  d


Pe GsGe  2
2
aFSL
mit

c 3  108 m  s1

f
f
aFSL 
 4 

2
d2 f 2
GsGe 3  108

2
Diese Gleichung kann auch als zugeschnittene Grössengleichung in logarithmischer Form
geschrieben werden:
P 
 d 
 f 
aFSL / dB  10log  s   32.45  20log 
 20log 

  10log  Gs   10log  Ge 
 km 
 MHz 
 Pe 
Gs ,Ge bezogen auf isotropen Strahler
2012 F. Dellsperger
81
BFH TI
Formelsammlung
Freiraumausbreitung
Freiraumdämpfung für Gs, Ge = 0dB
f
18 0
10GHz
5GHZ
2GHz
1GHz
500MHz
200MHz
100MHz
50MHz
20MHz
10MHz
17 0
16 0
15 0
Freiraumd ämpfun g (dB)
14 0
13 0
12 0
11 0
10 0
90
80
70
60
50
1
10
10 0
1 10
3
d (km )
2012 F. Dellsperger
82
BFH TI
13.3
Formelsammlung
Freiraumausbreitung
Bestimmung der Feldstärke
Aus den Gleichungen 2), 3) und 5) erhalten wir
E2 
PsGs 2  60 PsGs 30

4d2
d2
E
PsGs 30
EIRP  30
EIRP  5.477 


d
d
d
oder
Bezieht man den Antennengewinn auf den /2-Dipol ( GsD ) so erhält man:
E
PsGsD  1.64  30
ERP  1.64  30
ERP  7.014 


d
d
d
16)
13.4
Bestimmung der Empfangsspannung an einem 50-System
URX  Pe  50 
E
1.64  50
 GeD 
 E    GeD  0.1316

8  60
URX  E    GeD  0.1316
oder mit

c 3  108 m  s1

f
f
URX
E MHz


 GeD  39.48
V
V /m f
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83
BFH TI
Formelsammlung
14
Terrestrische Ausbreitung
Terrestrische Ausbreitung
14.1
Die drei grundsätzlichen Ausbreitungsmechanismen
Reflexion – Diffraktion (Beugung) – Scattering (Streuung)
Für terrestrische Netze im Frequenzbereich von 30 MHz bis 1000 MHz wird eine Ausbreitung
wirksam, die durch Beugung, Reflexion und Streuung geprägt ist. Durch diese Effekte ist eine
Versorgung mit genügender Feldstärke vielfach auch gewährleistet, wenn der direkte Weg zwischen
Sender und Empfänger durch die Topographie abgeschattet ist.
14.1.1
Reflexion
i
o
1 1 1
 2  2 2
t
  Permittivität
  Permeabilität
  Leitwert
Bodenreflexion:
Tx
ELOS
ERX  ELOS  Eo
Rx
Ei
hTX
Eo
i
o
hRX
d
Approximation:
2
h2TxhRx
PRx  PTxGTxGRx
d4
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84
BFH TI
Formelsammlung
14.1.2
Terrestrische Ausbreitung
Diffraktion (Beugung)
Für die Diffraktion wird meistens ein Modell mit Beugung an einer scharfen Kante (Knife-Edge)
verwendet.
Ei
Tx
ELOS
ERX  ELOSF   
Rx
h
d1

ERx
1 j
 ELOS
e
2 
 jt 2
2
d2
dt
mit
h
2  d1  d2 
d1d2
Für Line of Sight Verbindungen LOS (z.B. Mikrowellenlinks) sollte wenigstens die erste FresnelZone frei von Hindernissen sein:
Tx
Rx
R
d1
R
d2
d1d2
d1  d2
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85
BFH TI
Formelsammlung
14.1.3
Terrestrische Ausbreitung
Streuung (Scattering)
Scattering erfolgt an rauen Oberflächen wie Gebäuden, Bäumen, Felsen, etc.
i
Es
Ei
Tx
ELOS
Rx
Der Scattering-Verlustfaktor kann approximiert werden mit
s  e
  cos i  
8




2
   cos    2 
i
Jo  8 
 
 

 

  Oberflächenrauhigkeit
Jo  Bessel Funktion erster Art nullter Ordnung
Es  Eis
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86
BFH TI
14.2
Formelsammlung
Terrestrische Ausbreitung
Freiraum (Free-Space)
Für die Freiraumausbreitung kann nach Gleichung 14) die Feldstärke am Empfangsort bestimmt
werden mit
E
PsGs 30
d2
oder der Feldstärkepegel
Fo in dBu/m
Fo /  dBu / m  10log
14.3
Ps
d
 10logGs  20log
 74.8
W
km
Ebene Erde
Unter Berücksichtigung der Beugung und Reflexion auf der
Approximation
FE /  dBu / m  
Fo
AE  0
Fo  AE
AE  0
ebenen Erde findet man die
mit
AE / dB  20log
h
d
f
h
 20log
 20log s  20log E  87.6
km
MHz
m
m
hs  Höhe der Sendeantenne
hE  Höhe der Empfangsantenne
oder als Streckendämpfung ausgedrückt:
aE / dB 
aFSL / dB
AE  0
aFSL / dB  AE / dB
AE  0
Aus Messungen in verschiedenen Geländen, Topographien und Überbauungen wurden Modelle und
empirische Formeln für die Berechnung der Ausbreitungsdämpfungen entwickelt. Einige Methoden
haben sich als Standard etabliert und sind zum Teil sogar durch CCIR normiert.
2012 F. Dellsperger
87
BFH TI
14.4
Formelsammlung
Terrestrische Ausbreitung
Das Hata-Modell
(M. Hata; Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services, IEEE VT-29, 1980,
S317-325)
Das Hata-Modell basiert auf Messungen in verschiedenen Geländen und das empirisch entwickelte
Modell benützt die Mehrpfadausbreitung als Grundlage. Es ist durch CCIR normiert.
Geltungsbereich:
100 MHz  f  1500 MHz
1 km  d  20 km
30 m  hs  200 m
1 m  hE  10 m
h  
 h 
 f 
 d 
aCCIR / dB  69.55  26.16log 
 13.82log  s   44.9  6.55log  s   log 

  a x hE 
 MHz 
 km 
m 
 m 

 f   hE
 f 
0.7  1.1log  MHz   m  1.56log  MHz   0.8





 
h 
a x  hE   1.1-8.29 log  1.54 E  
m 
 
Mittlere Stadt
2
Grosstadt, f<200 MHz
 
h 
4.97  3.2 log  11.75 E  
m 
 
2
Grosstadt, f>400 MHz
Weitere Gelände:
aCCIR = aCCIR mit ax(hE)=0
2
f / MHz 

asuburb / dB  aCCIR  2  log
 5.4
28 

Vorstadt
2
  f 
 f 
aopen / dB  aCCIR  4.78 log 
 18.33log 

  40.94 Offenes Gelände

 MHz 
  MHz  
2012 F. Dellsperger
88
BFH TI
14.5
Formelsammlung
Terrestrische Ausbreitung
Das London-Modell
Das London-Modell basiert auf experimentell erfassten Messwerten im Stadtgebiet von London.
(Ibrahim + Parson)
Geltungsbereich:
150 MHz  f  1000 MHz
d  10 km
30 m  hs  300 m
0  hE  3 m


hs 

 hE  f / MHz
 f / MHz 
20log  0.7 m   8log  m   40  26log  40 

 









f
/
MHz

100
f
/
MHz

100
d





 
aLon / dB   86log 
  40  14.15log 
 log  103




156
156
km  

 




0.265K  0.37H  0.087U  5.5





K = Überbauung durch Gebäude in % der Landfläche (typisch 3 bis 50)
H = Elevationsdifferenz zwischen Fixstation und Mobil in m (H=0, wenn Rx und Tx in einer Ebene)
U = Prozentualer Anteil der Gebäude mit mehr als 3 Stockwerken (typisch: Stadtzentrum 60 bis 100,
ausserhalb Stadtzentrum 10 bis 40)
14.6
Über Horizont Ausbreitung
In flachem, offenem Gelände kann folgende Approximation verwendet werden:
  d 7  
1  
  
d
 hshE 
  6dhor   
aOH / dB  20log  2 6   10log 

3 
d

 d 10 
 1   d   13  77  hor


 d

 dhor   
dhor  3.571 K
hs ,hE 
d
f
K

hs  hE



f
 100  
 22 
log 
 
2000
 
 f  



K
4
3
Antennenhöhen in m
Distanz zwischen den Antennen in km
Frequenz in MHz
atmosphärischer Refraktionsfaktor
2012 F. Dellsperger
89