Drahtlose Nachrichtenübertragung

4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Modell:
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik
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4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Definitionen:
µn
DFT-Matrix (N × N): F mit den Elementen e−j2π N
Eingangsvektor:
t-Bereich: s = s0
s1
···
f-Bereich: S = F · s = S0
sN−1
T
···
S1
SN−1
Ausgangsvektor:
t-Bereich: y = y0
y1
···
f-Bereich: Y = F · y = Y0
Kanalimpulsantwort: g (t) =
yN−1
Y1
PL
T
···
n=0 cn δ(t
T
YN−1
T
− nt0 )
Vektor-Schreibweise (N × 1):
T
t-Bereich: g = c0 c1 · · · cL 0 . . . 0
T
f-Bereich: G = F · g = G0 G1 · · · GN−1
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4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Definitionen (Fortsetzung):
zyklische Kanalmatrix C (N × N, t-Bereich):
Beispiel mit N = 5 und L = 2


c0 0 0 c2 c1
 c1 c0 0 0 c2 



c
c
c
0
0
C=
2
1
0


 0 c2 c1 c0 0 
0 0 c2 c1 c0
C kann mit Hilfe der DFT-Matrix F diagonalisiert werden:
C = F−1 Λc F, wobei Λc = diag{G}
Eingangs-Ausgangs-Beziehung:
y = Cs = F−1 Λc Fs ⇒ Y = Λc S, d.h., Yµ = Gµ Sµ
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4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Zweck des zyklischen Präfix (CP: cyclic prefix)
CP: (mindestens) die letzten L Elemente eines jeden Blocks (L
ist die Kanalordnung) werden an den Beginn des vorliegenden
Block kopiert
Emfangssignal, nach dem das entsprechende CP-Intervall am
Rx verworfen wurde (Beispiel mit N = 5 und L = 2):

c2 c1 c0 0 0 0
 0 c2 c1 c0 0 0

y=
 0 0 c2 c1 c0 0
 0 0 0 c2 c1 c0
0 0 0 0 c2 c1
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 
s3

s4 
0
 
 
0
 s0 
 
0
 · s1 

0 
s2 
c0 s3 
s4
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4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Zweck des zyklischen Präfix (Forts.)
durch die CP gilt auch

0
0

y=
0
0
0
0 c0 0 0 c2
0 c1 c0 0 0
0 c2 c1 c0 0
0 0 c2 c1 c0
0 0 0 c2 c1
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 
s3


c1 
s4 
 
c2 
 s0 
 
0
 · s1 

0 
s2 
c0 s3 
s4
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4.1 Blockübertragung mit zyklischem Präfix
Zweck des zyklischen Präfix (Forts.)
und damit
  

s0
c0 0 0 c2 c1
c1 c0 0 0 c2  s1 
  

 · s2  = Cs
c
c
c
0
0
y=
  
 2 1 0
 0 c2 c1 c0 0  s3 
s4
0 0 c2 c1 c0
die CP (mit einer Länge ≥ L) stellt sicher, dass
1.) Blöcke untereinander nicht interferieren,
2.) die “echte” (d.h. lineare) Faltung als zyklische Faltung mit der
Periode N erscheint,
3.) im Frequenzbereich gilt Y = Λc S
(Anmerkung: dies ist die Matrix-Vektor-Schreibweise von
Yµ = Gµ Sµ )
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4.2 Blockübertragung mit Zero-Padding
Modell:
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4.2 Blockübertragung mit Zero-Padding
Definitionen:
wie zuvor, nur werden zusätzlich definiert:
Sendevektor nach Zero-Padding
(t-Bereich, Größe (N + L) × 1):
T
s̀ = s0 s1 · · · sN−1 | 0 · · · 0
entsprechender Empfangsvektor (t-Bereich, Größe (N + L) × 1,
nach linearer Faltung mit Kanal-Imp.-antwort):
T
ỳ = y`0 y`1 · · · ỳN−1 | ỳN · · · ỳN+L−1
Bildung des ausgangsseitigen Signalvektors (siehe Bild):
t-Bereich (Größe N × 1): y =
y`0 + ỳN y`1 + ỳN+1 · · · ỳL−1 + ỳN+L−1 | ỳL · · ·
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ỳN−1
T
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4.2 Blockübertragung mit Zero-Padding
Zweck des Zero-Padding:
Emfangssignal ỳ am Kanalausgang: (Bsp. mit N = 5, L = 2):

  
c0 0 0 0 0 0 0
s0
c1 c0 0 0 0 0 0  s1 

  
c2 c1 c0 0 0 0 0  s2 

  

 
ỳ =  0 c2 c1 c0 0 0 0 
 · s3 
 0 0 c2 c1 c0 0 0  s4 

  
 0 0 0 c2 c1 c0 0   0 
0 0 0 0 c2 c1 c0
0
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4.2 Blockübertragung mit Zero-Padding
Zweck des Zero-Padding (Forts.):
y wird durch die Addition der letzten L Elemente von ỳ zu
den ersten L Elementen von ỳ gebildet (“overlap and add”)
   


c2 s3 + c1 s4
s0
c0 0 0 0 0
c1 c0 0 0 0  s1   c2 s4 
   







0
+
s
·
c
c
c
0
0
y=
  2 

 2 1 0

 0 c2 c1 c0 0  s3  
0
s4
0 0 c2 c1 c0
0
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4.2 Blockübertragung mit Zero-Padding
Zweck des Zero-Padding (Forts.):
damit gilt

c0
c1

y=
c2
0
0
wiederum:
  
s0
0 0 c2 c1
 
c0 0 0 c2 
 s1 
 
c1 c0 0 0 
 · s2  = Cs
c2 c1 c0 0  s3 
s4
0 c2 c1 c0
1.) die “echte” (d.h. lineare) Faltung erscheint also wiederum als
zyklische Faltung mit der Periode N
2.) im Frequenzbereich gilt wieder Y = Λc S (bzw. Yµ = Gµ Sµ )
3.) im Unterschied zur Blockübertragung mit CP erhöht sich bei
der ZP-Variante die Rauschleistung der ersten L
Empfangselemente um den Faktor 2
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