Determinantenformel von Vandermonde

Ergänzungen zu Komplexität von Algorithmen (SS 2010)
Beweis der Determinantenformel von Vandermonde
Für komplexe Zahlen α1 , . . . , αk wird mit Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) die Vandermonde-Matrix der Ordnung k


1 α1 α12 . . . α1k−1
1 α2 α2 . . . αk−1 
i
h
2
2 

j−1
= . .
Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) = αi
.. . .
.. 
.
.
. .
1≤i,j≤k
.
.
. 
k−1
2
1 αk αk . . . αk
bezeichnet. Die Formel von Vandermonde besagt:
Y
det Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) =
(αj − αi ).
1≤i<j≤k
Falls die α1 , α2 , . . . , αk nicht paarweise verschieden sind, ist die Behauptung
offensichtlich richtig: beide Seiten verschwinden. Für die linke Siete gilt dies,
da die Matrix Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) dann zwei identische Zeilen hat.
Es ist also nur die Situation interessant, wenn die α1 , α2 , . . . , αk paarweise verschieden sind.
Der Beweis kann per Induktion geführt werden:
• Die Behauptung ist für k = 2 offensichtlich richtig:
1 α1
det V2 (α1 , α2 ) = det
= α2 − α1 .
1 α2
• Die Richtigkeit der Behauptung wird für k angenommen und für k + 1
gezeigt. Für k + 1 ist also zu zeigen:
Y
det Vk+1 (α1 , α2 , . . . , αk , αk+1 ) =
(αj − αi )
1≤i<j≤k+1
=
Y
1≤i<j≤k
(αj − αi ) ·
Y
(αk+1 − αi )
1≤i<k+1
Y
= det Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) ·
(αk+1 − αi ).
1≤i<k+1
Dafür genügt es, zu zeigen, dass
(∗) det Vk+1 (α1 , α2 , . . . , αk , z) = det Vk (α1 , α2 , . . . , αk )·
Y
(z−αi )
1≤i<k+1
gilt, wobei z eine Variable ist. Die ist eine Gleichung zwischen Polynomen
in z !
• Die Gültigkeit von (*) ergibt sich so:
8. Mai 2010
Ergänzungen zu Komplexität von Algorithmen (SS 2010)
– Beide Seiten von (*) stellen Polynome vom Grad k in z dar.
– Die Polynome auf beiden Seiten haben die gleichen k Nullstellen: α1 , α2 , . . . , αk . Auf der rechten Seite ist das klar. Links sieht
man, dass für z = αi (1 ≤ i ≤ k) die Vandermonde-Matrix
Vk (α1 , α2 , . . . , αk , αi ) zwei identische Zeilen hat, ihre Determinante also verschwinden muss.
– Beide Polynome haben zudem mit det Vk (α1 , α2 , . . . , αk ) den gleichen Leitkoeffizienten.
– Folgerung: Die Polynome auf den beiden Seiten von (*) sind identisch.
8. Mai 2010