V12 Stochastische Effekte

Transcription

V12
Stochastische Effekte
19. Januar 2012
Folien von Dr. Tihamer Geyer
Übersicht
=> was sind das?
=> warum wichtig?
=> wie behandeln?
Gillespie-Algorithmus <=> direkte Implementierung
Softwarewerkzeuge WS 11/12 – V12
2
Dichte =
ununterscheidbare Teilchen
Volumen
3
Dichtefluktuationen
N = 10
6
0
N = 100
1.67
6
4
4
2
2
0
0
N = 1000
6
3
6
0
9
0
6
4
4
2
2
0
0
3
6
0
N = 10000
55.6
9
0
0
0
5.56
3
6
0
9
556
3
6
9
4
Poisson-Verteilung
Betrachte Kontinuum w mit im Mittel g Ereignissen pro Einheitsintervall Δw
Annahmen:
i) Seltenheit:
<<1 Ereignisse in [w, w+Δw], höchstens ein Ereignis
ii) Proportionalität: <N> = g Δw
iii) Geschichtslosigkeit (Markov-Prozess)
λk −λ
pk = e
k!
=> Wahrscheinlichkeit, dass k Ereignisse auftreten:
Mittelwert:
!k" = ∑ k pk = λ
Relative Streuung (Fehler):
σ2 = ∑ pk (k − "k#)2 = λ
Varianz:
∆k
σ
1
=
= √
k
!k"
λ
Mittlere Teilchenzahl
100
1000
1 Mol
relative Unsicherheit
10%
3%
1e-12
5
Reaktionen im Teilchenbild
Assoziation:
A
AB
A + B => AB
B
d[AB]
= k [A] [B]
dt
Kontinuierliche Ratengleichung:
Anzahl neuer AB in V während Δt:
∆NAB
d[AB]
V ∆t
dt
NA NB
= kAB
V ∆t
V V
kAB ∆t
=
NA NB
V
= PAB NA NB
=
Reaktionsrate kAB => Reaktionswahrscheinlichkeit PAB
6
Beispiel: Reaktions-Kette
A => B => C
Raten:
dA
= −k1 A
dt
dB
= k1 A − k2 B
dt
dC
= k2 B
dt
Zeitentwicklung aus den kontinuierlichen Raten:
NA, NB, NC / NA0
1.00
0.50
0.00
0
10
time
20
30
k1 = k2 = 0.3
7
Stochastische Simulation
A => B => C
A0 = 1000 Teilchen bei t = 0
t=7
1.00
400
0.50
0.00
A
C
300
frequency
A, B, C / A0
A
B
0
10
time
20
B
C
200
100
30
k1 = k2 = 0.3
0
0.00
0.25
0.50
0.75 1.00
Werte bei t = 7 (1000 Läufe)
=> Fluktuationen
8
Weniger Teilchen => Mehr Rauschen
A0 = 100
1.00
A, B, C / A0
A, B, C / A0
1.00
0.50
0.00
0
10
time
20
0.00
30
0
10
0
10
time
20
30
20
30
1.00
A, B, C / A0
A, B, C / A0
1.00
0.50
0.00
0.50
0
10
20
time
30
0.50
0.00
time
9
Noch weniger Teilchen
A0 = 30
1.00
A, B, C / A0
A, B, C / A0
1.00
0.50
0.00
0
10
time
20
0.00
30
0
10
0
10
time
20
30
20
30
1.00
A, B, C / A0
A, B, C / A0
1.00
0.50
0.00
0.50
0
10
20
time
30
0.50
0.00
time
10
Varianz vs. Teilchenanzahl
Poisson:
√
relative Abweichung ∝ 1/ N
300
A
A0 = 1000
B
200
Fit der Verteilung mit Gaussvert.
(Normalverteilung)
!
"
2
(x− < x >)
√
g(x) = exp −
w/ A0
<A> = 0.13, wA = 0.45
<B> = 0.26, wB = 0.55
<C> = 0.61, wC = 0.45
100
rel. Häufigkeiten
1000 Simulationsläufe,
Werte sichern bei t = 7.
0
0.00
A
300
0.50
B
A0 = 1001.00
C
150
0
0.00
400 A
0.50
B
1.00
A0 = 30
C
200
0
0.00
0.50
1.00
11
Gillespie-Algorithmus
naive Integration
=> shortcomings
2340
Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions
Gillespie
=> Idee an der Tafel
Daniel
=> Parallelen zu
denT. Gillesple
Poisson-Annahmen
Danlel T. Gillespie
Research Department, NaVal Weapons Center, China Lake, California 93555 (Received May 72, 1977)
Publication costs assisted by the Naval Weapons Center
There are two formalisms for mathematically describing the time behavior of a spatially homogeneous chemical
system: The deterministic approach regards the time evolution as a continuous, wholly predictable process
which is governed by a set of coupled, ordinary differential equations (the “reaction-rateequations”);the stochastic
approach regards the time evolution as a kind of random-walk process which is governed by a single differential-difference equation (the “master equation”). Fairly simple kinetic theory arguments show that the
stochastic formulation of chemical kinetics has a firmer physical basis than the deterministic formulation, but
unfortunately the stochastic master equation is often mathematically intractable. There is, however, a way
to make exact numerical calculations within the framework of the stochastic formulation without having to
deal with the master equation directly. It is a relatively simple digital computer algorithm which uses a rigorously
derived Monte Carlo procedure to numerically simulate the time evolution of the given chemical system. Like
the master equation, this “stochastic simulation algorithm” correctly accounts for the inherent fluctuations
and correlations that are necessarily ignored in the deterministic formulation. In addition, unlike most procedures
for numerically solving the deterministic reaction-rate equations, this algorithm never approximates infinitesimal
time increments dt by finite time steps At. The feasibility and utility of the simulation algorithm are demonstrated
by applying it to several well-known model chemical systems, including the Lotka model, the Brusselator, and
the Oregonator.
D. Gillespie, J. Phys. Chem. 81 (1977) 2340–2361
12
Das Problem
Zerfallsreaktion:
A => Ø
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in (t, t+Δt) bei A(t) Molekülen = A(t) k Δt
Naiver Algorithmus:
Es geht, aber:
A = A0
For every timestep:
get random number r ε [0, 1)
if r ≤ A*k*dt:
A = A-1
A(t)*k*dt << 1 — Genauigkeit
=> meistens passiert nichts
Gillespie überlegte sich: "Wann ist das nächste Ereignis?"
13
Exponentiell verteilte Wartezeiten
Idee: wann findet die nächste Reaktion statt?
Mit A(t) Molekülen:
g(A(t), s) = Wahrscheinlichkeit, dass keine Reaktion in (t, t+s) stattfindet
+ Poisson-Annahmen
=> DGL für Verteilung der Wartezeiten:
g(A(t), s) = exp[−A(t) k s] = e−s/s0
mittlere Wartezeit:
s0 =
1
k A(t)
14
Gillespie – Schritt 1
Idee: Finde heraus, wann die nächste Reaktion stattfinden wird!
(Zwischen den diskreten Reaktionen passiert nichts … :-)
Es seien A(t) Moleküle zum Zeitpunkt t im System
f(A(t), s) = W‘keit. dass für A(t) Moleküle die nächste Reaktion im Intervall
(t+s, t+s+ds) stattfindet, mit ds => 0
g(A(t), s) = W‘keit. dass für A(t) Moleküle in (t, t+s) keine Reaktion passiert.
Dann:
f (A(t), s) ds = g(A(t), s) A(t + s) k ds
Keine Reaktion während (t, t+s):
f (A(t), s) ds = g(A(t), s) A(t)
! "#k ds$
W‘keit. für Reaktion in (t+s, t+s+ds)
15
Wahrscheinlichkeit für (keine Reaktion)
Wir brauchen nun g(A(t), s)
Verlängere g(A(t), s) ein wenig:
g(A(t), s + ds) = g(A(t), s) [1 − A(t + s) k ds]
noch etwas A(t+s) = A(t) und sortiere um:
g (A (t) , s + ds) − g (A (t) , s)
dg (A (t) , s)
=
= −A (t) k g (A (t) , s) (1)
ds→0
ds
ds
lim
Mit g(A, 0) = 1 ("keine Reaktion während Zeit = 0")
=> Verteilung der Wartezeiten zwischen diskreten Reaktionsereignissen:
g(A(t), s) = exp[−A(t) k s]
Lebensdauer = mittlere Wartezeit:
s0 =
1
k A(t)
16
Gillespie-Algorithmus: 1 Spezies
g(A(t), s) = exp[−A(t) k s]
Mit r = exp[−A(t) k s]
r ∈ [0,1]
Exponentielle Verteilung der Wartezeiten:
! "
! "
1
1
1
1
s =
ln
=
ln
k A(t)
r
α0
r
1
0
0
life time
t
=> Gillespie-Algorithmus für Reaktion A => Ø:
A = A0
While(A > 0):
get random number r ∈ [0, 1)
t = t + s(r)
A = A-1
keine Abfrage!!!
einfache Sprung
in der Zeit
17
Gillespie- vs. direkte Integration
Naiv:
Gillespie:
"Was ist die Wahrscheinlichkeit,
dass im nächsten Δt ein Ereignis
stattfindet?"
"Wie lange dauert es bis
zum nächsten Ereignis?"
=> kleine feste Zeitschritte
=> variable Zeitschritte
=> Näherung erster Ordnung
=> exakt
30
30
• Gillespie
• Gillespie
• naive
- analytic
20
• naive
- analytic
NA
NA
25
10
20
0
0
1
2
t
3
4
0.00
0.20
t
0.40
18
Gillespie – viele Spezies
Für beliebige Anzahl an möglichen Reaktionen:
(i) Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Reaktion: αi i = 1, …, N
gesamte W‘keit α0 = Σ αi
! "
1
1
s =
ln
(ii) Wartezeit bis zum nächsten beliebigen Ereignis:
α0
r1
j−1
(iii) Wähle eine der Reaktionen aus gemäß:
∑ αi
i=1
α1
0
α2
α 1 α 1+α2
α3
α 1+α2+α3
α4
j
≤ α0 r2 < ∑ αi
i=1
α5
α 1+…+α4
α6
α 1+…+α5
α0
(iv) Update der Teilchenzahlen
19
Ein Beispiel mit zwei Spezies
Reaktionen:
k1
k2
A + A => Ø
A + B => Ø
k3
Ø => A
k4
Ø => B
Ratengleichungen:
dA
= k3 − 2 A2 k1 − A B k2
dt
Ass =
Gleichgewichtszustand:
mit
k1 = 10–3 s–1
!
k3 − k4
2k1
k2 = 10–2 s–1
=> Ass = 10,
dB
= k4 − A B k2
dt
Bss =
k3 = 1.2 s–1
k4
k2 A
k4 = 1 s–1
Bss = 10
20
(a)
(b)
k1
A + A −→ ∅
25A
solution of ODEs
20
number of B molecules
number of A molecules
25
k3
15
∅ −→ A
k
2
+ B −→
∅
solution of ODEs
(2.27)
20
k
4
∅ −→
B.
Gillespie-Algorithmus
(2.28)
15
Erban, Chapman, Maini, arXiv:0704.1908v2 [q-bio.SC]
Let us note that we are not interested in chemical species C and D. Hence, we
10
10 notation of unimportant chemical
replaced
them by ∅, consistent with our previous
species. To simulate the system of chemical reactions (2.27)–(2.28), we perform the
5
5 = n0 , B(0) = m0 at time t = 0):
following
four steps at time t (starting with A(0)
0(a4)
0
Generate two random numbers r1 , r2 uniformly
distributed in (0, 1).
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
(b4) Computetime
the[sec]
propensity functions of each reaction by α
A(t)(A(t)− 1)k1 ,
time
[sec]
1 =
α2 = A(t)B(t)k2 , α3 = k3 and α4 = k4 . Compute α0 = α1 + α2 + α3 + α4 .
Fig.
2.3.
Five realizations
of SSA
Number
of molecules
of chemical
A
(c4) Compute
the time when
the(a4)–(d4).
next chemical
reaction
takes place
as t+species
τ where
(left panel) and B (right panel) are plotted as functions of time as solid lines. Different colours
$
correspond to different realizations. The solution of#(2.33)–(2.34)
is given by the dashed line. We
1
1
−3
−1
−2
−1
−1
−1 .
use A(0) = 0, B(0) = 0, k1 = 10 sec τ, k
=2 = 10ln sec ., k3 = 1.2 sec and k4 = 1 sec (2.29)
α0
r1
(d4) Compute the number of molecules at time t + τ by

A(t) − 2



A(t) − 1
A(t + τ ) =
A(t) + 1



A(t)
if 0 ≤ r2 < α1 /α0 ;
if α1 /α0 ≤ r2 < (α1 + α2 )/α0 ;
if (α1 + α2 )/α0 ≤ r2 < (α1 + α2 + α3 )/α0 ;
if (α1 + α2 + α3 )/α0 ≤ r2 < 1;
(2.30)

B(t)



B(t) − 1
B(t + τ ) =
 B(t)


B(t) + 1
if 0 ≤ r2 < α1 /α0 ;
if α1 /α0 ≤ r2 < (α1 + α2 )/α0 ;
if (α1 + α2 )/α0 ≤ r2 < (α1 + α2 + α3 )/α0 ;
if (α1 + α2 + α3 )/α0 ≤ r2 < 1;
(2.31)
Then continue with step (a4) for time t + τ.
SSA (a4)–(d4) is a direct generalisation of SSA (a3)–(d3). At each time step, we
first ask the question when will the next reaction occur? The answer is given by
formula
Softwarewerkzeuge WS
11/12(2.29)
– V12which can be justified using the same arguments as formulae (2.5) or
(2.10). Then we ask the question which reaction takes place. The probability that
the i-th chemical reaction occurs is given by αi /α0 . The decision which reaction takes
place is given in step (d4) with the help of the second uniformly distributed random
21
Stochastisch vs. Deterministisch
k1
A + A => Ø
k2
12
k4
Ø => A
Ø => B
RADEK ERBAN ET AL.
(a)
(b)
25
20
15
10
5
0
0
25
solution of ODEs
Erban, Chapman, Maini, arXiv:0704.1908v2 [q-bio.SC]
k3
A + B => Ø
20
40
60
time [sec]
80
100
solution of ODEs
20
15
10
5
0
0
20
40
60
time [sec]
80
100
Fig. 2.3. Five realizations of SSA (a4)–(d4). Number of molecules of chemical species A
(left panel) and B (right panel) are plotted as functions of time as solid lines. Different colours
correspond to different realizations. The solution of (2.33)–(2.34) is given by the dashed line. We
use A(0) = 0, B(0) = 0, k1 = 10−3 sec−1 , k2 = 10−2 sec−1 , k3 = 1.2 sec−1 and k4 = 1 sec−1 .
Compute
Softwarewerkzeuge(d4)
WS 11/12
– V12 the number of molecules at time t + τ by

A(t) − 2



A(t) − 1
if 0 ≤ r2 < α1 /α0 ;
if α1 /α0 ≤ r2 < (α1 + α2 )/α0 ;
22
Stationärer Zustand
k1
k2
k3
k4
A + A => Ø
A + B => Ø
Ø => A
Ø => B
k1 = 10–3 s–1
k2 = 10–2 s–1
k3 = 1.2 s–1
k4 = 1 s–1
kontinuierliches Modell:
Ass = 10, Bss = 10
14
RADEK ERBAN ET AL.
(a)
(b)
!3
x 10
30
8
25
0.08
6
20
15
4
10
2
stationary distribution
Erban, Chapman, Maini, arXiv:0704.1908v2
Aus langen Gillespie-Simulationen:
Ass = 9.6, Bss = 12.2
<=>
0.06
0.04
0.02
5
5
10
15
20
25
30
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Fig. 2.4. (a) Stationary distribution φ(n, m) obtained by long time simulation of (a4)–(d4) for
k1 = 10−3 sec−1 , k2 = 10−2 sec−1 , k3 = 1.2 sec−1 and k4 = 1 sec−1 . (b) Stationary distribution of
A obtained by (2.35).
consider that we have a system of q chemical reactions. Let αi (t) be the propensity
function of the i-th reaction, i = 1, 2, . . . , q, at time t, that is, αi (t) dt is the probability
that the i-th reaction occurs in the time interval [t, t + dt). Then the Gillespie SSA
23
Photosynthese ist…
…die Umwandlung von Lichtenergie in chemische Energie
(einer der wichtigsten Prozesse weltweit)
biologischer Überblick
Stochastische SImulation aus einzelnen
Reaktionen
=> Unterschiede zu Gillespie?
=> Reihenfolge von Näherung und Simulation
Vesiweb
P
P
P
A
24
Photosynthese in Rb. sphaeroides
ATPase
ATP
ADP + Pi
0
!
H+
1
3
LH2
0
!
1
E
6
4
NRC x RRC
3
e–H+
2
e–
H+
H+
e–-H+-Paare
5
bc1
e–
5
elektronische
Anregungen
NLH x RLH
Q
2
c2
Lichtenergie
H+
4
2
RC/LH1
7
H+
Protonengradient
Nbc1 x Rbc1
4
chemische
Energie
NATPase x RATPase
"pH
H+
6
7
ATP
ADP + P
25
Chromatophoren-Vesikel
4 nm
7
0
6
H+
3.3 nm
37
nm
H+
4
12
nm
5
2
H+
45 nm
=> einfach:
=> klein:
=> abgeschlossen:
=> praktisch:
4 Proteine + 2 Transporter + H+; Kristallstrukturen u. Reaktionen
<30 Proteine + LHCs; alles Prozesse im Vesikel
definierte Randbedingungen für die Simulation
Anregung mit Licht, spektroskopische Messungen
Geyer, Helms, BPJ 91 (2006) 921 + 927
26
n residues in facilitating this reaction is a subject of intense
st. From H'- the electron transfers to a quinone, labeled
about 100 ps to form P'+HQA'-; the electron then moves
out 100 ps to a second quinone, labeled QB, to form
QAQgC.*The electron-transfer kinetics at room temperature
mmarized in Figure 1, along with the back electron transfer
determined by using RCs with subsequent electron acceptors
removed or reduced. The forward rates are several orders
gnitude faster than theRC:
recombination
ensuring a high
Photonrates,
=> Ladungstrennung
um efficiency of charge separation.
ause the chromophores involved in these reactions are
l, closed-shell molecules in their ground state, the interte states have two characteristics. First, charge is separated
considerable distance, so the states have large electric dipole
nts; second, a radical pair is formed. The large electric dipole
nt makes it possible to manipulate the relative energies of
ntermediates and consequently the reaction dynamics with
al electric fields. The presence of unpaired electrons in the
l pair allows the reaction dynamics to be altered with exmagnetic fields. Because of the wide range of experimental
eoretical tools that have been used to study RCs, much is
n about their structure and function. Therefore, the elecransfer reactions in the photosynthetic RC offer an excepopportunity to test and refine theories of electron transfer
pecific applications to long-distance electron transfer in
ns, to develop new methods to study electron transfer, and
blish which parameters are important for efficient artificial
synthesis.
1AIJ.pdb
he following, we review some details of the properties of
We then focus on three experimental issues that have been
imary concerns of our laboratory: the nature of the lowest
y singlet electronic excited state of P, the identity of the initial
on acceptor, and the energetics of the initial charge separation
Obviously, there Softwarewerkzeuge
are other important
experimental and
WS 11/12 – V12
tical issues which have occupied the attention of other
tories but which will not be discussed in detail; up-to-date
F
Modellierung der Proteine
Boxer et al, JCP 93
(1989) 8280
_.'
I
\
Figure 3. Reaction schemes without (A) and with (B)
13 for energetics).
QA
(see Figure
H+out
summaries can be found in recent monographs.Is
Q
A3
Properties of the Reaction Center.
The
A2 R C is the smallest
isolable unit which performsRCthe initial
charge separation steps
bsQ
of photosynthesis.16 EBy far
the best studied RCs are those isolated
A1
QH2sphaeroides
D2
Rhodobacter
from two species of purple bacteria:
P
and Rhodopseudomonas uiridis. The arrangement of the reactive
components of the RC from Rps.D4uiridis is shown in Figure 1;'
bsc
(1 5) The Photosynthetic
Bacterial
Center-Structure
and DyA4 Reaction
D4
c2ox
c2red
namics; Breton, J., Vermeglio, A,, Eds.; Plenum: New York, 1988. Perspectiues in Photosynthesis; Jortner, J., Pullman, B., Eds.; Elsevier Press:
Amsterdam, 1989.
27
(16) Feher, G.;Okamura, M. Y . In The Photosynthetic Bacteria; Clayton,
R. K.,Sistrom, W. R., Eds.; Plenum Press: New York, 1978; pp 349-386.
Stochastische Reaktionen
Wenn BS frei ist => Assoziation möglich: BS + X => BS:X
1) sind alle Bedingungen erfüllt?
2) chemische Reaktionskinetik:
d[BS:X]
= kon [BS] [X]
dt
Reaktionsrate:
Bindungs-W.keit pro BS:
Pon = kon [X] ∆t
H+out
A3
A2
RC
bsQ
E
A1
D2
P
D4
bsc
c2red
Q
A4
D4
QH2
for each timestep Δt:
for each reaction:
conditions fulfilled?
determine probability:
perform reaction
c2ox
Geyer, Lauck, Helms, J Biotech 129 (2007) 212
28
Bsp: Elektronentransfer im RC
// R1: transfers an electron to the Quinone
//
using the energy from an exciton
{
if (bs_Q && (e_P == 1) && (e_Q == 0) &&
((He_Q == 0) || (He_Q == 1)))
{
if (LHPoolp->take_out(LH_kon))
{
e_P = 0;
e_Q = 1;
Bedingungen?
Wahrscheinlichkeit?
Reaktion!
writeInternals();
H+out
}
}
A3
}
A2
RC
bsQ
E
A1
D2
P
QH2
D4
Protein = {BS; Reaktionen(Zustand)}
Q
bsc
c2red
A4
D4
c2ox
29
"Pools-and-Proteins"–Modell
H+ outside
Light
ADP + P
QH2
LHC
E
RC
Q
bc1
ΔΦ
ATPase
ATP
titratable
groups
c2red
c2ox
40 aktive Proteine
• unabhängig voneinander
• stochastische Reaktionen mit je 1 Molekül
• Anzahl wie auf dem Vesikel
H+ inside
19 passive Pools
• ein Pool pro Metabolit
• hier: Diffusion ist schnell
Verbindungen definieren das biologische System
=> Pfade als "emergent behavior"
30
Web Interface
Simulationen über Konfigurationsdatei oder
web-interface @ service.bioinformatik.uni-saarland.de/vesiweb
• Verstehen der Prozesse
• Modell-Verifikation + Parametrisierung gegen Experimente
[Florian Lauck. T.G., 2006]
31
Oxidationszustand des Cytochrom c-Pools bei kontinuierlicher Beleuchtung
H+
Light
Q
20 (LHC/RC)
5 (bc1)2
1 ATPase
QH2
10 c2 ox
H+
10 c2 red
4.4 W/m2 const.
32
Steady State <=> Fluktuationen
60 Sek. bei konstanter Beleuchtung mit 10 RC/LHC-Dimeren und 4 bc1-Dimeren
=> Oxidationszustand des Cytochrom c-Pools
20
3 W/m2
8 W/m2
<#c2ox>
15
10
5
0
0
3
6
I [W/m2]
9
12
5.5 W/m2
4.5 W/m2
6.5 W/m2
=> weicher Übergang mit starken Fluktuationen
33
Deterministisch vs. Stochastisch
20
20
t=1s
t=3s
10
15
<#c2ox>
# c2ox
15
t=0.3s
5
5
0
10
0
0
3
6
9
I [W/m2]
Gleichungen mitteln, dann simulieren <=>
0
3
6
I [W/m2]
9
12
Simulieren, dann Ergebnisse mitteln
scharfer Übergang
<=>
weicher Übergang auch
für lange Zeiten
nur numerische Unsicherheiten
<=>
Fluktuationen ≈ Signal
Reproduzierbare Werte
<=>
nur Mittelwert reproduzierbar
34
Vesimulus: Warum nicht Gillespie?
Gillespie:
Pools-and-Proteins:
hohe Anzahl von Spezies/Zuständen
=> Komplexität!
Belegung unabhängiger Bindungsstellen
=> Zustände als Filter
Jeweils eine Reaktion
Mehrere Reaktionen pro Zeitschritt
Numerisch effizient, exakt
Natürliche Modellierung
Viele unabhängige Proteine
Mittelung
Gemittelte Proteine
Simulation
gemittelte Belegungszahlen
Simulation
?=
Belegungszahlen pro Protein
Mittelung
gemittelte Belegungszahlen
35
Zusammenfassung
Stochastische Effekte sind oft wichtig — wann?
Modellierung I: Gillespie
• numerisch effizient
• numerisch exakt
• biochemische Prozesse
=> stochastische Integration kontinuierlicher Ratengleichungen
Modellierung II: Pools-and-Proteins
• direkte Modellierung individueller Proteine
• Netzwerktopologie bleibt erhalten (auf allen Ebenen)
=> mikroskopisches Verhalten jedes einzelnen Proteins
36

V12 Stochastische Effekte

Transcription

Similar documents

Siliziumbasierte Biosensoren als integraler Bestandteil

TU München, Lehrstuhl E23 Walther-Meißner

Die Sprengstoffe - Freiherr-vom-Stein

Vorlesung # 5 präsynaptische Mechanismen