Ultraschall - Eine Einführung

Ultraschall – Eine Einführung
Eigenschaften, Herstellung, Anwendungen
Schallwelle
Die Schallwelle ist eine mechanische Periodizität in Raum
und Zeit
λ oder T
x oder t
Druck
∆p
Zeit
Druckeinheiten
Einheit des Schalldrucks: bar
1 bar = 105 Pa(scal)
Luftdruck auf Meereshöhe im Durchschnitt: 101325 Pa
= 101,3 kPa
= 1013 mbar
  t x 
∆p (t , x) = ∆pmax sin 2π  − 
  T λ 
Amplitude
Phase
Längswellen (Longitudinalwellen)
• Druckschwankungen gegenüber dem Normaldruck
(Verdichtungen und Verdünnungen laufen über Trägermedium
• Schwingungsrichtung der einzelnen Oszillatoren ist parallel zur
Ausbreitungsrichtung der Welle
ptotal = ∆p+ phydrostat
Schalldruck = Gesamtdruck – hydrostatischer Druck
2
F
kg
 F  N m ⋅ kg / s
{p} =   = 2 =
=
= Pa (Pascal )
p=
2
2
m
m⋅s
 A m
A
Querwellen (Transversalwellen)
• Wellenberge und Wellentäler laufen über das Trägermedium
• Schwingungsrichtung der einzelnen Oszillatoren ist senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung der Welle
• Mechanische Transversalwellen entstehen nur, wenn elastische
Querkräfte wirksam sind.
• Mechanische Longitudinalwellen entstehen, wenn elastische
Längskräfte wirken.
• In Festkörpern können sich Transversal- und Longitudinalwellen ausbreiten.
• Im Innern von Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Longitudinalwellen
ausbreiten.
Frequenzbereich von Schallwellen
1.
2.
3.
4.
0 - 20 Hz
20 Hz - 20 kHz
20 kHz - 1 GHz
1 GHz - 10 THz
Infraschall
Hörschall
Ultraschall
Hyperschall
Mechanische Longitudinalwellen entstehen, wenn
elastische Längskräfte wirken
Konsequenzen:
Je größer die elastischen Kräfte, desto größer die Geschwindigkeit
Festkörper > Flüssigkeiten > Gase
Schallgeschwindigkeit in Medien
Trockene Luft
Lunge
Fett
Gallenstein
Wasser
Glaskörper
Kammerwasser
Knochen
Blut
Glas Stahl
Αugenlinse
Leber
Muskel
Knorpel
Sehne
Die Rolle des Mediums
− ∆V / V
κ=
∆p
c=
1
ρκ
Kompressibilität
relative Volumenänderung pro Druck
Schallgeschwindigkeit
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
z.B.:
λ = c / f in Luft: cUS = cSchall
cSchall, Luft ~ 330 m/s ~ 1200 km/h = 1 Mach
λ=
330[m / s ]
= 0,0165[m ] = 1,65[cm ] für f = 20 kHz
20000[1 / s ]
Schallschnelle
Schallschnelle v
• mit welcher Wechselgeschwindigkeit die Luftteilchen
(Partikel des Schallübertragungsmediums) um ihre
Ruhelage schwingen.
• Momentangeschwindigkeit eines schwingenden Teilchens
p ∆pmax
Z= =
v
v max
Akustische Impedanz
ρ
Z = c⋅ρ =
κ
c: Schallgeschwindigkeit
ρ: Dichte
κ: Kompressibilität
(Widerstand, Stärke)
U
Z elektr. =
I
Eigenschaften verschiedener Medien
c
Geschwindigkeit
ρ
Dichte
Z
Akust. Impedanz
a/(x⋅f)
Spez. Dämpfung
[m/s]
[g/cm3]
[g/(cm2⋅s)]
[dB/(cm⋅
dB/(cm⋅MHz)]
MHz)]
Luft
331
0,0013
43
1,2
Fett
1470
0,925
1,42⋅
1,42⋅105
0,63
Wasser, 20°
20°C
1492
0,998
1,49⋅
1,49⋅105
0,0022
Wasser, 36°
36°C
1530
0,994
1,53⋅
1,53⋅105
Gehirn
1530
1,025
1,56⋅
1,56⋅105
0,85
Weiche Gewebe
1540
1,06
1,63⋅
1,63⋅105
0,3 – 1,7
Leber
~1560
1,06
1,65⋅
1,65⋅105
0,94
Nieren
1560
1,04
1,62⋅
1,62⋅105
1,0
Muskel
1568
~1,05
1,63⋅
1,63⋅105
1,3 – 3,3
Blut
1570
1,06
~ 1,66⋅
1,66⋅105
0,18
Knochen, massive
3600
1,7
6,12⋅
6,12⋅105
20,0
Substanz
6,5⋅
6,5⋅105
USUS-Kopplungsgel
Quarz
5736
2,65
15,2⋅
15,2⋅105
Wellencharakteristik des Ultraschalls
Brechung
Streuung
Reflexion
Interferenz
Streuung (Rayleigh-Streuung)
Die gestreute Fraktion des einfallenden Schalls steigt, je
kleiner die streuende Struktur im Vergleich zur
Wellenlänge des Schalls
Streuung steigt mit der 4. Potenz der Frequenz des
ausgesandten Schalls
Streuung
Geometrischer Bereich:
Stochastischer Bereich:
Rayleigh-Bereich:
a >> λ
a~λ
a << λ
a: Durchmesser des Streuzentrums
λ: Wellenlänge
Im geometrischen Bereich: Streuung schwach
(z.B. in Gefäßen)
Im stochastischen Bereich: Streuung mittelstark
(z.B. in der Leber)
Im Rayleigh-Bereich: Streuung stark
(z.B. im Blut)
Streuung im Rayleigh-Bereich
1.5
Vorwärts- und Rückstreuung
1.0
0.5
einfallendes Licht
Streulicht
ϑ
0.0
-2
-1
0
1
2
-0.5
-1.0
-1.5
(1 + cos θ ) = (1 + cos θ )v
≈
2
o
iθ
2
λ4
λ: Wellenlänge
ν: Frequenz
θ: Streuwinkel
4
Brechung
Für Licht- und andere
elektromagnetischen Wellen:
Brechung tritt infolge unterschiedlicher
Ausbreitungsgeschwindigkeiten der zwei
Grenzmedien auf.
Reflexionswinkel
Einfallswinkel
Einfallende
Welle
reflektierte
Welle
α
Medium 1
Medium 2
β
Für Schall-/Ultraschallwellen:
cSchall ~ ρMedium
Ist ρ1 von Medium 1 größer als ρ2 von
Medium 2, dann ist c1 und α größer als c2
und β.
n≈
Brechungswinkel
gebrochene
Welle
sin α einf.
c1
=
c2 sin β brech.
Lot
1
cLicht
Schallintensität
Schallintensität I
• Schallenergie, die pro Zeiteinheit eine Flächeneinheit durchdringt
• Schall ist eine mechanische Welle • Schallwelle leistet mechanische Arbeit W = F — s
∆W / ∆t ∆ (F ⋅ s ) / ∆t ∆F ⋅ ∆s / ∆t
I=
=
=
A
A
A
I=
∆F ⋅ ∆s / ∆t ∆F ∆s
=
⋅
= ∆p ⋅ v = Schalldruck — Schallschnelle
A
A ∆t
{I } = W2
m
Reflexion
Reflexionsvermögen
I reflektiert
R=
I einfallende
 Z1 − Z 2 

= 
 Z1 + Z 2 
2
I reflektiert  ρ1c1 − ρ 2c2 

R=
= 
I einfallende  ρ1c1 + ρ 2c2 
Totale Reflexion
Z1 << Z 2 , R ≈ 1
Kopplungsgel
vermindert den Impedanzunterschied zwischen Luft und Haut
Reflexion ist der wichtigste Effekt für die Diagnostik
2
Absorption
Dämpfung liegt vor, wenn das
Ausgangssignal kleiner als das
Eingangssignal ist.
I
I
0
I= I e
α = 10 ⋅ lg
-µ x
0
I0
[dB ]
I
α = 10 ⋅ µ ⋅ x ⋅ lg e [dB ]
µ proportional zur Frequenz
I /2
I /e
0
0
D 1/µ
DLuft 1 cm
DMuskel 2 cm
bei 10 MHz
DKnochen ~ mm
DWasser ~ m
x
α
Spezifische Dämpfung:
x⋅ f
Für weiches Gewebe: ~1dB/(cm.MHz)
Arbeitsfrequenz vs. Eindringtiefe
Frequenz f in
Mhz
1
2–3,5
3,5
5
7,5
8–9
10
11–12
7,5–15
20
21–24
40
Eindringtiefe in Untersuchungsgebiet
cm
50
25–15
Fetus, Leber, Herz,
Veterinärmedizin (Großtiere)
15
Niere, Veterinärmedizin (große
Hunde)
10
Gehirn, Veterinärmedizin
(mittelgroße Hunde)
7
Veterinärmedizin (kleine Hunde,
Katzen)
6
Prostata (endoskopisch)
5
4–3
Pankreas (intraoperativ)
7–2
Brustdiagnostik
1,2
1,1–0,9
Auge, Haut
0,6
Haut, Gefäße
Räumliche Auflösung
Axiale Auflösung in Richtung der Schallausbreitung
Laterale Auflösung senkrecht zur Schallausbreitung
Erzeugung des Ultraschalls: Piezoelektrizität
Piezoelektrischer Effekt
Direkter Piezoeffekt*: Bei bestimmten
Materialien (zumeist Kristalle) führen
elektrische Ladungen zu einer Verformung
ihrer Oberfläche.
Inverser Piezoeffekt: Umgekehrt verformen
sich diese bei Anlegen einer elektrischen
Spannung
* Durch mechanischen Druck verlagert
sich der positive (Q+) und negative
Ladungsschwerpunkt (Q–).
Dadurch entsteht ein Dipol / eine el.
Spannung am Element
Umgekehrter piezoelektrischer Effekt
Im Frequenzbereich
des Ultraschalls
U~
In der Diagnostik: Impulsbetrieb
Mit entsprechenden akustischen
Impedanzen, tritt der Ultraschall in
diese Richtung aus
Mit demselben Kristall wird der
Ultraschall erzeugt und während der
Sendepause wird der reflektierte Strahl
beobachtet.
Absorption der Schallenergie
Mechanische und/oder Wärmewirkung
Kleinere Intensität:
Mikromassage
Dispergierung
Herstellung von Suspensionen und Emulsionen
Größere Intensität
zerstört Gewebe, Moleküle; entstehen freie Radikale, DNS-Brechungen
Hyperthermie
künstlich erzeugte Temperaturerhöhung zu Therapiezwecken
Kavitation
Bildung und Auflösung von Hohlräumen in Flüssigkeiten durch
Druckschwankungen.
Druckschwankungen Vernichtung führt zu Wärmeabgabe in die
Umgebung oder zu mechanischen Zerstörungen
Zahnsteinentfernung
direkte Übertragung der Schwingungsenergie
Bestimmung des Abstandes durch Reflexion
Radarprinzip
Bestimmung eines Abstandes zwischen einem Sender und
einem Reflektor ist möglich, wenn:
• die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signalträgers in dem gegebenen
Medium bekannt ist
• die Zeitspanne zwischen Aussendung und Ankommen des reflektierten
Signals bekannt ist
• Beobachtung des Signals mit Oszilloskop (US-Monitor)
• Signalauswertung geschieht über Softwareprogramm
Amplitudenbild: A-Mode
A-Mode (amplitude modulation)
• Erste angewandte Darstellungsform
• Von der Sonde empfangenes Echo
wird in einem x,y-Diagramm dargestellt:
x-Achse: Eindringtiefe; y-Achse: Echostärke
• Je höher der Ausschlag der Messkurve,
desto echogener das Gewebe in der angegebenen Tiefe
• Zeitabhängige Verstärkung der Signalamplitude durch Auswerteelektronik
time gain compensation: Größere Laufzeit der Wellen aus tieferen Schichten wegen
Absorption führt zu sehr geringer Signalamplitude
• A-Mode hat heute an Bedeutung verloren
Helligkeitsbild: B-Mode
B-Mode (brightness modulation)
• Darstellung der Information des
Amplitudenbildes (A-Mode)
• Echointensität wird in eine Helligkeit
umgesetzt
• Durch mechanisches Bewegen der Sonde überstreicht der Messstrahl
eine Fläche in einer Ebene senkrecht zur Körperoberfläche
• Die Amplitude eines Echos ist ein Maß für den Grauwert eines
Bildpunktes auf dem Bildschirm
TM-Mode
M- oder TM-Mode (time motion):
• Strahl hoher Impulswiederholungsfrequenz
(1-5 kHz)
• Amplitude wird auf vertikaler Achse dargestellt
• Von hintereinander liegenden Impulsen
erzeugte Echozüge auf horizontaler
Achse gegeneinander verschoben (Zeitachse)
• Bewegungen des Gewebes haben Unterschiede in den einzelnen
Impulsechos zur Folge (1-D Darstellung der Bewegungsabläufe von Organen)
• TM-Darstellung häufig mit B- bzw. 2D-Mode gekoppelt
• Zeitliche Auflösung bestimmt durch max. Wiederholrate der Schallimpulse
(bei 20 cm Tiefe über 3 kHz)
2-D-Echtzeit-Mode
2-D-Echtzeitmodus (2D-realtime)
• Häufigste Anwendung
• 2-D Schnittbild des untersuchten Gewebes
durch automatische Verschwenkung des Strahls
und Synchronisierung der B-Mode in Echtzeit
• Schnittbild wird aus einzelnen Linien zusammengesetzt
Für jede Linie wird ein Strahl ausgesendet und empfangen
• Die Form des erzeugten Bildes hängt vom eingesetzten Sondentyp ab
• Kann mit M-Mode oder Dopplersonografie gekoppelt werden
• Je nach Eindringtiefe und Sondentyp: einige wenige bis >100 2-D Bilder/s
Sondentypen
Längsschnitt durch Leber und rechte Niere
LinearLinear-ArrayArray-Schallkopf:
Sequentielle Anregung einer 44-Elementgruppe (Querbalken), deren
Echos als helligkeitsmodulierte Bildpunkte auf zugehö
zugehöriger Bildlinie
(Senkrechtbalken) dargestellt werden. Information der dazwischen
liegenden, gestrichelten Bildlinien wird durch 2. sequentiellen
Anregungsdurchlauf mit einer 55-Elementgruppe gewonnen.
CurvedCurved-ArrayArray-Schallkopf:
Schallkopf:
Sequentielle Anregung wie beim LinearLinear-ArrayArray-Schallkopf mit geradgeradund ungeradzahliger Elementgruppe.
RotorRotor-Schallkopf:
Jeder der drei Einzelkristalle erstellt wä
während seines Durchlaufs am
Schallfenster ein sektorfö
sektorförmiges Ultraschallbild. Ohne digitale
Bildverarbeitung wird die divergierende Bildlinienstruktur bei
sektorfö
sektorförmiger Bilderstellung augenscheinlich.
WobblerWobbler-Schallkopf:
Schallkopf:
Durch HinHin- und Herkippen des Kristalls wird ein sektorfö
sektorförmiger
Körperausschnitt erfasst.
Doppler-Mode
pw: ortsselektive Geschwindigkeitsmessung
im konventionellen B-Mode
Die Aussagekraft der Sonographie kann
erheblich durch die Anwendung des
Doppler-Effekts erhöht werden.
Man unterscheidet:
• 1-D Verfahren
(pw: pulsed wave, cw: continuous wave, D-Mode)
• 2-D, farbkodierte Anwendungen
(Farbdoppler, F-Mode)
• Kombination B-Bild mit Doppler-Bild
(Duplex-Bild)
cw: Sender und Empfänger arbeiten
gleichzeitig und kontinuierlich
Doppler-Effekt
Die beobachtete Frequenz einer Schallquelle hängt davon ab,
ob die Quelle sich dem Beobachtungspunkt nähert oder sich von
ihm entfernt.
M´
M
größere
Frequenz
kleinere
Frequenz
cT=λ
ν=c/λ
Doppler-Effekt
(a) Stehende Quelle, sich bewegende Struktur
+: die Struktur bewegt sich zur Quelle hin
–: die Struktur entfernt sich von der Quelle
(b) Bewegende Reflektoren
(z.B. Blutkörperchen)
 vS 
f ' = f 1 ± 
c 

 2v R 
f ' = f 1 ±

c 

Doppler-Effekt
Durch Interferenz von den bestrahlten und reflektierten
Frequenzen entsteht die erzeugte Differenzfrequenz
vi
∆f = fD = ± f
c
vR
∆f = fD = ±2
f
c
Farbdoppler-Sonographie
Kodierung entsprechend der Frequenzverschiebung
Rot: größere Frequenz
Blau: kleinere Frequenz
3-D Pränataldiagnostik / 3-D CT-Sonographie
Extrakorporale Stoßwellen-Lithotrypsie
• Zertrümmern von Nieren-, Gallensteinen durch Druckimpulse
• Kein Ultraschall, sondern fokussierter Schallimpuls
• Stoßwellen werden durch Funkenentladungen unter
Wasser erzeugt
• Anschließend durch einen „Stoßwellen-Spiegel“ in einem
Brennpunkt fokussiert.
• Die Funken sind für Menschen ungefährlich, weil sie mit dem
Körper nicht in Berührung kommen.
• Der Fokus oder Brennpunkt wird mittels Röntgen- oder
Ultraschallortung bestimmt.
Extrakorporale Stoßwellen-Lithotrypsie
Ultraschall in Matlab
Eine Bildsequenz kann in einer 3-D Datenreihe (Array) von Bildern
gespeichert werden
Beispiel:
mydata = aviread(‘mymovie.avi’);
for i=1:nFrames
I(:,:,i) = frame2im(mydata(i));
end
Funktionen wie z.B. “mean” und “median” können entlang einer
ausgewählten Dimension vollzogen werden
Imean = mean(I,3); Mittelwert entlang der 3. Dimension
Reflexionsultraschall
Für die meisten med. Ultraschallbilder
werden Reflexionssignale verwendet.
Echo weist auf die Präsenz einer
Gewebsschicht hin
Flugzeit indiziert die Tiefe
Im A-Mode: einzelner Transducer scannt in
einer Linie entlang des Körpers
Im B-Mode: lineares Array von Transducern
scannt eine Ebene (Schicht)
Transmissionsultraschall
Einige Systeme verwenden die Transmission:
Das empfangene Signal gibt das Integral vom
Brechungsindex n(x,y) entlang des Strahls an
∫ [1 − n( x, y)] ds = L − V T
ray
w d
Typische Applikation:
sonographische Bildgebung der Brust
Konventionelle Röntgen-CT
Urspünglich eine einfache Methode bei der eine Röntgenröhre und
ein Film während der Bestrahlung bewegt wurden.
Das resultierende Bild ist auf der Ebene der spezifischen Tiefe
innerhalb des Körpers fokussiert
Unscharfe Details befinden sich auf anderen Tiefen
Moving
source
Focal
plane
Moving
film
Moderner CT-Scanner
Patient wird durch den Scanner transportiert
Bilder entstehen für eine Schicht pro Zeiteinheit
Bewegte
Röntgenröhre
patient
Detektorring
Axiale Tomographie
g(ρ,θ)
ρ
g(ρ,θ=90°)
Lineares
Detektorarray
g(ρ,θ=135°)
θ
g(ρ,θ=0°)
Quelle und Detektoren
rotieren um das Objekt
Parallele
Röntgenstrahlen
Radon-Transformation
Johann Radon,
Radon österreichischer Mathematiker (1917): “Über die Bestimmung von Funktionen durch
ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten”
Bei der Radon-Transformation integriert man über alle Linien mit
variierendem Winkel und Verschiebung
∞ ∞
g
(
ρ
,
θ
)
=
Projektionsvorgang:
∫−∞ ∫−∞ f ( x, y ) δ [x cosθ + y sin θ − ρ ] dx dy
f(x,y)
g(ρ,θ)
Radon-Transformation
Radon-Transformation in Matlab
[R,xp] = radon (I,theta)
I: Bild
Theta: verwendeter Winkelset
R: Radon-Transformierte
(Die Reihen sind die Radon-Transformierten für jeden Winkel)
xp: korrespondierende Koordinaten entlang der ρ-Achse
Beispiel: Viereck
Plot R bei 0° und 45°
R als Bild
I = zeros(400,400);
I(150:250, 150:250) = 1.0;
theta = 0:1:180;
[R,xp] = radon(I,theta);
imagesc(theta, xp, R);
Radon-Transformation in Matlab
Originalbild
starker Peak bei θ = 1°, xp = -80
-100
90
80
70
-50
60
50
0
40
30
50
20
100
10
0
20
40
60
80
100
θ (degrees)
Flankenerkennung
(Edge detection)
120
140
160
Inverse Radon-Transformation
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
g(ρ,θ)
f(x,y)
back projection Algorithmus
π
f ( x, y ) = ∫ g [x cos θ + y sin θ , θ ] dθ
0
Ergebnis der Rekonstruktion
Die einfache back projection resultiert in einer signifikanten Anzahl
von Unschärfen
Originalbilder
Rekonstruierte Bilder mit 0,5° Winkelinkrement
Gefilterte back projection
Die 1-D Fourier-Transformierte von g(ρ,θ) bezüglich r ist
∞
G (ω , θ ) = ∫ g ( ρ , θ ) e − j 2πωρ dρ
−∞
Die Projektion von f(x,y) ist gegeben durch
g ( ρ ,θ ) = ∫
∞
∫
∞
−∞ −∞
f ( x, y ) δ [x cos θ + y sin θ − ρ ] dx dy
Substitution für g(ρ,θ) ergibt
G (ω, θ ) = ∫
∞
∞
∫ ∫
∞
−∞ −∞ −∞
=∫
∞
∫
∞
−∞ −∞
f ( x, y ) δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) e − j 2πωρ dx dy dρ
∞

f ( x, y ) ∫ δ ( x cos θ + y sin θ − ρ ) e − j 2πωρ dρ  dx dy
 −∞

∞ ∞

= ∫ ∫ f ( x, y ) e − j 2πω ( ux +vy ) dx dy 
 −∞ −∞
 u =ω cosθ , v =ω sin θ
Fourier Slice Theorem
Gegeben
Somit ist
Die 1-D FourierTransformierte der
Projektion g ist gleich
einer radialen Schicht
durch die 2-D FourierTransformierte of f(x,y)
∞ ∞

G (ω , θ ) = ∫ ∫ f ( x, y ) e − j 2πω ( ux + vy ) dx dy 
 −∞ −∞
 u =ω cosθ , v =ω sin θ
G ( ρ , θ ) = [F (u, v )]u =ω cosθ , v =ω sinθ
= F (ω cos θ , ω sin θ )
Fourier Slice Theorem
g(ρ,θ)
Die Fourier-Transformierte der Funktion ergibt
die Werte von F(u,v) entlang der gestrichelten
Linie in der (u,v) Ebene
y
ρ
F(u,v)
v
r
f(x,y)
w
θ
x
u
• 1-D Fourier-Transformierte der Projektionen
ergibt F(ω,θ)
• Anordnung von F(ω,θ) auf einem
rechteckigen Gitter ergibt F(u,v)
• Inverse Fouriertransformierte ergibt f(x,y)
Back projection - Rekonstruktion
Die inverse Fourier-Transformierte von F(u,v) ist
f ( x, y ) = ∫
2π
0
0
2π
∫
∞
−∞
0
F (ω cos θ , ω sin θ ) e j 2πω ( x cosθ + y sinθ ) ω dω dθ
Unter Verwendung des Fourier Slice Theorems ergibt sich
f ( x, y ) = ∫
2π
∫
∞
−∞
0
F (u, v ) e j 2π ( ux + vy ) du dv
Setze u = ω cosθ, v = ω sinθ
f ( x, y ) = ∫
∫
∞
G (ω, θ ) e j 2πω ( x cosθ + y sin θ ) ω dω dθ
Umschreiben als
f ( x, y ) = ∫
π
0
∫
∞
−∞
ω G (ω, θ ) e j 2πω ( x cosθ + y sin θ ) dω dθ
Back projection - Rekonstruktion
Folglich, erhält man die Fourier-Transformierten der Projektionen, filtert (d.h.
multipliziert) sie mit |ω|, errechnet die inverse Fourier-Transformierte und
integriert über alle θ
f ( x, y ) = ∫
π
0
 ∞ ω G (ω , θ ) e j 2πω ( x cosθ + y sin θ ) dω  dθ
 ∫−∞

Beachte:
|ω| ist ein Rampenfilter (sog. Ram-Lak)
Auch weichere Filter möglich,
z.B. Hamming
Gefilterte Rekonstruktion
Inverse Radon-Transformation in Matlab
I = iradon(R, theta, interp, filter, freq_scaling, N)
wobei
R:
vorwärtsgerichtete Radon-Transformierte
Theta:
Winkelset
Interp:
‘Ram-Lak’, ‘Hamming’, ‘Shepp-Logan’ Filter
Filter:
‘linear’
freq_scaling:1.0
N:
erwünschte Größe des Ausgabebildes
Inverse Radon-Transformation in Matlab
Übermittlung der Radon-Transformierten eines “Phantombildes”
original
N = 400;
I = phantom(N);
rangeTheta = 0:1:180;
[R,xp]=radon(I,rangeTheta);
figure,imagesc(rangeTheta, xp, R),
title('radon');
colormap(gray);
xlabel('theta (degrees)'); ylabel('xp');
Inverse Radon-Transformation in Matlab
Inverse Radon-Transformierte
I2 = iradon(R,rangeTheta,'linear','Hamming',1.0,N);
figure,imshow(I2,[]), title('reconstructed');
% Compute RMS error
res = I - I2;
figure, imshow(res,[]), title('residual');
fprintf('RMS error: %f\n', sqrt( mean2 (res .^ 2)));