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Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit 1. Würfeln mit mehreren Würfeln (a) Im folgenden wird gleichzeitig mit zwei Würfeln gewürfelt und das Produkt der beiden Augenzahlen gebildet. Welches Produkt tritt am wahrscheinlichsten auf und wie gross ist die Wahrscheinlichkeit? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit drei Würfeln als Produkt 6 entsteht? 2. Gelb und rot Ein gelber und ein roter Würfel werden miteinander geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der gelbe Würfel eine höhere Zahl zeigt als der rote Würfel? 3. mindestens 4 Mal die gleiche Zahl Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem Würfel in 5 Würfen mindestens 4 Mal die gleiche Zahl erscheint? 4. Zwei Würfel Zwei Würfel haben folgende Augenzahlen: erster Würfel: 1; 1; 2; 5; 5; 6 zweiter Würfel: 2; 3; 3; 3; 4; 5 (a) Die beiden Würfel werden miteinander geworfen und ihre Augenzahlen multipliziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Produkt... i. ...kleiner als 5? ii. ...grösser als 15? (b) Wiederum werden beide Würfel miteinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen gerade? 5. Verschiedene Augenzahlen Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beim dreimaligen Würfeln eines normalen Würfelns alle drei Augenzahlen voneinander verschieden? 6. Würfeln mit einem normalen Würfel und zwei Tetraederwürfeln Im folgenden wird gleichzeitig mit drei Würfeln gewürfelt. Bei einem Würfel handelt es sich um einen normalen Würfel. Die beiden anderen Würfel haben die Form eines regulären Tetraeders und liefern mit Wahrscheinlichkeit 1/4 die Augenzahlen 1,2,3 oder 4. Die gewürfelte Augensumme der drei Würfel zusammen ist also eine Zahl zwischen 3 und 14. (a) Welche Augensumme wird mit grösster Wahrscheinlichkeit gewürfelt und wie gross ist diese Wahrscheinlichkeit? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme durch 3 teilbar ist? 7. Würfeln mit zwei Würfeln Im folgenden wird gleichzeitig mit zwei Würfeln gewürfelt. Bei einem der beiden Würfel handelt es sich um einen der üblichen Würfel. Beim zweiten Würfel handelt es sich um einen gezinkten Würfel: Anstelle der Augenzahl 3 besitzt er eine zweite Augenzahl 5. (a) Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mit keinem der beiden Würfel eine 5 zu würfeln? (c) Wieviele Male muss man mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.99% wenigstens einmal die Augensumme 2 zu werfen? 8. Würfelspiel Ein Würfelspiel läuft folgendermassen ab: Mit zwei (unterscheidbaren) Würfeln wird gleichzeitig geworfen. Ist die Summe der Augenzahlen 8, so hat man gewonnen. Anderenfalls hat man eine zweite Chance und darf nochmals würfeln. Erscheinen nun zwei aufeinanderfolgende Augenzahlen, so hat man ebenfalls gewonnen, wenn nicht hat man das Spiel verloren. (a) Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Spiel? (b) Wie oft muss das Spiel gespielt werden, damit man mit der mehr als 99.99% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal gewinnt? 9. Würfeln mit einem normalen Würfel, einem Tetraederwürfel und einer Münze Im folgenden wird gleichzeitig mit drei Würfeln gewürfelt. Bei einem Würfel handelt es sich um einen normalen Würfel. Der zweite Würfel hat die Form eines regulären Tetraeders und liefert mit Wahrscheinlichkeit 1/4 die Augenzahlen 1, 2, 3 oder 4. Die Münze liefert mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine 1 oder eine 2. Die gewürfelte Augensumme der drei Würfel zusammen ist also eine Zahl zwischen 3 und 12. (a) Welche Augensumme wird mit grösster Wahrscheinlichkeit gewürfelt und wie gross ist diese Wahrscheinlichkeit? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme durch 3 teilbar ist? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei fünfmaligem Werfen der beiden Würfel und der Münze dreimal eine Augensumme kleiner als 6 und zweimal eine Augensumme grösser als 9 erhält? 10. Würfeln mit einem Tetraeder Armin verwendet für die folgenden Zufallsversuche ein reguläres Tetraeder. Er beschriftet die vier Seiten des Tetraeders mit den Ziffern 1, 3, 5 und 7 und benützt es als Würfel. Als geworfen gilt jene Zahl, auf der das Tetraeder zu liegen kommt. Armin erstellt nun dreistellige Zufallszahlen, indem er das Tetraeder dreimal wirft und jeweils die geworfene Ziffer notiert. (a) (b) (c) (d) Wieviele Wieviele Wieviele Wieviele verschiedene 3-stellige Zahlen kann er so erwürfeln? dieser Zahlen bestehen aus 3 verschiedenen Ziffern ? haben genau 2 gleiche Ziffern? sind durch 5 teilbar? 11. 5 Würfel Würfeln mit 5 (unterscheidbaren) Würfeln (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt bei einem Wurf mindestens eine Augenzahl mehrmals vor? (b) Wenn bei einem Wurf eine Augenzahl dreimal und eine andere zweimal vorkommt, wollen wir dies in Anlehnung an das Pokerspiel einen ’Foolhouse-Wurf’ nennen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Ereignis ein? 12. Buchstabenwürfel Bei einem Würfel sind zwei Seiten mit dem Buchstaben A beschriftet, eine mit D, eine mit H, eine mit N und eine mit Y. Der Würfel wird 5 Mal nacheinander geworfen und die Resultate der Reihe nach aufgeschrieben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass... (a) ... nicht zwei Mal der gleiche Buchstabe erscheint? (b) ... das Wort HANDY gewürfelt wird? (c) ... die Buchstabenfolge DNA im Resultat auftaucht? 13. Rote Flächen auf dem Würfel Die sechs Flächen eines Würfels sind am Anfang eines Spiels alle weiss. Ein Spieler wirft den Würfel mehrmals und bemalt nach jedem Wurf die obenliegende Fläche mit roter Farbe, sofern sie noch weiss ist. Würfelt er aber eine bereits rot bemalte Fläche, so ist das Spiel zu Ende. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass... (a) ... das Spiel nach dem zweiten Wurf zu Ende ist? (b) ... das Spiel spätestens nach dem 5. Wurf zu Ende ist? 14. Würfel und Augen (a) Zwei unterscheidbare Würfel werden miteinander geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen mindestens acht ist? (b) Wie oft muss man zwei unterscheidbare Würfel miteinander werfen, damit mit 99.99% Sicherheit in mindestens einem Wurf die Summe der Augenzahlen mindestens 8 war? (c) Ein Würfel wird achtmal geworfen. Wir gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe aller geworfenen Augenzahlen gerade ist? 15. Zersägter Holzwürfel Ein Holzwürfel hat die Seitenlänge 3cm. Alle sechs Seitenflächen dieses Würfels werden blau angemalt. Nun wird der Würfel in 27 kleinere Würfelchen zuersägt, die alle die Seitenlänge 1cm haben. Diese Würfelchen werden in einen Sack gelegt. (a) Es wird ein Würfel aus dem Sack gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser genau zwei blau gefärbte Seiten hat? (b) Es wird zuerst ein Würfel gezogen und wieder zurückgelegt. Anschliessend wird nochmals ein Würfel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtzahl der blauen Seitenflächen der beiden gezogenen Würfel grösser als 4 ist? (c) Von den 27 Würfeln werden nun 6 gleichzeitig aus dem Sack gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 6 gezogenen Würfeln genau 2 mit drei blauen Seiten, genau 3 mit zwei blauen Seiten und genau 1 mit einer blauen Seiten befinden? (d) In den Sack mit den 27 Würfeln werden nun ungefärbte Würfel gleicher Grösse dazugegeben. 7 bei zweimaligem Wie viele Würfel muss man zugeben, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 65 Ziehen eines Würfels ohne Zurücklegen genau eine blaue Fläche vorhanden sein soll? 16. Schwarze und weisse Kugeln In einem Sack hat es n schwarze und n + 2 weisse Kugeln (n = 0, 1, 2, 3, · · ·). (a) Man zieht gleichzeitig blind zwei Kugeln aus dem Sack. Es soll gezeigt werden, dass für die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln diesselbe Farbe haben, gilt: p(n) = n2 + n + 1 2n2 + 3n + 1 (b) Für welche Werte von n ist die Wahrscheinlichkeit p(n) minimal bzw. maximal? 17. 2 gleiche In einer Urne befinden sich 10 schwarze, 6 weisse und 4 rote Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt man 2 Kugeln der gleichen Farbe? 18. Die zweite Kugel In einem Gefäss befinden sich 3 rote und 5 schwarze Kugeln. Es wird eine erste Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel beiseite gelegt. Anschliessend wird eine zweite Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel rot? 19. Immer wieder Kugeln In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weisse Kugeln. (a) Man zieht so lange blindlings eine Kugel nach der andern heraus, ohne die gezogene(n) Kugel(n) zurückzulegen, bis man eine weisse Kugel erwischt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies genau im zweiten Zug (spätestens beim dritten Zug) der Fall ist? (b) Nun werden der Urne mit einem Griff vier Kugeln entnommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von jeder Farbe gleich viele Kugeln gezogen werden (mindestens eine schwarze Kugel gezogen wird)? 20. Farbige Kugeln n einer Urne liegen 5 rote, 8 gelbe und 7 blaue Kugeln. (a) Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel anschliessend wieder in die Urne zurückgelegt wird. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass... i. ... die gezogenen Kugeln alle die gleiche Farbe haben? ii. ... die gezogenen Kugeln alle verschiedene Farben haben? iii. ... die zweite gezogene Kugel gelb ist? (b) Wie viele Kugeln müsste man mindestens ziehen, damit mit mehr als 99.5% Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote dabei sein wird? Jede gezogene Kugel wird wiederum sofort in die Urne zurückgelegt. (c) Es werden nacheinander, wiederum mit Zurücklegen, 7 Kugeln gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich genau 3 rote Kugeln darunter? (d) Zu den vorhandenen 20 Kugeln werden noch eine Anzahl rote Kugeln dazugelegt. Jetzt nimmt man mit einem Griff 2 Kugeln heraus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln rot sind beträgt 13 . Wie viele rote Kugeln wurden noch dazugegeben? 21. Kugeln und Urnen... (a) In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 5 weisse Kugeln. Man zieht zwei Kugeln miteinander. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass i. ...eine weisse und eine schwarze gezogen werden? ii. ...zwei weisse gezogen werden. (b) Man zieht so lange blindlings eine Kugel nach der andern heraus, ohne die gezogene(n) Kugel(n) zurückzulegen, bis man eine weisse Kugel erwischt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies... i. ...bereits beim ersten Zug der Fall ist? ii. ...beim zweiten Zug der Fall ist? iii. ...spätestens beim dritten Zug der Fall ist? 22. 5er Folge In einem Sack befinden sich Kärtchen mit den Nummern 1 bis 100. Es werden mit einem Griff 5 Kärtchen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um 5 aufeinanderfolgende Nummern handelt? 23. 99 gewinnt In einer Tombola werden Lose mit den Nummern 1’000 bis 2’000 verkauft. Alle durch 9 teilbaren Nummern gewinnen einen Trostpreis, alle Lose mit der Endzahl 99 erhalten einen grossen Preis. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 10 Losen weder einen grossen, noch einen Trostpreis zu gewinnen? 24. 1 bis 9999 Wie viele der Zahlen von 1 bis 9999 haben lauter verschiedene Ziffern? 25. Rubbeln Auf einem Rubbel-Los sind 12 Felder. Von diesen dürfen genau 2 aufgerubbelt werden. Wenn beide aufgerubbelten Felder den gleichen Betrag zeigen, dann erhält man diesen Betrag als Gewinn ausbezahlt, ansonsten geht man leer aus. In jedem Los befinden sich - zufällig verteilt - folgende Felder: 5 x 5 Euro; 3 x 10 Euro; 2 x 20 Euro; 2 x 0 Euro. (a) Wie viele verschiedene Lose können hergestellt werden? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 5 Euro? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nichts gewinnt? (d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Kauf von 5 solchen Losen mindestens 2 Mal gewinnt? 26. Euromünzen Renate hat vor sich auf dem Tisch neun 1-Euro Münzen. Fünf Münzen stammen aus Österreich und zeigen auf der Rückseite den Komponisten Wolfgang Amadeus Mozart. Die restlichen Münzen sind aus Spanien. Deren Rückseite ziert der spanische König Juan Carlos. Die Vorderseite aller neun Münzen ist identisch. Renate legt die Münzen mit der Vorderseite nach oben vor sich hin. (a) Ihre Freundin Uschi darf nun drei der Münzen umdrehen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass... i. ...genau drei Mal Juan Carlos erscheint? ii. ...genau zwei Mal Juan Carlos erscheint? iii. ...mindestens ein Mal Juan Carlos erscheint? (b) Renate verspricht Uschi, dass sie ihr ein Eis spendiert, wenn beim Umdrehen von vier Münzen mindestens drei Mal der Kopf des spanischen Königs erscheint. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Uschi das Eis gewinnt? 27. Fair oder nicht fair? Anna und Claudia werfen eine Münze mit den Seiten K (“Kopf”) und Z (“Zahl”) solange, bis in der entstehenden Folge von K’s und Z’s entweder das Wort KKK oder das Wort ZZK auftritt. Tritt zuerst KKK auf, hat Anna gewonnen; tritt zuerst ZZK auf, gewinnt Claudia. Wie gross sind die Gewinnchancen von Anna und Claudia? 28. Gefälschte Münze Eine gefälschte Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit p Kopf. Wie gross müsste p sein, wenn die Wahrscheinlichkeit mit der Münze in 5 Würfen mindestens 1 Mal Kopf zu werfen 99.968% beträgt? 29. Kartenspiel Ein französisches Jasskartenspiel besteht aus 36 Karten, aufgeteilt in 4 Farben (Herz, Karo, Pik und Kreuz) zu je 9 Karten. Pro Farbe existieren 4 Figuren (As, König, Dame, Bube) und 5 Zahlen (Zehner, Neuner, Achter, Siebner und Sechser). Das Kartenspiel wird gut gemischt und mit einem Griff werden 4 Karten aus dem Stapel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden... (a) ... nur Zahlen gezogen? (b) ... alle Karten von der gleichen Farbe sein? (c) ... mindestens 2 Zehner dabei sein? (d) ... alles Figuren gezogen, darunter das Herz-As und genau ein weiteres As? 30. Kartenspiel Ein Kartenspiel enthält 10 rote und 10 schwarze Karten. Fünf rote und fünf schwarze Karten tragen die Zahl 0, drei rote die Zahl 1, zwei rote die Zahl 4 und fünf schwarze die Zahl 2. (a) Aus dem verdeckten Stapel werden zwei Karten gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass.... i. ... beide Karten die gleiche Zahl tragen? ii. ... das Summe der beiden Zahlenwerte grösser als 0 ist? iii. ... das Produkt der beiden Zahlenwerte 4 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die 4 durch 2 schwarze Karten zustande gekommen? (b) Es werden zwei Karten gezogen, wobei die Farbe gewählt werden kann. Müssen zwei rote Karten, zwei schwarze Karten, oder eine rote und eine schwarze Karte gezogen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Zahlenwerte 4 oder grösser ist, maximal wird? (c) In einer Ziehung werden eine rote und eine schwarze Karte gezogen. Es werden 20 solche Ziehungen durchgeführt, wobei die Karten zwischen den Ziehungen immer wieder in den Stapel zurückgelegt werden und dieser neu gemischt wird. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in höchstens zwei der 20 Ziehungen das Produkt der Zahlenwerte von Null verschieden ist? 31. Pokerspiel Einfaches Pokerspiel: Es wird mit einem Set Pokerkarten gespielt. Dieses besteht aus den vier Farben Herz, Karo, Pik und Kreuz mit jeweils den Karten 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As. Die beiden Spieler ziehen nacheinander eine Karte. Sieger ist, wer die höhere Karte gezogen hat. Zeigen beide Karten den gleichen Wert, so endet das Spiel untentschieden. (a) Spieler eins hat eine 4 gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er das Spiel? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet ein (beliebiges) Spiel unentschieden? (c) Spieler 1 zieht einen König. Wie viele Könige und Asse müsste ein unehrlicher Gegner den restlichen Karten mindestens hinzufügen, damit er mit der Wahrscheinlichkeit p = 12 nicht verliert und mit der Wahrscheinlichkeit q > 13 sogar gewinnt? 32. Taxi bitte! Für die 12 Personen einer Reisegruppe stehen 3 Taxis bereit. Taxi I hat 3 Passagierplätze, Taxi II deren 4 und Taxi III deren 5. Auf wie viele Arten können sich die 12 Personen auf die Taxis verteilen? (Die Sitzordnung innerhalb der Taxis ist nicht zu berücksichtigen) 33. Herr G. und sein Bus Herr G. verlässt sich beim Weg auf die Arbeit darauf, dass sein Bus am Morgen an der Abfahrthaltestelle verspätet abfährt. In 90% aller Fälle kommt er so rechtzeitig zur Haltestelle. In 10% der Fälle verpasst er seinen Bus, weil er keine Verspätung hat. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr G. seinen Bus innerhalb von 5 Arbeitstagen (a) an keinem Tag verpasst? (b) an genau drei Tagen verpasst? (c) an drei aufeinander folgenden Tagen erwischt? 34. Schwarzfahrer In den Morgenstunden bestehen 90% der Fahrgäste eines Verkehrsunternehmens aus Stammkunden, die Wochen- oder Monatskarten besitzen. Die anderen Fahrgäste benutzen andere Fahrscheine. Während nur 0,1% der Stammkunden ihre Fahrscheine vergessen, sind von den anderen 2% ohne Fahrschein unterwegs. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer morgendlichen Fahrkartenkontrolle (a) einen Fahrgast ohne Fahrschein anzutreffen? (b) einen Stammkunden anzutreffen, der ohne Fahrschein ist? 35. Brünigbahn In Sarnen steigen 18 Personen in den Zug Richtung Luzern. 8 Personen finden noch einen freien Sitzplatz, 10 Personen müssen stehen. Beim ersten Halt des Zuges in Alpnach steigen 12 der in Sarnen zugestiegenen Personen wieder aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass... (a) ...alle 8 in Sarnen belegten Sitzplätze wieder frei werden. (b) ...mindestens 4 der 8 in Sarnen belegten Sitzplätze wieder frei werden. 36. Ticketkontrolle im Bus Im Durchschnitt wird auf 100 Bus-Passagiere einer kontrolliert. Wie wahrscheinlich ist es, dass du mindestens zweimal kontrolliert wirst, wenn du den Bus in einem Monat 40 Mal benützst? 37. Gelieferte Äpfel n einer Lieferung von Äpfeln befinden sich 5% Ausschuss. Von den brauchbaren Äpfeln weisen 25% eine Druckstelle auf, der Rest ist einwandfrei. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Herausnehmen eines Apfels ein einwandfreies Exemplar zu erwischen? 38. Hühnereier Hanna Güggi möchte sich ein Dutzend Hühner anschaffen. Für sie ist die pEi sehr wichtig. Die pEi ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Huhn an einem Tag ein Ei legt. Hanna weiss zudem, dass kein Huhn mehr als ein Ei pro Tag legt. Hanna kauft sich am Donnerstagabend 2 Testhühner und beobachtet während 7 Tagen deren Legeverhalten. Resultat: jeden Tag 2 Eier - ausser am Sonntag, da gab es keine. (a) Bestimme daraus pEi . (b) Was für eine Warscheinlichkeit hatte das geschilderte Sonntagsereignis? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Testhühner in den folgenden 7 Tagen wieder nur 12 Eier legen? 39. Weisse, schwarze und braune Truffes In einer Praline-Tüte hat es drei weisse, zwei schwarze und vier braune Truffes. Man entnimmt der Tüte blind drei Truffes. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, von jeder Sorte genau ein Truffe zu erwischen? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle drei Truffes die gleiche Farbe? (c) Man hat drei Truffes herausgenommen und alle haben die gleiche Farbe. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alles weiss? 40. Knapp daneben ist auch vorbei Ein Schütze trifft ein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0.3. Wie oft muss der Schütze abdrücken, damit die Wahrscheinlichkeit, dass er sein Ziel nie trifft kleiner als 10% ist? 41. Tells Geschoss Es wird berichtet, dass Wilhelm Tell beim Schuss auf den Apfel auf Walterlis Kopf noch einen zweiten Pfeil im Köcher gehabt hatte. Auf die Frage Gesslers, wozu ein zweiter Pfeil, antwortete Tell: ’Hätte der erste Pfeil meinen Buben getroffen, so hätte dieser zweite Pfeil dich auch nicht verfehlt!’. Nehmen wir an, Tells Trefferwahrscheinlichkeit für grosse und auch für kleine Ziele sei p. Für welches p wäre die Lebensgefahr für Gessler maximal gewesen? 42. Wilhelm Tell Wilhelm Tell soll der Überlieferung nach ein sehr guter Schütze gewesen sein. Nehmen wir einmal an, dass das nicht ganz stimmt und er (nur) mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 80% den Apfel getroffen hätte. (a) Tell übt seine Schiesskünste jeden Tag. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 4 Schüssen ... i. ...genau viermal trifft? ii. ...mindestens einmal nicht trifft? iii. ...genau einmal nicht trifft? (b) Wie oft muss Tell schiessen, damit die Wahrscheinlichkeit dass er das Ziel immer verfehlt kleiner als 1 Promille ist? (c) Die Sage berichtet, dass Tell beim Apfelschuss einen zweiten Pfeil bei sich gehabt hat, den er, hätte er mit dem ersten seinen Sohn getroffen, auf Gessler abgeschossen hätte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war Gessler in Gefahr? (Es kann angenommen werden, dass bei verfehlen des Apfels der Pfeil Walterli trifft) 43. Geburtstagsprobleme Ist es wahrscheinlicher, dass von sieben Leuten alle an verschiedenen Wochentagen (d. h. jemand am Montag, jemand am Dienstag, jemand am Mittwoch usw. ) oder alle am gleichen Wochentag Geburtstag haben? Wie gross sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten? 44. Geburtstagsproblem Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, das mindestens zwei Schüler/innen einer 23-köpfigen Klasse am gleichen Tag Geburtstag haben? 45. Alle Jahre wieder - der Geburtstag Für die Beantwortung der folgenden Fragen kann davon ausgegangen werden, dass für jeden Monat des Jahres die Wahrscheinlichkeit gleich gross ist, dass der Geburtstag einer Person in diesen Monat fällt. (a) Wie gross ist bei einer zufällig ausgewählten Gruppe von sechs Personen die Wahrscheinlichkeit, dass ... i. ii. iii. iv. ... ... ... ... niemand im Dezember Geburtstag hat? die einzigen drei Herren in der Gruppe alle im gleichen Monat Geburtstag haben? genau drei der sechs Personen im letzten Vierteljahr Geburtstag haben? mindestens zwei Personen im gleichen Monat Geburtstag haben? (b) Mit einer Gruppe von Personen, deren Geburtstage nicht bekannt sind, wird folgende Wette abgeschlossen: ’Mindestens eine Person ist im März geboren.’ Wie viele Personen muss die Gruppe mindestens umfassen, damit die Gewinnchancen grösser als 90% sind? 46. Internationaler Wettkampf An einem internationalen Wettkampf über 110m Hürden nehmen zwei Amerikaner, zwei Deutsche, zwei Engländer und zwei Schweizer (Schneider und Wild) teil. Die Bahnnummern 1 bis 8 werden zufällig ausgelost. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass... (a) ...beide Schweizer gerade Nummern erhalten? (b) ...die Schweizer die Nummern 1 und 2 erhalten? (c) ...dass Wild eine höhere Nummer als Schneider erhält? (d) ...mindestens ein Schweizer eine gerade Nummer erhält? 47. Eishockeyspiel Ein Eishockeyspiel endet mit dem Schlussresultat 8 : 5. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Aufteilung der Tore in die drei Drittel des Spiels? 48. Nummer 1 der Weltrangliste Die Weltnummer 1 im Tennis übersteht die 1. Runde eines Turniers in 80% aller Fälle. (a) Wieviele Turniere muss die Nummer 1 mindestens spielen, damit die Gefahr, dass sie mindestens einmal bereits in der 1. Runde auscheidet grösser als 99% ist? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei 10 gespielten Turnieren genau an 2 aufeinanderfolgenden Turnieren in der ersten Runde scheitert und in den restlichen Spielen die 1. Runde unbeschadet übersteht? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es die Nummer 1 in mehr als 17 von 20 gespielten Turnieren in die 2. Runde schafft? 49. Rauchen schadet der Gesundheit n einer Bevölkerungsgruppe sind 35% Raucher. Von 1000 Todesfällen von Rauchern aus dieser Bevölkerungsgruppe wurden 150 durch Lungenkrebs verursacht, bei Nichtrauchern waren es nur 21 von 1000 Todesfällen. (a) Es werden zufällig 10 Personen ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau die Hälfte der Personen rauchen? (b) Man wählt zufällig mehrere Personen aus. Wie gross muss die Auswahl mindestens sein, damit sich mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit wenigstens ein Raucher darunter befindet? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person aus der Bevölkerungsgruppe an Lungenkrebs stirbt? (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit war jemand der an Lungenkrebs gestorben ist Raucher? 50. Blutspende Zum Blutspenden werden nur gesunde Menschen zugelassen. 4% der Bevölkerung leiden jedoch unter einer nicht diagnostizierten Diabetes. Deswegen wird bei allen Blutspendern ein Schnelltest angewendet, der jedoch nicht vollständig sicher ist. So werden an Diabetes Erkrankte nur zu 95% erkannt, während 2% der gesunden Personen als Diabetiker eingestuft werden. (a) Ein zufällig ausgewählter Spender erscheint zum Schnelltest. Mit welcher Wahrscheinlichkeit lautet das Testergebnis ’keine Diabetes’ ? (b) Ein Spender wird vom Test als Diabetiker ausgewiesen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dennoch keine Diabetes hat? (c) Der Test wird verbessert, dass Diabetiker immer noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erkannt werden, gesunde Personen werden aber mit einer kleineren Wahrscheinlichkeit p fälschlicherweise als krank eingestuft. Nun hat eine als Diabetiker eingestufte Person nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 13% keine Diabetes. Wie gross ist p? 51. Dopingkontrolle Die Leistungsgruppe des Turnvereins Kerns hat 25 Spitzenturner. Von diesen werden jeden Monat 5 Turner zufällig ausgewählt und auf Doping getestet. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ... (a) ...ein bestimmter Turner in den nächsten 2 Monaten nicht getestet wird. (b) ...ein bestimmter Turner im Laufe eines Jahres mindestens einmal getestet wird. (c) ...ein bestimmter Turner im Laufe von 2 Jahren höchstens zweimal getestet wird. 52. Brandmelder Das Hotel Pacific Inn besitzt eine Brandmeldeanlage, welche bei Feuerausbruch mit einer WS von 99.5% Alarm gibt. Gelegentlich gibt die Anlage Fehlalarm; nach Aussage des Nachtportiers kommt das etwa zweimal pro Jahr vor. Die WS, dass in einer bestimmten Nacht Feuer ausbricht sei 0.01% Jemand verbringt eine Nacht im Pacific Inn und hört den Feueralarm. Mit welcher WS brennt es wirklich? 53. Geräteausfall Ein Gerät besteht aus zwei Bauteilen I und II. Das Teil I fällt mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 aus. Das Teil II fällt nach einem Ausfall von I mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 ebenfalls aus. Bei intaktem Teil I fällt das Teil II mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.05 aus. Das ganze Gerät arbeitet noch, solange mindestens eines der beiden Bauteile in Ordnung ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät nicht ausfällt? 54. Zuverlässigkeit von Systemen Ein System besteht aus vier unabhängigen, gleich zuverlässigen Komponenten gemäss untenstehender Abbildung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente ein Jahr lang funktioniert, sei p. (a) Z(p) bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass das System während eines Jahres nicht ausfällt. Es ist zu zeigen, dass Z(p) = p4 − 3p3 + 2p2 + p (b) Für welche Werte von p funktioniert das System während eines Jahres mit mindestens 95prozentiger Sicherheit? 55. Socken In einer Schublade liegen sechs blaue, zehn schwarze, drei weisse und fünf graue Paar Socken. Im Dunkeln werden zwei Paar aus der Schublade genommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dabei (a) ? je ein Paar schwarze und weisse (b) zwei gleichfarbige Paare (c) keine grauen Socken herauszugreifen? 56. passende Handschuhe In einer Kiste befinden sich 5 verschiedene Paar Handschuhe. Es werden zufällig 4 Handschuhe herausgenommen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 1 zusammengehörendes Paar ist? 57. Schmuggler.... Aus einer Gruppe von 20 Personen werden beim Grenzübertritt vier vom Zoll kontrolliert. In der Gruppe befinden sich genau zwei Schmuggler. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten Personen (a) die beiden Schmuggler der Gruppe kontrolliert werden? (b) einer der beiden Schmuggler kontrolliert wird? (c) keiner der beiden Schmuggler kontrolliert wird? 58. Besserwisser und Chancenlos Eine Firma beschäftigt drei Mitarbeiter, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten sollen. Herr Alleskönner kann 95% aller Frage zur Zufriedenheit der Kunden beantworten, Frau Besserwisser 90% und Herr Chancenlos noch gerade 70%. Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle drei Mitarbeiter gleich viele Telefonate beantworten, die Wahrscheinlichkeiten, dass (a) ein Kunde mit der Antwort, die er erhält, nicht zufrieden ist? (b) ein unzufriedener Kunde an Frau Besserwisser geraten ist? (c) ein Kunde an Herrn Alleskönner gerät und eine zufriedenstellende Antwort bekommt? 59. Holzklötze Beat und David haben je einen Sack mit vier Würfeln der Kantenlänge 5cm und drei quadratischen Pyramiden mit Grundkante 5cm und Höhe 5cm. Jeder zieht zufällig vier Klötze aus seinem Sack. Wer den höheren Turm als der andere bauen kann, hat gewonnen. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Beat einen Turm der Höhe 20cm bauen? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt David das Spiel? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel unentschieden endet? (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Beat mindestens 8 von 10 Spielen? 60. 6 Ziegen und zwei Autos Eine Verallgemeinerung des klassischen Türenspiels besteht darin, mehr als zwei Ziegen und mehrere Autos hinter den Türen zu verstecken. Wir betrachten als Beispiel den Fall von acht Türen. Hinter sechs Türen steht je eine Ziege, hinter zwei Türen je ein Auto. Im Unterschied zum klassischen Türenspiel öffnet der Showmaster zwei Ziegentüren. Die Kandidatin hat wiederum die Möglichkeit, ihre erstgewählte Türe zu wechseln, nachdem der Showmaster zwei “Ziegentüren” geöffnet hat. Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Strategie ohne Türwechsel, wie gross bei der Strategie mit Türwechsel? 61. Vier Ziegen und zwei Autos Eine Verallgemeinerung des klassischen Türenspiels besteht darin, mehr als zwei Ziegen und mehrere Autos hinter den Türen zu verstecken. (a) Wir betrachten als Beispiel den Fall von sechs Türen. Hinter vier Türen steht je eine Ziege, hinter zwei Türen je ein Auto. Die Kandidatin hat wiederum die Möglichkeit, ihre erstgewählte Türe zu wechseln, nachdem der Showmaster eine Ziegentüre geöffnet hat. Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Strategie ohne Türwechsel, wie gross bei der Strategie mit Türwechsel? (b) Wir betrachten den Fall von 3n Türen. Hinter 2n Türen steht je eine Ziege, hinter den restlichen n Türen je ein Auto. Die Kandidatin hat wiederum die Möglichkeit, ihre erstgewählte Türe zu wechseln, nachdem der Showmaster eine Ziegentüre geöffnet hat. Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Strategie ohne Türwechsel, wie gross bei der Strategie mit Türwechsel? Wie gross sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten für sehr grosse Werte von n? 62. Affenglück und anderes (a) Was ist wahrscheinlicher: Ein Fünfer im Zahlenlotto (6 Zahlen aus 1 bis 45 werden gezogen) oder dass ein Affe, der zufällig auf einer Schreibmaschine hintereinander 4 Tasten drückt, das Wort “Affe” schreibt. (Die Schreibmaschine habe 50 Tasten.) (b) Drei Spieler A, B, C und D würfeln reihum. Es gewinnt, wer zuerst eine Sechs würfelt. Spätestens nach 12 Würfen wird das Spiel abgebrochen. Wie gross sind die Gewinnchancen der vier Spieler, wenn A beginnt, dann B, als Dritter C und zuletzt D an die Reihe kommt? 63. Multiple-Choice und anderes (a) Ein Multiple-Choice-Test für Mediziner besteht aus 300 Fragen mit je fünf Auswahlantworten. Bei jeder Frage ist nur eine Antwort richtig. Ein Student beantwortet alle Fragen rein zufällig. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student keine einzige Frage richtig beantwortet? Wie gross die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einen Drittel der Fragen richtig beantwortet? (b) Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, die Augensumme 16 zu werfen. Bei zwei dieser Möglichkeiten ist die erste Augenzahl eine 5; die Wahrscheinlichkeit beträgt also 1/3. 64. Werbung in einer Zeitschrift Die aktuelle Ausgabe einer Fachzeitschrift besteht aus 30 Seiten. 10 Seiten davon sind für Werbung reserviert. Auf jeder dieser Werbeseiten ist Platz für 3 Anzeigen. Die Zuteilung der Anzeigenplätze erfolgt nach dem Zufallsprinzip. (a) Auf wie viele verschiedene Arten können 30 unterschiedliche Anzeigen in der Zeitschrift platziert werden? (b) Auf wie viele Arten können 30 Anzeigen angeordnet werden, wenn immer 3 der Anzeigen identisch sind? (c) Eine Firma hat drei verschiedene Anzeigen in der Zeitschrift in Auftrag gegeben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Anzeigen auf ein und derselben Seite erscheinen? 65. Herrentoilette im Wiener Prater Für die Benützung der Herrentoilette in einem Restaurant des Wiener Praters müssen der anwesenden Putzfrau 50 Eurocent bezahlt werden. Innerhalb einer Viertelstunde benützen 15 Personen die Toilette. 9 Personen haben eine 50 Cent Münze bei sich, die restlichen Personen haben nur ein 1-Eurostück dabei. Die Putzfrau hat als Wechselgeld vier Münzen zu 50 Cent. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälligem Erscheinen der 15 Personen keine Finanzprobleme beim Toilettenbesuch auftreten. 66. Glücksrad Auf dem untenstehenden Glücksrad sind die Zahlen 2, 3 und 6 aufgedruckt. Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sektoren sind ebenfalls angegeben. (a) Das Glücksrad wird 5 Mal gedreht und die Ziffern der Reihe nach notiert. Wie viele verschiedene 5-stellige Zahlen können so erhalten werden? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese 5-stellige Zahl grösser als 30’000? (c) Das Rad wird zweimal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal dieselbe Ziffer erscheint? (d) Das Rad wird viermal gedreht. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal die 3 vorkommt? (e) Wie oft muss das Rad gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% die 6 mindestens einmal vorkommt? 67. Batterien Ein Händler kann gratis einen Posten von 5000 Batterien übernehmen, welche mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% defekt sind. Anstatt die defekten Batterien auszusortieren plant er folgende Aktion: Er verkauft die Batterien im 5-er Set zu 7.50 Euro. Er nimmt keine defekten Batterien zurück, aber wenn ein Kunde in einem Set mehr als eine defekte Batterie findet, so erstattet er ihm den Preis für das ganze Set zurück. Mit welchen Einnahmen kann der Händler rechnen? 68. Benford’s Gesetz Frank Benford (Physiker bei General Electric) beobachtete 1938, dass bei im Alltag auftretenden Zahlen die erste Ziffer mit grösster Wahrscheinlichkeit (nämlich rund 30%) eine 1 ist. Genauere Untersuchungen haben zum sog. Gesetz von Benford geführt. Das Gesetz besagt, dass die Ziffer i, i = 1, . . . , 9 mit Wahrscheinlichkeit 1 log10 1 + i als erste Ziffer auftritt. Dieses Gesetz wurde empirisch für viele Datensätze überprüft, eingeschlossen die Zahlen auf den Titelseiten der New York Times und zufällig ausgewählte Aktienkurse. Benford’s Gesetz kann benutzt werden, um manipulierte Daten zu erkennen. Die Zahlen in Bill Clintons Steuererklärungen entsprechen beispielsweise ziemlich genau Benford’s Gesetz. Es werden zufällig hintereinander 8 Zahlen aus einem statistischen Jahrbuch gewählt. Wie gross ist gemäss Benford’s Gesetz die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier der gewählten Zahlen mit der Ziffer 1 beginnen und diese zudem gerade hintereinander gewählt wurden? 69. Peinliche Frage Peinliche Fragen beantwortet niemand gerne. Gibt man hingegen zu einem Fragebogen mit Auswahlantworten zum Ankreuzen einen Würfel dazu mit der Anweisung: ’Würfle einmal vor dem Ankreuzen. Wenn dabei eine Sechs erscheint, kreuze die Wahrheit an, sonst das Gegenteil.’ so ist das Problem entschärft. Bei der Auswertung einer Frage stellt man 80% Ja-Antworten fest. Wieviele waren tatsächlich dieser Ansicht? 70. Clochards 90% aller Clochards tragen einen Zapfenzieher bei sich. Bei der übrigen Bevölkerung gilt dies nur für 5%. Der Anteil der Clochards an der ganzen Bevölkerung beträgt 0.1%. Bei einem Einbruch in ein Wochenendhaus wurde ein Zapfenzieher gefunden, welchen der Dieb offensichtlich verloren hatte. Inspektor Grumm schloss deshalb haarscharf, beim Einbrecher müsste es sich um einen Clochard handeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Schlussfolgerung falsch war? 71. Kunstausstellung Eine jährlich wiederkehrende Kunstaustellung wird erfahrungsgemäss zu einem Drittel von Einheimischen und zu zwei Drittel von Auswärtigen besucht. Bei dem einheimischen Besuchern sind 4 von 5 Besuchern Frauen, bei Auswärtigen 50%. (a) Wie gross ist der Anteil der weiblichen Ausstellungsbesuchern? (b) Der tausendste Besucher, es war eine Frau, erhielt einen grossen Blumenstrauss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam die Gewinnerin von auswärts? 72. Trio Tetra Crap Beim Trio Tetra Crap - einem neuen Würfelspiel - würfelt man gleichzeitig mit zwei Tetraederwürfeln und einer Münze. Die beiden Tetraederwürfel liefern je mit Wahrscheinlichkeiten 1/4 die Augenzahlen 1,2,3 oder 4. Die Münze liefert mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine 1 oder eine 2. Die gewürfelte Summe ist also eine Zahl zwischen 3 und 10. Würfelt man die Augensumme 7, so hat man sofort gewonnen. Mit der Augensumme 3 oder 4 oder 10 hat man sofort verloren. Andernfalls wird die gewürfelte Augensumme S notiert und es wird so lange weiter gewürfelt, bis die zu Beginn notierte Augensumme S oder die Augensumme 7 gewürfelt wird. Wiederholt sich die Augensumme S, so hat man gewonnen. Bei der Augensumme 7 hat man verloren. Es soll der Spielverlauf während der ersten 5 Runden untersucht werden: (a) Gewinnt oder verliert man langfristig beim Trio Tetra Crap? (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau beim 5. Wurf gewinnt? (c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel länger als vier Runden dauert? (d) Welchen Näherungswert für die mittlere Spieldauer erhält man aufgrund der Untersuchung des Spielverlaufs in den ersten 5 Runden? 73. Kostenoptimierung Eine Schaltung besteht aus n parallel geschalteten, identischen Bauteilen. Die Schaltung funktioniert, sobald einer der Bauteile funktioniert. Jeder Bauteil kostet Fr. 1.– Ein Versagen der Schaltung verursacht einen Schaden von Fr. 10’000.–. Mit Wahrscheinlichkeit 0.9 versagt ein einzelner Bauteil innerhalb der geplanten Nutzungsdauer. Für welche Anzahl n der verwendeten Bauteile werden die zu erwartenden Kosten minimal? Lösung zu: Wahrscheinlichkeit 1. Würfeln mit mehreren Würfeln (a) Eine tabellarische Aufstellung leifert, dass die Produkte 6 und 12 am häufigsten auftreten, nämlich mit der Wahrscheinlichkeit 4/36. (b) Eine tabellarische Aufstellung liefert die Wahrscheinlichkeit 9/216 = 1/24. 2. Gelb und rot 5 P = 12 Günstige Fälle: 15, Mögliche Fälle: 36 3. mindestens 4 Mal die gleiche Zahl 5·6·5+6 P = P4 + P5 = ≈ 0.02 65 4. Zwei Würfel (a) i. mögliche Kombinationen sind: 1/2; 1/3; 1/4; 2/2 P = 11 36 ≈ 30.56% ii. mögliche Kombinationen sind: 5/4; 5/5; 6/3; 6/4; 6/5 P = 0.25 = 25% (b) mögliche Kombinationen sind: 2/2; 2/4; 6/2; 6/4; 1/3; 1/5; 5/3; 5/5 P = 59 ≈ 55.56% 5. Verschiedene Augenzahlen 1 · 56 · 46 = 59 6. Würfeln mit einem normalen Würfel und zwei Tetraederwürfeln Am effizientesten ist es es, zuerst eine Wahrscheinlichkeitstabelle zu erstellen. (a) Augensummen 8 und 9 mit Wahrscheinlichkeit 15/96 = 5/32 (b) 32/96 = 1/3 7. Würfeln mit zwei Würfeln (a) Augensumme 7 mit Wahrscheinlichkeit 1/6 (b) 5/9 (c) (35/36)n < 0.0001 liefert n = 327. 8. Würfelspiel (a) 0.387 Es empfiehlt sich ein Wahrscheinlichkeitsbaum (b) 10 9. Würfeln mit einem normalen Würfel, einem Tetraederwürfel und einer Münze Mittels eines Baumdiagrammes erhält man für alle möglichen Augensummen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. (a) Augensumme 7 und 8 je mit Wahrscheinlichkeit 1/6. (b) 1/3 (c) 53 9 3 48 9 2 48 = 10 3 5 16 10. Würfeln mit einem Tetraeder (a) 43 = 64 (b) 24 (c) 3 · 4 · 3 = 36 (d) 16 - Durch 5 teilbar bedeutet zwingend Endziffer 5. 11. 5 Würfel (a) 0.907 (b) 0.0462 Es müssen die Verteilung der gleichen Augenzahlen auf die 5 Würfel berücksichtigt werden und auf wieviele Arten 3 gleiche und 2 gleiche vorhanden sein können. 12. Buchstabenwürfel 4 1 1 · ≈ 0.03 6 3 1 1 1 1 1 · · · · = 3 6 6 6 3888 1 1 · · · 3 ≈ 0.0277 6 3 (a) 5! · 1 6 1 (c) 6 (b) 13. Rote Flächen auf dem Würfel (a) P = 16 Es muss zwingend die im ersten Wurf angemalte Fläche im zweiten Wurf erscheinen. (b) P(spätestens nach 5 W.) = P2 + P3 + P4 + P5 = 1 6 + 5 6 · 2 6 + 5 6 · 4 6 · 3 6 + 5 6 · 4 6 · 3 6 · 4 6 = 49 54 ≈ 0.9074 14. Würfel und Augen 5 4 3 2 1 5 (a) P≥8 = P8 + P9 + P10 + P11 + P12 = 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 12 log(0.001) n 7 n (b) (P<8 ) < 0.0001 ⇒ 12 < 0.0001 ⇒ n = ≈ 17.0879 ⇒18 Würfe log(0.58333) 8 8 8 (c) P = 0.58 + 0.58 + 0.58 + 0.58 + 0.58 ≈ 0.5 6 4 2 Es müssen alle 8 oder 6 oder 4 oder 2 oder 0 der Einzelresultate gerade sein. 15. Zersägter Holzwürfel (a) 4 9 (b) 0.3511 (c) 0.1248 (d) 13 Bezeichne die zusätzlichen Würfelchen mit x. Zeichne einen Wahrscheinlichkeitsbaum und wende die Pfadregeln an. Von der entstehenden quadratischen Gleichung ist nur die eine Lösung ganzzahlig. 16. Schwarze und weisse Kugeln (a) Man kann die beiden Kugeln auch nacheinander aus dem Sack ziehen und die möglichen Abfolgen in einem einfachen Baumdiagramm darstellen. (b) Es sind verschiedene Lösungen denkbar. Das Minimum bei n = 3 und das Maximum bei n = 0 kann aus dem Graph der Funktion p(n) abgelesen oder mittels der Ableitung der Funktion p(n) bestimmt werden. Für die Ableitung erhält man den Ausdruck p0 (n) = n2 − 2n − 2 ... 17. 2 gleiche 9 3 5 2 3 + 10 · 19 + 10 · 19 = 33 P = 12 · 19 95 ≈ 0.3473 Idealerweise mit Baumdiagramm zu lösen. 18. Die zweite Kugel P(2. Kugel rot) = 38 · 27 + 58 · 37 = 38 = 0.375 Idealerweise mit einem Baum zu lösen. 19. Immer wieder Kugeln 4 · 23 = 15 für genau im zweiten Zug. 4 1 29 + 15 + 10 = 30 für spätestens beim dritten Zug. 4 6 · 2 2 (b) = 73 für gleichviele Kugeln jeder Farbe. 10 4 6 4 = 13 1− 14 für mindestens eine schwarze Kugel. 10 4 (a) 2 5 3 5 20. Farbige Kugeln 3 3 3 8 3 5 + + = 0.1225 20 20 20 5·8·7 ii. · 6 = 0.21 203 8 iii. 1 · · 1 = 0.4 20 3 (b) Pnicht rot = 4 n 3 Palle nicht rot = < 0.005 4 log 0.005 ≈ 18.417 ⇒ 19 Mal ziehen n= log 34 3 4 1 3 7 (c) ≈ 0.173 3 4 4 5+x 4+x 1 (d) · = 20 + x 19 + x 3 Führt auf die quadratische Gleichung x2 − 6x − 160 = 0 mit den beiden Lösungen x1 = 16 und x2 = −10. Es wurden somit 16 rote Kugeln dazugegeben. (a) i. 21. Kugeln und Urnen... (a) (b) 3·5 15 i. = ≈ 0.5357 28 8 2 5 2 5 ≈ 0.3571 ii. = 14 8 2 i. p = ii. p = iii. p = 5 8 3 8 5 8 · 57 = 15 56 ≈ 0.2678 3 2 5 + 15 + 56 8 · 7 · 6 = 55 56 ≈ 0.9821 22. 5er Folge Mögliche Fälle: P = 100 5 ; Günstige Fälle: 1..5/2..6/...../96..100 - 96 Fälle 96 ≈ 1.275 · 10−6 100 5 23. 99 gewinnt 881 10 ≈ 0.277 P(10xNiete) = 1001 10 Anzahl Zahlen durch 99 teilbar: 10 Anzahl Zahlen durch 9 teilbar: 111, davon aber 1 auch durch 99 teilbar Somit Anzahl Preise: 10 + 110 = 120, Nieten: 881 24. 1 bis 9999 5274 1-stellig: 9 / 2-stellig: 9 · 9 = 81 / 3-stellig: 9 · 9 · 8 = 648 / 4-stellig: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 25. Rubbeln 12! = 1660 320 5! · 3! · 2! · 2! 5 2 5 = (b) ≈ 15.15% 33 12 2 (a) (c) Kein Gewinn:1 − G5 − G10 − G20 = 1 − 7 (d) PGewinn = 33 Pmind. 2x Gewinn = 1 − P0 − P1 = 1 − 26. Euromünzen (a) i. P = 4 5 · 1 3 0 = 9 21 3 26 5 33 5 2 3 2 + + 2 2 26 = ≈ 78.78% 33 12 2 −5· 7 33 · 26 4 33 ≈ 0.2877 ≈ 28.77% 4 5 · 5 2 1 = ii. P = 9 14 3 4 5 · 37 0 3 iii. P = 1 − = 9 42 3 4 5 4 5 · + · 1 4 0 3 1 (b) P = = 9 6 4 27. Fair oder nicht fair? Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich eine Simulation mittels eines kleinen Programms oder die Modellierung als dynamisches System (Startvektor und Übergangsmatrix). Anna gewinnt mit Wahrscheinlichkeit ≈ 0.416 28. Gefälschte Münze P5·Z = (1 − p)5 = 0.00032 ⇒ p = 0.8 29. Kartenspiel (a) (b) (c) (d) 20 16 · 4 0 ≈ 0.082 36 4 9 4· 4 ≈ 0.00855 36 4 4 4 32 32 4 32 · · · 2 2 3 4 1 0 + + ≈ 0.0527 36 36 36 4 4 4 1 3 12 · · 1 1 2 ≈ 0.00336 36 4 30. Kartenspiel (a) 3 + + 2 i. 20 2 10 10 + · 2 1 ii. 20 2 10 2 2 2 10 1 + 5 2 = 59 ≈ 0.3105 190 = 145 ≈ 0.7631 190 2 3 + · 1 1 16 iii. = ≈ 0.08421 190 20 2 Von den 16 Möglichkeiten den Wert 4 zu erhalten stammen 10 nur von schwarzen Karten, also 10 16 = 62.5% 5 2 6 1 7 (b) 2 Mal rot: P4 + P8 = 45 + 45 = 45 10 2 Mal schwarz: P4 + P8 = 45 + 0 = 10 45 1 10 = 10 schwarz/rot: P4 + P8 = 0 + 100 Maximal, wenn 2 schwarze Karten gezogen werden. (c) ≈ 0.09126 1 5·5 = P(nicht 0) = 10 · 10 4 P0 + P1 + P2 = 0.7520 + 20 · 0.25· 0.7519 + 190 · 0.252 · 0.7518 ≈ 0.09126 31. Pokerspiel (a) (b) 6 51 1 17 (c) 37 Karten wovon 26 Asse Es kann mit der ersten angegebenen Wahrscheinlichkeit die total beizufügenden Asse und Könige berechnet werden. 32. Taxi bitte! 12 9 5 · · = 270 720 Möglichkeiten 3 4 5 33. Herr G. und sein Bus (a) 0.95 (b) 53 0.13 0.92 (c) 3 · 0.93 0.12 34. Schwarzfahrer (a) 0.9 · 0.001 + 01. · 0.02 (b) 0.9·0.001 0.9 35. Brünigbahn 8 10 · 8 4 (a) ≈ 0.0113 18 12 8 10 8 10 · · 2 10 3 9 (b) 1 − − ≈ 0.968 18 18 12 12 36. Ticketkontrolle im Bus 0.607 Rechne mit dem Komplement. 37. Gelieferte Äpfel P (brauchbar und keine Druckstelle) = 0.95 · 0.75 = 0.7125 Idealerweise mit einem Baumdiagramm zu lösen. 38. Hühnereier (a) 6 7 (b) 0.00321 (c) 0.292 Teilaufgabe kann mit der Formel der Binomialverteilung gelöst werden. 39. Weisse, schwarze und braune Truffes Es ist zweckmässig in einem Baumdiagramm alle möglichen Ziehungen zu erfassen. (a) 2/7 (b) 5/84 (c) Bedingte Wahrscheinlichkeit: 1 84 5 84 = 1 5 40. Knapp daneben ist auch vorbei 0.7n ≤ 0.1 ⇒ 7 Schüsse 41. Tells Geschoss PGesslertot = (1 − p) · p = maximal ⇒ p − p2 = maximal 0 PGesslertot = 1 − 2p = 0 ⇒ p = 0.5 ist Maximum, weil P 00 = −2 < 0 ist. 42. Wilhelm Tell (a) i. 0.4096 ii. 0.5904 iii. 0.4096 (b) 5 (c) 0.16 43. Geburtstagsprobleme Verschiedene Wochentage: 7! ≈ 0.006 77 Gleicher Wochentag: 1 ≈ 0.000008 76 44. Geburtstagsproblem ≈ 0.507 365! Palle verschieden = (365−23)! ≈ 0.4927 36523 Pmind. 2 gleich = 1 − Palle verschieden ≈ 0.507 45. Alle Jahre wieder - der Geburtstag (a) 116 ≈ 0.593 126 12 ii. ≈ 0.069 123 i. iii. 6 3 3 3 1 3 ≈ 0.132 4 4 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 ≈ 0.777 iv. 1 − Palle verschieden = 1 − 126 n 11 < 0.1 (b) Pniemand im März = 12 log 0.1 n= ≈ 26.46 Personen ⇒ 27 Personen log 11 12 46. Internationaler Wettkampf (a) (b) (c) (d) 3 12 56 = 14 1 1 56 · 2 = 28 1 2 11 14 ; Sinnvollerweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide ungerade Nummern haben. Diese Wahrscheinlichkeit von 1 subtrahieren. 47. Eishockeyspiel 945 Das Verteilen der Tore einer Mannschaft auf die drei Drittel lässt sich als ’Kombinationen mit Wiederholung’ auffassen. 48. Nummer 1 der Weltrangliste (a) (0.8)n < 0.01 ⇒ n = log(0.01) ≈ 20.6377 ⇒21 Turniere. log(0.8) (b) 9 · 0.22 · 0.88 ≈ 0.06039 (c) P>17 = P18 + P19 + P20 = 20 18 · 0.818 · 0.22 + 20 · 0.819 · 0.21 + 0.820 ≈ 0.2060 49. Rauchen schadet der Gesundheit (a) 10 5 · 0.355 · 0.655 = 0.15357 ≈ 15.36% ln 0.01 ≈ 10.69 ⇒11 Personen ln 0.64 (c) 0.35 · 0.15 + 0.65 · 0.021 = 0.06615 ≈ 6.62% (b) 0.65n > 0.01 ⇒ n > (d) 0.35 · 0.15 = 0.0525 ⇒ 0.0525 : 0.06615 ≈ 0.7936 ≈ 79.36% 50. Blutspende (a) 0.04 · 0.05 + 0.96 · 0.98 = 0.9428 = 94.28% (b) als Diabetiker angezeigt: 0.04 · 0.95 + 0.96 · 0.02 = 0.0572 = 5.72% davon effektiv nicht Diabetiker: 0.96 · 0.02 = 0.0192 ⇒ 0.0192 : 0.0572 = 0.33566 ≈ 33.57% (c) als Diabetiker angezeigt: 0.04 · 0.95 + 0.96 · p davon effektiv nicht Diabetiker: 0.96 · p 0.96 · p also = 0.13 ⇒ p ≈ 0.005914 ≈ 0.59% 0.04 · 0.95 + 0.96 · p 51. Dopingkontrolle (a) 0.8 · 0.8 = 0.64 = 64% (b) Pmehr als einmal getestet = 1 − P0 = 1 − 0.812 ≈ 0.93128 ≈ 93.13% 24 24 23 (c) P0 + P1 + P2 = 0.8 + 24 · 0.2 · 0.8 + · 0.22 · 0.822 ≈ 0.11451 ≈ 11.45% 2 52. Brandmelder 0.0178 bedingte Wahrscheinlichkeit! 53. Geräteausfall P(Ausfall) = 0.1 · 0.6 = 0.06 ⇒ P(kein Ausfall) = 1 − 0.06 = 0.94 Idealerweise mit einem Baumdiagramm zu lösen. 54. Zuverlässigkeit von Systemen (a) Mit q = 1 − p erhält man Z(p) = 1 − 1 − 1 − q 2 p q. (b) p > 0.79 55. Socken Ein Baumdiagramm verschafft eine gute Übersicht. (a) (b) (c) 10 24 6 24 19 24 · · · 3 23 5 23 18 23 + + 3 24 10 24 · · 10 23 9 23 + 3 24 · 2 23 + 5 24 · 4 23 56. passende Handschuhe P = 13 21 Lösung über Komplement: ’keine passenden Handschuhe’ 10 Mögliche Fälle: = 210; Günstige Fälle: 24 · 5 = 80 4 8 8 13 P(keine passenden) = 21 ⇒ P(mind. 2 passende) = 1 − 21 = 21 ≈ 0.619 57. Schmuggler.... Berechnung der Anzahl günstiger Fälle zur Anzahl möglicher Fälle: (a) (22)(18 2) (20 4) (b) (21)(18 3) (20 4) (c) (18 4) (20 4) 58. Besserwisser und Chancenlos (a) (b) (c) 1 3 5 100 + 10 100 + 30 100 1 10 3 · 100 1 3 5 10 30 + 100 + 100 ( 100 ) 1 95 3 100 59. Holzklötze Eine einfache und sichere Lösung der Aufgabe besteht darin, alle möglichen Varianten in einem Baumdiagramm aufzuzeichnen. (a) 13/35 (b) 358/1225 (c) 509/1225 (d) Binomialverteilung liefert ≈ 0.0013 60. 6 Ziegen und zwei Autos Ohne Wechsel beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4. Die Situation beim Wechsel lässt sich am besten mittels eines Baumdiagrammes beschreiben. Die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt auf 7/20. 61. Vier Ziegen und zwei Autos (a) Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Türwechsel: 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit mit Türwechsel: 5/12 (b) Gewinnwahrscheinlichkeit ohne Türwechsel: 1/3 3n−1 Gewinnwahrscheinlichkeit mit Türwechsel: 9n−6 Für grosse Werte von n spielt es keine Rolle, welche Strategie gewählt wird. 62. Affenglück und anderes (a) Die beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen sich gemäss 4 6 39 1 5 1 und 45 50 6 Ein Fünfer im Zahlenlotto ist wahrscheinlicher. (b) Als Beispiel wird der Spieler betrachtet. Er kann im ersten Wurf, im fünften Wurf oder im neunten Wurf gewinnen. Gewinnt er erst im neunten Wurf, wurde vorher während acht Würfen keine Sechs gewürfelt. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von A lautet also: 4 8 5 1 5 1 1 + + ≈ 0.28 6 6 6 6 6 B gewinnt mit Wahrscheinlichkeit ≈ 023., C mit ≈ 0.19 und D mit ≈ 0.16. 63. Multiple-Choice und anderes (a) Wahrscheinlichkeit für keine einzige richtige Antwort: 300 4 5 Wahrscheinlichkeit genau einen Drittel der Fragen richtig zu beantworten 100 200 300 1 4 100 5 5 (b) Es gibt genau 6 verschiedene Möglichkeiten, die Augensumme 16 zu würfeln. Bei 2 dieser 6 Möglichkeiten zeigt der erste Wurf eine 5. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 1/3. 64. Werbung in einer Zeitschrift (a) 30! (b) 30! (3!)10 (c) 27!·10·6 30! ≈ 4.386 · 1024 = 1 406 65. Herrentoilette im Wiener Prater 4990 der total 5005 möglichen Schlangen sind problemlos. Dies entspricht 99.7%. 66. Glücksrad (a) 243 (b) 0.5 (c) (d) 7 18 8 81 (e) 26 Es vorteilhaft mit dem Komplement zu rechnen. 67. Batterien 6885 Euro Als erster Schritt muss berechnet werden, wie viele Sets wahrscheinlich zurückerstattet werden müssen. 68. Benford’s Gesetz p = log10 2, q = 1 − p Insgesamt gibt es 5 mögliche Anordnungen der vier Ziffern 1, jede Anordnung hat die Wahrscheinlichkeit p4 q 4 . Damit folgt 5p4 q 4 ≈ 1%. 69. Peinliche Frage Die gesuchte Wahrscheinlichkeit sei x. Die Gleichung x · 16 + (1 − x) · 56 = 0.8 liefert x = 1 20 . 70. Clochards P(Clochard und Zapfenzieher) = 0.001 · 0.9 = 0.0009 P(Nichtclochard und Zapfenzieher) = 0.999 · 0.05 = 0.04995 Von allen potentiell gefundenen Zapfenziehern (0.0009 + 0.04995) stammen 1.77% von den Clochards. Der Inspektor irrt sich als mit Wahrscheinlichkeit 98.23% 71. Kunstausstellung (a) P = 1 3 · 4 5 + 2 3 · 1 2 = 3 5 (b) Von den 60% aller Besucherinnen sind 44.444% einheimisch und 55.555% (= Lösung) auswärtig. 72. Trio Tetra Crap Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten der 3 4 5 6 7 8 9 1/32 3/32 5/32 7/32 7/32 5/32 3/32 Übergangsmatrix A und Startvektor ~x liefert möglichen Augensummen bestimmt werden: 10 Modellierung als dynamisches System mit 1/32 (a) zum Beispiel mit A100 ~x eine Gewinnwahrscheinlichkeit ungefähr 55% (b) mit A5 ~x − A4 ~x ungefähr 2% (c) mit A4 ~x ungefähr 11% 73. Kostenoptimierung Kosten K(n) = n + 10000 · 0.9n , 66 Bauteile
