- TU Bergakademie Freiberg

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Einführungsskripte
„Numerische Berechnungsverfahren
in der Geotechnik“
Teil I:
Übersicht und Literaturhinweise
Freiberg: 4/2013
Prof. Dr.-Ing. habil. Heinz Konietzky
Dr. rer. nat. Lothar te Kamp
TU Bergakademie Freiberg
ITASCA Consultants GmbH
Nur zum internen und privaten Gebrauch !
1
Die kleine Skriptreihe, bestehend aus 8 Teilen im pdf-Format, stellt eine einfach
verständliche Einführung für Anfänger in das Gebiet der numerischen Berechnungen
(Simulationen) in der Geotechnik dar. Inhalt ist es, die wichtigsten Begriffe kurz zu
umreißen sowie praktische Hinweise für den Einsatz numerischer Simulationen und die
Bewertung numerischer Berechnungsergebnisse zu geben. Für das vertiefende
Studium wird die unten aufgeführte Literatur oder aber die Teilnahme an speziellen
Kursen empfohlen.
Das Skriptmaterial ist nur zum privaten und internen Gebrauch bestimmt !
Inhaltsübersicht zu den Skripten:
1. Skript: Einleitung und Literaturhinweise
2. Skript: Grundlagen Spannungs- und Deformationstensor
 Grundregeln Tensorrechnung
 Spannungstensor
 Deformationstensor
 Gleichgewichts- und Kompatibilitätsbedingungen
3. Skript: Klassifizierung Berechnungsverfahren
 Räumliche vs. zeitliche Diskretisierung
 Netzbehaftete Methoden und netzfreie Methoden
4. Skript: Matrix-Stoffgesetze
 Klassifizierung
 Grundlagen der Elasto-Plastizität
 Ausgewählte Matrix-Stoffgesetze
5. Skript: Kluft-Stoffgesetze
 Generelle Klufteigenschaften
 Klassifizierung
 Ausgewählte Kluft-Stoffgesetze
6. Skript: HTM-Kopplungen
 Hydraulische Gesetze
 Hydro-mechanische Kopplungsmöglichkeiten
 Thermo-mechanische Gesetze und Kopplungen
7. Skript: Methodik
 Besonderheiten der Numerik für geotechnische Problemstellungen
 Numerik im Methodenspektrum des Geotechnikers
 Konzeptionelles Modell
 Numerisches Modell
8. Skript: Praktische Hinweise
 Anfangs- und Randbedingungen
 Vernetzungsregeln und -techniken
 Modellgröße
 Kontinuum vs. Diskontinuum / Maßstabseffekte
 2D vs. 3D
 Besonderheiten ei dynamischen Berechnungen
 Netzabhängigkeit im Nachbruchbereich
 Parallelisierung
 Wichtige Termini
2
Literaturhinweise: Mechanik und Numerik - allgemein:
Gross, D. u. a. (2002):
Technische Mechanik 1 + 2 + 3 + 4, Springer Verlag
Becker, W. u. a. (2002):
Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag
Yu, M.-H. u. a. (2006):
Generalized Plasticity, Springer Verlag
Backhaus, G. (1983):
Deformationsgesetze, Akademie Verlag
Fung, Y. C. (2001):
Classical and Computational Solid Mechanics, World Scientific
Da Silva, V. D. (2006):
Mechanics and Strength of Materials, Springer Verlag
Ottosen, N. S. (2005):
The Mechanics of Constitutive Modeling, ELSEVIER
Zienkiewicz, O.C. (1992):
Methode der finiten Elemente, Hanser Fachbuchverlag
Literaturhinweise: Geotechnik und Numerik - speziell:
Chen, W. F. (1980):
Nonlinear Analysis in Soil Mechanics, ELSEVIER
Jing, L. u. a. (2007):
Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering, ELSEVIER
Wood, D. M. (2004):
Geotechical Modelling, Spon Press
Hudson, J.A. (1993):
Comprehensive Rock Engineering, Vol. 1-5, Pergamon Press
3
Literaturhinweise: Ausgewählte Zeitschriften:
Int. J. Rock Mechanics and Mining Sciences, Elsevier
Computers and Geotechnics, Elsevier
Granular Matter, Springer Verlag
Acta Geotechnica, Springer Verlag
Rock Mechanics and Rock Engineering, Springer Verlag
Int. J. Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, John Wiley & Sons
Tunneling and Underground Space Technology, Elsevier
Literaturhinweise: Ausgewählte Proceedings:
Sainsbury, D. et al. (2011):
Second International FLAC/DEM Symposium on Numerical Modeling, ICG, USA
Detournay, Ch. et al. (2008):
First International FLAC/DEM Symposium on Numerical Modeling, ICG, USA
Varona, P. et al. (2006):
Fourth Int. FLAC Symposium on Numerical Modeling in Geomechanics, ICG, USA
Konietzky, H. (2004):
Numerical Modeling of Discrete Materials, Taylor & Francis
Shimizu, Y. et al. (2004):
Numerical Modeling in Micromechanics via Particle Methods, Taylor & Francis
Andrieux, P. et al. (2003):
FLAC and Numerical Modeling in Geomechanics 2003, Taylor & Francis
Billaux, D. et al. (2001):
FLAC and Numerical Modeling in Geomechanics, Taylor & Francis
Konietzky, H. (2002):
Numerical Modeling in Micromechanics via Particle Methods, Taylor & Francis
Detournay, Ch. (1999):
FLAC and numerical Modeling in Geomechanics, Taylor & Francis
Die Vorträge bzw. Proceedings können kostenfrei heruntergeladen werden:
http://www.itascacg.com/software/symp.php
4
Sehr detaillierte Beschreibungen zur Theorie, der praktischen Anwendung sowie dem
Umgang mit geotechnischer Numerik-Software finden sich in den mehrbändigen
Handbüchern zu den einzelnen Software-Produkten der Firma ITASCA: FLAC/FLAC3D
(Kontinuumsmechanik auf Basis der expliziten und impliziten FDM und FEM),
UDEC/3DEC (Diskrete Elemente Methode) sowie PFC/PFC3D (Partikelsimulation).
Zusammen mit den ‚Studentenversionen‘ der Programme (Versionen mit voller
Funktionalität, aber begrenzter Elementanzahl) lassen sich diese für jeden
Interessenten kostenfrei von der Homepage www.itascacg.com herunterladen und
nutzen.
Weitere Informationen finden sich auch unter: www.cae-wiki.com
5
Einführungsskripte
Teil II:
Spannungs- und Deformationstensor
Freiberg: 4/2013
1
0. Einleitung
Alle numerischen Berechnungen müssen den folgenden 3 grundlegenden Beziehungen genügen bzw. berücksichtigen:

Gleichgewichtsbedingungen

Kompatibilitätsbedingungen

Stoffgesetz
Die Kopplung zwischen den Spannungen und den Deformationen erfolgt über das
Stoffgesetz, auch konstitutive Beziehung genannt. Spannungen und Deformationen
werden dabei durch Tensoren 2. Stufe gebildet. Das Stoffgesetz wird durch einen
Tensor 4. Stufe bzw. entsprechende funktionale Zusammenhänge beschrieben. Für
statische Problemstellungen ohne Diskontinuitäten müssen innere und äußere Kräfte
so bilanziert sein, dass sie sich im Gleichgewicht befinden und die Verschiebungen
müssen mit den Deformationen in einer solchen Beziehungen stehen, dass die Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind. Das folgende Schema illustriert das Zusammenwirken dieser Komponenten, wobei in den nachfolgenden Kapiteln die einzelnen
Größen näher erläutert werden.
innere + äußere Kräfte
FI, FA
Verschiebungen
ui
Gleichgewichtsbedingungen
Kompatibilitätsbedingungen
Spannungen
ij
Stoffgesetze
Verzerrungen
ij
2
1. Vorbemerkung zu Tensoren
Vereinfacht können Tensoren als spezielle mehrdimensionale Matrizen bezeichnet
werden, die bestimmte Eigenschaften besitzen. Für die Geomechanik sind insbesondere die Transformationseigenschaften von Bedeutung (Transformationsalgebra).
Es existieren verschiedene Darstellungsformen für Tensoren (Matrizen), z. B.:
-
mittels Indizes:
a
Skalar
=
Tensor 0. Stufe  1 Wert
Dichte
ai
Vektor
=
Tensor 1. Stufe  3 Werte
Verschiebung
aij
Dyade
=
Spannung
aijk
Triade
=
=
aijkl
-
Steifigkeitsmatrix
mittels unterschiedlicher Klammern:
a
a
a
a
-
phys. Beispiel
Skalar
Vektor
=
Tensor 1. Stufe
Dyade
=
Tensor 2. Stufe
=
Tensor 4. Stufe
mittels Zeichen über Symbolen:
a
Skalar
a
Vektor
=
Tensor 1. Stufe
a
Dyade
=
Tensor 2. Stufe
=
Tensor 4. Stufe
a
3
2. Besondere Tensoren
Einige häufig verwendete Tensoren, die insbesondere bei Transformationen Verwendung finden, werden international einheitlich definiert:
Einheitstensor oder Kronecker-Symbol
 1 0 0


ij   0 1 0 
 0 0 1


(1.1-1)
mit
 ij  1
für
i=j
(1.1-2)
ij  0
für
ij
(1.1-3)
Der Einheitstensor ist vollständig symmetrisch.
Permutationssymbol (Epsilon - Tensor = Levi-Civita-Symbol)
ijk =





1
wenn ijk gerade Permutation von 1, 2, 3
-1
wenn ijk ungerade Permutation von 1, 2, 3
0
wenn mindestens 2 Indizes gleich sind (keine Permutation)
gerade Permutation = Komposition einer geraden Anzahl von 2-er Zyklen
312
Bsp. 123

321
123
gerade Permutation (2 Zyklen)
231
Der -Tensor ist vollständig antisymmetrisch
123 = 231 = 312 = -321 = -132 = -213 = 1
(1.1-4)
alle anderen Elemente sind gleich Null!
Nulltensor
alle Elemente sind Null, z. B.
0 0 0


aij   0 0 0 
0 0 0


(1.1-5)
4
3. Beispiele
Im Folgenden werden exemplarisch einfache Tensoroperationen vorgestellt:
1.
Transformation von Vektoren
x'i
xi'  aij x j

aij  cos xi' , x j

 ij
(1.1-6)
(1.1-7)
xj
a ij  Transformationsmatrix
2.
Elastisches Stoffgesetz
 ij  E ijkl  kl
3.
(1.1-8)
Inverse bzw. transponierte Matrix
aijT  aij1  a ji 
 a11 a12

 a 21 a 22
a
 31 a32
4.
a13 

a 23 
a33 
1
 a11 a 21 a31 


  a12 a 22 a32 
a

 11 a 23 a33 
(1.1-9)
„Austauschregel“
ai  ik ak
ik = Kronecker-Symbol
(1.1-10)
Wechsel der Indizes: von k auf i
oder z.B:  ijtotal   ijeffektiv   ij p
5.
ui, j 
6.
Ableitungen (Differentialquotienten)
ui
x j
(1.1-11)
Einsteinsche Summationskonvention
(über gleiche Indizes wird summiert)
aii = a11 + a22 + a33
(1.1-12)
5
Additionsregel  Summentensor
7.
(nur Tensoren gleichen Formats können addiert bzw. subtrahiert werden)
ai1 ….. in + bi1 ….. in = si1 …..in
(1.1-13)
ai + bi = si
(1.1-14)
Produktregel  Produkttensor
8.
(alle Elemente des Linksfaktors m-ter Stufe werden unter Beachtung der Reihenfolge
mit allen Elementen des Rechtsfaktors n-ter Stufe multipliziert, d. h. die Multiplikation
eines Tensors m-ter Stufe mit einem Tensor n-ter Stufe ergibt einen Tensor
(m + n) -ter Stufe)
Beachte: Das Produkt zweier Tensoren ist i. d. R. nicht kommutativ!
a i1 ... in b j1 ... jm  p i1 ... in j1 ... jm
ai b j  p ij
9.
(1.1-15)
Überschiebung
Überschiebung entsteht, wenn beim Produkt zweier Tensoren ein Index des Linksfaktors gleich einem Index des Rechtsfaktors ist. Eine Überschiebung erniedrigt die
Stufe des Produkt-Tensors um 2.
a ij b j  c i
(1.1-16)
a ijk b jq  c ikq
10.
Verjüngung
Werden in ein und demselben Tensor der Stufe n 2 zwei Indizes gleichgestellt, so
spricht man von Verjüngung. Die Stufe des Tensors erniedrigt sich dabei um 2.
a iik  b k
(1.1-17)
Das gleiche Ergebnis erhält man durch Überschiebung mit dem Kronecker-Symbol:
ij aijk  bK
(1.1-18)
6
4. Der Spannungstensor
Belastungen resultieren aus äußeren Kräften FA (Flächenkräfte) und inneren Kräften
FI (Volumenkräfte) gemäß Abb. 1.2-1.
Abb. 1.2-1: Körper mit Volumen- und Flächenkräften
Für einen beliebig orientierten Schnitt erhalten wir den Spannungsvektor t, wobei vorausgesetzt wird, dass nur Kräfte und keine Momente übertragen werden.
 F 
t  lim 

A  0  A 
(1.2-1)
Gemäß Abbildung 1.2-2 lässt sich der Spannungszustand in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen.
Abb. 1.2-2: Spannungskomponenten am Würfel
Auf den drei Schnitten des Würfels erhalten wir drei Spannungsvektoren t 1, t2, t3:
 i1 
t i   i 2 
 i 3 
wobei {i1, i2, i3} die 3 Spannungskomponenten
der jeweiligen Würfelfläche (Abb. 1.2-2) darstellen.
(1.2-2)
In ausführlicher Form:
7
 ij  t1 , t 2 , t3 
T
 11  12  13   xx  xy  xz 


  21  22  23    yx  yy  yz 
 31  32  33   zx  zy  zz 
(1.2-3)
Der erste Index gibt die Normalenrichtung der Bezugsebene an, der zweite Index die
Wirkungsrichtung der Spannungskomponente. Gemäß Gleichung 1.2-3 hat der
Spannungstensor 9 Elemente.
Wenn man unterstellt, dass die Summe der Momente gleich Null ist, so erhält man
paarweise gleiche Schubspannungen (Boltzmann-Axiom) (Abb. 1.2-3):
M
M
M
xy
 0   xy  l  4l 2   yx  l  4l 2
  xy   yx
xz
 0   xz  l  4l 2   zx  l  4l 2
  xz   zx
yz
 0   yz  l  4l   zy  l  4l
  yz   zy
2
2
(1.2-4)
yy
yx
l
xx
xy
xx
xy
yx
yy
Abb. 1.2-3:
Gleichgewichtsbetrachtung am Volumenelement (2D, x-y-Ebene)
Aus (1.2-3) folgt, dass der Spannungstensor symmetrisch ist, das heißt:
ij   ji
bzw.

T
(1.2-5)
Damit reduziert sich der Spannungstensor von 9 auf 6 Größen (paarweise gleiche
Schubspannungen = Ausschluss von Rotationen).
Der Zusammenhang zwischen Spannungsvektor und Spannungstensor ergibt sich
auf der Basis der Gleichgewichtsbedingungen in Richtung der Koordinaten xi
(Abb.1.2-4):

ni  cos n, x i

(1.2-6)
dAi = ni dA
(1.2-7)
8
ni = Einheitsnormalenvektor
Abb. 1.2-4: Spannungstensor und Spannungsvektor
t1 dA  11 dA1   21 dA 2  31 dA 3
t 2 dA  12 dA1   22 dA 2  32 dA 3
(1.2-8)
t 3 dA  13 dA1   23 dA 2  33 dA 3
Unter Nutzung von (1.2-6) und (1.2-7) vereinfacht sich 1.2-8 zu:
t1  11n1  21n2  31n3
t 2  12n1  22n2  32n3
(1.2-9)
t 3  13n1  23n2  33n3
(1.2-9) lässt sich tensoriell wie folgt schreiben:
t i   ji n j  ij n j
(1.2-10)
T
n n
Gleichung 1.2-10 dokumentiert die Gleichheit zugeordneter Schubspannungen. Der
so beschriebene Tensor 2. Stufe wird auch als Cauchy’scher Spannungstensor oder
auch „wahrer“ Spannungstensor oder auch Eulerscher Spannungstensor bezeichnet.
Beim Cauchy’schen bzw. Eulerschen Spannungstensor ij wird der aktuelle Kraftvektor auf das aktuelle (deformierte) Flächenelement bezogen.
dFi   ji dA j
(1.2-11)
Fi: aktueller Kraftvektor
Aj: aktuelles Flächenelement dAj = njdA
9
Alternativ dazu kann man den aktuellen Kraftvektor Fi auch auf das Ausgangsflächenelement A° (d.h. vor der Deformation !) beziehen. Diesen Spannungstensor bezeichnet man auch als Nennspannungstensor, Lagrangeschen Spannungstensor
oder 1. Piola-Kirchhoff-Tensor Tij:
dFi  Tji dAj
(1.2-12)
Der Spannungstensor lässt sich in Normal- und Scherkomponente zerlegen (n: Normalenvektor; m: Tangentenvektor). Dabei gilt (siehe Abbildung 1.2-5):
n  ni t i  ni ij  n j
(1.2-13)
bzw.
n  mi t i  mi  ij n j
(1.2-14)
Ausführlich bedeutet dies:
n  n1 11 n1  n1 12 n2  n1 13 n3
 n2  21 n1  n2  22 n2  n2  23 n3
(1.2-15)
 n3 31 n1  n3 32 n2  n3 33 n3
Aus (1.2-15) folgt z. B.:
 1
 
n  0
0
 

n  11
0
 
n  0
 1
 

 n   33
Für die Scherspannung bedeutet dies:
n  m1 11 n1  m1 12 n2  m1 13 n3
 m2  21 n1  m2  22 n2  m2  23 n3
(1.2-16)
 m3 31 n1  m3 32 n2  m3 33 n3
10
Aus (1.2-16) folgt z. B.:
 1
 
n  0 ;
0
 
0
 
m   1
0
 

n   21
0
 
n  0 ;
 1
 
0
 
m   1
0
 

n   23

n  12
Wenn n  mi  ji n j , dann
 1
 
n  0 ;
0
 
0
 
m   1
0
 
t
n
m
m
n
.
Abb.: 1.2-5: Zerlegung des Spannungsvektors t in Normal- und Schubspannung
Dabei gilt stets: ni ni = 1 bzw. mi mi = 1
Betrachten wir nun ausgesuchte Richtungen, in denen es nur eine Normalspannung
, also keine Scherspannung , gibt. Für solch eine Konstellation gilt:
ti = ij  nj
bzw.
ti =   ij  nj
(1.2-17)
mit
nj kennzeichnet die Hauptspannungsrichtung
 1 0 0


ij   0 1 0 
 0 0 1


(1.2-18)
11
Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke in (1.2-17) erhält man:
ij nj =   ij  nj
(ij - ij  )  nj = 0
bzw.
(1.2-19)
Gleichung 1.2-19 beschreibt ein Eigenwertproblem mit den Eigenwerten  und nj. Für
die nichttriviale Lösung muss die Koeffizientendeterminante von (1.2-19) verschwinden:
det (ij -   ij) = 0
(1.2-20)
bzw.
 11  
 12
 13
 12
 22  
 23  0
 13
 23
 33  
(1.2-21)
Die Lösung von 1.2-21 führt auf eine charakteristische Gleichung 3. Grades:
3  I1 2  I2   I3  0
(1.2-22)
wobei gilt:
I1  KK  11   22   33  ij ij
I2 
(1.2-23)

13


12
1
ii  jj  ij  ji  11
 11
 22
31 33
32
 21  22
2


 23
33
(1.2-24)
2
2
 11 22   22 33  1133  12
  223  31
 
I3  det ij 
1 1
3

 ii jj KK  ij  jK Ki  ij  ji KK 
3 2
2

 11 22  33 
11 223

2
 22 13

2
 33 12
(1.2-25)
 212  23 31
Die Werte I1, I2, I3 werden Haupt-Invarianten (I1: erste Haupt-Invariante, I2: zweite
Haupt-Invariante, I3: dritte Haupt-Invariante) des Spannungstensors genannt, d. h.,
sie sind unabhängig von Änderungen des Koordinatensystems (Translation, Rotation).
Neben diesen Haupt-Invarianten gibt es noch die so genannten Grund-
Invarianten, die als spezielle „Teilmenge“ der Haupt-Invarianten angesehen werden
können: Sie lauten:
12
J1  kk  I1
1
1
ij ji  I12  I2
2
2
1
1
J3  ij jk ki  I13  I1 I2  I3
3
3
J2 
(1.2-26)
Neben der kartesischen Darstellung ist auch eine Darstellung in Form der
Hauptspannungen möglich:
I1 = 1 + 2 + 3
(1.2-27)
I2 = 12 + 23 + 13
(1.2-28)
I3 = 123
(1.2-29)
Eine interessante Zerlegung des Spannungstensors ist möglich, in dem man eine
mittlere Hauptspannung definiert:
0 
1
1
KK  11  22  33 
3
3
(1.2-30)
0 wird auch als „hydrostatischer Spannungszustand“ oder „Kugeltensor“ bezeichnet.
Der Spannungstensor lässt sich nun folgendermaßen schreiben:
ij   0 ij  sij
(1.2-31)
In Matrixschreibweise lautet dies:
11 12

 21  22
 31  32
13 
 23 
 33 

 0
0

 0
0
0
0
0
0 
 0 

11   0
 
21

  31
12
 22   0
 32
13 
 23 
 33   0 
(1.2-32)

 0
0

 0
0
0
0
0
0 
 0 

 s11 s12
s
 21 s 22
s31 s32
s13 
s 23 
s33 
sij wird als deviatorischer Spannungsanteil bezeichnet.
13
Sowohl für den Kugeltensor als auch den Spannungsdeviator lassen sich die Invarianten angeben. Für den Kugeltensor lauten die Haupt-Invarianten:
I1  30
3 2
0
2
I2 
I3  30
(1.2-33)
Die Grund-lnvarianten lauten:
J1  30
J2 
3 2
0
2
J3  30
(1.2-34)
Für den Deviator lauten die Haupt-Invarianten:
I1D  skk  11  0   22  0   33  0   0

(1.2-35)

1
sii s jj  sij s ji
2
2
2
 11  0  22  0    22  0 33  0   11  0 33  0   12
  223  31
ID2 
(1.2-36)
 
ID3  det sij

11
3

 sii s jj skk  sij s jk ski  sij s ji skk 
32
2

(1.2-37)
Für den Deviator lauten die Grund-lnvarianten:
J1D  skk  0
J 2D 
JD3 
(1.2-38)



1
1
2
2
2
2
sij s ji   11   0    22   0    33   0   2 122  2 23
 2 312
2
2
1
2
2
2
2
  11   22    22   33    33   11    122   23
  312
6
1
2
2
2
  1   2    2   3    3   1 
6


(1.2-39)

1
sij s jk ski  1  0    2  0   3  0 
3
(1.2-40)
Weiterhin häufig verwendet werden die in der Oktaederebene liegenden Spannungen. Die Oktaederebene entsteht, indem der Normalenvektor mit der Raumdiagonalen (hydrostatische Achse) zusammenfällt. Die Hauptspannungen wirken in x1-, x2und x3-Richtung und es gilt:
14
 1 0

ij   0  2
0 0

0

0
 3 
1
x1
3
2
 
 1 
  arc cos 
  54,7
 3
tj

x2
1
x
3 3
nj
t j  1,  2 , 3 
2
Abb. 1.2-6: Darstellung der Oktaederspannungen
Der Spannungsvektor tj ist durch seine 3 Hauptspannungskomponenten 1, 2 und
3 bestimmt. Bezüglich der Normalen auf der Oktaederebene hat der Spannungvektor tj folgende kartesische Komponenten:
tNi  ij n j
nj 
1
3
(1.2-41)
Die Projektion und Summation dieser Komponenten auf den Vektor nj (hydrostatische Achse) bildet die Oktaedernormalspannung:
OCT 
  1
1  1 2

 3   1  2  3   0

3 3
3
3 3
(1.2-42)
Die Oktaedernormalspannung ist also identisch mit dem Kugeltensor (mittlere Normalspannung). Die Subtraktion der Oktaedernormalspannung von den Hauptspannungen führt zu den Deviatorspannungen:
s1 = 1 - 0
s2 = 2 - 0
(1.2-43)
s3 = 3 - 0
15
Diese Deviatorspannungen werden ebenfalls als kartesische Komponenten bezüglich der Oktaederebene dargestellt:
t1s 
s1
3
s2
3
t s2 
t 3s 
s3
3
(1.2-44)
Die vektorielle Addition führt zur Oktaederschubspannung:
OCT 
t   t   t 
2
2
1
2
2
3

s12 s 22 s 32


3
3
3

1 2
s1  s 22  s32
3

2 D
J2 
3


(1.2-45)
1
sij sij
3
Eine ebenfalls häufig verwendete Größe ist die Vergleichsspannung nach von-Mises
F. Sie basiert auf dem von ihm entwickelten Festigkeitskriterium, das die einaxiale
Fließspannung F mit dem Spannungsdeviator verknüpft:
0  3JD2  F2
(1.2-46)
Daraus folgt:
F  3JD2 
bzw. OCT 
3
sij sij
2
2 2
2
F 
F
3
3
(1.2-47)
(1.2-48)
Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen
Der Spannungstensor als symmetrisch linearer Operator hat die Eigenschaft, dass er
diagonalisiert werden kann, d. h., es existiert eine Orientierung im Raum, bei der bei
drei senkrecht aufeinander stehenden Flächen die Normalspannungen Extremwerte
annehmen (= Hauptnormalspannungen) und gleichzeitig die Schubspannungen verschwinden. Damit sind nur die Elemente der Spur des Tensors besetzt:
 1 0

 ij   0  2
0 0

0

0
 3 
(1.2-49)
16
Die den Flächen zugehörigen Spannungsvektoren fallen bezüglich der Richtung mit
dem Normalenvektor zusammen und besitzen daher nur eine Komponente. Damit gilt
für den Spannungsvektor auf der betrachteten Fläche:
t i  ni 
bzw.
t1  n1 1  l 1
t 2  n2  2  m  2
(1.2-50)
t 3  n3  3  n  3
Der Einheitsnormalenvektor ni  l, m, n beschreibt die Hauptnormalspannungsrichtung. Gleichzeitig gilt für einen Einheitsnormalenvektor generell:
3
n
i 1
2
i
 l2  m2  n2  1
(1.2-51)
Quadriert man Gleichung 1.2-50, so erhält man:
t 12  l2 12
t 22  m 2  22
(1.2-52)
t 32  n 2  32
bzw.
l2 
m 
2
n2 
t12
12
t 22
(1.2-53)
 22
t 32
 32
Die Addition der Gleichungen 1.2-53 liefert unter Beachtung der Beziehung 1.2-51:
t12
12

t 22
 22

t 32
 32
1
(1.2-54)
Gleichung 1.2-54 entspricht der Gleichung eines Ellipsoides in Hauptachsenform,
d.h. die Werte 1, 2 und 3 stellen die Halbachsen des Ellipsoides dar. Die Oberfläche des Ellipsoides stellt die Menge aller möglichen Spannungsvektoren dar. Sind
17
zwei der Hauptspannungen gleich, so entsteht ein Rotationslellipsoid. Wenn alle
Hauptspannungen gleich sind (isotroper Spannungszustand), so entsteht eine Kugel.
Abb. 1.2-7: Spannungsellipsoid (Wenn jeweils einer der Einheitsnormalenvektoren
Null wird, so entstehen Spannungsellipsen.)
In der Geomechanik, insbesondere der Bodenmechanik, haben sich noch spezielle
Darstellungen unter Verwendung der Deviatorebene (siehe Abb. 1.2-8) durchgesetzt.
1
 3

arccos  

 3 

1
2 3 const.
Deviatorebene
T (
1 2 3
is3che Achse


2


s


1 stat
t
ro
Hyd
h
3
2
Abb. 1.2-8: Zerlegung des Spannungsvektors im Hauptspannungsraum
t = Spannungsvektor zum Spanungspunkt T
(1.2-55)
18
(1.2-56)
h
3
 1   2   3   3  1
3
3
s  s 12  s 22  s 32 
2J D2
Auf der Deviatorebene gilt:
 1   2   3   const.
(1.2-57)
Die Deviatorebene durch den Koordinatenursprung wird auch als -Ebene bezeichnet.
1'
T

3'
2'
Abb. 1.2-9: Darstellung des Lode-Winkels θ in der -Ebene
3 3
Es gilt : cos 3   
2
J 3D
J 
D
2
(1.2-58)
3
2

1
3 3 J 3D
  arccos 
3
2

( J 2D )


3 
2 

(1.2-59)
19
Abb. 1.2-10: Darstellung des Lode-Winkels im Hauptspannungsraum
In der Geotechnik werden häufig folgende abgewandelte Invarianten verwendet:
Roscoe-Invarianten p und q und Lode-Winkel θ.
Dabei gilt : p 
(1.2-60)
1
1
3
(1.2-61)
q  3 J 2D


1
3 3 J 3D 

  arccos 
3 
3
2

( J 2D ) 2 
(1.2-62)
Für den Triaxialversuch ergeben sich dann folgende Ausdrücke:
p
1
( 1  2  3 )
3
(1.2-63)
q  1  3
(1.2-64)
1
3
  arccos(3 6 s1  s 32 )  3 6 s1 s 2 s3
(1.2-65)
20
5. Der Deformationstensor
Für die Koordinaten eines Punktes im Ausgangs- bzw. deformierten Endzustand gibt
o
o
 
o 
es folgende inverse Beziehungen: x i  x i  x j  und x i  x i  x j 
 
 
Die Definition des Deformationstensors kann in zwei Systemen erfolgen:
1.
in Bezug auf das undeformierte Ausgangssystem
(= Lagrangesche Betrachtungsweise), d. h., ui ist Funktion der Ausgangskoordinaten
  
ui  ui  x j 
 
2.
(1.3-1)
in Bezug auf das deformierte Endsystem
(= Eulersche Betrachtungsweise), d. h., ui ist Funktion der Endkoordinaten.
~
 
ui  ui  x j 
 
(1.3-2)
x2
P
ui
P
„Lagrange“
x2
x1
x3
x3
x1
x2
P
ui
P
„Euler“
x2
x1
x3
x3
x1
Abb. 1.3-1: Euler’sche und Lagrange’sche Betrachtungsweise der Deformationen
21
Die allgemeine Definition des Deformationstensors lautet:
L
ij 
xK xK


(Lagrange)
(1.3-3)
(Euler)
(1.3-4)
 xi  x j


 xK  xK
ij 
x i x j
E
Mit Hilfe der Gradiententensoren (= Verschiebungsgradienten)
ui

 xj
bzw.
ui
kann
x j
der Deformationstensor wie folgt definiert werden:


„Lagrange“: xi  xi  ui  xi 
 
1.
x i

 xj
 ij 
ui
(1.3-5)

 xj

L
u  
u 
 jK   ij   i   ij   i 



 xj 
 xK 

u
u
u u
  jK  K  j   i i
 x j  xK  x j  xK

(1.3-6)
 
„Euler“: x i  x i  u x j
2.

 xi
u
 ij  i
x j
x j
E
 jK   jK 
(1.3-7)
ui
u
ui ui
 K 
xK
x j
x j uK
(1.3-8)
22
Zur Verdeutlichung des Unterschiedes Euler - Lagrange:
gleiche Netzknoten, aber andere „geografi-
a) Lagrange
sche“ Koordinaten
B (2, 4)
A (2, 2)
B (2, 4)
A (2, 2)
original
deformiert
neue Netzknoten, aber alte „geografische“
b) Euler
Koordinaten
B (2, 4)
A (2, 2)
B (2, 2)
A (2, 1)
original
deformiert
Während bei Lagrange das Netz den Deformationen folgt und sich der neuen Form
anpasst, fließt das Material bei Euler durch das starre Netz.
Neben dem Verschiebungsgradienten und dem Deformationstensor besitzt der Deformationsgradient Fij fundamentale Bedeutung:
FijL 
x i

 xj

 Fij
bzw. FijE 
 xj
x i
 Fij( 1)
(1.3-9)
23
Der Deformationsgradient ist ein Tensor 2. Stufe. Er bildet den Linienelementvektor

ds i (Ausgangskonfiguration) auf den Linienelementvektor ds (aktuelle Konfiguration)
ab. Dabei werden stets die beiden reellen materiellen Punkte betrachtet (Abb. 1.3-2).
y
Bahnlinien
ds
d s°
x
Abb. 1.3-2: Darstellung der Deformationsgradienten
Dabei gilt:
dsi  Fij  dsj
bzw.
(1.3-10)
dsi  Fij( 1)  ds j
Der Deformationszustand lässt sich ingenieurmäßig gemäß (1.3-6) besser wie folgt
definieren:
G
1 L
 ij    i K   jK 
2


u u
1  u j u
    K   i i
2x
 K  x j  x j  xK





(1.3-11)
bzw. gemäß (1.3-8):
A
 jK 
E
1

  jK   jK 
2

1  u j u K ui ui
 


2  u K x j x j x K




(1.3-12)
24
Den Ausdruck 1.3-11 bezeichnet man auch als Greenschen Deformationstensor, den
Ausdruck 1.3-12 als Almansischen Deformationstensor. In der Ingenieurpraxis wird
meist der Greensche Deformationstensor verwendet, wobei das quadratische Glied
vernachlässigt wird (Annahme, dass
ui

<< 1). Damit lautet der vereinfachte De-
 xj
formationstensor (Green):

1  ui u j
 ij     
2x
 j  xi





(1.3-13)
Der Deformationstensor 1.3-13 lässt sich wie folgt erweitern, um Rotationen zu berücksichtigen:
1
ui, j  u j, i   1 ui, j  u j, i 
2
2

eij

w ij





ij 
Verzerrung
(1.3-14)
Rotation
Abb. 1.3-3: Darstellung von Rotation und Verzerrung (2D-Fall)
Dabei gilt:
w 12
 0

w ij   w 21
0
w
 31 w 32
w 13 

w 23 
0 
w 12   w 21
mit
w 13   w 31
w 23   w 32
(1.3-15)
25
 e11 e12

eij   e 21 e 22
e
 31 e 32
e12  e 21
e13 

e 23 
e 33 
e13  e 31
e 23  e 32
mit
(1.3-16)
Damit lässt sich der Deformationstensor wie folgt schreiben:
e12  w 12
 e11

 ij   e 21  w 21
e 22
e  w
31 e 32  w 32
 31
e13  w 13 

e 23  w 23 

e 33

(1.3-17)
bzw.
eij 

1
ij   ji
2

und
w ij 

1
ij   ji
2

für i  j
(1.3-18)
eij wird als Verzerrungstensor bezeichnet, wij als Drehtensor. Es gilt weiterhin:
eij 
1
ij
2
i j
für
(1.3-19)
ij sind die Schubverformungen.
e11, e22 und e33 sind die Dehnungen bzw. Stauchungen.
Die Volumendehnung v erhält man wie folgt:
v 
dV
 KK  11  22  33
dV
(1.3-20)
Die mittlere Dehnung bzw. Stauchung 0 lautet:
0 
1
1
KK   v
3
3
(1.3-21)
In den meisten Fällen werden die Rotationen vernachlässigt und es gilt:
 e11 e12

ij   e 21 e 22
e
 31 e 32
e13 

e 23 
e 33 
e12  e 21
mit
e 23  e 32
e13  e 31
(1.3-22)
In völliger Analogie zum Spannungstensor gibt es auch beim Deformationstensor
entsprechende Invarianten:
I1  e11  e 22  e 33
(1.3-23)
I2  e11 e 22  e 22 e 33  e11 e 33
(1.3-24)
26
I3  e11 e 22 e 33
(1.3-25)
In der Boden- und Felsmechanik müssen oft große Deformationen berücksichtigt
werden. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
A. Anwendung des kompletten Deformationstensors gemäß 1.3-11 bzw. 1.3-12
B. Berechnung im „small strain mode“ gemäß 1.3-13, aber zusätzlich up-daten der
Koordinaten gemäß (1.3-26)
Meist wird die Variante B verwendet.
x(i t  t )

x(i t )

 ( t  t )
ui 2
 t
(1.3-26)
6. Die Kompatibilitätsbedingungen (= Verträglichkeitsbedingung)
Die Kompatibilitäts- oder auch Verträglichkeitsbedingungen regeln die Beziehungen
zwischen den Verzerrungskomponenten so, dass ein eindeutiges „reguläres“ Verschiebungsfeld garantiert ist. Bei eindeutigen Verschiebungen dürfen die Verzerrungen nicht unabhängig voneinander sein, d. h. sie müssen bestimmten Bedingungen
(= Kompatibilitätsbedingungen) genügen.
Ausgangspunkt ist der Deformationstensor:
 ij 
1
ui, j  u j ,i 
2
(1.4-1)
Durch 2-fache Ableitung des Ausdruckes (1.4-1) bei entsprechendem IndexVertauschen erhält man folgende 4 Ausdrücke:
1
ui, jkl  u j , ikl 
2
1
 u k , lij  ul , kij 
2
1
 ui , kjl  uk , ijl
2
1
 u j , lik  ul , jik 
2
 ij , kl 
 kl, ij
 ik , jl
 jl , ik


(1.4-2)
27
Da die Differenziationsreihenfolge beliebig ist, erhält man durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen (1.4-2) folgenden Ausdruck:
 ij , kl   kl, ij   ik , jl   jl , ik  0
(1.4-3)
Aus Gleichung (1.4-3) lassen sich die 6 Kompatibilitätsbedingungen angeben, wenn
gilt:  ij   ji für i  j
11, 22   22, 11  212, 12  0
 22, 33  33, 22  2 23, 23  0
33, 11  11, 33  213, 13  0
11, 23   23, 11  13, 21  12, 31  0
(1.4-4)
 22, 31  31, 22   21, 32   23, 12  0
33, 12  12, 33   32, 13  31, 23  0
Etwas anschaulicher lässt sich beispielsweise die erste Gleichung aus (1.4-4) in kartesischen Koordinaten so schreiben:
2
 2  xy
 2 xx   y y


2
x y
y 2
x 2
(1.4-5)
Geometrisch bedeutet dies, dass die 2. Ableitungen der Längsdehnungen bzw.
Stauchungen in einer bestimmten Relation zur 2. Ableitung der Winkeländerung stehen müssen.
Im ebenen Verzerrungszustand verschwinden alle Verzerrungskomponenten in der
dritten Raumrichtung und alle Ableitungen nach dieser Koordinate (siehe Gleichung
1.4-4), d. h., es bleibt nur Gleichung 1.4-5.
Gemäß Gleichung (1.4-1) lässt sich aus den Verschiebungskomponenten der Deformationstensor eindeutig berechnen durch Differenziation. Will man jedoch umgedreht
aus den Deformationen durch Integration die dazugehörigen Verschiebungen ermitteln, so benötigt man die Kompatibilitätsbedingungen, um zu gewährleisten, dass die
Verschiebungen das Kontinuum nicht verletzen (Auftrennung, Durchdringung …)
28
Neben der oben diskutierten technischen Dehnung, auch Cauchy-Dehnung genannt,
gibt es noch die logarithmische Dehnung (Hencky-Dehnung). Beide sind nur bei kleinen Dehnungen bzw. Stauchungen nahezu identisch:
Technische Dehnung:
Logarithmische Dehnung:
7. Die Gleichgewichtsbedingung
Abb. 1.5-1: Kräftegleichgewicht am Volumenelement (Fi: Volumenkräfte)
Für ein beliebiges aus dem Körper herausgeschnittenes Volumenelement müssen
angreifende Kräfte bzw. Momente im Gleichgewicht stehen. Es wird in der Regel angenommen, dass der Körper keine Rotationen ausführt und daher die Summe der
Momente Null ist.
29
Gemäß der Abbildung 1.5-1 gilt:
F
x
 0:
 yx 


 x 
   x 
dx  dy dz   x dy dz   yx 
dy  dz dx
x
y







  yx dz dx   zx  zx dz  dx dy
z


  zx dx dy  Fx dx dy dz
F
y
(1.5-1)
 0:
 y 
 zy 


   y 
dy  dx dz   y dx dz   zy 
dz  dx dy
y
z




 xy 

  xy dz dy   xy 
dx  dy dz

x


(1.5-2)
  zy dx dy  Fy dx dy dz
F
z
 0:

 zy 

 z 
  z 
dz dx dy   z dx dy   zy 
dy  dx dz



z

y
y







  zy dx dz   xz  xz dx  dy dz
x


  xz dy dz  Fz dx dy dz
(1.5-3)
Die Gleichungen 1.5-1 bis 1.5-3 vereinfachen sich folgendermaßen:
x y x zx


 Fx  0
x
y
z
xy
y
(1.5-5)
xz y z z


 Fz  0
x
y
z
(1.5-6)
y

zy
 Fy  0
x

(1.5-4)
z
30
Einführungsskripte
Teil III:
Klassifizierung
Freiberg: 4/2013
1
Aus praktischer Sicht ist eine Klassifizierung der numerischen Berechnungsverfahren
nach zwei Gesichtspunkten sinnvoll:
 nach der räumlichen Diskretisierung
 nach der zeitlichen Diskretisierung.
Nach der räumlichen Diskretisierung kann man unterscheiden in:
Netzbehaftete Methoden
Netzfreie Methoden
-
Finite Elemente Methode (FEM)
-
Diskrete Elemente Methode (DEM)
-
Finite Differenzen Methode (FDM)
-
Smooth Particle Hydrodynamics
-
Randelemente Methode (BEM)
-
Volumen Elemente Methode (VEM)
(SPH)
Nach der zeitlichen Diskretisierung kann man unterscheiden in:
 explizite Methoden
 implizite Methoden
Praktisch sind verschiedenste Kombinationen zwischen zeitlicher und räumlicher
Diskretisierung in Form von Berechnungsalgorithmen realisiert, z. B. implizite FEM,
explizite FEM, explizite DEM etc. Typische Vertreter von in der Geotechnik
angewendeten Programmtechniken sind Explizite Finite Differenzen Codes und
Implizite Finite Differenzen Codes. Tabelle 1 zeigt im Vergleich einige typische
Charakteristika.
Charakterisierung der numerischen Methoden:
Im Folgenden werden die generellen Vor- und Nachteile (mit + bzw. – gekennzeichnet)
der verschiedenen numerischen Berechnungsverfahren kurz zusammengefasst:

Integralmethoden (BEM – Boundary Element Method)
+ einfache Vernetzung (nur Oberfläche)
+ exakte Formfeldbeschreibung
+ minimaler Diskretisierungsfehler
+ hohe Rechengeschwindigkeit, geringer Speicherbedarf
+ kein Problem mit singulären Punkten
- Problem bei Inhomogenitäten, Anisotropien, Kopplungen

Differenzialmethoden (FEM – Finite Element Method, FDM – Finite Difference
Methode, VEM – Volume Element Method)
+ geeignet für Inhomogenitäten, Anisotropien, Kopplungen, Nichtlinearitäten
+ hohe Flexibilität für kontinuumsmechanische Probleme
- höhere Rechenzeiten, höherer Speicherbedarf
- komplizierte Vernetzung
- Schwierigkeiten bei signifikanten Punkten
- Diskretisierungsfehler
2

Netzfreie Methoden (DEM – Discrete Element Method, SPH – Smooth Particle
Hydrodynamics)
+ geeignet für diskontinuumsmechanische Problem
+ geeignet für Bruch- und Schädigungsmechanik
+ geeignet für Partikelsimulation und Massentransport
+ geeignet für exakte Abbildung der geometrischen Struktur
- sehr lange Rechenzeiten
- komplizierter Modellaufbau
- komplizierte Parameterbestimmung
Aus obiger Zusammenstellung wird klar, dass die Randelemente-Methode (BEM)
heutzutage nur noch geringe Bedeutung für die Geotechnik besitzt, da sie kaum in der
Lage ist, die wirklich wichtigen Phänomene, wie Inhomogenitäten und Anisotropien
sowie Kopplungen abzubilden.
Explizite Verfahren, wie z.B. in den Programmen LSDYNA, PAM-CRASH, ABAQUSexplicit, FLAC, FLAC3D, UDEC, 3DEC, PFC, PFC3D verwendet, haben den großen
Vorteil, auch physikalisch instabile Prozesse numerisch stabil abbilden zu können. So
werden die zuvor genannten Codes z.B. zur Crash- und Umformsimulation, zur
Abbildung von verfahrenstechnischen Prozessen oder Massenbewegungen oder auch
Bruchprozessen eingesetzt. Da viele geotechnisch zu modellierende Prozesse auch
physikalisch instabile Phasen, Bruchprozesse und Materialvermischungen (z.B.
Massenbewegungen, Interaktion Geogitter – Boden etc.) beinhalten, sind sie für den
Geotechniker besonders geeignet.
3
Tab. 1: Exemplarischer Vergleich von expliziten FD und impliziten FE - Methoden
Merkmale
Explizite FD
Implizite FE
Berechnungs- bzw.
Zeitschritt
Zeitschritt muss kleiner als
kritischer Wert (physikalisch
begründet) sein.
Berechnungsschritt kann unter
Wahrung der numerischen Stabilität
beliebig groß sein.
Operationen pro
Berechnungs- bzw.
Zeitschritt
Wenige Rechenoperationen pro
Zeitschritt, aber viele Operationen
bis zur Lösung.
Viele Rechenoperationen pro
Rechenschritt, aber weniger globale
Operationen.
Rechenzeit als Funktion
der Knotenpunktanzahl
N
Für „self-similar“Probleme steigt
3/2
die Rechenzeit mit N .
Für „self-similar“Probleme steigt die
2
3
Rechenzeit mit N oder N .
Qualität der Elemente
Innerhalb der Elemente ist nur
eine lineare Interpolation möglich.
Höherwertige Elemente erlauben
nichtlineare Ansätze innerhalb der
Elemente.
Behandlung großer
Deformationen
Die Behandlung großer
Deformationen erfordert nur
minimalen zusätzlichen
Rechenaufwand.
Die Behandlung großer
Deformationen erfordert größeren
zusätzlichen Rechenaufwand.
Matrizen und
Speicherbedarf
Es werden keine Matrizen
aufgestellt, der Speicherbedarf ist
minimal.
Matrizen werden erzeugt, müssen
optimiert (Bandweitenoptimierung)
und gespeichert werden.
Insbesondere bei unsymmetrischen
Matrizen kann der Speicherbedarf
enorm sein.
Behandlung von
nichtlinearem
Materialverhalten
Keine Iteration nötig, um
nichtlinearem Materialverhalten
zu folgen.
Zusätzliche Iterationsprozesse
notwendig, um nichtlinearem
Materialverhalten zu folgen.
Behandlung physikalisch
instabiler Prozesse
Keine numerischen Instabilitäten
bei physikalisch instabilen
Prozessen.
Physikalische Instabilitäten sind nur
eingeschränkt und unter hohen
numerischen Aufwand behandelbar.
Implementierung von
Stoffgesetzen
Implementierung von beliebig
nichtlinearen Stoffgesetzen ist
numerisch stets stabil und relativ
einfach.
Die physikalische Plausibilität ist
separat nachzuweisen.
Notwendigkeit des Nachweises, dass
der Berechnungsalgorithmus die
Stoffgesetze numerisch stabil
behandelt und sie einem
physikalisch möglichen Weg folgen.
Die Implementierung ist
komplizierter, z. T. gelingt sie
überhaupt nicht.
Dämpfung
Zum Erreichen der stabilen
Lösung ist eine globale oder im
Materialgesetz enthaltene
Dämpfung notwendig.
Statische Lösungen benötigen keine
Dämpfung.
Vernetzung von
Bereichen mit hohen
Spannungsgradienten
Viele Elemente niedriger
Ordnung.
Wahlweise viele Elemente niedriger
Ordnung oder weniger Elemente
höherer Ordnung (höher Flexibilität).
4
Einführungsskripte
Teil IV:
Matrix-Stoffgesetze
Freiberg: 4/2013
1
Stoffgesetze, auch konstitutive Beziehungen oder Materialgesetze genannt, kann man
für voluminöse Körper (Volumenelemente) definieren (z.B. zur Abbildung von Boden,
Fels, Beton, Mauerwerk etc.) – dann spricht man von Matrix-Stoffgesetzen.
Andererseits kann man analoge Spannungs-Deformations-Beziehungen auch für
Diskontinuitäten (Klüfte, Störungszonen, Materialgrenzen etc.) definieren. Dann spricht
man von Kluft- oder Kontaktstoffgesetzen (siehe Skript V).
Eine Klassifizierung der Stoffgesetze (SG) kann unter verschiedenen Gesichtspunkten
erfolgen:
A) bezüglich der Zeit:
 zeitunabhängige SG; z.B. elastische oder elasto-plastische
 zeitabhängige SG; z.B. visko-elasto-plastische oder Kriechgesetze
B) bezüglich der Elastizität:
 elastische SG ; z.B. linear-elastische oder nichtlinear-elastische
 inelastische SG; z.B. elasto-plastische oder visko-elasto-plastische
C) bezüglich der Tropie:
 isotrope SG; z.B. isotrop elastische
 anisotrope SG ; z.B. transversalisotrop elastische
D) bezüglich der Plastizität:
 ideal elasto-plastische SG
 SG mit Ver- und Entfestigung
E) bezüglich der Inelastizität:
 SG der klassischen Plastizitätstheorie
 Hypoplastische SG
 bruch- und schädigungsmechanische SG
F) bezüglich des Mediums:
 SG der Bodenmechanik
 SG der Felsmechanik
G) bezüglich der Strukturkomponente
 SG für Matrix
 SG für Diskontinuitäten
Tab. 1 zeigt die wesentlichen Unterschieden in den relevanten Materialeigenschaften
zwischen Boden und Fels. Die Berücksichtigung dieser Unterschiede führt zur
Entwicklung sehr spezifischer Materialgesetze.
2
Tab. 1: Charakteristische Merkmale des mechanischen und hydro-mechanischen
Verhaltens von Boden, Fels und ‚Soft Rocks‘
„Soft Rock“
„Hard Soil“
Lockergestein
Fels
weich: E-Modul < 10 6 Pa
hart: E-Modul > 10 9 Pa
volumetrische Kompaktion 
volumetrische Kompaktion 
Matrix: Zugfestigkeit 
Kohäsion 
Matrix: Zugfestigkeit 
Kohäsion 
Matrix: Matrixstoffgesetze
Matrix: Matrixstoffgesetze
Diskontinuitäten:
Kluftstoffgesetze
Kluftwasser,
Kluftwasserhydraulik
Porenwasser,
Porenwasserhydraulik, poröse
Matrix
Bedeutung von
Kappenfließgrenzen 
doppelt poröse
Medien
Bedeutung von
Kappenfließgrenzen 
große Deformationen
Starrkörperbewegungen
(Rotation, Translation)
Matrix-Dilatanz
Kluft-Dilatanz
REV 
REV 
Versagensmechanismus:
Matrix
Versagensmechanismus:
Diskontinuitäten
Spezialeffekte;
z. B. Bodenverflüssigung
Spezialeffekte;
z. B. Salzkriechen
Die folgenden beiden Übersichten zeigen mögliche Klassifizierungen für elastische und
elasto-plastische Stoffgesetze. Diese beiden Stoffgesetzgruppen sind die mit großem
Abstand gebräuchlichsten in der Geotechnik und werden daher im Folgenden etwas
näher erläutert.
3
Klassifizierung der elastischen Stoffgesetze
Elastizität
zeitunabhängig
lineare Elastizität
(Hooke)
isotrop
anisotrop
zeitabhängig
nichtlineare Elastizität
(Hyperelastizität,
Hypoelastizität)
isotrop
anisotrop
Visko-Elastizität
Visko-Elastizität
auf Basis
rheologischer
Grundelemente
isotrop
anisotrop
4
empirische
Ansätze
isotrop
anisotr.
physikalisch
motivierte
Ansätze
isotrop
anisotr.
Klassifizierung der plastischen bzw. elasto-plastischen Stoffgesetze
Plastizität
zeitunabhängig
klassische
Elasto-Plastizität
zeitabhängig
Schädigungsmechanik
ideale Plastizität
Ver- und
Entfestigung
assoziiert
isotrop
isotrop
nicht
assoziiert
anisotr.
isotrop
kinematisch
HypoPlastizität
ViskoPlastizität auf
Basis
rheologischer
Grundelemente
isotrop
anisotr.
empirische
Ansätze
isotrop
gemischt
isotrop
schädigungsmechanisch
motivierte
Ansätze
anisotr
isotrop
anisotr.
anisotr.
physikalisch
motivierte
Ansätze
5
anisotr.
Elastische Stoffgesetze:
Die einfachste Beschreibungsform ist das linear-elastische Gesetz von Hooke:
 ij  E ijKl  Kl  B ij


B ij


Abb. 1: Linear-elastisches Gesetz nach Hooke
Die erweiterte Form des Hooke’schen Gesetzes wird Cauchy-Elastizität genannt und
schließt auch nichtlinear-elastisches Verhalten ein:
ij  Fij Kl 
Fij: elastische Antwortfunktion
Diese Gleichung bedeutet eine eindeutige, lineare oder nichtlineare Beziehung
zwischen Spannung und Deformation. Das Verhalten der Cauchy-Elastizität ist pfadunabhängig und reversibel. Diese Form beinhaltet also keinerlei Beschränkungen
bezüglich des Belastungspfades und des Energieerhaltungssatzes. Damit sind auch
energetisch unmögliche Belastungszyklen darstellbar.
Um dieses energetische Problem zu lösen, muss die Unabhängigkeit der
Formänderungsarbeit
von
Verformungsweg
garantiert
werden,
d. h.
die
Formänderungsarbeit muss allein durch den Verzerrungszustand charakterisiert sein.
Erreicht wird dies durch die Verknüpfung der Spannungs-Deformations-Beziehung mit
einem elastischen Potenzial W:
ij 
 
W ij
(1)
ij
Diese Art der Elastizität nennt man „Hyperelastizität“ (Green-Elastizität)
Wenn man das Materialgesetz in inkrementeller Form schreibt, d. h.,

 

 


ij  CijKl mn  d Kl
oder
ij  Fij  mn , Kl  bzw. ij  Fij  mn, Kl 




(2)
so spricht man von „Hypo-Elastizität“. Hypo-elastische Materialgesetze sind
pfadabhängig und erlauben die Formulierung wegabhängiger nichtlinearer Beziehungen.
6
Das lineare Hooke’sche Gesetz lautet (Fijkl wird Steifigkeitsmatrix genannt und lässt sich
durch elastische Konstanten ausdrücken):
 ij  FijKl   Kl
(3)
3 x 3  9 x 9  3 x 3
Matrix
Matrix
Matrix
oder in Elementdarstellung mit 9 Gleichungen:
11  E1111 11  E1112 12  E1113 13  ... E1133  33
12  E1211 11  E1212 12  E1213 13  ... E1233  33
(4)

33  E3311 11  E3312 12  E3313 13  ... E3333  33
Für jeden isotropen Tensor 4. Grades gilt (, ,  = Konstanten):
Eijkl   ij kl   ik  jl   il  jk
(5)
Unter Beachtung, dass ij = ji, ergibt sich aus obigen Gleichungen:
 ij    ij  kk       ij
(6)
Nun setzt man  =  und ( + ) = 2 .  und  werden auch Lame’sche Konstanten
genannt. Damit wird ergibt sich:
ij   ij  kk  2  ij
(7)


0 0 0
 11    2
  
  2

0 0 0 
 22   
 33   

  2 0 0 0 



0
0
2 0 0 
 12   0
 23   0
0
0
0 2 0 

 

0
0
0 0 2 
  31   0
 11 
 
 22 
 33 
 
 12 
 23 
 
  31 
Daraus folgt:
kk  3  2  kk
Es gilt:
bzw. für ij mit i  j :
=G
 ij  2  ij
(8)
wobei: G: Schubmodul
1
3  2    2   K
3
3
wobei: K: Kompressionsmodul
(9)
Eine Umstellung liefert:
kk  3K kk
(10)
7
Diese Gleichungen erlauben eine physikalisch-geometrische Interpretation durch eine
Zerlegung in reine Volumenänderung und reine Gestaltsänderung: der
Kompressionsmodul K beschreibt den Widerstand gegen Volumenänderung, der
Schermodul G den Widerstand gegen Gestaltsänderung (Winkeländerung). Eine
weitere Darstellung des elastischen Gesetzes lässt sich wie folgt ableiten:
1

 ij 
 ij  kk
2
2
1

1
 ij 
 ij 

  ij  kk
2
2 3  2
 ij 
(11)
Durch Einführung des Elastizitätsmoduls E und der Querdehnungszahl  lässt sich
obige Gleichung folgendermaßen schreiben:
ij 
1 

ij  ij kk
E
E
wobei:
1 1 


2
E
(12)
und



2 3  2  E
(13)
Auch die Größen E und  haben eine direkte anschauliche physikalisch-geometrische
Bedeutung: Der E-Modul ist der Proportionalitätsfaktor zwischen einaxialer Belastung
und entsprechender Deformation, die Querdehnungszahl beschreibt dabei das
Verhältnis zwischen Querdehnung und Längsdehnung. Somit existieren drei
austauschbare Paare von Materialkennwerten für das linear elastische Gesetz: E und ,
K und G, sowie  und . Bei anisotrop-elastischem Verhalten erhöht sich die Anzahl der
Parameter entsprechend des Anisotropiegrades.
Elasto-plastische Stoffgesetze:
Die Beschreibung der Plastizität erfordert drei Beziehungen:
 Grenzzustandsbedingungen, bei deren Erfüllung plastische Deformationen
einsetzen
 plastisches Potenzial, aus dem die Richtungen der plastischen Deformationen
abgeleitet werden
 Ver- oder Entfestigungsregel, aus der die Magnituden der plastischen
Deformationen abgeleitet werden.
Begrifflich sind duktile und spröde Materialien zu unterscheiden. Während bei spröden
Materialien gilt:
Fließbedingung  Bruchbedingung  Grenzzustandsbedingung
gibt es bei duktilem Material einen signifikanten Unterschied zwischen Fließbedingung
und Bruchbedingung gemäß Abb. 2.
8


Bruchbedingung
Fließbedingung
Bruchbedingung

sprödes Material
duktiles Material

Abb. 2: Spannungs-Dehnungs-Verhalten von sprödem und duktilem Material
Im Rahmen der erweiterbaren Plastizitätstheorie mit Verfestigung (Hardening) und
Entfestigung (Softening) verschmelzen die Begriffe Fließbedingung, Bruchbedingung
und Grenzzustandsbedingung immer mehr.
Wegen der grundlegenden Beziehungen zwischen Spannungen, Deformationen und
Energie können die Grenzzustandsbedingungen (GZ) auch in diesen drei Arten
formuliert werden, nämlich als:
 Dehnungs-Grenzzustandsbedingungen
 Energie-Grenzzustandsbedingungen
 Spannungs-Grenzzustandsbedingungen
Beispiele für Dehnungs-Grenzzustandsbedingungen:
Schubverzerrungs-Grenzzustandsbedingung:
GZ = 1 - 3
(14)
Vergleichsdehnungs-Grenzzustandsbedingung:
GZ 
2
2 1   
1  2 2  2  3 2  3  1 2
(15)
Oktaederdehnung:
GZ 
1
1   2  3 
3
(16)
Beispiele für Energie-Grenzzustandsbedingungen:
Formänderungsarbeit:
GZ   ij dij 
1
11  2 2  3 3 
2
(17)
Volumenänderungsenergie:
GZ 
1  2
1  2  3 2
6E
(18)
Gestaltsänderungsenergie:
GZ 

1 
1  2 2  2  3 2  3  1 2
6E

(19)
9
Viele im Spannungsraum definierte Grenzzustandsbedingungen beinhalten nur die
maximale und minimale Hauptspannungskomponente. Grundlage ist die (umstrittene)
Hypothese, dass die mittlere Hauptnormalspannung keinen nennenswerten Einfluss auf
das Bruchkriterium hat. Einige in der Fels- und Bodenmechanik häufig verwendete
Grenzzustandsbedingungen sind:
Mohr-Coulomb-Grenzzustandsbedingung
beschreibt Versagen durch Überschreiten der Scherfestigkeit (Abb. 3):
0      tan   c
(20)
c: Kohäsion
: Reibungswinkel
bzw. im Hauptspannungsraum:
0  1 
1  sin 
2c cos 
3 
1  sin 
1  sin 
(21)
0  1   3  D
(22)
D: einaxiale Druckfestigkeit
Es folgen daraus für die einaxiale Zugfestigkeit z bzw. die einaxiale Druckfestigkeit D:
Z 
2c cos 
1  sin 
bzw.
D 
2c cos 
1  sin 

C
(23)
1

D


3
Abb. 3: Mohr-Coulomb-Grenzzustandsbedingung im Normal-Schubspannungsdiagramm und im Hauptspannungsdiagramm
Drucker-Prager Grenzzustandsbedingung
beschreibt das Versagen durch Überschreiten der Scherfestigkeit (Abb. 4):
0

1
sij sij  q  kk  K
2
3
0  JD2  q  0  K
(24)
(25)
10
JD2
q
K
0
Abb. 4: Drucker-Prager-Grenzzustandsbedingung im Invariantenraum
Erweiterte Cam-Clay-Grenzzustandsbedingungl
beschreibt das Versagen im Zug-, Druck- und Scherbereich (Abb. 5):
0
3
1
1

sij sij  M2 kk  kk  pc   3JD2  M2 0 0  pc 
2
3
3

(26)
3
sij sij
2
Mpc
2
1
kk
3
Abb. 5: Erweiterte Cam-Clay-Grenzzustandsbedingung im Invariantenraum
Hoek-Brown-Bruchkriterium
Hierbei handelt es sich um ein empirisches Bruchkriterium, das dem experimentell
nachgewiesenen nichtlinearen Charakter der Hüllkurve entspricht (Abb. 6):



1   3  u  mb 3  s 
1


a
(27)
mb, a, s: Materialparameter
u: einaxiale Bruchfestigkeit
a  0,5
1
a

u s
t 
u 
 mb  mb2  4s 

2 
3
Abb. 6: Hoek-Brown-Bruchkriterium im Hauptspannungsraum
11
Ist die Grenzzustandsbedingung erreicht, so treten plastische Deformationen auf:
dij  dijelastisch  dplastisch
ij
(28)
Die plastischen Deformationen lassen sich aus dem plastischen Potenzial Q ableiten:
P
d ij  d
 
Q ij
(29)
ij
wobei d den plastischen Index (plastischer Multiplikator) darstellt.
Bei idealer Plastizität gilt:
F ij   0
und
 
dF ij  0 ,
d. h., die Fließfläche ist unbeweglich.
Der Differenzialquotient impliziert, dass die Fließbedingung im Spannungsraum eine
konkave Oberfläche besitzt und der Vektor des plastischen Verformungszuwachses
senkrecht auf dem plastischen Potenzial steht. Sind plastisches Potenzial und
Fließbedingung identisch, so spricht man von assoziierter Fließregel, sonst von nichtassoziierter Fließregel (Abb. 7):
i
i
d
.
P
d 
d
P
d
.

Q=F=0
.
Q=0
.
F=0
j
assoziierter Fließregel
j
nicht-assoziierter Fließregel
Abb. 7: Assoziierte und nicht-assoziierte Fließregel
Nach Erreichen der Spitzenfestigkeit (peak strength) kann sich Material entfestigen,
verfestigen oder ideal plastisch verhalten. Es gilt deshalb (Abb. 8):


F ,  , k   0
F ,  , k   0
F ij, Pij, k  0

plastisches Materialverhalten
ij
P
ij

elastisches Materialverhalten
ij
P
ij

unzulässig

Spitzenfestigkeit
(peak strength)
Verfestigung
(strain hardening)
ideale Plastizität
Entfestigung
(strain softening)

Abb. 8: Plastizität im Nachbruchbereich
12
Dabei stellt k eine Ver- oder Entfestigungsfunktion dar. Ver- und Entfestigung bedeutet,
dass sich die Fließfläche im Raum verschiebt und/oder ihre Form ändert. Man
unterscheidet zwischen isotroper (form- und lagegetreue Vergrößerung oder
Verkleinerung der Fließfläche) und kinematischer (reiner Verschiebung der Fließfläche
im Raum) Ver- oder Entfestigung (Abb. 9).




isotrope Ver- und
Entfestigung
kinematische Ver- und Entfestigung




gemischte Ver- und
Entfestigung
anisotrope Verund Entfestigung
Abb. 9: Typen der Ver- und Entfestigung
Magnitude und Richtung der plastischen Deformationen im Rahmen der sich
verändernden Fließfläche werden folgendermaßen berechnet:
Q
dPij  d
ij
mit
1 F
d 
dmn
H mn
Im Falle mehrerer Fließflächen gibt es gekoppelte und entkoppelte Mechanismen:
(30)
(31)


F1
F2


entkoppelt
Gekoppelt
Abb. 10: Gekoppelte und entkoppelte Ver- und Entfestigung
13
Einführungsskripte
Teil V:
Kontakt-Stoffgesetze
Freiberg: 4/2013
1
In Analogie zu den Stoffgesetzen für die Volumenelemente (Matrix-Stoffgesetze) gibt es
auch elastische, elasto-plastische bzw. visko-elasto-plastische Materialgesetze für die
Kontakte. Kontakte stellen Berührungspunkte zwischen Teilvolumina (Blöcken) dar, die
starre oder deformierbare Kontinua bilden. Kontakt-Stoffgesetze werden in der
Geomechanik zur Abbildung von Diskontinuitäten verschiedenster Art verwendet, wie
z.B. für Klüfte, Störungszonen, Risse, Schichtgrenzen, Fugen – aber beispielsweise
auch für die Wechselwirkung von Lockergesteinspartikeln. Das geometrisch
entscheidende Kriterium für die rein mechanische Interaktion ist, dass die räumliche
Ausdehnung senkrecht zum Kontakt gering ist und somit der Kontaktbereich 2dimensional als Linie und 3-dimensional als Fläche dargestellt werden kann („Interface“).
Die nachfolgenden Ausführungen konzentrieren sich auf das Verhalten von
Gesteinsklüften, sind aber weitgehend auch übertragbar auf andere Diskontinuitäten.
Das grundlegendste und einfachste Kontaktstoffgesetz beschreibt die elastische
Reaktion, wobei die physikalischen Größen meist in Komponenten normal und
tangential zur Kontaktfläche zerlegt werden:
Kn
Ks
Abb. 1: Prinzip des elastischen Kontaktstoffgesetzes
Kn = Normalsteifigkeit
Ks = Schersteifigkeit
Damit gilt für die Spannungsinkremente:
n  K n  uNe
(1)
s  Ks  uSe
(2)
wobei:
uNe : elastisches Normalverschiebungsinkrement
uSe : elastisches Scherverschiebungsinkrement
Eine sinnvolle Erweiterung auf nicht-elastisches Verhalten wäre die Berücksichtigung
von Zug- und Scherversagen:
n   t

 t  n  0
(3)
s  s, max

s  signus  s, max
(4)
Die Gleichungen 3 und 4 ergeben das in Abbildung 2 gezeigte Verhalten.
2
N
S
t
S, max
uS
uN
Abb. 2: Elasto-plastisches Spannungs-Verschiebungs-Verhalten (links: Zug; rechts:
Scherung)
Häufig wird ein nichtlineares Verhalten der Kluftöffnung unter Normalspannung
beobachtet.
n  K  n  un
 nichtlinear
(5)
n
nichtlinear
linear
u n
Abb. 3: Kluftverhalten: Normalspannungen vs. Normalverschiebungen
Kn, Ks
un, us
n, s
K, 
Normal- und Scherfestigkeit
Normal- und Scherverschiebung
Normal- und Scherspannung
Materialkonstanten
Bei wechselseitiger Beeinflussung der Komponenten (gegenseitige Beeinflussung von
Scher- und Normalenrichtung), gilt folgendes:
 i  K ij u j
 n   K nn K ns  u n 
    K


 s   sn K ss   u s 
n  K nn  un  K ns  us
s  K ss  us  K sn  un
(6)
(7)
Nichtlineares Verhalten der Kluftöffnung lässt sich auch mittels hyperbolischer
Abhängigkeit beschreiben, indem die Steifigkeit normalspannungsabhängig modifiziert
wird:
3
K neu

n
Kn
(8)


n
1 

umax  K n  n 

wobei umax die max. Zusammendrückung (Verschiebung) der Kluft darstellt.
Wenn die Spannungen gering sind, gilt:
K neu
 K n , wenn die Spannungen hoch sind, gilt: K neu
 .
n
n
(9)
Die Beobachtung lehrt, dass bei einer Scherbewegung auf einer Diskontinuität auch
eine Bewegung senkrecht dazu stattfindet. Diese wird über den Dilatanzwinkel 
beschrieben:
tan  
 dy
dy
ds
(10)
dS
Abb. 4: Dilatanz am Kontakt
Beobachtungen zeigen weiterhin, dass der Dilatanzwinkel nicht konstant ist. Ein
konstanter Dilatanzwinkel würde zudem dazu führen, dass bei langen Scherwegen die
Volumenvergrößerung unrealistisch groß werden würde. Die einfachste Form einer
realistischen Darstellung besteht darin, den Dilatanzwinkel bei Erreichen eines
kritischen Wertes auf Null zu setzen (siehe Abb. 5):
uS  uS, C

  const .  0 
uS  uS, C

0
(11)
uN

uS,C
uS
Abb. 5: Normalverschiebung (Dilatanz) als Funktion des Scherweges
4
Die Grenzscherspannung s,max ist keine Konstante, sondern eine Funktion der
Normalspannung N, des Reibungswinkels  und der Kohäsion c (Coulombsches
Reibungsgesetz):
 s, max   N  tan   c
(12)
Damit ergeben sich folgende Kurven unter Scherbelastung:
S
N
1
KS
uS
uN
N
uS
uS,C
Abb. 6: Coulombsches Reibungsgesetz
Das Scherverhalten von Diskontinuitäten ist durch ‚softening’ charakterisiert, wie in
abstrahierter Weise in Abb. 7 gezeigt:
S
 SPeak
 SRes
uS
Abb. 7: „Displacement – softening“ beim Scherversuch
Nach
Erreichen
der
Spitzenfestigkeit
Peak
S
fällt
die
maximal
übertragene
Schubspannung allmählich auf die Restfestigkeit RES
. Die numerische Umsetzung
S
erfolgt über eine entsprechende Softening-Funktion, z. B.:
 S  f uS 
bzw.
  f uS 
(13)
5
Experimente haben weiterhin gezeigt, dass die Spitzenfestigkeit Peak
nichtlinear mit
S
der Normalspannung zunimmt und in erster Näherung durch eine bilineare Beziehung
beschrieben werden kann (Patton 1966):
Patton (1966):

Aufgleiten
Abscheren

B R
c
B+i
NK
Abb. 8: Bi-lineares Kluft-Festigkeitsgesetz nach Patton
   N  tan  B  i 
   c   N  tan  B
B
i
G
c
für    NK
für    NK
(14)
Basisreibungswinkel ( Restreibungswinkel R)
Aufgleitwinkel
Winkel der inneren Reibung
Scherfestigkeit der Unebenheiten
Der Aufgleitwinkel Φi lässt sich gemäß BARTON über die Kennwerte JRC und JCS
ermitteln:
i = JRC log (JCS/N)
wobei:
(15)
JRC: Joint roughness coefficient
JCS: Joint compressive strength
Zudem kann B über ein einfaches Experiment mit glatten Kluftflächen ermittelt werden.
Weitere Gesetze wurden von diversen Autoren publiziert – einige werden im Folgenden
kurz aufgelistet.
6
Scheider (1975):

u 
  N  tan R  arc tan n 
us 

un  un0  eK  N
(16)
(17)
wobei:
us Scherverschiebung
un0 max. Aufgleithöhe bei N = 0
K
Materialkonstante
Barton (1977):


 JCS 
  R 
  N  tan JRC  log 
 N 


JRC Rauhigkeitskoeffizient
JCS Druckfestigkeit Kluftwände
(18)
Indraratna und Haqune (2000):

2 up   tan R  tan i 
K b

  
  N0  N  0  b1 cos


A
2
T
1

tan


tan
i
N 
R
np 
 

N0
AN
b0, b1
T
(19)
initiale Normalspannung
Kluftfläche
Fourier-Koeffizient
} aus Analyse des Oberflächenprofils
Periode
Diese Beziehung gilt für CNS-Bedingungen (Constant Normal Stiffness).
7
Byerlee (1968):
Von großer praktischer Bedeutung für die Felsmechanik/Gebirgsmechanik/Gesteinsmechanik ist das Gesetz von Byerlee unter Annahme der Existenz von kohäsionslosen
Klüften bzw. Störungszonen:
 = 0,85 
 = 50 MPa + 0,6 
 < 200 MPa
200 <  < 1700 MPa
für
für
(20)
(21)
Gemäß Mohr-Coulomb gilt dann:
    n  c  tan   n  c
(22)
Für Drücke bis ca. 200 MPa bzw. Teufen bis ca. 8 km gilt der Ansatz von Byerlee
(Annahme: c = 0):
  0,85  n
(23)

tan   0,85

  40

Reibungswinkel


4
  25

Bruchwinkel
1



2
3
Unter Beachtung von Fluiddruck gilt:
  0,85  n  Pp 
(24)
Pp – Fluiddruck
Die Ausdrücke (20-24) geben lediglich das Verhältnis von Schub- zu Normalspannung
an, wobei die kritische räumliche Orientierung der Bruchfläche unterstellt wird (= normal
fault).
Anderson hat die Byerlee-Beziehung so umgeschrieben, dass ein Bezug auf die
vertikale Spannungskomponente erfolge und somit 3 Konstellationen zu betrachten sind:
Normal fault  v  1  :
1  3 
2 c    v  Pp 
2  1  
(25)
8
Reserve fault  v  3  :
1  3 
2 c    v  Pp 
(26)
2  1  
Strike slip  v   2  :
1  3 
2 c    v  Pp 
(27)
2  1
Mit der Annahme von Byerlee (c = 0 und  = 0,85) lassen sich die Gleichungen (25-27)
wie folgt vereinfachen:
Normal fault  v  1  :
1   3 
1,7  v  Pp 
2,162
 0,786  v  Pp 
(28)
Reserve fault  v  3  :
1   3 
1,7  v  Pp 
0,462
 3,680  v  Pp 
(29)
 1,296  v  Pp 
(30)
Strike slip  v   z  :
1   3 
1,7  v  Pp 
1,312
v = vertical stress =   g  h
Genauere Untersuchungen haben gezeigt, dass das Scherverhalten von Gesteinen
auch zeit-, geschwindigkeits- und verschiebungsabhängig ist (Abb. 9 und 10):
   
   0 a  ln(t)
mit
(31)
Dieterich (1978):
Da Gleichung (31) negative Werte für t < 1 sec liefert, wurde von Dieterich (1978) ein
zweiter Ansatz empfohlen:


t 
   0  a ln1     
t0 


mit
t 0  1s
(32)
9
Die Formeln (31 und 32) belegen ein leichtes Anwachsen des statischen
Reibungswinkels (Reibungskoeffizienten) mit der Haltezeit t (= Zeit, unter der  und 
sinken). Gleichungen (31) bzw. (32) gelten für den statischen Reibungswinkel.

0
t
Abb. 9: Abhängigkeit des statischen Reibungskoeffizienten von der Haltezeit t
Entfestigung kann unter zwei Gesichtspunkten betrachtet werden:
2 Arten
Geschwindigkeitsabhängige
Entfestigung
verschiebungsabhängige Entfestigung


.
u, 

.
u


Verschiebung
Zeit
Abb. 10: Entfestigungsfunktionen

u
u
Reibungskoeffizient
Verschiebung
Verschiebungsgeschwindigkeit
Der dynamische Reibungskoeffizient
Schergeschwindigkeit:

d  0  aln 1 

zeigt
eine
Abnahme
d 

V  t0 
mit
zunehmender
(33)
wobei: V = Schergeschwindigkeit
d = charakteristischer asperity Durchmesser
a, d = Konstanten
10
Minkley (2008):
Ein komplexes Modell, das den Übergang von Haft- auf Gleitreibung, Entfestigung und
Geschwindigkeitsabhängigkeit berücksichtigt, wurde von Minkley (2008) vorgeschlagen:
 max     N  c
(34)
Dabei wird der Reibungskoeffizient  in einen Gleitreibungsterm K und einen
Haftreibungsterm H zerlegt:
  K  1  H 
(35)

K2 N 

K 

K  tan R  i0  e




(36)
H 
io
R
K1, K2
K
HVEL
=
=
=
=
e
 K1
N
K
(37)
Aufgleitwinkel
Restreibungswinkel
Krümmungsparameter
Druckfestigkeit der Kontaktfläche
Der Kraftreibungskoeffizient wiederum hängt von der Schergeschwindigkeit V ab:
 HVEL   MAX  f VEL
mit
wobei:
f VEL 
(38)

1
V 

1  tan h  b  log
2
VK 

(39)
b = Geschwindigkeitsfaktor
Vk = Kritische Schergeschwindigkeit
Gleichzeitig wird eine verschiebungsabhängige Entfestigung (= Reduktion des
Haftreibungskoeffizienten) berücksichtigt, die inkrementell über den plastischen
Verschiebungsweg berechnet wird:
HVEL NEU   HVEL ALT  HVEL ALT 
wobei:
uPS
L1
(40)
uPS = plastische Scherverschiebung
L1 = Entfestigungsdistanz (Parameter)
11
Mit zunehmender Scherverschiebung wird durch Zerstörung der Rauigkeit der
Aufgleitwinkel i0 abgemindert:
uPS
L2
= Entfestigungsdistanz (Parameter)
= plastische Scherverschiebung
i0 NEU   i0 ALT  i0 ALT  
L2
uPS
(41)
Der Dilatanzwinkel i bestimmt sich wie folgt:
i  arctan(

)  arctan( K )
N
(42)
Die wichtigen Charakteristiken des Minkley-Schermodells zeigen die folgenden
Abbildungen 11-14:

V
V
u
Abb. 11: Einfluss der Schergeschwindigkeit

3
2
1
N
Abb. 12: Verläufe der einzelnen Reibungskomponenten
1:
2:
3:
  tan R  N
Restreibung

K2 N 

K 

  tan R  i0  e


 N




K2 N  
 K1 N 

K  
K 

  tan R  i0  e
 1    e
  c

 
 N

 

Gleitreibung
max. Festigkeit
12
uN
N
N
u S
N
Abb. 13: Dilatanzverhalten in Abhängigkeit der Normalspannung

N
N
u S
Abb. 14: Einfluss der Normalspannung auf das Scherverhalten
Cundall und Lemos (1990)
Ein weiteres Modell ist das so genannte "Continuously yielding joint"-Modell von
Cundall und Lemos (1990). Das Verhalten normal zur Kluftfläche wird dabei
inkrementell folgendermaßen beschrieben:
wobei:
N  K n  uN
(43)
K n  a n   nen
an, en: Parameter
(44)
Das Verhalten parallel zur Kluftfläche wird durch folgende inkrementelle Beziehung
beschrieben:
  F  k S  uS
(45)
wobei:
K S  a S   nes
aS, eS: Parameter
(46)
13
Die Krümmung der   uS - Kurve wird bei konstanter Normalspannung durch den
Parameter F bestimmt:

 
1 

m 

F
1 r
(47)
Für den Ausgangszustand gilt r = 0, wenn aber Scherrichtungswechsel auftritt, so wird
r = /m und damit F = 1. Der Faktor r sorgt dafür, dass bei Lastwechsel stets wieder mit
elastischem Verhalten und Anfangssteifigkeit begonnen wird. Die Grenzfestigkeit m ist
wie folgt definiert:
m  N  tan m  sgn uS 
(48)
Der Reibungswinkel m entspricht dem Maximalwert bei maximaler Dilatanz und wird
durch zunehmende Schädigung gemäß folgendem Ansatz reduziert:
m  
1
m   uPS
R
(49)
u PS = plastische Scherverschiebung
m = max. (initialer) Reibungswinkel gemäß Festigkeitsbedingung
R = Materialparameter für Rauigkeit
 = Basisreibungswinkel
wobei:
uPs  1  F us
F
Faktor zur Reduktion des Anstiegs
(50)
Weiterhin gilt:
0

r 
 m
bei Scherbegin n
bei
(51)
Lastumkehr
Das Modellverhalten kann mit folgenden Diagrammen illustriert werden:
s
uN
us
us
Abb. 15: Modellverhalten des "Continuously yielding joint“ - Modells
14
Die maximale Scherfestigkeit wird erreicht, wenn die anwachsende Scherspannung die
abnehmende Grenzscherfestigkeit schneidet. In diesem Punkt ist F = 0, danach wird F
negativ und die Spannung nimmt ab (Entfestigung). Der Dilatanzwinkel  ergibt sich
aus folgendem Ausdruck:
  
 


N


  tan 1 

(52)
m
F. k s
us
Abb. 16: Kurve der Maximalfestigkeit und typische Arbeitslinie

m
m
us
Abb. 17: Einfluss unterschiedlicher initialer Reibungswinkel bei gleicher Auflast
15
Ausblick Partikelkontaktstoffgesetze
Neben den oben beschriebenen Kluftstoffgesetzen gibt es in Analogie dazu die
sogenannten Stoffgesetze für Partikelkontakte, wie sie bei Partikelsimulationen (z.B.
Programme PFC oder Yade) eingesetzt werden.
Die einfachste Wechselwirkung zwischen Partikeln ist eine elastische Wechselwirkung,
die jeweils über eine Feder in Normalenrichtung und Tangentialrichtung abgebildet wird.
Diesen Federn wird eine Steifigkeit (Materialparameter) zugeordnet.
F
 k n u n n i
n
i
(53)
 Fi s  k s   u is
(54)
n i = Einheitsnormalenrektor
u n = Normalverschiebung
u s = Scherverschiebung
k n = Normalsteifigkeit
k s = Schersteifigkeit
A
B
Abb. 18: Zwei Partikel A und B im Kontakt
Die Kontaktsteifigkeiten als Materialparameter können auf verschiedene Weise definiert
werden, wobei geomechanisch häufig auf das lineare Kontaktmodell sowie das HertzMindlin-Modell zurückgegriffen wird.
(a) Linear elastisches Kontaktmodell
Kn 
K nA  K Bn
K nA  K Bn
(55)
(56)
K s  K Bs
K s  sA
;
K A  K Bs
16
(b) Hertz-Mindlin-Kontaktmodell
K
K
n
s
R
2G 2 R 
 un

 3 (1   ) 



 2 (G 2  3 (1   ) R)

2 


(57)
1
3

1

n 3
(
F
)

i


2 R A RB
(58)
(59)
R A  RB
(60)
G
 
1
(G
2
1
(
2
A
 G B)
(61)
A
  B)
wobei:
G = Schubmodell
 = Querdehnzahl
R = Radius Kugel
Die Partikelkontakte können durch kohäsive Anteile im Kontaktstoffgesetz erweitert
werden. Dadurch wird es möglich, auch Festgestein mit Zugfestigkeiten und Kohäsion
abzubilden und Schädigung, Bruch oder Zerkleinerung zu simulieren.
Neben den Partikelwechselwirkungen bei direkter Berührung gibt es auch weitreichende
Partikelwirkungen, z.B. über elektro-statische Felder, magnetische Wirkungen etc. Ein
diesbezüglich sehr bekannter Ansatz auf atomarer Ebene ist der von Lennard-Jones,
der sowohl anziehende als auch abstoßende Kräfte abstandsabhängig verarbeitet.
(c) Lennard-Jones-Potential (weitreichende Kraftwirkung)
N
F i  24    
j 1
i j
1
di2j
6
6
   
   
   1 2   d i j
 d 2  
 d 2  
 ij  
 ij  
(62)
d ij = x j - x i
 = Potentialtiefe
 = Nulldurchgang des Potentials
Partikel i und j an Orten x i und x j
17
Vereinfacht wird die Reichweite oft begrenzt auf dcut = 2,5  , d. h.,
Fi = 0 für di j > d cut
(63)
Das Lennard-Jones-Potential besteht aus 2 Teilen: den anziehenden von-der-WaalsKräften und den abstoßenden Pauli-Kräften.
Kraft
lin
r
ea ind
lin z-M
rt
He
abstoßend
0
Lennard-Jones
anziehend
Partikelabstand
0 = Kontakt
Abb. 19: Kraftverlauf bei Wechselwirkung zwischen 2 Partikeln gemäß dem LennardJones-Potentials
Abschließend sei erwähnt, dass kugelförmige Partikel die geometrisch und
rechentechnisch einfachste Darstellungsform sind. Darüber hinaus gibt es aber auch
andere Partikelformen (z.B. Ellipsoide oder sogenannte ‚Clumps’, eine Verschachtelung
mehrerer Kugeln zu einem neuen Partikel oder auch Polyeder verschiedenster Art). Die
Partikel selbst können dabei entweder starr oder deformierbar sein.
18
Einführungsskripte
Teil VI:
HTM-Kopplungen
Freiberg: 4/2013
1
Der Untersuchungsgegenstand der Geotechnik (Fels oder Boden) ist ein Multiphasensystem, bestehend aus einer festen, einer flüssigen und einer gasförmigen Phase.
Diese Phasen interagieren miteinander auf verschiedene Weise und bestimmen so das
Verhalten des Bodens bzw. Felses als Mehrphasensystem. Man spricht diesbezüglich
in der Geotechnik von einer hydro-thermo-mechanisch-chemischen Kopplung (HTMCKopplung).
Chemie
Thermik
Hydraulik
Mechanik
Abb. 1: HTMC-Kopplung
Wie Abbildung 1 zeigt, wirkt die Kopplung stets beidseitig. Wie stark die einzelnen
Kopplungsmechanismen das Verhalten des Bodens bzw. Felses beeinflussen, hängt
von den konkreten Umgebungsbedingungen und den Eigenschaften des Geomaterials
ab. Welche Kopplungsmechanismen der Geotechniker in seiner Betrachtung
berücksichtigen muss, hängt zudem stark von der konkreten Aufgabenstellung ab.
Neben den zusätzlichern konstitutiven Beziehungen werden auch zusätzliche
thermische, hydraulische und chemische Anfangs- und Randbedingungen benötigt.
HM-Kopplung:
Der wichtigste Kopplungsmechanismus ist der hydro-mechanische (HM-Kopplung).
Bezüglich der fluidalen Phase unterscheidet man Ein- und Mehrphasenströmung,
bezüglich der festen Phase Strömung durch die poröse Matrix und Strömung entlang
von Fließkanälen (z.B. Kluftströmung). Abb. 2 zeigt die verschiedenen
Modellierungsansätze in Abhängigkeit der konkreten Permeabilitäts- und
Porositätsverhältnisse. Wichtig für die Wahl des optimalen hydraulischen
Modellansatzes ist die Frage nach dem betrachteten Volumen (Modellgebiet) im
Vergleich zum Repräsentativen Elementarvolumen (siehe Abb. 3).
Typische HM-Phänomene sind: Quellen und Schrumpfen, Konsolidation, Erosion,
Injektion, Bodenverflüssigung, Kapillareffekte, Spannungskorrosionen, Lösungsprozesse, Tau-Frost-Wechsel, Auftrieb, Strömungskräfte, Effektivspannungskonzept,
Festigkeitsreduktion.
2
Matrixpermeabilität
Kluftpermeabilität
Diskontinuum
mit diskreten
doppel-poröses Klüften
Diskontinuum mit
diskreten Klüften
doppel-poröses
Kontinuum
poröses
Kontinuum
Kluftporosität
Matrixporosität
Abb. 2: Numerische Abbildungsmöglichkeiten der HM-Kopplung
Permeabilität
Typischer Verlauf für
jeweils eine Probe
Diskontinuum
(diskret)
Kontinuum
(porös)
REV Volumen
Abb. 3: Permeabilität und Repräsentatives Elementarvolumen (REV)
Die wichtigsten hydraulischen Parameter sind Permeabilität (Kluft- oder
Matrixpermeabilität), Porosität bzw. Kluftöffnungsweiten, Kompressibilität bzw.
Kompressionsmodul des Fluids sowie Viskosität des Fluids.
Für die Simulation der Fluidströmung durch die poröse Matrix wird meist das DarcyGesetz verwendet:
qi  kij
p
x j
(1)
wobei:
q – Volumenstrom
kij – Permeabilitätstensor
p – Fluiddruck
3
Für die Simulation der Fluidströmung durch Klüfte wird meist das so genannte kubische
Fließgesetz (Fluidfluss durch planparallel Platten) verwendet:
q  ka3
p
l
(2)
wobei:
a – hydraulische Kluftöffnungsweite
l – Länge des Kluftabschnittes
k - Kluftpermeabilität
Die hydro-mechanische Wechselwirkung selbst kann sehr vielgestaltig sein. Sehr häufig
benötigt wird das Effektivspannungskonzept, welches den Porenwasserdruck σ pp
berücksichtigt:
 ijeffektiv   ijtotal  ij pp
(3)
Die Einbeziehung der hydro-mechanischen Wechselwirkung in die Simulationen kann
auf verschiedene Weise erfolgen:
1. Rein mechanische Berechnung, aber mit modifizierten Parametern, die den
Fluideinfluss berücksichtigen.
2. Rein mechanische Berechnung, aber mit Berücksichtigung eines
unveränderlichen, aber möglicherweise auch inhomogen verteilten Poren- bzw.
Kluftwasserdrucks (z.B. Berücksichtigung Effektivspannungskonzept oder
Auftrieb).
3. Hydro-mechanische Kopplung mit nur einer Kopplungsrichtung, d.h.
mechanische Komponente beeinflusst hydraulische oder umgekehrt. Eine
solche Vorgehensweise ist z.B. sinnvoll, wenn die Permeabilität gering ist und
die Laständerung schnell erfolgt, d.h., das Fluid nicht drainieren kann
(undrainierte Betrachtung).
4. Hydro-mechanische Kopplung mit beidseitiger Kopplungsrichtung, d.h., beide
Komponenten beeinflussen sich gegenseitig.
TM-Kopplung:
Die Erwärmung eines Körpers, der mechanisch keiner Bewegungseinschränkung
unterliegt, führt zu thermischen Deformationen (thermische Ausdehnung). Wenn aber
kinematische Zwangsbedingungen oder inhomogene Temperaturverteilungen vorliegen,
so werden thermische Spannungen induziert. Die Stärke dieser Effekte wird
materialseitig durch den thermischen Ausdehnungskoeffizienten α bestimmt. Weitere
wesentliche thermische Parameter sind die spezifische Wärmekapazität und die
thermische Leitfähigkeit.
Thermisch induzierte Dehnungen werden zu den elastischen superponiert:
ijGesamt  ijelast .  ijth
(4)
Daraus folgt:
ij  Eijkl klGesamt  klth
(5)


4
Die thermischen Dehnungen errechnen sich aus der Temperaturdifferenz T und dem
Tensor des thermischen Ausdehnungskoeffizienten ij:
ijth  ij T
bzw. im isotropen Fall:
ijth    ij T
Für das elastische, isotrope Material gilt dann:
1 

 ij 
ij  KK ij   T ij
E
E
(6)
(7)
(8)
THM-Kopplung:
Die Besonderheit der THM-Kopplung liegt darin, dass der Wärmetransport auf
verschiedene Weise erfolgen kann:
 durch Wärmeleitung über das Gestein (reine Konduktion, Fourier-Gesetz)
 durch Wärmeleitung über das Fluid (reine Konvektion: erzwungen durch
hydraulischen Gradienten und/oder frei aufgrund von Dichte- und
Temperaturunterschieden)
 Kopplung von Konduktion und Konvektion
Abschließende Bemerkung: Eine zunehmende Anzahl von Kopplungsmechanismen in
der Simulation bringt folgende Probleme mit sich:
 Ausgeprägte Verlängerung der Rechenzeiten
 Bedarf an vielen Parametern bzw. funktionellen Anhängigkeiten
 Probleme bei der Überwachung der Simulationen
 Probleme bei der Überprüfung / Interpretation der Ergebnisse
Daher sollten folgende Grundsätze beachtet werden:
 Nur die Kopplungsmechanismen anwenden, die unbedingt notwendig sind
 Modellberechnungen so vornehmen, dass Kopplungen schrittweise integriert
werden und jeder Schritt intensiv analysiert wird (schrittweise Ertüchtigung des
Modells)
5
Einführungsskripte
Teil VII:
Methodik
Freiberg 4/2013
1
Die besonderen Anforderungen in der Bearbeitungsmethodik geomechanischer
Probleme (insbesondere im Vergleich zur Mechanik von Werkstoffen) ergeben sich aus
folgenden Aspekten:
 ausgeprägte Anisotropie und Inhomogenität bezüglich der Verformungs- und
Festigkeitseigenschaften
(geologische
Schichtung,
Klüfte,
Störungen,
Schieferungen etc.)
 sehr begrenzte Datenbasis (geringe Kenntnisse über das Deformations- und
Festigkeitsverhalten, Untergrundaufbau nur partiell bekannt etc.)
 ausgeprägte Maßstabseffekte in Raum und Zeit
 ausgeprägte Wechselwirkungen des Bodens bzw. Felses mit anderen
Komponenten, wie Fluiden, Wärme oder chemischen Einwirkungsfaktoren
(hydro-thermo-chemo-mechanisch gekoppelte Probleme)
 Spezifika im Belastungszustand, den Anfangs- und Randbedingungen sowie im
Materialverhalten,
 überwiegend kompressive Belastung
 signifikante Unterschiede im Be- und Entlastungsverhalten
 inelastische Prozesse, wie z.B. elasto-plastische Spannungsumlagerungen,
Ver- und Entfestigungsprozesse oder hysteretisches Verhalten gehören zum
typischen Erscheinungsbild
 typische Probleme sind im Halbraum oder gar im Vollraum zu betrachten
 es stehen meist keine „Prototypen” zum Test zur Verfügung
Der Einsatz numerischer Rechentechniken zur Lösung geotechnischer Aufgaben (im
Wesentlichen Standsicherheitsnachweise und Nachweise zur Gebrauchstauglichkeit) ist
stets im Kontext des gesamten Methodenspektrums des Geotechnikers zu sehen, die
folgende Methoden umfassen:






geschlossene analytische Lösungen
semianalytische Lösungen
empirische Beziehungen
physikalische Modelle
Laboruntersuchungen
Feldmessungen / in-situ Großversuche / natürliche Analoga
Die einzigartigen Potenzen der numerischen Verfahren, aber auch deren Einbettung in
die anderen Methodiken lassen sich wie folgt charakterisieren:
Geschlossene analytische Lösungen:
Sie liefern im mathematischen Sinne exakte Lösungen und besitzen einen hohen Grad
der Verallgemeinerung. Mit geschlossenen Lösungen lassen sich ganze
Problemklassen mit geometrischer Ähnlichkeit untersuchen. Analytische Lösungen sind
leicht nachvollziehbar. Für eine Vielzahl von Problemklassen liegen die Lösungen
bereits vor, ihr Einsatz ist für den praktisch arbeitenden Geotechniker relativ einfach
und überschaubar.
Die Beschränkung liegt darin, dass geschlossene analytische Lösungen nur für sehr
einfache Problemstellungen zu erhalten sind. Insbesondere bei Inhomogenitäten in den
Materialparametern, komplizierteren Geometrien, Nichtlinearitäten im Materialverhalten
oder gekoppelten Prozessen können analytisch meist keine geschlossenen Lösungen
erhalten werden. Der Einsatz geschlossener analytischer Lösungen birgt daher oft die
Gefahr der übermäßigen Vereinfachung in sich. In Bezug auf numerische
2
Berechnungen werden analytische Lösungen zur Verifizierung von numerischen
Rechenprogrammen oder zur überschlägigen Beurteilung benutzt.
Semianalytische Lösungen:
Unter semianalytischen Lösungen sind hier zusammenfassend alle ingenieurmäßigen
Methoden für Deformations-, Spannungs- und Standsicherheitsnachweise zu verstehen,
die über die geschlossenen analytischen Lösungen hinausgehen, aber noch nicht die
Komplexität der anspruchsvollen numerischen Methoden erreichen. Sie beinhalten
grafische, tabellarische, analytische und „primitive“ numerische Elemente. Ihr Vorteil
besteht in der leichten Handhabung, Nachvollziehbarkeit (Prüfung), langjährigen
Praxiserprobung und dem Fakt, dass sie in Vorschriften und Empfehlungen Eingang
gefunden haben. Gegenüber den geschlossenen analytischen Lösungen erlauben sie
eine Behandlung von Problemen höherer Komplexität. Im Vergleich zu den
numerischen Verfahren haben sie jedoch einige wesentliche Nachteile: Mit den
semianalytischen Verfahren können Deformationen, Spannungen, Strömungen sowie
Standsicherheits- und Stabilitätsprobleme nur isoliert mit verschiedenen Techniken
behandelt werden. Außerdem sind die zugrunde liegenden physikalischen Ansätze
stark vereinfacht bzw. müssen rein empirisch zu bestimmende Parameter Verwendung
finden. Nach einer langen Phase des parallelen Einsatzes beider Techniken verdrängen
die „hochwertigen“ numerischen Verfahren zunehmend die semianalytischen Verfahren.
So wird z.B. für statische Nachweise im Tunnelbau (traditionell z.B.: gebetteter
Stabzug),
Setzungsbzw.
Konsolidationsprognosen
(traditionell
z.B.:
Steifemodulverfahren, Bettungsmodulverfahren), Spannungsermittlungen (traditionell
z.B.: grafische und tabellarische Verfahren) oder auch Standsicherheitsnachweise von
Böschungen (traditionell z.B.: Lamellenverfahren) heute zunehmend der Einsatz
numerischer Verfahren verlangt. Die Bedeutung der semianalytischen Verfahren wird zu
Gunsten der „hochwertigen“ numerischen Verfahren weiter zurückgehen.
Empirische Beziehungen:
Empirische Beziehungen entstehen durch die Verallgemeinerung von Erfahrungswerten
qualitativer und/oder quantitativer Art bei der Analyse von Problemklassen. Empirische
Beziehungen existieren daher auch nur für sehr typische, häufig anzutreffende
Konstellationen. Basis für empirische Beziehungen sind entweder Erfahrungen aus der
Baupraxis oder aus Versuchsserien mittels physikalischer Modelle oder
Laborexperimente. Empirische Beziehungen sind rein phänomenologischer Art und
nicht direkt aus physikalischen Gesetzmäßigkeiten abgeleitet. Insofern erlauben sie
keine tieferen Einsichten in die Ursachen von Verhaltensmustern und gestatten auch
keine physikalisch begründeten Analysen bzw. Entscheidungsfindungen. Vorsicht ist
geboten, wenn diese erprobten Gesetzmäßigkeiten auf Gebiete extrapoliert werden, die
über das Gebiet der Erprobung hinausgehen. Für den Geomechaniker sollte es stets
Ziel sein, empirische Beziehungen nachträglich physikalisch zu untermauern, z.B.
mittels numerischer Simulationen.
Physikalische Modelle:
Physikalische Modelle beinhalten die Modellierung des interessierenden Objektes
mittels äquivalenter Materialien unter Beachtung der Gesetze der physikalischen
Ähnlichkeit. Mittels physikalischer Modelle können auch relativ komplizierte
Aufgabenstellungen, die zum Beispiel mittels geschlossener analytischer Lösungen
nicht mehr zu untersuchen sind, gelöst werden. Eine wesentliche Einschränkung liegt
darin, dass mittels eines physikalischen Modells jeweils nur ein spezifischer Fall
3
untersucht werden kann (der Versuch endet meist mit der vollständigen Zerstörung des
Modells). Da diese Methodik sehr kostenund zeitaufwendig ist, wurde sie in den letzen
Jahren zunehmend von numerischen Methodiken abgelöst oder zumindest ergänzt. Zur
punktuellen Validierung numerischer Simulationsergebnisse haben sie heute noch,
wenn auch eingeschränkt, Bedeutung.
Laboruntersuchungen:
Laboruntersuchungen beinhalten die messtechnische Untersuchung des Verhaltens
von Boden- bzw. Felsproben unter definierten Belastungsbedingungen und die
Ableitung definierter Kennwerte. Diese Methodik ist eine der Möglichkeiten, quantitative
Parameter zum Materialverhalten des Bodens bzw. Felses zu erhalten. Beachtet
werden muss dabei, dass stets nur sehr kleinmaßstäblich und oft nur gestört untersucht
wird und somit die gewonnenen Parameter unter Beachtung von Maßstabseffekten und
in-situ Bedingungen auf den Boden bzw. die Felsmasse übertragen werden müssen.
Der Vorteil dieser Methodik liegt darin, dass unter kontrollierten Bedingungen kostenund zeiteffektiv Analysen durchgeführt werden können. Die Ergebnisse von
Laboruntersuchungen können zur Definition des Materialgesetzes sowie dessen
Materialparameter im numerischen Modell verwendet werden.
Feldmessungen / in-situ Versuche / natürliche Analoga:
In-situ Versuche, Messungen oder auch Beobachtungen gestatten die Erfassung der
Charakteristiken der Felsmasse bzw. des Bodens unter natürlichen Bedingungen. Sie
sind gegenüber Laboruntersuchungen zwar oft wesentlich kostenaufwendiger, geben
aber wegen der ungestörten Verhältnisse und des Originalmaßstabes ein realistisches
Bild bezüglich qualitativer und quantitativer Ergebnisse. In-situ Messungen dienen
sowohl der Bestimmung von Parametern für verschiedene Phasen der Planung und
Dimensionierung von geotechnischen Projekten als auch der Überwachung und
Rückrechnung. Feldmessungen spielen eine wichtige Rolle bei der Bauüberwachung
und sind Motor bei der Anpassung des Designs an die aktuelle geomechanische
Situation (z.B. NÖT). In Bezug auf die numerischen Methoden dienen sie der
Parameteridentifikation, der Validierung oder auch der Backanalysis.
Die Lösung einer geotechnischen Aufgabenstellung mittels numerischer
Modelltechniken lässt sich in zwei Phasen einteilen (siehe auch Abb. 1 + 2):
Phase 1: Konzeptionelles Modell
Phase 2: Numerisches Modell
Das Erstellen des konzeptionellen Modells erfordert die Analyse folgender Komplexe:
 Aufgabenstellung (was ist das Ziel der numerischen Simulation ? Welche
Ergebnisse werden erwartet ?)
 Datenlage (Welche Daten sind in welcher Qualität verfügbar ?)
 Projektphase (In welcher Phase eines Projektes befindet man sich ?)
 Modellaspekte (Welche Aspekte der Modellierung müssen beachtet werden ?)
4
Abb. 1: Schema ‚Konzeptionelles Modell’
5
Abb. 2: Schema ‚Numerisches Modell’
6
Je nachdem, in welcher Phase eines Projektes man sich befindet, werden auch die
Aufgabenstellung und der Einsatz der numerischen Berechnungsmethoden
unterschiedlich sein.
In der Phase der Vorplanung oder auch Variantenuntersuchung liegt meist eine sehr
begrenzte Datenbasis vor, der Kostenrahmen ist eingeschränkt und die Erwartungen an
die Ergebnisse sind bezüglich ihrer Präzision geringer. Daher wird sich auch die
Modellbildung auf vereinfachte Geometrien, gröbere Netze, einfachere Materialgesetze
und wenige zwischenzustände beschränken.
Für die Phase der Detailplanung / Dimensionierung müssen sowohl bezüglich des
Baugrundes als auch der Konstruktion hochwertige Daten vorliegen. Materialverhalten
sowie Interaktion Baugrund-Bauwerk müssen über sehr realitätsnahe Materialgesetze
abgebildet werden.
Die Phasen des Monitoring und der Rückrechnung sind dadurch gekennzeichnet, dass
zusätzlich in-situ Messdaten und Beobachtungen zur Interaktion Baugrund-Bauwerk
vorliegen. Die numerische Simulation hat hier die Aufgabe, das Baugeschehen zu
begleiten (Optimierung, Überwachung, Interpretation …) oder aber die Ursachen für
Versagensfälle oder unerwartetes Materialverhalten aufzudecken.
Die Grundlagen- und angewandte Forschung zeichnet sich dadurch aus, dass je nach
Aufgabenstellung ganz unterschiedliche Anforderungen vorliegen. Während in den
zuvor
genannten
Phasen
nur
hinreichend
verifizierte
und
validierte
Berechnungsansätze verwendet werden können, zeichnet sich die Forschung dadurch
aus, unkonventionelle Ansätze zu benutzen (Pionierarbeit).
Nachdem man sich über die zutreffende Projektphase im Klaren ist, müssen die
verschiedenen Modellaspekte gemäß Abb. 1 diskutiert werden. Dabei sind
insbesondere folgende Fragen zu beantworten:






Muss das Problem 3-dimensional modelliert werden, oder reichen 2dimensionale Betrachtungen bzw. die Annahme von Rotationssymmetrie
(Quasi-3D) aus ? Wenn letzteres gilt: Wie sind die Symmetrielinien definiert ?
Beachte auch, dass diese Symmetrie nicht nur für die Geometrie, sondern alle
Aspekte, wie z.B. Lasten, den Primärspannungszustand oder das
Materialverhalten gilt.
Ist für die Lösung der Aufgabenstellung ein kontinnumsmechanischer Ansatz
geeignet oder muss ein diskontinnumsmechanischer gewählt werden. Dies
entscheidet grundlegend darüber, welche Software verwendbar ist.
Welche Stoffgesetzklassen sind für die Beschreibung der zu betrachtenden
Geomaterialien ins Auge zu fassen ? (z.B. elastische, elasto-plastische, viskoelasto-plastische,
hypoplastische,
schädigungsmechanische,
bruchmechanische, ….)
Kann die Simulation rein mechanisch erfolgen oder müssen Kopplungen zu
anderen Phasen betrachtet werden, z.B. hydro-mechanische, thermomechanische, hydro-thermo-mechanische oder gar hydro-thermo-mechanischchemische Kopplungen ?
Betreffen die Betrachtungen statische Zustände oder schließen sie dynamische
Effekte (Wellenausbreitung) ein ?
Welche Zwischenphasen (gemäß Ausbruchsequenz, Sicherungsmaßnahmen
etc.) müssen abgebildet werden, um der Spannungspfadabhängigkeit des
Materialverhaltens einerseits und den bautechnischen Anforderungen an die
Berechnungsergebnisse andererseits Rechnung zu tragen ?
7

Welche prinzipiellen Anfangs- und Randbedingungen sind zu berücksichtigen
(z.B. initiale Spannungen
und Fluiddrücke, Verschiebungs- oder
Spannungsrandbedingungen) ?
Die Beantwortung aller Fragen gemäß Abb. 1 führt zum ‚Konzeptionellen Modell‘. In
einem zweiten Schritt muss nun das ‚Numerische Modell‘ erarbeitet und abgearbeitet
werden, welches in detaillierter Weise den Modellaufbau, sowie Berechnung und
Auswertung enthält.
Diese zweite Phase beginnt zunächst damit, dass eine sehr detaillierte Analyse der
Datenlage erfolgt und gleichzeitig vorausgedacht wird, welche Ergebnisse in welcher
Darstellungsform für die Modellauswertung und Berichterstattung benötigt werden.
Danach erfolgt der Modellaufbau durch Vorgabe des Netzes, der Anfangs- und
Randbedingungen, der Berechnungssequenz, der Wahl der Materialgesetze und deren
Parameter etc. in Form eines Eingabeskriptes oder im Dialog mit entsprechenden
Programm-Menüs. Bei Unsicherheiten oder zu Testzwecken lohnt es sich, an dieser
Stelle kleine Teilmodelle (im Extremfall bis hinunter zum 1-Element-Modell) zu erstellen
und Testrechnungen solange durchzuführen, bis das Problem erschöpfend geklärt ist.
Nun werden die numerischen Simulationen gestartet und die Ergebnisfiles zur
nachfolgenden Auswertung abgespeichert. Vor jeglicher Berichterstattung müssen die
Berechnungsergebnisse überprüft werden, da es viele potentielle Fehlerquellen gibt.
Dazu stehen folgende Methoden zur Verfügung:




Prüfung auf Plausibilität, d.h. sind die berechneten Werte physikalisch überhaupt
möglich ?
Vergleich mit Erfahrungswerten, d.h. entsprechen die Werte von der
Größenordnung her den bisherigen Erfahrungen und wenn nicht, sind die
Abweichungen physikalisch begründbar und logisch nachvollziehbar ?
Im günstigsten Fall liegen Messwerte vor, die direkt zum Vergleich Modell –
Realität herangezogen werden können.
Wenn möglich, so sollten vergleichend auch andere Berechnungsmetoden (z.B.
anderes numerisches Verfahren oder semi-analytische Verfahren) eingesetzt
werden.
Sollte die Ergebnisprüfung positiv ausfallen, so kann die Berichterstattung erfolgen oder
aber weitere Simulationen, z.B. in Form einer Parameterstudie, Variantenbetrachtung,
Sensitivitätsanalyse, Optimierung, Robustheitsanalyse etc. sind erforderlich.
Sollte die Ergebnisprüfung allerdings negativ ausfallen, so muss zunächst geprüft
werden, ob es sich um einen prinzipiellen konzeptionellen Fehler handelt oder aber
Fehler im Detail des numerischen Modells vorliegen. Je nachdem muss im Ablauf an
die entsprechende Stelle zurückgegangen werden, die Korrektur ausgeführt werden
und das Schema ab diesem Punkt in vollem Umfang erneut abgearbeitet werden.
Es wird nachdrücklich empfohlen, die geotechnische Simulation von Anfang an
projektbegleitend, d.h. von der Vorplanung bis zur Rückrechnung, durchzuführen. Dies
ist letztendlich nicht nur kostensparend, sondern eröffnet auch die Möglichkeit,
kurzfristig auf problematische Situationen zu reagieren und das Projekt zu optimieren.
Bei einer solchen Vorgehensweise wird das numerische Modell Schritt für Schritt
verfeinert bzw. bezüglich der zunehmend besser werdenden Datenbasis kalibriert bzw.
modifiziert.
8
Einführungsskripte
Teil VIII:
Praktische Hinweise
Freiberg: 4/2013
1
Dieses Skript enthält ausgewählte praktische
Parametrisierung von numerischen Modellen.
Hinweise
zur
Erstellung
und
Anfangs- und Randbedingungen:
Die Lösung (auch die numerische) von Differenzialgleichungen verlangt die
Spezifizierung von Anfangs- und Randbedingungen. Unter Randbedingungen versteht
man dabei zeitunabhängige oder zeitabhängige mechanische, thermische, hydraulische,
chemische … Bedingungen, die am inneren oder äußeren Modellrand angreifen. Unter
Anfangsbedingungen (initiale Bedingungen) versteht man die zum Zeitpunkt
t = 0 (Beginn der numerischen Simulation) vorherrschenden Zustände (wiederum
mechanischer, hydraulischer, thermischer … Art).
Beispiele für Randbedingungen:
 Spannungen
 Kräfte
 Geschwindigkeiten
 Beschleunigungen
 Verschiebungen
 Wasserdrücke
 Temperaturen
Beispiele für Anfangsbedingungen:
 primärer Spannungszustand
 primärer Deformationszustand
 primärer Poren- /Kluftwasserdruck
 Ausgangstemperaturfeld
Verschiebungsrandbedingungen werden auch Dirichlet-Bedingung genannt, Kraft- bzw.
Spannungsrandbedingungen dagegen werden auch als Neumann-Bedingungen
bezeichnet.
Besondere Bedeutung kommt der Wahl der äußeren Randbedingungen zu. Für
statische Berechnungen kommen Spannungs- und Verschiebungsrandbedingungen in
Betracht. Beide entsprechen nicht der Realität, wobei i.d.R. (aber nicht immer !) gilt,
dass Verschiebungsrandbedingungen die Bewegungen im Inneren zu klein und
Spannungsrandbedingungen die Bewegungen in Inneren zu groß prognostizieren.
Wenn jedoch die äußeren Ränder weit genug vom interessierenden Inneren entfernt
sind, so nähern sich beide Varianten an. Wenn keine Erfahrungen oder analytische
Überschlagsrechnungen zur Verfügung stehen, so wird empfohlen, sowohl Entfernung
(Modellgröße) als auch Typ der Randbedingungen in einer Parameterstudie vorab zu
testen. Abbildung 1 demonstriert exemplarisch, wie sich bei rein elastischer Berechnung
die Verschiebungswerte und Spannungen in 2 ausgesuchten Beobachtungspunkten mit
dem Verhältnis der Modellgröße zum inneren Modellgebiet (2 Hohlräume) verändern.
Außerdem zeigt die Abbildung den Einfluss von Verschiebungs- und
Spannungsrandbedingungen jeweils im Vergleich zur exakten Lösung. Man erkennt,
dass bei hinreichendem Abstand der Modellränder zum interessierenden inneren
Modellgebiet beide Typen von Randbedingungen näherungsweise die exakte Lösung
erzeugen.
Vielfach bietet es sich auch an, gemischte Randbedingungen zu verwenden. So kann
es z.B. für einen tiefliegenden Tunnel sinnvoll sein, den oberen Modellrand mit einer
Spannungsrandbedingung gemäß seiner Teufe zu belegen und die seitlichen sowie den
2
unteren Rand mit Verschiebungsrandbedingungen zu belegen. Zusätzlich müsste auch
der adäquate primäre Spannungszustand gemäß Teufe eingeschrieben werden.
Die Spezifizierung der Randbedingungen erfolgt ja nach gewähltem Koordinatensystem
komponentenweise, d.h. z.B. im kartesischen System bezüglich der Komponenten x, y
und z oder in Form der Normal- und Scherkomponenten am Rand.
Abb. 1: Normalisierte Spannungen und Verschiebungen an 2 Beobachtungspunkten in
Abhängigkeit des Typs der Randbedingungen und des Verhältnisses Modellgröße zur
Hohlraumgröße
Vernetzungsregeln:
Bei der ebenen oder räumlichen Diskretisierung (Vernetzung) des Objektes sind drei
grundlegende Aspekte zu beachten:
 Wahl geeigneter Elementtypen
 Wahl einer geeigneten Vernetzungsdichte
 Wahl eines geeigneten Vernetzungsverfahrens
Prinzipiell sind folgende Elementtypen zu unterscheiden:
 Volumenelemente (z.B. Dreieck- oder Rechteckelemente in 2D bzw. Tetraeder
oder Quader in 3D – Verwendung z.B. für Gebirge, massiven Beton)
 Schalenelemente (flächenförmige Elemente mit vernachlässigbarer Dicke, aber
Berücksichtigung von Momenten und Membranspannungen – Verwendung z.B.
für Spritzbetonschalen, geringmächtiges Mauerwerk)
 Stabelemente (eindimensionale Elemente – Verwendung z.B. für Anker, Streben,
Pfähle)
Des Weiteren kann innerhalb eines Elementtyps noch nach der Ansatzfunktion
unterschieden werden, d.h. nach der Art der Interpolation zwischen den Knoten.
Bei der Wahl der Vernetzungsdichte (Knotenpunktabstand) müssen zwei
konkurrierenden Forderungen beachtet werden:
 Vernetzungsgrad , damit höhere Genauigkeit und bessere Auflösung
 Vernetzungsgrad , um Rechenzeiten und Speicherbedarf zu minimieren
Für die Vernetzung gelten folgende praktische Regeln:
 Mehrere Elemente niedriger Ordnung (lineare Ansatzfunktion) bringen
äquivalente Werte wie wenige Elemente höherer Ordnung (nicht lineare
Ansatzfunktion)
3
 höhere Netzfeinheit ist da erforderlich, wo hohe Spannungs- bzw.
Deformationsgradienten erwartet werden, d.h. z.B. an freien Oberflächen,
Gebieten mit hohen Steifigkeitskontrasten, Gebieten mit Ausbau- und
Sicherungselementen, Gebieten mit Lasteinträgen
 Elemente möglichst äquidistant gestalten, d. h. Verhältnis maximale zu
minimale Kantenlänge < 10
 Elemente möglichst nach erwarteten Spannungstrajektorien ausrichten
 Übergang zwischen groben und feinen Netzbereichen möglichst ohne
Sprünge (allmählicher Übergang)
Vernetzungstechniken:
Die Vernetzung im weiteren Sinne umfasst zwei Etappen: die Geometrieerstellung und
die eigentliche Vernetzung (Füllen des Körpers mit Elementen).
Man unterscheidet prinzipiell zwischen:
 „free meshing“:
unstrukturiertes Netz, das lediglich allgemeine Kriterien erfüllt
(z.B. Kantenlänge  vorgegebener Wert)
 „mapped meshing“:
strukturiertes, z.B. an der Objektgeometrie oder den vermuteten
Spannungstrajektorien ausgerichtetes Netz
Zur Netzgenerierung sind folgende Techniken gebräuchlich:
 Erzeugung der Geometrie (z. B. CAD-basiert mit Boolscher Algebra) und
nachfolgend automatische Vernetzung als ‚free’ oder ‚mapped meshing’
 Konstruktion über mit Elementen gefüllte Basiskörper
 Verzerrung eines Basisnetzes bzw. dessen Erweiterung durch Kopieren/Spiegeln
 Aufbau des Modells aus importierten Punkt- und Elementkoordinaten
Während eine 2D-Vernetzung heutzutage mit verschiedensten Techniken relativ
problemlos, schnell und nahezu vollautomatisch erfolgen kann, ist die 3D-Vernetzung,
insbesondere mit hochwertigen Quaderelementen und komplizierter Geometrie, wie
beispielsweise einer Tunnelverschneidung, immer noch schwierig und zeitaufwändig.
Für 3D-Modelle wird meist folgender Ablauf gewählt:
 Erzeugung der Geometrie in einem CAD-Programm
 Export der CAD-Geometrie in ein Standardformat (z.B. IGES, STEP, STL etc.)
 Import der CAD-Geometrie in ein Vernetzungstool und Durchführung der
Vernetzung sowie Auslesen in ein für das Numerik-Tool lesbares Format
 Einlesen der Vernetzungsstruktur inkl. Zusatzinfos in das Numerik-Tool
Die folgenden Abbildungen zeigen exemplarisch einige Vernetzungstechniken.
4
Abb. 2: Mit Elementen gefüllte Basiskörper, die mit weiteren zu einem Gesamtmodell
zusammengesetzt werden können (‚LEGO-Baukasten-System‘)
Abb. 3: Zusammenbau von Teilnetzen durch Verbinden und Spiegeln
Abb. 4: Erzeugung des finales Netz durch Beschneiden, Deformation und partielles
Löschen eines Ausgangsnetzes
5
Abb. 5: Erzeugung des finalen Netzes durch sukzessive Geometrieadaption und
Netzverfeinerung
Modellgröße:
Das Verhältnis Modellgröße (Außenabmessungen des numerischen Netzes) zur
Objektgröße (z.B. Hohlraumdimension) spielt für die korrekte Berechnung eine große
Rolle. Hier gilt es, ein Optimum aus 2 konkurrierenden Forderungen zu finden:
 möglichst großes Verhältnis Modellgröße / Objektgröße, um Randeinflüsse zu
minimieren.
 möglichst kleines Verhältnis Modellgröße / Objektgröße, um Rechenzeiten und
Speicherkapazitäten zu minimieren.
Ein zweiter, insbesondere für elastische und einfachere elasto-plastische
Berechnungen bedeutender Aspekt ist die Abhängigkeit der Setzungen und Hebungen
von der Modellgröße. Bei großen Modellabmessungen kommt es dabei zu
unrealistischen Verschiebungsgrößen. Bei rein elastischer Berechnung sind Setzungen
und Hebungen eine Funktion der Modellgröße (Widerspruch mit Praxis!). Abhilfe
schaffen können komplexere Stoffgesetze oder die Annahme erhöhter E-Moduli in
ausreichender Entfernung vom Objekt.
Kontinuum versus Diskontinuum - Maßstabseffekt:
Defacto sind die meisten Geo- und Baumaterialien auf einer bestimmten Skala, d.h. bei
bestimmter Auflösung bzw. einem bestimmten Maßstab Diskontinua: z.B. Sand oder
Kies in Form der Sandkörner oder geklüfteter Fels in Form der Kluftkörper – aber auch
geotechnische
Konstruktionen
wie
z.B.
die
Verbundkonstruktionen
Tunnelschale/Gebirge, Spundwand/ Boden, Anker/Gebirge oder Geotextil/Boden.
Ob man diese realen Diskontinua modelltechnisch, d.h. im numerischen Modell, als
Diskontinua oder Kontinua abbildet, hängt von 3 Faktoren ab:
 Verhältnis des Repräsentativen Elementarvolumens (REV) zum Gesamtvolumen
 Aufgabenstellung (interessierende Phänomene)
 Verfügbarkeit der Software
REV bezeichnet dabei das kleinste Volumen, aus dem Messungen, Parameter bzw.
Reaktionen entnommen werden können, die repräsentativ für den Gesamtkörper sind.
6
In Bezug auf Diskontinua bedeutet dies: das REV ist das kleinste kontinuumsmechanische Volumen, welches statistisch äquivalent zum realen Diskontinuum ist.
Abbildung 6 zeigt den Verlauf von 2 Eigenschaften npm und nfr als Funktion des
betrachteten Volumens. Man erkennt, dass mit zunehmendem Volumen die
Schwankungsbreite der Eigenschaft (z.B. Festigkeitskennwert, Deformationsmodul,
Permeabilität etc.) abnimmt und sich einem repräsentativen (nahezu konstanten) Wert
nähert. Ab einem bestimmten Volumen Vmin, welches das REV darstellt, ändert sich der
Materialwert über einen größeren Volumenbereich bis Vmax praktisch nicht mehr. Wie
Abbildung 6 auch zeigt, kann der Bereich Vmin - Vmax für verschiedene Eigenschaften
durchaus unterschiedlich sein. In diesem Fall wäre der Bereich Rfp als repräsentatives
Volumen anzusehen.
Abb. 6: Darstellung des Verlaufs von Parametern als Funktion des betrachteten
Volumens (Maßstabseffekt).
7
Intaktes Gestein
Einzelne Kluftschar
Zwei Kluftscharen
Viele Kluftscharen
Intensiv geklüftetes
Gebirge
Abb. 7: Zusammenhang zwischen Struktur und betrachtetem Volumen am Beispiel des
Gebirges/Felses (Maßstabseffekt).
Je nach betrachtetem Volumen stellt sich die Gebirgsstruktur unterschiedlich dar.
Demzufolge sind auch unterschiedliche Modellierungstechniken zu empfehlen (siehe
auch Abb. 7). Im Falle eines sehr kleinen Volumens ist es möglich, dass nur intaktes
Gestein vorliegt und somit ein klassischer kontinuumsmechanischer Ansatz mit
gesteinsmechanischen Parametern empfehlenswert ist. Bei einem größeren Volumen
trifft man einzelne Kluftscharen an, die man am besten mit einem
diskontinuumsmechanischem Ansatz (z.B. mittels Diskrete Elemente Methode) darstellt,
wobei der Gesteinsmatrix und den Diskontinuitäten explizit unterschiedliche
Parametersätze zugeordnet werden. Wenn sehr viele Kluftscharen bzw. intensiv
geklüftetes Gebirge vorliegt, so ist es sinnvoll, wiederum zu einem
kontinuumsmechanischen Ansatz zurückzukehren, wobei jetzt die Wirkung der
Diskontinuitäten nicht mehr diskret, sondern ‚verschmiert‘ mittels reduzierter Festigkeitsund Steifigkeitsparameter abgebildet wird.
Der Maßstabseffekt spielt insbesondere beim Gebirge/Fels eine entscheidende Rolle
und ist bei der Parameterisierung der Materialgesetze zu beachten, wobei die
Gebirgsklassifikationen in folgender Weise genutzt werden können:
 Bestimmung gesteinsmechanischer Kennwerte im Labor
 Ingenieurgeologische Aufnahme (Kernansprache, Kluftstatistik etc.)
 Durchführung der Gebirgsklassifizierung (z.B. RMR, Q, GSI, RQD) auf Basis der
ingenieurgeologischen Aufnahme und der gesteinsmechanischen Parameter
 Ableitung von Gebirgsparametern für entsprechende Materialgesetze (z.B. HoekBrown, Mohr-Coulomb etc.) auf Basis der Gebirgsklassifizierung
8
2D versus 3D:
Vor jeder Modellerstellung sind zwei Fragen zu beantworten:
 Muss die Berechnung in 3D erfolgen, oder ist eine 2D-Betrachtung zulässig?
 Gibt es Symmetrielinien oder –ebenen, die eine Modellreduktion erlauben?
Eine 3D-Modellierung ist immer dann erforderlich, wenn
 das Streichen der geologischen Elemente (Schichten, Klüfte …) nicht mit der
Längsachse der geotechnischen Konstruktion zusammenfällt
 die Achsen der Materialanisotropie nicht mit den Achsen der geotechnischen
Konstruktion zusammenfallen
 die Richtungen der Hauptspannungen weder parallel noch senkrecht zu den
Achsen der geotechnischen Konstruktion ausgerichtet sind
 die Abmaße der geotechnischen Konstruktion bzw. des geologischen Körpers in
den drei Raumrichtungen in etwa gleich groß sind
 sich mehrere Bauwerkskomponenten schneiden (z. B. Tunnelkreuzung)
 angreifende Größen (Kräfte, Geschwindigkeiten ….) Komponenten in allen drei
Raumrichtungen berühren
Wenn Symmetriebedingungen erfüllt sind, so lassen sich Modelle auf die Hälfte, ein
Viertel oder gar von 3D auf 2D (Rotationssymmetrie) vereinfachen. Allerdings muss
beachtet werden, dass sich die Symmetriebedingungen auf mehrere Aspekte beziehen,
die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen:
 Symmetrie bezüglich der Geometrie
 Symmetrie bezüglich des Spannungszustandes
 Symmetrie bezüglich des Materialgesetzes (Ebenen der Anisotropie,
Orientierung der Klüfte etc.)
 Symmetrie bezüglich der Modellierungssequenz (Baufortschritt, Aushubsphasen,
Sicherungsphasen etc.)
 Symmetrie bezüglich der Randbedingungen
 Symmetrie bezüglich der Ausbau- und Sicherungsmaßnahmen (Anker, Schalen,
Spritzbeton, Streben etc.)
 Symmetrie bezüglich der Kopplungen (hydraulisch und thermisch)
Abbildung 8 illustriert mögliche Modellreduktionen auf Basis rein geometrischer
Betrachtungen, wie sie beispielweise für eine Schacht- , Tunnel- oder
Bohrlochproblematik bzw. eine Baugrube oder einen Graben Anwendung finden könnte.
Abb. 8: Exemplarische Beispiele für Modellreduktionen aufgrund von geometrischen
Symmetriebedingungen (Vollmodell, Halbmodell und Viertelmodell)
9
Besonderheiten bei Simulation dynamischer Prozesse:
Die Simulation hochdynamischer Prozesse beinhaltet die Wellenausbreitung und
erfordert die Beachtung von vier wesentlichen Aspekten.
 Zur sauberen Abbildung der Wellenbewegung muss der maximale
Knotenpunktabstand hp,s deutlich kleiner als die Wellenlänge p,s sein, d. h.
E
1 
 1   1   
c
hP  10  P  10  S 
f
f
G

c
hS  10  S  10  S 
f
f
hP: maximaler Knotenpunktabstand für P-Welle (Longitudinalwelle bzw.
Kompressionswelle)
hS: maximaler Knotenpunktabstand für S-Welle (Transversalwelle bzw.
Scherwelle)
cp: Ausbreitungsgeschwindigkeit P-Welle
cs: Ausbreitungsgeschwindigkeit S-Welle
f: Frequenz
E: E-Modul
: Querdehnungszahl
 Die Modellränder müssen aus dynamischer Sicht so gestaltet werden, dass
Reflexionen weitestgehend vermieden werden (Aufbringen von reflexionsarmen
Randbedingungen).
 Dynamische Festigkeiten sind in der Regel höher als statisch ermittelte (bis ca.
1,5-fach). Deshalb sind die Festigkeitsparameter anzupassen.
 Der Algorithmus muss eine physikalisch korrekte Dämpfung der
Wellenausbreitung beinhalten.
Häufig verwendete Algorithmen sind:
o massenproportionale Dämpfung
o steifigkeitsproportionale Dämpfung
o lokale Dämpfung
o Rayleigh-Dämpfung
Das Dämpfungsverhalten kann zutreffend über den seismischen Gütefaktor Q
beschrieben werden. Der seismische Gütefaktor selbst ist frequenzunabhängig, bewirkt
aber eine zunehmende Dämpfung mit ansteigender Frequenz, so wie sie für
Geomaterialien
charakteristisch
ist.
Deshalb
sind
frequenzunabhängige
Dämpfungsalgorithmen gemäß Q zu bevorzugen. Diesem Anspruch wird die lokale
Dämpfung und über einen weiten Frequenzbereich die sehr populäre RayleighDämpfung gerecht (siehe Abb. 9).
10
Dämpfung
lokal
Rayleigh
Steifigkeitsproportional
massenproportional
Frequenz
Abb. 9: Dämpfungsverhalten verschiedener Dämpfungsalgorithmen als Funktion der
Frequenz
Die wesentliche praktische Konsequenz ist, dass dynamische Berechnungen i.d.R. ein
wesentlich feineres Netz als statische Berechnungen benötigen und die Rechenzeiten
deutlich ansteigen. Weiterhin ist es oft nötig, die dynamischen Anregungssignale so zu
filtern, dass unzulässig hohe Frequenzen unterdrückt werden.
Netzabhängigkeit im Nachbruchbereich:
Das Nachbruchverhalten ist durch die so genannte „Lokalisierung“ charakterisiert.
Lokalisierung bedeutet die zunehmende Fokussierung (Akkumulation) von
Mikrobrüchen in einer makroskopischen Bruchebene. Dieser Prozess kann numerisch
durch das so gennannte ‚strain softening‘ abgebildet werden, wird aber stark von der
Netzstruktur beeinflusst, d.h., das Spannungs-Deformationsverhalten im Nachbruchbereich wird stark von der Netzfeinheit beeinflusst. Zur Lösung dieses unbefriedigenden
Zustandes gibt es prinzipiell 3 Lösungen.
 Kalibrierung an einer fixen Netzstruktur (diese muss in allen Modellen
unverändert bleiben)
 Adaptives Re-meshing im aktiven Bruchbereich (Netzverfeinerung)
 Erweiterung des Materialgesetzes durch eine interne Skalierungsgröße

,d
c
b,
a b c d
,
a

Abb. 9: Spannungs-Deformations-Verhalten mit strain-softening und unterschiedlich
feiner Vernetzung a,b,c und d ohne Korrekturmaßnahmen zum Netzeinfluss
11
Parallelisierung:
Da große numerische Modelle extreme Rechenzeiten beanspruchen (Tage bis
Wochen), lohnt eine Parallelisierung (= Einsatz mehrere Prozessoren). Die
Parallelisierung kann auf verschiedene Weise erfolgen, z. B. mittels Hyper-und Multithreading oder physische Aufteilung des Modells auf Prozessoren (dies können im
einfachsten Fall mehrere Prozessoren auf einem Rechnerboard sein, aber auch
miteinander im Netzwerk verbundenen Rechner bzw. Cluster).
Dabei steigt die Rechengeschwindigkeit allerdings nicht linear mit der Anzahl der
Prozessoren, sondern folgt dem Amdahl’schen Gesetz:
Sm 
1
fs 
wobei
Sm
N
fp
fs
fp
N
Geschwindigkeitszuwachs
Anzahl der Prozessoren
Anteil parallelisierter Code
Anteil serieller Code
Es gilt fs + fp = 1, wobei fp < 1, da zumindest die Kommunikation zwischen den
Prozessoren in serieller Weise realisiert werden muss. Abbildung 10 illustriert das
Amdahl’sche Gesetz.
Sm
N
Abb. 10: Amdahl’sches Gesetz: Rechengeschwindigkeitszuwachs als Funktion der
Um die Effizienz einer Parallelisierung zu bewerten, kann man ein Effizienzmaß 
definieren (siehe Abb. 11):

Ts
N  Tn
wobei
Ts
Berechnungszeit bei 1 Prozessor
Tn
Berechnungszeit bei N Prozessoren
N
12

Anzahl der Zonen
1
N
Abb. 11: Recheneffizienz η als Funktion der Anzahl der Prozessoren N und der
Elementanzahl
Die Effizienz der Parallelisierung steigt mit zunehmender Anzahl der Elemente und sinkt
mit zunehmender Anzahl der Prozessoren.
Wichtige Begriffe:
Verifikation (verifizieren = wahrmachen)  Prüfung auf Korrektur:
Prozess der Überprüfung der korrekten rechentechnischen Umsetzung des
konzeptionellen Modells (meist durch Vergleich mit analytischen Lösungen oder
geprüften numerischen Lösungen – oft auch „Benchmarks“ genannt).
Validierung (validieren = gültig machen)  Prüfung auf Funktionalität:
Prozess zur Ermittlung, in welchem Grad das zugrunde gelegte Modell die Realität
unter dem gewählten Blickwinkel richtig widerspiegelt (meist realisiert durch Vergleiche
mit Beobachtungen und Messungen im Feld und Labor).
Realität
Modell
Validierung
Simulation
Ana
lyse
ng
ieru
m
m
gra
Pro
Numerisches
Modell
Konzeptionelles
Modell
Modell
Verifizierung
Abb. 12: Rolle der Verifizierung und Validierung im Rahmen von Simulation und
Softwareentwicklung
13
Kalibrierung (Eichung):
Prozess der Justierung der Modellparameter, sodass gemessene Werte exakt
reproduziert werden. Dies setzt erfolgreiche Verifizierung und Validierung voraus.
Erreicht wird die Kalibrierung entweder durch trial-and-error-Verfahren, durch
mathematische Parameteridentifikation auf Basis von in-situ oder Labormesswerten
oder durch Opimierung.
Sensitivitätsanalyse:
Untersucht die Sensitivität der Systemantwort (Modell-output) als Funktion variierender
Eingangsparameter. Sie kann in Form einer Parameterstudie oder mathematisch
anspruchsvoller als „stochastic sampling“ mit statistischer Auswertung erfolgen.
Parameterstudien:
Das Modell wird mit verschiedenen Parametersätzen berechnet und die Modellantwort
als Funktion dieser Daten ausgewertet.
Unsicherheitsanalyse:
Probabilistische Modellierung zur Ermittlung des Einflusses der Unschärfe (Unsicherheit,
Schwankungsbreite, Verteilungsfunktion) der Eingangsparameter auf die Modellantwort.
Robustheitsanalyse:
Probabilistische Modellierung zur Ermittlung der Robustheit
Modellantwort als Funktion schwankender Eingangswerte.
(Stabilität)
einer
Zuverlässigkeitsanalyse:
Die Zuverlässigkeitsanalyse untersucht die Grenzüberschreitungen des Systemverhaltens, sprich das Versagen. Die Versagenswahrscheinlichkeit ist der Quotient aus
der Anzahl von Modellrechnungen mit Versagen zur Gesamtzahl der Modellrechnungen.
14

- TU Bergakademie Freiberg

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