Spektralanalyse

Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A
Spektralanalyse
Nils Thielke und Robert Brauer
26. November 2012
Wir erklären, dass wir dieses Protokoll eigenhändig anhand des
angehängten Messprotokolls und der angegebenen Literatur
erstellt haben.
Nils Thielke
Robert Brauer
Inhaltsverzeichnis
III
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theorie
2.1 Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fensterfunktionen . . . . . . . . . . . . .
2.4 Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler) .
2.5 Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)
2.8 Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . .
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3 Aufbau
4 Durchführung
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
4.2 Pseudozufallszahlengenerator . .
4.3 Gauss’sches Rauschen . . . . . .
4.4 Korrelationsfunktion . . . . . . .
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1
1
1
1
2
3
3
4
4
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6
. 6
. 15
. 17
. 26
1
1 Einleitung
Im dem vorliegenden Protokoll zur Spektralanalyse werden verschiedene Untersuchungsmethoden eines Messsignals dargestellt. Dazu wird im ersten Abschnitt auf die Theorie
der Untersuchungsmethoden eingegangen. Der Teil Aufbau enthält eine Beschreibung der
Software, welche für die Erzeugung und Analyse des Messsignals benötigt wird. In der
Durchführung werden die verschiedenen Analysemethoden angewendet und die Ergebnisse
ausgewertet.
2 Theorie
2.1 Fourieranalyse
Mittels der Fourieranalyse kann das Spektrum eines disktreten Signals berechnet werden.
Das Spektrum zeigt die Amplitude des Signals in Abhängigkeit der Frequenz an. Das
diskrete Signal ist dabei eine Zeitreihe. Das heißt zu festen Zeitpunkten kTa mit k = 0...N −1
existiert je ein Messwert x(kTa ). Wobei Ta den Abstand zwischen zwei Messwerten darstellt
(Abtastperiode). Das Spektrum eines diskreten Signals, welches mit der Abtastfrequenz fa
aufgenommen wird, lässt sich folgendermaßen berechnet:
N −1
nfa
1 X
x(kTa )e−i2π N kTa
S(nfA /N ) =
N k=0
n = 0, 1, ..., N − 1.
(2.1-G1)
Das Spektrum der Leistung ergibt sich, nach dem Parseval-Theorem, aus dem Betragsquadrat des Amplitudenspektrums |S(nfA /N )|2 .
2.2 Abtasttheorem
Das Abtasttheorem gibt vor, wie groß die Frequenz eines Signals sein darf, damit es
eindeutig abgetastet werden kann. Dies ist die sogenannte Nyquistfrequenz fN yquist =
1
f
. Bei Überschreitung dieser Frequenz kann aus den Messpunkten nicht mehr
2 Abtast
eindeutig das Ursprüngliche Signal rekonstruiert werden. Der Fehler, der dann auftritt,
wird Aliasing genannt.
2.3 Fensterfunktionen
Fensterfunktionen sind Funktionen mit denen ein Signal gewichtet wird um bei der Spektralanalyse Fehler zu vermeiden. Als Beispiel dient die Sinusfunktion (Abb. 2.3-A1). Wenn
bei der Messung nicht nur ganze Perioden des Sinus gemessen werden, sondern wie im
2
2 Theorie
Beispiel etwas mehr, dann wird dies bei der Fouriertransformation zu einem falschen Spektrum führen. Es entstehen dann Oberwellen im Spektrum, die auf Frequenzen hindeuten,
die im Signal nicht vorhanden sind. Um dies zu vermeiden gibt es Fensterfunktionen. Eine
Rechteckfunktion die ganzzahlige Perioden mit 1 und den Überschuß mit 0 gewichtet, hilft
dabei Oberwellen im Spektrum zu minimieren. Außerdem gibt es noch Fensterfunktionen,
wie die hanning-, hamming- oder flattop-Funktion, welche unterschiedliche Wirkung auf
das Spektrum haben.
Abbildung 2.3-A1 – Es ist eine Sinusfunktion über etwas mehr als eine Periode dargestellt.
2.4 Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler)
Ein AD-Wandler wandelt ein Analoges Signal in ein Digitales um. Die Genauigkeit
variiert dabei je nach Anzahl der Bits. Das ULSB gibt dabei den kleinsten zu messenden
Spannungsunterschied an. Dabei hängt der Wert vom maximalwert der Spannung ab. Bei
1
Umax . Durch die endliche
einem 8-Bit-Wandler zum Beispiel ist das ULSB = 218 Umax = 256
Auflösung kann es daher zum sogenannten Quantisierungsrauschen kommen. Das heißt das
zwei unterschiedliche Spannungswerte vom Wandler als eine Spannung erkannt werden. In
der Signalverarbeitung sorgt dies dafür, dass bei kleinen Signalen, Kurven nicht mehr als
Kurven dargestellt werden. Bei der Spektralanalyse können dann Fehler auftreten.
2.5 Histogramm
3
2.5 Histogramm
Ein Histogramm wird erzeugt, indem die Häufigkeit in Abhängigkeit einer Messgröße
dargestellt wird. Dabei werden Bereiche der Messgröße zu sogenannten bins zusammengefasst. Wichtig ist, dass die Zuordnung eindeutig ist. Jeder Messwert darf nur zu einem
bin gehören. Als Beispiel ist die Summe von zwei 6-Seitigen Würfeln in Abbildung 2.5-A2
dargestellt. Um aus einem Histogramm eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)
zu erzeugen, muss das Histogramm vorher auf eins normiert werden. Dazu wird jeder
Häufigkeitswert durch die Gesamthäufigkeit des Histogramms geteilt. Verbindet man dann
von jedem bin einen festen Punkt, so wird die PDF erzeugt.
Abbildung 2.5-A2 – Zu sehen ist ein normiertes Histogramm der Addition zweier 6seitiger Würfel.
2.6 Zufallszahlen
Um Zufallszahlen zu erzeugen benötigt man eine Abbildung die in der Lage ist auf [0 : 1]
abzubilden. Dazu benötigt diese Abbildung jedoch mehrere Eigenschaften. Das sind die
Unvorhersehbarkeit, die Gleichverteilung und die Unabhängigkeit. Die Unvorhersehbarkeit
bedeutet, dass der nächste Wert nicht anhand von Parametern bestimmt werden kann. Mit
Gleichverteilung ist gemeint, dass jeder Wert gleich häufig vorkommt. Dies muss jedoch nur
für N → ∞ gelten. Die Unabhängigkeit ist dann erfüllt, wenn der nächste Wert nicht von
den vorherigen Abhängig ist. Mit Zufallszahlen lässt sich auch gleichverteiltes Rauschen
erzeugen. Dazu werden die Spannungswerte durch die Zufallswerte erzeugt. Wenn statt
4
2 Theorie
gleichverteiltem Rauschen eine beliebige Verteilung erzeugt werden soll, kann dies durch
bestimmte Methoden geschehen. Nimm man z.B. zwei Zufallszahlen von 1-6 und addiert
sie, so ist die 7 die häufigste Zahl, während die 12 oder die 2 äußerst selten vorkommen.
Eine derartige Verteilung ist im Abschnitt 2.5 in Abbildung 2.5-A2 dargestellt.
2.7 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt, bei Integration über ein Interval, die Wahrscheinlichkeit einer Größe an, in diesem Interval zu liegen. Wichtig ist, dass durch Integration von −∞ bis ∞ eins rauskommt. Somit muss die PDF auf eins normiert sein. Die
bekannteste Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Gauss’sche Normalverteilung. Diese
Verteilung bestimmt auch die Spannungsverteilung in Gauss’schem Rauschen, welches in
späteren Teilen betrachtet wird. Es gibt vier wichtige Parameter einer Normalverteilung
(Die zentrierten Momente 1-4). Sie errechnen sich aus der Momenterzeugenden Funktion. Es
ist der Mittelwert µ, die Varianz σ 2 , die Schiefe (Skewness) ν und die Wölbung (Kurtosis)
w. Berechnet werden sie im einzelnen wie folgt:
N
1 X
µ=
xi ,
N i=1
N
1 X
σ =
(xi − µ)2 ,
N i=1
3
N 1 X xi − µ
ν=
,
N i=1
σ
4
N 1 X xi − µ
w=
.
N i=1
σ
2
(2.7-G2)
(2.7-G3)
(2.7-G4)
(2.7-G5)
Bei der typischen Normalverteilung ist µ = 0, σ = 1, ν = 0 und w = 3σ 4 = 3. Um die
Auswirkung der verschiedenen Momente zu demonstrieren, wird in Abbildung 2.7-A3, für
verschiedene Werte der Momente, die Normalverteilung dargestellt.
2.8 Korrelationsfunktion
Mit der Korrelationsfunktion kann die Periodizität eines Signals untersucht werden. Dabei
können entweder zwei unterschiedliche Signale (Kreuzkorrelation), oder ein Signal mit sich
selbst (Autokorrelation) verglichen werden. Im Folgenden wird nur die Autokorrelation
betrachtet. Sie berechnet sich nach:
Z
1 T
C(τ ) := lim
x(t)x(t + τ )dt.
(2.8-G6)
T →∞ T 0
Es wird also der Mittelwert über alle x(t)x(t + τ ) berechnet. Dabei gibt τ den Zeitversatz
des zweiten Wertes an. Bei τ = 0 wird daher das Betragsquadrat der Funktion gebildet.
2.8 Korrelationsfunktion
5
Abbildung 2.7-A3 – Dargestellt ist eine Normalverteilung mit verschiedenen Werten
der einzelnen Momente.
Bei diesem τ hat die Autokorrelationsfunktion somit ein Maximum. In Abhängigkeit von τ
kann eine Kurve für die Autokorrelationsfunktion berechnet werden. Enthält diese Kurve
für τ =
6 0 weitere Maximas, so deutet dies auf eine periodische Abfolge hin. Da mit der
Autokorrelationsfunktion meist die Periodizität von diskreten Messwerten untersucht wird,
kann Gleichung 2.8-G6 in eine Summendarstellung überführt werden.
N −1
1 X
C(τ ) :=
x(kTa )x(kTa + τ )Ta
N Ta k=0
(2.8-G7)
6
4 Durchführung
3 Aufbau
Um die verschiedenen Methoden der Spektralanalyse durchzuführen, wird ein LabViewProgramm benutzt. Dieses besitzt die Fähigkeit Sinussignale mit beliebiger Frequenz zu
erzeugen. Es können bis zu zwei Sinussignale gleichzeitig überlagert werden. Zusätzlich
zu den Sinussignalen kann noch Gauss’sches Rauschen erzeugt werden. Bei den Sinussignalen kann die Amplitude (AC und DC), die Frequenz und die Phasenlage eingestellt
werden. Beim Gauss’schen Rauschen wird nur eine mittlere Amplitude gewählt. Bei den
Sinussignalen ist, sofern nicht anders beschrieben, die Amplitude A = 0.5 V. Das LabViewProgramm besitzt noch weitere Einstellungen. So kann die Abtastfrequenz und die Anzahl
der Messpunkte gewählt werden. Zu Beginn des Versuches wird die Abtastfrequenz einmal
eingestellt und bis zum Ende nicht verändert (fAbtast = 1411 Hz). Damit ergibt sich für die
Nyquistfrequenz fn ein Wert von 705.5 Hz. Wenn die Anzahl der Messpunkte (lots) nicht
explizit vorgegeben ist, wird lots = 1024 verwendet. Im Teil für die Spektralanalyse kann
eine Fensterfunktion und ihre Länge gewählt werden. Wenn nicht anders beschrieben ist
keine Fensterfunktion gewählt und die Länge auf 1024 gesetzt. In der Art der Darstellung
kann zwischen normaler und logarithmischer Y-Achsen Einteilung gewählt werden. Es existiert ebenfalls die Möglichkeit Mittelungen durchzuführen. Dabei wird so oft gemittelt wie
die Fensterlänge in die Gesamtlänge der Zeitreihe passt. Neben der Anzeige des Spektrums
kann in 2 weiteren Teilen auf das Aliasing und auf die Korrelationsfunktion eingegangen
werden. Im Bereich Aliasing wird der Effekt der Unterabtastung genau dargestellt. Im
Teil der Korrelationsfunktion kann dagegen auf die Periodizität eines Signals eingegangen
werden.
4 Durchführung
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
Im folgenden werden verschiedene Methoden der Spektrenuntersuchung sowie Auswertungsmethoden genauer behandelt. Insbesondere werden Vor- und Nachteile betrachtet
und Effekte, die fehlerhafte Ergebnisse erzeugen nachgewiesen.
Zuerst werden die Auswirkungen der Änderung der Fensterbreite bei der Auswertung eines
Spektrums untersucht. Dazu wird eine Sinusfunktion mit einer Frequenz fs = 100Hz und
einer Amplitude von A = 0.5V simuliert. Das Fenster für die Betrachtung ist das flattopFenster. Dieses gewichtet bei der Auswertung der Daten und der folgenden Bestimmung des
Spektrums den Mittelteil der Messung höher als die Ränder. Ein weiterer Vorteil ist, dass
unter Verwendung dieses Fensters die bestimmte Leistung der simulierten Leistung P = |A|2
entspricht. In Abb. 4.1-A1 sind drei Spektren dargestellt die sich durch unterschiedliche
Fensterbreiten des flattop-Fensters unterscheiden. In Abb. 4.1-A1 zeigt sich sehr deutlich,
dass zwar in allen die Leistung des Signals richtig wiedergegeben wird (P = 0.125 W).
Jedoch ist das Spektrum breiter je kleiner die Fensterbreite gewählt wird.
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
7
0.15
1024
512
128
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
40
60
80
100
Frequenz / Hz
120
140
160
Abbildung 4.1-A1 – Darstellung der Spektren bei einer gewählten Fensterbreite (flattop)
von 1024, 512 und 128.
0.15
100 Hz
200 Hz
400 Hz
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
50
100
150
200
250
Frequenz / Hz
300
350
400
450
Abbildung 4.1-A2 – Darstellung der Spektren bei gewählten Frequenzen von 100 Hz,
200 Hz und 400 Hz. Als Fensterfunktion ist flattop eingestellt.
8
4 Durchführung
In Abb. 4.1-A2 sind drei Spektren aufgetragen, die sich durch die unterschiedliche Frequenz
des Sinussignals unterscheiden. Es ist ersichtlich, dass der zu erwartende Wert von P =
0.125 W bei allen Frequenzen zu sehen ist. Somit ist die dargestellte Leistung unabhängig
von der gewählten Frequenz.
Im Folgenden wird untersucht, welche Auswirkungen ein DC-Anteil im Spektrum hat.
Dazu wird das Spektrum eines Signals mit und ohne DC-Anteil verglichen. Der DC-Anteil
beträgt 0.2 V. Zudem wird ebenfalls der Einfluss des gewählten Fenster betrachtet. Es zeigt
sich in Abb. 4.1-A3 sehr deutlich, dass die Leistung der Sinuschwingung verfälscht wird,
jedoch die Leistung des DC-Anteils richtig wiedergegeben wird (PDC = 0.04 W), sofern
kein Fenster verwendet wird. In Abb. 4.1-A4 ist ein anderes Verhalten sichtbar. Hier wird
bei der Auswertung das flattop-Fenster verwendet. Die Leistung der Sinusschwingung wird
hierbei richtig wiedergegeben. Die Leistung des DC-Anteils wird jedoch verfälscht.
0.15
0V
0.2 V
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
0
50
100
150
Frequenz / Hz
Abbildung 4.1-A3 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit f = 100 Hz
mit und ohne DC-Anteil (ohne Fenster)
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
9
0.15
0V
0.2 V
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
0
50
100
150
Frequenz / Hz
Abbildung 4.1-A4 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit f = 100 Hz
mit und ohne DC-Anteil (mit Fenster)
Der nächste Teil widmet sich den Effekten der Unter- und der Überabtastung. Zur
Verdeutlichung der Überabtastung sind zwei Sinussignale mit unterschiedlicher Frequenz
aber gleicher Amplitude überlagert. Im ersten Fall werden die Frequenzen f1 = 100 Hz und
f2 = 100.5 Hz überlagert (Schwarz). Im zweiten Fall sind es f1 = 100 Hz und f2 = 105 Hz,
die überlagert werden (Rot). In Abb. 4.1-A5 zeigt sich deutlich, dass auf Grund der
Überabtastung bei der ersten Überlagerung die Frequenzen nicht voneinander getrennt
aufgelöst werden. Bei der zweiten Überlagerung zeigen sich deutlich zwei Peaks für die
jeweiligen Signale.
Bei einer Unterabtastung ist die Frequenz des Signals größer als die Nyquistfrequenz. Dies
hat zur Folge, dass die Spektralanalyse eine kleinere Frequenz als die des Ursprungssignal
liefert. In diesem Fall beträgt sie f = 411 Hz. In Abb. 4.1-A6 ist das ermittelte Spektrum
einer 1000 Hz Sinusschwingung dargestellt. Es zeigt sich deutlich, dass der Peak sich bei
einer Frequenz nahe 400 Hz befindet und nicht bei der simulierten Frequenz von 1000 Hz.
Der Grund dafür ist, dass sich aus den ermittelten Messwerten theoretisch zwei Frequenzen
bestimmen lassen. Die Ursache dafür ist in Abb. 4.1-A7 deutlich zu erkennen. In schwarz
sind die gemessenen Werte der simulierten Frequenz dargestellt und in rot ist jeweils eine
Sinusschwingung dazu geplottet. Es zeigt sich, dass in beiden Fällen die Kurve sehr gut
mit den Messpunkten übereinstimmt.
10
4 Durchführung
0.3
100.5 Hz
105 Hz
0.275
0.25
0.225
Leistung / W
0.2
0.175
0.15
0.125
0.1
0.075
0.05
0.025
0
80
85
90
95
100
Frequenz / Hz
105
110
115
120
Abbildung 4.1-A5 – Darstellung der Spektren zweier überlagerter Sinusschwingungen
mit jeweil zwei unterschiedlichen Frequenzen.
0.15
1000 Hz
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
0
100
200
300
400
Frequenz / Hz
500
600
700
Abbildung 4.1-A6 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit einer Frequenz von 1000 Hz
11
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
Leistung / W
Leistung / W
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
0
−0.1
0
−0.1
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
1000 Hz Sinus
Messpunkte
−0.5
0
0.5
1
1.5
Zeit / s
2
2.5
−3
x 10
411 Hz Sinus
Messpunkte
−0.5
0
0.5
1
1.5
Zeit / s
2
2.5
−3
x 10
Abbildung 4.1-A7 – schwarz: Messpunkte; links: Sinuskurve mit 1000 Hz, rechts: Sinuskurve mit 411 Hz
Im Folgenden wird der Effekt betrachtet, der durch ein Signal hervorgerufen wird, welches
nicht periodisch im betrachteten Fenster ist. Die Phase der beiden simulierten Signale
beträgt Null. In Abb. 4.1-A8 sind links zwei Spektren eines 100 Hz Sinussignals und
rechts eines 352.75 Hz Sinussignals dargestellt. In den oberen beiden Grafiken wird kein
spezielles Fenster verwendet; bei den unteren beiden wird ein Hanning- Fenster benutzt.
Als Fensterbreite ist 1024 gewählt. Bei der 100 Hz Schwingung, welche nicht periodisch im
gewählten Bereich ist, wird durch das Anwenden eines Hanning-Fenster eine Verbesserung
erreicht. Hingegen führt das Anwenden des Hanning-Fenster bei der 352.75 Hz Schwingung,
die im gewählten Bereich periodisch ist, zu einem rauschen im Spektrum. Im folgenden
werden die Vorteile verschiedener Fensterfunktionen betrachtet.
In Abb. 4.1-A9 ist das Spektrum eines Sinus einmal ohne Fenster und einmal mit HanningFenster dargestellt. Es zeigt sich sehr deutlich, dass das Fenster zwar die Amplitude
des Peaks absenkt, diese aber deutlicher herausarbeitet. Um zu untersuchen, welche
Fensterfunktion sich am besten eignet um einen schwachen Peak, welcher in der Nähe des
starken Peaks der Hauptfrequenz liegt, herauszuarbeiten. In Abb. 4.1-A10 ist deutlich
erkennbar, dass bei einer Darstellung ohne Fenster nur ein Peak zu erkennen ist; bei
der Verwendung des Hamming-Fensters aber zwei zum Vorschein treten. Die Amplitude
einer Frequenz lässt sich am besten darstellen, wenn man wie in Abb. 4.1-A11 dargestellt
ein Flat Top Fenster verwendet. Dieses gibt zwar einen breiten Frequenzpeak wieder als
wenn man kein Fenster verwenden würde. Es liefert dafür jedoch die richtige Frequenz.
Wird der Eingangsspannungsbereich des AD-Wandlers überschritten macht sich dieses
durch das zusätzliche Erscheinen von Oberwellen die um ein ganzzahliges Vielfaches der
Eigenfrequenz größer sind bemerkbar. Dieses zeigt sich in Abb. 4.1-A12 sehr deutlich.
12
4 Durchführung
0
−8
−20
−40
−60
−80
−100
0
352.75 Hz
−8.5
log{Leistung / W}
log{Leistung / W}
100 Hz
−9
−9.5
−10
−10.5
200
400
Frequenz / Hz
−11
0
600
0
200
400
Frequenz / Hz
600
0
100 Hz
352.75 Hz
log{Leistung / W}
log{Leistung / W}
−20
−40
−60
−80
−100
−200
−300
−100
−120
0
200
400
Frequenz / Hz
600
−400
0
200
400
Frequenz / Hz
600
Abbildung 4.1-A8 – links: 100 Hz Sinus; rechts: 352.75 Hz Sinus; oben: ohne Fenster;
unten: mit Hanning-Fenster
0
han
none
−20
log{Leistung / W}
−40
−60
−80
−100
−120
0
100
200
300
400
Frequenz / Hz
500
600
700
Abbildung 4.1-A9 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und
mit Hanning-Fenster (schwarz)
4.1 Datenerzeugung: Power-Spektrum
13
0
ham
none
−10
−20
log{Leistung / W}
−30
−40
−50
−60
−70
−80
50
100
150
200
Frequenz / Hz
Abbildung 4.1-A10 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und
mit Hamming-Fenster (schwarz)
0.15
flat top
none
0.125
Leistung / W
0.1
0.075
0.05
0.025
0
50
60
70
80
90
100
110
Frequenz / Hz
120
130
140
150
Abbildung 4.1-A11 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung ohne (rot) und
mit Flat Top-Fenster (schwarz)
14
4 Durchführung
0.45
3V
0.5 V
0.4
0.35
Amplitude / V
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
100
200
300
400
Frequenz / Hz
500
600
700
800
Abbildung 4.1-A12 – Darstellung des Spektrums einer Sinusschwingung mit einer Amplitude von 3 V
In Abb. 4.1-A13 ist eine Sinusschwingung mit einer Amplitude von 0.005 V dargestellt.
Bei der roten Kurve wurde eine 16 bit Wandler und bei der schwarzen Kurve ein 8 bit
Wandler verwendet. Der Wandler kann das Signal nur begrenz genau umwandeln. Dadurch
kommt das Quantisierungsrauschen zu Stande. Dieses ist daher auch bei Wnadler mit
einer höheren bit-Rate geringer.
4.2 Pseudozufallszahlengenerator
15
−40
8 bit
16 bit
−50
−60
−70
Leistung / W
−80
−90
−100
−110
−120
−130
−140
−150
0
100
200
300
400
Frequenz / Hz
500
600
700
Abbildung 4.1-A13 – Darstellung einer Sinusschwingung mit einer Amplitude von
0.005 V, rot: 16 bit Wandler, schwarz: 8 bit Wandler
4.2 Pseudozufallszahlengenerator
Um Zufallszahlen zu erzeugen wird häufig ein Pseudozufallszahlengenerator benutzt. In
diesem Fall mittels linearer Kongruenz. Die Formel, die den Generator beschreibt, lautet:
Ij+1 = a · Ij (mod m),
j ∈ ℵ.
(4.2-G1)
a·I
(mod m) steht für modulo m, und hat als Ergebnis den Rest von mj . Beim ersten Ausführen
der Gleichung muss ein Startwert I0 gewählt werden. Dies wird durch den sogenannten
Seed bestimmt. Um zu zeigen welche Effekte a und m auf das Ergebnis haben, ist in
Abbildung 4.2-A14 bis 4.2-A15 die Lösungsmenge zu verschiedenen Werten von a und m
dargestellt. Um weitere Informationen zu erhalten ist in Abbildung 4.2-A16 und 4.2-A17
die korrelierte Erzeugung von Zufallszahlen dargestellt. Diese geschieht dach folgender
Gleichung:
Ij+1 = a · j · I0 (mod m), j ∈ ℵ.
(4.2-G2)
Beim betrachten der Abbildung 4.2-A14 fällt auf, dass bei a = 1 die Ergebnisse nicht über
den Startwert hinauskommen. a bestimmt somit indirekt die Größe der Abstände zwischen
2 Werten. Wenn m genau eine Potenz von a ist, existiert nur eine kleine Lösungsmenge. Ist
m jedoch nur schlecht durch 2 bzw durch Potenzen von 2 teilbar, so existiert eine wesentlich
größere Lösungsmenge. Vor allem die korrelierten Lösungsmengen zeigen deutlich dass m
eine Obergrenze darstellt.
16
4 Durchführung
Abbildung 4.2-A14 – Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator
mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis I(j + 1) in Abhängigkeit des
Vorherigen aufgetragen. Im linken Bild ist a = 1, m = 7 und der Seed = 1.
Im rechten Bild ist a = 2, m = 7 und der Seed = 1.
Abbildung 4.2-A15 – Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator
mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis I(j + 1) in Abhängigkeit des
Vorherigen aufgetragen. Im linken Bild ist a = 2, m = 4725 und der Seed = 1.
Im rechten Bild ist a = 2, m = 4096 und der Seed = 1.
Abbildung 4.2-A16 – Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator
mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis R(i) in Abhängigkeit der
Schrittanzahl i aufgetragen. Im linken Bild ist a = 1, m = 7 und der Seed = 1.
Im rechten Bild ist a = 2, m = 7 und der Seed = 1.
4.3 Gauss’sches Rauschen
17
Abbildung 4.2-A17 – Dargestellt ist die Lösungsmenge eines Pseudozufallsgenerator
mit linearer Kongruenz. Dabei ist das Ergebnis R(i) in Abhängigkeit der
Schrittanzahl i aufgetragen. Im linken Bild ist a = 2, m = 4725 und der
Seed = 1. Im rechten Bild ist a = 2, m = 4096 und der Seed = 1.
4.3 Gauss’sches Rauschen
Durch den Einsatz eines Analog-Digital-Wandlers entsteht je nach Bit-Anzahl das sogenannte Quantisierungsrauschen (siehe Abschnitt 2.4). Im folgenden soll auf die Wirkung
dieses Quantisierungsrauschens eingegangen werden. Dazu wird ein gauss’sches Rauschen
mit 2 verschiedenen Amplituden erzeugt. Eines mit UR = 0.2 V (Abb. 4.3-A18) und eines
mit UR = 0.01 V (Abb. 4.3-A19). Dieses Rauschen ist als Histogramm dargestellt, in dem
jedem Spannungswert die Häufigkeit im Rauschen zugeordnet wird.
Abbildung 4.3-A18 – Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss’schen Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der bins beträgt 30.
18
4 Durchführung
In der ersten Abbildung ist gut zu sehen, dass zu fasst jedem Spannungswert eine Häufigkeit
existiert. In der 2. Abbildung ist das nicht so. Durch das Quantisierungsrauschen werden
mehrere Spannungswerte zu einem Zusammengefasst. Somit existiert nur von wenigen
Spannungen eine Häufigkeit. Dies liegt an der zu großen Auflösung des Histogramms
gegenüber dem AD-Wandler. Diese Auflösung wird über die bins eingestellt. Die bins
geben dabei die Amplitudenbreite der Stufen an. Um diesen Fehler zu verhindern muss
also folgendes gelten: Die Amplitudenbreite eines bins darf nicht kleiner sein als das ULSB
des Analog-Digital-Wandlers. Um diesen Satz zu bestätigen, zeigt Abbildung 4.3-A20 Das
Histogramm mit nur 8 bins. Es ist deutlich zu erkennen, dass kaum ein Spannungswert
mehr eine Häufigkeit von Null aufweist. Als nächstes soll untersucht werden, welche
Abbildung 4.3-A19 – Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss’schen Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.01 V. Die Anzahl der bins beträgt 30.
Auswirkung eine Verlängerung der Zeitreihe auf das Gauss’sche Rauschen und somit auf
die PDF hat. Dazu wird eine PDF vom Rauschen mit 1024 Messwerten (length of time
series kurz lots) und mit lots = 524288 erzeugt (Abb. 4.3-A21 und 4.3-A22). Durch die
Verlängerung der Zeitreihe hat sich der Mittelwert und die Wölbung ungefähr halbiert und
die Schiefe um den Faktor 50 verkleinert. Im Idealfall sind Mittelwert und Schiefe Null
und Die Wölbung 3σ 4 ≈ 4.8 · 10−3 . Somit gleichen die Parameter nach der Verlängerung
eher dem idealen gauss’schen Rauschen.
4.3 Gauss’sches Rauschen
19
Abbildung 4.3-A20 – Dargestellt ist das Histogramm vom Gauss’schen Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.01 V. Die Anzahl der bins beträgt 8.
Wahrscheinlichkeitsdichte
2.0
1.5
1.0
0.5
0.01.0
0.5
0.0
UR
V
0.5
1.0
Abbildung 4.3-A21 – Es ist die PDF von Gauss’schem Rauschen mit einer Amplitude
von UR = 0.2 V dargestellt. Die Anzahl der Messpunkte lots = 1024. Die
Parameter sind µ = −8.09 · 10−4 V, σ = 1.94 · 10−1 V, ν = −4.82 · 10−2 und
w = −2.46 · 10−2
20
4 Durchführung
Abbildung 4.3-A22 – Es ist die PDF von Gauss’schem Rauschen mit einer Amplitude
von UR = 0.2 V Dargestellt. Die Anzahl der Messpunkte lots = 524288.
Die Parameter sind µ = 4.53 · 10−4 V, σ = 2 · 10−1 V, ν = 7.89 · 10−2 und
w = 1.05 · 10−2
Nach der Amplitudenverteilung des Gauss’schen Rauschen soll nun das Spektrum des Rauschen betrachtet werden. Dazu wird wie vorher auch die Fouriertransformation angewendet.
In Abbildung 4.3-A23 ist das Spektrum des Rauschens zu sehen. Die reingesteckte Leistung
Pσ wird als Integration über das gesamte Spektrum berechnet. Bei diesem Spektrum
beträgt die Pσ = 0.058 W.
Nun ist die Frage wie ein kleines Signal trotz Rauschen erkannt werden kann. Dazu muss
das Signal/Rausch-Verhältnis verbessert werden. Dies kann auf 2 verschiedenen Arten geschehen. Die erste Methode ist eine Erhöhung der Messpunkte. Dadurch wird die Leistung
auf mehrere Punkte verteilt und die Rauschleistung sinkt. In der Realität wird dies jedoch
nicht beobachtet. Das liegt daran, dass zur Erhöhung der Messpunkte entweder die Messzeit
oder die Abtasfrequenz erhöht werden muss. Erhöht man die Messzeit, so erhöht sich auch
die Zeit mit der die Rauschleistung gemessen wird. Erhöht man die Abtastfrequenz, erhöht
man auch die Nyquist-Frequenz. Das führt dazu, dass mehr Frequenzen berücksichtigt
werden müssen. Da sich das Rauschen auf alle Frequenzen verteilt, erhöht sich damit
auch wieder die Rauschleistung. Da wir ein Programm benutzen was diese Effekte nicht
korrekt abbilden kann, ist in Abbildung 4.3-A24 im Gegensatz zu Abbildung 4.3-A25
einer Verringerung der mittleren Rauschleistung zu erkennen. Die Anzahl der Messpunkte
beträgt 524288. Um den Effekt darzustellen muss die Fenstergröße bei der Berechnung des
Spektrum variiert werden.
4.3 Gauss’sches Rauschen
21
Abbildung 4.3-A23 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit einer
Amplitude von UR = 0.2 V.
Abbildung 4.3-A24 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit einer
Amplitude von UR = 0.2 V. Die Fenstergröße beträgt 1024 Messpunkte.
22
4 Durchführung
Abbildung 4.3-A25 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit einer
Amplitude von UR = 0.2 V. Die Fenstergröße beträgt 32768 Messpunkte.
Die zweite Methode ist die Mittelung. Dazu wird die Anzahl der Messpunkte erhöht,
jedoch die Fenstergröße gleich belassen. Über jedes Vielfache, welches die Fenstergröße in
die Zeitreihe passt, wird eine Mittelung durchgeführt. Diese Methode mittelt daher über
ganze Spektren. Über Nachbarpunkte zu mitteln wäre nicht sinnvoll, da dadurch auch über
verschiedene Werte des Ursprungssignals gemittelt wird. Dies hat zur Folge, dass nicht nur
das Rauschen verringert wird, sondern auch das Signal. Wenn über ganze Spektren gemittelt
wird, tritt dies nicht auf, da immer der gleiche Punkt im Ursprungssignal verwendet wird.
Die Wirkung des Mittelns wird in 5 Abbildungen dargestellt (Abb. 4.3-A26 bis 4.3-A30).
Dabei ist ein kleines Sinussignal mit U = 0.01 V und f = 100 Hz dem Rauschen mit
UR = 0.2 V überlagert. Um nicht den Effekt der ersten Methode darzustellen wird als
Fenstergröße immer 1024 verwendet. Betrachtet man die Rauschleistung zu verschiedenen
Mittelungen, so ist zu erkennen, dass die Rauschleistung durch die Mittelung nur teilweise
verringert wird. Theoretisch müsste sich die Rauschleistung nach dem Gesetz der großen
Zahlen verhalten. Es besagt, dass sich bei zufällig verteilten Zahlen, der Mittelwert dem
theoretischen Mittelwert immer weiter annähert, je größer die Anzahl der Zahlen ist. In
unseren Messwerten verringert sich die Rauschleistung nur teilweise, sodass sich keine
eindeutige Gesetzmäßigkeit ablesen lässt. Dies erklärt sich vermutlich dadurch, dass die
Anzahl der Mittelungen nicht deutlich größer als eins ist.
Anzahl der Mittelungen
1
2
4
8
16
Pσ
W
0.554
0.559
0.558
0.553
0.549
4.3 Gauss’sches Rauschen
23
Abbildung 4.3-A26 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 1. die
Rauschleistung beträgt Pσ,1 = 0.554 W.
Abbildung 4.3-A27 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 2. die
Rauschleistung beträgt Pσ,2 = 0.559 W.
24
4 Durchführung
Abbildung 4.3-A28 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 4. die
Rauschleistung beträgt Pσ,3 = 0.558 W.
Abbildung 4.3-A29 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 8. die
Rauschleistung beträgt Pσ,4 = 0.553 W.
4.3 Gauss’sches Rauschen
25
Abbildung 4.3-A30 – Dargestellt ist das Spektrum von Gauss’schem Rauschen mit
einer Amplitude von UR = 0.2 V. Die Anzahl der Mittelungen beträg 16. die
Rauschleistung beträgt Pσ,5 = 0.549 W.
Als letztes soll noch getestet werden, ob das Mitteln eine Auswirkung auf die Bitauflösung
des AD-Wanlders hat. Dazu wird ein sehr kleines Sinussignal mit mit U = 0.005 V und
f = 100 Hz betrachtet. die Anzahl der Messpunkte wird auf 524288 eingestellt und
die Größe des Fensters auf 1024 gestellt. Das Spektrum des Sinussignals mit und ohne
Mittelung ist in Abbildung 4.3-A31 dargestellt. Durch das Quantisierungsrauschen des
AD-Wandlers sind Oberwellen entstanden. Diese werden jedoch durch die Mittelung kaum
geringer. Daher kann nicht davon ausgegangen werden, dass Mitteln die Bitauflösung des
AD-Wandlers verbessert.
26
4 Durchführung
Abbildung 4.3-A31 – Dargestellt ist das Spektrum eines Sinussignals mit einer Amplitude von U = 0.005 V und einer Frequenz von f = 100 Hz. Die Anzahl der
Mittelungen beträgt 1 oder 512.
4.4 Korrelationsfunktion
Wie in der Theorie zur Korrelationsfunktion beschrieben, soll nun das Sinussignal und das
Rauschsignal auf Periodizität untersucht werden. Dazu wird die Autokorrelationsfunktion
des Labview-Programms verwendet. Für das Sinussignal wird als Amplitude U = 0.5 V
und für die Frequenz f = 100 Hz gewählt. Das zu untersuchende Rauschsignal besitzt eine
mittlere Amplitude von UR = 0.2 V. Bei beiden Korrelationsfunktionen ist deutlich das
Maximum bei τ = 0 zu erkennen. Doch nur das Sinussignal besitzt eine starke Periodizität,
nach kleinem τ die Funktion wieder die selbe ist. Dagegen ist das Rauschen nahezu
unperiodisch. Es ist kein Punkt zu erkennen, bei dem C(τ ) wieder signifikant groß ist.
Wenn man den gesamten Bereich betrachtet (Abb. 4.4-A33), dann fallen Randeffekte
auf. Diese werden, wie auch schon vorher, von dem Ranhängen des Signals am Ende,
und der nachfolgenden Integration verursacht. Wenn statt dem Ranhängen der Funktion
durchgehend Nullen angehängt werden, kann dieser Effekt verhindert werden. Dies ist
dann in Abbildung 4.4-A34 zu sehen.
4.4 Korrelationsfunktion
27
Abbildung 4.4-A32 – Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines
Rauschsignals in Abhängigkeit von τ . Der Bereich von τ ist auf [−0.05 s :
0.05 s] limitiert.
Abbildung 4.4-A33 – Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines Rauschsignals in Abhängigkeit von τ . Es sind störende Randeffekte zu
erkennen.
28
4 Durchführung
Abbildung 4.4-A34 – Dargestellt ist die Autokorrelationsfunktion eines Sinus- und eines
Rauschsignals in Abhängigkeit von τ . Durch Anhängen von Nullen statt des
Signals, sind die Randeffekte minimiert.
Literatur
29
Literatur
[Hunter 2007] Hunter, John D.: Matplotlib: A 2D graphics environment. In: Computing
In Science & Engineering 9 (2007), May-Jun, Nr. 3, S. 90–95
[Jones u. a. 2001] Jones, Eric ; Oliphant, Travis ; Peterson, Pearu u. a.: SciPy: Open
source scientific tools for Python. http://www.scipy.org/. Version: 2001–
[MATLAB 2010] MATLAB: version 7.10.0 (R2010a). Natick, Massachusetts : The
MathWorks Inc., 2010
Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A
Korrektur zur Spektralanalyse
Nils Thielke und Robert Brauer
14. Dezember 2012
1
2.4 Analog-Digital-Wandler (AD-Wandler)
Der kleinste zu messende Spannungsunterschied ULSB hängt von dem Spannungsbereich
∆U ab. Der Spannungsbereich ist dabei die Differenz zwischen dem größten und dem
kleinsten Spannungwert, der vom Wandler erfasst werden kann. Beim 8-Bit-Wandler ist
1
1
ULSB = 218 ∆U = 256
∆U . Als Vergleich hat ein 12-Bit-Wandler ein ULSB = 4096
∆U . Der
12-Bit-Wandler besitzt daher, mit vier weiteren Bits, eine wesentlich höhere Auflösung als
der 8-Bit-Wandler.
4.1 Datenerzeugung: Power Spektrum
Zu Seite 6
Durch die Verwendung eines Fensters mit endlicher Breite nfenster , ergibt sich je nach Breite
eine andere Frequenzauflösung ∆f . Die geschieht durch die Aufteilung der Abtastfrequenz
auf die Punkte im Fenster. Daher wird die Frequenzauflösung genauer, je größer die Breite
des Fensters wird. Berechnet wird dies wie folgt:
∆f =
fabtast
.
nfenster
(0.0-G1)
Dabei ist fabtast die Abtastfrequenz. Für diesen Versuchstag wird ausschließlich fabtast =
1411 Hz verwendet. In Abbildung 4.1-A1 sind dazu drei Spektren des 100 Hz Sinussignals
aufgetragen. Die Frequenzauflösung variiert dabei je nach Fensterbreite. Nach Gleichung
0.0-G1 beträgt die Frequenzauflösung:
• ∆fn=128 =
1411 Hz
128
= 11.02 Hz
• ∆fn=512 =
1411 Hz
512
= 2.76 Hz
• ∆fn=1024 =
1411 Hz
1024
= 1.38 Hz
Diese unterschiedlichen Frequenzauflösungen bestimmen die Breiten der Spektren in
Abbildung 4.1-A1.
Statt Leistung in W , hätte es Amplitudenquadrat in V 2 im Text wie auch in den Abbildungen heißen müssen.
Zu Seite 7
Ein Sinussignal kann, in Abhängigkeit von Nyquist- und Signalfrequenz, im Spektrum
verfälsch wiedergegeben werden. Wenn die Nyquistfrequenz nicht genau einem ganzzahligen
2
Vielfachen des Sinussignals entspricht, entsteht beim hintereinanderlegen der Fenster ein
Signal, welches nicht mehr periodisch ist. Dies kann mit verschiedenen Fenstertypen
verhindert werden. Als Beispiel dient das flattop-Fenster. In Abbildung 4.1-A2 ist dazu das
Spektrum von drei Sinussignalen dargestellt. Sie haben eine Frequenz von 100 Hz, 200 Hz
und 400 Hz. Das Spektrum wird jeweils mit dem flattop-Fenster aufgenommen. Ohne
Fenster würde man erwarten, dass die Höhe der Peaks nicht ihrem Spannungsquadrat
(U 2 = 0.125 V2 ) entsprechen, denn die Nyquistfrequenz beträgt fNyquist = 705.5 Hz und
keines der Signale passt ganzzahlig hinein. Mit dem flattop-Fenster werden die Sinussignale
jedoch korrekt wiedergegeben. Das liegt an der Gewichtung des flattop-Fensters. Die
Übergänge der Fenster werden dabei geringer gewichtet als die Mitte des Fensters. So
werden auch die Fehler verringert, die durch das Aneinanderreihen der Fenster entsteht.
Zu Seite 8
Ohne Fenster wird der DC-Anteil im Spektrum unverfälscht dargestellt. Das heißt, dass
2
UDC
= (0.2 V)2 = 0.4 V2 ist. Dies kann mit der Frequenz des DC-Signals erklährt werden
(fDC = 0). Bei der Frequenz 0 kommen keine Fehler durch die Aneinanderreihung der Fenster vor, da dadurch keine Sprünge erzeugt werden. Das Spannungsquadrat des Sinussignals
wird dagegen ohne Fenster, wie oben besprochen, falsch wiedergegeben. Wendet man das
flattop-Fenster an, dann ist das Sinussignal korrekt. Der DC-Anteil jedoch wird durch die
unterschiedliche Gewichtung im Fenster nicht mehr richtig wiedergegeben.
Zu Seite 9
Überabtastung ist erstmal nicht schlecht. Problematisch ist es erst, wenn nur die Abtastfrequenz und nicht auch die Anzahl der Messpunkte erhöht wird. Wenn dies geschieht,
sinkt die Frequenzauflösung. Dies wird nach der Gleichung 0.0-G1 für unterschiedliche
Fenstergrößen berechnet. Nur ist jetzt nicht die Änderung der Fenstergröße, sondern die
Änderung der Abtastfrequenz wichtig.
∆f =
fabtast
.
nfenster
(0.0-G2)
Erhöht man nun die Abtastfrequenz, zum Beispiel auf das Doppelte, dann halbiert sich
die Frequenzauflösung. In unserem Fall wäre bei fabtast = 2822 Hz und nfenster = 1024 die
Frequenzauflösung ∆f = 2.76 Hz. Signale, die sich um 1 Hz bis 2 Hz unterscheiden, können
mit dieser Abtastfrequenz nicht mehr voneinander getrennt Aufgelöst werden.
Bei einer Unterabtastung ist die Frequenz des Signals größer als die Nyquistfrequenz. Dies
hat zur Folge, dass die Spektralanalyse eine kleinere Frequenz als die des Ursprungssignal
liefert. Die Frequenz wird wie folgt berechnet:
f = fNyquist − (fSignal − fNyquist ) = 2fNyquist − fSignal
(0.0-G3)
Diese Formel gilt jedoch nur für f ∈ [fNyquist , 2fNyquist ]. Um größere Frequenzen zu berechnen muss dann um den Nullpunkt gespiegelt werden (dann wieder um die Nyquistfrequenz,
3
u.s.w.). Für ein Sinussignal mit der Frequenz fSignal = 1000 Hz und der Nyquistfrequenz
fNyquist = 705.5 Hz ergibt sich für die dargestellte Frequenz f = 411 Hz.
Zu Seite 10
Bemerkung zu Abbildung 4.1-A6. Die Bildunterschrift müsste folgendermaßen sein:
Darstellung des Spektrums einer unterabgetasteten Sinusschwingung. Die Frequenz der
eingestellten Sinusschwingung beträgt fSignal = 1000 Hz. Durch die Unterabtastung wird
das Signal mit einer Frequenz von f = 411 Hz angezeigt.
Zu Seite 11
Es wird der Effekt betrachtet, der auftritt, wenn ein Signal durch die Aneinanderreihung
der Fenster Sprünge besitzt. Dies geschieht immer dann, wenn die Frequenz des Signals
nicht ein ganzzahliges vielfaches der Nyquistfrequenz ist. Durch die Aneinanderreihung
der Fenster entsteht dann ein Signal welches Sprünge besitzt. In der Spektralanalyse
äußert sich dieses durch fehlerhafte Frequenzen. Problematisch ist dies auch bei Signalen,
die aus einer Überlagerung verschiedener Frequenzen bestehen. Durch die Nutzung eines
speziellen Fensters kann dieser Effekt verringert werden. Ein Fenster verbessert dann
das Spektrum, wenn die Amplitude der Frequenzen, die nicht im Signal vorkommen,
verringert werden. Im folgenden wird das flattop-Fenster verwendet. In Abbildung 4.1-A8
auf der linken Seite, zeigt sich deutlich eine Verbesserung bei niedrigen Frequenzen. Dort
sinkt das Amplitudenquadrat von log(U 2 /V 2 ) = −50 zu log(U 2 /V 2 ) = −80. Auf der
rechten Seite ist ein Sinussignal gezeigt, welches genau zwei mal in das Fenster passt
(f = 352.75 Hz = 12 fNyquist ). Dadurch kommt bei diesem Signal der Effekt nicht vor.
Als Spannung für das Sinussignal haben wir U = 0.5 V eingestellt. Das Amplitudenquadrat
ergibt daher U 2 = 0.125 V2 . Abbildung 4.1-A11 liefert ohne Fenster U 2 = 0.065 V2 und mit
flattop-Fenster U 2 = 0.125 V2 . Daher sorgt das flattop-Fenster für eine bessere Darstellung
des Amplitudenquadrats. Der Grund dafür ist oben beschrieben.
Wird der Eingangsspannugsbereich des AD-Wandlers überschritten, macht sich dieses
durch das zusätzliche Erscheinen von Oberwellen bemerkbar. Diese Oberwellen sind um ein
ganzzahliges Vielfaches größer als das Eingangssignal. Dieser Effekt entsteht, da das Signal
zum Teil in die Sättigung geht, und somit nicht mehr korrekt aufgenommen werden kann.
Durch die Verformung des Signals entstehen dann die Oberwellen bei der Spektralanalyse.
Die maximale Eingangsspannung des AD-Wandlers beträgt U = ±1 V. In Abbildung
4.1-A12 sind dazu zwei Signale zu sehen. Das erste Signal besitzt eine größere Spannung
(Schwarz, U = 3 V), wärend das zweite Signal eine kleinere Spannung als die maximale
Eingangsspannung besitzt (rot, U = 0.5 V). Daher entstehen Oberwellen beim Schwarzen
Signal, die in der Abbildung gut zu erkennen sind.
4
Zu Seite 14
Das Auflösungsvermögen eines AD-Wandlers wird folgendermaßen bestimmt:
ULSB =
1
∆U.
2n
(0.0-G4)
Dabei ist n die Anzahl der Bits eines AD-Wandlers. Da wir von −1 V bis 1 V messen, ist
∆U = 2 V. Für einen 8-Bit-Wandler bedeutet das ULSB = 0.0078 V. Das heißt, dass das
zu messende Signal wesentlich größer als 0.0078 V sein muss, um richtig abgetastet zu
werden. Wenn das Signal nicht wesentlich größer ist, wird das Signal durch wenige Stufen
dargestellt. Durch diese Stufen entstehen im Spektrum Oberwellen, die bei wenigen Stufen
große Amplituden annehmen können. In Abbildung 4.1-A13 ist dazu das Spektrum eines
Sinussignals mit einer Amplitude von U = 0.005 V dargestellt. Da dieses Signal nichtmal so
groß wie ULSB ist, kann es unmöglich mit einem 8-Bit-Wandler richtig abgetastet werden.
Verwendet man nun einen 16-Bit-Wandler, so verringert sich ULSB auf 3.05 · 10−5 V. Nun
kann auch das Signal mit U = 0.005 V ausreichend genau abgetastet werden. Daher
zeigt sich in Abbildung 4.1-A13 auch eine deutliche Absenkung der Amplituden bei allen
Frequenzen außer bei der Signalfrequenz (f = 100 Hz). Die Amplituden fallen dabei von
log(U 2 /V 2 ) = −90 auf log(U 2 /V 2 ) = −110 und weniger.
4.3 Gauss’sches Rauschen
Zu Seite 17
Gauss’sches Rauschen ist kein Quantisierungsrauschen.
Rausch Amplitude gibt es nicht. Stattdessen ist die Standartabweichung des Rauschens
gemeint.
Es wird gauss’sches Rauschen mit 2 verschiedenen Standartabweichungen eingestellt. Eines
mit σ = 0.2 V und eines mit σ = 0.01 V (Abb. 4.3-A19 und 4.3-A18).
Zu Seite 18
Somit existiert nur von wenigen Spannungen eine Häufigkeit 6= 0
Zu Seite 20
Die Rauschbreite ist der Bereich in dem das Amplitudenquadrat des Rauschens liegt. Das
Verhältnis dieser Rauschbreite bei unterschiedlicher Anzahl der Mittelungen, verhält sich
5
genau so, wie die Wurzeln der Anzahl der Mittelungen. Also muss folgendes gelten:
√
n2,Mittelung
∆U12
=
√
∆U22
n1,Mittelung
(0.0-G5)
Für Abbildung 4.3-A24 und 4.3-A25 ergibt das:
• U12 ≈ 0.0002 V2
• U22 ≈ 8.8 · 10−6 V2
• n1,Mittelung = 1
• n2,Mittelung = 512
Die Verhältnisse ergeben dann für das Amplitudenquadrat 22.73 und für die Wurzel der
Mittelungen 22.63. Bedenkt man die Ungenauigkeit beim Ablesen der Rauschbreite, so ist
die Gleichung 0.0-G5 erfüllt. Nun wird dies für die Mittellungen 1 bis 16 getestet, welche
in den Abbildungen 4.3-A26 bis 4.3-A30 dargestellt sind.
• U12 ≈ 0.00020 V2
n1,Mittelung = 1
• U22 ≈ 0.00014 V2
n2,Mittelung = 2
• U32 ≈ 0.00010 V2
n3,Mittelung = 4
• U42 ≈ 0.00007 V2
n4,Mittelung = 8
• U52 ≈ 0.00005 V2
n5,Mittelung = 16
Auch hier stimmen die Verhältnisse nahezu überein:
•
∆U12
∆U22
= 1.43
•
∆U22
∆U32
= 1.4
•
∆U32
∆U42
= 1.43
•
∆U42
∆U52
= 1.4
√
n2,Mittelung
√
n1,Mittelung
√
n3,Mittelung
√
n2,Mittelung
= 1.41
√
n4,Mittelung
√
n3,Mittelung
√
n5,Mittelung
√
n4,Mittelung
= 1.41
= 1.41
= 1.41
6
4.4 Korrelationsfunktion
Zu Seite 26
In Abbildung 4.4-A32 geht das Sinussignal nach ∆τ = 0.01 s wieder in die Ursprüngliche
Form über. Das zeigt dass das Sinussignal die Periode ∆τ = 0.01 s oder die Frequenz
1
= 100 Hz besitzen muss.
∆τ