PDF-Version - Mathematik

Graphiken zur Vorlesung
Geometrie
Wintersemester 2011/12
Affine Inzidenzebene der Ordnung 3
Satz von Pappos-Pascal
F
D
A
C
E
B
Satz von Pappos-Brianchon
E
F
D
A
C
B
Symmedianpunkt
Geometrische Multiplikation im Schulbuch
In: Erich Habler, Simon Kappl, Hans Lippert, Christoph Sobotta: Mathematik für Realschule – 7. Jahrgangsstufe,
Frankfurt am Main – München: 1994 (Verlag Moritz Diesterweg, Bayerischer Schulbuchverlag.
Kommutativität der Multiplikation
b'
a'
1'
0
d'
1
a
b
ab
großer affiner Satz von Pappos
D
F
B
AB || DE
BC || EF
0
A
C
CD || FA
E
großer affiner Satz von Pappos ⇒ kleiner affiner Satz von Pappos
F'
B'
B
F
A
D
C
E
großer projektiver Satz von Pappos
(CD)(FA)
(AB)(DE)
(BC)(EF)
D
F
B
A
C
E
großer affiner Satz von Desargues
AB || A'B'
B'
BC || B'C'
CA || C'A'
B
A
A'
Z
C
C'
Pappos ⇒ Desargues (allgemeiner Fall)
RQ,ZC RCQC'B'Z
RQ,ZA RZB'A'QP
BC,ZA CPRZBA
R
B'
Q
B
A
Z
A'
P
C
C'
Sonderfall
R
RQ, CZ RCQC'B'Z
BC, ZA CPRZBA
B'
B
A
Z
A'=P=Q
C
C'
großer projektiver Satz von Desargues
(AB)(A'B')
(BC)(B'C')
(CA)(C'A'
B'
B
A'
A
C
C'
großer Scherensatz
B'
D'
B
D
h
S
T
Z
g
A
C
A'
C'
C'
A'
C
A
Z
E
B
D
E'
B'
D'
kleiner affiner Satz von Desargues
C"
C
C'
B'
B
A
A'
kleiner affiner Satz von Pappos
G
F
D
B
E
A
C
kleiner Scherensatz
D
A
B
D'
C
A'
B'
C'
Addition
u
t
b
a
0
a+b
Unabhängigkeit von t:
t'
u'
t
u
0
t'
t
0
b
a
a+b
u'
u
b
a
a+b
t'
u'
u
t
0
a
b
a+b
Kommutativität
t
u
v
0
b
a
a+b
Assoziativität
t
0
u
b
a
w
v
a+b
c
b+c
Parallelprojektion ist Isomorphismus
b'+a'
b'
a'
u
a
0
b
a+b
Multiplikation
a'
1'
0
1
a
b
ab
(a+b)+c
unabhängig von 1’: 1. Fall
a"
1"11'b
a"aa'(ab)
1"
a'
1'
1
0
b
a
ab
2. Fall:
1'11"
a'aa''
a"
1'1" || a'a"
b1' || (ab)a'
b1'' || (ab)a"
1"
a'
1'
0
1
a
b
ab
Assoziativität:
b'
d = (ab)c
(bc)b'b1'
d(ab)'(ab)a'
(ab)'
1'
a'
a
0
1
b
ab
c
bc
d
Rechtsdistributivität:
a'+b'
b'
u
a'
1'
c
0
ac
bc
(a+b)c=bc+ac
Linksdistributivität
a'
u
1'
0
v
b
c
ab
b+c
ac
ab+ac
Verträglichkeit der Multiplikation mit der Parallelprojektion von einer Geraden auf eine
andere Gerade durch 0.
a'b'
b'
a'
v
1'
u
0
1
b
a
ab
a'
1'
ab
b
a
1
0
b'
a'b'
Satz von der Mittelparallen
v
a'
u
t
a
c'
b'
b
c
Verträglichkeit der Multiplikation mit der Parallelprojektion von einer Geraden auf eine
parallele Gerade.
a''
0'
a'
1'
t
v
u
a
1
0
a'b'
b´
b
ab
a'''
Kommutativität:
b'
a'
1'
0
1
a
b
ab
Geraden der Form y = x⋅m + t:
(xm+t)'
(xm)'
(m+t)'
t'
m'
0
1
x
Umkreis
C
U
A
B
Inkreis und Ankreise
C
I
A
B
Feuerbach-Kreis
C
HC'
H
F
S
U
A
HC
C'
B
C
H
F
S
U
A
B
C'
T
HC
IB
C
IA
I
A
B
IC
Maple-Berechnung
Orthozentrisches Viereck
16 Kreise berühren den Feuerbach-Kreis.
Spieker-Kreis mit Nagel-Punkt
C
I
N
A
B
Apollonios:
E
C
B
Ti
A
Ta
D
Menelaos:
C
g
B'
A'
B
A
C'
C"
Yussuf al Mu’taman ibn Hud, Giovanni Ceva:
C
B'
A'
P
A
C'
B
Satz vom vollständigen Vierseit:
Yussuf Umkehrung, zweiter Fall:
B'
A'
C
A
C'
B
Geometrischer Ort des Gergonne-Punktes der Schar rechtwinkliger Dreiecke mit einer gegebenen festen Hypotenuse mit GeoGebra und Cinderella.
Unterschied GeoGebra – Winkelhalbierende kippt – und Cinderella – Winkelhalbierende bewegt sich stetig.
Maple-Berechnung
Sternpolyeder