Elektrische Felder 10 (Entladevorgang Kondensator).

3.11.5 Entladung eines Kondensators
Im Gegensatz zu einer Batterie kann mit einem Kondensator innerhalb von kurzer Zeit eine hohe
Stromstärke erzeugt werden. Dies wird zum Beispiel beim Blitz eines Fotoapparates ausgenutzt. Die
Stromstärke der Batterie reicht nicht aus um damit das helle Blitzlicht des Fotoapparates zu
betreiben. Aus diesem Grund wird in einem Fotoapparat zunächst mit Hilfe der Batterie (in der Regel
ein Akku) ein Kondensator aufgeladen. Wird der Auslöser betätigt so entlädt sich der Kondensator
innerhalb von kürzester Zeit, sodass die Stromstärke ausreicht um den Blitz zu betreiben.
Im Folgenden wird nun der Aufladevorgang und der Entladevorgang eines Kondensators näher
untersucht. Hierzu wird ein Kondensator an einer Spannungsquelle mit der Spannung
aufgeladen
(Masche 1). Durch einen Kippschalter wird er von der Spannungsquelle getrennt und über ein
Amperemeter mit dem Innenwiderstand entladen (Masche 2). Dabei fließt der Entladestrom ,
© M. Brennscheidt
dessen zeitlicher Verlauf mit dem Amperemeter gemessen werden kann. Es ist zu beobachten, dass
die Ladung (Elektronen) vom Kondensator abfließt und ein Ladungsausgleich stattfindet. Hierbei ist
zunächst anzumerken, dass die Ladung nicht „auf einen Schlag“ vom Kondensator abfließt, sondern
dieser Vorgang eine gewisse Zeit benötigt. Es wird nun zunächst der zeitliche Verlauf einer solchen
Kondensatorentladung betrachtet, da der Aufladevorgang ohne Vorüberlegungen mathematisch
anspruchsvoller und weniger zugänglich ist.
Durch Umlegen des Kippschalters wird Masche 2 geschlossen. Die am Kondensator anliegende
Spannung ist dann gleich der am Widerstand anliegenden Spannung:
Dabei ist
die am Kondensator anliegende Spannung und
die am Widerstand abfallende
Spannung. Beide Spannungen sind abhängig von der Zeit , da die Spannung sich während der
Entladung ändert.
Für die Spannung am Kondensator gilt:
(„Kuh gleich CU“ )
Für die Spannung am Widerstand gilt:
(ohmsches Gesetz „URI“)
Anmerkung: Die Spannung am Widerstand ist hier mit einem Minuszeichen versehen, da anschaulich
der Widerstand der Entladung des Kondensators entgegenwirkt. Es ist eine analoge Herleitung mit
Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze möglich in der auf das Einfügen des Minuszeichens verzichtet
werden kann. Diese ist jedoch weniger anschaulich und hier wird deshalb darauf verzichtet.
Setzt man nun beide Formeln die obige Gleichung ein, so ergibt sich der Zusammenhang
In dieser Gleichung kann die Stromstärke des Entladestroms durch die Formel
ersetzt
werden, da der elektrischer Strom per Definition gleich der zeitlichen Änderung der Ladung ist.
Es ergibt sich somit eine Gleichung die neben den beiden Gerätekonstanten und nur noch von
der Ladung und der Zeit abhängig ist. Ziel der nachfolgenden Rechnung ist es die Gleichung nach
aufzulösen. Dies wird dadurch erschwert, dass es sich bei der Gleichung um eine sog.
Differentialgleichung handelt. Eine Differentialgleichung ist dadurch gekennzeichnet, dass die
gesuchte Größe (hier ) auch in „abgeleiteter Form“ in der Gleichung vorkommt. Die Lösung einer
solchen Gleichung erfolgt mit Hilfe der Integralrechnung.
Die Gleichung wird zunächst rein algebraisch umgeformt (Trennung der Variablen):
© M. Brennscheidt
Dabei wurden die beiden Variablen und so voneinander getrennt, dass eine der Variablen nur
noch auf einer Seite der Gleichung und die andere nur noch auf der anderen Seite vorkommt (links ,
rechts ).
Durch Integrieren auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:
Diese Gleichung kann nun mit Hilfe des zweiten Logarithmusgesetzes umgeformt werden:
Durch Umdrehen der Gleichung und der Multiplikation mit Q0 ergibt sich schließlich:
Der zeitliche Verlauf der Entladung kann also mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschrieben
werden. Dabei ist
die zum Zeitpunkt
auf dem Kondensator befindliche Ladung. Diese nimmt
mit der Zeit exponentiell ab. Eine exponentielle Abnahme ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die
Ladung in gleichen Zeitabständen halbiert. Die Zeit in der sich die Ladung halbiert wird Halbwertszeit
genannt. Nach der Zeit
hat sich die Ladung also halbiert. Nach zwei Halbwertszeiten halbiert
sich die bereits halbierte Ladung erneut und es bleibt ein Viertel der Ausgangsladung übrig. Nach drei
Halbwertszeiten beträgt die Ladung nur noch ein Achtel der Ausgangsladung, usw.
© M. Brennscheidt
Die Halbwertszeit ist wiederum abhängig von den Gerätekonstanten und . So entlädt sich ein
Kondensator mit der Kapazität über einen großen Widerstand langsamer als über einen kleinen
Widerstand.
Trägt man im Diagramm die Zeit t gegen die Ladung Q(t) auf, so ergibt sich der typische Verlauf einer
Exponentialfunktion mit negativem Exponenten.
Aus dem zeitlichen Verlauf der Ladung Q beim Entladevorgang kann nun relativ einfach der zeitliche
Verlauf der Spannung und der Stromstärke während der Entladung des Kondensators berechnet
werden:
1. Zeitlicher Verlauf der Spannung:
Durch Einsetzen von
und
in obige Exponentialfunktion ergibt sich:
Die Kapazität kann gekürzt werden, so dass man für die Spannung eine analoge Exponentialfunktion erhält:
Dies bedeutet, dass auch die Spannung mit der Zeit exponentiell abfällt. Auch hier gilt, dass sich die
Spannung jeweils in gleichen Zeiten halbiert.
© M. Brennscheidt
2. Zeitlicher Verlauf der Stromstärke:
Durch Einsetzen von
sich:
und
in die Exponentialfunktion der Spannung ergibt
Der Widerstand
kann gekürzt werden, so dass man auch für die Stromstärke eine analoge
Exponentialfunktion erhält.
Dies ist nicht überraschend, da der Strom direkt von der Ladung abhängig ist. Da sich die Ladung in
gleichen Zeiten halbiert muss sich logischer Weise auch die Stromstärke in derselben Zeit halbieren.
Berechnung der Halbwertszeit
Die Ladung des Kondensators nimmt gemäß der Formel
exponentiell mit der
Zeit ab. Nach der Zeit ist nur noch die Hälfte der Ladung auf dem Kondensator übrig:
Setzt man nun für
Die Anfangsladung
© M. Brennscheidt
die Exponentialfunktion zur Zeit
ein, so ergibt sich die Gleichung
kann gekürzt werden und die Gleichung nach
aufgelöst werden:
Die Halbwertszeit ist also, wie bereits vermutet abhängig vom Entladewiderstand und von der
Kapazität des Kondensators. Dies kann man ausnutzen um die Kapazität von unbekannten
Kondensatoren zu bestimmen. Hierzu entlädt man den Kondensator einfach über einen bekannten
Widerstand und misst die Halbwertszeit des Entladevorgangs. Durch Umstellen erhält man dann
die Kapazität .
Abschließende Bemerkung:
Den Faktor
aus den Exponentialfunktionen bezeichnet man häufig mit Abklingkonstante.
Wohingegen der Nenner
dann die Formel:
Zeitkonstante genannt wird. Für die Halbwertszeit ergibt sich
3.11.6 Aufladung eines Kondensators
Die Aufladung eines Kondensators verläuft genau umgekehrt wie der Entladevorgang. Aus diesem
Grund wird hier auf größere mathematische Herleitungen wie im vorangegangenen Kapitel
verzichtet. Im folgenden Diagramm ist der graphische Verlauf eines Aufladevorgangs mit direkt
angeschlossenem Entladevorgang aufgetragen:
Es ist zu erkennen, dass sich die Kurve des Aufladevorgangs aus der Kurve des Enladevorgangs durch
Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung nach oben um Q0 ergibt. Die Formel für den
Aufladevorgang erhält man also durch Spiegelung und Verschiebung.
Entladevorgang:
Spiegelung an der x-Achse:
© M. Brennscheidt
Verschiebung um Q0 nach oben:
Die Formeln für Spannung und Stromstärke ergeben sich analog.
© M. Brennscheidt