6.3.2 Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader
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6.3.2 Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader
Modulare Förderung Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Jgst. 6 Erarbeitet im Auftrag des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus Verantwortliche ISB-Referentin und Redaktion: Rosa Wagner Autor: Werner Zucker, Mittelschule Nördlingen Herausgeber: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung 2011 Anschrift: Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung Abteilung Grund-, Haupt- und Förderschulen Schellingstraße 155 80797 München Telefon: 089 2170-2674 Fax: 089 2170-2815 Internet: www.isb.bayern.de E-Mail: [email protected] Aus Gründen der leichteren Lesbarkeit wird bei Begriffen wie „Lehrer“ oder „Schüler“ durchgängig die männliche Form verwendet. Die weibliche Form wird stets mitgedacht. Modulare Förderung – Mathematik Thema der modularen Sequenz: VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) Inhalt Beschreibung, Verlauf und Zielkompetenzen der modularen Sequenz 4 Verlauf Zielkompetenzen 4 5 Materialien für die Analyse der Lernausgangssituation 6 Lernstandserhebung Klassenübersicht Kriterien-Checkliste für Schüler 7 14 16 Übungsaufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad 18 Laufzettel Übungsaufgaben 19 21 Ermittlung des Lernerfolgs und der Dokumentation des Kompetenzerwerbs 51 Leistungsfeststellung 53 Warm-up-Aufgaben für nachhaltiges Lernen 63 Hinweise zur Auswertung der Diagnosebögen, wie „Klassenübersicht“ oder „Kriterien-Checkliste“ werden im Starterkit FLÄCHEN gegeben. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 3 Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader 6.3.2 Einführung des Lehrplanthemas 4 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Aufgaben * bis *** Volumen und Oberfläche begrifflich unterscheiden und erklären. • Aufgaben * bis *** Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen ‚ Aufgaben * bis *** Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen. ƒ „ & Dokumentation Ermittlung erworbener Kompetenzen Aufgaben * bis *** Volumen- und • Möglichkeiten Flächeneinheiten der Ermittlung anwenden und Dokumentation Aufgaben zum differenzierten Weiterüben auf unterschiedlichem Niveau Kompetenzorientierte Förderung Modulare Phase • Zusammenführung • gemischte Übungen • Lernumgebungen Anwendung im Klassenverband mit Rückmeldung der Kompetenzen benotete Probearbeit Leistungsfeststellung Klassenunterricht der modularen Sequenz VERLAUF Einsatz der Kriterien-Checkliste zur Erfassung und Dokumentation des Kompetenzerwerbs • Lernstandserhebung • Klassenübersicht • Kommentar zur Lernstandserhebung & Dokumentation Analyse der Erarbeitung Lernausgangsdes Themas situation Klassenunterricht (JGST.6) VOLUMEN UND OBERFLÄCHE Modulare Förderung – Mathematik Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) ZIELKOMPETENZEN VOLUMEN UND OBERFLÄCHE IM LEHRPLAN DER HAUPTSCHULE, JGST. 6 6.3.2 Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader Lernziele Indem die Schüler mit Einheitswürfeln Rauminhalte messen und die Flächenformen an den Körpern analysieren, gewinnen sie eine Vorstellung der Begriffe Oberfläche und Volumen. Vielfältige Erfahrungen beim Messen und Vergleichen von Rauminhalten sowie von Oberflächen erleichtern ihnen das selbstständige Finden von Berechnungsmöglichkeiten. Lerninhalte • begriffliche Vorstellungen zur Oberfläche • Oberfläche von Würfel und Quader berechnen • begriffliche Vorstellungen zu Volumen; Würfel und Quader aus Einheitswürfeln aufbauen bzw. mit Einheitswürfeln füllen • Volumeneinheiten: mm³, cm³, dm³ bzw. l, m³; hl • Volumen von Würfel und Quader berechnen; in benachbarte Einheiten umrechnen Ä Wiederholen, Üben, Anwenden, Vertiefen • • begriffliche Vorstellungen zu Oberfläche und Volumen Volumen und Oberfläche von Würfel und Quader berechnen STRUKTURIERUNG DER IM LP DER HAUPTSCHULE GEGEBENEN ZIELE UND INHALTE – ZIELKOMPETENZEN – • Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen • Volumen und Oberfläche begrifflich unterscheiden und erklären ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen und messen • das Prinzip der Volumen- und Oberflächenmessung anschaulich darstellen und anwenden • Volumen und Oberflächen messen - mittels Vergleichsgrößen (schätzen) - mittels Einheitsgrößen ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen • Volumen und Oberflächeninhalt von Würfel und Quader messen bzw. ermitteln und berechnen „ Volumen- und Flächeneinheiten anwenden • Volumen- und Flächeneinheiten situationsgerecht auswählen und ggf. umwandeln VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 5 Modulare Förderung – Mathematik 6 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) Materialien zur Analyse der LERNAUSGANGSSITUATION DIE LERNSTANDSERHEBUNG L LEHRERINFO Die Aufgaben für die Lernstandserhebung sollen Aufschluss darüber geben, ob und inwieweit die einzelnen Themenbereiche nach der Einführung des Themas verstanden worden sind. Die Auswahl dieser diagnostischen Aufgaben erfolgt hinsichtlich der Zielkompetenzen, die überprüft werden sollen, untergliedert in einzelne konkret beobachtbare Kriterien (Fähigkeiten und Fertigkeiten). Neben den inhaltlichen Kompetenzen sollen alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen (siehe Kommentar zur Lernstandserhebung) in einem ’Testbogen’ mindestens ein Mal vertreten sein. Die Smileys J K L dienen der Selbsteinschätzung des Schülers, um eine Auseinandersetzung mit seinem Lernstand anzuregen. • Möglichkeit 1: Vor Bearbeitung der Aufgabe soll der Schüler einschätzen, ob er diese Aufgabe lösen kann. • Möglichkeit 2: Nach Bearbeitung der Aufgabe soll der Schüler ankreuzen, ob diese Aufgabe leicht (und seiner Meinung nach richtig) gelöst wurde oder nicht. Nach Korrektur bzw. Rückgabe der Lernstandserhebung bietet es sich an, den Schüler zu einzelnen Aufgaben, bei denen er Probleme hatte, frei schreiben zu lassen1. Dies ermöglicht bei Bedarf einen genaueren Blick auf individuelle Schwierigkeiten, die in Mathematik sehr differenziert sein können, und fördert eine realistische Selbsteinschätzung. 1 Möglicher Arbeitsauftrag: Schreibe zu Aufgaben, bei denen du Probleme hattest, kurze Fragen auf. Notiere auch Gedanken und Ideen, die du bei einer solchen Aufgabe hattest. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 7 Modulare Förderung – Mathematik LERNSTANDSERHEBUNGVOLUMEN UND OBERFLÄCHE JGST. 6 Klasse: Name: • 1) Datum: JKL Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen. Kreuze an, ob das Volumen oder die Oberfläche gesucht ist. Volumen Oberfläche Ein Karton für ein Geschenk wird gesucht. Das Geschenk soll verpackt werden. Fassungsvermögen eines Aquariums. Luft im Klassenzimmer. Eine Kommode soll von außen neu lackiert werden. Kleine Würfel sollen in eine große Kiste gepackt werden. • 2) JKL Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen. Aus welchem Netz kann man einen Würfel bauen? Kreuze an. ¨A ¨B ‚ 3) ¨C Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen Bestimme das Volumen und die Oberfläche des Quaders. Erkläre dein Vorgehen. 1 cm Volumen Oberfläche = _____________ = ____________ 8 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER ¨D JKL Modulare Förderung – Mathematik LERNSTANDSERHEBUNGVOLUMEN UND OBERFLÄCHE JGST. 6 SELBSTKONTROLLE • 1) JKL Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen. Kreuze an, ob das Volumen oder die Oberfläche gesucht ist. Volumen x Ein Karton für ein Geschenk wird gesucht. Oberfläche Das Geschenk soll verpackt werden. x Fassungsvermögen eines Aquariums. x Luft im Klassenzimmer. x Eine Kommode soll von außen neu lackiert werden. x Kleine Würfel sollen in eine große Kiste gepackt werden. • 2) x JKL Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen. Aus welchem Netz kann man einen Würfel bauen? Kreuze an. ¨A ýB ‚ 3) ¨C Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen ¨D JKL Bestimme das Volumen und die Oberfläche des Quaders. Erkläre dein Vorgehen. 1 cm Volumen Oberfläche • Volumen: Oberfläche: 36 cm³ = _____________ 66 cm² = ____________ - abzählen, wie viele Würfel in die Bodenfläche passen (12) 3 Würfelschichten ’ multiplizieren der Anzahl der Würfel in Bodenfläche mit 3 gesamt 36 Einheitswürfel Grund- und Deckfläche, Vorder- und Rückfläche jeweils 12 Einheitsquadrate Seitenflächen jeweils 9 Einheitsquadrate gesamt 66 Einheitsquadrate VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 9 Modulare Förderung – Mathematik 4) ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen JKL Welches Volumen hat diese Schachtel ungefähr? Schätze ab und erkläre deine Überlegungen. 5) ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen JKL Wie viel mal ist die Oberfläche der linken Würfelfigur größer als die Oberfläche des einzelnen Würfels? 6) ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Bestimme die Oberfläche und das Volumen des Quaders. 4m 2m 6m 10 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER JKL Modulare Förderung – Mathematik 4) ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen JKL Welches Volumen hat diese Schachtel ungefähr? Schätze ab und erkläre deine Überlegungen. Kantenlänge des Würfels: etwa 1 cm (in Wirklichkeit etwas weniger) Maße der Schachtel: etwa 5 bis 6 Würfel lang, 3 bis 4 Würfel breit und 3 bis 4 Würfel hoch Geschätztes Volumen der Schachtel: etwa 45 – 96 cm³ Jede nachvollziehbare Schätzung mit richtiger Rechnung kann gewertet werden. 5) ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen JKL Wie viel mal ist die Oberfläche der linken Würfelfigur größer als die Oberfläche des einzelnen Würfels? Der einzelne Würfel besteht aus 6 Flächen. Er hat also eine Größe von 6 Flächeneinheiten. Die Grundläche und die Deckfläche der Würfelfigur ist jeweils eine Flächeneinheit groß. Der Mantel der Würfelfigur besteht aus 4 • 4 Flächeneinheiten. Das sind 16 Flächeneinheiten. Gesamtoberfläche Würfelfigur: 2 FE + 16 FE = 18 FE à Die Oberfläche der Würfelfigur ist dreimal so groß wie die des Einzelwürfels. 6) ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen JKL Bestimme die Oberfläche und das Volumen des Quaders. 4m 2m 6m Volumen = Grundfläche • Höhe Volumen = Länge • Breite • Höhe Volumen = 6 m • 2 m • 4 m Volumen = 48 m³ Weitere Möglichkeit der Berechnung der Oberfläche: Oberfläche = 2 • Grundfläche + Mantelfläche Oberfläche = 2 • Grundfläche + UmfangGrundfläche • HöheKörper Oberfläche = 2 • 12 m² + 16 m • 4 m Oberfläche = 88 m² Oberfläche = 2 • Grundfläche + 2 • Seitenfläche 1 + 2 • Seitenfläche 2 Oberfläche = 2 • (6 m • 2 m ) + 2 • (6 m • 4 m ) + 2 • (2 m • 4 m ) Oberfläche = 2 • 12 m² + 2 • 24 m² + 2 • 8 m² + Oberfläche = 88 m² VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 11 Modulare Förderung – Mathematik ƒ 7) JKL Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers. 3m 4m 3m 4m 6m 4m 8) ƒ JKL Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Die Mittelschule Fischheim lässt sich ein Aquarium mit den Maßen 90 cm x 60 cm x 40 cm (l x b x h) anfertigen. a) Wie viele cm² Glas werden mindestens benötigt? b) Wie lange dauert der Füllvorgang, um das Aquarium komplett zu füllen, wenn mit einem Schlauch 12 Liter pro Minute eingefüllt werden können? (Hinweis: Du brauchst die Stärke des Glases nicht zu berücksichtigen.) „ 9) JKL Volumen- und Flächeneinheiten anwenden Erkläre, wie viele Kubikzentimeterwürfel in einen Kubikdezimeterwürfel passen. „ 10) JKL Volumen- und Flächeneinheiten anwenden Die Volumenangaben sind nicht vollständig. Ergänze die richtige Maßeinheit. Flasche: 0,7 _____ Spielwürfel: 0,72 _____ Garage: 32 _____ Klassenzimmer: 189 _____ Jü ?Kü L? ¬ dein Gesamtergebnis ® ¬ dein Gesamtergebnis ® 12 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ƒ 7) JKL Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers. 3m VolumenGesamt = Volumen1 + Volumen2 VolumenGesamt = 48 m³ + 144 m³ VolumenGesamt = 188 m³ 4m 3m Für die Berechnung der Oberfläche ist es einfacher, wenn wir den Körper so drehen, dass die vordere Fläche zur Grundfläche wird, weil dann ein Prisma entsteht. 4m 6m 4m ƒ 8) Oberfläche = 2 • Grundfläche + Mantelfläche Oberfläche = 2 • Grundfläche + Umfang • Höhe Oberfläche = 2 • 64 m² + 36 m • 3 m Oberfläche = 236 m² Grundfläche Körper JKL Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Die Mittelschule Fischheim lässt sich ein Aquarium mit den Maßen 90 cm x 60 cm x 40 cm (l x b x h) anfertigen. a) Wie viele cm² Glas werden mindestens benötigt? b) Wie lange dauert der Füllvorgang, um das Aquarium komplett zu füllen, wenn mit einem Schlauch 12 Liter pro Minute eingefüllt werden können? (Hinweis: Du brauchst die Stärke des Glases nicht zu berücksichtigen.) a) Vorbemerkung: Beim Aquarium benötigt man nicht unbedingt eine Deckfläche aus Glas. Glasfläche = Grundfläche + Mantelfläche Glasfläche = Grundfläche + UmfangGrundfläche • HöheKörper Glasfläche = 5 400 cm² + 300 cm • 40 cm Glasfläche = 17400 cm² bzw. 17,4 dm² (Mit „Glasdeckel“: 22000 cm2) b) Volumen = Grundfläche • HöheKörper (gleich in dm rechnen, da 1 dm³ = 1 l) Volumen = 54 dm² • 4 dm Volumen = 216 dm³ = 216 l Dauer Füllvorgang: 216 l : 12 l /min = 18 min „ 9) JKL Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Erkläre wie viele Kubikzentimeterwürfel in einen Kubikdezimeterwürfel passen. Beim Kubikdezimeterwürfel passen jeweils 10 Kubikzentimeterwürfel in die Länge, in die Breite und in die Höhe. Somit passen 10 • 10 • 10 = 1 000 Kubikzentimeterwürfel in einen Kubikdezimeterwürfel. „ 10) JKL Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Die Volumenangaben sind nicht vollständig. Ergänze die richtige Maßeinheit. cm³ Flasche: 0,7 dm³/ _____ l Spielwürfel: 0,72 _____ m³ Garage: 32 _____ m³ Klassenzimmer: 189 _____ Jü ?Kü L? ¬ dein Gesamtergebnis ® ¬ dein Gesamtergebnis ® VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 13 Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) Materialien zur Analyse der LERNAUSGANGSSITUATION KLASSENÜBERSICHT KLASSENÜBERSICHT L LEHRERINFO Die Klassenübersicht gibt Aufschluss darüber, • welche Aufgaben von einem einzelnen Schüler erfolgreich gelöst worden sind, welche nicht und • ob einzelne Themenbereiche für einen Großteil der Klasse unklar geblieben sind. Die Kompetenzen werden nur hinsichtlich des Beherrschens gewertet. Mögliche Symbole: + und – bzw. P und • evtl. ergänzt durch ein Symbol für nicht eindeutige Wertung, z. B. ~. Das Konzept des kompetenzorientierten individuellen Lernens setzt voraus, dass alle Testaufgaben Aufschluss hinsichtlich der vorhandenen bzw. nicht vorhandenen Kompetenzen geben. Eine eventuelle Notenvergabe liegt im Ermessen der Lehrkraft. Hierfür müssten den Aufgaben Punkte zugewiesen und ein Notenschlüssel erstellt werden. Eine Rückmeldung über Schülerleistungen erfolgt niemals nur in Form einer Note. 14 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Name Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Anmerkungen „ Volumen- und Flächeneinheiten anwenden ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen • Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen Modulare Förderung – Mathematik KLASSENÜBERSICHT VOLUMEN UND OBERFLÄCHE JGST. 6 10 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 15 Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) KRITERIEN-CHECKLISTE Materialien zur Analyse der LERNAUSGANGSSITUATION VOLUMEN UND OBERFLÄCHE JGST. 6 KRITERIEN-CHECKLISTE ZUR DOKUMENTATION L LEHRERINFO Diese Checkliste ’begleitet’ Schüler und Lehrkraft während der modularen Sequenz. Zu jeder Zielkompetenz sind wesentliche Kriterien formuliert, mit der Absicht • Transparenz und Verständnis für die in diesem Themenbereich erwarteten Kompetenzen auch beim Schüler zu schaffen, • eine Unterstützung für eine konstante, übersichtliche und vergleichende Analyse der Schülerleistungen zu bieten, • nachhaltiges Lernen nachweisbar darlegen zu können. Die Kriterien-Checkliste erfasst • inhaltliches Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten (gegliedert in die Zielkompetenzen), • prozessbezogene Kompetenzen (allgemeine mathematische Kompetenzen, für die Schüler als ’Arbeitsweisen’ formuliert) und • Aspekte des Arbeitsverhaltens während dieser Sequenz. Vorteilhaft ist, sich mehrere fixe Zeitpunkte für eine Analyse der Schülerkompetenzen zu setzen. In der Kriterien-Checkliste sind diese: • nach Einführung eines Themas mit der Lernstandserhebung, • während der individuellen Übungsphase (vor der benoteten Probearbeit!), • am Ende einer modularen Sequenz, vor dem Beginn eines neues Schwerpunktthemas. Eine Einschätzung hinsichtlich des bewältigten Anspruchsniveaus in der individuellen Lernphase erfolgt auf Grundlage • der bearbeiteten Aufgaben (Schwierigkeitsgrad der bearbeiteten Aufgaben, Tempo bei der Bearbeitung) und • den verwendeten Hilfestellungen (Infokarten, Nachfragen beim Partner oder in der Gruppe, Hinweise der Lehrkraft). Eine differenzierte Dokumentation kann unter Verwendung von unterschiedlichen Symbolen erfolgen, z. B.: ο ohne Erfolg bei diesem Kriterium + erfolgreich bei leichten Aufgabenstellungen ++ erfolgreich bei mittelschweren Aufgabenstellungen +++ erfolgreich bei schwierigen Aufgabenstellungen In einem Arbeitsordner Mathematik können die Kriterien-Checklisten zu allen mathematischen Themen gesammelt und entsprechende Übungs- und Probearbeiten mit abgeheftet werden – auch über mehrere Schuljahre hinweg. 16 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KRITERIEN-CHECKLISTE ZUR DOKUMENTATION VOLUMEN UND OBERFLÄCHE JGST. 6 INHALTLICHER SCHWERPUNKT: WÜRFEL UND QUADER Name …………………………………….. Klasse ……….. Ausgangslage JKL Lernfortschritt ο + ++ +++ Leistungsfeststellung ο + ++ +++ • Volumen und Oberfläche begrifflich verstehen • Du kannst Volumen und Oberfläche an Gegenständen und bei Zeichnungen unterscheiden (z. B. zeigen, anzeichnen). • Du kannst erklären, was ein Volumen ist. • Du kannst erklären, was eine Oberfläche ist. ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen • Du kannst Volumen und Oberfläche vergleichen. • Du kannst Volumen und Oberfläche durch Vergleich mit bekannten Gegenständen schätzen. • Du kannst einem Partner beschreiben, wie Volumen und Oberfläche gemessen werden können. ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen • Du kannst Volumen und Oberfläche mittels Vergleichsgrößen oder Einheitsgrößen ermitteln. • Du kannst Volumen und Oberfläche berechnen. „ Volumen- und Flächeneinheiten anwenden • Du kannst zu Volumen und Oberfläche von Alltagsgegenständen sinnvolle Maßangaben machen. • Du kannst Umrechnungen von Maßeinheiten darstellen, erklären und durchführen. • Du kannst Maßeinheiten von Volumen und Oberfläche bei Berechnungen richtig anwenden. Mathematische Arbeitsweisen • Du kannst gemeinsam mit einem Partner Aufgaben diskutieren und bearbeiten. • Du kannst bei unbekannten Aufgaben alleine oder mit einem Partner Lösungsideen entwickeln und so die Aufgabe lösen. • Du kannst bei Erklärungen mathematische Fachbegriffe verwenden. • Du kannst bei Abbildungen und Tabellen die relevanten Daten herausfinden. • Du kannst Fragestellungen aus dem Alltag mathematisch bearbeiten und lösen. • Du kannst mathematische Hilfsmittel (z. B. Lineal) sachgerecht verwenden. • Du kannst mit Formeln und Symbolen rechnen. Arbeitsverhalten • Du kannst konzentriert an einer Aufgabe arbeiten, ohne dich ablenken zu lassen. • Du kannst Zeichnungen und Berechnungen im Heft sauber und übersichtlich gestalten. • Du kannst bei der Arbeit mit einem Partner oder in der Gruppe aktiv mitwirken. • Du kannst deine Ergebnisse ansprechend und verständlich präsentieren. Note ο ohne Erfolg + erfolgreich bei leichten Aufgaben ++ erfolgreich bei mittelschweren Aufgaben +++ erfolgreich bei schwierigen Aufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 17 Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (Jgst. 6) ÜBUNGSAUFGABEN ÜBUNGSAUFGABEN MIT UNTERSCHIEDLICHEM SCHWIERIGKEITSGRAD L LEHRERINFO Um die Schüler in ihrer Eigenverantwortung für ihr Lernen ernst zu nehmen und zu fördern, sollte die Auswahl von Übungsaufgaben wo möglich ihnen selbst überlassen werden (z. B. „Bearbeite aus dem Themenbereich drei Aufgaben deiner Wahl.“). Die Lehrkraft nimmt dabei eine beratende Funktion ein und unterstützt die Schüler bei ihrem Tun. Dem Gespräch mit einem Partner oder in einer Gruppe muss ausreichend Zeit eingeräumt werden, um eine Aufgabe – auch aus anderen Perspektiven – durchdringen zu können. Die Aufgaben eignen sich • für die Erarbeitung der einzelnen inhaltlichen Aspekte, • für die Vernetzung dieser Inhalte sowie • für deren Einbettung in Aufgaben mit reichhaltigen Kontexten (über diesen Themenbereich hinaus). Der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe wird vom Schüler oft individuell wahrgenommen. Die angegebenen Sternchen bei den Übungsaufgaben (* bis ***) können somit nur eine grobe Richtschnur für die Einschätzung einer Aufgabe hinsichtlich ihres Anspruchs sein. Je nach unterstützenden Materialien wird das Anforderungsniveau fließend variiert. Die Liste der Aufgaben kann auch dem Schüler ausgeteilt werden, so dass er bearbeitete Aufgaben kennzeichnen bzw. sich Notizen zur Erarbeitung machen kann (z. B. die Symbole +, ++, +++ für „leicht“, „mittel“, „schwierig“ den bearbeiteten Aufgaben aus seiner Sicht zuordnen). Dieses Vorgehen erleichtert auch am Ende der modularen Phase die Einschätzung des Schülers hinsichtlich seines individuellen Lernfortschritts bzw. Lernerfolgs (siehe Kriterien-Checkliste). Grundsätzlich sollte der Schüler zu jeder bearbeiteten Aufgabe kurze Notizen über seine Arbeitsschritte und aufgetretenen Probleme machen. Zumindest am Ende jeder individuellen Übungsstunde ist es als ‚Sicherungsfaktor’ des Gelernten zu empfehlen. Tipp: Die Übungsaufgaben können auf verschiedenfarbiges Papier kopiert und laminiert werden (Angebot online: je eine Aufgabe mit Lösung auf einer Seite) – kein doppelseitiger Druck – jeweils in mehrfacher Ausführung. So stehen alle Aufgaben allen Schülern nach und nach zur Verfügung, ohne sie als Klassensatz kopieren zu müssen. 18 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE – Laufzettel – Klasse: ……… Name: ……………………………… • Volumen und Oberfläche begrifflich versteheni 1 Auch Bücher haben ein Volumen und eine Oberfläche * 2 Unser Klassenzimmer – Volumen schätzen, mit Schritten und mittels der Körpergröße ermitteln * 3 Wände deines Klassenzimmers streichen 4 Begriffe Einheitsquadrat und Einheitswürfel den Begriffen Volumen und Oberfläche zuordnen * 5 Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? * 6 Geburtstagsgeschenk * 7 Aus welchen Netzen lassen sich Würfel- und Quadernetze bauen? 8 Zuckerwürfel J L K J L K J L K J L K J ** * 1 Alltagsgegenstände auslegen (Material: Einheitswürfel) * 2 Volumen und Oberflächen durch Abzählen bestimmen ** 3 Selbst hergestellte Würfel und Quader vergleichen ** 4 Spielwürfel 5 Volumenänderung mit Spielwürfeln 6 Wer findet das Buch mit der größten Oberfläche? *** ** * ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechneni 1 Drei Mädchen, drei Lösungswege 2 Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen *** 3 Oberflächen von zusammengesetzten Körpern berechnen *** 4 Volumen und Oberfläche einer zusammengesetzten Figur bestimmen *** 5 Wie dick ist ein Blatt Papier? *** 6 Die Breite eines Quaders bestimmen 7 Schokoladenaufgabe 8 Wie viel Schokolade isst du im Jahr? 9 Der durchgeschnittene Styropor®block ** ** *** * *** „ Volumen- und Oberflächeneinheiten anwendeni 1 Welche Einheit würdest du wählen? 2 Einheiten umwandeln ** 3 Maßzahlen schätzen * 4 Ordne mit Pfeilen zu * 5 Ordne der Größe nach * ** … Offene Aufgabei Verpackungen K ** ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messeni 1 L * bis *** VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 19 Modulare Förderung – Mathematik • 1 Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Auch Bücher haben ein Volumen und eine Oberfläche Nimm zwei verschiedene Bücher (z. B. Mathematik- und Wörterbuch) und zeige deinem Banknachbarn, was das Volumen und was die Oberfläche ist. a) Versuche beide Begriffe nur mit Worten zu erklären. b) Formuliere Rechenfragen für diese Begriffe. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) z. B. Volumen: í „Das Innere des Buches“ í „Das ganze Buch“ í „Alle Seiten und der Einband zusammen“ Oberfläche: í „Das Äußere des Buches“ í „Nur die Flächen rechts, links, oben und unten vom Buch“ í „Alles außen herum“ í „Der Einband und das, was man von den Seiten sehen kann“ b) z. B. í Welches Volumen hat das Buch? í Welche Oberfläche hat der Einband? í Welches Buch hat das größte Volumen? í Welches Buch hat die kleinste Oberfläche? í Kann es zwei Bücher geben (Buch A und Buch B) für die gilt, dass Buch A ein größeres Volumen, aber gleichzeitig Buch A eine kleinere Oberfläche als Buch B hat? 20 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik • 2 Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Größe eines Klassenzimmer Wie groß ist dein Klassenzimmer? a) Schätze das Volumen deines Klassenzimmers. b) Versuche das Volumen genauer abzuschätzen, indem du die benötigten Größen mit Schritten abgehst. Miss vorher an einem Meterstab, wie lang einer deiner Schritte ist. Für die Raumhöhe kannst du deine Körpergröße als Vergleichsgröße hernehmen. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) Individuelle Lösung, je nach Klassenzimmergröße. Besprich deine Ergebnisse mit deinem Nachbarn. Mögliche Vergleichsgrößen: Fensterhöhe, Höhe der Tür, Tafel, Pinnwand, … Vorgehen: 1) 2) 3) 4) 5) Schrittgröße am Meterstab abmessen (z. B. 60 cm). Länge und Breite des Raumes abschreiten. Anzahl der Schritte mal Schrittlänge rechnen (z. B. 16 mal 60 cm). Längen in Meter umwandeln. Höhe des Raumes über die eigene Körpergröße abschätzen (wenn du ca. 1,50 m groß bist und der Raum ca. doppelt so hoch wie du, dann ist er ca. 3 m hoch). 6) Berechnung des Volumens mit der Formel: VolumenQuader = Grundfläche • Körperhöhe, wobei „Grundfläche = Länge • Breite“ ist. Bestimme auf dieselbe Art weitere Volumina. Wie groß ist z. B. eure Sporthalle, Pausenhalle usw.? VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 21 Modulare Förderung – Mathematik • 3 ØØ Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Wände deines Klassenzimmers streichen a) Es muss nicht immer die gesamte Wandfläche eines Zimmers gestrichen werden. Welche Flächen der Wände des Klassenzimmers werden bei dir nicht gestrichen? b) Schätze ab, für wie viele m² Farbe benötigt wird. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) Nicht gestrichen werde: Fensterflächen (mit Rahmen) und Wandflächen mit Schränken, Präsentationsflächen und Ähnliches. b) Benötigte Farbe: Schätze dazu die Größe der einzelnen Wandflächen (Rechtecke). Ziehe die Flächen, die nicht angestrichen werden, ab (meist auch Rechtecke). Zähle dann die Einzelflächen zusammen. Individuelle Lösung, je nach Klassenzimmergröße. Besprich mit deinem Nachbarn eure Ergebnisse. Bestimme auf dieselbe Art weitere Oberflächen. Welche Fläche haben z. B. die Wände auf den Gängen oder in deinem Zimmer? 22 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 4 • Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Begriffe Einheitsquadrat und Einheitswürfel den Begriffen Volumen und Oberfläche zuordnen Du hast eine Schachtel aber leider weder Lineal noch Meterstab. Womit kann man folgende Größe abmessen? Ordne mit Pfeilen zu. Einheitslänge 1 cm Einheitsquadrat 1 cm 1 cm Einheitswürfel 1 cm 1 cm Volumen 2 Oberfläche 3 Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Einheitslänge 1 cm Einheitsquadrat 1 cm 1 cm Einheitswürfel 1 cm 1 cm Volumen 2 Oberfläche 3 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 23 Modulare Förderung – Mathematik • 5 Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? a) b) c) d) e) f) g) Jeder Körper hat ein Volumen und eine Oberfläche. Die Oberfläche kann über die Summe der Teilflächen berechnet werden. Alle Teilflächen eines Quaders sind Quadrate. Eine Einheit für das Volumen ist dm². Jeder Quader besteht aus 6 Einzelflächen. mm², cm², dm², m² und km² sind Maße für Oberflächen. Die Oberfläche eines Quaders kann man auch bestimmen, indem man Sand in den Quader schüttet und dann mit einem Messbecher die Sandmenge abmisst. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? a) b) c) d) e) f) g) Jeder Körper hat ein Volumen und eine Oberfläche. Die Oberfläche kann über die Summe der Teilflächen berechnet werden. Alle Teilflächen eines Quaders sind Quadrate. Eine Einheit für das Volumen ist dm². Jeder Quader besteht aus 6 Einzelflächen. mm², cm², dm², m² und km² sind Maße für Oberflächen. Die Oberfläche eines Quaders kann man auch bestimmen, indem man Sand in den Quader schüttet und dann mit einem Messbecher die Sandmenge abmisst. Formuliere eigene Behauptungen und tausche sie mit deinem Nachbarn. 24 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER richtig richtig falsch falsch richtig richtig falsch Modulare Förderung – Mathematik 6 • Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Geburtstagsgeschenk Stell dir vor, du hättest morgen Geburtstag und erhältst ein großes Päckchen. a) Beschreibe deinem Nachbarn, womit er das Geburtstagspäckchen füllen könnte. Verwende: „Das Volumen meines Geburtstagspäckchens könntest du mit … füllen.“ b) Beschreibe deinem Nachbarn, wie er dein Geburtstagspäckchen verzieren könnte. Verwende: „Die Oberfläche meines Geburtstagspäckchens könntest du mit … verzieren.“ Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) „Das Volumen meines Geburtstagspäckchens könntest du mit einem Fußball (Computer, Spielkonsole, Bücher, Kleidung, …) füllen.“ b) „Die Oberfläche meines Geburtstagspäckchens könntest du mit Geschenkpapier (Glitzerpapier, Folie, Sternen, Aufklebern, …) verzieren.“ VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 25 Modulare Förderung – Mathematik • 7 ØØ Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Aus welchen Netzen lassen sich Würfel oder Quader falten? a) b) c) d) e) f) g) h) i) Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) b) c) e) f) Würfel d) Würfel g) Würfel h) i) Quader 26 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 8 • Ø Volumen und Oberfläche begrifflich verstehenr Zuckerwürfel Warum ist der Begriff „Zuckerwürfel“ mathematisch gesehen falsch? Erkläre. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Der Begriff „Zuckerwürfel“ ist mathematisch falsch, weil nicht alle Kanten des Zuckerwürfels die gleiche Länge haben. Beim „mathematischen Würfel“ müssen alle Kanten gleich lang sein. Außerdem sind beim „mathematischen Würfel“ die Ecken nicht abgerundet. Findest du vielleicht noch andere Dinge, die im Alltag „Würfel“ genannt werden, mathematisch gesehen aber keine Würfel sind? VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 27 Modulare Förderung – Mathematik ‚ 1 Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messenr Ø Alltagsgenstände auslegen Lege mit Einheitswürfeln (1 cm • 1 cm • 1 cm = 1 cm3) verschiedene Gegenstände (z. B. Brotzeitdose, Schublade, Stiftedose) aus und bestimme so deren Volumen und Oberfläche. Du kannst auch zusammen mit deinem Banknachbarn arbeiten. 3 1 cm 2 1 cm Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Lösungen durch Probieren und Abzählen. Tipp: Frage deinen WTG-Lehrer, ob ihr gemeinsam Einheitswürfel herstellen könnt. 28 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ‚ 2 Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messenr ØØ Volumen und Oberflächen durch Abzählen bestimmen Die Kantenlänge eines kleinen Würfels beträgt 1 cm. a) Wie groß ist das Volumen der Figur? b) Wie groß ist die Oberfläche der Figur? Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) Volumen: í í í í í In der untersten Reihe liegen 6 Einheitswürfel. In der mittleren Reihe liegen 5 Einheitswürfel. In der obersten Reihe liegen 3 Einheitswürfel. Insgesamt besteht die Figur also aus 14 Einheitswürfeln. Das Volumen beträgt: 14 cm³. b) Oberfläche: í í í í í í í í Von oben kann man 6 Einheitsquadrate zählen. Von rechts kann man 8 Einheitsquadrate zählen. Von vorne kann man 7 Einheitsquadrate zählen. Von unten kann man, genauso wie von oben, 6 Einheitsquadrate „zählen“. Von links kann man, genauso wie von rechts, 8 Einheitsquadrate „zählen“. Von hinten kann man, genauso wie von vorne, 7 Einheitsquadrate „zählen“. Insgesamt besteht die Figur also aus 42 Einheitsquadraten. Die Oberfläche beträgt: 42 cm². Baue die Figur nach. Baue für deinen Nachbarn neue Figuren. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 29 Modulare Förderung – Mathematik 3 ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messenr ØØ Selbst hergestellte Würfel und Quader vergleichen Arbeite mit deinem Banknachbarn zusammen. Zeichne auf DIN-A4-Blätter Quader- und Würfelnetze auf. Schneide sie aus und klebe sie zu Würfeln oder Quadern zusammen, lass aber einen Deckel offen. Wenn die Kanten und Ecken gut mit Tesa verklebt sind, fülle sie mit Sand und miss jeweils das Volumen. Vergleiche die Oberflächen mit ihren Volumina. Was erkennst du? Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Bei dieser Aufgabe sind verschiedene Lösungen möglich. Hier findest du ein Beispiel: (Mögliches Würfelnetz auf DIN-A4-Papier) Körper, deren Oberfläche gleich groß ist, haben nicht unbedingt das gleiche Volumen. 30 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ‚ 4 Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messenr ØØØ Spielwürfel Ein großer Würfel wurde aus 8 Spielwürfeln zusammengesetzt. Wie viele weitere Spielwürfel benötigt man, um die Kantenlänge des zusammengesetzten Würfels · um die Hälfte zu verlängern, · zu verdoppeln, · zu verdreifachen? Ändert sich das Volumen im gleichen Verhältnis wie die Kantenlänge? Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Volumen des zusammengesetzten Würfels: 2 Würfel lang, 2 Würfel breit und 2 Würfel hoch. Volumen = 2 • 2 • 2 = 8 (Würfel) · · · Kantenlänge um die Hälfte verlängert: 3 Würfel lang, 3 Würfel breit, 3 Würfel hoch. Volumen1½-fache Kantenlänge = 3 • 3 • 3 = 27 (Würfel) ’ Fehlende Würfel: 27 – 8 = 19 Kantenlänge verdoppelt: 4 Würfel lang, 4 Würfel breit, 4 Würfel hoch. Volumendoppelte Kantenlänge = 4 • 4 • 4 = 64 (Würfel) ’ Fehlende Würfel: 64 – 8 = 56 Kantenlänge verdreifacht: 6 Würfel lang, 6 Würfel breit, 6 Würfel hoch. Volumen dreifache Kantenlänge = 6 • 6 • 6 = 216 ’ Fehlende Würfel: 216 – 8 = 208 Das Volumen ändert sich nicht im gleichen Verhältnis wie die Kantenlänge, z. B. ist bei doppelter Kantenlänge das Volumen achtmal so groß, bei dreifacher Kantenlänge 27-mal so groß. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 31 Modulare Förderung – Mathematik 5 ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messenr ØØ Volumenänderung mit Spielwürfeln a) Aus wie vielen Spielwürfeln bestehen die Würfel jeweils? b) Aus wie vielen Spielwürfeln würde der nächstgrößere Würfel bestehen? Erkläre deine Überlegung. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) Sie zusammengesetzten Würfel bestehen aus 1, 8, 27 Spielwürfeln. b) Der nächstgrößere Würfel hat 64 Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist 4 Spielwürfellängen lang. Wir rechnen also: 4 • 4 • 4 = 64 32 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 6 ‚ Volumen und Oberfläche vergleichen, schätzen, messen Ø Wer findet das Buch mit der größten Oberfläche? Welches ist das Buch mit der größten Oberfläche in eurem Klassenzimmer? Schätze zuerst ab und entscheide dich dann für 3 Bücher. Miss nun die benötigten Maße und bestimme die Oberfläche. Vergleiche mit deinem Partner. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Bei dieser Aufgabe sind verschiedene Lösungen möglich. Hier findest du ein Beispiel: 3 cm 20 cm 15 cm OberflächeKörper = 2 • Grundfläche + Mantelfläche OberflächeKörper = 2 • 15 cm • 20 cm + (2 • 15 cm + 2 • 20 cm) • 3 cm OberflächeKörper = 600 cm² + 210 cm² OberflächeKörper = 810 cm² VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 33 Modulare Förderung – Mathematik 1 ƒ Ø Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Drei Mädchen, drei Lösungswege Linda, Morena und Cindy wollen die Oberfläche eines Quaders berechnen. a) Linda rechnet erst die Fläche aller sechs Rechtecke aus und addiert sie dann. b) Morena rechnet: „2 • a • b + 2 • a • h + 2 • b • h” c) Cindy addiert zum doppelten Flächeninhalt der Grundfläche das Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe des Körpers. Wer hat richtig gerechnet? Diskutiere mit deinem Nachbarn. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Alle drei Mädchen erhalten das richtige Ergebnis. Linda rechnet erst alle Einzelflächen aus und addiert diese dann. Morena berechnet eigentlich dasselbe: „a • b“ ergibt die Grundfläche, ebenso die Deckfläche. Daher rechnet sie: „2 • a • b“. „a • h“ ergibt die vordere Fläche, ebenso die Fläche hinten. Daher rechnet sie: „2 • a • h“. „b • h“ ergibt die rechte Fläche, ebenso die Fläche links. Daher rechnet sie: „2 • b • h“. Schließlich addiert sie alle Flächen. Cindy wickelt in Gedanken den Quader zum Netz auf und erkennt, dass die Mantelfläche ein Rechteck ist. Die Länge dieses Rechtecks ist genauso lang wie der Umfang der Grundfläche. Die Breite dieses Rechtecks ist genauso lang wie die Höhe des Quaders. Rechne auf alle drei Arten nach. 34 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ƒ 2 ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Volumen von zusammengesetzten Körpern berechnen Hier siehst du Körper, die man in Quader zerlegen kann. Die Körper sollen eine Höhe von 4 cm haben (sie sind liegend dargestellt: die Grundfläche ist vorne grau). Die Maße dieser Grundflächen darfst du in der Zeichnung abmessen. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG VolumenKörper = Grundfläche • Körperhöhe VolumenKörper = 4 cm • 2 cm • 4 cm VolumenKörper = 32 cm³ VolumenKörper = Grundfläche • Körperhöhe VolumenKörper = 6 cm • 2 cm • 4 cm VolumenKörper = 48 cm³ VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 35 Modulare Förderung – Mathematik ƒ 3 ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Oberflächen von zusammengesetzten Körpern berechnen Welche Oberfläche haben die (liegenden) Körper? Entnimm die Maße aus der Zeichnung. Beachte, dass die schrägen Linien verkürzt dargestellt sind. TIPP: Am einfachsten kannst du hier die Oberfläche berechnen, wenn du den Körper nach vorne kippst, so dass die jetzige Vorderseite zur Grundfläche wird, weil dann ein Prisma entsteht. Die Höhe der Körper auf dieser Seite soll dann jeweils 4 cm betragen. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG OKörper = 2 • Grundfläche + Mantelfläche OKörper = 2 • 8 cm² + UmfangGrundfläche • HöheKörper OKörper = 2 • 8 cm² + 14 cm • 4 cm OKörper = 16 cm² + 56 cm² OKörper = 72 cm² OKörper = 2 • Grundfläche + Mantelfläche OKörper = 2 • 12 cm² + UmfangGrundfläche • HöheKörper OKörper = 2 • 12 cm² + 16 cm • 4 cm OKörper = 24 cm² + 64 cm² OKörper = 88 cm2 36 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ƒ 4 ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Volumen und Oberfläche einer zusammengesetzten Figur bestimmen Welches Volumen und welche Oberfläche hat diese Figur? 3m 2m 4m 2m 4m 4m 8m Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 3m LÖSUNG Möglichkeit der Berechnung: Körper zerlegen 2m 4m VGesamt = VI + VII + VIII 2m VI = 2 m • 2 m • 3 m VI = 12 m³ I 4m III II VII = 4 m • 4 m • 3 m VII = 48 m³ 4m VIII = 8 m • 8 m • 3 m VIII = 192 m³ 8m VGesamt = 12 m³ + 48 m³ + 192 m³ = 252 m³ Erinnerung: Die Vorderfläche ist zur Grundfläche geworden. TIPP: Am einfachsten kannst du hier die Oberfläche berechnen, wenn du den Körper nach vorne kippst, so dass die jetzige Vorderseite zur Grundfläche wird, weil dann ein Prisma entsteht. OGesamt = 2 • Grundfläche + UmfangGrundfläche • HöheKörper Grundfläche = 2 m • 2 m + 4 m • 4 m + 8 m • 8 m = 84 m² UmfangGrundfläche = 2 m + 4 m + 4 m + 8 m + 8 m + 8 m + 4 m + 2 m + 2 m + 2 m = 44 m OGesamt = 2 • 84 m² + 44 m • 3 m = 300 m² VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 37 Modulare Förderung – Mathematik 5 ƒ ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Wie dick ist ein Blatt Papier? 500 Blatt Papier haben ein Volumen von 3 180,87 cm³. Wie dick ist ein Blatt Papier? Gib dein Ergebnis in Millimeter an. Die 500 Blatt Papier haben 3,49 € gekostet. (Hinweis: DIN A4 Papier ist 210 mm breit und 297 mm lang.) Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Bestimme zuerst die Höhe des Papierstoßes: G=a•b G = 21 cm • 29,7 cm G = 623,7 cm² VG = G • h K h K = VQ : G hK = 3180,87 cm³ : 623,7 cm² hK = 5,099 cm ≈ 5,1 cm Weitere Möglichkeit, die Höhe zu berechnen: V=a•b•h V = 21 cm • 29,7 cm • h 3 180,87 cm³ = 623,7 cm2 • h h = 3 180 cm³ : 623,7 cm² = = 5,099 cm ≈ 5,1 cm Durch 500 dividieren, da der Stoß aus 500 Blättern besteht: 5,1 cm : 500 = 0,0102 cm ≈ 0,1 mm Antwort: Ein Blatt Papier ist ca. 0,1 mm dick. 38 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 6 ƒ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen ØØ Die Breite eines Quaders bestimmen Eine kleine Schachtel hat ein Volumen von 112,5 cm³. Sie hat eine Höhe von 7,5 cm und eine Länge von 30 mm. Welche Breite hat die Grundfläche? Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Du kennst die Formel für das Volumen eines Quaders. VQ = G • h K VQ = a • b • h K Du kannst bekannte Größen einsetzen. 112,5 cm³ = 3 cm • b • 7,5 cm Du kannst das Vertauschungsgesetz anwenden. 112,5 cm3 = 22,5 cm2 • b 112,5 cm3 : 22,5 cm2 = b 5 cm = b Antwort: Die Grundfläche ist 5 cm breit. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 39 Modulare Förderung – Mathematik ƒ 7 ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Schokoladenaufgabe Berechne, wie viele Tafeln Schokolade in dein Klassenzimmer passen, so dass es ganz mit Schokolade gefüllt ist. Schätze benötigte Größen. 100 g Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Bei dieser Aufgabe sind verschiedene Lösungen möglich, je nach Größe des Klassenzimmers. 1) 2) 3) 4) Bestimme erst das Volumen einer Tafel Schokolade: VolumenQuader = Grundfläche • Körperhöhe Bestimme dann das Volumen deines Klassenzimmers: VolumenQuader = Grundfläche • Körperhöhe Dividiere dann das Volumen des Klassenzimmers durch das Volumen einer Tafel Schokolade. Achte darauf, dass du die gleiche Einheit benutzt. Zur Weiterarbeit: Wie viel würde diese Menge Schokolade ungefähr kosten? Wie lange bräuchte deine Klasse, bis die Schokolade aufgegessen ist? 40 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 8 ƒ Ø Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Wie viel Schokolade isst du im Jahr? Schätze die Menge Schokolade, die du in einem Jahr isst. Hätte diese Menge in deiner Schultasche Platz? 100 g Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Individuelle Lösungen í Miss so genau wie möglich die Maße einer Tafel Schokolade (abhängig von der Marke). í Berechne daraus das Volumen einer Tafel Schokolade mit der Formel: VolumenQuader = Grundfläche • Körperhöhe í Das Volumen von 100 g Schokolade ist etwa: 78 cm³. í Wenn du in der Woche fast 2 Tafeln Schokolade isst, dann isst du im Jahr etwa 100 Tafeln. í 100 • 78 cm³ = 7 800 cm³ bzw. ca. 7,8 dm³ oder 7,8 l í Diese Menge Schokolade passt leicht in eine Schultasche. TIPP: Am einfachsten kannst du das Volumen einer Tafel Schokolade bestimmen, indem du die Tafel Schokolade in eine randvoll mit Wasser gefüllte Schüssel gibst und mit einem Messbecher abmisst, wie viel Wasser aus der Schüssel gelaufen ist. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 41 Modulare Förderung – Mathematik ƒ 9 ØØØ Volumen und Oberfläche ermitteln und berechnen Der durchgeschnittene Styropor®block Elvira schneidet einen Styropor®block der Länge 12 cm, der Breite 4 cm und der Höhe 2 cm in der Mitte durch (vgl. Bilder). Wie groß ist die Oberfläche der neuen Figur? (Bilder nicht maßstabsgetreu) Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG 2 cm 4 cm 4 cm 4 cm 12 cm 6 cm Neue Maße: Länge: 6 cm Breite: 4 cm; Höhe: 4 cm Neue Oberfläche: Grundfläche: 12 cm • 4 cm = 48 cm² UmfangGrundfläche: 2 • 6 cm + 2 • 4 cm = 20 cm Mantelfläche: 20 cm • 4 cm = 80 cm² Oberfläche = 2 • 48 cm² + 80 cm² = 176 cm² bzw. ca. 1,76 dm² Antwort: Die Oberfläche beträgt ca. 1,76 dm². 42 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik „ 1 Ø Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Welche Einheiten würdest du wählen? a) Rauminhalt eines Schuhkartons b) Fassungsvermögen eines LKW-Anhängers c) Volumen einer Streichholzschachtel d) Luftmenge im Klassenzimmer e) Holz zum Bau einer Truhe f) Fliesen für Renovierung g) Größe eines Handys h) Trinkmenge am Tag i) Geschenkpapier für ein Päckchen Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) cm³ oder dm³ b) m³ c) cm³ d) m³ e) m² f) m² g) cm³ (auch cm2) h) l oder dm³ j) dm² (auch cm²) Suche weitere Beispiele und gib sie deinem Nachbarn. Findet er die passende Einheit? VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 43 Modulare Förderung – Mathematik „ 2 ØØ Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Einheiten umwandeln In welche Einheit würdest du umrechnen? Begründe. a) 0,002 dm³ b) 26 000 l c) 4 500 cm2 d) 5 000 000 mm³ e) 126 000 cm2 f) 38 000 cm³ g) 420 000 mm² h) 0,02 m² i) 0,004 dm³ Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Man wandelt die Einheiten so um, dass die Zahlen möglichst wenig Stellen haben. a) 2 cm³ b) 26 m³ oder 260 hl c) 45 dm² d) 5 dm³ oder 5 l e) 1 260 dm² oder 12,6 m² f) 38 dm³ g) 42 dm² h) 2 dm² i) 4 cm³ Finde weitere Beispiele und tausche sie mit deinem Nachbarn. 44 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik 3 „ Ø Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Maßzahlen schätzen Die Volumenangaben sind unvollständig. Ergänze eine sinnvolle Zahl. a) Klassenzimmer: ??? m³ b) 1 l Milch: ??? dm³ c) Brotzeitdose: ??? cm³ d) Schuhkarton: ??? l Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) Klassenzimmer: xx m³ ??? b) 1 l Milch: 1 dm³ ??? c) Brotzeitdose: ca. 400 −1000 cm³ ?xxxxxxx?? d) Schuhkarton: 7 – 15 l xxxxx Je nach Klassenzimmergröße. Vergleiche deine Lösung mit der deines Nachbarn. Finde weitere Aufgaben und stelle sie einem Nachbarn. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 45 Modulare Förderung – Mathematik „ 4 Ø Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Ordne mit Pfeilen zu 100 Wenn ich Oberflächeneinheiten in die nächste Einheit umrechnen möchte (z. B. cm2 ß dm² à m²), benutze ich folgende Umrechnungszahl. 10 Plus Wenn ich Einheiten in die nächstgrößere Einheit umrechnen möchte (z. B. dm³ à m³), benutze ich folgende Rechenoperation. Geteilt durch Wenn ich Volumeneinheiten in die nächste Einheit umrechnen möchte (z. B. cm2 ß dm³ à m³), benutze ich folgende Umrechnungszahl. 1 000 Mal Wenn ich Einheiten in die nächstkleinere Einheit umrechnen möchte (z. B. m³ à dm³), benutze ich folgende Rechenoperation. Minus Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG 100 Wenn ich Oberflächeneinheiten in die nächste Einheit umrechnen möchte (z. B. cm2 ß dm² à m²), benutze ich folgende Umrechnungszahl. Wenn ich Einheiten in die nächstgrößere Einheit umrechnen möchte (z. B. dm³ à m³), benutze ich folgende Rechenoperation. 10 Plus Geteilt durch Wenn ich Volumeneinheiten in die nächste Einheit umrechnen möchte (z. B. cm2 ß dm³ à m³), benutze ich folgende Umrechnungszahl. 1 000 Mal Wenn ich Einheiten in die nächstkleinere Einheit umrechnen möchte (z. B. m³ à dm³), benutze ich folgende Rechenoperation. 46 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Minus Modulare Förderung – Mathematik „ 5 ØØ Volumen- und Oberflächeneinheiten anwenden Ordne der Größe nach Verwende dazu das Kleinerzeichen (<). a) Volumen: 3 dm³ 3,2 l 7 345 cm³ 4 480 mm³ 0,000 002 m³ b) Oberflächen: 0,004 dm² 40 cm2 4 004 cm2 0, 04 m2 4,2 dm2 Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG a) 3 dm³ 3,2 l 7 345 cm³ 4 480 mm³ 0,000 002 m³ 3 dm³ 3,2 dm³ 7,345 dm³ 0,004 48 dm³ 0,002 dm³ 0,002 dm³ < 0,000 002 m³ < b) 40 cm2 0,4 dm² 0,004 dm² 0,004 dm² 0,004 dm² 0,004 dm² 0,004 48 dm³ 4 480 mm³ < < 0,4 dm² 40 cm² < < 3 dm³ 3 dm³ < < 4 004 cm2 40,04 dm² < < 4 dm² 0,04 m² 3,2 dm³ 3,2 l 0, 04 m2 4 dm² < < 4,2 dm² 4,2 dm² < < 7,345 dm³ 7 345 cm³ 4,2 dm2 4,2 dm² < < 40,04 dm² 4 004 cm² TIPP: Wandle erst in eine gleiche Einheit um. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 47 Modulare Förderung – Mathematik … Offene Aufgabe 1 Ø bis ØØØ Verpackungen Formuliere Rechenfragen und gib sie deinem Nachbarn zum Lösen. Übungsaufgaben VOLUMEN UND OBERFLÄCHE 6 LÖSUNG Mögliche Fragestellungen: í Welches Volumen haben die einzelnen Verpackungen? í Welche Oberflächen haben die einzelnen Verpackungen? í Kann ich den Zucker vollständig in die Teepackung schütten? í Wie viele Zucker-, Tee- oder Soßenpackungen passen in den Karton? í … 48 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) ERMITTLUNG DES LERNERFOLGS & DOKUMENTATION L LEHRERINFO Die Analyse von Schülerkompetenzen ist Voraussetzung für eine individuelle Förderung und somit für den individuellen Lernerfolg. Die Ermittlung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen: • Schülerselbsteinschätzung (Material: Lernstandsfeststellung und Kriterien-Checkliste) • Auswertung von Übungs-, Probe- und Vergleichsarbeiten (Material: Beispielaufgaben und Probearbeit. Vergleichsarbeiten auf der Homepage des ISB) • Beobachtung des Schülers während des Arbeitens (Material: Kriterien-Checkliste) Die Ermittlung und Dokumentation der Schülerkompetenzen ist für folgende Aspekte notwendig: • Im Vergleich mit den Ergebnissen aus der Lernstandsfeststellung kann der individuelle Lernerfolg einer Übungsphase aufgezeigt werden (persönliche Bezugsnorm). • In der Kriterien-Checkliste wird der Lernfortschritt bzw. der Lernerfolg hinsichtlich der erfolgreich bearbeiteten Aufgaben und der verwendeten Hilfestellungen festgehalten (sachliche Bezugsnorm). • Zum Abschluss der modularen Sequenz erfolgt mit der Leistungsfeststellung durch die Notengebung ein Vergleich innerhalb der Klasse (soziale Bezugsnorm). Kompetenzorientiertes Lernen zielt auf Nachhaltigkeit ab. Eine Ermittlung der Schülerkompetenzen sollte zu einem späteren Zeitpunkt nochmals erfolgen, um so den dauerhaften Lernerfolg aufzuzeigen. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 49 Modulare Förderung – Mathematik 50 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) LEISTUNGSFESTSTELLUNG L LEHRERINFO Eine benotete Leistungsfeststellung gibt Auskunft darüber, mit welchem Grad die Zielkompetenzen eines Themas erreicht worden sind. Mit Erfüllung der Mindestanforderung (Aufgaben mit niedrigem Schwierigkeitsgrad *) muss ein Bestehen (mindestens Note 4) gewährleistet sein. Zu beachten sind: • Aufgabenauswahl • Punktevergabe • Notenschlüssel Unabhängig von der modularen Förderung sollen Aufgaben zum Grundwissen (geübt in der Warm-up-Phase) in jeder Probearbeit fest verankert sein. Neben der Notenvergabe erfolgt eine kompetenzorientierte Rückmeldung. Hierfür werden den Aufgaben der Leistungsfeststellung die Zielkompetenzen und die dazu festgelegten Kriterien zugeordnet (siehe Checkliste: Zuweisung der Aufgaben zu den Kriterien). Die Leistungsfeststellung ist transparent und Ausgangspunkt für weitere Fördermaßnahmen. Zu beachten: • Die Probe zu dem STARTERKIT kann den unterrichtlichen Schwerpunkten der Klasse angepasst werden. • Vor der Probe muss den Schülern mitgeteilt werden, dass am Ende noch Fragen zum Grundwissen zu lösen sind. Die Schüler schätzen sehr schnell ihre Fähigkeiten bei der Lösung aller Aufgaben ein und bearbeiten zum Teil die Aufgaben am Ende noch vor den anderen. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 51 Modulare Förderung – Mathematik LEISTUNGSFESTSTELLUNG Name: VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) Klasse: Datum: Note: Ø 1) Welche Aussagen stimmen? Kreuze an. 2P ¨ Ein Würfel ist ein besonderer Quader. ¨ Wenn ich die Kantenlänge eines Würfels verdopple, verdoppelt sich auch sein Volumen. ¨ Die Summe aller Teilflächen eines Quaders ergibt die Oberfläche des Quaders. ¨ Beim Quader sind alle Kanten gleich lang. Ø 2) Ermittle Volumen und Oberfläche des großen Würfels. Beschreibe dein Vorgehen. 2P 1 cm Ø 3) Berechne die Oberfläche der Figur. 5 cm 3 cm 3 cm 52 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER 2P Modulare Förderung – Mathematik LEISTUNGSFESTSTELLUNG VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) LÖSUNG Ø 1) Welche Aussagen stimmen? Kreuze an. 2P ý Ein Würfel ist ein besonderer Quader. ¨ Wenn ich die Kantenlänge eines Würfels verdopple, verdoppelt sich auch sein Volumen. ý Die Summe aller Teilflächen eines Quaders ergibt die Oberfläche des Quaders. ¨ Beim Quader sind alle Kanten gleich lang. Ø 2) Ermittle Volumen und Oberfläche des großen Würfels. Beschreibe dein Vorgehen. 2P Volumen = 64 cm³ Oberfläche = 96 cm² Volumen: – ermitteln, wie viele Würfel in die Bodenfläche passen (16) – Ergebnis mit der Anzahl der Würfelschichten (4) multiplizieren 1 cm Oberfläche: – Bodenfläche mit 16 Einheitsquadraten mit Anzahl der Seitenflächen (6) multiplizieren Ø 3) Berechne die Oberfläche der Figur. 2P Oberfläche = 2 • Grundfläche + Mantelfläche Oberfläche = 2 • Grundfläche + UmfangGrundfläche • HöheKörper 5 cm Oberfläche = 2 • (3 • 3) + 12 • 5 = 78 cm² 3 cm 3 cm VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 53 Modulare Förderung – Mathematik ØØ 4) Neben einem Koffer liegt ein Fußball. Welches Volumen hat der Koffer in etwa? Erkläre dein Vorgehen. 2P ØØ 5) Ein Quader ist 20 cm breit, 30 cm lang und 20 cm hoch. Wie viele cm³ müssen weggeschnitten werden, damit der größtmögliche Würfel entsteht? 2P ØØ 6) Ein Quader hat die Länge a = 4 cm, die Breite b = 6 cm und die Höhe h = 5 cm. Wie groß sind Volumen und Oberfläche? 54 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER 3P Modulare Förderung – Mathematik ØØ 4) Neben einem Koffer liegt ein Fußball. Welches Volumen hat der Koffer in etwa? Erkläre dein Vorgehen. 2P Durchmesser des Fußballs: etwa 20 cm Breite des Koffers: etwa 25 cm Länge des Koffers: etwa 40 cm Höhe des Koffers: etwa 70 cm VKoffer = 2,5 dm • 4 dm • 7 dm = 70 dm³ Das Volumen eines Koffers wird meist in Liter angegeben, somit 70 l. ØØ 5) Ein Quader ist 20 cm breit, 30 cm lang und 20 cm hoch. Wie viele cm³ müssen weggeschnitten werden, damit der größtmögliche Würfel entsteht? 2P Volumen = Grundfläche • Höhe Volumen = Länge • Breite • Höhe Volumen = 20 cm • 30 cm • 20 cm Volumen = 12 000 cm³ größtmöglicher Würfel hat die Maße 20 cm • 20 cm • 20 cm Volumen = Grundfläche • Höhe Volumen = 20 cm • 20 cm • 20 cm Volumen = 8000 cm³ Weggeschnitten werden: VolumenQuader – VolumenWürfel = 12000 cm³ – 8000 cm³ = 4 000 cm³ ØØ 6) Ein Quader hat die Länge a = 4 cm, die Breite b = 6 cm und die Höhe h = 5 cm. Wie groß sind Volumen und Oberfläche? 3P Volumen = Grundfläche • Höhe Volumen = 4 cm • 6 cm • 5 cm Volumen = 120 cm³ Oberfläche = 2 • Grundfläche + Mantelfläche Oberfläche = 2 • 4 cm • 6 cm + 20 cm • 5 cm Oberfläche = 148 cm² VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 55 Modulare Förderung – Mathematik ØØ 1P 7) Finde zwei verschiedene Quader mit einem Volumen von 36 cm³. ØØ 8) Können folgende Angaben für einen Quader stimmen? Streiche Falsches durch. VQ = G • h K OQ = 46 cm VQ = a • b • h K OQ = 2 • G + UG • hK VQ = 0,76 cm2 OQ = 2 • a • b • c VQ = 4,12 mm³ OQ = 12 km² 2P ØØ 9) Mateo hat eine Spielzeugkiste. In diese Kiste soll er sein Spielzeug füllen, damit sein Kinderzimmer ordentlich aufgeräumt aussieht. In die Kiste gibt er 3 Teddybären, 2,5 kg Bausteine und 4 Bilderbücher (jedes Buch 12 cm lang, 10 cm breit und 2,4 cm hoch). Auf der Spielzeugkiste steht, dass sie 400 l fasst. Wie hoch ist die Kiste, wenn sie 100 cm lang, 0,5 m breit und 2 Jahre alt ist? 3P ØØØ 10) Ein Würfel hat eine Oberfläche von 96 cm². Wie groß ist sein Volumen? 56 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER 2P Modulare Förderung – Mathematik ØØ 7) Finde zwei verschiedene Quader mit einem Volumen von 36 cm³. 1P Alle Lösungsvorschläge, bei denen das Produkt aus Länge, Breite und Höhe 36 cm³ ergibt, sind richtig. z. B. Länge in cm 3 6 12 12 Breite in cm 2 1 0,5 1 Höhe in cm 6 6 6 3 ØØ 8) Können folgende Angaben für einen Quader stimmen? Streiche Falsches durch. VQ = G • h K 2 VQ = 0,76 cm OQ = 46 cm VQ = a • b • h K OQ = 2 • G + UG • hK OQ = 2 • a • b • c VQ = 4,12 mm³ OQ = 12 km² 2P ØØ 9) Mateo hat eine Spielzeugkiste. In diese Kiste soll er sein Spielzeug füllen, damit sein Kinderzimmer ordentlich aufgeräumt aussieht. In die Kiste gibt er 3 Teddybären, 2,5 kg Bausteine und 4 Bilderbücher (jedes Buch 12 cm lang, 10 cm breit und 2,4 cm hoch). Auf der Spielzeugkiste steht, dass sie 400 l fasst. Wie hoch ist die Kiste, wenn sie 100 cm lang, 0,5 m breit und 2 Jahre alt ist? 3P Volumen = Länge • Breite • HöheKörper 400 dm³ = 10 dm • 5 dm • h 400 dm² = 50 dm² • h h = 400 dm² : 50 dm² h = 8 dm Antwort: Die Spielzeugkiste ist 8 dm hoch. ØØØ 10) Ein Würfel hat eine Oberfläche von 96 cm². Wie groß ist sein Volumen? 2P OberflächeWürfel = 2 • Grundfläche + Mantelfläche (bzw.: OW = 6 • a2) OberflächeWürfel = 2 • a • a + 4 • a • a 96 cm² = 6 • a • a / : 6 16 cm² = a • a Schüler überlegen sich, welche Zahl mit sich selbst malgenommen 16 ergibt. (Lösung: 4) VolumenWürfel = a • a • a VolumenWürfel = 4 • 4 • 4 VolumenWürfel = 64 cm³ VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 57 Modulare Förderung – Mathematik ØØØ 11) Deine Klasse möchte für das Sportfest ein Siegespodest herstellen. Wie viel m² Holz werden mindestens benötigt? Überlege dir sinnvolle Maße und berechne den Holzbedarf. Trage die gewählten Maße in der Skizze ein. 2P ØØØ 12) Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 12 cm. Die Länge wird um 3 cm vergrößert und die Breite um 2 cm verkleinert, sodass ein Quader entsteht. Welche Oberfläche hat dieser Quader? 3P Grundwissen: Ø G1) Wie viel fehlt? 1P 2,5 m³ auf 1 750 dm³ ___________ Ø G2) Setze die Zahlenreihe um zwei Zahlen fort. 1P 2 – 3 – 5 – 8 – 12 – _____ – _____ Ø G3) Wenn du zu einer Zahl 12 addierst und das Ergebnis mit 3 multiplizierst erhältst du 42. Wie heißt die Zahl? 1P G4) Ein Rechteck hat einen Umfang von 28 cm und den Flächeninhalt von 48 cm². Wie lang und wie breit ist das Rechteck? Löse durch Probieren. 1P Ø 58 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik ØØØ 11) Deine Klasse möchte für das Sportfest ein Siegespodest herstellen. Wie viel m² Holz werden mindestens benötigt? Überlege dir sinnvolle Maße und berechne den Holzbedarf. Trage die gewählten Maße in der Skizze ein. 2P Alle sinnvollen und nachvollziehbaren Ansätze können gewertet werden. Auf dem Podest wird in etwa 40 cm x 40 cm bis 70 cm x 70 cm Platz benötigt. Die einzelnen Stufen unterscheiden sich in ihrer Höhe um ca. 20 cm – 40 cm. ØØØ 12) Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 12 cm. Die Länge wird um 3 cm vergrößert und die Breite um 2 cm verkleinert, sodass ein Quader entsteht. Welche Oberfläche hat dieser Quader? 3P neue Länge: 12 cm + 3 cm = 15 cm neue Breite: 12 cm – 2 cm = 10 cm Höhe bleibt 12 cm Oberfläche = 2 • Grundfläche + Mantelfläche Oberfläche = 2 • Grundfläche + UmfangGrundfläche • HöheKörper Oberfläche = 2 • 10 cm • 15 cm + 50 cm • 12 cm Oberfläche = 900 cm² Grundwissen: Ø G1) Wie viel fehlt? 1P 2,5 m³ auf 1 750 dm³ 750 dm³ / 0,75 m³ ___________ Ø G2) Setze die Zahlenreihe um zwei Zahlen fort. 1P 17 – _____ 23 2 – 3 – 5 – 8 – 12 – _____ ØØ G3) Wenn du zu einer Zahl 12 addierst und das Ergebnis mit 3 multiplizierst erhältst du 42. Wie heißt die Zahl? (x + 12) • 3 = 42 1P x=2 Ø G4) Ein Rechteck hat einen Umfang von 28 cm und den Flächeninhalt von 48 cm². Wie lang und wie breit ist das Rechteck? Löse durch Probieren. 1P Die richtige Antwort lautet: 8 cm und 6 cm. 8 cm • 6 cm = 48 cm² 2 • 8 cm + 2 • 6 cm = 28 cm VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 59 Modulare Förderung – Mathematik 60 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE (JGST. 6) WARM-UP-PHASE L LEHRERINFO Die Warm-up-Phase ist ein wesentlicher Faktor für kompetenzorientiertes Lernen. In dieser Phase wird ‚mathematisches Handwerkszeug‘ kontinuierlich angewendet und dadurch nachhaltiges Lernen sowie der Ausbau weiterer Kompetenzen unterstützt. Warm-up-Aufgaben • • • • werden als feste Routine zu Beginn jeder Mathematikstunde eingesetzt, wiederholen und sichern die Grundlagen aller mathematischen Themenbereiche, greifen innerhalb einer Woche alle mathematischen Themen auf, weisen einen niedrigen Schwierigkeitsgrad auf, da Basiswissen wiederholt und gesichert wird. Das Konzept der modularen Förderung ist auf nachweisbaren Kompetenzerwerb ausgerichtet, wobei Kompetenzen nicht eine momentane Kenntnislage, sondern dauerhafte Fähigkeiten in Mathematik ausweisen. Um dies zu stützen, eignen sich die Warm-up-Aufgaben in besonderer Weise. Unabhängig von der modularen Förderung soll die Warm-up-Phase in jeder Mathematikstunde fest verankert sein. VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 61 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 1) 1. Aufgabe 96 :4 ? ? 26 •2 ? 2. Aufgabe Paul macht einen Wanderurlaub. Am ersten Tag wandert er 32 km, am zweiten Tag 16 km, am dritten Tag 37 km und am vierten Tag fährt er mit dem Zug in die noch 62 km entfernte Zielstadt. Wie weit ist er gewandert? 3. Aufgabe Wie viele Stunden dauern vier Schulstunden ohne Pausen? 4. Aufgabe Subtrahiere die kleinste dreistellige Zahl von der größten dreistelligen Zahl. 5. Aufgabe Heiko hat 2 Liter Saft. Er hat schon zwei 400 ml Gläser ausgeschenkt. Wie viele 200 ml Gläser kann er noch ausschenken? 62 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 1) – LÖSUNGEN 1. Aufgabe 96 :4 24 +2 26 •2 52 2. Aufgabe Paul macht einen Wanderurlaub. Am ersten Tag wandert er 32 km, am zweiten Tag 16 km, am dritten Tag 37 km und am vierten Tag fährt er mit dem Zug in die noch 62 km entfernte Zielstadt. Wie weit ist er gewandert? 32 km + 16 km + 37 km = 85 km 3. Aufgabe 3 Stunden Wie viele Stunden dauern vier Schulstunden ohne Pausen? 4. Aufgabe Subtrahiere die kleinste dreistellige Zahl von der größten dreistelligen Zahl. 999 – 100 = 899 5. Aufgabe Heiko hat 2 Liter Saft. Er hat schon zwei 400 ml Gläser ausgeschenkt. Wie viele 200 ml Gläser kann er noch ausschen6 Gläser ken? VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 63 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 2) 1. Aufgabe 29 + 11 ? 2. Aufgabe •5 ? :4 ? Welcher Zeitraum ist länger? a) 24. Dezember bis 8. Januar b) 12. August bis 21. August 3. Aufgabe Dein Lehrer hat Geld eingesammelt. Er hat nur 1- und 2-EuroMünzen bekommen. Insgesamt sind es 10 Münzen im Wert von 14 Euro. Wie viele 1- und 2-Euro-Münzen hat er bekommen? 4. Aufgabe Welcher Buchstabe folgt? A, B, D, G, K, ? 5. Aufgabe Welche Zahl zwischen 1 und 100 ist ohne Rest durch 2, 4 und 23 teilbar? 64 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 2) – LÖSUNGEN 1. Aufgabe 29 + 11 40 2. Aufgabe •5 200 :4 50 Welcher Zeitraum ist länger? a) 24. Dezember bis 8. Januar 15 Tage b) 12. August bis 26. August 14 Tage 3. Aufgabe Dein Lehrer hat Geld eingesammelt. Er hat nur 1- und 2-EuroMünzen bekommen. Insgesamt sind es 10 Münzen im Wert von 14 Euro. Wie viele 1- und 2-Euro-Münzen hat er bekommen? 4 2-Euro-Münzen und 6 1-Euro-Münzen 4. Aufgabe Welcher Buchstabe folgt? A, B, D, G, K, P 5. Aufgabe Welche Zahl zwischen 1 und 100 ist ohne Rest durch 2, 4 und 23 teilbar? 92 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 65 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 3) 1. Aufgabe 28 :4 2. Aufgabe + 13 ? •3 ? ? Rechne um. a) 35 dm = …... mm b) 525 mm = …… dm 3. Aufgabe In einem Seifenspender sind noch 425 ml Seife. Bei jeder Betätigung des Spenderknopfes kommt 5 ml Seife heraus. Wie oft kannst du noch den Spender betätigen bis er leer ist? 4. Aufgabe Multipliziere die Summe aus 23 und 32 mit 3. 5. Aufgabe In welches Glas passt genau a) b) 20 ml 1 4 c) 25 ml Liter? d) 200 ml e) 250 ml f) 2,5 ml 66 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER 4l Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 3) – LÖSUNGEN 1. Aufgabe 28 :4 2. Aufgabe + 13 7 20 •3 60 Rechne um. 3500 mm a) 35 dm = ………… 5,25 dm b) 525 mm = …… 3. Aufgabe In einem Seifenspender sind noch 425 ml Seife. Bei jeder Betätigung des Spenderknopfes kommt 5 ml Seife heraus. Wie oft kannst du noch den Spender betätigen bis er leer ist? 85-mal 4. Aufgabe 165 Multipliziere die Summe aus 23 und 32 mit 3. 5. Aufgabe In welches Glas passt genau a) b) 20 ml 1 4 c) 25 ml Liter? d) 200 ml e) 250 ml f) 2,5 ml 4l VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 67 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 4) 1. Aufgabe 12 ß –8 + 11 ? :5 ? ? 2. Aufgabe a) 430 dm²= ? m² 3. Aufgabe b) 480 min = ? h Wie viele Quadrate findest du? 4. Aufgabe Ein Rechteck hat einen Umfang von 42 m und einen Flächeninhalt von 108 m². Wie lang und wie breit ist das Rechteck? 5. Aufgabe Setze die Zahlenreihe um mindestens vier Zahlen fort. 90 – 81 – 72 – 63 – … 68 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 4) 1. Aufgabe 12 ß –8 4 + 11 :5 15 3 2. Aufgabe a) 430 dm²= 4,3 m² 3. Aufgabe b) 480 min = 8 h Wie viele Quadrate findest du? 11 Quadrate 4. Aufgabe Ein Rechteck hat einen Umfang von 42 m und einen Flächeninhalt von 108 m². Wie lang und wie breit ist das Rechteck? 12 m lang und 9 m breit 5. Aufgabe Setze die Zahlenreihen um mindestens vier Zahlen fort. 90 – 81 – 72 – 63 – 54 – 45 – 36 – 27 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 69 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 5) 1. Aufgabe 45 :3 2. Aufgabe ? •2 + 27 ? Wie viel fehlt? a) 833 g auf 1 kg b) 12 cm² auf 1 m² 3. Aufgabe ? Wie viele Quadrate findest du? 4. Aufgabe Linda hat noch 3,84 €. Sie möchte Semmeln zum Preis von 0,45 € pro Stück kaufen. Wie viele Semmeln bekommt sie? 5. Aufgabe Bilde aus den Ziffern 3, 4, 5, 6 die größtmögliche und die kleinstmögliche vierstellige Zahl. Jede Ziffer muss einmal verwendet werden. 70 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 5) 1. Aufgabe 45 :3 2. Aufgabe 15 •2 30 + 27 57 Wie viel fehlt? a) 833 g auf 1 kg 167 g b) 12 cm² auf 1 m² 9 988 cm² 3. Aufgabe Wie viele Quadrate findest du? 9 Quadrate 4. Aufgabe Linda hat noch 3,84 €. Sie möchte Semmeln zum Preis von 0,45 € pro Stück kaufen. Wie viele Semmeln bekommt sie? 8 Stück (8 • 0,45 € = 3,60 €) 5. Aufgabe Bilde aus den Ziffern 3, 4, 5, 6 die größtmögliche und die kleinstmögliche vierstellige Zahl. Jede Ziffer muss einmal verwendet werden. 6 543 und 3 456 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 71 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 6) 1. Aufgabe ? :2 2. Aufgabe a) ? –9 ? •3 18 Wie viel fehlt? 38 m² auf 120 m² b) 540 mm auf 1 Meter 3. Aufgabe Zu der Zahl 10 wird 25 addiert, 13 subtrahiert, wieder 20 addiert. Nun wird mit 2 multipliziert. Wie heißt das Ergebnis? 4. Aufgabe Welche geometrischen Formen haben vier rechte Winkel? 5. Aufgabe Welcher dieser Brüche hat den größten Wert? a) 1 b) 3 c) 1 1 d) 8 3 1 3 5 72 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 6) 1. Aufgabe 30 :2 2. Aufgabe a) 15 –9 6 •3 18 Wie viel fehlt? 38 m² auf 120 m² b) 540 mm auf 1 Meter 82 m² 460 mm 3. Aufgabe Zu der Zahl 10 wird 25 addiert, 13 subtrahiert, wieder 20 addiert. Nun wird mit 2 multipliziert. Wie heißt das Ergebnis? 84 4. Aufgabe Welche geometrischen Formen haben vier rechte Winkel? Rechteck und Quadrat 5. Aufgabe Welcher dieser Brüche hat den größten Wert? a) 1 b) 3 c) 1 1 d) 8 3 1 3 5 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 73 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 7) 1. Aufgabe ? – 12 2. Aufgabe •4 20 ? + 19 ? Wie viel fehlt? a) 380 ml auf 1,18 l b) 45 cm auf 1,05 m 3. Aufgabe 1 Butterbreze 1,40 € 2 Semmeln, jeweils 0,35 € 1 Getränk 1,25 € Wie viel Geld bekommst du zurück, wenn du mit einem 5-Euro-Schein bezahlst? 4. Aufgabe Welches ist die größte dreistellige Zahl, die ohne Rest durch 7 teilbar ist? 5. Aufgabe Welche Figur hat den kleinsten Flächeninhalt? A B C 74 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER D Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 7) 1. Aufgabe 32 – 12 2. Aufgabe •4 20 80 + 19 99 Wie viel fehlt? a) 380 ml auf 1,18 l 800 ml b) 45 cm auf 1,05 m 60 cm 3. Aufgabe 1 Butterbreze 1,40 € 2 Semmeln, jeweils 0,35 € 1 Getränk 1,25 € Wie viel Geld bekommst du zurück, wenn du mit einem 5-Euro-Schein bezahlst? 1,65 € 4. Aufgabe Welches ist die größte dreistellige Zahl, die ohne Rest durch 7 teilbar ist? 994 = 142 • 7 5. Aufgabe Welche Figur hat den kleinsten Flächeninhalt? A B C D VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 75 Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 8) 1. Aufgabe ? –2 ? :6 ? •5 200 2. Aufgabe a) 36 l = ? dm³ b) 3,4 kg = ? g 3. Aufgabe Ein Rechteck hat den Flächeninhalt von 24 cm². Nenne 4 mögliche Maße für Länge und Breite. 4. Aufgabe Nenne alle zweistelligen Zahlen, die ohne Rest durch 3 und 5 dividierbar sind. 5. Aufgabe Welche dieser Zahlen hat keine einzige Symmetrieachse? a) 8 b) 6 c) 808 d) 3 e) 0 76 Starterkit Mathematik VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Modulare Förderung – Mathematik KOPFRECHNEN (VO 8) 1. Aufgabe 242 –2 :6 240 40 •5 200 2. Aufgabe a) 36 l = 36 dm³ b) 3,4 kg = 3 400 g 3. Aufgabe Ein Rechteck hat den Flächeninhalt von 24 cm². 1 cm • 24 cm Nenne 4 mögliche Maße 2 cm • 12 cm für Länge und Breite. 3 cm • 8 cm 4 cm • 6 cm 4. Aufgabe Nenne alle zweistelligen Zahlen, die ohne Rest durch 3 und 5 dividierbar sind. 15, 30, 45, 60, 75, 90 5. Aufgabe Welche dieser Zahlen hat keine einzige Symmetrieachse? a) 8 b) 6 c) 808 d) 3 e) 0 VOLUMEN UND OBERFLÄCHE VON WÜRFEL UND QUADER Starterkit Mathematik 77