Übungsaufgaben - Lehrstuhl Strömungsmechanik

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FAKULTÄT FÜR
MASCHINENBAU
UND SCHIFFSTECHNIK (MSF)
Übungsaufgaben
LEHRSTUHL STRÖMUNGSMECHANIK | Prof. Dr.-Ing. habil. A. Leder
Universität Rostock | Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik | Albert-Einstein-Straße 2 | D 18059 Rostock
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FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU
Übung zur Vorlesung „Numerische Fluidmechanik“
1. Aufgabenblatt: Panelverfahren
Aufgabe 1
Berechnen Sie mit Hilfe des Panelverfahrens die Zylinderumströmung bei horizontaler Anströmung sowie die dadurch
induzierte Druckverteilung im Strömungsfeld und an der Zylinderoberfläche. Wählen Sie für elliptische Zylinder mit den
Achsenverhältnissen a/b = 1, 2 und 4 jeweils eine Diskretisierung der Zylinderoberfläche mit 4, 8, 16 und 32 Panels.
Vergleichen Sie die berechneten Ergebnisse mit dem im Modul „Strömungsphysik“ abgeleiteten exakten Druckverlauf
am Kreiszylinder (a/b = 1, cp = 1 – 4 sin2 φ) und den in Abb. 1 angegebenen potentialtheoretischen Druckverteilungen.
Gegeben: |U∞| = 1,0 m/s; a/b = 1, 2, 4
Abb. 1: Potentialtheoretische Druckverteilung bei der Umströmung von elliptischen Zylindern mit den Achsenverhältnissen a/b = 1, 2 und 4 bei Anströmung parallel zur langen Achse a
Aufgabe 2
Berechnen Sie mit Hilfe des Panelverfahrens die Umströmung symmetrischer NACA-Profile sowie die dadurch
induzierte Druckverteilung im Strömungsfeld und an der Profiloberfläche.
a) Wählen Sie für das Profil NACA-0012 bei horizontaler Anströmung (α = 0°, Ma = 0,4) eine Diskretisierung der
Profiloberfläche mit 7, 16 und 25 Panels. Vergleichen Sie die berechneten Ergebnisse mit der in Abb. 2
angegebenen experimentellen Druckverteilung. Wie verändert sich die Druckverteilung in Abhängigkeit der
Diskretisierung der Profiloberfläche? Die Kutta-Bedingung wird bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt.
b) Bestimmen Sie den Einfluss der Profildicke auf die Druckverteilung auf der Profiloberfläche. Verwenden Sie
für die Profile NACA-0006, NACA-0012 und NACA-0024 bei horizontaler Anströmung (α = 0°, Ma = 0,4) eine
Diskretisierung der Profiloberfläche mit 25 Panels. Wie entwickelt sich das Druckminimum in Abhängigkeit der
Profildicke? Die Kutta-Bedingung wird bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt.
c) Berechnen Sie die Druckverteilung auf der Oberfläche der Profile NACA-0006, NACA-0012 und NACA-0024
bei den Anstellwinkeln α = 0°, 5°, 10°, 15° sowie 20°(Ma = 0,0) ohne und mit Berücksichtigung der KuttaBedingung. Verwenden Sie für die Diskretisierung der Profiloberfläche 25 Panels. Beobachten Sie die
Strömung an der Profilhinterkante. Identifizieren Sie die Saug- und die Druckseite der Profile. Bestimmen Sie
den Wert und die Lage des Druckminimums. Wie unterscheiden sich die Ergebnisse der Berechnungen ohne
und mit Berücksichtigung der Kutta-Bedingung?
Gegeben: |U∞| = 1,0 m/s
*
——
Panelverfahren
Experiment (Amick)
Abb. 2: Druckverteilung für das Profil NACA-0012 bei einem Anstellwinkel α = 0° und der Machzahl Ma = 0,4
(Quelle: Fletcher; Computational Techniques for Fluid Dynamics, vol. 1+2, Springer Verlag, 1988)
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Struktur des Programms FLU.exe
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36
Bedienungsanleitung des Programms FLU.exe
Eingabefeld 1
Nachdem Sie einen Zahlenwert angegeben haben, drücken Sie die [Enter]-Taste. Sie können mit Hilfe der [←]-Taste
den angegebenen Wert korrigieren.
Eingabefeld 2
Sind alle angegebenen Zahlen richtig, wählen Sie „OK“. Sonst „Cancel“. Anschließend bestätigen Sie Ihre Wahl durch
Drücken der [Enter]-Taste. Wenn Sie „Cancel“ gewählt haben, können Sie die Eingabe wiederholen. Mit der TabulatorTaste können Sie zwischen „OK“ und „Cancel“ umschalten. Mit der [F3]-Taste verlassen Sie dieses Programm.
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Darstellung der Druckverteilung
Drücken Sie die [↑]-Taste, werden der Druck, die Geschwindigkeit und die Ortskoordinaten an jedem Kontrollpunkt
angezeigt. Mit der [Enter]-Taste schließen Sie dieses Grafikfenster. Mit der [F3]-Taste verlassen Sie dieses Programm.
Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes
Mit der [Enter]-Taste schließen Sie dieses Grafikfenster. Mit der [F3]-Taste verlassen Sie dieses Programm.
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Vergleich der Ergebnisse: „exakte potentialtheoretische Lösung – Panelrechnung“
Mit der [Enter]-Taste schließen Sie dieses Grafikfenster. Mit der [F3]-Taste verlassen Sie dieses Programm.
Abschluss der Berechnung und Ergebnisausgabe
Mit der [Tabulator]-Taste wählen Sie, ob Sie das Programm beenden oder mit diesem Programm weiter arbeiten
wollen.
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2. Aufgabenblatt: Finite-Differenzen Verfahren
Aufgabe 1
Lösen Sie die eindimensionale stationäre Konvektion-Diffusion-Gleichung mit Hilfe der Finiten-Differenzen Methode.
Verwenden Sie für die Diskretisierung des Konvektionsterms (1. Ableitung) ein Verfahren niederer Ordnung (UDS1)
sowie höherer Ordnung (CDS1) und des Diffusionsterms ein Verfahren höherer Ordnung (CDS2). Vergleichen Sie die
Ergebnisse der Diskretisierungen (UDS1/CDS2, CDS1/CDS2) mit 10, 20 und 40 Elementen sowie der analytischen
Lösung. Diskutieren Sie diese Ergebnisse im Hinblick auf die Begriffe Beschränktheit und Stabilität. Schätzen Sie den
Diskretisierungsfehler ab.
∂(ρ u Φ) ∂ ⎛ ∂Φ ⎞
∂x = ∂x ⎝ Γ ∂x ⎠
Φ(x = L) = ΦL
Randbedingungen: Φ(x = 0) = Φ0;
u = const.;
ρ = const.
eindimensionale stationäre Konvektion-Diffusion-Gleichung:
ex·Pe/L – 1
analytische Lösung: Φ = Φ0 + ePe – 1 (ΦL – Φ0)
(vgl. Abb. 1)
ρ u L konvektiver Transport
mit Peclet-Zahl Pe = Γ = diffusiver Transport
Voraussetzungen:
u ≥ 0 und Φ0 < ΦL
Gegeben: L = 1,0 m; u = 1,0 m/s; ρ = 1,0 kg/m3; Γ = 0,02 kg/(m·s); Φ0 = 0,0; ΦL = 1,0
2. Aufgabenblatt: Finite-Differenzen Verfahren
Abb. 1: Analytische Lösung der eindimensionale stationäre Konvektion-Diffusion-Gleichung für verschiedene
Peclet-Zahlen Pe
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3. Aufgabenblatt: Finite-Volumen Verfahren
Aufgabe 1
Eine quadratische Platte hat über das gesamte Gebiet eine konstante Wärmequelle. An zwei gegenüberliegenden
Seiten sei die Temperatur und an den beiden anderen Seiten der Wärmefluss vorgegeben (alle Temperaturen in K,
siehe Abb. 1).
stationäre Wärmeleitungsgleichung: -κ ΔT = ρ q
∂2T ∂2T
-κ ⎛ ∂x2 + ∂y2 ⎞ = ρ q
⎝
⎠
Randbedingungen: T|y = 0 = 20;
κ·(∂T/∂x)|x=0 = -2·y3;
T|y = L = 2·x3 – 8·x + 12;
κ·(∂T/∂x)|x=L = -2·y3 + 24·y
analytische Lösung: T(x, y) = x3 y – x y3 – 2 y2 + 20
Gegeben: L = 2,0 m; ρ = 1,0 kg/m3; q = 8,0 N·m/(kg·s); κ = 2 N/(K·s)
a) Berechnen Sie die Lösung für die in Abb. 2 gezeigten Gitter mit Hilfe des Finiten-Volumen Verfahrens.
Verwenden Sie für die Diskretisierung im Inneren ein zentrales Differenzenschema und am Rand ein
Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferenzenschema. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der analytischen Lösung.
b) Berechnen Sie die Lösung für äquidistante Gitter mit 10×10, 20×20 und 40×40 Elementen. Vergleichen Sie
die Ergebnisse der Berechnungen untereinander sowie mit der analytischen Lösung. Schätzen Sie den
Diskretisierungsfehler ab.
T = 2·x3 – 8·x + 12
∂T
κ ∂x = -2·y3
∂T
κ ∂x = -2·y3 + 24·y
T = 20
Abb. 1: Quadratische Platte mit einer über dem gesamte Gebiet konstanten Wärmequelle – Randbedingungen (alle
Temperaturen in K)
P3
P1
P3
P4
P1
P2
P4
P2
a) äquidistantes Gitter
b) nicht äquidistantes Gitter
Abb. 2: Quadratische Platte mit einer über dem gesamte Gebiet konstanten Wärmequelle – numerische Gitter
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Aufgabe 2
Eine skalare Größe Φ wird im Geschwindigkeitsfeld einer Eckenströmung (Staupunktströmung) transportiert (vgl.
Abb. 3). Die rechte Begrenzung des Strömungsfeldes (x/L = 0) ist eine feste Wand mit einer linearen Verteilung der
skalare Größe Φ(y). Die obere Seite (y/L = 1) besitzt die Einlassbedingung Φ = 0 und die linke Seite (x/L = 1) die Auslassbedingung ∂Φ/∂x = 0. Die Symmetriebedingung ∂Φ/∂y = 0 stellt die untere Begrenzung des Strömungsfeldes dar.
Stofftransportgleichung:
Geschwindigkeitsfeld:
∂
∂xj (ρ Φ uj) dV =
∫
∫
V
V
∂ ⎛ ∂Φ⎞
∂xj ⎝Γ ∂xj ⎠ dV
l ⎧⎨ u ⎫⎬ ⎧⎨ x ⎫⎬
U = ⎩ v ⎭ = ⎩ -y ⎭
Stromlinien: x·y = const.
Berechnen Sie die Lösung für äquidistante Gitter mit 10×10, 20×20 und 40×40 Elementen mit Hilfe des FinitenVolumen Verfahrens. Approximieren Sie den konvektiven Fluss mittels Mittelpunktsregel und Upwind-Differenzenschema (UDS) sowie zentralem Differenzenschema (CDS). Stellen Sie die Ergebnisse als Isolinien Φ = const. im
Bereich 0,1 ≤ Φ ≤ 0,9 mit einer Schrittweite ΔΦ = 0,1 für die Diffusionskoeffizenten Γ = 0,01 und Γ = 0,001 dar.
Vergleichen Sie die Ergebnisse der Berechnungen untereinander. Schätzen Sie den Diskretisierungsfehler ab.
Hinweis:
Auf jeder Zellseite im kartesischen Gitter ist die Normalenkomponente des Geschwindigkeitsvektors
konstant, d. h. die Approximationen sind nur für die Berechnung der skalaren Größe Φ erforderlich.
Gegeben: L = 1,0 m; ρ = 1,0 kg/m3; Γa) = 0,01; Γb) = 0,001; u = x; v = -y
Einlass, Φ = 0
— Stromlinien, x·y = const.
Wand, Φ = Φ(y)
∂Φ
Auslass, ∂x = 0
∂Φ
Symmetrie, ∂x = 0
Abb. 3: Transport einer skalaren Größe in einer Staupunktströmung – Randbedingungen
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Aufgabe 3
Berechnen Sie die instationäre Temperaturverteilung T(t, x) in einem Stab mit konstanten Materialeigenschaften und
der Länge L. Die Randbedingungen lauten T(t, 0) = 0 und T(t, L) = 1. Als Anfangsbedingung ist die Temperaturverteilung T(0, x) = sin(π·x) + x im Stab vorgegeben (alle Temperaturen in K).
∂T
∂2T
instationäre Wärmeleitungsgleichung: ∂t – α ∂x2 = 0
Randbedingungen: T(t, x=0) = 0;
Anfangsbedingung: T(t=0, x) = sin(π·x) + x
-α t π²
analytische Lösung: T(t, x) = e
κ
mit α = ρ c
P
T(t, x=L) = 1
· sin(π·x) + x
Gegeben: L = 1,0 m; α = 1,0 m2/s
a) Verwenden Sie das Finite-Volumen Verfahren mit zwei äquidistanten Kontrollvolumen und zentralem
Differenzenschema 2. Ordnung zur räumlichen Diskretisierung. Formulieren Sie die resultierenden
gewöhnlichen Differentialgleichungen für die beiden Kontrollvolumen. Berechnen Sie mit Hilfe des expliziten
und impliziten Euler-Verfahrens das zeitliche Temperaturverhalten bis zum Zeitpunkt t = 0,4s jeweils mit den
Zeitschritten Δta) = 0,2s und Δtb) = 0,1s. Diskutieren Sie die Ergebnisse im Vergleich untereinander und zur
der analytischen Lösung.
b) Berechnen Sie die Lösung für äquidistante Gitter mit 10, 20 und 40 Elementen mit Hilfe des Finiten-Volumen
Verfahrens (siehe Aufgabenteil a). Verwenden Sie für die Zeitdiskretisierung die ϑ-Methode, um Lösungen
nach dem expliziten und impliziten Euler-Verfahren sowie dem Crank-Nicholson-Verfahren zu erhalten.
Passen Sie die Zeitschritte Δt an die Gitterweite Δx an. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Berechnungen
untereinander sowie mit der analytischen Lösung. Schätzen Sie den Diskretisierungsfehler ab.
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