Quadratische Gleichungen und ihre Lösungsmethoden

Quadratische Gleichungen und ihre Lösungsmethoden
I
Die reinquadratische Gleichung
x2 + q = 0
x auf einer Seite isolieren
Lösung nur möglich, wenn q ! 0
x 2 = !q x1,2 = ± !q
II
Die gemischtquadratische Gleichung
x 2 + px = 0
Lösen durch Ausklammern
III
x(x + p) = 0
oder
x = 0.... ! ...x + p = 0
p-q-Formel oder a-b-c-Formel
Die Normalform der quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
quadratische Ergänzung
oder
p-q-Formel
2
x1,2 = !
IV
" p%
p
± $ ' !q
2
# 2&
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung
ax 2 + bx + c = 0
quadratische Ergänzung
oder
a-b-c-Formel
!b ± b2 ! 4ac
x1 , x2 =
2a
V
Die biquadratische Gleichung
ax 4 + bx 2 + c = 0
2
2
für x = z einsetzen ! az + bz + c = 0
!b ± b2 ! 4ac
,
z1 , z2 =
2a
x1,2 = ± z1 x3,4 = ± z2
Lösungsverfahren-quadratGl.doc
Substitution
Zurückführung auf die allgemeine
Form der quadratischen
Gleichung
dann zurück übersetzen
Quadratische Ergänzung
oder
Formel
ho
Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen:
Bei der Lösung von quadratischen Gleichungen entstehen Wurzelausdrücke.
Den Term (Ausdruck) unter der Wurzel nennt man Diskriminante (D).
Man unterscheidet drei Fälle:
{ }
Fall 1:
D=0
Es gibt genau eine Lösung. L = x1
Fall 2:
D>0
Es gibt zwei Lösungen. L = x1; x2
{ }
x1 , x2 =
Fall 3:
D<0
!b ± b2 ! 4ac
!b ! b2 ! 4ac
und x2 =
2a
2a
Es gibt keine Lösung. L =
{}
Lösen von Gleichungen höherer Ordnung als 2
Gleichungen höherer Ordnung als 2 müssen durch Ausklammern oder Substitution auf
quadratische oder lineare Gleichungen zurückgeführt werden, um sie systematisch algebraisch
mit den bisherigen Mitteln lösen zu können.
Ansonsten:
!
!
Lösungsverfahren-quadratGl.doc
grafisch lösen
Lösen durch Probieren und gegebenenfalls Polynomdivision.
Lösen mit Hilfe des Newton-Verfahrens
ho