Fuzzy-Decision-Support-Systeme

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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Fuzzy-Decision-Support-Systeme
1. Aufgabenblatt
WS 2006/2007
1.
Modellieren Sie die folgenden Ausdrücke mittels Fuzzy-Mengen
a. Große ganze Zahlen;
b. Betragsmäßig sehr kleine reelle Zahlen;
c. Mittelgroße Männer in der BRD;
d. Ungefähr 10-12 cm lang;
e. Hohe Geschwindigkeit bei Formel-1-Rennwagen.
2.
Bestimmen Sie alle α-Niveau-Mengen der folgenden Fuzzy-Mengen
~
a. A = {(3; 0,1), (4; 0,2), (5; 0,3), (6; 0,4), (7; 0,6), (8; 0,8), (10; 1), (12; 0,8), (14; 0,6)}
~
b. B = {( x,f B ( x )) f B ( x ) = [(1 + ( x − 10) 2 ) −1 ]}
für α = 0,3; 0,5; 0,8.
c.
für x ≤ 10
⎧0
~
C = { ( x, f C ( x )) } mit f C ( x ) = ⎨
− 2 −1
für x > 10
⎩(1 + ( x − 10) )
Geben Sie in den Teilaufgaben b. und c. die numerischen Werte für α = 0,3; 0,5; 0,8; 1 an und
skizzieren Sie über diese α-Niveaus den Verlauf der Zugehörigkeitsfunktionen.
3.
Welche der Fuzzy-Mengen in Aufgabe 2 sind konvex?
4.
Berechnen Sie die Kardinalität und die relative Kardinalität der nachfolgenden FuzzyMengen:
% aus Aufgabe 2. a. mit der stützenden Menge als Grundmenge.
a. A
~
B = {( 2; 0,4), (3; 0,6), (4; 0,8), (5; 1), (6; 0,8), (7; 0,6), (8; 0,4) }
~
c. C = {( 2; 0,4), (4; 0,8), (5; 1), (7; 0,6)
~
~
Bei den Mengen B und C sei die Grundmenge X = {1, 2, K ,10} .
b.
5.
Bestimmen Sie die Durchschnitts- und Vereinigungsmengen
%,B
% und C
% aus Aufgabe 4.
a. der Fuzzy-Mengen A
% und C
% aus Aufgabe 2.
b. der Fuzzy-Mengen B
2
6.
Bestimmen Sie den Durchschnitt und die Vereinigung der Komplementärmengen zu den
% und C
% aus Aufgabe 4.
Fuzzy-Mengen B
7.
Zeichnen Sie die Zugehörigkeitsfunktionen der nachfolgenden Fuzzy-Mengen. Welche
dieser Mengen stellt eine Fuzzy-Zahl dar und welche nicht?
a.
b.
c.
d.
e.
8.
⎧⎛ 5 − x ⎞ − 2
⎪⎜1 +
für x ≤ 5
⎟
2 ⎠
~
⎪⎝
A = { ( x , μ A ( x )) x ∈ R } mit μ A ( x ) = ⎨
−1
⎪⎛⎜ 2 x − 5 ⎞⎟
für x > 5
⎪⎜1 + 3 ⎟
⎠
⎩⎝
für 0 ≤ x < 1
⎧x
~
⎪
B = { ( x, μ B ( x )) x ∈ [0,3]} mit μ B ( x ) = ⎨1
für 1 ≤ x ≤ 2
⎪⎩3 − x für 2 < x ≤ 3
~
C = { (0; 0,4), (1; 1), (2; 0,7) }
~
D = { (1; 0,3), (2; 0,7), (3; 1), (4; 1), (5; 0,8), (7; 0,4), (8; 0,1)
⎧
⎪x + 2 für − 2 < x < −1
⎪
~
⎪
E = {( x , μ E ( x )) x ∈ R} mit f E ( x ) = ⎨ 1
für − 1 ≤ x ≤ 0
⎪
⎪ 1
für 0 < x
⎪
⎩1 + x 2
Gegeben sind die Fuzzy-Mengen
~
~
A1 = {(1; 0,6), (2; 0,8), (3; 1), (4; 0,6) } und A 2 = {(0; 0,5), (1; 0,7), (2; 0,9), (3; 1), (4; 0,4) }.
~
~
a. Bestimmen Sie die Zugehörigkeitsfunktion des cartesischen Produktes A1 × A 2 .
b. Bestimmen Sie die Zugehörigkeitsfunktionen
%1⊕A
% 2;
i. der erweiterten Addition A
~
~
ii. der erweiterten Subtraktion A1 ⊖ A 2 ;
~
~
iii. der erweiterten Multiplikation A1 ⊗ A 2 ;
~
~
iv. der erweiterten Division A 2 ⊘ A1 ;
~ ~
v. der erweiterten Maximumbildung M~
a x (A1 ,A 2 ) ;
~ ~ ~
vi. der erweiterten Minimumbildung M i n (A1 ,A 2 ) .
9.
Welche der nachfolgenden Funktionen sind Referenzfunktionen fi :[0, + ∞[→ [0, 1] ?
1
a. f1(x) = |x + 1|
b. f2(x) =
1 + x2
1
c. f3(x) = Max (-2x + 1, 0)
d. f4(x) =
, p > 0, a > 0
1 + ax p
e. f5(x) = e-bx, b > 0
3
10.
11.
Zeichnen Sie die Zugehörigkeitsfunktionen der folgenden L-R-Fuzzy-Zahlen und L-RFuzzy-Intervalle:
1
a.
~
M a = (5; 2; 1) LR
mit L(u) = Max (0, 1 - u) und R(u) =
b.
~
M b = ( 4; 2; 1) LR
mit L(u) = e-u und R(u) = Max (0, 1 - u)
c.
% c = −M
%a
M
d.
~
M d = (3; 5; 1; 2 )
mit L(u) =
1 + u2
1
und R(u) = Max (0, 1 - u)
1+ u
Gegeben sind die L-R-Fuzzy-Zahlen
~
~
~
M = (3; 1; 2 ) LR , N = ( 6; 2; 3) LR , K = ( 2; 1; 2 ) RL .
Bestimmen Sie mit den angegebenen (Näherungs-)Formeln
~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~
M ⊕ N, − K, N ⊖ K, M ⊗ N , K −1, N ⊘ K .
12.
Gegeben sind die L-R-Fuzzy-Intervalle
~
~
M = ( 2; 3; 1; 2 ) RL , N = (8; 9; 2; 3) LR
~ ~
~
a. Bestimmen Sie K ⊕ N und − M.
und
~
K = (5; 7; 2; 1) LR .
~ ~
b. Berechnen Sie mit Formel (1.71) näherungsweise K ⊗ N .
c. Formulieren Sie für positive Fuzzy-Intervalle
~
~
M = ( m1; m 2 ; α; β ) RL und N = ( n1; n 2 ; γ ; δ ) LR
~
~ ~
zunächst allgemein Näherungsformeln für
M −1 und N ⊘ M analog zu (1.66) bzw.
~
~ ~
(1.68). Berechnen Sie dann M −1 und N ⊘ M für das obige Zahlenbeispiel.
13.
14.
Gegeben sind die Referenzfunktionen L ( x ) = R ( x ) = (1 + x 2 ) −1 und die Fuzzy-Zahlen
~
~
~
K = (3; 1; 2 ) LR , M = ( −4; 2; 1) RL , N = ( 2; 0,5; 1) LR .
~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~
Berechnen Sie K ⊕ N, K ⊗ N, K ⊖ M , K ⊘ N .
Gegeben ist eine Zerlegung des Stichprobenraumes Ω = {1, 2,..., 9} in die disjunkten
Teilmengen
A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6} und C = {7, 8, 9}.
a. Ergänzen Sie die nachstehende Tabelle so, dass sich ein Wahrscheinlichkeits-, ein
Möglichkeits- bzw. ein λ-Fuzzy-Maß (mit λ = − 14 ) ergibt.
∅
g
P
Π
A
0,5
1
B
0,1
0,3
− 14
0,5
0,2
C
0,6
A∪B
A∪C
B∪C
Ω
4
b. Berechnen Sie aus der Possibility-Verteilung
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
π(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,8
1
1
das Möglichkeitsmaß für die aus A, B, und C aufgebaute BOOLEsche Mengenalgebra ƒ.
c. Berechnen Sie auf ƒ die Glaubens- und Plausibilitätsfunktion, wenn die Basiswahrscheinlichkeiten
m({1, 2}) = 0,2; m({3, 4, 5}) = 0,3; m({6}) = 0,1; m({6, 7, 8, 9}) = 0,4
vorliegen.
15.
Betrachten wir das Zufallsexperiment, das aus dem einmaligen Werfen eines Würfels und
dem Ziehen einer Kugel aus einer Urne besteht, in der fünf gleichartige, aber
verschiedenfarbige Kugeln mit den Farben weiß, gelb, rot, blau und schwarz liegen.
$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} die
Der Ergebnisraum Ω besteht dann aus den Paaren (x, y), wobei x ∈ X
$ = {w, g, r, b, s} die Farbe der
oben liegende Augenzahl auf dem Würfel und y ∈ Y
$ ×Y
$ . Bei Verwendung eines idealen Würfels hat jedes
gezogenen Kugel darstellt, d. h. Ω = X
der 6 ⋅ 5 = 30 Elementarereignisse {(X, Y)} die gleiche Realisierungswahrscheinlichkeiten,
1
für alle ( x, y ) ∈Ω.
d. h. p(x, y) = P({X, Y}) = 30
Beschränken wir unsere Betrachtung zunächst auf die Einzelexperimente und definieren wir
die Fuzzy-Ereignisse „mittlere Augenzahl beim Würfeln“ bzw. „die gezogene Kugel ist von
dunkler Farbe“ durch die nachfolgenden Zugehörigkeitswerte.
Augenzahl x
μC(x)
1
2
3
4
5
6
0
0,3
1
1
0,3
0
und
Farbe y
μfB(y)
w
g
r
b
s
0
0
0,2
0,7
1
% ?
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dieses Fuzzy-Ereignisses C
% und B
% („Kugel von dunkler Farbe wird
b. Überprüfen Sie für die Fuzzy-Ereignisse C
gezogen“) die Formel
% ∪B
% ) = P(C
% ) + P( B
% ) − P(C
% ∩B
% ).
P(C
% und B
% unabhängig sind.
c. Zeigen Sie, dass C