Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematik mit Anwendungen

Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematik mit Anwendungen

Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Wahlpflichtfach Bachelor Informatik 4. Semester
Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematik
mit Anwendungen
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Kurt-Ulrich Witt
Sommersemester 2011
Kurt-Ulrich Witt
Diskrete Mathematik • Lektion 6
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Inhaltsverzeichnis
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Kurt-Ulrich Witt
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
Kurt-Ulrich Witt
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
(2) Möglichkeit der Parametrisierung
(effektive Programmierung)
Kurt-Ulrich Witt
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
(2) Möglichkeit der Parametrisierung
(effektive Programmierung)
Kurt-Ulrich Witt
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Codierung σ der Nullfunktionen und Projektionen
(Code-) Alphabet:
Σ = { |, #, O, π, ν, C, PRK, µ, [, ] , ; , , }
Codierung:
σ : µR → Σ+
mit
σ(Ok ) = O|k , k ≥ 0
σ(πik ) = π|k #|i , 1 ≤ i ≤ k , k ≥ 1
Beispiele:
σ(O3 ) = O|||
σ(π25 ) = π|||||#||
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Codierung σ der µ-rekursiven Funktionen
sowie
σ(x) = x für x ∈ { ν, C, PRK, µ, [, ] , ; , , }
und
σ(x1 x2 . . . xn ) = σ(x1 )σ(x2 ) . . . σ(xn )
für
xi = Ok , k ≥ 0
xi = πik , 1 ≤ i ≤ k , k ≥ 1
xi ∈ { ν, C, PRK, µ, [, ] , ; , , }
Beispiel add:
PRK π11 , C ν; π33
Codierung:
σ(PRK π11 , C ν; π33 ) = PRK [π|#|, C [ν; π|||#|||]]
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Nummerierung von µR
ρ : Σ → { 1, 2, . . . , 12 }
definiert durch
ρ(|) = 1 ρ(π) = 4 ρ(PRK) = 7 ρ( ]) = 10
ρ(#) = 2 ρ(ν) = 5 ρ(µ)
= 8 ρ(; ) = 11
ρ(O) = 3 ρ(C) = 6 ρ([ )
= 9 ρ(,) = 12
Es sei pi ∈ P die i-te Primzahl, dann sei die Abbildung
g : Σ+ → N
definiert durch
ρ(x1 )
g(x1 . . . xn ) = p1
Kurt-Ulrich Witt
ρ(xn )
· . . . · pn
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiele
id = π11
Es gilt
σ(id) = π|#|
und
g(π|#|) = 24 · 31 · 52 · 71 = 8 400
d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion id wird
die Nummer 8 400 zugeordnet.
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiele
h
i
1 = C ν; O0
Es gilt
σ(1) = C [ν; O]
und
g (C [ν; O]) = 26 · 39 · 55 · 711 · 113 · 1310
= 1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000
d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion 1 wird die
Nummer
1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000
zugeordnet.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von µR
Durch die Funktion
τ : µR → N
definiert durch
τ =g◦ρ
werden den µ-rekursiven Funktionen (sehr große) Nummern
zugeordnet.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einer
µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ −1 (n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einer
µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ −1 (n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einer
µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ −1 (n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einer
µ-rekursiven Funktion f ist, f = τ −1 (n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel
Beispiel:
172 821 065 013 801 540 831 848 199 046 200 000
Kanonische Faktorisierung:
26 · 39 · 55 · 711 · 115 · 1310
woraus sich mithilfe der Codetabelle die µ-rekursive Funktion
C [ν; ν]
ergibt.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Totalisierung von τ −1
Die Funktion τ ist nicht surjektiv, d.h. ihre Umkehrung τ −1 ist
nicht total, d.h. es gibt Zahlen n ∈ N, die nicht Nummer einer
µ-rekursiven Funktion sind.
Beispiele: alle Primzahlen größer als 5
30 hat die Faktorisierung 21 · 31 · 51 , woraus sich gemäß
Codetabelle die Zeichenkette ||| ergibt, die keine µ-rekursive
Funktion darstellt.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Totalisierung von τ −1
Surjektive Ergänzung von τ −1 :
Wähle irgendeine Funktion aus µR, z.B.
ω : N0 → N0
definiert durch
ω(n) =⊥
Es gilt Def (ω) = ∅
ω ist µ-rekursiv, denn für
h
h
i
i
f = C add; C ν; π22 , π12
gilt
ω = µ [f ]
(Übliche Notation: f (x, y ) = ν(y ) + x.)
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Totalisierung von τ −1
Total definierte Umkehrung der Funktion τ −1 :
h : N → µR
mit
(
h(i) =
f,
falls i ∈ W (τ ) und τ (f ) = i
2 2
µ C add; C ν; π2 , π1 , sonst
Die Funktion τ stellt eine sogenannte Gödelisierung von µR
dar.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Gödelisierung
Mit Gödelisierung (Gödelnummerierung) bezeichnet man eine effektive
Codierung von Wörtern durch natürliche Zahlen. Im Allgemeinen ist für ein
Alphabet A eine Gödelnummerierung gegeben durch eine Abbildung
(Gödelabbildung)
g : A∗ → N0
mit folgenden Eigenschaften:
(i) g ist injektiv, d.h. für x1 , x2 ∈ A∗ mit x1 6= x2 ist g(x1 ) 6= g(x2 ).
(ii) g ist berechenbar.
(iii) Die Funktion χg : N0 → { 0, 1 } definiert durch
(
1, falls ein x ∈ A∗ existiert mit g(x) = n
χg (n) =
0, sonst
ist berechenbar.
(iv) g −1 ist berechenbar.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
Nummerierung
ϕ : N0 → P
der partiell berechenbaren Funktionen:
ϕ(i) = f genau dann, wenn h(i) die Funktion f berechnet
Es ist also ϕ(i) = f genau dann, wenn f von der µ-rekursiven
Funktion berechnet wird, die durch die Nummer i codiert ist.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
Σ+
σ
µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
N0
g
Σ+
σ
µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
N0
g
τ
Σ+
σ
µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
N0
g
h
τ
Σ+
σ
µR
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
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Nummerierung von P
ϕ
P
N0
g
h
τ
Σ+
σ
µR
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
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Nummerierung von P
ϕ
P
N0
g
h
τ
Σ+
σ
µR
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
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Nummerierung von P
ϕ
P
N0
g
h
τ
Σ+
σ
µR
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Nummerierung von P
id wird von h(8400) berechnet:
τ (π11 ) = 8400
h(8400) = π11
ϕ(8400) = id
ϕ
8400 ∈ N0
P 3 id
τ
h
π11 ∈ µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
1 wird von h(1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000)
berechnet:
τ (C [ν; O]) = 1 428 . . . h(1 428 . . .) = τ (C [ν; ν]) ϕ(1 428 . . .) = 1
ϕ
1 428 . . . ∈ N0
P31
τ
h
C [ν; O] ∈ µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Nummerierung von P
h h
h
i
ii
h(30) = µ C add; C ν; π22 , π12
ϕ(30) = ω
ϕ
30 ∈ N0
P3ω
τ
h
µ C add; C ν; π22 , π12 ∈ µR
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Nummerierung von P
Schreibweise:
ϕi = f
anstelle von
ϕ(i) = f
um „doppelte Argumente“ zu vermeiden:
ϕi (x1 , . . . , xk ) = f (x1 , . . . , xk )
anstelle von
ϕ(i)(x1 , . . . , xk ) = f (x1 , . . . , xk )
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0 , P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0 , P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser
Programmiersprache berechnet werden können.
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0 , P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser
Programmiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung
(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0 , P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieser
Programmiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung
(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0 , P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine
berechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ (i, x) = ϕi (x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0 , P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0 , P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine
berechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ (i, x) = ϕi (x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0 , P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursiven
Funktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ (f , x) = f (x);
Kurt-Ulrich Witt
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0 , P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine
berechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ (i, x) = ϕi (x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0 , P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursiven
Funktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ (f , x) = f (x);
existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i, x) = uϕ (i, x) = ϕi (x)
Kurt-Ulrich Witt
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0 , P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine
berechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ (i, x) = ϕi (x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0 , P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursiven
Funktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ (f , x) = f (x);
existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i, x) = uϕ (i, x) = ϕi (x)
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
„Eingaben als Daten oder als Programme interpretieren“:
Beispiel: mult : N0 × N0 → N0 mit mult(x, y ) = x · y .
Dann z.B. x = 5 und y = 3, also mult(3, 5) möglich,
aber auch x = (a + b)2 und y = (c − d).
Damit ergibt sich die neue Funktion m : N40 → N0 definiert durch
m(a, b, c, d) = mult((a + b)2 , (c − d)) = (a + b)2 (c − d)
bzw.
m(a, b, c, d) = mult(sqr (add(a, b)), minus(c, d))
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Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Durch Funktionen als aktuelle Parameter wird also aus
h
h
ii
mult = PRK O1 , C add; π13 , π33
die neue Funktion
h
h
h
ii h
ii
m = C mult; C sqr ; C add; π14 , π24 , C minus; π34 , π44
generiert.
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Allgemeines Prinzip der Parametrisierung
Es sei (N0 , P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es für alle
n
i ∈ N0 sowie für alle (x1 , . . . , xm ) ∈ Nm
0 und (y1 , . . . , yn ) ∈ N0
m+1
eine total berechenbare Funktion s : N0
→ N0 , so dass
ϕi (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = ϕs(i,x1 ,...,xm ) (y1 , . . . , yn )
gilt.
Die Parameter x1 , . . . , xm können als Programme interpretiert
werden. Die Funktion s generiert aus dem Progamm i und den
Programmen x1 , . . . , xm das Programm s(i, x1 , . . . , xm ).
Wichtig: Dieser Generator existiert allgemein, d.h. für alle i
und alle (x1 , . . . , xm ): s ∈ R (sogar s ∈ PR).
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung
derµ-rekursiven Funktion für
4
C sqr ; C add; π1 , π24
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung
derµ-rekursiven Funktion für
4
C sqr ; C add; π1 , π24
x2 die Codierung
der µ-rekursiven Funktion für
C minus; π34 , π44
Kurt-Ulrich Witt
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung
derµ-rekursiven Funktion für
4
C sqr ; C add; π1 , π24
x2 die Codierung
der µ-rekursiven Funktion für
C minus; π34 , π44
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = d
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Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung
derµ-rekursiven Funktion für
4
C sqr ; C add; π1 , π24
x2 die Codierung
der µ-rekursiven Funktion für
C minus; π34 , π44
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = d
Die
s würdedann aus
von mult,
Funktion
den Codierungen
C sqr ; C add; π14 , π24 und C minus; π34 , π44 die Codierung von
m generieren.
Kurt-Ulrich Witt
Diskrete Mathematik • Lektion 6
27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:
i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung
derµ-rekursiven Funktion für
4
C sqr ; C add; π1 , π24
x2 die Codierung
der µ-rekursiven Funktion für
C minus; π34 , π44
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = d
Die
s würdedann aus
von mult,
Funktion
den Codierungen
C sqr ; C add; π14 , π24 und C minus; π34 , π44 die Codierung von
m generieren.
Kurt-Ulrich Witt
Diskrete Mathematik • Lektion 6
27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Kurt-Ulrich Witt
Anforderungen an Berechenbarkeitskonzepte
Gödelisierung von µR
Nummerierung von P
utm-Theorem
smn-Theorem
Diskrete Mathematik • Lektion 6
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