Grundlagen der Elektrotechnik Praktikum Teil 1 Versuch B1/2 ”R

Grundlagen der Elektrotechnik Praktikum Teil 1 Versuch B1/2 ”R

Grundlagen der Elektrotechnik
Praktikum Teil 1
Versuch B1/2
”R-L und R-C Kombination”
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)
Elektrotechnik und Informationstechnik
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Universität Duisburg-Essen
Duisburg, September 2011
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen: Spannungen und Ströme mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit
1.1 Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Messung von Wechselströmen und Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Komplexe Zeitfunktion und komplexer Scheitelwertzeiger . . . . . . . . . . . .
1.5 Impedanz und Admittanz von Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Definition der Begriffe Impedanz und Admittanz . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Die Impedanz des ohmschen Widerstandes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Die Impedanz einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Die Impedanz eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule . . . . .
1.5.6 Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators
1.6 Reale Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Messung von Impedanzen mit drei Spannungsmessern . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Zusammengesetzte Schwingungen (Lissajous–Figuren) . . . . . . . . . . . . . .
2 Versuchsdurchführung
2.1 Messung von Wechselspannungen mit dem Oszilloskop . . . . . . . . . . .
2.2 Bestimmung einer unbekannten Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bestimmung der Zeitfunktionen von Spannungen und Stromstärke
2.2.2 Drei–Spannungsmesser–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Lissajous–Figur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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1
1
1
3
4
5
5
7
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10
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15
16
17
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20
20
20
20
22
23
23
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
1 Grundlagen: Spannungen und Ströme mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit
1.1 Zeitfunktionen
Spannungen und Ströme mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit (Wechselspannungen bzw.
ströme) werden durch Kosinusfunktionen der Form
bzw.
Wechsel-
b cos(ωt + ϕu )
u(t) = u
(1)
i(t) = bı cos(ωt + ϕi )
(2)
beschrieben. Die bestimmenden Parameter dieser Funktionen sind
b ≥ 0 bzw. bı ≥ 0 ,
(i) der Scheitelwert u
2π
1
(ii) die Kreisfrequenz ω = 2πf =
, mit f =
der Frequenz und T der Periodendauer , sowie
T
T
(iii) der Nullphasenwinkel ϕu bzw. ϕi , welcher die Phase der Spannung bzw. des Stromes zum Zeitpunkt t = 0 angibt.
Als Phase wird der als Argument der Kosinusfunktionen nach Gl. (1) bzw. (2) auftretende Zahlenwert
ωt + ϕu bzw. ωt + ϕi bezeichnet. Der Nullphasenwinkel hängt von der Wahl des Ursprungs auf der
Zeitachse ab. Die Bedeutung der einzelnen Größen veranschaulichen die Bilder 1 und 2.
1.2 Effektivwerte
b einer Wechselspannung bzw. des Scheitelwertes bı eines Wechselstromes
Anstelle des Scheitelwertes u
wird in der Praxis häufig der Effektivwert angegeben. Die Definition des Effektivwertes einer zeitlich
periodischen Spannung u(t) bzw. Stromstärke i(t) beruht auf der in einem ohmschen Widerstand im
zeitlichen Mittel in Wärme umgesetzten Leistung (Bild 3).
In einem ohmschen Widerstand R, an dem die Gleichspannung U anliegt, wird die (zeitunabhängige)
Leistung
P =
u(t) 6
..
..
....... ....... ....... ....... ..
..
...
.
...
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...
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...
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...
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...
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...
.
2π
U2
= I 2R
R
(3)
i(t) 6
-....
.
.........
.............
... ..... ....
... ....
. ... ..
. ...
...
..
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...
. . ..
b
u
..
...
.. ...... ....
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...
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. .. ..
...
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...
... −ϕu ....
...
.. ωt
...
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...
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...
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..
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...
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... ..
... ..
... ..
... ..
........
.......
6
....
...
....... ....... ....... ....... .......
.....
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
T
-....
.............
...........
6
.. .. ...... ......
.. . .....
...
. .. .
..
...
.. ..... .....
b
ı
.
...
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...
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.
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... ?
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..
...
−ϕi
t
..
.
...
.
.
...
.
.
.
ω
...
.
...
..
.
... ..
...........
Bild 1. Wechselspannung mit sinusförmiger
Zeitabhängigkeit, aufgetragen über dem
Winkel ωt.
..
Bild 2.
Wechselstrom mit sinusförmiger
Zeitabhängigkeit, aufgetragen über der Zeit t.
1
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
in Wärme umgesetzt. Liegt der Widerstand an einer nach Gl. (1) sinusförmig von der Zeit abhängigen
Spannung u(t), so ist die im Widerstand umgesetzte Leistung eine Funktion der Zeit (Bild 3, Schalterstellung A). Es gilt
p(t) =
oder
b2
u2 (t)
u
=
cos2 (ωt + ϕu )
R
R
(4)
p(t) = i2 (t)R = bı 2 R cos2 (ωt + ϕi ).
(5)
Der lineare zeitliche Mittelwert der Leistung ist
1
p(t) :=
T
tZ
0 +T
t0
1
p(t) d t =
T
tZ
0 +T
t0
1
u2 (t)
dt =
R
T
tZ
0 +T
i2 (t)R d t.
(6)
t0
Eine im zeitlichen Mittel gleich große Leistung wird in Schalterstellung B (Bild 3) in dem Widerstand
in Wärme umgesetzt, wenn die Gleichspannung U so eingestellt wird, dass mit Gl. (3) gilt
P = p(t).
(7)
Der Betrag der Gleichspannung U für den Gl. (7) erfüllt ist, wird als als Effektivwert U der zeitlich
periodischen Spannung u(t) definiert. Die zugehörige Gleichstromstärke I wird als Effektivwert der
zeitlich periodischen Stromstärke i(t) definiert. Durch Einsetzen von Gl. (3) auf der linken und Gl. (6)
auf der rechten Seite von Gl. (7) folgt
U2
R
1
T
=
tZ
0 +T
t0
u(t)2
R
dt
also
v
u tZ
0 +T
u
u1
t
U=
u2 (t) d t.
T
(8)
t0
Der Effektivwert U ist somit der quadratische Mittelwert der Zeitfunktion u(t). Für den hier betrachteten Sonderfall der sinusförmigen Zeitabhängigkeit von u(t) gilt mit Gl. (4)
v
u tZ
0 +T
u
u1
b2 cos2 (ωt + ϕu ) d t.
U =t
u
T
Unter Verwendung der Identität cos2 (α) ≡
(9)
t0
1
2
1 + cos(2α) ergibt sich der Effektivwert zu
v
s
u tZ
0 +T
u
1
+
cos
2(ωt
+
ϕ
)
b2 T
1u
u1
u
b2
dt =
,
U =t
u
T
2
t0
i(t)
I
HH ............................................
...
◦
.
∼ U =
...
...
?
?
.
.
R
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..............................................................................................................................................................................................
(10)
p(t) 6
.......
.. ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
◦ B
u(t)
T 2
A
◦H
H
....................................................................................................................
...
..
...
...
...
...
.........................................................
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b
u
U=√ .
2
−→ p(t) = P =
U2
R
...
.....
.................... ....... ....6
... .....
... .... ....
... .... ....
. ..
. ... . û2
. ... ..
... ....... ..... 2R
... ....... ....
... ....
...
................................................................................................................................... ....?
... .. ..... ... 6
... ..... .... ...
... .. .. .. û2
... .. .... ... ..
... .. ....
2R
... .. .... ... ..
... .. ...
..... ... ......
.
?
.
.
.
.
.
.
•
.
...
.
-.....
.
T
Bild 3. Definition des Effektivwertes U der Wechselspannung u(t) und des Effektivwertes
I des Wechselstromes i(t) über den zeitlichen Mittelwert der Leistung.
2
t
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert
√
b
u
= 2 ≈ 1, 41
(11)
U
√
wird als Scheitelfaktor bezeichnet. Der Scheitelfaktor 2 nach Gl. (11) gilt nur für sinusförmige
Zeitabhängigkeit.
ks :=
Aufgabe:
Zeigen Sie ausgehend von Gl. (7), dass der Effektivwert einer nach Gl. (1) sinusförmig von der
Zeit abhängigen Stromstärke gegeben ist durch
bı
bı
= √ ≈ 0, 707 · bı .
ks
2
I=
(12)
1.3 Messung von Wechselströmen und Wechselspannungen
Messinstrumente für Wechselspannung bzw. Wechselstrom zeigen in der Regel Effektivwerte an. Als
echte Effektivwertmesser werden solche Messinstrumente bezeichnet, die aufgrund des verwendeten
physikalischen Prinzips oder mit Hilfe einer elektronischen Schaltung tatsächlich, wie durch Gl. (8)
gefordert, den quadratischen Mittelwert der zu messenden Wechselspannung u(t) bzw. des zu messenden
Wechselstromes i(t) bilden.
Ein einfacher echter Effektivwertmesser ist z.B. das Hitzdrahtinstrument. Die Zeigerauslenkung
wird dabei durch die Wärmeausdehnung eines stromdurchflossenen Drahtes hervorgerufen und ist
somit unmittelbar ein Maß für die in dem Draht (ohmscher Widerstand) umgesetzte Leistung. Ein
echter Effektivwertmesser ist auch das Dreheisenmesswerk , bei dem der Zeigerausschlag aufgrund des
physikalischen Prinzips vom Quadrat der Stromstärke abhängt. Die zeitliche Mittelwertbildung erfolgt
dabei durch das mechanische Trägheitsmoment von Messwerk und Zeiger.
Das in analogen Zeigerinstrumenten am häufigsten verwendete Messwerk ist das lineare Drehspulmesswerk bei dem der Zeigerausschlag der Stromstärke proportional ist. In Wechselspannungs– bzw.
Wechselstrom–Messbereichen wird dem Messwerk ein Brückengleichrichter vorgeschaltet. Durch das
Messwerk fließt dann der Strom
iM (t) = |i(t)| = bı |cos(ωt + ϕi )|.
(13)
Aufgrund der mechanischen Trägheit des Messwerkes stellt sich (für nicht zu kleine Frequenzen) ein
dem linearen zeitlichen Mittelwert des Messstromes
1
iM (t) = |i(t)| =
T
tZ
0 +T
t0
bı |cos(ωt + ϕi )| d t
(14)
proportionaler Zeigerausschlag ein. Der Wert |i(t)| wird als Gleichrichtwert des Wechselstromes i(t)
i
sowie unter Ausnutzung der
bezeichnet. Mit Hilfe der Substitution φ = ωt + ϕi und mit t0 = − π+ϕ
ω
Symmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion, berechnet sich der Gleichrichtwert zu
|i(t)| =
bı
2π
Zπ
−π
4bı
|cos(φ)| d φ =
2π
π/2
Z
cos(φ) d φ =
0
4bı
π
2
sin( ) = bı .
2π
2
π
(15)
Der Quotient aus Effektivwert I und Gleichrichtwert |i(t)| ist der Formfaktor
kf :=
I
.
|i(t)|
3
(16)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
Für den hier betrachteten Sonderfall sinusförmiger Zeitabhängigkeit gilt mit Gl. (16) und (11)
kf =
I
1 π
π
I bı
1 π
=√
= √ ≈ 1, 11
=
=
b
k
2
2
ı
2
2 2
|i(t)|
|i(t)|
s
(17)
Der Formfaktor kf ≈ 1, 11 ist in den für Wechselspannung bzw. Wechselstrom gültigen Skalen von
analogen Zeigerinstrumenten mit Drehspulmesswerk bereits berücksichtigt, so dass unmittelbar der
Effektivwert abgelesen werden kann. Der verwendete Formfaktor gilt jedoch nur für sinusförmige
Zeitabhängigkeit. Bei anderen Zeitabhängigkeiten ist die Anzeige solcher Messinstrumente unzutreffend.
Auch elektronische Messgeräte sind, unabhängig davon ob sie mit Digital– oder Analoganzeige ausgestattet sind, in der Regel keine echten Effektivwertmesser. Anderfalls sind sie ausdrücklich z.B. mit
“true rms” (für true root mean squared) als solche gekennzeichnet. In diesem Fall wird entweder mit
Hilfe einer elektronischen Schaltung eine analoge Quadrierung des Messtromes vorgenommen oder die
Messgröße mit hoher Abtastrate zunächst digitalisiert und dann numerisch der quadratische Mittelwert gebildet.
1.4 Komplexe Zeitfunktion und komplexer Scheitelwertzeiger
Einer Wechselspannung mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit nach Gl. (1) wird durch
b cos(ωt + ϕu ) + j u
b sin(ωt + ϕu ) = u
b e j(ωt+ϕu )
u(t) := u
(18)
b cos(ωt + ϕu )
u(t) = Re{u(t)} = u
(19)
eine komplexe Zeitfunktion u(t) zugeordnet. Der Realteil der komplexen Zeitfunktion u(t) stimmt mit
der reellen Zeitfunktion
Bild 4.
Graphische Darstellung des
b und der
komplexen Scheitelwertzeigers u
Ortskurve der komplexen Zeitfunktion
u(t) (gestrichelt) für die Wechselspannung
nach Bild 1. Zu gegebenem ωt ergibt
sich der Wert der reellen Zeitfunktion u(t)
durch Projektion der komplexen Zeitfunktion u(t) auf die reelle Achse.
b} 6
j Im{u
....
....
....
....
.... .... ........ .... .... .... .
... ...
.... ....
.
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....
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u .....
..
..
....
......
..
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........
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.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .....
..
..
u
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ......
u
.
.....
... ....
.. ..... u(t)
.
...
.
b.
u
... ϕ
...
...
..
......
......
*.
.
b}
Re{u
ωt
.......
....................................
.......................................
.................................
......... u(t)
−ϕ
.
.
.....................
........................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....................
........................................
................................
.....
2π − ϕ
...................
.......................................
ωt ?
4
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
nach Gl. (1) überein. Der Imaginärteil der komplexen Zeitfunktion hat keine physikalische Bedeutung.
Die komplexe Zeitfunktion nach Gl. (18) ist wegen
b e j(ωt+ϕu ) = u
b e jϕu · e jωt
u(t) = u
(20)
eindeutig beschrieben durch die beiden Parameter
(i) komplexer Scheitelwertzeiger
b := u
b e jϕu
u
und
(21)
2π
.
T
b ist eine zeitunabhängige Größe. Sein Betrag stimmt mit dem
Der komplexe Scheitelwertzeiger u
b und sein Argument ϕu mit dem Nullphasenwinkel der reellen Zeitfunktion u(t) überein
Scheitelwert u
(Bild 4):
(ii) Kreisfrequenz ω =
b| = u
b
|u
und
b = ϕu .
arg u
(22)
b mit dem Faktor e jωt stellt sich
Die in Gl. (20) auftretende Multiplikation des komplexen Zeigers u
b um den Winkel ωt im mathematisch
in der komplexen Ebene (Bild 4) als Drehung des Zeigers u
positiven Sinne dar. Die komplexe Zeitfunktion u(t) entspricht somit einem Drehzeiger, der sich
mit der Kreisfrequenz ω um den Ursprung der komplexen Ebene dreht. Die reelle Zeitfunktion u(t)
entspricht der Projektion dieses Drehzeigers auf die reelle Achse.
Analog wird für einen durch Gl. (2) beschriebenen Wechselstrom eine komplexe Zeitfunktion durch
i(t) = bı cos(ωt + ϕi ) + j bı sin(ωt + ϕi ) = bı e j(ωt+ϕi )
(23)
bı := bı e jϕi .
(24)
i(t) = Re{bı e jωt }.
(25)
eingeführt. Der komplexe Scheitelwertzeiger der Stromstärke ist
Die zugehörige reelle Zeitfunktion ergibt sich aus dem komplexen Scheitelwertzeiger bı bei bekannter
Kreisfrequenz ω, analog zu Gl. (19), durch Realteilbildung zu
Neben den komplexen Scheitelwertzeigern werden in der Praxis auch die komplexen Effektivwertzeiger
b
u
U := √
2
und
bı
I := √ .
2
(26)
verwendet. Sie unterscheiden sich lediglich im Betrag (um den Kehrwert des Scheitelfaktors) von den
Scheitelwertzeigern.
1.5 Impedanz und Admittanz von Zweipolen
1.5.1 Definition der Begriffe Impedanz und Admittanz
Gleichspannung und Gleichstrom an einem ohmschen Widerstand sind durch das ohmsche Gesetz
in der Form U = RI durch einen Proportionalitätsfaktor (den Widerstand R) verknüpft. Eine
b und bı für Wechselspannungen
analoge Beschreibung kann unter Verwendung der komplexen Zeiger u
und Wechselströme sinusförmiger Zeitabhängigkeit an einem allgemeinen linearen passiven Zweipol
(Eintor) nach Bild 5 angegeben werden. Ein solcher Zweipol darf in seinem Inneren beliebig viele
Widerstände Ri (i = 1, 2 . . . ), Induktivitäten Lj (j = 1, 2 . . . ) und Kapazitäten Ck (k = 1, 2 . . . )
5
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
enthalten. Liegt an einem der genannten Netzwerkelemente eine Spannung u(t) mit sinusförmiger
Zeitabhängigkeit, so fließt, wie in den folgenden Abschnitten noch gezeigt wird, ein Strom, der ebenfalls eine sinusförmige Zeitabhängigkeit hat. Alle auftretenden Spannungen und Ströme sind daher
von der Form der Gleichungen (1) und (2) und können durch komplexe Zeitfunktionen oder durch
komplexe Scheitelwertzeiger beschrieben werden.
Liegt an den Klemmen des Zweipols in Bild 5 eine durch den komplexen Spannungszeiger
b =u
b e jϕu
u
(27)
bı = bı e jϕi
(28)
beschriebene Wechselspannung, so fließt durch den Zweipol ein Wechselstrom, der durch den komplexen Stromzeiger
b und
beschrieben werden kann. Der Zusammenhang zwischen dem komplexen Spannungszeiger u
dem komplexen Stromzeiger bı ist durch die Eigenschaften des Zweipols gegeben und wird durch eine
komplexe Größe, die Impedanz
Z :=
b
b e jϕu
b
u
u
u
=
= e j(ϕu −ϕi ) = |Z| e jϕ = Z e jϕ
jϕ
bı
bı e i
bı
(29)
beschrieben. Der Betrag der Impedanz (Scheinwiderstand )
b
b
u
u
Z = |Z| = | | =
bı
bı
(30)
ist gleich dem Quotienten der Scheitelwerte von Spannung und Strom. Der Phasenwinkel
ϕ := ϕu − ϕi
(31)
ist die Differenz der Nullphasenwinkel von Spannung und Strom. Die Zerlegung der Impedanz in
Real– und Imaginärteil
Z = Re{Z} + j Im{Z} = R + jX
(32)
definiert die Resistanz R (Wirkwiderstand ) und die Reaktanz X (Blindwiderstand ).
Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz
Y :=
bı
bı
bı e jϕi
= e j(ϕi −ϕu ) = |Y | e jψ = Y e jψ .
=
jϕ
u
b
be
b
u
u
u
(33)
Der Betrag der Admittanz (Scheinleitwert)
bı
bı
1
Y = |Y | = | | = =
b
b
Z
u
u
... ◦
... ◦
Ri
Lj
◦. . .
i(t)
◦
.........................................................................
u(t)
◦. . .
?
◦
............................................................
◦. . .
... ◦
Ck
Bild 5. Linearer passiver Zweipol.
6
(34)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
ist der Kehrwert des Betrages der Impedanz und
ψ := ϕi − ϕu = −ϕ
(35)
ist gleich dem negativen Phasenwinkel nach Gl. (31). Die Zerlegung der Admittanz nach Real– und
Imaginärteil
Y = Re{Y } + j Im{Y} = G + jB
(36)
definiert die Konduktanz G (Wirkleitwert) und die Suszeptanz B (Blindleitwert).
Durch Einführung der Begriffe Impedanz und Admittanz wird eine komplexe Verallgemeinerung des
ohmschen Gesetzes möglich. Bei linearen passiven Zweipolen besteht zwischen dem komplexen Spannungszeiger und dem komplexen Stromzeiger der Zusammenhang
b = bı Z = bı |Z| e jϕ
u
bzw.
(37)
bY = u
b |Y | e jψ .
bı = u
(38)
1.5.2 Die Impedanz des ohmschen Widerstandes
................................................
...
..
....
..
...
...
...
...
...
u(t)
◦
∼
i(t)
Bild 6. Stromkreis mit ohmschem
Widerstand.
R
...
?
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.................................................
...............................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
◦
....
...
..
...
...
...
...
...
..
................................................
Ein Widerstand R wird nach Bild 6 an eine Spannungsquelle angeschlossen, die durch die komplexe
Zeitfunktion
b e jωt = u
b e jϕu · e jωt
u(t) = u
(39)
b cos(ωt + ϕu ).
u(t) = Re{u(t)} = u
(40)
i(t) = Re{i(t)} = Re{bı e jωt } = Re{bı e jϕi e jωt }.
(41)
beschrieben wird. Die reelle Zeitfunktion der Urspannung ist dann
Durch den Widerstand R fließt der Strom der Stromstärke
Das ohmsche Gesetz besagt
i(t) =
b
b
u(t)
u
u
Re{u(t)}
u(t)
=
= Re{
} = Re{ e jωt } = Re{ e jϕu e jωt }.
R
R
R
R
R
(42)
Da die rechten Seiten von Gl. (41) und (42) für jeden Zeitpunkt t übereinstimmen müssen, folgt durch
Vergleich
i(t) =
u(t)
R
sowie bı =
b
u
,
R
d.h. bı =
7
b
u
R
und
ϕi = ϕu .
(43)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
u(t) ................
.. .... ..
...
6u(t), i(t)
H
H.. ........... ...
.
..... .... ......
...... .... .......... i(t)
... ...... ......
... .. ..
...
...... .... t
u
...... −ϕ
...... ....
ω
.. ..
...... ....
=
.. ..
.............. ..
−ϕi
..
... ..
ω
.
........
b , bı } 6
j Im{u
j Im{Z} 6
b ..
u
.
....
.... ....
.. ϕu..... = ϕi
...
.....
...
.
.
......
bı......Y
.....
..
ZR = R
......................................... -
b , bı }
Re{u
(b)
(a)
ϕ = ϕu −ϕi = 0
Re{Z}
(c)
Bild 7. Ohmscher Widerstand: (a) Zeitfunktionen von Strom und Spannung, (b)
zugehörige komplexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz des ohmschen Widerstandes.
Das ohmsche Gesetz gilt also formal unverändert auch für die komplexen Zeitfunktionen u(t) und i(t)
b und bı . Folglich ist die Impedanz des ohmschen
und ebenso für die komplexen Scheitelwertzeiger u
Widerstandes
Z R :=
b
b e jϕu
b
u
u
u
= =R
=
jϕ
bı
bı e i
bı
(44)
gleich dem Betrag des Widerstandes. Bild 7a zeigt die Zeitfunktionen von Strom und Spannung an
b und bı zeigen
einem ohmschen Widerstand. Der Phasenwinkel ϕ = ϕu − ϕi ist gleich null. Die Zeiger u
in der komplexen Ebene in die gleiche Richtung (Bild 7b). Der Zeiger Z R = R = Re{Z R } liegt auf
der reellen Achse der komplexen Z–Ebene (Bild 7c).
1.5.3 Die Impedanz einer Spule
Ändert sich der magnetische Fluß Φ durch eine Fläche A pro Zeitintervall ∆t um ∆Φ, so wird in einem
Leiter, der die Fläche A berandet, die Spannung
u = lim −
∆t→0
∆Φ(t)
d
= − Φ(t)
∆t
dt
(45)
induziert.
Betrachtet wird eine Spule aus w Windungen eines als widerstandslos angenommenen Drahtes, die um
einen kreisförmigen Eisenkern mit der Permeabilität µ = µ0 µr mit µr ≫ 1 gewickelt ist (Bild 8a). Wenn
die Wicklung eng genug gewickelt und gleichmäßig auf den ganzen Umfang des ringförmigen Kerns
verteilt ist, ist die von dem Strom hervorgerufene magnetische Erregung von der Umfangskoordinate
unabhängig. Entlang eines Kreises der Länge ℓ (in Bild 8a gestrichelt) ist die magnetische Erregung
~ = Hα~eα rein azimuthal gerichtet mit
H
Hα (t) =
w i(t)
.
ℓ
(46)
Der magnetische Fluss durch den Querschnitt A des Eisenkerns berechnet sich daraus (mit einem
geeigneten Mittelwert für ℓ) zu
Φ(t) = µ0 µr AHα (t) =
8
µ0 µr wA
i(t).
ℓ
(47)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
~ = Hα~eα
H
........................
ℓ
.....................................................
..............
..........
........
..........
.......
........
... .............. ....... ...
.......
.......
.... .
...... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
......
....
.....
.
.
.
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.............
....... ..........
.........
.....
.
....
.
.
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.....
.
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..
...
...
......
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....... .....
... ...
.....
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..... .........
.
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.
.
......
... ........
....
.
.
.
.
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..... .. . .......
.. ...... ........
.
.
.
.
...
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.....
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. .....
..
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..... ...
... .
...
.... ... .....
... .... ......
... .. ...
.
..
.
...
.
.
...
.. ... .....
.
.
.
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... ... .....
... . ...
...
..
.. .. ...
.
.
.
... .. ....
... .. ...
... .. ...
... . ...
... . ...
... ... ...
.... ... ....
... . ...
.. . ..
... . ...
... ... ...
... ... ...
... . ...
... . ...
.... ... ....
... .. ..
... . ...
. . .
.. . ...
...
...
.. . ....
... ... ...
.
.
.
... .. ...
.. ... ...
.
... . ...
..
..
... ... ...
.. ... ....
.
.
.
.
...
... . ...
... .. .....
.. .. ...
... ... ...
.
..
.. .. ...
...
..
.
... ... ....
... . ..
... .. ...
... ... ....
..
...
.
... .
... .... .....
.
. ... ....
.
....
... .
.
.
.
..
..
...
...
..... ..... .....
... ...... .........
. ...
.....
.....
...
.....
.....
.
.
.
...... ....... ........
..... ...... ...........
.
.
.
.
.
.
.......
.....
.
..
........
..... .......
...
.....
.......
...........
.....
....... .. .... ........
....
...
......
.........
.....
.....
...... ... ...... .... .......................................................
......
...
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... .
.......
....
. ...... ....... ....... ....... .......
........
.......
......... ....
........
..............
..........
.. ............................................................
...
...
...
...
...
....
..
...
...
............
.....
...
...
...
..
..
H
H
i(t)
◦...............................................................................
H
...
...
...
...
...
...
...
...
.
µ0 µr H
H
A HH
u(t)
?
w
ZZZZZ
(a)
◦
u(t)
L
..
...
..
...
...
...
...
...
...
.
..............................................................
(b)
i(t)
◦
Bild 8. (a) Spule mit Eisenkern;
(b) Schaltzeichen einer Spule.
◦
Unter Beachtung des in Bild 8 eingezeichneten Spannungsbezugspfeils folgt für die Klemmenspannung
u(t) = w
d
µ0 µr w 2 A d
Φ(t) =
i(t).
dt
ℓ
dt
(48)
Definiert wird ein Netzwerkelement Spule mit dem Schaltzeichen nach Bild 8b. Die Spannung an den
Klemmen der Spule L ist
u(t) = L
d
i(t).
dt
(49)
Sie ist proportional zur Ableitung der Stromstärke nach der Zeit. Die Proportionalitätskonstante ist
die Induktivität L. Nach Gl. (48) hängt die Induktivität
L=
µ0 µr w 2 A
ℓ
(50)
nur vom Aufbau des magnetischen Kreises ab. Um die Impedanz der Spule zu bestimmen, wird diese
.................................................
...
..
...
...
...
...
...
...
◦
i(t) 6
u(t)
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...............................................
.................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
◦
? .....
Bild 9.
Stromquelle.
L
Spule
an
einer
..
...
..
...
...
...
...
..
................................................
nach Bild 9 an eine Stromquelle mit
i(t) = Re{i(t)} = Re{bı e jωt }
9
(51)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
angeschlossen. Mit Gl. (49) folgt
u(t) = L
d
d
d
i(t) = L Re{i(t)} = Re{L bı e jωt } = Re{ jωL bı e jωt }.
dt
dt
dt
(52)
Es zeigt sich, dass u(t) mit
b = jωL bı
u
(53)
b e jωt }
u(t) = Re{u
(54)
wieder in der Form
geschrieben werden kann, also sinusförmige Zeitabhängigkeit aufweist. Die Impedanz der Spule ergibt
sich aus Gl. (53) zu
ZL =
b
b
u
u
= e j(ϕu −ϕi ) = jωL.
bı
bı
(55)
Unter Beachtung der Identität j ≡ e jπ/2 kann Gl. (55) für den Phasenwinkel ϕL das Ergebnis
ϕL = ϕu − ϕi =
π
2
(56)
entnommen werden. Die Spannung über der Spule eilt der Stromstärke, wie in Bild 10a dargestellt,
zeitlich um 90◦ voraus. In der komplexen Ebene ist der Spannungszeiger um 90◦ im mathematisch
positiven Sinne gegenüber dem Stromzeiger gedreht (Bild 10b). Der Impedanz
Z L = jωL = j Im{ZL } = jXL
(57)
liegt folglich auf der positiven imaginären Achse der Z–Ebene (Bild 10c). Die Reaktanz der Spule
XL = ωL ist positiv.
u(t)...................
6u, i
.. ... ... ........
... ....... ......... ....... ......
.
.. ... .. ... ... ...i(t)
... ......... .......... ....
.. ....... ........... ..... .. . . ωt
... ........
...
.. .
..
.. ..... ...
... .. .. ....
... .
....
.... .. ...
.. .
.
. .
.
.
... ......... .......π2-....... .... .......
.
.
.
.
.
.... ..
..
..
−ϕ −ϕ ...
u
(a)
b , bı } 6
j Im{u
j Im{Z} 6
..... Z = jωL
..
..
..
π
......... ϕ
...
L = 2
..
.• .......
-
b ..
u
.
...
.................
....
..... Y
. ϕu..
.
.
...
.......
.
.......•........... .... ...... ............... ϕi
.......... Re{ub , bı }
.
Re{Z}
bı
i
(b)
(c)
Bild 10. Spule: (a) Zeitfunktionen von Stromstärke und Spannung, (b) zugehörige komplexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz der Spule.
1.5.4 Die Impedanz eines Kondensators
Zwischen der Ladung Q auf den Elektroden und der Spannung u zwischen den Elektroden eines
Plattenkondensators nach Bild 11a besteht die Beziehung
Q=
ǫ0 ǫr A
U = CU.
d
10
(58)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
i(t)
◦..............................................................................
i(t)
◦
.............................
..
....
.........
.
....
..........
............
....................
.
.......
..............
..............
....................
.
..............
..............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
0 r
A
+Q(t)
u(t)
~
E(t)
?
? ? ? ? ? ? ? ?
6
d
?
? ?
?
?
?
A
?
? AA
?
ǫ ǫ
−Q(t)
◦
...
...
...
...
...
...
...
...
.
u(t)
C
..
...
..
...
...
...
...
...
...
..............................................................
?
◦
(a)
(b)
Bild 11. (a) Plattenkondensator; (b) Schaltzeichen des Kondensators.
C bezeichnet die Kapazität der Anordnung.
Die Ladung auf den Elektroden kann sich nur ändern, wenn über einen Draht den Elektroden Ladung
zugeführt oder von ihnen abgeführt wird. Ladung und Stromstärke hängen daher gemäß
∆Q
d
=
Q(t)
∆t→0 ∆t
dt
(59)
d
d
Cu(t) = C u(t),
dt
dt
(60)
i(t) = lim
zusammen. Mit Gl. (58) folgt
i(t) =
d.h. die Stromstärke i(t) ist proportional zur zeitlichen Ableitung der Spannung u(t).
Es wird ein Netzwerkelement Kondensator definiert, in dem der Zusammenhang zwischen Stromstärke
und Spannung durch Gl. (60) beschrieben wird, mit dem Schaltzeichen nach Bild 11b.
i(t)
...............................................
....
...
..
...
...
...
...
...
...
u(t)
◦
∼
C
...
?
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.................................................
.............................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
◦
Bild 12.
nungsquelle.
Kondensator an einer Span-
...
...
..
...
...
...
...
...
..
.................................................
Wird nach Bild 12 ein Kondensator der Kapazität C an eine Urspannungsquelle mit der Zeitfunktion
b e jωt } = Re{u
b e jϕu e jωt }
u(t) = Re{u(t)} = Re{u
(61)
angeschlossen, so fließt nach Gl. (60) ein Strom der Stärke
i(t) = C
d
d
b e jωt }.
b e jωt } = Re{ jωCu
b e jωt } = Re{C
u
Re{u
dt
dt
11
(62)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
Das Ergebnis kann mit
bı = jωCu
b
(63)
i(t) = Re{bı e jωt }
(64)
wieder in der Form
angegeben werden. Der Strom weist also wieder eine sinusförmige Zeitabhängigkeit auf. Die Impedanz
des Kondensators ergibt sich mit Gl. (63) zu
ZC =
Mit
b
b
u
u
1
= e j(ϕu −ϕi ) =
.
bı
bı
jωC
(65)
1
≡ e− jπ/2 folgt für den Phasenwinkel
j
π
ϕC = ϕu − ϕ i = − .
2
(66)
Die Spannung an einem Kondensator eilt der Stromstärke zeitlich um 90◦ nach (Bild 13a). Der
b ist um −90◦ gegenüber dem komplexen Stromzeiger bı gedreht (Bild
komplexe Spannungszeiger u
13b). In der komplexen Z–Ebene liegt die Impedanz
ZC = − j
1
= j Im{ZC } = jXC
ωC
(67)
1
folglich auf der negativen imaginären Achse (Bild 13c). Die Reaktanz des Kondensators XC = −
ωC
ist negativ.
u, i
...... 6
.... ..... ......
.
............... .... ...
....
.. .. ...... ....... ...... .... i(t) ....
. .... .. ... .... ...
..
....
...
..... ........... .....
....
... .. . ....
.......
..
... ..
.. ωt
........
... ..
.
.
.. ..
.
.
.. ....
.
.
... ....
...
. ...
...
..
. .
...−ϕi −ϕu ................ ...u(t)
... ..
. ....π-....
......
..
2 ..
.
(a)
b , bı } 6
j Im{u
j Im{Z} 6
b ..
u
.
.............
...Y
.
.
bı
. .........
......... .....ϕi ..................................... ϕu.
.................................. ...... ......
.....•..... ..... .....
Re{Z}
b , bı }
Re{u
(b)
... .....
•...
π
....
......... ϕC = −
...
2
...
..
....... Z
.
(c)
Bild 13. Kondensator: (a) Zeitfunktionen von Strom und Spannung,
(b) zugehörige komplexe Scheitelwertzeiger, (c) Impedanz des Kondensators.
1.5.5 Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule
Bild 14 zeigt die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer Spule der Induktivität L
an einer Spannungsquelle mit sinusförmig von der Zeit abhängiger Spannung u(t). Die Impedanz der
Reihenschaltung soll bestimmt werden.
12
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
i(t)
...............................................
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
....
u(t)
◦
.............................................................
...
...
...
...
...
...
.
uR (t)
?
R
Bild
14.
Reihenschaltung
eines ohmschen Widerstandes und
einer Spule an einer Wechselspannungsquelle.
∼
...
?
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...............................................
uL (t)
?......
◦
L
..
...
..
...
.................................................
Die Maschenregel der elektrischen Netzwerke sagt aus, dass in einer Masche die Summe aller Spannungen u1 (t), u2 (t), . . . , un (t) in jedem Zeitpunkt gleich null ist, d.h.
0=
n
X
k=1
uk (t) =
n
X
Re{uk (t)} =
k=1
n
X
k=1
b k e jωt } = Re{e jωt
Re{u
n
X
k=1
b k }.
u
(68)
Die rechte Seite der Gl. (68) kann nur dann für alle Zeitpunkte t verschwinden, wenn auch
n
X
k=1
bk = 0
u
(69)
b k oder auch für
gilt. Die Maschenregel kann daher unmittelbar für die komplexen Scheitelwertzeiger u
die komplexen Zeitfunktionen uk (t) ausgewertet werden. Für die in Bild 14 dargestellte Masche gilt
bzw.
u(t) − R i(t) − L
d
i(t) = 0
dt
b − (R + jωL) bı = 0.
u
(70)
(71)
Die Impedanz der Reihenschaltung von R und L nach Bild 14 ergibt sich aus Gl. (71) zu
Z R,L =
b
u
= R + jωL,
bı
(72)
d.h. als Summe der Impedanzen von R und L. Die Zerlegung der Impedanz Z R,L nach Betrag und
Phasenwinkel liefert
p
ωL
und ϕR,L = ϕu − ϕi = arctan
.
(73)
|Z R,L | = R2 + ω 2 L2
R
Die Zeigerdiagramme für Spannungen und Ströme sind in Bild 15a angegeben und die Impedanzen in
Bild 15b in der komplexen Größenebene dargestellt.
1.5.6 Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators
Die Parallelschaltung eines Widerstandes R und eines Kondensators der Kapazität C wird an eine
Spannungsquelle mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit angeschlossen (Bild 16).
Die Knotenregel der elektrischen Netzwerke sagt aus, dass die Summe aller Ströme i1 (t), i2 (t), . . . , in (t),
die in einen Knoten hineinfließen, zu jedem Zeitpunkt gleich Null ist. Für die zugehörigen komplexen
Stromzeiger bzw. für die komplexen Zeitfunktionen muß daher gelten
n
X
k=1
bı k (t) = 0
bzw.
n
X
k=1
13
ik (t) = 0
(74)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
b , bı } 6
j Im{u
b = Z R,L bı
u
j Im{Z} 6
...
....... ......
.......
.... ....
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.. .....
.......... .......
.
...
.
.....
..
.
...
...
..
...
...
...
.
..
.
...
...
.
..
.
b L = jXL bı ..
bı
u
.
...
...
.
..........
b R .............................
u
... ..Yϕ
... .. u... .................... ϕK..
i
........................ .....................
...
....•........... .....
..
.
b , bı }
Re{u
(a)
Z R,L = R + jωL
..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..............
......
.. ...
.... ....
jωL ..
.
.
.. ....
..
....
..
.
.
...
.
..
..
....
.
..
.
..
.
.
.
...
.
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.. .............
...
.
.. .... I.. ϕR,L
..
..
.. ....
...
..................................................................................
R
(b)
-
Re{Z}
Bild 15. Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Spule: (a) Zeigerdiagramm für Strom- und Spannung, (b) Impedanz in der komplexen Größenebene.
i(t)
..............................................
....
...
..
...
...
...
...
...
....
u(t)
◦
i (t)
∼
R=
...
?
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.................................................
..............................................................................................
...
...
.
..................................................................
.
.
.......
.......
.
......
.......
...
....
R
...
...
...
...
...
...
◦
•
A
iC (t)
1
G
Bild 16. Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators an einer
Wechselspannungsquelle.
C
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
.................................................................
....
..
................................................................................
•
(Herleitung analog zu Gl. (68)). Für den Knoten A in Bild 16 besagt die Knotenregel
i(t) − iR (t) − iC (t) = 0.
(75)
Mit Gl. (42) und (60) folgt
i(t) −
d
u(t)
− C u(t) = 0.
R
dt
(76)
Da für den in u(t) auftretenden Zeitfaktor e jωt die Bildung der zeitlichen Ableitung einer Multiplikation
mit jω entspricht, kann mit G := R1 anstelle von Gl. (76) geschrieben werden
b e jϕu e jωt = 0.
i(t) − G u(t) − jωC u(t) = bı e jϕi e jωt −(G + jωC) u
(77)
b = 0.
bı − (G + jωC)u
(78)
Nach Division durch e jωt bleibt
Daraus ergibt sich die Admittanz der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators zu
Y G,C =
bı
= G + jωC = G + jBC ,
b
u
(79)
d.h. als Summe der Admittanzen des Leitwertes G = R1 und eines Kondensators der Kapazität C. Die
Zeigerdiagramme für Ströme und Spannung sowie die Admittanz der Parallelschaltung von Widerstand
und Kondensator sind in den Bildern 17a,b dargestellt.
14
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
b , bı } 6
j Im{u
bı = Y G,C u
b
j Im{Y} 6
...
....... ......
.......
.... ....
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.. .....
.......... .......
.
...
.
.....
..
.
...
...
..
...
...
...
.
..
.
...
...
.
..
.
bı C = jBC u
b ..
b
u
.
...
...
.
..........
bı R .............................
... ..Yϕ
... .. i... .................... ϕK..
u
........................ .....................
...
....•........... .....
...
.
b , bı }
Re{u
(a)
(b)
Y G,C = G + jωC
..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..............
......
.. ...
.... ....
jωC ..
.
.
.. ....
..
....
..
.
.
...
.
..
..
....
.
..
.
..
.
.
.
...
.
..
.
.
.
..
..
..
.
..
.
.. .............
...
.
.. .... I.. ϕG,C
..
..
.. ....
...
..................................................................................
1
G=
R
-
Re{Y }
Bild 17. Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines Kondensators: (a)
Zeigerdiagramm für Strom- und Spannung, (b) Admittanz in der komplexen Größenebene.
1.6 Reale Netzwerkelemente
Reale Spulen und Kondensatoren sind stets mit Verlusten behaftet. Für die rechnerische Behandlung von Schaltungen ist es zweckmäßig, für verlustbehaftete Bauelemente Reihen– bzw. Parallel–
Ersatzschaltbilder anzugeben, in denen neben idealen (verlustfreien) Bauelementen ohmsche Widerstände
enthalten sind, die die Verluste beschreiben.
Für die verlustbehaftete Spule werden das Reihen– und das Parallel–Ersatzschaltbild nach Bild 18a,b
verwendet. Für die Reihenschaltung von Impedanzen bzw. die Parallelschaltung von Admittanzen gilt,
wie Gl. (79) bzw. Gl. (72) bereits erkennen ließen, aufgrund der Maschenregel bzw. der Knotenregel
(a) Die Gesamtimpedanz Z einer Reihenschaltung von
n Impedanzen Z 1 , . . . , Z n ist die Summe der Einzelimpedanzen:
Z=
n
X
Zk.
(80)
n
X
Y k.
(81)
k=1
(b) Die Gesamtadmittanz Y einer Parallelschaltung von n
Admittanzen Y 1 , . . . , Y n ist die Summe der Einzeladmittanzen:
Y =
k=1
Unter Verwendung dieser Regeln ergeben sich für die beiden alternativen Ersatzschaltbilder nach Bild
18 die Impedanzen
Z r = RLr + jωLr ,
bzw.
Zp =
RLp jωLp
.
RLp + jωLp
(82)
Nach Zwischenrechnung ergibt sich aus der Bedingung Z r = Z p
RLr
RLp ω 2 L2p
= 2
RLp + ω 2 L2p
und
2 L
RLp
p
Lr = 2
.
RLp + ω 2 L2p
(83)
Beide Ersatzschaltbilder können herangezogen werden, um den Verlustfaktor einer verlustbehafteten
Induktivität
tan δL :=
ωLp
RLr
=
ωLr
RLp
15
(84)
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
j Im{Z} 6
◦
Zr
...... ....... ....... ....... ...........
...
... ......
...
.
.
.
..
... .
.. ..... ......
..
.. δL ...
...................
.....
.. .......... ϕ
..
..
...
..... I
...
...........................................
jωLr ......
RLr
Lr
.
....
GLp =
-
RLp
...
...
...
...
...
.
..................................................................
....
...
...
•
◦
Re{Z}
(a)
1
RLp
...................................................
... ........... ψ
...
.
}
Re{Y
.
.....................
...
... δ ...
.
...
... L ...
..
.
.
.
..
.
.
− j ..
.
.
... .......
...
.
.. .
ωLp ....
......... ....... ....... ..........................
...
..
Lp
RLr
◦
j Im{Y} 6
◦.....
...
............................•
....................................
...
....
.
..
Yp
(b)
Bild 18. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild einer verlustbehafteten
Spule.
zu berechnen. Er ist ein Maß für die Verluste der Spule. Unter Verwendung des durch Gl. (84)
definierten Verlustfaktors kann Gl. (83) in der Form
RLr =
ωLp tan δL
,
1 + tan2 δL
Lr =
Lp
1 + tan2 δL
(85)
geschrieben werden. Analog können das in Bild 19 dargestellte Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbild
für den verlustbehafteten Kondensator ausgewertet werden. Der Verlustfaktor eines verlustbehafteten
Kondensators wird definiert durch
GCp
tan δC := ωCr RCr =
(86)
ωCp
und es gelten die Umrechnungsbeziehungen
RCr =
−j
ωCr
Cr
j Im{Y} 6
◦.....
..
.....................................
...............................•
...
...
.
RCr
RCr
Cr = Cp 1 + tan2 δC .
und
j Im{Z} 6
◦
◦
tan δC
,
ωCp (1 + tan2 δC )
..................................................
... ............. ϕ
...
..
Re{Z}
....................
...
...δ .....
.
..
... C ...
... .......
...
.
... ...
...
... ...
..
........
......
...... ....... ....... ....... ............
...
..
...
.
Cp
GCp
...
.
...
....
...
..
..................................................................
....
...
...
•
◦
Zr
(a)
(87)
Yp
...... ....... ....... ....... .........
....
jωCp .....
... .....
..
.
.
..
.. .
.. ..... .....
..δ ...
...
.............C...
..
..
.. ..........
....
.... ψ
......I
.
.............................................
GCp
-
Re{Y }
(b)
Bild 19. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten
Kondensators.
1.7 Messung von Impedanzen mit drei Spannungsmessern
Zu einem unbekannten Zweipol, dessen Impedanz Z bestimmt werden soll, wird nach Bild 20 ein
ohmscher Widerstand R in Reihe geschaltet. Mit drei Spannungsmessern können der Effektivwert
16
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
j Im{U } 6
uZ (t)
u(t)
տ
U
...
.
Z
?
տ
u (t)
?
◦
•
UZ
•.............................................................•..
...
...
...
...
R
...
...
...
...
.
.............................................................................................................................................................................................................................
R
?
•
տ
U Z .....
U
....
......
.
.
.
.
....
....
.
..... .
.
.
.
...
.
.... .....
.
.....
.
.
...
.
...
.
..
...
.
.
.
...
..........
.
.
.
...
.Y........ ......
..
... ........................
.
.
. ....
..
..
.
............. ϕ....
...
...........................................................................
-
◦.............................................................•...................................................................................................•.................................................................
..
...
..
...
...
...
...
...
.....
.....
.....
....
....................
... ..
....... ....... ....... ....... ....... ....... ...........................
.. ... .......
.. ...... .........
...
...
..
..
...
..
.
...
UR
UR
Bild 20. Schaltung zur Drei—
Spannungsmesser–Methode.
Re{U }
Bild
21.
Zeigerdiagramm
der Spannungen für eine induktive
Impedanz Z.
U der Gesamtspannung u(t) und die Effektivwerte UZ und UR der Teilspannungen uZ (t) und uR (t)
gemessen werden. Wenn bekannt ist, ob der Zweipol induktiv oder kapazitiv ist, kann aus den drei
Meßwerten ein Zeigerbild, zweckmäßigerweise für die zugehörigen komplexen Effektivwertzeiger U , U Z
und U R , konstruiert werden. Bild 21 zeigt ein Beispiel für eine induktive Impedanz Z.
Rechnerisch ergibt sich bei bekanntem ohmschem Widerstand R für den Betrag der unbekannten
Impedanz Z der Wert
Z = |Z| = R
UZ
UR
(88)
und für den Betrag des Phasenwinkels mit Hilfe des Kosinussatzes
U 2 − UR2 − UZ2
|ϕ| = | arccos
2UR UZ
!
|.
(89)
1.8 Zusammengesetzte Schwingungen (Lissajous–Figuren)
Betrachtet werden zwei phasenverschobene Wechselspannungen
bx cos(ωt + ϕux ),
ux (t) = u
(90)
by cos(ωt + ϕuy )
uy (t) = u
(91)
bx cos(ωt + ϕux )
x(t) := kx ux (t) = kx u
(92)
by cos(ωt + ϕuy )
y(t) := ky uy (t) = ky u
(93)
gleicher Kreisfrequenz ω = 2πf = 2π
T . Wird zu jedem Zeitpunkt t auf der x–Achse eines kartesischen
Koordinatensystems eine zur Spannung ux (t) proportionale Länge
und auf der y–Achse eine zu uy (t) proportionale Länge
abgetragen, so beschreibt die dadurch festgelegte Punktmenge x(t), y(t) eine Ellipse. Die Konstruktion der Ellipse ist in Bild 22 angedeutet.
Es lässt sich auch analytisch zeigen, dass das Gleichungssystem (92, 93) die Parameterdarstellung einer
Ellipse ist. Das Hauptachsenverhältnis a : b der Ellipse (Bild 23) hängt von der Phasenverschiebung
ϕyx = ϕy − ϕx ab. Der Winkel α hängt außer von der Phasenverschiebung auch von den Amplituden
by ab.
bx und yb = ky u
b = kx u
x
17
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
y
y(t) = ky uy (t)
6
...........................
.......
... t = T /2
.
.
.
.
.
.
...
t......
...
.
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.....
...
t = T /4..
..
...
...
- x
.
.
.. .
...
..
..
...
.
.
....
....
...
.
.
.
.
...
....
....
0............
........ t =
...................
ty =
ϕ
− ωy
.
6
.....
..........
... ......
...
.
.
...
...
..
...
...
.
.
...
...
.
.
...
...
.
.
...
...
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...
...
.
.
...
...
.
- t
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
−T /4 ...
... 0 ... T /4 T /2 .... 3T /4
.
...
...
..
...
...
.
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... ..
...
.
... ..
......
...
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...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .....
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.. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. .......... .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. .......... .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. ........ .. .....
..
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..... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...
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...
..
ϕx
................................
.
..
..
x
..
...
.
ω
..
..
...
...
.
...
..
.
.
.
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.
....
... .......
...
x x
..
..
...
.....
..
..
.
..
....
.
...
..
....... .. ........ .. ........ .. ........
...
..
.
..
..
...
...
.... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.............
...........
..
−T /4 .......
.
.....
.
.
.
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.
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.
.
.
........
.............
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.......
0
..........
.......
......
..........
T /4
.............
..............
.............
...........
........
T /2
.
..
.
.
.
.
.
......
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....... 3T /4
t =−
- x(t) = k u (t)
Bild 22. Grafische Konstruktion
der Ellipse (Lissajous–Figur).
?
t
18
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
←−−−−−−−−−−− 2A −−−−−−−−−−−→
..
..
...
...
..
...
..............
...
...
....... .....
...
...
...
......
...
......... .
...
.
.
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. ..
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...............................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
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......................................................................................................................................................................
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... ....... ... ....
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.................
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.... .... .....
..
......
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...
.. ..
.....
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....... ....
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......
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.......
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. .....
..
...
......
... ...........
......... .....
........ .
...........
.
.
.
.
.
.
.
........
.
......... ....
..................................................................................................................................................................
..........
... ..
...
..........
....
..........
.. ...
.........
.
.
.........................................................................................................................
.
...
.
.
.
.
.
.
.......
...
.
... ....
.
.
.
.
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.
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.
... ..................
.....
.....
.........
...
...
...
...
....
....
...
...
...
...
y
↑
|
|
|
|
2yb
|
|
|
|
↓
6
........................................
...................
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
.
.
.
.
.
↑
.
.
.
.
.
....
.
.
|
.
.
.
.
.
..
.
....
.
.
.
.
.
|
.
.
.
..
....
|
...
.......
α
.
.
.
K
.
.
.
•
.
.
...
....
2B
.......
....
.
.
.
.
.
.
.
|
....
..
........
| ...
.
.
.
.
.
.
.
......
| ..
..........
.
.
.
↓ ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...........
................................................
2b
-
x
2a
Bild 23.
Zur Bestimmung
des Phasenwinkels ϕyx herangezogene geometrische Größen für
die Ellipse nach Gl. (92, 93).
←−−−−−−−−−−−−−−− 2x
b −−−−−−−−−−−−−−−→
Die Phasenverschiebung ϕyx = ϕy − ϕx zwischen y(t) und x(t) kann aus der Darstellung nach Bild 23
dem Betrage nach wie folgt bestimmt werden:
by ergibt sie sich aus dem Verhältnis der Hauptachsen
b x = ky u
b = yb, d.h. kx u
1. Für den Sonderfall x
zu
2a
|.
|ϕyx | = |ϕy − ϕx | = |2 arctan
2b
(94)
2. Im allgemeinen Fall gilt
|ϕyx | = |ϕy − ϕx | = | arcsin
2B
2A
| = | arcsin
|.
b
2yb
2x
(95)
Für die Sonderfälle ϕyx = 0 und ϕyx = ±π entartet die Ellipse zu einer Geraden. Sie entartet zu
b = yb ist (Bild 24).
einem Kreis, wenn ϕyx = ±π/2 und x
...
....
.
.
...
....
.
.
..
....
.
.
.
.
....
............
........ ....
.
.
.
.
.
.
.
....
..
.
......
..
.
...
.
.
.
...
... ............
.............
...........
........ ............
.. ..
...
..
....
...
..
.
....
.
........ ..........
...........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
ϕyx = 0◦
ϕyx = 45◦
ϕyx = 90◦
ϕyx = 180◦
Bild 24. Lissajous–Figuren zweier Wechselspannungen gleicher Frequenz für ausgewählte Phasenwinkel ϕyx . Die Darstellung gilt bei Einstellung gleicher Amplituden
by .
bx = yb = ky u
b = kx u
x
19
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
2 Versuchsdurchführung
Der Versuch wird mittels ELVIS -Funktionsgenerator, -Oszilloskop und -Adapter durchgeführt. Eine
kurze Einführung in ELVIS bietet folgender Link an:
http://www.ate.uni-duisburg-essen.de/data/dokumente/praktikum/ELVIS/ELVIS Einführung.pdf
Vor dem Aufbau der Schaltung ist das ELVIS Prototyping Board auszuschalten!
Schalter: Prototyping Board Power ”OFF”
Erst nach Abnahme der Schaltung durch den Versuchsbetreuer ist das Board einzuschalten!
Schalter: Prototyping Board Power ”ON”
2.1 Messung von Wechselspannungen mit dem Oszilloskop
Der ELVIs-Funktionsgenerator liefert die Spannung u1 (t) mit der in Bild 25 skizzierten periodischen
Zeitabhängigkeit. Bestimmen Sie den Effektivwert U1 und den linearen zeitlichen Mittelwert u1 (t).
Ermitteln Sie Periodendauer und die Frequenz der Spannung aus dem Oszillogramm.
u1 (t) 6
......
..... .........
↑
...
......
|
...
..
...
..
b
..
... u1
..
...
.
... |
.
.
... ↓
..
...
.
...
..
...
t
.
...
.
.
.
.
.. ←−−−−−−−−− T1 ..−
...−−−−−−−−
→
..
...
....
... .
..... .....
........
(a)
T1 =
f1 =
b1 =
u
U1 =
u1 (t) =
Bild 25. Zeitabhängige Spannung.
2.2 Bestimmung einer unbekannten Impedanz
Die unbekannte Impedanz Z eines vorgegebenen Zweipols soll unter Verwendung der Schaltung nach
Bild 26 (bei bekanntem ohmschem Widerstand R) mit verschiedenen Methoden nach Betrag und
Phasenwinkel bestimmt werden.
2.2.1 Bestimmung der Zeitfunktionen von Spannungen und Stromstärke
Als Signalquelle dient die LabVIEW-Anwendung ATE-Generator, die ein sinusförmiges Signal mit
der Amplitude u(t) = 1V und f = 100Hz bereitstellen soll. Vor der eigentlichen Messung ist die
Signalquelle (DAC 0) mit dem Anschluss CH A (BNC) des Oszilloskops zu verbinden und das Signal
einzustellen.
Stellen Sie die Zeitfunktionen der Spannungen und Ströme in der Schaltung nach Bild 26 mit dem
ELVIS–Zweikanal–Oszilloskop dar. Die Ergebnisse sollen maßstäblich in die Diagramme nach Bild 27
bzw. 28. übertragen werden.
20
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
'$
Bild
26.
Messschaltung
mit vorgegebenem Zweipol der unbekannten Impedanz Z und bekanntem ohmschem Widerstand R.
A
B
•
&%
•
i(t)
◦
•
◦
..
................................ .....................................................................................................
...
....
..
...
...
...
Z
....
..
..
f=
u(t)
u (t)
Z
?
∼
...
?
..
Verbinden
Sie
die
Messpunkte der Mess–
schaltung nach Bild 26
mit
den Eingängen SCOPE
CHA und SCOPE CHB
des
Oszilloskops, so dass die
Spannungen u(t), uZ (t)
und uR (t) dargestellt
werden.
Tragen Sie
den Wert des Refe–
renzwiderstandes und
die Frequenz ein.
.
•...............................◦.
u (t)
...
...
...
R
...
...
...
...
...
................................ ............................................................................................
R=
?
◦
•
◦
u(t), uR (t), uZ (t)
6
V
2
Bild 27.
Zeitabhängigkeit der
Spannungen u(t), uR (t) und uZ (t).
1
- t
0
ϕu =
b =
u
bR =
u
-1
-2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6 ms
bZ
u
=
ϕu R
=
ϕu Z
=
i(t)
6
mA
0.2
Bild 28.
Zeitabhängigkeit der
Stromstärken i(t), iR (t) und iZ (t).
0.1
- t
0
-0.1
bı = bıR = bıZ =
ϕi =
-0.2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6 ms
21
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
Konstruieren Sie ausgehend von Bild 27 in Bild 29 das Zeigerdiagramm für die komplexen Scheitel–
b Z . Bestimmen Sie daraus Z nach Betrag und Phasenwinkel.
b,u
b R und u
wertzeiger u
Das Ergebnis kann mit einer direkten Impedanzmessung durch den ELVIS Impedance Analyzer (Anschlüsse Current Lo u. Current Hi) überprüft werden.
b Z}
b,u
b R, u
Im{u
6
V
Bild 29. Scheitelwertzeiger–Diagramm
der Spannungen nach Bild 27.
2
b
u
=
bZ
u
=
bR =
u
1
- Re{u
b,u
b R, u
b Z}
0
0
1
2
|Z| =
ϕ =
V
2.2.2 Drei–Spannungsmesser–Methode
Messen (!) Sie in der Schaltung nach 26 die Effektivwerte U, UZ und UR und konstruieren (!) sie in
Bild 30 das Zeigerdiagramm für die Effektivwertzeiger U , U Z und U R .
U
=
UZ
=
UR =
Im{U , U Z , U R }
6
V
Bild 30. Effektivwertzeiger–Diagramm
laut Drei–Spannungsmesser–Methode.
1
U
=
UR =
UZ
0.5
=
|Z| =
0
0
0.5
1
- Re{U , U , U }
Z
R
V
22
aus Skizze:
ϕ =
aus Gl. (89):
ϕ =
Versuch 1/2 R-L und R-C Kombination
2.2.3 Reihen– und Parallel–Ersatzschaltbild
Bestimmen Sie das Reihen– und das Parallel–Ersatzschaltbild des zuvor ausgemessenen Zweipols.
|Z| =
ϕ =
◦
•
◦
Rr
....
..
.................................................................
....
...
...
...
..
...
Rr =
Lr =
Lr
Lp
Rp
Lp =
tan ϕ =
tan ϕ =
...
..
...
...
...
.
...................................................................
....
...
...
•
◦
tan δ =
◦
Rp =
(a)
tan δ =
(b)
Bild 31. (a) Reihen– und (b) Parallel–Ersatzschaltbild des Zweipols.
2.2.4 Lissajous–Figur
Verwenden Sie nun die Schaltung nach Bild, 26 um mit Hilfe eines externen Oszilloskops (kein
ELVIS-Oszilloskop) mit separat ansteuerbarer X-Ablenkung, die Funktionen uZ (t) und i(t) als
Lissajous–Figur in der Form
x(t), y(t) = kx i(t), ky uZ (t)
darzustellen. Übertragen Sie das Ergebnis in das Diagramm in Bild 32 und bestimmen daraus die
unbekannte Impedanz Z nach Betrag und Phasenwinkel.
y
6
Bild 32.
Lissajous–Figur
nach Gl. (2.2.4) .
X:
AMPL/DIV
Y:
AMPL/DIV
kx =
- x
0
ky =
2A =
2B =
b =
2x
2yb =
|Z| =
ϕ =
0
23