RSA und Rabin

Stand: 15.12.2014 Vorlesung Grundlagen und Methoden der Kryptographie Dietzfelbinger
3
Das RSA-Kryptosystem
RSA: Erfunden von Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman, 1977. (Ein
ähnliches Verfahren wurde bereits um Anfang der 1970er Jahre in den Government
Communications Headquarters, der Kryptologie-Abteilung des Britischen Geheimdienstes, entwickelt, aber nicht veröentlicht.)
Vorsicht:
In der hier zunächst vorgestellten Version ist RSA unsicher. Es müssen
Modkationen und Einschränkungen vorgenommen werden, um ein sicheres Verfahren
zu erhalten. Gute Referenz hierfür: Baumann, Franz, Ptzmann, Kryptographische
Systeme, Springer Vieweg 2014.
3.1
Asymmetrische Kryptosysteme
Wir betrachten ein einfaches Kommunikationsszenario. Die Teilnehmer sind Alice
und Bob. Alice möchte an Bob eine Nachricht schicken. Dies soll über einen oen
zugänglichen Kanal (E-Mail, ein Webportal) geschehen. Dieser Kanal wird von Eve
mitgelesen. Alice und Bob wollen vermeiden, dass Eve den Inhalt der Nachricht erfährt.
1
Die Menge
X
der möglichen Nachrichten kann als Teilmenge von
{0, 1}∗
aufgefasst
werden.
x ∈ [n], für eine
m der Länge L zu ver- und entschlüsseln,
w
gehen wir folgendermaÿen vor. Wir (bzw. Alice und Bob) wählen w mit 2 ≤ n, zum
Beispiel w = blog nc. Durch Auffüllen z. B. mit Nullen können wir annehmen, dass
L durch w teilbar ist. Alice teilt m in r = L/w Blöcke x1 , . . . , xr mit jeweils w
Bits. Diese Blöcke werden als Zahlen < n aufgefasst. Alice verschlüsselt jeden Block
einzeln, und sendet die Folge y1 , . . . , yr der Chiretexte an Bob. Bob entschlüsselt
Das RSA-System in seiner puren Form verarbeitet Nachrichten
Zahl
n. Um einen langen
binären Klartext
Block für Block und setzt die Nachricht zusammen. Ab hier nehmen wir stets an,
dass der Klartext
x
selbst eine Zahl in
[n]
ist.
1 Wenn auch Bob an Alice Nachrichten schicken möchte, müssen die Aktionen nochmals mit
vertauschten Rollen ausgeführt werden.
1
RSA ist ein
asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren. Das bedeutet Folgendes: Man
benötigt ein (randomisiertes) Verfahren
aus
Kpub × Kpriv .
Wertebereich von
K
Üblicherweise hat
G,
G
zur Erzeugung von Schlüsselpaaren
einen Parameter
`,
die
(k, k̂)
Schlüssellänge.
also die Menge aller möglichen Schlüsselpaare
k
nennen. Dabei ist
G
(k, k̂),
Den
wollen wir
Bobs öentlicher Schlüssel, der öentlich zugänglich ist (zum
Beispiel in einem allgemein zugänglichen Schlüsselbuch oder auf Bobs Webseite) und
k̂ ist sein privater Schlüssel, den nur er kennt. Alice verwendet k zur Verschlüsselung,
Bob verwendet k̂ zur Entschlüsselung. Wir werden gleich sehen, dass im RSA-System
durch ein solches Schlüsselpaar (k, k̂) eine Zahl n bestimmt ist, so dass Klartexte
x ∈ [n] und Chiretexte y ∈ [n] direkt verarbeitet werden können.
In unserem vereinfachten Szenario ist
texte,
Y = Yn = [n]
X = Xn = [n]
ist die Menge der möglichen Chiretexte.
Es gibt einen (eventuell randomisierten)
Xn
und dem öentlichen Schlüssel
(deterministischen)
Schlüssel
die Menge der möglichen Klar-
k
Verschlüsselungsalgorithmus E , der aus x ∈
y ∈ Yn berechnet, sowie einen
D, der aus y ∈ Y und dem privaten
den Kryptotext
Entschlüsselungsalgorithmus
k̂ den entschlüsselten Text z berechnet. Abstrakt haben wir zwei Funktionen
E : (x, k) 7→ y ∈ Yn ,
wobei
neter
x ∈ Xn und k erste
Zahl n ist, und
Komponente eines Schlüsselpaars
(k, k̂) ∈ K
mit zugeord-
(k, k̂) ∈ K
mit zugeord-
D : (y, k̂) 7→ z ∈ Xn ,
wobei
y ∈ Y und k̂
n ist.
zweite Komponente eines Schlüsselpaars
neter Zahl
Typischerweise sind die Funktionen
E
und
D
nis im Verfahren steckt im privaten Schlüssel
Korrektheit:
Wenn
(k, k̂) ∈ K
allgemein bekannt; das einzige Geheim-
k.
ist, muss gelten:
D(E(x, k), k̂) = x,
für
x ∈ Xn .
x liefert, ganz
gleichgültig, welche Zufallsentscheidungen der Verschlüsselungsalgorithmus E getrof-
(Diese Gleichung verlangt, dass der Entschlüsselungsalgorithmus immer
fen hat.)
Sicherheit:
Es soll verhindert werden, dass Eve aus dem Kryptotext
öentlichen Schlüssel
k
relevante Informationen über den Klartext
x
y
und dem
gewinnen kann.
Hierbei wird üblicherweise angenommen, dass sie nur begrenzten Rechenaufwand
betreiben kann.
2
3.2
Das RSA-Kryptosystem
3.2.1 Schlüsselerzeugung
Wir beschreiben den Erzeugungsprozess
auch von einem
Trust Center
G. Dieser Vorgang wird von Bob selbst oder
durchgeführt. Die
Schlüssellänge
ist festzulegen (etwa
` = 512, 1024 oder 2048 Bits). Danach werden zwei (zufällige, verschiedene) Primzahlen p und q bestimmt, deren Bitlänge die Hälfte der Schlüssellänge ist. Hierzu kann
man im Prinzip wie in Abschnitt 2.2 beschrieben vorgehen. Nun wird das Produkt
n = pq
` − 1 Bits.2 Weiter wird ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
berechnet. Es wird eine Zahl e aus {2, . . . , ϕ(n) − 1} gewählt. Mittels des erweiterten
Euklidischen Algorithmus (Algorithmus 1.2) wird überprüft, ob ggt(e, ϕ(n)) = 1 ist
und gegebenenfalls das multiplikative Inverse d < ϕ(n) modulo ϕ(n) von e bestimmt,
berechnet. Die Zahl
n
`
hat
oder
so dass also
ed mod ϕ(n) = 1
gilt. (Sollte ggt(e, ϕ(n))
> 1
sein, wird ein neues
e
gewählt und erneut gerechnet,
usw. bis zum Erfolg.)
Bob erhält (vom Trust Center oder aus seiner Rechnung):
das Schlüsselpaar
(k, k̂)
n, e und d. Aus diesen wird
gebildet:
•
Der öentliche Schlüssel
•
Der geheime Schlüssel
k̂
k
ist das Paar
ist
(n, d).
(n, e).
Dieser wird bekanntgegeben.
Natürlich ist nur der Teil
Der Berechnungsaufwand für die Schlüsselerzeugung ist
d
wirklich geheim.
O((log n)4 ) = O(`4 ), weil dies
die Kosten der Primzahlerzeugung sind (siehe Abschnitt 2.2).
3.2.2 Verschlüsselung
Alice besorgt sich Bobs öentlichen Schlüssel
Verschlüsselung von
k = (n, e).
x ∈ Xn = [n]:
y = E(x, (n, e)) := xe mod n.
2
Falls gewünscht, lässt sich mit einfachen Maÿnahmen, z. B. der Wahl von
2`−2 , 2` ), der Fall vermeiden, dass n nur ` − 1 Bits hat.
3
p
und
q
aus
[2` −
(Zu berechnen mit schneller Exponentiation, Rechenzeit
O((log n)3 ) = O(`3 ).)
Der Chiretext wird über den öentlichen Kanal an Bob geschickt.
3.2.3 Entschlüsselung
Bob erhält den Chiretext
y ∈ Yn = [n] und möchte den Klartext x wieder herstellen.
Er berechnet (ebenfalls mit schneller Exponentiation) den Wert
z = D(y, (n, d)) := y d mod n.
Diese Rechnung kann er ausführen, da er den geheimen Schlüssel
k̂ = (n, d)
kennt.
Nach den Potenzrechenregeln, die auch für die modulare Arithmetik gelten, ist
(me mod n)d mod n = xed mod n.
z=
Korrektheit
Satz 3.1 Korrektheit von RSA
Die
der Entschlüsselung beruht auf folgendem Satz.
Wenn
ed mod ϕ(n) = 1
gilt, dann haben wir
xed mod n = x,
Beweis :
Weil
n ist,
x − x ist.
kleiner als
ed
von
x
und
xed mod n
für alle
x ∈ [n].
[n] liegen, also der Betrag ihrer Dierenz
ed
dass x
≡ x (mod n) gilt, d. h. dass n Teiler
beide in
genügt es zu zeigen,
p und q von n. Da
ed ≡ 1 (mod ϕ(n)) und ϕ(n) = (p − 1)(q − 1) gilt, haben wir ed = k(p − 1)(q − 1) + 1
für eine Zahl k ∈ Z, also
Dies weisen wir im Folgenden nach. Betrachte die Primfaktoren
xed − x = (xk(p−1)(q−1) − 1) · x.
Behauptung : p teilt xed − x. Wenn x durch p teilbar ist, ist dies klar. Wir können
ist, dass also x und
p−1
dem kleinen Satz von Fermat (Fakt 1.26) gilt x
mod p =
also annehmen, dass
p
kein Teiler von
x
p teilerfremd
1, also auch
sind. Nach
xk(p−1)(q−1) mod p = (x(p−1) )k(q−1) mod p = 1.
Dies bedeutet, dass
p ein Teiler von xk(p−1)(q−1) −1 ist, also auch ein Teiler von xed −x.
Die Behauptung gilt natürlich genauso für
p
und
q
q:
teilerfremd sind, folgt aus Fakt 1.8, dass
gewünscht.
4
q ist ein Teiler von xed − x. Da
n = pq Teiler von xed − x ist, wie
Auch
Beispiel :
Schlüsselerzeugung:
n = 55 = 5 · 11.
ϕ(n) = 4 · 10 = 40.
e = 3,
Also:
ggt(3, 40)
= 1, d = e−1 mod 40 = 27,
weil
3 · 27 = 81 ≡ 1 (mod 40)
gilt.
k = (55, 3), k̂ = (55, 27).
Sei die Botschaft
Verschlüsselung:
x=9
gegeben.
y = 93 mod 55 = 729 mod 55 = 14.
Entschlüsselung: Wir rechnen modulo
55:
y 27 ≡ (143 )9 ≡ 499 ≡ ((−6)3 )3 ≡ 43 ≡ 64 mod 55 ≡ 9.
Passt!
RSA, unsichere Version, insgesamt
Bob erzeugt (oder erwirbt von einem Trust Center) einen Schlüsselsatz
(k, k̂) =
((n, e), (n, d)).
Er veröentlicht
(n, e)
und hält
(x1 , . . . , xr ) ∈ [n]r
Wenn Alice
d
geheim.
an Bob schicken will, verschlüsselt sie
yi := xei mod n,
und sendet
(y1 , . . . , yr )
i = 1, . . . , r,
an Bob. Dieser entschlüsselt
zi := yid mod n,
und erhält
für
für
i = 1, . . . , r,
(z1 , . . . , zr ) = (x1 , . . . , xr ).
Bemerkungen zur Sicherheit und ezienten Verwendung:
1.
Wahl von p und q:
Wenn Eve die Zahl
türlich
ϕ(n)
und
d
n
ezient in ihre Faktoren
p
berechnen und damit sämtliche
q
mit k
und
zerlegen kann, kann sie naverschlüsselten Nachrichten
lesen.
Es genügt aber auch, wenn Eve den Wert
ϕ(n)
berechnen kann (weil sie dann auch
d
nden kann).
n, e und d lassen
p und q berechnen.
Man kann umgekehrt aber auch Folgendes zeigen: Aus
einem randomisierten Verfahren ezient die Faktoren
5
sich mit
Im Wesentlichen ist also das vollständige Brechen des Systems äquivalent dazu,
n
in
seine Faktoren zu zerlegen. Das Faktorisierungsproblem gilt bislang als im Allgemei-
n
nen schwierig und für das Produkt
von zwei zufälligen Primzahlen mit 512 Bits
3
(oder 1024 Bits) als praktisch nicht lösbar.
Man beachte aber: Den geheimen Schlüssel
lichkeit sein, aus
x
n, e und y
den Klartext
d
zu nden muss nicht die einzige Mög-
x oder zumindest partielle Information über
zu gewinnen.
Wenn sich
p
und
q
nur geringfügig unterscheiden, lässt sich
Man muss also darauf achten, dass
p
und
q
n
ezient faktorisieren.
in nicht mehr als etwa den ersten 10
Binärstellen übereinstimmen.
Es gibt ein RSA-spezisches Angrisverfahren (Iteration), das nur ezient funktioniert, wenn
p−1
und
q−1
kleine Primfaktoren haben. Bei der Wahl von
p
und
q
ist
also auch darauf zu achten, dass dies nicht der Fall ist.
2.
Zufallskomponente :
x ∈ {0, 1}w mit w < blog nc durch Anhängen oder
Voranstellen eines zufälligen Bitstrings r auf Länge blog nc gebracht und das Wort x◦r
(Konkatenation von x und r ) wie beschrieben verschlüsselt. Die Zufallskomponente
r macht den Verschlüsselungsalgorithmus E zu einem randomisierten Verfahren. Der
Empfänger muss natürlich ebenfalls die Länge w kennen, um nach der Entschlüsselung
aus x◦r die eigentliche Botschaft x zu ermitteln. Dieses Vorgehen hat auch den Vorteil,
In der Praxis wird der Klartext
dass selbst bei mehrmaligem Versenden derselben Botschaft (oder Wiederholung von
Blöcken) unterschiedliche Chiretexte entstehen und zum Beispiel die Parität der
Anzahl der 1-Bits in
Information über
3.
x
x◦r
sowie das letzte Bit von
x◦r
rein zufällig sind und keine
liefern.
Wahl des Verschlüsselungsschlüssels e:
Mitunter wird vorgeschlagen,
e=3
zu wählen, weil dann die Verschlüsselung beson-
n.) Es
x ezient ermitteln kann, wenn drei Chireöentlichen Schlüsseln (n1 , 3), (n2 , 3), (n3 , 3) vorliegen.
ders ezient vor sich geht. (Man benötigt nur zwei Multiplikationen modulo
gibt aber einen Angri, der den Klartext
texte für
x
mit verschiedenen
(Dies kann passieren, wenn Alice dieselbe Nachricht ohne Zufallskomponente an drei
verschiedene Empfänger mit verschiedenen RSA-Schlüsseln schickt.)
3 Als RSA Factoring Challenge wurde 1991 eine Liste von Zahlen der Form
p
und
q
p·q
für Primzahlen
herausgegeben, mit der Aufforderung, diese zu faktorisieren. Die Bitlängen der Zahlen
reichen von 330 bis 2048. Die gröÿte der bislang faktorisierten Zahlen hat 768 Bits (RSA-768). Die
Rechenzeit wird als almost 2000 years of computing on a single-core 2.2 GHz AMD Opteron-based
computer angegeben. (Quelle:
http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_numbers.)
6
Diesem Problem entgeht man, indem man etwa
e = 216 +1 wählt. Auch in diesem Fall
ist die Verschlüsselung billiger als im allgemeinen Fall, da man mit 17 Multiplikationen
modulo
4.
n
auskommt.
Empfänger rechnet modulo p und q:
kennt, können wir auch annehmen, dass er sogar die Faktoren p und q
d
kennt. Dies kann zu einer Beschleunigung der Berechnung von z = y mod n benutzt
d
d
werden, wie folgt: Bob berechnet zp = y mod p und zq = y mod q . Aus diesen beiDa Bob
d
den Zahlen bestimmt er mit dem Chinesischen Restsatz
und
z ∈ [n]
mit
z ≡ zp (mod p)
z ≡ zq (mod q). Dieses Vorgehen spart Rechenaufwand, da die Exponentiationen
nur mit Zahlen der halben Länge durchgeführt werden müssen und die Anwendung
des Chinesischen Restsatzes auf den erweiterten Euklidischen Algorithmus hinauslaufen, der eine deutlich kleinere Rechenzeit als eine Exponentiation hat. Eine Überschlagsrechnung ergibt, dass sich durch dieses Vorgehen der Rechenaufwand für die
Entschlüsselung etwa um den Faktor 4 verringert.
Bemerkungen zum Faktorisierungsproblem:
Nach wie vor gibt es keinen Polynomialzeitalgorithmus, der beliebige zusammengesetzte Zahlen
n in ihre Primfaktoren zerlegen kann (äquivalent: in polynomieller Zeit
n bestimmen kann). Allerdings gab es in den letzten
einen nichttrivialen Faktor von
Jahrzehnten auch gewaltige Fortschritte bei der Entwicklung immer besserer Verfahren.
•
(p − 1)-Methode (klassisch): Führt zu schneller Ermittlung eines Fakvon n, wenn für einen Primfaktor p von n gilt, dass p − 1 nur kleine
Pollards
tors
Primfaktoren hat.
•
ρ-Methode (klassisch): Führt zur Ermittlung eines Faktors von n in
√
p), wo p ein Primfaktor von n ist. Da n immer einen
Primfaktor in
O(
√
√
4
O( n) hat, ist die Rechenzeit im schlechtesten Fall in O( n) = O(2(log n)/4 ).
Gute Ergebnisse erhält man also, wenn n einen kleinen Primfaktor p hat. (Die
oben angegebenen Vorschriften zur Wahl von p und q vermeiden diese SituatiPollards
Zeit
on.)
√
(ln n)(ln ln n)
•
Quadratisches Sieb (Pomerance, 1981): Rechenzeit
•
Zahlkörpersieb (um 1990, zwei Varianten): Die schnellsten heute bekannten
O(e
).
Faktorisierungsverfahren. Die anfallenden Rechnungen können auf vielen Rechnern parallel durchgeführt werden. Die Gesamtrechenzeit ist beschränkt durch
7
1/3 (ln ln n)2/3
O(eC(ln n)
),
für eine Konstante
C.
Mit Zahlkörpersieb-Verfahren wur-
de von 2003 bis 2005 die Zahl RSA-200 (mit 200 Dezimalstellen) faktorisiert,
sowie in den Jahren 2007 bis 2009 die Zahl RSA-768 (mit 768 Binärstellen bzw.
232 Dezimalstellen).
Der Rechenaufwand für die Faktorisierung 200-stelliger Zahlen ist heute noch so immens, dass diese Art von Angri auf das RSA-System noch nicht als ernsthafte Bedrohung angesehen wird.
3.3
Das Rabin-Kryptosystem
Es ist nicht bekannt, ob das Problem, RSA-verschlüsselte Botschaften unberechtigterweise zu entschlüsseln, äquivalent zum Faktorisierungsproblem ist.
Wir betrachten hier noch das Rabin-Verschlüsselungsverfahren, bei dem dies der Fall
ist. Auch beim Rabin-Verfahren handelt es sich um ein Public-Key-Kryptosystem.
3.3.1 Schlüsselerzeugung
Bob (oder das Trustcenter) wählt zwei verschiedene zufällige groÿe Primzahlen
q
4
mit
p ≡ q ≡ 3 (mod 4),
p und
also Primzahlen, die um 1 kleiner als ein Vielfaches von
sind. (Das Verfahren aus Abschnitt 2.2. funktioniert genauso schnell, wenn man
nur Zahlen testet, deren Binärdarstellung mit 11 endet.) Er berechnet
öentliche Schlüssel ist
k = n;
der geheime Schlüssel ist
n = pq .
Der
k = (p, q).
3.3.2 Verschlüsselung
n von Bob. Wir beschreiben nur die Verschlüs< n ist. Alice berechnet
Alice ndet den öentlichen Schlüssel
selung eines Blocks
x,
der eine Zahl
y := x2 mod n
und sendet
y
an Bob.
3.3.3 Entschlüsselung
y . Er hat nun das Problem, Quadratwurzeln von y modulo n zu berechnen,
2
Zahlen b mit b mod n = y . Er hat aber den Vorteil, die Faktoren p und q
Bob erhält
das sind
8
zu kennen. Er berechnet:
r := y (p+1)/4 mod p
und
s := y (q+1)/4 mod q.
r2 mod p = ((x2 mod n)(p+1)/4 )2 mod p = xp+1 mod p = (xp ·x) mod p = x2 mod
p (wir haben den kleinen Satz von Fermat in der Version xp ≡ x (mod p) für alle x
2
2
benutzt), gilt r − x ≡ (r − x)(r + x) ≡ 0 (mod p). Das heiÿt, dass entweder r ≡ x
(mod p) oder p − r ≡ x (mod p) gilt.
Weil
Genauso sieht man, dass
s ≡ x (mod q)
oder
q − s ≡ x (mod q)
gilt.
Mit der konstruktiven Variante des chinesischen Restsatzes (Bemerkung nach Fakt
1.26) kann Bob nun vier Zahlen
z1 , . . . , z4 ∈ {0, . . . , n−1} berechnen, die die folgenden
Kongruenzen erfüllen:
z1 ≡ r
z2 ≡ r
z3 ≡ p − r
z4 ≡ p − r
(mod
(mod
(mod
(mod
p)
p)
p)
p)
und
und
und
und
z1
z2
z3
z4
≡ s (mod q);
≡ q − s (mod q);
≡ s (mod q);
≡ q − s (mod q).
x ∈ {z1 , . . . , z4 }. Bob kann nun eine dieser vier Möglichkeiten wählen. (Man kann Vorkehrungen treen, dass sinnvolle Blöcke x leicht
zu erkennen sind. Beispielsweise könnte man den Block x mit einer bestimmten Bitfolge wie 10000 abschlieÿen. Es ist dann nicht anzunehmen, dass die Binärdarstellung
Wegen der obigen Überlegung ist
einer der anderen Möglichkeiten ebenso endet.)
Welcher Rechenaufwand ist nötig? Für die Verschlüsselung muss nur eine Quadrierung
2
modulo n durchgeführt werden; sie kostet nur Zeit O((log n) ). Die Entschlüsselung
erfordert eine Exponentiation modulo
p
und eine modulo
q
und mehrere AnwendunO((log n)3 ).
gen des erweiterten Euklidischen Algorithmus insgesamt Zeit
3.3.4 Sicherheit
Wir nehmen an, Eve hätte ein ezientes Verfahren
zum öentlichen Schlüssel
n
B,
mit dem sie alle Kryptotexte
entschlüsseln kann. Wir zeigen, dass sie dann auch
n
faktorisieren kann. (Solange man annimmt, dass dies ein schwieriges Problem ist,
kann auch die Annahme, dass Eve Verfahren
B
hat, als unwahrscheinlich gelten.)
x aus {1, . . . , n − 1} zufällig. Wenn ggt(x, n) > 1,
ist sie fertig, denn dieser gröÿte gemeinsame Teiler ist entweder p oder q . Andernfalls
Eve geht so vor: Sie wählt eine Zahl
9
y = x2 mod n. Dann wendet sie ihr Entschlüsselungsverfahren an und
2
berechnet ein z = B(y) mit z ≡ y mod n. Dieses z hängt wohlgemerkt nicht von
x, sondern nur von y ab. Es gilt x2 ≡ z 2 (mod n). Wie oben gesehen gibt es vier
berechnet sie
Möglichkeiten:
x≡z
x≡z
x ≡ −z
x ≡ −z
(mod
(mod
(mod
(mod
p)
p)
p)
p)
und
und
und
und
x ≡ z (mod q);
x ≡ −z (mod q);
x ≡ z (mod q);
x ≡ −z (mod q).
Welche dieser Möglichkeiten die richtige ist, hängt vom Zufall ab, der die Auswahl
x steuert. Jede der 4 Quadratwurzeln von y
x gewählt worden zu sein.
von
als
Im ersten Fall ist
x = z,
Im zweiten Fall ist
hat dieselbe Wahrscheinlichkeit
1/4,
Misserfolg.
0 < |x − z| < n
und durch
p
teilbar, woraus ggt(x
− z, n) = p
folgt: Erfolg!
Im dritten Fall ist
0 < |x − z| < n und durch q
teilbar, woraus ggt(x − z, n)
=q
folgt:
Erfolg!
x + z = n, also x − z ≡ 2x (mod n).
ggt(x − z, n) = 1, Misserfolg.
Weil
Also gelingt es Eve mit Wahrscheinlichkeit mindestens
1/2,
Im vierten Fall ist
ergibt sich
2x
teilerfremd zu
die Faktoren von
n
n
ist,
zu
ermitteln.
`-fache Wiederholung
1
lichkeit auf 1 − ` erhöhen.
2
Durch
desselben Experiments lässt sich die Erfolgswahrschein-
10