Theorie

Astrophysik mit hochgeladenen Ionen:
Theorie und Experiment
Vorlesung 3, Theorie: die Struktur von
hochgeladenen Ionen
Zoltán Harman
[email protected]
Universität Heidelberg, 14.05.2013
Wasserstoff: das häufigste Element im
Weltall; z.B. 93 % aller Atome des
Sonnensystems sind H-Atome
eines der wenigen Systeme, für das die
Wellengleichungen der QM lösbar sind!
wasserstoffähnliche (hochgeladene)
Ionen: z.B. Ar17+ , Fe25+ , U91+ . . .
starke Coulomb-Potential des Kerns,
relativistische Effekte, Feinstruktur
die Einteilchenlösungen des H-Atoms
sind wichtige Bausteine zur
Beschreibung von Mehrelektronenionen
Schrödinger-Wellenfuntionen fürs H-Atom: sollen
von der QM-Vorlesung bekannt sein
2
~
∂
∆ + V(r) ψ(r, t) ,
i~ ψ(r, t) =
∂t
2m
Hier: ψ: skalare Wellenfunktion, spinloses Teilchen
2
V(~r) = V(r) = − Zer : Zentralpotential; Lösung für
die Wellenfunktion in Kugelkoordinaten:
i
ψ(~r, t) = ψ(r, Θ, φ)e− ~ Et
Ansatz: ψ(r, Θ, φ) = Rnl (r)Ylm (Θ, φ)
− r
Rnl ∝ rl · e na0 · Polynom(r): Radialfunktion;
Ylm : Kugelflächenfunktion
Der Drehimpuls
~ ist
~L = (Lx , Ly , Lz ) = ~r × ~p = ~r × ~ ∇
i
eine Erhaltungsgrösse:
[H, ~L2 ] = 0, [H, Lz ] = 0: die
Eigenfunktionen der Energie sind auch
Eigenfunktionen des Drehimpulses
~L2 Ylm (Θ, φ) = l(l + 1)~2 Ylm (Θ, φ);
Lz Ylm (Θ, φ) = m~Ylm (Θ, φ)
1
Ylm (Θ, φ) = √
2π
s
2l + 1 (l − |m|)! m
P (cos(Θ))eimφ
2 (l + |m|)! l
Pm
l (x): zugeordnete Legendre-Polynome
Raumspiegelung: P̂0 Ψ(~r) = Ψ(−~r);
P̂0 Ylm (Θ, φ) = Ylm (π − Θ, φ + π) =
(−1)l Ylm (Θ, φ)
n: Hauptquantenzahl;
l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (s, p, d, f , g, h, . . . )
Drehimpulsquantenzahl;
Parität: (−1)l = (+, −, +, −, +, −, . . . ) für
(s, p, d, f , g, h, . . . )
m = −l, . . . , l: magnetische Quantenzahl
Energieniveaus:
En = −mc2
Z2
(Zα)2
≈ −13.6 2 eV
2
2n
n
Die Energie ist nur von n abhängig: n2 -fache
Entartung
Keine Spineffekte, keine Feinstrukturaufspaltung
Bezeichnungen für das (nichtrelativistische) Wasserstoffspektrum:
Übergang n → m
de.wikipedia.org
Dirac-Gleichung:
i~
∂Ψ ˆ
= cα
~ ~p + mc2 β̂ + V(r) Ψ
∂t
mit der 4-komponentigen Wellenfunktion (Viererspinor, Bispinor)
 
Ψ1
Ψ2 
+
∗
∗
∗
∗

Ψ=
Ψ3  , Ψ = Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4
Ψ4
Eigenschaften der 4 × 4 Dirac-Matrizen:
α
~ˆ : symbolischer Dreiervektor
α
~ˆ = α̂1 , α̂2 , α̂3 = −α̂1 , −α̂2 , −α̂3
{α̂i , α̂j } = 2δij 14×4 ;
n
o
α̂i , β̂ = 0; α̂i2 = β̂ 2 = 14×4
→ damit gilt: E2 = ~p2 c2 + m2 c4
(1)
Weiterhin gilt: α̂i+ = α̂i , β̂ + = β̂, d.h. Hermitesch, reelle Eigenwerte;
Sp(α̂i ) = Sp(β̂) = 0
Standarddarstellung der Dirac-Matrizen:
0 σ̂i
12×2
0
α̂i =
; β̂ =
σ̂i 0
0
−12×2
Die Pauli-Matrizen sind hier
0 1
0 −i
1 0
σ̂1 =
, σ̂2 =
, σ̂3 =
;
1 0
i 0
0 −1

0
0
α̂1 = 
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0




1
0 0 0 −i
0 0
0 0 i 0 
0 0
0
 , α̂ = 
 , α̂ = 
0 2 0 −i 0 0  3 1 0
0
i 0 0 0
0 −1

1 0
0 −1

0 0
0 0
Lösungsansatz: Trennung in “große” und “kleine” Komponenten
(Zweierspinoren):
φ
ψ=
χ
Einsetzen in die Dirac-Gl. (1):
(E − mc2 − V)φ = c(~σ · ~p)χ,
2
(E + mc − V)χ = c(~σ · ~p)φ
→ φ und χ haben entgegengesetzte Paritäten!
(~x·: ändert die Parität; ~p· ∝ ∂/∂~x ebenso)
Paritätsoperator für Dirac-Teilchen: P = eiφ βP0
(2)
Die Wellenfunktion eines freien Elektrons hat einen
wohldefinierten Spin:
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
2
~S = ~~σ ; ~S = ~ ~σ = ~ 12×2 ; Sz = ~σ3 = ~
0 −1
2
4
4
2
2
Eigenfunktionen: χsms Zweierspinoren (“spin up”,“spin down”):
1
0
χ1,1 =
; χ 1 ,− 1 =
2 2
2
2
0
1
Die Wellenfunktion eines gebundenen, spinlosen Elektrons hat
wohldefinierten Drehimpuls (Schrödinger-Lösung, Ylm );
Wie konstruiert man Wellenfunktionen für ein gebunenes, Spin- 12
Teilchen?
Addition von Drehimpulsen (“Drehimpulskopplung“):
Für allgemeine Drehimpulsoperatoren ~J1 , ~J2 :
~J12 |J1 M1 i = J1 (J1 + 1)|J1 M1 i; J1z |J1 M1 i = M1 |J1 M1 i;
~J22 |J2 M2 i = J2 (J2 + 1)|J2 M2 i; J2z |J2 M2 i = M2 |J2 M2 i
Die Eigenfunktionen von ~J = ~J1 + ~J2 sind:
~J 2 |JMi = J(J + 1)|JMi; Jz |JMi = M|JMi
X
|JMi =
C(J1 , J2 , J; M1 , M2 , M)|J1 M1 i ⊗ |J2 M2 i
M1 ,M2
Dreiecksungleichung: |J1 − J2 | ≤ J ≤ J1 + J2
M1 + M2 = M
C(. . . ; . . . ): Clebsch-Gordan-Koeffizienten; wohl bekannt
Gilt für beliebige Drehimpulsoperatoren;
z.B. ~J1 = ~L, ~LTeilchen1 , . . . ; ~J2 = s, ~LTeilchen2 , . . .
In unserem Fall: Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin
Kugelspinoren (Zweierspinoren):
X 1
Ωjlm (Θ, φ) =
C l j; ml ms m Ylml (Θ, φ)χsms
2
m ,m
l
s
mit |l − 21 | ≤ j ≤ l + 12 , oder j = l ± 21 ; ml + ms = m
Beispiele:
l=0:
j = 12 ;
l=1: j=
l=2: j=
l=3: j=
Explizite Form:
q
Ωl+ 1 ,l,m =
2
1
2,
3
2,
5
2,
lj = s1/2
3
2;
5
2;
7
2;
lj = p1/2 , p3/2
lj = d3/2 , d5/2
lj = f5/2 , f7/2

j+m
Y
1
q 2j l,m− 2 
j−m
2j Yl,m+ 12
; Ωl− 1 ,l,m
2
 q

− j−m+1
Y
1
2j+2 l,m− 2 
= q
j+m+1
2j+2 Yl,m+ 1
2
Separationsansatz für die große und kleine Komponente:
φjlm = ig(r)Ωjlm (Θ, φ)
χjlm = −f (r)Ωjl0 m (Θ, φ)
g(r), f (r): radiale Wellenfunktionen
Substitution in Gl. (2):
dg κ + 1
− (E + mc − V)f + ~c
+
g
= 0,
dr
r
df
1−κ
(E − mc2 − V)g + ~c
+
f
= 0
dr
r
2
Radiale Dirac-Gleichungen: gewöhnliche gekoppelte
Differentialgleichungen für gκ (r), fκ (r) und E
(3)
Relativistische (Dirac) Drehimpulsquantenzahl:
(
−l − 1, j = l + 21 ;
1
κ=∓ j+
=
2
l,
j = l − 12
κ
-1
1
-2
2
-3
3
-4
l
0
1
1
2
2
3
3
j
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
Bezeichnung
s1/2
p1/2
p3/2
d3/2
d5/2
f5/2
f7/2
Gl. (3) gilt für beliebige Zentralfelder V(r);
2
Speziell für das Coulomb-Potential V(r) = − Zer :
Sommerfeldsche Feinstrukturformel:
1−1/2
0
B
B
Enj = mc2 B1 + „
@
(Zα)2
n−j−
1
2
C
C
«2 C
q
A
+ (j + 12 )2 − (Zα)2
(4)
Hier die Feinstrukturkonstante:
α=
e2
~c
= 0.0072973525698(24)
=
1
(CODATA2010)
137.035999074(44)
Entartung in n Aufgehoben: Feinstrukturaufspaltung; Entartung für
die gleichen n, j
Schale
K
L
L
L
M
M
M
M
M
n
1
2
2
2
3
3
3
3
3
κ
-1
-1
1
-2
-1
1
-2
2
-3
l
0
0
1
1
0
1
1
2
2
Bezeichnung
1s1/2
2s1/2
2p1/2
2p3/2
3s1/2
3p1/2
3p3/2
3d3/2
3d5/2
j
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
Energie (eV)
-13.606
-3.402
-3.402
-3.401
-1.512
-1.512
-1.512
-1.512
-1.512
Entwicklung von Gl. (4) nach (Zα):
EB = mc2 − Enj ≈ mc2 (Zα)2
1
(Zα)2
+
2n2
2n3
1
j+
1
2
3
−
4n
!!
1. Term: nichtrelativistischer Eigenwert, Bohrsche Formel; 2. Term:
relativistische Korrekturen, Ordnung (Zα)4 : bedeutsam für schwere
Elemente und für innere Schalen
Physikalischer Ursprung der relat. Korrekturen:
Spin-Bahn-Kopplung: im Ruhesystem des Elektrons erzeugt die
Kreisbewegung des Kerns ein Magnetfeld; dies wechselwirkt mit
dem magnetischen Moment des Elektrons
relativistische Massenzunahme:
klassische Energie eines
q
Teilchens: E = mc2 /
1−
v2
c2
Zahlenbeispiele für die Z-Abhängigkeit (1s1/2 Grundzustand):
Z
10
20
30
40
50
E (eV)
-1362
-5472
-12396
-22254
-36229
Z
60
70
80
90
100
E (eV)
-51585
-71699
-96117
-125657
-161615
Große Relevanz haben in der Astrophysik z.B. die Lyman-Serie des
H-Atoms und des Fe25+ -Ions
Die radialen Wellenfunktionen sind analytisch bekannt:
gebundene Coulomb-Dirac Wellenfunktionen
v
u
±(2λ)3/2 u
(mc2 ± E)Γ(2γ + n0 + 1)
gnκ (r)[fnκ (r)] =
t
Γ(2γ + 1) 4mc2 (n0 +γ)mc2 (n0 +γ)mc2 − κ n0 !
E
E
"
(n0 + γ)mc2
γ−1 −λr
×(2λr) e
− κ F −n0 , 2γ + 1; 2λr
E
#
0
∓F 1 − n , 2γ + 1; 2λr
√
p
2 c4 −E 2
, γ = κ2 − (Zα)2 ,
mit den folgenden Notationen: λ = m ~c
n0 = n − |κ|; Γ(x): Gamma-Funktion; F(a, b; x): konfluente
hypergeometrische Funktion
Weitere Korrekturen zum Wasserstoffspektrum:
de.wikipedia.org