Magische Quadrate

05.01.2004
Aufgabe zum Vortrag Regeln einhalten
Magische Quadrate
Mathematik und Spielen haben viel gemeinsam. Eine sehr beliebte "Spielerei" in
Mathematik sind die magischen Quadrate. Überlegen Sie sich eine
Unterrichtssequenz zum Thema "magische Quadrate". Beschreiben und
BEGRÜNDEN Sie Ihre Unterrichtskonzeption (Klassenstufe, Projekt,
fächerübergreifend, Vertretungsstunde, zwei Stunden vor den Ferien,... ) kurz.
http://www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/veranstaltungen/zahlsys_ws01_02/
(dann auf "Projekte" und dann auf "magische Quadrate" gehen)
Person 1
Unter einem magischen Quadrat versteht man ein Zahlenquadrat, in dem jeweils die Summe
der Zahlen einer beliebigen Zeile, Spalte oder Diagonale dieselbe „magische“ Zahl ergibt.
Unterrichtsskizze: Klasse 9, Vertretungsstunde
15 min.:
Einführung
Was sind „magische Quadrate“? Lehrerin erklärt anhand eines Beispiels, die
Besonderheiten dieser Quadrate. (Frontalunterricht, Lehrer-Schüler-Gespräch)
Ziel: Schüler sollen „magische Quadrate“ kennenlernen und verstehen.
20 min.:
Erstellen von Aufgaben
Schüler sollen in 4er Gruppen solche Quadrate entwerfen/konstruieren.
Schülerkompetenzen: -Zielgerichtete, strukturierte, transparente, dialoge
Vorgehensweise soll geübt werden
-Erläuterung von Problemsituationen
-Kommunikationsfähigkeit, Teamgeist
-Organisationsfähigkeit
Die Schüler sollen das Gelernte umsetzen können.
(Gruppenarbeit)
10 min.:
Förderung der Interaktivität
Je nach Zeit, sollen 3 bis 4 Gruppen, der Klasse die Quadrate präsentieren. Die
Schüler sollen versuchen auf die Lösungen zu kommen. (Tageslichtprojektor
eignet sich gut dafür)
Sozialkompetenz: Vortragen vor der Klasse
Sachkompetenz: Erarbeitung von Lösungen
(Schülergespräche)
1
05.01.2004
In diese Stunde sind die Schüler sehr aktiv. Die Schüler sollen sowohl Probleme lösen können
als auch die Ergebnisse präsentieren. Sie sollen fähig sein in der Gruppe zu arbeiten und somit
sich verständigen können. Sie sollen Vorschläge machen, aber in der Gruppe auch zuhören
können, und andere Lösungen akzeptieren. Der Lehrer verhält sich ziemlich zurückhaltend.
Du hast dir gut überlegt, welche Kompetenzen die Schüler/innen durch die
Aufgabe erwerben bzw. vertiefen. Leider hast du die mathematischen
Kompetenzen etwas vernachlässigt, dafür aber die sozialen Kompetenzen
sehr gut herausgearbeitet.
Uns fehlt die Begründung, warum du die magischen Quadrate in einer
Vertretungsstunde in der neunten Klasse ansetzt.
Person 2
Unterrichtssequenz zum Thema „Magische Quadrate“
Das unten angegebene Beispiel ordne ich in die zu bearbeitende Einheit „Terme und
Variablen“ ein, welche in der siebten Klasse zu behandeln ist.
Bei einem magischen Quadrat hat man zur Verwendung immer zwei Möglichkeiten:
1) man gibt alles vor und lässt etwas Spezielles festlegen, wie beispielsweise die
Summen der magischen Quadrate, indem man die Summe der Zeilen, Spalten und
Diagonalen prüft.
2) oder man lässt Lücken, welche die Schülerinnen und Schüler vervollständigen
müssen.
a + p + 2q
a
a+ 2p + q
a + 2p
a+ p + q
a+ 2q
a + q A + 2p + 2q a+ p
oder
x-y
x+y+z
x-z
x+y-z
x+z
x–y-z
x–y+z
2
05.01.2004
Diese Aufgaben sind – wie bereits erwähnt – für die siebte Klasse bedacht. Ich bin der
Meinung, dass man solche Quadrate als spielerisches Element in der Schule regelmäßig
einsetzen sollte, weil die Einsetzmöglichkeiten von magischen Quadraten sehr mannigfaltig
ist:
Die Schülerseite betreffend:
•
•
•
Die Schülerinnen und Schüler können den Stoff spielerisch erlernen und somit auch
spielerisch festigen und perfektionieren.
Magische Quadrate fördern das logische Denken bei den Schülerinnen und Schüler
Schülerinnen und Schüler haben Spaß und haben normalerweise ein Erfolgserlebnis.
So besteht die Möglichkeit, dass sogar schwächere Schüler ein Erfolgserlebnis haben.
Die Lehrerseite betreffend:
•
Manchmal verschätzt man sich in der Planung einer Unterrichtsstunde. Deshalb sollte
vielleicht jede Lehrperson immer spezielle „Lückenfüller“ in der Tasche stecken hat.
So ein „Lückenfüller“ wären beispielsweise magische Quadrate.
•
Eine weitere Möglichkeit solche magische Quadrate einzusetzen ist durchaus der
Zeitvertreib in Vertretungsstunden.
•
Magische Quadrate sind gut einsetzbar als Motivationsstoß zu Beginn einer Stunde
oder als Auflockerung während einer Unterrichtsstunde.
•
Eine solche Art von Aufgaben sind gut geeignet für einen Stationenunterricht. Bei der
Lösung einer solchen Aufgabe kann das logische Denken der Schülerinnen und
Schüler während des Konkurrenzkampfes ( wer am schnellsten mit den Aufgaben
fertig ist ) gefördert werden. Hier würde es ja darum gehen, wer nun am schnellsten
die Lösung herausfindet. In diesem Fall wären die schwächeren Schüler klar im
Nachteil.
•
Es eignet sich natürlich auch für den Ausklang des Schuljahres oder freitags in der 6.
Stunde.
•
Das Thema „magische Quadrate“ halte ich nicht für sehr reizvoll als Überschrift eines
Projekts. Die Schülerinnen und Schüler sind überfordert , falls diese drei Tage lang
„tüfteln“ müssen.
Das ist eine schöne Idee auf diese Weise den Umgang mit Termen zu
üben oder auch zu festigen. Leider hast du nicht beschrieben, wie die
Unterrichtssequenz konkret verlaufen soll.
Du hast ausführlich aufgeführt, wie und wann Lehrer/innen magische
Quadrate einsetzen können und was dies auf Schülerseite bewirken kann.
3
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Person 3
Magische Quadrate sind sehr gut als Kopfrechentraining (für Brüche und negative Zahlen)
geeignet. Zudem fördern sie viele Mathematische Kompetenzen. Beim Erstellen eines
Magischen Quadrates spielt das Problemlösen und Mathematische denken eine große Rolle.
Gut bietet sich auch eine Gruppenarbeit oder Partnerarbeit zum lösen von Magischen
Quadraten. Gerade dieses Erlernen mathematischer Kompetenzen ist ein zentrales Ziel des
Mathematikunterrichts und daher bietet sich das Verwenden von Magischen Quadraten sehr
gut an. Je nach Art der Quadrate sind sie auch für verschiedenen Klassenstufen geeignet,
daher könnte man sie in jeder Klassenstufe in unterschiedlicher Art verwenden.
Als Einführung und Motivation würde ich die Geschichte zum ältesten magischen Quadrat
nehmen:
Das Lo Shu Quadrat
Das älteste uns bekannte magische Quadrat ist das Lo Shu und es stammt aus China. Der
Legende nach hat der sagenumwobene Kaiser Yü das Quadrat auf dem Rücken einer
Schildkröte entdeckt, als diese aus dem Fluss Lo auftauchte.
Die Zahlen von 1 bis 9 sind hier so angeordnet, dass die Kräfte der geraden Zahlen (sie stellen
das weiblich Prinzip "Ying" dar) und die Kräfte der ungeraden Zahlen (das männliche Prinzip
"Yang") harmonisch ausgerichtet sind.
Zählt man die 3 Zahlen einer Zeile zusammen, so erhält man immer 15. Addiert man die drei
Zahlen einer Spalte, so ist die Summe auch jedes Mal 15; das gleiche gilt für jede der beiden
Diagonalen. Quadratische Anordnungen von Zahlen mit diesen Eigenschaften heißen seit
jeher "Magische Quadrate"; die Summenzahl - hier 15 - heißt "Magische Zahl".
Dass diese Quadrate etwas Besonderes sind, kann man sich leicht klarmachen. Es gibt
nämlich 362880 Möglichkeiten, die Zahlen von 1 bis 9 zu einem Quadrat von 3 x 3 Feldern
zu ordnen. Aber nur 8 dieser Möglichkeiten bilden Magische Quadrate.
Die Schüler sollen nun versuchen ein solches Quadrat auszufüllen. Als Erleichterung würde
ich zunächst 4 Felder schon mit Zahlen belegen. Da es so viele Möglichkeiten für die
Zahlenanordnung gibt, wird durch Vorgabe von vier Zahlen zunächst die Schwierigkeit
verringert. Später kann man auch nur 3 Zahlen vorgeben.
Um das Ganze interessanter zu gestalten sollte man sich auch nicht nur auf Lo Shu Quadrate
beziehen sondern auch allgemeine Quadrate lösen oder erstellen lassen.
Je nach Klassenstufe kann man den Grad der Quadrate erhöhen und damit natürlich auch die
Schwierigkeit. In höheren Klassen wäre es anzustreben eine Methode für das Erstellen der
Quadrate 3.Grades herauszufinden. Hierfür bietet sich eine Exceltabelle an, mit der die
Schüler herumprobieren können und schnell Lösungen für selbst eingesetzte Zahlen angezeigt
bekommen.
Die Exceltabelle kann man ebenfalls im BSCW finden.
Dein historischer Abriss hat uns sehr gut gefallen. Dies ist mit Sicherheit
ein motivierender Einstieg. Wie du sagst, sind die magischen Quadrate in
jeder Klassenstufe einsetzbar, jedoch fehlt uns ein konkreter
Unterrichtsverlauf und die Angabe des Anlasses (Vertretungsstunde etc.).
Wir fanden gut, dass du den Einsatz der magischen Quadrate ausführlich
begründet hast. Sehr schön fanden wir auch die Idee mit der ExcelTabelle.
4
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Person 4
Magische Quadrate
(Das Mathematische Kabinett 1, dtv 1973)
In dem Kupferstich von Albrecht Dürer aus dem
Jahre 1514der in der Anleitung zu sehen ist, dem er den Titel "Die Melancholie"
gegeben hat, befindet sich in der
rechten oberen Ecke ein so genanntes
magisches Quadrat von der Ordnung 4
(Bild). Ein solches Quadrat besteht aus
16 Zellen, in denen die Zahlen 1 bis 16
in einer bestimmten Weise angeordnet
sind, so dass die Summe der Zahlen in
jeder Reihe, in jeder Spalte und in den
beiden Diagonalen immer dieselbe ist,
nämlich 34. Das ist die Definition eines
magischen Quadrats von der Ordnung
4. Magische Quadrate gibt es für jede
Ordnung, mit Ausnahme der Ordnung
2; das heißt, man kann die Zahlen 1 bis 9 in einem Quadrat 3 x 3 so anordnen, dass
die Summe der Reihen, Spalten und Diagonalen jeweils dieselbe Zahl, nämlich 15,
ergeben. Die Zahlen 1 bis 25 lassen sich in gleicher Weise zu einem magischen
Quadrat der Ordnung 5 zusammensetzen.
Soweit zum Überblick.
Um ein solches Magische Quadrat lässt sich hervorragend als spiel in einen Unterricht
einbauen.
Ich für meinen Teil würde es in eine Mathematikstunde Packen die kurz vor den
Sommerferien liegt und die Zeugnisse schon gemacht sind. Genau in diesem
Zeitraum braucht man faszinierende Mathematik Themen wie dieses.
5
05.01.2004
Auch für eine Vertretungsstunde während der Prüfungen oder ähnliches lässt sich
damit wunderbar beschreiten, da man die Magischen Quadrate gut ohne eine
Einbettung in ein Bestimmtes Thema behandeln kann.
Fächerübergreifend könnte man mit dem Fach Deutsch kooperieren, da in Goethes
Faust die Anleitung eines Magischenquadrates im hexen einmaleins versteckt ist.
Ich würde die magischen Quadrate von Klasse 7 - 10 verwenden, da sie selbst für
Erwachsene noch sehr viel faszinierendes bieten, aber vor der 7. Klasse
wahrscheinlich etwas zu komplex sind.
Zum Unterricht:
Einführung der magischen Quadrate über die Projektion am Overheadprojektor.
Schüler selbst erkennen lassen was das besondere an diesem Quadrat ist.
Arbeitsblatt mit einem unvollständigen magischen Quadrat.
Aufgabenstellung Schüler sollen sich ein unvollständiges Quadrat ausdenken und
ihrem Nachbarn zur Bearbeitung geben.
Zur Abrundung könnte man noch Überlegungen zur Größe solcher magischer
Quadrate anstellen.
Danach sind 45 Min auf alle fälle schnell vergangen und obwohl die Zeugnisse schon
geschrieben sind waren die Schüler bei der Sache und haben wichtiges gelernt.
Wir finden es eine tolle Idee, Goethes Hexeneinmaleins im
Mathematikunterricht einzusetzen, aber es stellt für uns nichts
fächerübergreifendes dar, denn Goethes Faust wird erst in der Oberstufe
des Gymnasiums behandelt.
Du hast die Aufgabenstellung gut erfüllt.
Person 5
Magische Quadrate
Wir
würden
die
magischen
Quadrate
fächerübergreifend
in
Musik
in
einer
Übungsdoppelstunde anwenden. Der Musikunterricht lässt sich den Schülern näher bringen,
die in diesem Fach nicht so begabt bzw. keine musikalischen Interessen hegen.
Die Verwendung der magischen Quadrate im Musikunterricht sollte natürlich mit dem
Mathematiklehrer der Klasse abgesprochen sein. Dieser sollte die Quadrate in einer der
vorangehenden Stunden einführen, so dass der Musiklehrer sie in seiner Stunde benutzen
kann. Am Geeignetsten wäre natürlich, wenn der Musiklehrer gleichzeitig der Mathelehre in
der Klasse ist. Die Gestaltung bzw. Einteilung der Stunden sind somit freier.
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Die magischen Quadrate lassen sich beim Besprechen einer Fuge oder eines Werkes in der
Zwölftontechnik gut anwenden. Anhand der verschiedenen Erscheinungsformen eines
Themas kann die Fuge auch anhand eines magischen Quadrates den Schülern näher
gebracht werden.
Ausgehende Situation: Musiklehrer ist gleichzeitig der Mathelehrer
Bsp: Bestimmen der Halbtonschritte für die LPE Intervalle in Klasse 6 / 7
Johann Nepomuk David: Symphonische Phantasie in drei Sätzen
1. Satz: Saturn
Grundton: ges
Den Schülern wird der Grundton ges gegeben. Anhand der reihen aus dem 1. Satz der
Phantasie sollen die Schüler nun die Halbtonschritte der einzelnen Intervalle ermitteln. Dies
erfolgt durch Abzählen der Reihen bzw. Halbtonschritte.
Dieses Abzählen liefert automatisch ein magisches Quadrat.
4
9
1
3
5
7
8
1
6
Die Schüler sollen nun das magische Quadrat, das durch seine Struktur 3x3 den Schülern
schon vorgegeben wurde, untersuchen. Sie sollen das Quadrat auf Gemeinsamkeiten,
Regeln, bestimmte Zusammenhänge zwischen den Zahlen untersuchen.
Als Hilfestellung bzw. weitere Hinführung kann der Lehrer die Schüler darauf aufmerksam
machen, dass die Spalten, senkrecht wie horizontal, und die Diagonalen genauer betrachtet
werden.
Wenn die Schüler die Regeln aus dem magischen Quadrat erarbeitet haben, muss man
natürlich noch auf diese Regeln eingehen, so dass der Schüler diese Regeln auch
verinnerlicht
Diese Art von fächerübergreifendem Unterricht lässt sich zum Beispiel sehr gut anwenden,
wenn man diese Symphonie bespricht und gleichzeitig in eine neue LPE einsteigen will.
Man „schlägt hier 2 Fliegen mit einer Klappe.“
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Wir finden es gut, dass du einen Bezug zum Fach Musik gefunden hast,
jedoch beschreibst du hier den Ablauf einer Musikstunde. In diesem
Zusammenhang ist uns der Sinn der magischen Quadrate nicht ganz klar.
Wenn wir aber den umgekehrten Fall betrachten, d. h., dass „Übersetzen“
der Noten in die mathematische Sprache, erkennen wir eher einen Sinn.
Aber vielleicht fehlt uns auch das musikalische Verständnis.
Person 6
Magische Quadrate
Ich finde Magische Quadrate kann man in allen Klassenstufen in den Unterricht
einbinden. Man kann ja ganz einfach den Schwierigkeitsgrad ändern und somit die
Aufgabe an die jeweilige Klassenstufe anpassen.
Es gibt zwei verschiedene Arten von Aufgaben. Entweder man hat schon Zahlen im
Quadrat angeordnet und die Schüler sollen das restliche Quadrat zu einem
magischen voll ergänzen, oder die Schüler sollen selbst versuchen ein magisches
Quadrat aufzustellen.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Mögliche Beispiellösung
Man kann auch Hilfen geben wie.z.B.:
Man kann die Zahlen 1 bis 9 so zu einem Quadrat anordnen, dass die Summe dreier Zahlen
untereinander, nebeneinander und diagonal immer 15 ist.
Daraus können die Schüler dann leichter auf die Lösung eines magischen Quadrats
(hier 3x3) kommen.
8+c
1+c
6+c
Ein magisches Quadrat bleibt magisch, wenn man jede Zahl mit einer
........3+c....5+c....7+c.....Konstanten c verändert, zum Beispiel durch Addition. Man kann
...
auch subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
........4+c....9+c....2+c.....
...
Als Erweiterung können die Schüler dann versuchen selbst (entweder mit oder ohne
der obigen Hilfe) ein magisches Quadrat zu erstellen.
8
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Eine weitere Erschwerung ist, wenn man statt 3x3 Quadraten, 4x4Quadrate, 5x5
Quadrate oder nxn Quadrate erstellen lässt.
17 24 1
23
4
5
8 15
7 14 16
6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
Mögliches Beispiel für ein magisches Quadrat 5x5
In der 5.Klasse eignen sich die magischen Quadrate, da die Schüler in dem Alter
besonders gern knobeln. Die Quadrate sind aber auch gut geeignet um Kopfrechnen
zu üben. Jedoch sollte der Schwierigkeitsgrad nicht allzu hoch gewählt werden. Hier
würde ich bei den 3x3 Quadraten bleiben.
In der 6.Klasse gilt eigentlich das gleiche wie in der 5.Klasse, jedoch kann hier der
Schwierigkeitsgrad eventuell etwas gehoben werden.
In der 7. Klasse kann man einen gehobenen Schwierigkeitsgrad auswählen. Man
könnte den Schülern einfach ein magisches Quadrat vorlegen und sie dann tüfteln
lassen, was das besondere daran ist. Wenn sie dies dann raus haben, können sie
ein eigenes magisches Quadrat erstellen.
In der 8. Klasse wäre das magische Quadrat denkbar als Einstieg in die
Gleichungen. Man könnte Zahlen auslassen oder sie einfach durch einen Platzhalter
(x) ersetzen. Somit bilden sich Gleichungen, welche die Schüler lösen können. Damit
hätte man einen Einstieg zu komplexeren Gleichungen.
In der 9. / 10. Klasse würde ich einen hohen Schwierigkeitsgrad wählen. Ich würde
mit 3x3 Quadraten anfangen, und dann aber schnell über gehen in 5x5 Quadrate bis
hin zur Verallgemeinerung mit nxn Quadraten. Eine interessante Aufgabe wäre es
auch, wenn die Schüler ein Kurzreferat über magische Quadrate halten (mit
Geschichte usw). Oder sie machen eine Recherche, z.B. im Internet und
präsentieren ihre Ergebnisse dann (eventuell mit Powerpoint, Folien, Plakaten....)
Fazit:
Die magischen Quadrate lassen sich in allen Klassenstufen anwenden. Sie bieten
eine schöne Abwechslung im Schulalltag. Man kann sie leicht in unterschiedliche
Schwierigkeitsstufen einteilen. Außerdem sind sie flexibel anwendbar, z.B.:_
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- als Einstieg in eine Stunde ( in der 8. Klasse als Einstieg in die Gleichungen; oder
in der 5. Klasse als Rechenwiederholung am Anfang
der Stunde... )
- als Knobelstunde z.B. in einer Vertretungsstunde oder vor den Ferien
- als Kurzreferatsthema
- als Strafarbeit (kreative Alternative)
- als Rechercheübung (z.B. im Internet -> Fächerübergreifend; auch Präsentationen
können damit geübt werden)
- als Zusatzaufgabe in einer Klassenarbeit (wird immer beliebter)
- als Wiederholung am Ende einer Stunde (z.B. Gleichungen, oder Addition...) bzw.
am Ende einer Unterrichtseinheit.
- man könnte aus den magischen Quadraten auch einen Lernzirkel machen.
- man könnte auch eine kleine Projektarbeit aus den magischen Quadraten machen.
Mit Recherchen, verschiedenen Aufgaben usw., welche die Schüler am Ende (z.B.
nach einer Woche) vor der Klasse präsentieren müssen
.....
Du hast dir sehr viele Gedanken gemacht, wie und zu welchen Anlässen
(Vertretungsstunde etc.) die magischen Quadrate im
Mathematikunterricht einzusetzen sind.
Du hast zwar zu jeder Klassenstufe die Verwendungszwecke aufgelistet,
aber leider hast du dir keinen konkreten Unterrichtsverlauf überlegt.
Person 7
Aufgabe:
Mathematik und Spielen haben viel gemeinsam. Eine sehr beliebte "Spielerei" in
Mathematik sind die magischen Quadrate. Überlegen Sie sich eine
Unterrichtssequenz zum Thema "magische Quadrate". Beschreiben und
BEGRÜNDEN Sie Ihre Unterrichtskonzeption (Klassenstufe, Projekt,
fächerübergreifend, Vertretungsstunde, zwei Stunden vor den Ferien,... ) kurz.
Unterrichtsbeispiel mit Begründung
Da die magischen Quadrate sich hervorragend dazu eignen, den Spieltrieb von
Schülern anzusprechen, würde ich sie so früh wie möglich einsetzen. Auch in der
Grundschule wären sie in sehr einfacher Form für stärkere Schüler einsetzbar, doch
fällt dies nicht in meinen Zuständigkeitsbereich, da ich an einer Realschule
unterrichten werde.
So setze ich also mein Unterrichtskonzept für die 5. Klasse an.
Einstieg:
Über den Tageslichtprojektor wird ein 3 x 3 Quadrat an die Wand projiziert.
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Beispiel:
∆ΑΣ ΜΑΓΙΣΧΗ ΘΥΑ∆ΡΑΤ
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Die Schüler werden angeregt, die Besonderheiten dieses Quadrates heraus zu
finden.
¾ Bei Addition ergibt jede Spalte als Summe die Zahl 15.
¾ Bei Addition ergibt jede Zeile als Summe die Zahl 15.
¾ Bei Addition ergibt jede Diagonale als Summe die Zahl 15.
¾ Die verwendeten Zahlen sind fortlaufend.
¾ Jede Zahl kommt nur ein Mal vor.
Der Drache ist nur eine kleine Motivationsspritze. Mann könnte die Fragestellung auf
eine kleine Geschichte aufbauen, das kommt bei den „Kleinen“ immer gut an.
Weiterer Verlauf:
Die Schüler bekommen magische Quadrate ausgeteilt, in denen eine Zahlenreihe
vollständig ist, ansonsten jedoch Zahlen fehlen. Sie sollen diese ergänzen und sie
nach den gegebenen Regeln so vervollständigen.
Auf diese Weise wiederholen und üben die Schüler die Grundrechenarten im
Kopfrechnen und festigen die Regeln der magischen Quadrate.
Vertiefung:
Der kleine Drache hat eine Hexe getroffen, die ihm verraten hat, dass das HexenEinmaleins eine Bauanleitung für ein magisches Quadrat ist. In Gruppenarbeit soll
nun herausgefunden werden, wie das geht.
Gegeben:
∆ασ ∀Ηεξεν Εινµαλεινσ
∆υ µυσστ ϖερστεην!
Αυσ Εινσ µαχη Ζεην,
Υνδ Ζωει λασσ γεην,
Υνδ ∆ρει µαχη γλειχη,
11
05.01.2004
Σο βιστ δυ ρειχη.
ςερλιερ διε ςιερ!
Αυσ Φ⎫νφ υνδ Σεχησ,
Σο σαγτ διε Ηεξ,
Μαχη Σιεβεν υνδ Αχητ,
Σο ιστ σ ϖολλβραχητ:
Υνδ Νευν ιστ Εινσ,
Υνδ Ζεην ιστ κεινσ.
∆ασ ιστ δασ Ηεξεν Εινµαλεινσ.
∆ΑΣ ΜΑΓΙΣΧΗ ΘΥΑ∆ΡΑΤ
Aufgabe:
Wandelt das „Hexen-Einmaleins“ in ein „Magisches Quadrat“ um.
Der kleine Drach hat euch dabei schon etwas geholfen, in dem er den Anfang
gemacht hat:
Αυσ Εινσ µαχη Ζεην,
Es gibt zehn Felder, eins davon gehört nicht zum
magischen Quadrat.
Versucht nun der Reihe nach von oben nach unten Satz für Satz vorzugehen.
Tipps:
¾ Besprecht in der Gruppe, was jeder Satz bedeuten könnte.
¾ Arbeitet zunächst mit Bleistift.
¾ Macht hinter jeden Satz, den ihr bearbeitet habt einen Haken.
12
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¾ Beachtet die Regeln der magischen Quadrate und prüfe so eure Ergebnisse.
¾ Am Lehrertisch findet ihr für jeden Satz eine kleine Erklärung als Hilfestellung.
Versucht aber zuerst selber zu knobeln!
Schlussbesprechung:
Die Schüler tragen ihre Lösung gemeinsam vor, indem aus jeder Gruppe ein Schüler
einen Satz vorträgt. Ein anderer erklärt die Bedeutung und trägt die Lösung an der
Tafel in ein magisches Quadrat ein.
Die anderen Schüler vergleichen ihre Ergebnisse.
Am Ende wird überprüft, ob alle Regeln beachtet wurden.
Kommentar:
Hauptziel dieser Konzeption ist es, die Schüler auf spielerische Weise für die
Mathematik zu begeistern. Am Anfang der Stunde geschieht dies über die
Geschichte vom kleinen Drachen, der nicht so recht weiß, was dieses Quadrat wohl
zu bedeuten hat. So werden die Schüler dazu bewegt, die Regeln des magischen
Quadrats zu ergründen.
Im weiteren Verlauf üben die Schüler sowohl Kopfrechnen, als auch die Regeln des
magischen Quadrats ein. Da sie durch die Ausgangsgeschichte motiviert für das
Thema sind, werden sie diese Aufgabe gerne lösen.
Die letzte und auch schwerste Aufgabe fördert sowohl die Zusammenarbeit zwischen
den Schülern (die Klassen sind noch nicht sehr lange zusammen, so dass diese
Sozialform nur nützlich und sinnvoll sein kann), als auch das mathematische Denken.
Hierbei müssen sie herausfinden, was die Hexe wohl mit ihrem „Hexen-Einmaleins“
gemeint hat. Das Knobeln wird ihnen bestimmt Spaß machen, so dass die Aufgabe
an sich sehr motivierend ist.
Durch die Tipps und die bereitgestellten Hilfestellungen wird auch schwächeren
Schülern bzw. Gruppen ermöglicht, die Aufgabe erfolgreich zu lösen.
Die Besprechung der Lösung ermutigt die Schüler dazu ihre Ergebnisse zu
präsentieren. Im Zeitalter von „Harry Potter“ wird das Sprechen in Rätseln und
Erklären der Bedeutung besonderen Zuspruch seitens der Kinder finden.
Eine solche Unterrichtssequenz würde ich entweder in einer VertretungsDoppelstunde oder in einer einfachen eingeschobenen kleinen Einheit von zwei
Schulstunden nach einer großen Unterrichtseinheit oder vor den Ferien durchführen.
Ich möchte jedoch noch hinzufügen, dass das magische Quadrat so vielseitig
einsetzbar ist, dass es in jeder Klassenstufe und in unterschiedlichsten
Schwierigkeitsgraden angewandt werden kann.
Toll! Sehr ausführliche Ausarbeitung der Aufgabe. Du hast dir sehr viele,
gute Gedanken dazu gemacht. Vor allem gefällt uns, dass die
Schüler/innen über den Sinn der Aussagen des Gedichts nachdenken
müssen und die Sprache in einen mathematischen Kontext umsetzen
müssen.
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05.01.2004
Person 8
Unterrichtsvorschläge zum Thema : magische Quadrate
Magische Quadrate kann man in vielen Unterrichtssituationen anwenden.
- Zum Einstieg in den Unterricht.
- Als Knobelaufgabe zwischendurch.
- Am Ende einer Stunde, wenn noch Zeit übrig ist
- In Vertretungsstunden
- ...
Die Schüler werden in jeder Unterrichtssituation spaß am Knobeln und tüfteln haben.
Sie werden durch Matheaufgaben, die ihnen spaß machen motiviert .Außerdem
bieten sie eine schöne Abwechslung .Gleichzeitig ist es auch eine gute Übung zum
trainieren des Kopfrechnens.
Ich bin der Meinung, dass man das magische Quadrat in jeder Klasse einsetzten
kann. Egal ob 5.Klasse oder 10. Klasse. Natürlich ändert sich mit jeder Klassestufe
die Schwierigkeit. Man kann ja auch zum Beispiel mit negativen Zahlen rechnen.
Soweit eine Klasse noch nie mit magischen Quadraten gerechnet hat, kann der
Lehrer zum Einführen eines an die Tafel malen und die Schüler erst mal überlegen
lassen, was daran nun magisch sein könnte.
Mit Hilfe des Lehrers werden die Schüler auf die Lösung kommen, dass sich
Quadratische Zahlen in einem „magischen Quadrat“ anordnen lassen.
Und dass in dieser quadratischen Anordnung die Summe der Zahlen aller Spalten
und aller Zeilen sowie der beiden Diagonalen gleich ist.
Jetzt kann der Lehrer ein weiteres Quadrat angeben, indem die Schüler fehlende
Zahlen selbstständig ergänzen.
Als Weiterführung sollen die Schüler selbst magische Quadrate anfertigen .Erst für
3x3 ; 4x4 ; 5x5...je nach Klassenstufe.
Der Lehrer kann auch den Tipp geben, dass ein magisches Quadrat magisch bleibt,
wenn man jede Zahl mit einer Konstanten c verändert, zum Beispiel durch Addition.
Man kann auch subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
Man sieht, dass magische Quadrate sehr flexibel zu handhaben sind. Genau diese
Eigenschaft ermöglicht es, sie jeder Zeit im Unterricht einzusetzen.
Wie du sagst, sind die magischen Quadrate in jeder Klassenstufe
einsetzbar, jedoch fehlt uns ein konkreter Unterrichtsverlauf und die
Angabe des Anlasses.
14
05.01.2004
Person 9
Magische Quadrate:
Dieses Thema bietet sich für Vertretungsstunden oder Stunden vor Feiertagen
bzw. Ferien an. Z.B. eine 6. Klasse.
Als Hinführung zum Thema sollte eine Geschichte erzählt werden. Etwas
abenteuerliches wie z.B. daß ein Prinz ein Rätsel lösen muß um seine geliebte
Prinzessin heiraten zu dürfen. Leider ist der Prinz nur charmant und
gutaussehend, hat aber in Mathe immer nur nach der Prinzessin geschaut. Da sie
nur zurück geschaut hat, kann sie ihm nicht helfen. Aber wir können den beiden
helfen!
Somit ist ein bezug zum Thema hergestellt und ein zu lösendes Problem
gegeben. Die Kinder werden in Gruppen arbeiten und dürfen jedes Hilfsmittel
nutzen. Der Lehrer bleibt passiv und stellt lediglich mittel zur Verfügung.
Nach der Erarbeitungsphase folgen die Präsentationen. Je nach zur Verfügung
stehenden Zeit ( am Besten eine Doppelstunde) werden die Gruppengrößen
eingerichtet. Denn je mehr Gruppen es sind, um so länger dauert die
Prästationsphase.
Da dieses Thema völlig eigenständig ist, kann man es jeder Zeit in einer
fremden Klasse einbringen, unabhängig von deren Stoffplan. Speziell niedrige
Klassenstufen ( 6. Und 7.) lassen sich leicht hierfür begeistern. Ab der 9. Klasse
muß die Eingangsgeschichte geändert werden.
Vermutlich sind die 6. Und 7. Klasse am kreativsten bei der Lösungsfindung, da
ab der 8. Klasse eher gruppensoziologische Aspekte verfolgt werden.
Nette Idee die Schüler/innen mit dieser Geschichte zu motivieren. Du hast
die Aufgabenstellung gut erfüllt.
Person 10
Magische Quadrate
Unter einem magischen Quadrat versteht man ein Zahlenquadrat, in dem jeweils die
Summe der Zahlen einer beliebigen Zeile, Spalte oder Diagonale dieselbe magische
Zahl ergibt. Dabei kommt jede Zahl nur einmal vor. Die Schwierigkeit oder das
Problem liegt in der Anordnung der Zahlen. Das einfachste Quadrat umfasst 3x3= 9
Felder.
Stunde vor den Ferien in Klasse 6
Problemorientierter Einstieg:
Der Lehrer legt folgende Einstiegsaufgabe auf Folie auf den Tageslichtprojektor für
die Schüler auf:
15
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5
Tragt um die 5 herum die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8und 9 so in die Kästchen ein, dass
immer die Summe 15 herauskommt, wenn man eine Zeile, Spalte oder Diagonale
addiert. Tipp: Jede Zahl darf nur einmal eingetragen werden.
Diese Einstiegsaufgabe ist ein motivierender Zugang zum Thema „magische Quadrate“. Die
Schüler sollen nur versuchen diese Knobelaufgabe selbstständig zu lösen, also die Lösung
des Problems der Zahlenanordnung herauszufinden. Sie sollen durch Ausprobieren auf
verschiedene Lösungswege kommen, die diese problemorientierte Aufgabe lösen.
Ich glaube die Schüler werden mit Vergnügen versuchen die Aufgabe durch
Herumknobeln zu lösen, da diese einen spielerischen Charakter enthält.
Man kann das Lösen der Aufgabe zu einem Klassenwettbewerb machen. Der
Schüler, der zuerst einen richtigen Lösungsweg gefunden hat, erhält einen Preis.
Durch den Konkurrenzgedanke wird die Motivation der Schüler erhöht, denn jeder
möchte gewinnen und seine Mitschüler schlagen.
Als Ergebnissicherung und dass die Schüler sehen, dass verschiedene Wege zur
richtigen Lösung führen, stellen die Schüler ihre Ergebnisse der Klasse vor.
Lösungsvorschläge:
2
7
6
8
3
4
9
5
1
1
5
9
4
3
8
6
7
2
Wenn man nun die verschiedenen Ergebnisse der Schüler miteinander vergleicht,
stellt man fest, dass sie gleichwertig sind, d.h. durch Spiegelung des magischen
Quadrats an seinen Symmetrieachsen und durch Drehung um 90°, 180° und 270°
entsteht wieder ein magisches Quadrat mit der richtigen Lösung. Dies wird mit den
Schülern im Unterrichtsgespräch erarbeitet.
Zur Übung und Festigung im Umgang mit magischen Quadraten sollen die Schüler
bei den folgenden Aufgaben, die nun größere magische Quadrate enthalten, sich
überlegen, welche Zahlen sie noch einsetzen dürfen und wie die magische Summe
oder Zahl lautet. Dann sollen sie die Lücken der gegebenen magischen Quadrate
ausfüllen.
16
05.01.2004
6
7
1
10
3
13
9
17
1
14
23
5
11
4
6
10
12
16
18
8
15
14
16
13
21
25
9
Anschließend sollen die Schüler selbst versuchen ein magisches Quadrat mit 4 mal 4
Feldern, wobei die magische Zahl 34 ist, zu erstellen. Bei dieser Aufgabe kann der Lehrer
sehen, ob die Schüler das Prinzip der magischen Quadrate verstanden haben. Die Schüler
können bei dieser Aufgabe selbst überprüfen, in dem sie die Summen der Spalten, Reihen
und Diagonalen berechnen, ob sie das Zahlenquadrat richtig aufgestellt haben.
Zum Abschluss der Stunde können die Schüler ein beliebiges eigenes magisches
Zahlenquadrat aufstellen und überprüfen, ob dieses richtig ist. Dann sollen sie dieses
Quadrat nehmen und Lücken konstruieren. Dann tauschen die Nebensitzer ihre
selbstaufgestellten magischen Quadrate (mit Lücken) aus und der andere muss nun
versuchen durch Herumknobeln auf die Lösung des Zahlenquadrats seines
Nachbars zu kommen. Diese Aufgabe ist sowohl für Partnerarbeit als auch für
Gruppenarbeit geeignet.
Begründung:
Ich finde das Thema „magische Quadrate“ für eine Stunde vor den Ferien sehr
geeignet. Man kann die magischen Quadrate in jeder Klassenstufe einsetzen, nicht
nur in Klasse 6 wie in meinem gewählten Beispiel, denn man kann ihren
Schwierigkeitsgrad individuell festlegen. Meistens haben die Schüler in der letzten
Stunde vor den Ferien keine Lust auf normalen Matheunterricht. Die magischen
Quadrate haben einen spielerischen Charakter und wirken motivierend auf die
Schüler. Sie versuchen durch Herumknobeln auf die Lösung des Rätsels zu
kommen, was Schülern meiner Erfahrung nach sehr viel Spaß macht. Durch einen
Wettbewerb kann die Motivation durch den Konkurrenzgedanke noch gesteigert
werden, denn jeder möchte schneller sein als der andere.
Die Schüler bekommen bei den magischen Quadraten keinen Lösungsweg
vorgegeben. Sie sollen sich selbst dazu Gedanken machen und das Problem
versuchen selbstständig zu lösen.
Du hast dir sehr genau überlegt, wie der Unterricht verlaufen soll. Die
Überlegungen haben uns gut gefallen, jedoch sind wir nicht sicher, ob
diese alle in einer Stunde durchführbar sind. Gute Begründung deiner
Konzeption.
17
05.01.2004
Person 11
Aufgabe: Unterrichtssequenz zum Thema „magische Quadrate“.
Beschreibung
Klassenstufe: 6
Zeitpunkt: Direkt nach den Sommerferien
Zeitraum: 2 Schulstunden
Ziele:
-
Schüler „spielen“ selbstständig mit verschiedenen magischen Quadraten
-
Schüler wiederholen die Achsenspiegelung aus der fünften Klasse (wenn diese nach
den neuen Bildungsstandards erst in der sechsten Klasse vom Lehrer eingeführt wird,
wäre die Stunde auch günstig als Einführung)
-
Schüler „tüfteln“, setzen sich mit einem Problem auseinander und versuchen es zu
lösen
-
Übertragen von Bekanntem auf Unbekanntes
1. Stunde:
Zeit
Schülerhandlung
Lehrerhandlung
45 Min
- setzen sich an Gruppentische
- Schüler werden in Gruppen
aufgeteilt (3 Schüler pro Gruppe,
da nur so ein sinnvolles Arbeiten
möglich ist)
- ein magisches Quadrat der
Ordnung 3 wird ausgeteilt, auf
dem Blatt steht nur eine kurze
-
Schüler
„tüfteln“
(ausschneiden
magischen
der
Quadrats,
in
Gruppen Beschreibung und die magische
Felder
dann
des Zahl
kann -
Lehrer
beobachtet
ausprobiert und umgelegt werden)Æ Gruppengeschehen, nimmt sich
Visualisierung
aber
sonst
aus
dem
- wenn eine Gruppe fertig ist, darf sie Unterrichtsgeschehen heraus
sich
auflösen
und
jeder
einzelne
Schüler „tüftelt“ an dem magischen
Quadrat der Ordnung 4
18
05.01.2004
- Die einzelnen magischen Quadrate
werden auf ein großes Plakat geklebt
um in der nächsten Stunde ihren
Einsatz zu finden
2. Stunde:
Zeit
Schülerhandlung
Lehrerhandlung
45 Min
- Plakate werden von den Schülern an
der Tafel aufgehängt
- Die „unterschiedlichen“ Quadrate
werden
herausgesucht
und
gekennzeichnet
-
Impuls:
auflegen
Achsenspiegelung
-
kurze
Wiederholung
auf
einer
dem
der Tageslichtprojektor (Figur)
Eigenschaften einer A-Spiegelung
-
versuch
Zahlenreihen
zu
spiegeln
- Sch. versuchen einen Zugang zu
bekommen
und
zwei
Themen
zu
verbinden, die im ersten Augenblick
nichts gemeinsam zu haben scheinen
-Schüler suchen die Achsen in den
magischen Quadraten und zeichnen sie
ein
-Als Abschluss könnte das Bild
von
Albrecht
Dürer
mit
eingebracht werden um Erstaunen
zu wecken, wie alt doch die
magischen Quadrate sind
- Schüler betrachten das Bild und - evtl. könnte die Bildung der
beschreiben das magische Quadrat, das mag.Zahl erarbeitet werden
darauf zu sehen ist
19
05.01.2004
Begründung:
Die Stunde soll eine Wiederholungsstunde und alternativ dazu eine Einführungsstunde am
Schuljahresanfang darstellen. Die Klassenstufe 6 wurde gewählt, da in dieser Klasse die
Achsenspiegelung behandelt wurde und nun wieder in anderer Form in das Gedächtnis
gerufen werden soll. Ein spielerischer Zugang ist gut geeignet um alle Schüler anzusprechen,
die Guten wie auch die weniger Guten und die, die ein „Aber“ gegen das Fach Mathematik
haben. Alle können und sollen sich beteiligen und miteinbezogen werden. Die magischen
Quadrate sind häufig auch in Rätselheften zu finden. Das erleichtert den Zugang zu den
Schülern. Zwei Schulstunden wurden deshalb konzipiert, da die erste sich mit dem
Spielerischen und dem Tüfteln Zugang auseinandersetzt und die zweite dann in die Tiefe geht
und auch nach Begründungen der Schüler fragt, d.h. auch die mathematische Kommunikation
gefördert wird.
Es ist eine sehr schöne Idee, wie du die Schüler/innen nach den
Sommerferien spielerisch motivierst und gleichzeitig den
„durchzubringenden“ Stoff im Auge hast. Deine Begründung war in sich
schlüssig, jedoch haben wir uns etwas schwer getan deine
Unterrichtsskizze nachzuvollziehen.
Person 12
Unterrichtsvorschläge zum Thema : magische Quadrate
Knobelaufgabe:
Magische Quadrate eignen sich gut als Knobel-, bzw. Konzentrationsaufgabe ab der
5. oder 6.Klasse. Sie können am Ende einer Stunde, in einer Vertretungsstunde oder
auch in einer Stunde vor den Ferien eingesetzt werden. Dabei reicht eine kurze
Erläuterung: in jeder Spalte, Zeile und Diagonale sollen die Zahlen die gleiche
Summe ergeben.
Internetrecherche:
Da es zum Thema magische Quadrate sehr viele umfangreiche und gute Internetseiten gibt1,
1
z.B.:
www.magic-squares.de/magisch.html,
www.hp-gramatke.de/magic_sq/,
http://www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/veranstaltungen/zahlsys_ws01_02/projekte/magische_quadrate/Magische%20Quadrate
.htm)
20
05.01.2004
könnte man die Schüler auch einmal selbst recherchieren lassen. Dazu würden die Schüler
einige Fragen bekommen und die Aufgabenstellung, mit Hilfe einer Suchmaschine, wie z.B.
www.google.de, selbst zu forschen um die Fragen beantworten zu können. Mögliche Fragen:
→ Was ist ein „magisches Quadrat“?
→ Seit wann gibt es magische Quadrate?
→ Warum nennt man sie „magisch“?
→ Wie viele verschiedene magische Quadrate der Ordnung n = 4 und n = 5 gibt es?
Da die Internetseiten zum Teil sehr umfangreich sind und die Schüler viel Text durchschauen
müssen, würde ich solch eine Unterrichtsstunde in der 7. oder 8. Klasse ansetzen. Die Stunde
könnte im Rahmen des Informatikunterrichts stattfinden. Je nach dem wie tief man in das
Thema eintauchen möchte kann man die Internetrecherche auch in höheren Klassen ansetzen
und dann z.B. auch die Erzeugung von magischen Quadraten und die Berechnung, wie viele
verschiedene magische Quadrate der Ordnung n es gibt, selbst erarbeiten lassen.
Kurzreferate:
Eine Möglichkeit, die sich bei dem Thema magische Quadrate gut eignet ist die Präsentation
verschiedener Unterthemen in Kleingruppen. Dazu könnte z.B. die Internetrecherche genutzt
werden. Mögliche kleinere Themen wären:
-
Geschichte des magischen Quadrats
-
Erzeugung eines magischen Quadrats ungerader Ordnung
Dies könnte im regulären Mathematikunterricht geschehen, könnte aber genauso
fächerübergreifend mit Informatik und Geschichte geschehen. Wenn man das Thema in
Geschichte ansprechen würde, könnte man es z.B. in eine Unterrichtseinheit zu dem Thema
„Magie, Hexen und Mittelalter“ einschließen. Dieses Thema kann auch sehr gut in einer
höheren Klasse – 8. bis 10.Klasse – besprochen werden. Hier kann man auch schon davon
ausgehen, dass die Schüler relativ selbstständig arbeiten und ihre Arbeit präsentieren können.
Du hast dir viele, gute Gedanken gemacht, wie man das Thema
fächerübergreifend behandeln und aufbereiten kann. Du hast zwar
verschiedene Klassenstufen angesprochen, aber leider fehlt der konkrete
Unterrichtsverlauf.
21
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Person 13
Zum Vortrag Regeln einhalten.
Aufgabe: Unterrichtssequenz zum Thema „magische Quadrate“
Magische Quadrate bestehen aus Zahlenfelder, bei denen jede Zahlenreihe dieselbe Summe
ergibt, egal ob man die Zahlenfelder senkrecht, waagrecht oder diagonal addiert. Dabei
kommt jede Zahl nur einmal vor.
Magische Quadrate eignen sich gut als Knobel- bzw. Konzentrationsaufgabe ab der 5. Klasse.
Sie können:
- am Ende einer Unterrichtstunde als sogenannter „Lückenfüller“
- in einer Vertretungsstunde (kurzfristiger Stundenfüller)
- in der letzten Stunde vor den Ferien
- als Motivationsstoß (bei Denksportaufgaben haben Schüler Freude an Eigentätigkeit
und Können)
eingesetzt werden.
Ich würde magische Quadrate auf jeden Fall mit meinen Schülern behandeln, da
- das logische Denken der Schüler gefördert wird
- die Schüler lernen selbstständig Probleme zu lösen und gleichzeitig das Begründen
und Beweisen üben können
- durch den spielerische Charakter der magischen Quadrate wirken sie auf den Schüler
sehr motivierend. Die Schüler lernen den Stoff spielerisch und haben Spaß dabei,
durch Herumknobeln auf die Lösung des Rätsels zu kommen
Natürlich kann man magische Quadrate auch in den höheren Klassenstufen einsetzen, da man
ihren Schwierigkeitsgrad individuell variieren kann.
Als Einstieg in das Thema „Magische Quadrate“ könnte man den Schülern folgende Aufgabe
stellen:
Setze die Zahlen 1-9 so ein, dass die Summe immer
15 ergibt (waagrecht, senkrecht und diagonal).
Dabei darf jede Zahl nur einmal eingesetzt werden.
5
Die Schüler versuchen nun durch Herumknobeln und Ausprobieren die Lösung der Aufgabe
zu finden.
Als Ergebnissicherung stellen die Schüler ihre Lösungen der Klasse vor. Die Schüler sehen,
dass es mehrere Lösungen für diese Aufgabe gibt.
Lösungsvorschläge:
2
7
6
8
3
4
9
5
1
1
5
9
4
3
8
6
7
2
22
05.01.2004
Zum weitern Üben und Festigen sollen die Schüler nun größere Quadrate ausfüllen und die
magische Summe ermitteln.
6
7
1
10
3
9
17
1
14
23
5
11
4
6
10
12
13
16
18
8
15
14
16
13
21
25
9
Zum Schluss der Stunde sollen die Schüler versuchen, selbst ein magisches Quadrat mit 3 x 3
Feldern und der magischen Summe 30, zu erstellen.
Mit dieser Aufgabe kann ich leicht überprüfen, ob die Schüler das Prinzip der magischen
Quadrate verstanden haben.
=15
=15 =15
=15 =15
Du hast dir Gedanken darüber gemacht, wie und warum du magische
Quadrate im Unterricht einsetzen würdest. Der Unterrichtsverlauf ist zwar
vorhanden, jedoch fehlt die Angabe der Klassenstufe und der Anlass.
Person 14
magische Quadrate
Magische Zahlenquadrate sind Zahlenfelder, bei denen jede Zahlenreihe, egal ob
waagrecht, senkrecht oder diagonal addiert, dieselbe Summe ergibt. Dabei kommt
jede Zahl nur einmal vor. Die Schwierigkeit liegt jedoch in ihrer Anordnung. Das
einfachste Quadrat umfasst 3 mal 3, also 9 Felder.
Vertretungsstunde in der Klassenstufe 5/6
Einstieg:
Die Einstiegsfolie ist zu finden unter dem Namen: FixFoxi.jpeg
Diese, meiner Meinung nach ansprechende und motivierende, Einstiegsaufgabe
lösen die Schüler und Schülerinnen selbständig. Die Kinder sollen ermutigt werden,
durch ausprobieren auf Lösungen zu kommen.
Ergebnissicherung:
23
05.01.2004
Anschließenden stellen die Schüler ihre Ergebnisse vor.
z.B.:
=15
4
3
8
9
5
1
=15
2
7
6
=15
=15
=15
=15
=15
=15
Vergleichen wir die verschiedenen Ergebnisse, so stellen wir fest, dass alle richtigen
Lösungen äquivalent (gleichwertig) sind. D.h. durch Spiegelung des magischen
Quadrates an einer Symmetrieachse oder durch Drehung um 90°, 180° oder 270°
entsteht wieder ein solches.
1. Übung:
Die Schüler und Schülerinnen bestimmen die magische Summe und füllen die
Lücken bei den gegebenen magischen Quadraten aus.
z.B.
1
4
12 6
9
3
8
10
14
16 2
7
18
4
21
14
25
16
2
13
24
9
20
1
12
22
8
19
17
3
11
5
Durch diese Aufgaben werden die Schüler und Schülerinnen geübt im Umgang mit
magischen Quadraten.
2. Übung:
Versuch doch mal ein magisches Zahlenquadrat mit 4 mal 4 Feldern selbst zu
erstellen. Ein kleiner Tipp: Die Summe jeder Zahlenreihe muss 34 ergeben.
Bei dieser Aufgabe sollen sich die Schüler und Schülerinnen selbst kontrollieren,
indem sie die Summe von jeder Zahlenreihe überprüfen.
Vertiefung:
(Hinweis: Die Lösung ergibt ein pseudomagisches Quadrat, d.h. die Summe der
Diagonalen entsprechen nicht der magischen Summe.)
Aufgabe:
Eine verschlüsselte Anweisung für die Konstruktion eines Zahlenquadrates der
Ordnung drei findet sich im „Hexeneinmaleins“ aus Goethes „Faust I“.
Finde das pseudomagische Quadrat aus Goethes „Hexeneinmaleins“.
24
05.01.2004
Anmerkungen:
Du musst versteh’n!
Aus eins mach zehn,
und zwei lass geh’n,
die drei mach gleich,
so bist du reich.
Verlier die vier!
Aus fünf und sechs,
so sagt die Hex’,
mach sieben und acht,
so ist’s vollbracht:
und neun ist eins,
und zehn ist keins.
Das ist das Hexeneinmaleins!
(in die erste Reihe also: 10, 2, 3)
(reich an Wissen, weil die magische Summe 15 ist)
(in die zweite Reihe also: 0, 7, 8)
(die dritte Reihe enthält automatisch die 5, 6 und 4)
(magisches Quadrat mit 9 Feldern)
(es gibt kein magisches Quadrat mit 10 Feldern)
Hier ist es je nach Bedarf sinnvoll den Schülern und Schülerinnen Hilfestellungen zu
geben. Diese Aufgabe eignet sich auch sehr gut für Partner- oder Gruppenarbeit, da
sich die Schüler und Schülerinnen gegenseitig helfen können.
Begründung:
Diese Unterrichtssequenz ist meiner Meinung nach für eine Vertretungsstunde sehr
gut geeignet. Oft sind Kollegen / Kolleginnen überraschend verhindert und man kann
nicht rechtzeitig absprechen welche Themen als nächstes mit der Klasse erarbeitet
werden sollen. Mit der Unterrichtssequenz zum Thema „magische Quadrate“ greift
man seinen Kollegen nicht vor und für die Schüler und Schülerinnen haben diese
Aufgaben einen erheblichen Lerneffekt. Außerdem denke ich sind diese Übungen
für die Schüler und Schülerinnen motivierend, da sie abwechslungsreich sind und
Spaß machen.
Der Schwierigkeitsgrad ist meiner Meinung nach auch angemessen, wobei natürlich
je nach Klasse und Schüler die Aufgaben variiert werden müssen. Man könnte den
Kindern z.B. drei verschiedene Schwierigkeitsstufen (leicht, mittel, schwer),
insbesondere beim Hexeneinmaleins, zum Auswählen geben.
Wir finden deine Ausarbeitung sehr gut. Dein Einstieg hat uns besonders
gut gefallen. Ebenso gefällt uns, dass die Schüler/innen über den Sinn der
Aussagen des Gedichts nachdenken müssen und die Sprache in einen
mathematischen Kontext umsetzen müssen. Deinen Unterricht hast du gut
und schlüssig begründet.
Person 15
Da ich die Fächer Mathematik und Kunst studiere, könnte ich mir gut vorstellen das Thema
„Magische Quadrate“ fächerübergreifend zu unterrichten. Im Kunstunterricht würde ich das
„Magische Quadrat“ anhand des Kupferstiches von Albrecht Dürer „Melencolia“ (1514)
näher beschreiben. Dieses Quadrat besteht aus 16 Zahlen und zeichnet sich durch besonderen
Beziehungsreichtum aus. Das „Magische Quadrat“ von Albrecht Dürer hat seit vielen
Jahrhunderten viele Menschen beschäftigt.
25
05.01.2004
In der Mitte der unteren Zeile steht 1514, das Entstehungsjahr des Bildes und das Todesjahr
der Mutter von Albrecht Dürer
Die Magische Zahl ist 34; sie ergibt sich aber nicht nur als Summe der Zahlen in allen Zeilen,
Spalten und Diagonalen. Vielmehr stößt man bei der Suche nach weiteren Gruppen von vier
Zahlen mit der Summe 34 auf überraschende Zusammenhänge. Die Magische Zahl lässt sich
nämlich auf 9 Weisen durch Blöcke benachbarter Zahlen darstellen.
Der Architekt der Kathedrale Sagrada Familia in Barcelona Antonio Gaudi (1852 – 1926) hat
auch ein abgewandeltes Magisches Quadrat entworfen, um die Lebenszeit von Jesus (33
Jahre) als Magische Zahl darzustellen. Er vermeidet Bruchzahlen dadurch, dass er die Zahlen
12 und 16 streicht und dafür die Zahlen 10 und 14 zweimal verwendet. Auch diese Abbildung
könnte man gut in einer Kunststunde mit einbeziehen und besprechen.
26
05.01.2004
Indem ich in Kunst diese „Magischen Quadrate“ mit den Schülerinnen und Schülern näher
bespreche, wird das mythische und faszinierende dieser Zahlenkombinationen verdeutlicht
und das Interesse geweckt.
Ich würde das Thema in der Klassenstufe 7 behandeln, da sich die Schülerinnen und Schüler
in dieser Stufe mit Termen und Variablen im Mathematikunterricht auseinandersetzen. Jedoch
lässt sich dieses Thema auch gut in anderen Klassenstufen einsetzen, da es sehr vielfältig ist.
Unterrichtssequenz im Fach Mathematik:
Einführung: Folgendes „Magische Quadrat“ wird am Tageslichtprojektor gezeigt:
6
7
2
1
5
9
8
3
4
„Eine Darstellung der Zahlen von 1-9 in dieser Anordnung soll ein chinesischer Kaiser bereits
ca. 200 Jahre vor Chr. auf einem Glücksamulett getragen haben.“ Dies würde ich den
27
05.01.2004
Schülerinnen und Schülern sagen und daraufhin fragen, was das Besondere an genau dieser
Kombination ist.
Besonderheit:
Zählt man die 3 Zahlen einer Zeile zusammen, so erhält man immer 15. Addiert man die drei
Zahlen einer Spalt, so ist die Summe auch jedes mal 15, das gleiche gilt für die Diagonalen.
Ich bin mir sicher, dass die Schülerinnen und Schüler auf diese Besonderheit kommen, wenn
man ihnen ein wenig Zeit zum Überlegen lässt.
Anschließend würde ich sagen, dass quadratische Anordnungen von Zahlen mit diesen
Eigenschaften „Magische Quadrate“ heißen und die Summenzahl (in diesem Fall 15)
„Magische Zahl“ genannt wird.
Daraufhin würde ich den Schülerinnen und Schülern 3 unvollständige „Magische Quadrate“
geben, die sie vervollständigen sollen. Es wird dadurch sehr schnell klar, ob die Schülerinnen
und Schüler die Eigenschaften des „Magischen Quadrats“ verstanden haben und das Gelernte
anwenden können.
Vollständig betrachtet sehen die drei „Magischen Quadrat“ wie folgt aus:
Nach kurzem Hinsehen wird man Ähnlichkeiten entdecken: die 5 steht jedes Mal in der Mitte
- durch eine Rechnung lässt sich beweisen, dass dies immer so sein muss, wenn man mit den
Zahlen von 1 bis 9 „arbeitet“. Dies könnte man beispielsweise in der Unterrichtsstunde
ausbauen.
Man entdeckt bald weitere Beziehungen zwischen den Quadraten. Es zeigt sich bei
eingehenderer Betrachtung, dass man aus einem beliebigen der acht Magischen 3x3-Quadrate
die anderen sieben durch Drehungen und Spiegelungen erzeugen kann. Auf diese
Erzeugungen durch Drehungen und Spiegelungen würde ich ebenfalls näher eingehen, wobei
die Schülerinnen und Schüler selber darauf kommen sollen!
(Zur Erläuterung: Bei Magischen Quadraten mit den Zahlen 1 bis 9 gibt es lediglich 8
verschiedene!)
Ich finde die Arbeit mit „magischen Quadraten“ in der Schule eignet sich sehr gut. Die
Schülerinnen und Schüler haben Spaß an dieser Spielerei und lernen dabei etwas. Es eignet
sich gut für einen fächerübergreifenden Unterricht (Mathematik, Kunst) und könnte für eine
Abwechslung im Schulalltag sorgen. Auch könnte mit solchen Magischen Quadraten am
Ende einer Unterrichtsstunde gearbeitet werden. Die Arbeit mit Magischen Quadraten könnte
ebenfalls als Puffer für schnellere Schülerinnen und Schüler eingesetzt werden.
Du hast schön beschrieben, wo die magischen Quadrate in der Kunst
vorkommen und wie du sie in den Kunstunterricht integrieren würdest,
jedoch hast du nicht den umgekehrten Fall durchgespielt (Kunst in
Mathe). Deinen Unterrichtsverlauf hast du ausführlich beschrieben, jedoch
fehlt der Anlass (Vertretungsstunde ...).
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