Aufgaben zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Aufgaben zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung
1. Nach einem Unfall ermittelt die Verkehrspolizei für die Vollbremsung eines Motorrads
einen Bremsweg von 26 m. Für den Straßenbelag kann man eine Bremsverzögerung von
6,8 m/s² annehmen.
Mit welcher Geschwindigkeit ist das Motorrad gefahren?
2. Ein S-Bahnzug soll beim Anfahren gleichmäßig beschleunigen und nach 10 s eine Strecke
von 100 m zurückgelegt haben. Wie groß muss die Beschleunigung sein und welche
Geschwindigkeit hat er dann erreicht.
3. Ein Kraftfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 45km/h, erkennt ein Hindernis und
bremst. Seine Reaktionszeit ist 0,8 s, die Bremsverzögerung 4 m/s².
a) Berechnen Sie den gesamten Weg bis zum Stillstand des Fahrzeuges.
b) Wie ändert sich dieser Weg bei Verdopplung der Reaktionszeit?
c) Wie ändert sich dieser Weg bei Verdopplung der Geschwindigkeit?
Lösungen
1.
geg.:
Lösung:
s = 26m
m
a = 6,8 2
s
ges.:
v
Da die Bremsbeschleunigung als konstant angenommen wird, gilt allgemein:
a=
∆v
∆t
Der Motorradfahrer bremst bis zum Stillstand ab, so dass die Geschwindigkeitsänderung
genau seiner Anfangsgeschwindigkeit entspricht. Das ist die gesuchte Größe:
v
t
v = a⋅t
a=
Leider fehlt in dieser Gleichung noch die Bremszeit t. Da aber der Bremsweg bekannt
ist, lässt sich daraus die Bremszeit bestimmen:
a
s = ⋅ t2
2
2⋅s 2
=t
a
t=
2⋅s
a
2 ⋅ 26m
m
6,8 2
s
t = 2,77 s
t=
Damit lässt sich die Anfangsgeschwindigkeit des Motorradfahrers bestimmen:
m
⋅ 2,77 s
s2
m
v = 18,8
s
km
v = 67,8
h
v = 6,8
Hinweis: Die Gleichung für die Zeit hätte auch gleich eingesetzt werden können:
v 2 = a2 ⋅ t 2
2⋅s
a
2
v = a⋅2⋅s
v 2 = a2 ⋅
v = 2⋅s ⋅a
v = 18,8
Antwort:
m
s
Der Motorradfahrer hatte eine Geschwindigkeit von 67,8 km/h drauf.
2.
geg.:
Lösung:
t = 10 s
s = 100 m
ges.:
v, a
Es gelten die Gleichungen für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Da die Geschwindigkeit gesucht ist, nimmt man
v = a⋅t
Die Zeit ist bekannt, die Beschleunigung leider nicht.
Also verwendet man weiter
a
s = ⋅t2
2
2⋅s
a= 2
t
Eingesetzt:
2⋅s
⋅t
t2
2⋅s
v=
t
2 ⋅100 m
v=
10 s
m
v = 20
s
km
v = 72
h
v=
Die Beschleunigung kann jetzt leicht berechnet werden:
v = a⋅t
a=
v
t
m
s
a=
10 s
20
a=2
Antwort:
m
s2
Der Zug beschleunigt mit 2 m/s² und hat eine Geschwindigkeit von 72 km/h erreicht.
3.
geg.:
km
m
= 12,5
h
s
km
m
v 2 = 90
= 25
h
s
t r1 = 0,8 s
v 1 = 45
ges.:
s
t r 2 = 1,6 s
a= −4
Lösung:
m
s2
a) Der Gesamtbremsweg setzt sich aus zwei Teilen zusammen: Der Weg sg,
der während der Reaktionszeit gleichförmig zurückgelegt wird und dem
gleichmäßig negativ beschleunigte eigentliche Bremsweg sb.
s = s g + sb
a
s = v 1 ⋅ t r1 + ⋅ t b2
2
Die Zeit tb, die Bremszeit, ist nicht gegeben. Sie kann aber durch
t=
v
a
ersetzt werden, da der Bremsvorgang bis zur Endgeschwindigkeit 0 abläuft.
s = v 1 ⋅ t r1 +
v 12
2⋅a
s = 29,5 m
Antwort:
b) Verdoppelt sich die Reaktionszeit, verdoppelt sich auch der in dieser Zeit
zurückgelegte Weg, also v1. Damit erhält man einen Bremsweg von 39,5 m,
was etwa einer Verlängerung des Gesamtbremsweges um 1/3 entspricht.
c) Wird die Geschwindigkeit verdoppelt, verlängert sich bei 0,8 s
Reaktionszeit der gleichförmige Teil um den gleichen Betrag wie bei b.
Gleichzeitig wird aber auch der eigentliche Bremsweg größer, und zwar um
den Faktor 4. Denn es gilt s~v². Der gesamte Bremsweg ist dann 98,1 m
lang. Das ist etwa 3 1/3 mal so lang wie der ursprüngliche Weg.
a) Der gesamte Bremsweg beträgt 29,5 m.
b) Der Bremsweg ist 39,5 m lang.
c) Der Bremsweg ist bei doppelter Geschwindigkeit 98,1 m lang.