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Die Dynamik von stoßfreien Sternsystemen
Dunkle Materie
Galaxien
E-Galaxien
Sternhaufen
Stoßfrei: Teilchen sehen nur das gemeinsame Gravitationsfeld
Gravitation dominiert die Dynamik von Strukturen im Universum
Die stoßfreie Teilchendynamik spielt eine wichtige Rolle in
vielen astrophysikalischen Systemen.
Monde und Ringe
Galaxien
Sonnensystem
Sternhaufen
Dunkle Materie
Stoßdominierte und stoßfreie Entwicklung
In einem Gas bewegen sich die Moleküle mit nahezu konstanter
Geschwindigkeit und erfahren nur kurzzeitig starke Beschleunigungen.
v
Dichte
Teilchen
Fluss: f = n ⋅ v
d
Pro Zeiteinheit durchstoßen nv ⋅ πd 2 Teilchen ein Fläche mit Radius d.
Stoßzeitskala:
τc =
1
nvπd 2
Direkte Stoßzeitskala
Gas bei Raumtemperatur:
n ≈ 2 ⋅1019 cm −3
d ≈ 2 ⋅10−8 cm
v ≈ 5 ⋅104 cm s
τc ≈ 10−9 s
Kugelsternhaufen:
n ≈ 10pc −3
N = 106 Sterne, R = 10 pc
Falls R * = R ⊙
Rote Riesen
Falls R * = 100R ⊙
 30 pc −3 
τc ≈ 8 ⋅10 
Jahre

 n 
11
−3


30
pc
τc ≈ 8 ⋅107 
Jahre

 n 
Stern-Sternstöße
Da die Zahl der roten Riesen in KSH klein ist kann man direkte
Stern-Sternstöße zunächst vernachlässigen.
Sternstöße werden jedoch in den dichten Zentralgebieten wichtig
−3


30
pc
11
τc ≈ 8 ⋅10 
Jahre

 n 
n = 105 pc −3
Blue Stragglers
Stern-Sternstöße in Galaxien
 30 pc −3 
τc ≈ 8 ⋅10 
Jahre

 n 
n ≈ 1 pc3
11
τc ≈ 2 ⋅1012 Jahre
Galaxien sind stoßfreie Systeme.
Bei Galaxienwechselwirkungen kommt es zu keinen direkten
Stern-Sternstößen.
Rolle der Gravitation im Leben eines Sternhaufens
Sternentstehung
Gravitativer Kollaps
einer
Gaswolke
Simulation der Sternentstehung
Gas
Sterne
Stoßfreie, dynamische Relaxation
Dunkle Materie im Universum
Elliptische Galaxie
Numerische Simulation
Galaxienverschmelzung und Schwarze Löcher
ΛCDM simulation
Dichteprofil
E-galaxien
dunkle
Materiehalo
(Hetznecker & Burkert)
Warum führt die Relaxation von stoßfreien Systemen zu universellen
Dichteprofilen?
Was bedeutet Relaxation?
Das Sternsystem erreicht nach einiger Zeit einen Zustand in dem sich
die Dichteverteilung nicht mehr ändert.
Sternsysteme im Gleichgewicht
Sternsysteme im Gleichgewicht
Phasenmischung
• Wir betrachten eine Scheibe aus Sternen, die auf Kreisbahnen
laufen mit Winkelgeschwindigkeit
dϕ
2π
=ω=
dt
T
• Annahme: Alle Sterne haben anfangs
ϕ≈0
System ist anfangs hochgradig geordnet
Ende
Anfang
Sterne
Phasenmischung des Sternsystems
Für t → ∞
sind alle Sterne außer Phase und gleichmäßig verteilt.
Mischungszeitskala:
∆ϕ = t ⋅ ( ωmax − ωmin )
τmix
2π
=
ωmax − ωmin
Der Phasenraum
v
Sternbahn im Phasenraum
(
v, −∇Φ
)
x
Die Bewegung des Sterns im Phasenraum wird beschrieben durch:
xɺ = v
vɺ = −∇Φ
Die Verteilungsfunktion f
Statt die Sternbahnen einzeln zu verfolgen untersuchen wir die
Entwicklung der Sternverteilung im Phasenraum.
f (x, v, t) d 3 x d 3 v : Phasenraumverteilung eines „Sterngases“
Andere Interpretation: Wahrscheinlichkeitsdichte
=
Wahrscheinlichkeit einen Stern bei x, v zu finden.
( )
v
v
f (t = 0)
∆t
x
Was ist f (t > 0)
x
v
f =1
3
3
Gegeben: f (x, v, t) d x d v
f =0
x
3
n(x, t) d x = ∫∫∫ f (x, v, t) d 3 v d 3 x
v
( x,t )
3
3
v
⋅
f
(x,
v,
t)
d
v
v
⋅
f
(x,
v,
t)
d
v
∫∫∫
∫∫∫
=
=
n(x, t)
∫∫∫ f (x, v, t)
Die stoßfreie Boltzmanngleichung
v
v + ∆v / 2
v
v
v − ∆v / 2
x
x − ∆x / 2
x + ∆x / 2
x
Zahl der Sterne, die die Zelle bei x + ∆x / 2 verlassen: f (x, v, t) ⋅ v ⋅ ∆v ⋅ ∆t
Zahl der Sterne, die bei x − ∆x / 2 in die Zelle fliegen:
f (x − ∆x, v, t) ⋅ v ⋅ ∆v ⋅ ∆t
v
v + ∆v / 2
dv / dt > 0
v
v − ∆v / 2
x
x − ∆x / 2 x + ∆x / 2
x
Annahme: dv / dt > 0
Sterne wandern nach oben
dv
Nach ∆t bewegen sich die Sterne um
⋅ ∆t schneller
dt
Zahl der Sterne, die die Zelle bei v + ∆v / 2 verlassen:
f (x, v, t) ⋅ dv dt ⋅ ∆x ⋅ ∆t
Zahl der Sterne, die bei v − ∆v / 2 in die Zelle fliegen:
f (x, v − ∆v, t) ⋅ dv dt ⋅ ∆x ⋅ ∆t
[f (x, v, t + ∆t) − f (x, v, t)] ⋅ ∆x ∆v =
f (x − ∆x, v, t) ⋅ v ⋅ ∆v ⋅ ∆t - f (x, v, t) ⋅ v ⋅ ∆v ⋅ ∆t
+ f (x, v − ∆v, t) ⋅ dv dt ⋅ ∆x ⋅ ∆t - f (x, v, t) ⋅ dv dt ⋅ ∆x ⋅ ∆t
=
=
 ∂f
 dv
 ∂f

− v ⋅ ∆v ⋅ ∆t  ∆x  −
∆x ∆t  ∆v 
dt
 ∂x

 ∂v 
 ∂f dv ∂f 
− ∆x ⋅ ∆v ⋅ ∆t ⋅  v +
 = ∆x ⋅ ∆v ⋅ ∆f
 ∂x dt ∂v 
∂f
∂f
∂f
+ v + vɺ
=0
∂t
∂x
∂v
∂f (x, v, t) ∂f ∂f
+ v ⋅ − ∇Φ ⋅ = 0
∂t
∂x
∂v
∇ 2 Φ = 4πGρ = 4πGm ∫∫∫ f d 3 v
Grundgleichung der Stellardynamik
Stoßfreie Boltzmanngleichung
df ∂f ∂f ∂f
= + v − ∇Φ ⋅ = 0
dt ∂t
∂x
∂v
Der Fluss der Sterne im Phasenraum ist inkompressibel.
Entropie:
f = f0
S(t) = − ∫ f ln f d 3 x d 3 v
= − ln f 0 ∫ f 0 d 3 x d 3 v
= − N ln f 0 = kons tan t
Es existiert kein
Gleichgewichtszustand
Die makroskopische Verteilungsfunktion
Entwicklung von F
F
F erreicht einen Gleichgewichtszustand
Wie viele stoßfreie dynamische Gleichgewichtskonfigurationen gibt es?
∂f (x, v, t) ∂f ∂f
+ v ⋅ − ∇Φ ⋅ = 0
∂t
∂x
∂v
∇ 2 Φ = 4πGρ = 4πGm ∫∫∫ f d 3 v
Wir suchen nach einer zeitunabhängigen Lösung:
∂f
=0
∂t
Das Jeanstheorem
Bewegungsintegral:
v
I = konstant
Eine Funktion I(x, v) , die sich entlang einer
Sternbahn nicht ändert.
dI(x, v)
∂Ι ∂ x ∂I ∂ v ∂I ∂I
= 0 = ⋅ + ⋅ = v − ∇Φ dt
∂ x ∂t ∂ v ∂t
∂x
∂v
x
Jede zeitunabhängige Lösung f (x, v) ist ein Integral der
Bewegung.
Umgekehrt gilt auch:
Jede Funktion f (I1 , I 2 ...) der Bewegungsintegrale I1 , I 2 , ...
eine zeitunabhängige Lösung der stoßfreien
Boltzmanngleichung.
Sphärische Sternsysteme:
ist
4 Bewegungsintegrale: E, L x , L y , L z
Aufgrund sphärischer
Symmetrie in allen physikalischen Größen kann
f nur von E und L abhängen:
f (x, v) = f (E, L)
mit
{
1 2
E = v + Φ (r)
2
L = r ⋅ vϕ
Systeme mit isotroper Geschwindigkeitsverteilung
Es sei:
1

f = f (E) = f  (v 2x + v 2y + v z2 ) + Φ (r) 
2

n = ∫ f dv x dv y dv z
v
2
x
1
= ∫ f v 2x dv x dv y dv z = v 2y = v 2z
n
Aber:
Problem
Dichteverteilung:
ρ(r) = m ∫ f d 3 v = 4πm
v = vesc
∫
v =0
E =0
f (E) v 2 dv = 4πm
∫
f (E) 2(E − Φ )dE
E =Φ (r)
E = 1 v 2 + Φ (r) → v 2 dv = 2(E − Φ ) dE
2
Fundamentalgleichung sphärischer Gleichgewichtssysteme
Poissongleichung:
∆ 2Φ =
1 d  2 dΦ 
r
 = 4π G ρ(r)
2
r dr  dr 
0
1 d  2 dΦ 
2
r
=
16
π
G ∫ f (E) 2(E − Φ ) dE


2
r dr  dr 
Φ (r )
Gegeben f(E), dann folgt aus der Fundamentalgleichung Φ (r)
Mit Φ (r) folgt aus der Poissongleichung ρ(r)
Das Plummerprofil
3M
1
ρp (r) =
×
3
2
4πb
r
1+
b2
(
)
52
Φ P (r) = −
GM
r 2 + b2
3.27 2
b2
72
f (E) =
⋅ 5 4 ( −E )
3
7π G M m
• Die Energieverteilung des Plummerprofils unterscheidet sich stark
von der Gleichgewichtsverteilung eines stossdominierten Gases.
• Es gibt unendlich viele Gleichgewichtsmodelle.
• Warum sollten dann alle heftig relaxierenden Teilchensysteme
eine ähnliche Dichteverteilung haben?
Energie and spezifischer
Drehimpuls sind während
einer Kollapsphase keine
Erhaltungsgrößen.
2
dE 1 dv dΦ
=
+
=
dt 2 dt
dt
dv ∂Φ ∂Φ
v +
+ v ⋅∇Φ =
dt ∂t
∂t x(t
)
dv
= −∇Φ
dt
Kann die Umverteilung von Drehimpuls und Energie die Entstehung von
universellen Dichteprofilen erklären?