B(n,x)

1.) Zusammenfassung: Folgen, Kombinatorik,
Konstruktion der Zahlbereiche
.
Wiederhole die obigen Themen der letzten Worksheets. Wir stellen Fragen im
Testat!
2.) Eulersche Exponential- und Newtonsche
Binomialreihe: formal
Aufbauend auf: "Formale Potenzreihen", "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
Aufgaben: 3
> restart;
Eulersche Exponentialreihe
MATH: Wir beginnen mit einem Experiment, welches sich mit
für
natürliche Zahlen beschäftigt.
> for n from 1 to 10 do
expand((1+x/n)^n);
end do;n:='n':
(2.1.1)
(2.1.1)
Man erkennt Muster in den Koeffizienten. Zum Beispiel im Koeffizient von
> map(n->coeff((1+x/n)^n,x,2),[$1..100]);
:
(2.1.2)
> map(n->(n-1)/(2*n),[$1..100]);
(2.1.3)
ÜBUNG [01]:
1.) Zeige: Der Koeffizient
von
in
ist
.
2.) Was ist der Grenzwert der Folge
3.) Bestimme den Koeffizient
für
von
in
4.) Was ist der Grenzwert der Folge
5) Sei
. Bestimme den Koeffizient
?
von
bei
MATH: Wir sehen also: Der Koeffizient von
strebt diese Folge gegen
.
für
6) Was ist der Grenzwert der Folge
festes
?
für
in
.
?
in
ist
und für
gegen unendlich.
> map(k->expand(binomial(n,k)/n^k),[$3..6]);
(2.1.4)
> map(i->limit(i,n=infinity),%);
(2.1.5)
MATH: Wir nehmen dies als Anregung, die formale Potenzreihe
durch
> Exp:=x->Sum(x^k/k!,k=0..infinity);
(2.1.6)
zu definieren. MAPLE kennt sie schon mit Namen:
> convert(Exp(x),sum);
sum(x^k/k!,k=0..infinity);
exp(x);
(2.1.7)
ex
ex
ex
(2.1.7)
> convert(exp(x),FormalPowerSeries);
(2.1.8)
MATH: Man nennt dies die Eulersche Exponentialreihe. Um ihre fantastischen
Eigenschaften zu studieren, brauchen wir noch etwas Vorbereitung im nächsten
Abschnitt.
Newtonsche Binomialreihe
MATH - IDEE: Vor Euler hatte bereits Newton viele Potenzreihen definiert. Er
ließ sich inspirieren durch die binomische Formel, die wir z. B. für
hier
wiedergeben:
> expand((1+x)^5);
(2.2.1)
allgemeiner:
> sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..n)=Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..n);
(2.2.2)
MATH - ANSATZ: Newton stellte sich die Frage, was passiert, wenn keine
natürliche Zahl ist. Einen Fall kennen wir schon:
:
> Sum(binomial(-1,k)*x^k,k=0..infinity)=sum(binomial(-1,k)*
x^k,k=0..infinity);
(2.2.3)
> Sum((-1)^k*x^k,k=0..infinity)=sum((-1)^k*x^k,k=0..infinity);
(2.2.4)
MATH - FRAGESTELLUNG: Wir müssen uns mit Newton fragen, was
ist,
wenn zwar k noch eine nicht negative ganze Zahl ist aber n nur noch irgendeine
(reelle oder sogar komplexe) Zahl, z. b.
:
> binomial(-1,3);
factor(expand(binomial(n,3)));
(2.2.5)
(2.2.5)
MATH - KONZEPT:
ist ein Polynom in
von Grad , genauer
> map(i->factor(expand(binomial(n,i))),[$0..5]);
(2.2.6)
Die Reihe
> B:=(n,x)->Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..infinity);
(2.2.7)
heißt die Newtonsche Binomialreihe. Maple kennt sie schon:
> convert(B(n,x),sum);
n
(2.2.8)
Für uns ist sie vorläufig eine formale Potenzreihe in , also ein Element von
, welches durch einen Parameter
indiziert ist.
ÜBUNG [02]:
1.) Zeige: Die Newtonsche Binomialreihe
, falls
.
2.) Faktorisiere dieses Polynom!
ist ein Polynom in
vom Grad
MATH: Später werden wir sehen, dass die formalen Potenzreihen, die wir hier
diskutiert haben, also die Eulersche Exponentialreihe und die Newtonschen
Binomialreihen, für gewisse
konvergieren und die Grenzwerte das sind,
was man erwartet. Z. B. für
> B(1/2,x);
(2.2.9)
wird für hinreichend kleine x wirklich den Wert
> convert(B(1/2,x),sum);
(2.2.10)
ergeben. Wir kommen später auf diese Konvergenzfragen zurück
ÜBUNG [03]:
>
Wir hatten im Abschnitt "Formale Potenzreihen" gesehen:
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i = 0 .. infinity)=1/(1-q)^(k+1);
(2.2.11)
1) Drücke die rechte Seite dieser Gleichung mit Hilfe der Newtonschen
Binomialreihe aus.
2) Wir haben also
auf zwei Arten als formale Potenzreihe
geschrieben. Beweise durch einen Koeffizientenvergleich, dass diese beiden
Potenzreihen gleich sind.
3.) exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal
Aufbauend auf: "Der Körper der komplexen Zahlen", "Eulersche Exponential- und
Newtonsche Binomialreihe: formal"
Aufgaben: 3
> restart;
Multivariate Potenzreihenringe
MATH: Das Produkt bei formalen Potenzreihen war definiert als
Die Koeffizienten des Produktes sind also
MATH: Dies reicht nicht aus, um
überhaupt nur hinzuschrieben, denn wir haben plötzlich zwei Variablen. Also
müssen wir etwas allgemeiner definieren:
MATH: Eine -wertige Doppelfolge ist eine Abbildung
.
Analog zum Cauchyprodukt für einfache Folgen definiert man das
Cauchyprodukt für Doppelfolgen: Für
ist
definiert durch
Man kürzt auch ab durch
und nennt K
mit der komponentenweisen Addition und der
Cauchymultiplikation den formalen Potenzreihenring
in den zwei
Variablen , . Man kann
und
als Teilringe von
auffassen.
Ein weiterer wichtiger Teilring ist der Polynomring
, welcher aus
denjenigen
besteht mit
für alle bis auf endlich viele
.
> expand((1-x)*(1-y));
(3.1.1)
ist invertierbar in
, aber nicht in
:
> (1-x)*(1-y)*Sum(x^i,i=0..infinity)*Sum(y^i,i=0..infinity)=
normal((1-x)*(1-y)*sum(x^i,i=0..infinity)*sum(y^i,i=0..
infinity));
(3.1.2)
exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal
MATH: Jetzt können wir die Gleichung
im formalen Potenzreihenring
verstehen: Sie ist äquivalent zu den
unendlich vielen Polynomgleichungen in
gegeben durch
für
ganz. Dies ist aber einfach der binomische Lehrsatz:
> Sum(x^k/k! * y^(n-k)/(n-k)!,k=0..n)=(x+y)^n/n!;
is(convert(lhs(%),sum)=rhs(%));
true
(3.2.1)
Wir haben gesagt, dass wir in formale Potenzreihen aus
keine beliebigen
einsetzen dürfen, sondern nur die . Analog können wir auch keine
beliebigen
in formale Potenzreihen aus
einsetzen, sondern nur
. Wir können allerdings andere Potenzreihen einsetzen:
MATH: Ist
und
, so kann man in für
. Das Einsetzen
einsetzen und
ist eine Potenzreihe aus
ist ein Algebrenhomomorphismus.
DENKANSTOSS: Formuliere die entsprechende Aussage für
BEISPIEL: Fasse folgende Potenzreihe als Element von
> Sum(a[i]*x^i, i=0..infinity);
.
auf.
(3.2.2)
Setze für die Potenzreihe ein:
> subs(x=y, Sum(a[i]*x^i, i=0..infinity));
(3.2.3)
ÜBUNG [01]:
1) Bestimmte die ersten
für
Koeffizienten der Reihe, die entsteht wenn man in
die Potenzreihe
2) Warum kann man
einsetzt.
nicht f ü r
die Potenzreihe
einsetzen?
Jetzt, wo wir gewissen Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen können,
können wir Ausdrücke wie
und
interpretieren.
ÜBUNG [02]:
Zeige:
1.)
2.)
in
für
.
in
.
Erste Anwendung: Additionstheoreme für
und
MATH: Wir können den Körper der komplexen Zahlen für einsetzen und
somit
als Element von
auffassen. Multiplizieren wir mit der
vierten Einheitswurzel , wird Maple wach:
> convert(exp(I*x), trig);
(3.3.1)
> convert(cos(x), FormalPowerSeries);
(3.3.2)
> convert(sin(x), FormalPowerSeries);
(3.3.3)
> convert(exp(I*x), FormalPowerSeries);
(3.3.4)
ÜBUNG [03]:
1) Kommentiere die letzten vier Befehle im Lichte von
> map(k->I^k,[$0..20]);
(3.3.5)
und begründe damit die Gleichheit
.
2) Begründe, warum jetzt
> convert(exp(I*(x+y)),trig)=expand(convert(exp(I*x), trig)*
convert(exp(I*y), trig));
(3.3.6)
sowohl die Additionstheoreme für Cosinus und Sinus
> cos(x+y)=expand(cos(x+y));
(3.3.7)
> sin(x+y)=expand(sin(x+y));
(3.3.8)
beweist, als auch leicht zu merken macht.
4.) B(n,x)*B(m,x)=B(n+m,x): formal
Aufbauend auf: "exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal"
Aufgaben: 2
> restart;
B(n,x)*B(m,x)=B(n+m,x): formal
> B:=(n,x)->Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..infinity);
(4.1.1)
(4.1.1)
> B(n,x)*B(-n,x);
(4.1.2)
> convert(%,sum);
1
(4.1.3)
MATH: Hinter dieser letzten Berechnung verstecken sich unendlich viele
Identitäten für Biniomialpolynome. Die erste Identität ist der Koeffizient von ,
welcher sich berechnet als
> binomial(n,0)*binomial(-n,0);
1
(4.1.4)
und die zweite Identität als
> binomial(n,1)*binomial(-n,0)+binomial(n,0)*binomial(-n,1);
0
(4.1.5)
ÜBUNG [01]:
1) Schreibe alle Identitäten allgemein hin.
2) Wiederhole kurz, warum die obige Rechnung diese Identitäten bereits
bewiesen hat.
MATH: Allgemeiner gilt
.
Hier ein Vergleich der Koeffizienten von
:
> map(k->factor(expand(add(binomial(n,k-i)*binomial(m,i),i=0..
k))),[$0..4]);
(4.1.6)
> map(k->factor(expand(binomial(n+m,k))),[$0..4]);
(4.1.7)
MATH: Hinter jeder der Identitäten
für
verbergen sich unendlich viele Identitäten für Binomialpolynome:
für alle
ganz.
Zum Beweis gehen wir so vor: Für jedes feste
in und
auf, z. B. für
:
> factor(expand(binomial(n+m,3)));
fasse beide Seiten als Polynome
(4.1.8)
Weiter wissen wir, dass
für natürliche Zahlen n und m immer richtig ist, eine sehr triviale Folgerung aus
dem binomischen Lehrsatz. Haben wir
für alle
, also sind die beiden Seiten als Polynome in
und
gleich.
Jetzt kann man mit Hilfe dieser Formel viele Potenzreihen direkt hinschreiben.
ÜBUNG [02]:
Fasse
als Potenzreihe in
auf und gib explizit eine Formel für ihre Koeffizienten an.
5.) Konvergenz von Reihen
Aufbauend auf: "Konvergenz von Folgen, Eulersche Zahl e", "Formale
Potenzreihen"
Aufgaben: 3
Wir haben früher bereits den Summations- und den Differenzenoperator auf
reell- oder komplexwertige Folgen angewendet, um neue Folgen zu konstruieren.
Der Unterschied zum damaligen Standpunkt besteht hauptsächlich darin, dass die
Aussagen über die Teilsummenfolge (z. B. Konvergenzkriterien) in der Sprache
der ursprünglichen Folge formuliert werden.
> restart;
Konvergenz von Reihen
M A T H: Wir haben eine lineare Abbildungen auf
:
mit linearer Linksinverser
.
Die Folge
heißt Teilsummenfolge von , das Paar
bezeichnet man auch mit
Reihe. Letztere
. Man sagt, dass die Reihe konvergent ist, falls
konvergiert. In diesem Fall bezeichnet man den Grenzwert ebenfalls mit
.
KOMMENTAR: Manchmal arbeitet man mit
statt . Die vorzunehmenden
Änderungen sind klar. Man beachte jedoch, dass ein Unterschied zu den früher
diskutierten Differenzen- und Summenoperatoren besteht, wie ein Vergleich
der Indizes zeigt. Hier ist der Summenoperator rechtsinvers zum
Differenzenoperator, damals war es umgekehrt.
M A T H: Ist die Reihe konvergent, so zeigt das Cauchykriterium sofort, dass die
Folge gegen Null konvergiert. Die harmonische Reihe
hat uns schon
früher gezeigt, dass die Umkehrung falsch ist.
> Limit(1/i, i=infinity)=limit(1/i, i=infinity);
Sum(1/i,i=1..infinity)=sum(1/i,i=1..infinity);
(5.1.1)
Das folgende Beispiel zeigt eine konvergente Reihe:
> Sum(1/i^2,i=1..infinity)=sum(1/i^2,i=1..infinity);
(5.1.2)
MAPLE: Für Maple ist
bereits der Grenzwert der Reihe, falls dieser
existiert. Offenbar weiß Maple mehr über solche Grenzwerte, als wir mit den
derzeitigen Hilfsmitteln zeigen können. Immerhin wollen wir die Konvergenz
für das zweite Beispiel zeigen:
M A T H: Eine monotone, beschränkte, reelle Folge
ist bereits konvergent.
Wir wollen also die Beschränktheit der Folge der Partialsummen
unserer Reihe zeigen, da diese monoton steigend ist.
> convert(1/(i*(i-1)),fullparfrac,i);
(5.1.3)
> normal(%);
1
Damit haben wir die Reihe
(5.1.4)
als Teleskopreihe sicher im Griff
inklusive Konvergenz und Grenzwert:
> 1+sum(1/(i*(i-1)),i=2..infinity);
2
Offenbar ist
(5.1.5)
wegen
> normal(1/i^2-1/((i-1)*i)) < 0; is(%) assuming i>1;
true
und damit ist
eine obere Schranke von
(5.1.6)
.
Man beachte, die Bestimmung des Grenzwertes liegt wesentlich tiefer. Oben
bekommen wir nur eine Abschätzung.
ÜBUNG [01]:
Benutze das obige Verfahren, um die Konvergenz der folgenden Reihen zu
zeigen:
1.)
für jedes
2.)
> Sum(1/n^i,n=1..infinity);
Sum(1/n!,n=0..infinity);
(5.1.7)
>
DENKANSTOSS: Betrachte das obige Verfahren aus Sicht des
Majorantenkriteriums aus dem Abschnitt Absolute Konvergenz von Reihen.
Beispiel: Ein weiteres Beispiel, in dem Maple den Grenzwert bestimmen kann:
> sum((-1)^i/i,i=1..infinity);
(5.1.8)
Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium:
M A T H: Ist
eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die Reihe
.
ist eine monoton fallende Nullfolge. Wieder ist die Bestimmung des
Grenzwertes schwierig. Überhaupt lässt sich an dieser Stelle das Wort
Bestimmung nicht so klar fassen. Gemeint ist: Der Grenzwert ist eine Zahl, die
wir bereits aus einem anderen Kontext kennen. Es könnte auch in einem
schwächeren Sinne bedeuten, dass wir die Zahl mit Fehlerschranke
approximieren können. Letzteres ist mehr, als nur einige Partialsummen
auszuwerten:
> Digits:=5:
map(n->evalf(sum((-1)^i/i,i=1..n)),[$100..120]);
map(n->evalf(sum((-1)^i/i,i=1..n)),[$1000..1020]);
map(n->evalf(sum((-1)^i/i,i=1..n)),[$5000..5020]);
Digits:=10:
(5.1.9)
> evalf(-ln(2));
(5.1.10)
Man sieht die langsame Konvergenz, müsste aber noch arbeiten, um dies
quantitativ zu fassen.
M A T H: Wenn Reihen nicht konvergieren, kann dies verschiedene Ursachen
haben. Wir belassen es bei zwei einfachen Übungsaufgaben dazu.
ÜBUNG [02]:
1) Zeige, dass die beiden Reihen
> sum((-1)^i,i=1..infinity);
(5.1.11)
und
> sum(1/sqrt(i),i=1..infinity);
(5.1.12)
nicht konvergieren.
2) Erkläre anschaulich die Unterschiede in der nicht-konvergenz der beiden
Reihen.
Formale Potenzreihen und konvergente Potenzreihen
Wir möchten abschließend noch Potenzreihen betrachten. In eine formale
Potenzreihe
oder
können wir erst einmal immer nur die
einsetzen. Manchmal ist mehr möglich:
M A T H: Ist
eine Reihe
eine formale Potenzreihe, so liefert jedes
, welche konvergent sein kann oder auch nicht.
BEISPIEL:
> Sum(q^n,n=0..infinity)=sum(q^n,n=0..infinity);
(5.2.1)
ist auf zwei Arten aufzufassen: Entweder als Identität in
, wo wir als
Unbestimmte auffassen, oder in , wo wir als komplexe Zahl auffassen. Im
zweiten Fall muss aber
gelten, weil sonst die Reihe divergiert.
ÜBUNG [03]:
Zeige die Divergenz von
im Fall
a) durch Anwendung der endlichen geometrischen Summe,
b) durch Konvergenzbetrachtung der zugehörigen Folge .
>