Leistungselektronik - Zusammenfassungen von huberjo

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Leistungselektronik - Zusammenfassungen von huberjo
HS2009
VL von Prof. Dr. J. W. Kolar
Zusammenfassung Leistungselektronik
Jonas Huber
[email protected]
Rev. 2 bis 29, 11.2.2010
1 Einführung
Tastverhältnis
periode:
Das Tastverhältnis D ist definiert als das Verhältnis von Einschaltzeit zur TaktD=
Tein
TS
(1)
Tiefpass 1. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und hat
die Übertragunsfunktion:
1
G(jω) =
(2)
L
1 + jω R
Tiefpass 2. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und einer
parallel zur Last geschalteten Kapazität, was folgende Übertragungsfunktion ergibt:
G(jω) =
1+
L
jω R
1
+ (jω)2 LC
(3)
Spannungszeitflächengleichgewicht Das Spannungszeitflächengleichgewicht an einer Induktivität
und das Ladungsgleichgewicht an einer Kapazität sind zwei wichtige Beziehungen:
TS
1
uL dt = 0
TS 0
Z TS
1
iC dt = 0
iC =
TS 0
Z
uL =
1
(4)
(5)
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Abbildung 1: Tiefsetzsteller mit Eingangsstrom i1 und Laststrom i2 = iL − iC .
2 DC/DC-Wandler
2.1 Tiefsetzsteller (Buck Converter)
2.1.1 Kontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität
Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis Für einen stabilen Betrieb muss der Spannungsmittelwert über der Induktivität gleich Null sein. Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht
ton (U1 − U2 ) = (TS − ton ) und mit tof f = TS − ton folgt daher:
1
(ton (U1 − U2 ) − tof f U2 ) = 0 = uL
TS
U2
I1
ton
=
=
=D
U1
I2
TS
(6)
(7)
Das Stromübersetzungsverhältnis folgt aus der Leistungsbilanz P1 = U1 · I1 = U2 · I2 = P2 .
Abbildung 2: Links: Spannungszeitflächenverhältnis und Stromrippel in der Induktivität; rechts:
Ausgangsspannungsrippel.
2
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Stromrippel
U1 − U2
U2
DTS =
(1 − D)TS
L
L
(8)
∆Q
∆iLpp TS
U2 (1 − D)TS2
=
=
C
C ·2·2·2
8LC
(9)
∆iLpp =
Ausgangsspannungsrippel
∆u2pp =
Achtung: Bei linearem Verlauf von iL besteht der Ausgangsspannungsrippel aus Parabelstücken!
Man kann auch die relative Schwankung der Ausgangsspannung bezüglich ihres Mittelwertes
bestimmen und erhält:
1
∆u2pp
1−D
π2
= · TS2 ·
=
· (1 − D) ·
U2
8
LC
2
Dabei ist fS =
f0 = 2π√1LC .
1
TS
f0
fS
2
(10)
und f0 die Eigenfrequenz des durch L und C gebildeten Filters 2. Ordnung, also
2.1.2 Diskontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität (Lückbetrieb)
Da bei der praktischen Realisierung des Tiefsetzstellers die verwendeten Dioden negative Drosselströme verhindern, entstehen bei kleiner Last charakteristische Intervalle mit iL = 0. Man spricht
dann vom lückenden Betrieb1 des Tiefsetzers.
(a) Verlauf der Lückgrenze.
(b) Diskontinuierlicher Stromverlauf in der Induktivität.
Abbildung 3: Diskontinuierlicher Betrieb des Tiefsetzstellers.
Lückgrenze Der Drosselstrom iL beginnt dann zu lücken, wenn der lineare Mittelwert I2 des
Laststromes i2 kleiner wird als die halbe Schwankungsbreite 12 ∆iLpp . Bei der Lückgrenze2 erreicht
der Drosselstrom am Ender der Pulsperiode gerade den Wert Null. Die Beziehung U2 = DU1 ist
dann immer noch gültig.
1
U2
U1 TS
I2g = ∆iLpp =
(1 − D)TS =
D(1 − D)
2
2L
2L
1
2
Skript, S. 27ff.
Skript, S. 28ff.
3
(11)
Leistungselektronik
Aus
dI2g
dD
Jonas Huber
Zusammenfassung
= 0 folgt, dass I2g für D = 0.5 maximal wird:
I2g,max = I2g |D=0.5 =
U1 TS
8L
(12)
Der Grenzwiderstand Rg ist derjenige Widerstand, welcher als Last maximal3 zulässig ist, um noch
eine kontinuierliche Stromführung in der Induktivität zu gewährleisten.
Rg =
U2
2L
=
I2g
(1 − D)TS
(13)
Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht folgt für den lückenden
Betrieb das Spannungsübersetzungsverhältnis gemäss:
U2
D1
=
U1
D1 + D2
(14)
D1 = D kann von der Steuerung vorgegeben werden, D2 hingegen hängt von der Lastspannung U2
ab. Mit der Ladungsbilanz den Kondensators (ic = 0) folgt:
U2
D2
=
I2
U1
D2 + 14 · I2g,max
(15)
Wird ausgehende von der Lückgrenze die Last verringert, d. h. der Lastswiderstand R erhöht, so
steigt bei konstantem D die Ausgangsspannung U2 an.
Will man im Lückbetrieb konstante Ausgangsspannung haben, muss D wie folgt gewählt werden:
v
s
u I2
1 8LU2 (U2 − 1)
1 u
I2g,max
t
=
D= · U
2
2
1
U2
2
−1
RU1 TS
(16)
Zusammen mit Gl. 7 kann nun das Tastverhältnis D für eine konstante Ausgansspannung U2 über
den gesamte Lastbereich angegeben werden.
2.2 Hochsetzsteller (Boost Converter)
Abbildung 4: Hochsetzsteller mit Eingangsstrom i1 = iL und Laststrom i2 = iD − iC .
4
Leistungselektronik
Jonas Huber
(a) Spannungszeitflächengleichgewicht
Stromrippel.
Zusammenfassung
und (b) Ladungsträgergleichgewicht und Spannungsrippel.
Abbildung 5: Hochsetzsteller im kontinuierlichen Betrieb.
2.2.1 Kontinuierliche Stromführung
Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht U1 DTS = −(U1 −
U2 )(1 − D)TS und der Leistungsbilanz folgen das Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis
gemäss:
U2
U2 − U1
I1
1
bzw.
D=
=
=
(17)
U1
I2
1−D
U2
Beachte, dass der Ausgangsstrom des Hochsetzters im Gegensatz zu jenem des Tiefsetzers eine
schaltfrequente Pulsung aufweist und dass iL beim Hochsetzer dem Eingangsstrom entspricht.
Stromrippel
∆iLpp =
U2
U1
DTS =
D(1 − D)TS
L
L
(18)
Ausgangsspannungsrippel
⇒
∆Q
IR DTS
U2 DTS
=
=
·
C
C
R
C
DTS
DTS
=
=
mit τ = RC
RC
τ
∆u2pp =
(19)
∆u2pp
U2
(20)
2.2.2 Diskontinuierliche Stromführung
Lückgrenze
1
1 U1
1 U2 − U1
ILg = I1g = ∆iLpp = ·
DTS = ·
(1 − D)TS
2
2 L
2
L
1 U2
I2g = ·
D(1 − D)2 TS
2 L
3
Cave: Kleine Last heisst kleiner Laststrom heisst grosser Widerstand!
5
(Eingangsstrom)
(21)
(Ausgangsstrom)
(22)
Leistungselektronik
Jonas Huber
(a) Lückgrenze.
Zusammenfassung
(b) Spannungszeitflächengleichgewicht.
Abbildung 6: Hochsetzsteller im diskontinuierlichen Betrieb.
dI
2g
Aus dD
= 0 folgt, dass der Strom I2g an der Lückgrenze für das Tastverhältnis D =
wird:
2 U2
·
· TS
I2g,max = I2g |D= 1 =
3
27 L
Den Verlauf der Lückgrenze ergibt sich zu:
I2g
I2g,max
Spannungsübersetzungsverhältnis
(U1 − U2 )D2 TS = 0 folgt:
=
27
D(1 − D)2
4
1
3
maximal
(23)
(24)
Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht uL = U1 D1 TS +
U2 =
D1 + D2
U1
D2
(25)
Das Tastverhältnis D1 = D wird vorgegeben, D2 hingegen kann durch Verwenden der Bedingung
2L
iC = 0 (Ladungsgleichgewicht) berechnet werden, was auf D2 = U12U
D1 TS R führt.
Für das Spannungsübersetzungsverhältnis im diskontinuierlichen Bereich findet man:
s
D=
4 U2
27 U1
U2
I2
−1
U1
I2g,max
(26)
Zusammen mit Gl. 17 kann man den ganzen Lastbereich abdecken. Bei kontinuierlichem Stromfluss ist das Spannungsübersetzungsverhältnis lastunabhänging, im diskontinuierlichen Fall hingegen muss das Tastverhältnis D bei sinkendem Laststrom I2 verringert werden, um bei konstanter
Eingangsspannung U1 ein Ansteigen der Ausgangsspannung U2 zu verhindern.
2.3 Tief-Hochsetzsteller bzw. Inverswandler (Buck-Boost Converter)
Vorsicht: Die folgenden Beziehungen gelten für den invertierenden Tief-Hochsetzsteller, also den
Inverswandler.
6
Leistungselektronik
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Zusammenfassung
(a) Schaltbild.
(b) Lückgrenze.
Abbildung 7: Inverswandler.
2.3.1 Kontinuierliche Stromführung
Spannungsübersetzungsverhältnis
U2 (1 − D)TS = 0 folgt:
Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht uL = U1 DTS +
U2
D
=−
U1
1−D
bzw.
D=−
U2
U1 − U2
(27)
Stromübersetzungsverhältnis Das Stromübersetzungsverhältnis kann über die Leistungsbilanz
P1 = U1 I1 = −U2 I2 = −P2 (beachte Zählpfeildefinition von Bild 2.37c im Skript, S. 51) berechnet
werden:
1−D
I2
=
(28)
I1
D
Stromrippel
∆iLpp =
U2
U1
DTS =
(1 − D)TS
L
L
(29)
Strommittelwerte bei kontinuierlicher Stromführung und im Grenzfall
1
= IL D
TS
1
I2 = IL (1 − D)TS
= IL (1 − D)
TS
I1 = IL DTS
(30)
(31)
2.3.2 Diskontinuierliche Stromführung
Lückgrenze
−U2
1 U1
DTS =
(1 − D)TS
2 L
2L
1 U2
= ILg (1 − D) = −
(1 − D)2 TS
2 L
ILg =
(32)
I2g
(33)
7
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
I2g wird für ein Tastverhältnis von D = 0 maximal und beträgt dann:
I2g,max = −
⇒ I2g,n =
1 U2
TS
2 L
I2g
= (1 − D)2
(34)
(35)
I2g,max
Spannungsübersetzungsverhältnis Bei diskontinuierlicher Stromführung beträgt das Spannungsübersetzungsverhältnis des Inverswandlers:
U2
= −D ·
U1
s
U2
⇒ D=−
·
U1
1R
TS
2L
s
(36)
I2
I2g,max
(37)
Zusammen mit Gl. 27 kann so der gesamte Bereich abgedeckt werden.
2.4 Übersicht über die grundlegenden DC/DC-Konverter
2.4.1 Spannungsübersetzungsverhältnisse
Konverter
Buck
Boost
Buck-Boost
Spannungsübersetzungsv.
I2 > I2g
I2 ≤ I2g
D=
D=
U2
U1
U2 −U1
U2
2
D = − U1U−U
2
D=
1
2
r
r
D=
8LU1 (U2 −1)
RU12 TS
4 U2
27 U1
U2
D = −U
1
q
U2
U1
−1
I2
I2g,max
I2
I2g,max
Eingansstrom
Ausgangsstrom
diskont.
stetig
stetig
diskont.
diskont.
diskont.
2.4.2 Beanspruchung der Leistungshalbleiter
Die Ausnutzung des Leistungstransistors (Silicon Utilization) ist definiert als das Verhältnis von
Ausgangsleistung P2 zur Bauteilleistung PT :
P2
P2
=
PT
UT,max · IT,max
(38)
Beachte, dass UT,max und IT,max nicht gleichzeitig auftreten! Der Kehrwert, PPT2 wird als Switch
Stress Factor bezeichnet. Grafik und Berechnung der passiven Komponenten siehe Skript, S. 58f.
2.5 Weitere DC/DC-Konverter
Cuk-Converter
U2
D
=−
U1
1−D
8
(39)
Leistungselektronik
SEPIC-Konverter
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Zusammenfassung
D
U2
=
U1
1−D
(40)
U2
= 2D − 1
U1
(41)
Brückenschaltung
3 Einphasige Gleichrichterschaltung mit sinusförmigem Netzstrom
Alle diese Schaltungen haben einen unidirektionalen Leistungsfluss von der AC- zur DC-Seite. Nachfolgend wird ein DC/DC-Konverter oder ein Wechselrichter geschaltet, um die Last zu versorgen.
3.1 Einphasen-Diodengleichrichter mit kapazitiver Glättung
(a) Schaltbild des Einphase-Diodengleichrichters.
(b) Betriebskennlinien.
Abbildung 8: Einphasen-Diodengleichrichter: Schaltbild und Betriebskennlinien.
Vereinfachende Annahmen: sehr gute Glättung der Ausgangsspannung, d. h. ud ≈ Ud = const.
(praktische Realisierung durch Wahl von grossem Cd ).
3.1.1 Lückender Betrieb
Ist die Ausgangsspannung Ud nahe dem Spitzenwert Û1 der Netzsspannung so arbeitet die Schaltung
im Lückbetrieb (vgl. Abb. 9(a)). Dies ist in der Regel der Normalbetrieb eines Diodengleichrichters
mit kapazitiver Glättung.
Ausgangsstrom der Diodenbrücke
Û1
id (t) =
ωL1
während der Einschaltdauer β:
!
Ud
cos(α) − cos(ωt) −
(ωt − α)
Û1
für α ≤ ωt ≤ α + β
(42)
Für die Bedeutung von α und β siehe Abb. 9(a). Weitere Beziehungen:
Ud
= sin α
Û1
1 − cos β
α = arctan
β − sin β
und
9
(43)
Leistungselektronik
Jonas Huber
(a) Lückbetrieb.
Zusammenfassung
(b) Nichtlückender Betrieb.
Abbildung 9: Strom- und Spannungsverhältnisse des Einphasen-Diodengleichrichters.
Mittelwert des Diodenstroms
"
Û1
Ud β 2
Û1
·
(1 − cos β) −
Id =
πωL1 Ud
Û1 2
#
(44)
Oder normiert auf den Gleichrichtwert des Kurschlussstromes des Netzes
Id,n = "
Id
2
π
·
Û1
ωL1
=
1 Û1
Ud β 2
·
(1 − cos β) −
·
2 Ud
Û1 2
2Û1
πωL1
:
#
(45)
3.1.2 Nichtlückender Betrieb
d
über die Lückgrenze hinaus weiter verringert wird, arbeitet die Schaltung
Wenn das Verhältnis U
Û1
im nichtlückenden Betrieb (vgl. Abb. 8(b)).
Ausgangsstrom der Diodenbrücke
2 Û1
id (t) = ·
cos(α0 ) ·
π ωL1
π
π
+ α0 − ωt · cos(α0 ) − cos(ωt)
2
2
(46)
Durch Integration von α0 bis α0 + π folgt für den Mittelwert Id :
Id =
2 Û1
·
· sin(α0 )
π ωL1
Und wiederum normiert auf den Gleichrichtwert des Kurzschlussstromes des Netzes:
Id
= sin(α0 )
Id,n = Û1
2
π · ωL1
(47)
(48)
3.2 Netzstrom, Netzrückwirkungen
Man kann den Eingangsstrom i1 des Gleichrichters in eine gegenüber der Netzspannung u1 um
ϕ1 phasenverschobene Grundschwingung i1G und eine Summe von Oberschwingungen, den Verzerrungsanteil i1V , zerlegen: i1 = i1G + i1V
10
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
(a) Netzstrom i1 für lückenden und nichtlücken- (b) Zerlegung des Netzstromes in einen Grundden Betrieb.
schwingungsanteil i1G und einen Verzerrungsanteil i1V
Abbildung 10: Verlauf des Netzstromes des einphasigen Diodengleichrichters.
Leistungsfaktor Beschreibt die Belastung des Netzes bei Übertragung einer bestimmten Wirkleistung P1 und ist definiert als:
λ=
P1
S1
mit
S1 = U1 · I1
und
P1 = U1 · I1G · cos ϕ1
(49)
Es trägt also nur die Grundschwingung des Eingangsstromes zur Wirkleistung bei! Es folgt also:
λ=
I1G · cos ϕ1
I1
1
und auch λ = q
· cos ϕ1
2
1 + (T HD(i1 ))
(50)
Dabei beschreibt das THD (Total Harmonic Distortion) den Oberschwingungsanteil und ist definiert als T HD(i1 ) = II1V
. Man erkennt, das sowohl eine Phasenverschiebung der Netzstrom1G
Grundschwingung als auch eine Verzerrung des Netzstromes zu einer Verringerung des Leistungsfaktors führen!
Netzspannungsverzerrung und Nulleiterbelastung Siehe Skript, Seiten 84ff. bzw. 86ff.
3.3 Einphasen-Diodengleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom
Die oben besprochene Schaltung entnimmt dem Netz einen höchst hässlichen Strom. Es ist jedoch
wünschenswert, dass der Netzstrom einen weitgehend sinusförmig ist und gegenüber der Netzspannung keine Phasenverschiebung hat. Gleichrichterschaltungen mit sinusförmigem Eingangsstrom,
auch als Power Factor Corrector (PFC) bezeichnet, verfügen über diese Eigenschaft.
Tastverhältnis Im Prinzip wir dem Gleichrichter ein DC/DC-Konverter nachgeschaltet, hier ein
Hochsetzsteller. Dessen Tastverhältnis wird so geregelt, dass zum einen eine konstante Ausgangsspannung Ud erzeugt wird und gleichzeitig der Eingangsstrom i0 proportional zur Eingangsspannung u0 ist. Das dazu nötige zeitabhängige Tastverhältnis ergibt sich (unter Vernachlässigung des
gegenüber u1 kleinen lokalen Spannungsmittelwertes uL über der Induktivität) zu:
d(t) = 1 −
1
|sin(ωt)|
M
11
mit M =
Ud
Û1
(51)
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Abbildung 11: Einphasen-Gleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom. Die Ausgangsspannung
sowie der Eingangsstrom werden geregelt.
3.3.1 Toleranzbandregelung
Der Eingangsstrom i0 wird um einen vom Regler vorgegebenen Eingangsstromsollwert i0 ∗ innerhalb
eines Toleranzbandes geführt.
(a) Toleranzbandregelung des Eingangsstromes (b) Ein- und Ausschaltzeiten sowie Schaltfrei0 .
quenz bei der Toleranzbandregelung (normierte
Werte, vgl. Skript).
Abbildung 12: Toleranzbandregelung des einphasigen Diodengleichrichters mit sinusförmigem
Netzstrom.
Toleranzbandbreite
∆ipp (t) = 2k · î0∗ |sin(ωt)|
k : Proportionalitätsfaktor
12
(52)
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Schaltzeitpunkte bzw. Intervalle Erster Ausschaltzeitpunkt (bzw. Dauer des ersten Einschaltintervalles):
Tp1 = Ton,A
T1
=
· arctan
π
ωLIˆ0∗
(1 + k)
Û1
!
T1 =
2π
w
Periodendauer des Netzes
(53)
Lokale Ausschaltdauer:
Tof f,T (t) =
sin(ωt)
2kLIˆ0∗
·
ωLIˆ0∗ (1−k)
Û1
M − sin(ωt) +
cos(ωt)
Û
(54)
1
Lokale einschaltdauer:
Ton,T (t) =
2kLIˆ0∗
·
Û1
1−
1
ωLIˆ0∗ (1+k)
Û1
(55)
cot(ωt)
3.3.2 Regelung mit konstanter Tastfrequenz
Der Nachteil der Toleranzbandregelung ist die starke Schwankung der Taktfrequenz fT innerhalb
einer Netzhalbschwingung. Dies kann durch eine lineare Regelung des lokalen Eingangsstrommittelwertes gemäss dem Sollwert i0∗ erfolgen, wobei man dieses Verfahren als Average Current Mode
Control bezeichnet. Hier ist also die Schaltfrequenz fT vorgegeben und der Verlauf der Einhüllenden
des Rippels stellt sich entsprechend ein.
Eingangsstromrippel Lokaler Spitzenwert:
∆i0pp =
1 0
u · d(t) · TT
L
mit d(t) = 1 −
1
sin(ωt)
M
(56)
Dabei ist d(t) das durch den Stromregler eingestellte, zeitabhängige Tastverhältnis. Der Rippel mit
Breite ∆i0pp liegt symmetrisch um den Sollwert i0∗ , daher sind die Einhüllenden:
1
∆i0E = ± ∆i0pp
2
1
oder i0E = i0∗ ± ∆i0pp
2
(57)
Achtung: Diese Beziehungen gelten nur für den kontinuierlichen Betrieb, d. h. wenn gilt:
Û1 · TT
Iˆ0∗ ≥
2L
Ausgangsspannungsregelung und Eingangsersatzwiderstand
(58)
siehe Skript, S. 105f. bzw. S. 106ff.
3.4 Dimensionierung einer Gleichrichterschaltung
Vorausgesetzt wird kontinuierliche Stromführung in der Eingangsinduktivität des Hochsetzstellers!
13
Leistungselektronik
Jonas Huber
Ausgangskapazität
Zusammenfassung
Die Amplitude (!) der Ausgangsspannungssschwankung berechnet sich zu:
ÛCd =
Pd
1
·
Ud 2ωCd
⇒ peak-to-peak: ∆ud = 2 · ÛCd
(59)
d
der relativen Schwankung ∆u
Soll der Peak-to-Peak-Wert 2ÛUCd
Ud der Ausgangsspannung auf einen
d
bestimmten Wert beschränkt werden, muss die Kapazität Cd wie folgt dimensioniert werden:
Cd ≥
1
2ω ÛUCd
d
1
·
Rd
Strombeanspruchung:
2
ICd,rms
1
=
·
M
4
1
−
3π 4M
· Iˆ1∗2
(60)
Ausgangsdiode Mittelung der Strombeanspruchung über eine Netzperiode:
IDH,avg =
1 ˆ∗
·I
2M
2
IDH,rms
=
4
· Iˆ∗2
3πM
(61)
Leistungstransistor
IT H,avg =
1
2
−
π 2M
· Iˆ1∗
IT2 H,rms
=
1
4
−
2 3πM
· Iˆ1∗2
(62)
4 Netzgeführte Stromrichter
4.1 Ungesteuerte Mittelpunktschaltung
(Skript, S. 119ff.)
4.1.1 Gleichspannungsbildung
Eine ohm’sche Last soll aus dem Dreiphasennetz gespeist werden (Fig. 4.1, Skript). Durch die
Parallelschaltung der drei Phasenspannungen plus Dioden mit gemeinsamer Kathode wird erreicht,
dass immer die höchste positive Phasenspannung an die Last durchgeschaltet wird.
Jede der Dioden führt also während 120◦ den Laststrom. Der arithmetische Mittelwert der Lastspannung udi ergibt sich durch Integration zu:
√
Z π √
3
1
3 3
Udi0 = 2π
2U cos(ωt) d(ωt) = √ U
(63)
π 2
− π3
3
U ist dabei der Effektivwert der sekundärseitigen Phasenspannungen und Udi wird auch als ideelle
Leerlaufgleichspannung bezeichnet. Achtung: Gilt nur für nichtlückenden Betrieb (sonst: Skript,
S. 147f.).
4.2 Gesteuerte Mittelpunktsschaltung
Dioden sind durch Thyristoren ersetzt, welche einen bestimmten Winkel, den sog. Zündwinkel
α, nach dem natürlichen Kommutierungszeitpunkt einschalten und den Strom übernehmen. Der
arithmetische Mittelwert der Ausgangsspannung ist dann von α abhängig:
√
3 3
(64)
Udiα = Udi0 cos(α) = √ cos(α) · U
π 2
14
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Für α ≤ 90◦ arbeitet die Schaltung im Gleichrichterbetrieb, es wird Leistung von der Wechselspannungsseite zur Gleichspannungsseite übertragen. Für α ≥ 90◦ arbeitet sie im (stationären) Wechselrichterbetrieb, der Leistungsfluss geht von der Gleichspannungsseite zur Wechselspannungsseite
(beachte auch Pfeilrichtungen der Spannungen: Skript). Typischerweise kann α nicht grösser als
etwa 150◦ werden, da sonst Wechselrichterkippen auftreten kann.
4.3 Drehstrombrückenschaltung (B6-Schaltung)
Besteht im Prinzip aus zwei M3-Schaltungen. Daher addieren sich die Ausgangsspannungen dieser
beiden:
Udiα,6 = Udiα,1 + Udiα,2
(65)
Für die ungesteuerte Variante gilt z. B.:
Udi0,6 = 2Udi0
√
3 3
=2· √ U
π 2
(66)
Diese Beziehungen können über Integration gefunden werden; beachte dass das Integrationsintervall wegen den sechs Pulsen π3 beträgt!
5 Induktivitäten als Bauelemente leistungselektronischer Schaltungen
5.1 Grundlagen
Unter Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes der Spule sowie der parasitären Parallelkapazität gilt für lineare Materialien die bekannte Gleichung:
u=L
di
dt
Gespeicherte Energie:
1
Wm = LI 2
2
(67)
Pulsförmige Spannung Wird eine Pulsförmige Spannung an eine Induktivität gelegt, verhält
sich der Strom eigentlich nichtlinear. Für den für die Leistungselektronik relevanten Fall von vernachlässigbarem ohm’schem Widerstand sowie einer Zeitkonstante die viel grösser als die Pulsfrequenz ist, kann jedoch mit einer linearen Näherung gearbeitet werden:
i≈
U
·t
L
Real nichtlinear: i =
t
U
(1 − e− τ )
R
τ=
L
R
(68)
5.2 Homogener Magnetkreis
Unter der Annahme, dass die magnetische Feldstärke H im Magnetkern abschnittsweise konstant
ist (gut erfüllt) sowie vereinfachend, dass die magnetische Feldstärke konstant längs des gesamten
magnetischen Weges ist (exakt nur für Toroidspule), ergibt sich für N Wicklungen um einen solchen
Kern der magnetische Widerstand und die Induktivität zu:
Rm =
l
µAE
L = N2
µAE
1
= N2
= N 2 · AL
l
Rm
mit AL :=
1
Rm
(69)
AL wird oft in Datenblättern spezifiziert, l ist die magnetische Weglänge und AE die Querschnittsfläche des (Eisen-)kerns.
15
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Unter Vernachlässigung von Streufeldern beträgt die in der Induktivität gespeicherte magnetische
Energie:
B2
Wm =
VE
VE : Eisenvolumen
(70)
2µE
5.3 Magnetkreis mit Luftspalt
Um eine Sättigung des Eisenkerns bei hohen Strömen zu vermeiden, kann ein Luftspalt der Breite
δ in den Magnetkern geschnitten werden. Da die Permeabilität des Eisens viel grösser als jene von
Luft ist (µE >> µ0 ) folgt Rδ >> RE , d. h. die Induktvität ist nur vom Luftspalt abhängig und es
gilt unter Vernachlässigung der Streufelder:
L ≈ N2
µ 0 AE
δ
oder mit µef f := µ0
l
δ
⇒
L ≈ N2
µef f AE
l
(71)
Die gespeicherte Energie beträgt:
Wm =
B2
B2
B2
VE +
Vδ ≈
Vδ
2µE
2µ0
2µ0
(72)
5.4 Baugrösse einer Induktivität
Sie L der geforderte Induktivitätswert, Iˆ der Spitzenwert des Betriebsstromes und Irms der entsprechende RMS-Wert. Weiter sei AW die Querschnittsfläche des Wicklungsraumes, kw < 1 der
Kupferfüllfaktor und AL = SIrms
der Kupferquerschnitt des Drahtes bei einer maximal zulässigen
rms
Stromdichte von Srms . Dann gilt für die Windungszahl:
N=
kw Aw
AL
(73)
Mit der maximal zulässigen Induktion (Sättigungsinduktion) BS ergibt sich:
ˆ rms = kw Srms BS AW AE
LII
für Iˆ ≈ Irms ≈ I:
1 2 1
LI = kw Srms BS AW AE
2
2
(74)
Der Luftspalt muss so gewählt werden, dass der gewünschte Induktivitätswert erreicht wird.
5.5 Dimensionierung
Oft sind L, Iˆ und Irms vorgegeben und die Kerngrösse (AE , AW ) sowie N und δ gesucht. Der
Magnetkern wird aufgrund des Flächenproduktes AW AE gewählt und es gilt:
AW AE =
ˆ rms
LII
kw Srms BS
N=
LIˆ
BS AE
δ=
N 2 µ 0 AE
L
(75)
Achtung: Diese Formel für N sollte nur in diesem Kontext verwendet werden. Allg. gilt L ∝ N 2 ,
z. B. beim Trafo.
Die Wicklungsverluste ergeben sich mit der mittleren Windungslänge lW und dem spezifischen
Widerstand ρ zu:
2
2
Irms
RW = ρkw AW lW Srms
mit Kupferwiderstand
Andere, iterative Vorgehensweise im Skript, S. 184.
16
RW = ρ
N 2 lw
k w AW
(76)
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
6 Transformator-Funktion, Ersatzschaltbild und Dimensionierung
Siehe Skript, S. 187ff.
6.1 Dimensionierung
An einem mehr oder weniger konkreten Beispiel ab S. 214. Wichtige Formeln daraus:
N1 =
BS · lE
Iˆ1,µ · µE
AE =
Ψ̂1
N1 BS
(77)
Wichtige Erkenntnis: Je höher die Taktfrequenz, desto kleiner kann die Baugrösse von Übertragern
gewählt werden:
1
AE AW ∝
(78)
fp
6.2 Transformator ohne Streuung aber mit endlicher Permeabilität des Kerns
L1
N2
= 12
L2
N2
U1
N1
=
U2
N2
i1 = i1,µ + i2
N2
N1
(Verhältnis Primär-/Sekundärinduktivität)
(79)
(Spannungsübersetzung)
(80)
(Ströme – beachte Vorzeichen: hier i2 := i∗2 )
(81)
7 Potentialgetrennte DC/DC-Konverter
7.1 Sperrwandler (Flyback Converter
Der Sperrwandler wird im Wesentlichen vom Inverswandler abgeleitet, indem die Induktivität durch
zwei gekoppelte Induktivitäten ersetzt wird. Beachte, dass nie beide Windungen gleichzeitig Strom
Abbildung 13: Sperrwandler
führen! Im Ausschaltmoment des Transistors übernimmt die Sekundärwindung den Strom derart,
dass die die Energie definierende magnetische Induktion im Kern kontinuierlich bleibt (Details vgl.
N1
Skript, S. 225ff.): Iˆ2 = Iˆ1 N
2
17
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
1
Die Sperrspannungsbeanspruchung des Transistors ist dann gleich UT = U1 + U2 N
N2 , wobei U2
die an der Sekundärwindung auftretende Spannung ist (Achtung: Falls Dioden Flussspannungen
haben, gilt us 6= U2 )!
7.1.1 Diskontinuierliche Magnetisierung
Um diskontinuierlichen Betrieb sicherstellen zu können, muss die Entmagnetisierung innerhalb des
Ausschaltintervalles vollständig abgeschlossen sein. Als Bedingung an das Windungszahlverhältnis
für diskontinuierlichen Betrieb ergibt sich:
N1
D U1
≥
N2
1 − D U2
Spannungsbeanspruchung des Transistors:
UT1 ,m = U1 + U2
N1
N2
(82)
Das Tastverhältnis beeinflusst also die Bauelementebeanspruchung!
Abbildung 14: Ableitung des auf die Primärseite bezogenen Ersatzschaltbildes des Sperrwandlers.
Pro Taktperiode wird während des Einschaltintervalls Energie in der Induktivität gespeichert
und anschliessend auf die Sekundärseite geliefert. Daraus kann die Leistung berechnet werden:
1
WL = LIˆ12
2
P1 =
WL
TS
(83)
Spitzenwert des Primärstromes am Ende des Einschaltintervalls, die im mittel über eine Taktperiode
U2
übertragene Leistung und daraus mit P2 = R2 (R: Lastwiderstand) die Spannungsübersetzung:
U1
Iˆ1 =
DTP
L1
1 U12 2
P2 =
D TP
2 L1
U2
=D
U1
s
1R
TP
2 L1
(84)
Annahme: Durch grossen Ausgangskondensator näherungsweise konstante Ausgangsspannung U2 .
7.1.2 Kontinuierliche Magnetisierung
Siehe Skript, S. 231ff.
7.1.3 Nichtideale Kopplung
Bei nichtidealer Kopplung wird die Sperrspannung des Transistors erhöht, und es ist eine Schaltung
zur Spannungsbegrenzung vorzusehen. Details siehe Skript, S. 233ff.
18
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Abbildung 15: Ströme und Spannungen beim Sperrwandler im diskontinuierlichen Betrieb.
7.2 Durchflusswandler
Im Gegensatz zum Sperrwandler nutzt der Durchflusswandler den Transformator auf normale“
”
Weise, d. h. nicht zur Energiespeicherung. Ausgehend vom Tiefsetzsteller erhält man das Ersatzschaltbild des Durchlusswandlers.
Abbildung 16: Durchflusswandler mit dritter Wicklung N3 zum Abbau der Magnetisierungsenergie,
welche hier in die Quelle zurückgeliefert wird. Eine Spannungsbegrenzung über dem
Transistor ist wegen der real auftretenden Streuung zwischen L1 und L3 trotzdem
nötig, aber nicht eingezeichnet.
7.2.1 Unidirektionale magnetische Aussteuerung
Bei unidirektionaler Aussteuerung des Magnetkerns bzw. diskontinuierlicher Magnetisierung wird
der Fluss innerhalb der Taktperiode wieder auf Null abgebaut. Um die zu gewährleisten muss
19
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
gelten:
1−D
N3
≤
N1
D
Max. Spannung über Transistor: UT1 ,m = U1 + U1
N1
N3
(85)
Bei Voraussetzung idealer Kopplung ergeben sich die charakteristischen Verläufe gemäss Fig. 7.2.1.
Für die Spannungsübersetzung bzw. den Spitzenwert des magnetisierungsstromes gilt:
Abbildung 17: Charakteristische Ströme und Spannungen beim Ein-Schalter-Durchflusswandler.
U2
N2
=D
U1
N1
Weiter gilt
L1
L3
=
U1
Iˆ1,µ =
DTP
L1
⇒
N1
Iˆ3 = Iˆ1,µ
N3
(86)
N12
.
N32
Zwei-Transistor-Durchflusswandler Wenn ein zweiter Transistor verwendet wird, kann die Primärwicklung
auch für die Entmagnetisierung verwendet werden; die entmagnetisierende Spannung ist dann −U1
und die Dauer dieses Vorgangs gleich wie jende der Aufmagnetisierung, woraus Dmax = 0.5 folgt.
Es ergeben sich das Ersatzschaltbild und die Verläufe aus Fig. 7.2.1.
7.2.2 Bidirektionale Aussteuerung
Siehe Skript, S. 247ff.
8 Einphasen- und Dreiphasen-Pulswechselrichter mit eingeprägter
Eingangsspannung
8.1 Einphasen-Brückenschaltung (Vierquadrantensteller)
8.2 Dreiphasen-Brückenschaltung
9 Allgemeines
20
Leistungselektronik
Jonas Huber
Zusammenfassung
Abbildung 18: Ersatzschaltbild und charakteristische Ströme und Spannungen beim Zwei-SchalterDurchflusswandler.
Mittel- und Effektivwert
Iavg
1
=
T
Für Sinusgrössen gilt Irms =
s
Z T
i(t) dt
Irms =
0
ˆ
√I .
2
1
T
Z T
(i(t))2 dt
(87)
0
Beachte, dass beim berechnen des Effektivwertes über eine ganze
R T /2
2
Halbschwingung aus den lokalen RMS-Werten irms (t) ebenfalls die Formel Irms
= T2 0 irms (t)2 dt
gilt (vgl. Skript, S. 114).
Spezielle Signale: Rechteck, dass während 0 ≤ t < DTp konstant Iˆ beträgt und für DTp ≤ t < T
Null ist:
s
Z
√
1 DTp ˆ2
Iavg = DIˆ
Irms =
I dt = DIˆ
(88)
Tp 0
Dreieck, das während 0 ≤ t < DTp linear von 0 auf Iˆ ansteigt und für DTp ≤ t < T Null ist:
Iavg
v
u
u 1 Z DTp
Irms = t
DIˆ
=
2
Tp
0
!2
Iˆ
·t
DTp
s
dt =
Dˆ
I
3
(89)
Grundschwingung bestimmen Wähle die Nullage so, dass die Fourierreihe nur cos-Anteile besitzt,
d. h. gerade ist. Dann berechnen sich die Koeffizienten der cos-Reihe nach:
a0
1 c+T
=
f (t) dt
2
T c
Z c+T
2
an =
f (t) · cos(nωt) dt
T c
Z
(Gleichanteil)
(90)
(91)
Mit Periode T = 2π ergibt sich:
a0 =
1
π
Z π
f (x) dx
(Gleichanteil)
−π
an =
1
π
Z π
f (x) cos(nx) dx
−π
Der Koeffizient a1 ist dann die Amplitude der Grundschwingung.
21
(92)
Leistungselektronik
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Leistungsmittelwerte
S =U ·I =U
Zusammenfassung
Mit Annahme sinusförmiger Spannung U (RMS-Wert), gilt:
q
2 + I2 + I2 + . . .
I(1)
(2)
(3)
(Scheinleistung)
(93)
(Grundschwingungsscheinleistung)
(94)
Q(1) = U · I(1) sin(ϕ1 )
(Grundschwingungsblindleistung)
(95)
P = U · I(1) cos(ϕ1 )
(Wirkleistung)
(96)
(Gesamtblindleistung)
(97)
S(1) = U · I(1)
Q=
p
S2 − P 2
Beachte, dass nur die Grundschwingung zur Wirkleistung beiträgt! Bei Dreiphasensystemen den
Faktor 3 nicht vergessen!
22
Index
Boost Converter, 4
Brückenschaltung, 9
Buck Converter, 2
Buck-Boost Converter, 6
SEPIC-Konverter, 9
Silicon Utilization, 8
Spannungszeitflächen, 1
Sperrwandler, 17
Cuk-Konverter, 8
Tastverhältnis, 1
Tief-Hochsetzsteller, 6
Tiefpass
1. Ordnung, 1
2. Ordnung, 1
Tiefsetzsteller, 2
Lückbetrieb, 3
Transformator, 17
Drehstrombrückenschaltung, 15
Dreiphasen-Brückenschaltung, 20
Durchflusswandler, 19
Effektivwert, 20
Einphasen-Brückenschaltung, 20
Einphasen-Gleichrichter, 9
kapazitive Glättung, 9
Leistungsfaktor, 11
Netzrückwirkungen, 10
sinusförmiger Netzsstrom, 11
Toleranzbandregelung, 12
Einphasen-Gleichrichter: konstante Taktfrequenz,
13
Flyback Converter, 17
Gleichrichter, 9
Grundschwingung, 21
Hochsetzsteller, 4
Induktivität
Dimensionierung, 16
Induktvität, 15
Inverswandler, 6
Lückgrenze, 3
Ladungsgleichgewicht, 1
Luftspalt, 16
Magnetkreis, 15, 16
Mittelpunktschaltung
gesteuerte, 14
ungesteuerte, 14
Mittelwert, 20
Netzgeführte Stromrichter, 14
PFC, 11
23
Vierquadrantensteller, 20