Studienarbeit Klangsynthese durch Frequenzmodulation

Transcription

Studienarbeit
28. Januar 2011
Klangsynthese durch
Frequenzmodulation
Martin Schulze
1. Prüfer : Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Math. Karlheinz Höfer
2. Prüfer : Prof. Dr.-Ing. Reinhard Malz
Hochschule Esslingen - University of Applied Sciences
Fakultät Informationstechnik
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1
2 Die Frequenzmodulation
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vorteile der FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3 Die Funktionsweise der FM (allgemein)
3.1 Die Phasenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Frequenzmodulation (Herleitung)[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4 Die FM-Synthese
4.1 Einfache Frequenzmodulation . .
4.2 Besondere Frequenzverhältnisse .
4.2.1 Vibrato . . . . . . . . . .
4.2.2 Beating . . . . . . . . . .
4.3 Amplituden und Besselfunktionen
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5 Der Einsatz von Zeitvarianten Funktionen
5.1 Amplitudensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Variabler Modulationsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Komplexe Frequenzmodulation
6.1 Parallele Trägerfrequenzen mit unabhängigen Modulatoren . . . . . . . . . . .
6.2 Parallele Modulatoren für eine Trägerfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Parallele Modulatoren für eine Trägerfrequenz mit variablem Modulationsindizes
6.4 Kaskadenschaltung von Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Feedback FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
21
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7 Anwendungen der FM
7.1 Versuch: Spektrale Modellierung einer Steel-Drum
7.1.1 Analyse des Spektrums . . . . . . . . . . .
7.1.2 Analyse des Spektogramms . . . . . . . .
7.1.3 Analyse der Zeitfunktion . . . . . . . . . .
7.2 Resynthese durch Frequenzmodulation . . . . . . .
7.2.1 Spektren und Bewertung des Ergebnisses .
7.3 Versuch: Modellierung einer Pan-Flöte . . . . . . .
7.3.1 Analyse des Spektrums . . . . . . . . . . .
7.3.2 Analyse des Spektogramms . . . . . . . .
7.3.3 Vergleich zu anderen Tonhöhen . . . . . .
7.3.4 Analyse der Zeitfunktion . . . . . . . . . .
7.4 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Studienarbeit, Klangsynthese durch Frequenzmodulation
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Inhaltsverzeichnis
7.5
7.4.1 FM-Rechteck-Generator . . .
7.4.2 FM-Noise-Generator . . . . .
7.4.3 Formantenfilter . . . . . . . .
7.4.4 Einschwingvorgang . . . . . .
7.4.5 Raumhall . . . . . . . . . . .
Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Vergleich im Frequenzbereich
7.5.2 Bewertung und Ausblick . . .
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8 Schlusswort
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Literatur
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iv
Formelzeichen
fg
f mk
Grundfrequenz.
Frequenz des k-ten Modulators.
v
vi
Glossar
FM
ADSR
Frequenzmodulation
Attack-Delay-Substain-Release
vii
viii
1 Vorwort
Diese Studienarbeit entstand an der Hochschule Esslingen, FakultInformationstechnik. Ziel dieser Arbeit war es die Frequenzmodulation auf die verschiedenen Möglichkeiten zur Klangsynthese hin zu untersuchen und an einigen Beispielen zu demonstrieren. Die Theorie der
einfachen- sowie komplexen Frequenzmodulation wird dabei soweit dargestellt wie sie für den
praktischen Einsatz notwendig ist.
Als Entwicklungsumgebung wurde MATLAB gewählt. Obwohl diese Umgebung für den LiveEinsatz nicht geeignet ist, hat sie den Vorteil das man jede erdenkliche Komponente - wie z. B.
Filter - selbst implementieren kann.
Alle Beispiele und MATLAB-Files liegen als .wav-Dateien der Studienarbeit bei.
1
2 Die Frequenzmodulation
2.1 Einleitung
Die Frequenzmodulation ist in Verfahren aus der Nachrichtentechnik die um 1922 von John
Renshaw Carson publiziert wurde und in Übertragungssystemen wie z. B. dem Radio Anwendung findet.
Dr. John Chowning hat die Frequenzmodulation an der Stanford University auf den Einsatz zur
Synthese von Musikinstrumenten und Effekten hin untersucht, als dieser feststellte, dass sich
durch nur zwei Oszillatoren komplexe Spektren erzeugen lassen. Die Firma Yamaha sicherte
sich von Chowning das Patent und entwickelte den in den 80ern sehr erfolgreichen digitalen
DX7-Synthesizer. Der Typische Klang der 80er rührt von genau dieser Synthesetechnik wie
z.B. in Depeche Mode und vielen anderen Aufnahmen von Bands aus dieser Zeit zu hören
ist.
2.2 Vorteile der FM
Das Interesse Yamahas an dieser Entwicklung bestand vor allem in der Tatsache, dass sich komplexe und harmonisch reiche Spektren mit im Vergleich zur Additiven Synthese sehr geringen
Rechenzeit realisieren lassen. So muss bei der Additiven Synthese für jeden Partialton ein eigener Osszillator und eine eigene Hüllkurve - welche jeweils passend eingestellt werden müssen bereitgestellt werden. Würde man beispielsweise ein Rechtecksignal mit 20 Oberschwingungen
annehmen, so müsste man 20 (!) einzelne Sinusgeneratoren implementieren, was zur damaligen
Zeit die Rechner nicht bzw. nur schwer in dieser Preisklasse leisten konnten. Mit der Frequenzmodulation benötigt man für dieselbe Anzahl von Oberschwingungen lediglich 2 Sinusgeneratoren, allerdings sind die Amplituden nicht direkt kontrollierbar. Die FM wurde ebenfalls
bevorzugt zur Erzeugung von perkussiven und Glockenartigen Klängen/Effekten eingesetzt, die
mit ähnlich einfachem Aufwand realisierbar sind.
2
Die Frequenzmodulation besteht im einfachsten Fall aus genau einer Trägerfrequenz und dem
Nutzsignal das übertragen werden soll. Die Frequenzmodulation gehört auch wie ihre eng verwandte Phasenmodulation zur Gruppe der Winkelmodulationen. Bevor die Frequenzmodulation
mathematisch beschrieben werden kann, muss zunächst die Phasenmodulation definiert werden.
Aus Ihr lässt sich dann die Frequenzmodulation ableiten.
3.1 Die Phasenmodulation
Der nicht-modulierte Träger lässt sich beschreiben durch: u(t) = sin(ω0 ∗ t + ϕ0). Der in der
Klammer stehende Ausdruck (ω0 ∗ t + ϕ0) beschreibt die Gesamtphase der Sinusfunktion.
Durch Hinzufügen eines Zeitvarianten Phasenmodulators (im konkreten Fall das Nutzsignals),
lässt sich der Ausdruck nun schreiben als u(t) = sin(ω0 ∗t + ϕ0 + a ∗ ϕ(t)), wobei a die Modulationsstärke ist. Um nun von der Phasenmodulation auf die Frequenzmodulation zu kommen
muss ein Zusammenhang zwischen diesen gefunden werden.
3.2 Die Frequenzmodulation (Herleitung)[1]
Dazu betrachtet man zunächst das nicht-modulierte Signal, bzw. dessen Phase und führt den Begriff der momentanen Kreisfrequenz durch die Ableitung nach der Zeit mit der Trägerfrequenz
ω0 und einem konstanten Phasenwinkel ϕ0 ein: ω(t) = dtd (ω0 ∗ t + ϕ0). Die Ableitung würde
sinnvoller weise als Ergebnis wieder ω0 liefern, da der Ausdruck von einem nicht-modulierten
Sinus stammt, daher die Frequenz konstant ist. Da der in der Klammer stehende Ausdruck nichts
anderes als die Phase des nicht-modulierten Sinus ist, lässt sich daraus interpretieren, dass die
Frequenz die Ableitung der Phase nach derR Zeit ist. Umgekehrt ist dann die Phase gleich der
Integration der momentanen Kreisfrequenz ω(t) dt.
Die Frequenzmodulation kann als Argument einer Sinusfunktion nun mit f mod = sin(ω0 + a ∗
m(t)) beschrieben und nach derR Zeit integriert werden. Man erhält dann folgenden Ausdruck
pmod = sin(ω0 ∗ t + ϕ0 + a ∗ m(t) dt) für die Phasenmodulation. Nimmt man nun für die
Funktion m(t) = sin(ω0 ∗ t + ϕ0) dann folgt daraus pmod = sin(ω0 ∗ t + ϕ0(a/ω0) ∗ cos(ω0 ∗
a
t +ϕ0)), wobei der Faktor ω0
als Frequenzhub ∆ f t (nicht Abtastfrequenz!) bezeichnet wird und
der Faktor a bei der Phasenmodulation als Phasenhub ∆ϕ. Frequenz- und Phasenmodulation
sind also um 90 Grad zueinander verschoben.
Die zur Übertragung benötigte Bandbreite wächst mit der Frequenz und Amplitude des Nutzsignals.
Die Momentanfrequenz darf nicht als Frequenz im Sinne von Fourier verstanden werden, da
sie eine zeitabhängige Grös̈e ist [2]. Interpretiert man ω0 + ϕ0als Zeiger in der komplexen
Ebene, so ergibt sich ein nicht-modulierter Oszillator falls sich der Zeiger gleichmäs̈ig dreht und
3
eine phasenmodulierte Oszillation falls sich der Zeiger ungleichmäs̈ig dreht. Das resultierende
Zeitsignal ist die Projektion auf die Reelle Achse (Cosinus-Schwingung). Im Unterschied dazu
ist die Frequenz nach Fourier nicht zeitabhängig.
In der Nachrichtentechnik könnte nun die Demodulation erfolgen in dem man die Frequenzabweichungen von der Trägerfrequenz als Amplitude des Nutzsignals auffasst.
Hinweis
Die Phasenmodulation
kann direkt vorgegeben werden mit a∗ϕ(t) und die Frequenzmodulation
R
durch m(t) dt, wobei hier aber eine Integration zunächst durchgeführt werden muss. In der
analogen Technik ist es einfacher den Weg der Frequenzmodulation zu gehen, da die Phase
nicht auf einfachem Weg kontrolliert werden kann. In der Digitaltechnik hingegeben sind beide
Methoden durch direkte Vorgabe im Argument einfach [1].
4
4 Die FM-Synthese
Anmerkung: Jedes Beispiel kann in ’simple_FM.m’ nachvollzogen werden und ist als Audiodatei im Ordner vorhanden.
4.1 Einfache Frequenzmodulation
Als einfache Frequenzmodulation bezeichnet man die Verwendung von einem Oszillator und
einem Modulator u(t) = cos(ωg ∗ t + ϕg + I ∗ cos(ωm ∗ t + φ m)) , wobei ωg = 2 ∗ Π ∗ f g ,
ωm = 2 ∗ Π ∗ f m und I = ∆ f t/ f m(Frequenzabweichung um die Trägerfrequenz herum dividiert
durch die Modulationsrate bzw. Anzahl der Modulationen pro Sekunde) als Modulationsindex
bzw. Modulationstiefe bezeichnet wird [3]. Der Einfachheit halber wird ϕg und ϕm auf Null
gesetzt damit ergibt sich u(t) = cos(ωg ∗ t + I ∗ cos(ωm ∗ t)).
Das resultierende Spektrum hängt insbesondere von der Trägerfrequenz, Modulatorfrequenz
und dem Modulationsindex ab. Um die Trägerfrequenz herum bilden sich so genannte Seitenbänder. Folgendes Frequenzspektrum wurde mit fg=1000, fm=250 und I=1 geplottet:
Bild 4.1: Fundamentalfrequenz und Seitenbänder der einfachen FM
Die Seitenbänder sind offensichtlich nur Vielfache modulierenden Frequenz fm um die Trägerfrequenz herum. Die Seitenfrequenzen lassen sich mit f g + / − k ∗ f m berechnen, wobei k ein
5
4 Die FM-Synthese
fortlaufender Index für die k-te Seitenfrequenz ist. Der Modulationsindex (oder Modulationstiefe) bestimmt hierbei die Anzahl n der Seitenbänder mit ungefähr n = I + 2. Erhöht man den
Modulationsindex so verteilt sich die Energie mit der die Grundfrequenz schwingt immer mehr
auf die Seitenbänder.
Beispiel 1 mit f g = 2000, f m = 250 und I = 2; dies ergibt n = 2 + 2 = 4 Seitenbänder auf
jeder Seite
Bild 4.2: Beispiel 1: Zusammenhang von Modulationsindex und Seitenbänder
Fallen Frequenzen mit f = f gk ∗ f m in den negativen Frequenzbereich ( f < 0) , so werden
sie in den positiven gespiegelt und können dabei zwischen andere Spektrallinien fallen oder
vorhandene überlagern und dabei verstärken oder sogar auslöschen.
Beispiel: Möchte man eine Rechteckschwingung durch FM erzeugen, so könnte man beispielsweise f g = 200 und f m = 2 ∗ f g wählen, dann würde wie beim Rechteck nur jede zweite
Partialschwingung auftreten. Allerdings würden nur bis zum Modulationsindex I=3 die Amplituden mit einem Rechteck-Spektrum vergleichbar sein. Durch die reflektierten Seitenbänder
würden sich die Partialschwingungen konstruktiv überlagern und das Ergebnis wäre nicht mehr
vergleichbar. Das Rechteck wäre speziell mit der einfachen FM aber nur durch den Effekt der
reflektierenden Seitenbänder nachzubilden, da es kein zur Grundfrequenz symmetrisches Spektrum hat.
Werden auch reelle Zahlen (auch Kommazahlen) verwendet, so ergeben sich komplizierte nichtoder teilharmonische Spektren die auf der Soundkarte ausgegeben einen metallischen oder
brummigen Klang haben.
6
4.1 Einfache Frequenzmodulation
Beispiel 2 mit f g = 1000; f m = 440.5 und I = 2;
Bild 4.3: Beispiel 2: nicht ganzzahlige Modulationsfrequenz
7
4 Die FM-Synthese
4.2 Besondere Frequenzverhältnisse
4.2.1 Vibrato
Eine Modulation bei der die Frequenz f m des Modulators unter 20 Herz oszilliert, nennt man
Vibrato. Dieser Begriff stammt aus der Musik in der z. B. Violinisten eine Saite am Griffbrett gegen das Holz drücken und ihren Finger ein paar Millimeter nach vorne abrollen und
ihn wieder zurück zur Ausgangsposition bewegen. Dies passiert 3-10 mal pro Sekunde und ergibt einen interessanteren Sound. Bei der simplen FM ist dieser Effekt aber am Beispiel einer
reinen Schwingung allerdings eher uninteressant wenn man ihn im konventionellen Sinne nutzt.
Beispiel 3 extrem langsames Vibrato und ein sehr reiches Obertonspektrum mit Aliasingeffekt,
Resultat ähnlich einer Polizeisirene (USA), mit Cosinus allerdings nicht direkt nachzubilden
Bild 4.4: Beispiel 3: Sirene
Bild 4.5: Beispiel 3: Spektogramm
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4.2 Besondere Frequenzverhältnisse
4.2.2 Beating
Einen Pulsierenden Klang bekommt man durch eine sehr kleine Abweichung der Modulationsfrequenz von der Trägerfrequenz (ungefähr 1.5 Herz). Dies bewirkt bei den Seitenbändern links
der Trägerfrequenz eine Reflektion, die nicht genau auf die nicht reflektierten Komponenten
fällt, sondern sehr knapp daneben.
Beispiel 4 mit f g = 100; f m = 101.5 und I = 1
Bild 4.6: Beispiel 4: Pulsieren
9
4 Die FM-Synthese
Beispiel 5 mit f g = 1; f m = 100 und I = 1
Ein weiteres Beispiel ist das Setzen von fg=1 und fm=x, wobei x beliebig sein kann. Durch die
Spiegelungen des negativen in den positiven Frequenzbereichs bekommt man zu jeder Oberschwingung noch eine weitere mit 1 Herz entfernten Schwingung
Bild 4.8: Beispiel 5: Pulsieren
10
Die Lage der Frequenzen kann bei einfacher FM nun berechnet werden, möchte man noch die
Amplituden bestimmen, so benötigt man die so genannten Besselfunktionen [3;4]. Die Besselfunktionen sind die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, die in der Physik bei
vielen Problemen mit zylindrischen Objekten (z. B. Eigenfrequenzen von Orgelpfeifen) benötigt werden. Die Funktionen sind gegeben durch
(−1)r ( x )2r+n
2
Jn (x) = Σ∞
r=0 Γ(n+r+1)r! (4.1) wobei Γ ist die Gammafunktion mit
Γ(x) =
R ∞ x−1 −t
e , dt (4.2)
0 t
In unserem Fall steht das x für den Modulationsindex I und Jn (I) gibt den Amplitudenfaktor für
das n-te Seitenband an. Die so ermittelten Amplituden mit unteren (linken) Seitenfrequenzen
müssen â wenn sie ungerade Vielfache der Trägerfrequenz sind - mit (-1) multipliziert werden.
Dies ergibt sich aus den Besselfunktionen [3].
Untere Seitenfrequenzen im negativen Frequenzbereich werden in den positiven gespiegelt und
ihre Amplitude invertiert (Multiplikation mit -1), dies geschieht unabhängig bzw. zusätzlich
wenn die Frequenz eine ungerade Vielfache der Trägerfrequenz sein sollte und liegt in der Interpretation negativer Frequenzen begründet. Eine negative Frequenz bedeutet physikalisch die
Umkehrung der Oszillationsrichtung, bei einem Rad welches man dreht also die Umdrehung in
die andere Richtung. Daher muss die Amplitude auch wenn sie als positive Frequenz dargestellt
wird invertiert werden.
Schlussendlich können die Frequenzen die nun alle positiv dargestellt sind noch als Betrag genommen werden, da unser Ohr keine Phasenverschiebungen wahrnimmt. Für eine Ausführliche
Darstellung siehe Literaturhinweis 3 (Simple FM- The Theory).
Weitere Eigenschaft
Ein weitere besondere Einstellung der Frequenzen ist mit f g = 0 und f m = x gegeben, wobei
x beliebig sein kann. Diese Einstellung erzeugt einen Gleichanteil bei f = 0 und +/ − k ∗ f m,
wobei k die k-te Seitenfrequenz darstellt. Durch die bei den Besselfunktionen (4.1) besprochene
Eigenschaft, dass jede ungerade untere Seitenfrequenz mit (-1) multipliziert werden muss, ergibt
sich in diesem Fall die Auslöschung (destruktive Interferenz) jeder zweiten Seitenfrequenz und
eine konstruktive Interferenz bei ungeraden Vielfachen.
11
5 Der Einsatz von Zeitvarianten
Funktionen
5.1 Amplitudensteuerung
Da das abrupte Ein- und Ausschalten eines Signals nicht besonders nach einem Musikinstrument klingt und die Lautstärke bei vielen Instrumenten auch über die Zeit hinweg geringer
wird, sind die so genannten ADSR-Hüllkurven (Attack, Delay, Substain, Release) für einen
Klangerzeuger unabdingbar. Um die Implementierung einfach zu halten kann man solche Hüllkurven am einfachsten durch Geraden annähern. Die Meisten Instrumente schwingen in der
Attack-Phase schnell ein und nehmen danach mit der Lautstärke etwas ab (Decay) bevor sie auf
ein relativ konstantes Niveau kommen (Substain) und sobald der Ton nicht mehr gespielt wird
(Taste wird losgelassen, Spieler geht die Luft aus, Saite klingt aus), leitet die Release-Phase
mehr oder weniger schnell wieder zum Ruhezustand über.
Modelliert man ein Instrument möglichst Realitätsnahe, so ist der Einsatz einer Hüllkurve meistens nicht ausreichen. Für manche Anwendungsfälle ist die einfache ADSR-Hüllkurve nicht
ausreichend. Beispielsweise bieten manche Synthesizer auch zusätzliche Phasen wie die HoldPhase, bei der die Hüllkurve verzögert beginnt oder aber auch komplexe Hüllkurven die sich
bei guter Software auch frei konfigurieren lassen.
Bild 5.1: Beispiel einer Standard ADSR-Hüllkurve
12
5.2 Variabler Modulationsindex
Jedes Instrument besitzt einen charakteristischen Klang, welcher bei einer Vielzahl von Instrumenten besonders durch den Einschwingvorgang bestimmt wird. Auch das Ausschwingverhalten kann einen wichtigen Teil zum Gesamtklang beitragen.
Statt nur einem starren Modulationsindex I könnte man nun jede beliebige zeitabhängige Funktion an dessen Stelle setzen um die Modulationstiefe über der Zeit zu variieren.
u(t) = cos(2 ∗ Π ∗ f g ∗ t + I ∗ adsr. ∗ cos(2 ∗ Π ∗ f m ∗ t))
Anschaulich bedeutet dies die dynamische Änderung der Bandbreite bzw. das Variieren der
Anzahl an Oberschwingungen. Setzt man eine ADSR-Hüllkurve ein, so hat man eine kontrollierbare Funktion um die Instrumentencharakteristik nachzubilden.
,→ Simple FM var modIndex.m
Beispiel 6 Kurzzeitiges Vibrato mit ADSR-Hüllkurve
Bild 5.2: Beispiel 6: ADSR-Hüllkurve
13
Beispiel 7 Twitter mit f g = 3300; f m = 8; und I = 80
Durch geeignete Wahl der Parameter kann auch das Gezwitscher von Vögeln zumindest soweit
angenähert werden, dass es als solches erkennbar ist.
Bild 5.4: Beispiel 7: ADSR-Hüllkurve
14
Beispiel 8 Beating Version 2 mit f g = 30; f m = 31.5; und I = 10 Dauer auf 15 Sekunden einstellen!
Wählt man andere Funktionen statt einer Hüllkurve, so lassen sich noch unendlich weitere
Möglichkeiten ausschöpfen wie man die Bandbreite variieren kann. Beispielsweise lässt sich
der oben genannte Beating-Effekt wunderbar mit einer stetig ansteigenden Funktion kombinieren, um Klänge die an elektronische Musik erinnern, zu erhalten. Bei allen stetig ansteigenden
Funktionen kommt man â mit ungünstiger Parameterwahl oder Gegenmasnahmen - allerdings
früher oder später zu einem Rauschen.
u(t) = cos(2 ∗ Π ∗ f g ∗ t + I ∗ t. ∗ t. ∗ cos(2 ∗ Π ∗ f m ∗ t));
15
Beispiel 9 Beating Version 3 mit f g = 30; f m = 31.5; und I = 10 Dauer auf 15 Sekunden einstellen!
Durch noch komplexere Funktionen lässt sich jeder beliebige Verlauf erzeugen. Aus folgender Funktion resultiert das nächste Spektogramm:
u(t) = cos(2 ∗ Π ∗ f g ∗ t + I ∗ e(3∗cos(0.5∗cos(t)+0.5)) ∗ cos(2 ∗ Π ∗ f m ∗ t))
Hinweis: Genau genommen handelt es sich bei den letzten beiden Beispielen schon um eine
Art komplexe Frequenzmodulation
16
Wird ein Träger nicht mit einem, sondern mehreren Modulatoren moduliert, so spricht man
von einer komplexen Frequenzmodulation, da die beiden Modulatoren zusammengesetzt eine
komplexe Wellenform ergeben, die von einer einfachen Sinusschwingung abweicht. Bevor darauf eingegangen wird aber noch ein Wort zu parallelen Trägerfrequenzen und zur einfachen
Linearität.
6.1 Parallele Trägerfrequenzen mit unabhängigen
Modulatoren
Werden Trägerfrequenzen mit jeweils ihrem Modulator parallel geschaltet (d.h. der Output einfach addiert), so entstehen mehrere Spektren wie man sie von der einfachen FM kennt, allerdings mit dem Unterschied das diese überlagert werden. Da bei der Überlagerung Linearität
gilt, können die Einzelspektren einfach addiert werden.
6.2 Parallele Modulatoren für eine Trägerfrequenz
Die eigentliche komplexe Frequenzmodulation erfolgt durch die Verwendung mehrerer Modulatoren für einen Träger. Diese Technik macht den eigentlichen Reiz der Nutzung von FM
als Synthesetechnik aus, hat aber den Nachteil noch komplizierter in der Handhabung zu sein.
Nutzt man mehrere Modulatoren, so berechnet sich das Spektrum nicht als einfache Zusammensetzung wie bei parallelen Trägerfrequenzen, sondern in der Form [3]:
f g + / − f m1 ∗ k1 + / − f m2 ∗ k2 und n1 = I1 + 2; n2 = I2 + 2 (wie bei der einfachen FM)
dabei lässt man zuerst k1 = 1 und lässt k2 von 1 bis n2 laufen, dann setzt man k1 = 1 und lässt
k2 erneut von 1 bis n2 laufen,â bis k1 = n1. Nicht zu vergessen ist die Variation aller Vorzeichen
aus der obigen Rechenvorschrift, dann ergeben sich 4 Rechendurchgänge. Dadurch entstehen
die so genannten kombinierten Seitenfrequenzen.
Zusätzlich müssen noch die simplen Spektren der einzelnen Modulatoren hinzugenommen werden (d. h. k1 = 0 und k2 von 1 bis n2 und k2 = 0 und k1 von 1 bis n1).
Die Amplituden berechnen sich als Multiplikation von Jk1 (I1) und Jk2 (I2), wobei hier wieder
auf ungerade untere Seitenfrequenzen und die Multiplikation mit -1 zu achten ist.
17
Im Prinzip lässt sich dies alles auch durch eine Faltung im Frequenzbereich beschreiben:
Bild 6.1: Faltungen
Da sich mit einem Träger und mehreren Modulatoren bei der richtiger Wahl der Parameter die
selben Spektren wie mit mehreren einfach-modulierten Trägern erzeugen lässt, lässt sich viel
Rechenzeit einsparen bei gleichem oder sehr ähnlichem Ergebnis.
,→ Complex FM.m
Beispiel 10 Brummen mit I1 = 1; I2 = 0.5; f g = 500; f m1 = 100; f m2 = 10
Durch noch komplexere Funktionen lässt sich jeder beliebige Verlauf erzeugen. Aus folgender
Funktion resultiert das nächste Spektogramm:
u(t) = cos(2 ∗ Π ∗ f g ∗ t + I ∗ e(3∗cos(0.5∗cos(t)+0.5)) ∗ cos(2 ∗ Π ∗ f m ∗ t))
Bild 6.2: Träger mit Modulator 1
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6.2 Parallele Modulatoren für eine Trägerfrequenz
Bild 6.3: Träger mit Modulator 2
Bild 6.4: Spektrum nach der Faltung
Hinweis: Schematische und ausführlichere Darstellung ist in Dr. Chownings âFM-Theory and
Applicationsßu finden.
19
6.3 Parallele Modulatoren für eine Trägerfrequenz mit
variablem Modulationsindizes
Genau wie bei der simplen FM können für die einzelnen Modulatoren hier auch Hüllkurven
oder andere Funktionen zum Einsatz kommen. Dadurch ist es möglich den Anteil der Modulatoren über der Zeit zu steuern bzw. zeitweise sogar ganz abzustellen.
Beispiel 12 Roboter ’R2-D2’ aus StarWars I1 = 5; I2 = 1000; f g = 2576; f m1 = 4; f m2 = 1
Bild 6.5: Spektogramm
Bild 6.6: Hüllkurve 1
20
Bild 6.7: Hüllkurve 2
6.4 Kaskadenschaltung von Modulatoren
6.4 Kaskadenschaltung von Modulatoren
Werden Modulatoren ineinander verschachtelt, so spricht man von kaskadierten bzw. in Reihe
geschalteten Modulatoren der Form:
u(t) = cos(2 ∗ Π ∗ f g ∗ t + I2 cos(2 ∗ Π ∗ f m2 ∗ t + I1 cos(2 ∗ Π ∗ f m1 ∗ t)))
Dabei moduliert der Oszillator mit fm1 den Modulator mit fm2. Dieser wiederum moduliert
den Träger, daher wird der Träger also mit einem bereits komplexen Signal moduliert.
Das resultierende Spektrum berechnet sich folgendermas̈sen [3]:
f g + / − k1 ∗ f m1 + / − k2 ∗ f m2 , wobei k1 = 1, ..., n1 und k2 = 1, , n2 und n1 = I1 + 2, n2 =
I2 + 2;
mit den Amplituden:
Jk1 (I1 ) ∗ Jk2 (k1 ∗ I2 )[3](6.1) Für die Amplitude der Trägerfrequenz ergibt sich der Sonderfall,
dass nur der Besselkoeffizient von I1 relevant ist, da bei der 0-ten Seitenfrequenz gilt: J0 (I1 ) ∗
J0 (0 ∗ I2 ). Da sich für Besselkoeffizienten der Grundschwingung und Modulationsindex gleich
Null der Faktor eins ergibt, bleibt also nur die Abhängigkeit von I1 übrig.
Um die Grundfrequenz bilden sich keine (einfachen) Seitenfrequenzen die von Modulator 2 (mit
fm2 ) herrühren könnten. Dies lässt sich auch aus der Formel für die Besselkoeffizienten ablesen:
um nur einfache Seitenfrequenzen um den Träger zu haben müsste der Einfluss von Modulator 1
bzw. dessen Modulationsindex I1 gleich Null sein. Da Modulator 1 dann keine Seitenfrequenzen
erzeugt ist k1 = 0 und von Modulator 2 herrührend läuft k2 von 1 bis n2. Allerdings ergibt
der Besselkoeffizient Jk2 (0 ∗ I2 ) für alle k2 > 0 immer gleich Null. Mit einfachen kaskadierten
Modulatoren lassen sich also Frequenzgruppen um die Grundfrequenz bilden.
Bild 6.8
Für mehr als 2 kaskadierte Modulatoren setzt sich die Berechnung analog zu der vorherigen
fort.
Bei 3 Modulatoren:
Frequenzlagen:
f g + / − k1 ∗ f m1 + / − k2 ∗ f m2 + / − k3 ∗ f m3
21
und Amplituden:
Jk1 (I1 ) ∗ Jk2 (k1 ∗ I2 ) ∗ Jk3 (k1 ∗ k2 ∗ I3 )
...und so weiter.
6.5 Feedback FM
Eine weitere wichtige Technik einen Träger zu modulieren ist das so genannte Feedback, bei
welchem im einfachsten Fall der Ausgang eines Oszillators auf seinen eigenen Eingang (Modulationsfrequenz) rückgekoppelt wird. Diese patentierte Erfindung geht auf einen Ingenieur der
Yamaha Corporation zurück, dabei können Spektren wie von einem Sägezahn bis zum Rauschen erreicht werden, weshalb Feedback FM gerne Verwendung findet.
Bei einem Modulationsindex von 0 bis ca. 1.5 erhält man ein nach 0 in der Amplitude abfallendes Spektrum und wenn man dies mit einfacher FM vergleicht, so würde man ein Frequenzverhältnis von 1:1 annehmen (daher f k = f g + f g ∗k). Hinweis: Möchte man jeder Teilschwingung
Seitenbänder geben, so muss man die Amplitudenmodulation nutzen und das Originalsignal
nochmals dazu addieren.
,→ Complex FM Feedback.m
Beispiel 13 Sägezahnschwingung f g = 500; I f eed = 1
Bild 6.9: FM-Feedback-Signal
Beispiel 14 Rauschen f g = 300; f m1 = 500; I f eed = 4
Rauschen kann durch einen sehr hohen Modulationsindex erreicht werden, oder durch einen
geringen wenn der durch Feedback modulierte Oszillator als Modulator für einen Träger verwendet wird (dann verhält sich der Modulator wie mehrere parallel geschaltete Modulatoren für
den Träger).
22
6.5 Feedback FM
Bild 6.10: Spektrum: Feedback-Rauschen
Bild 6.11: Spektogramm: Feedback-Rauschen
23
Steel Panâs (oder in den USA auch Steel-Drums genannt) gehören zu den Idiophonen und entstanden in den 60er Jahren auf der Insel Trinidad. Die Instrumente werden aus alten ¨¨olfässern
gefertigt, in dem durch verschiedene Werkzeuge der Boden des Fasses konkav geformt wird und
einzelne Felder auf dieser konkaven Form zu einer Art Membran geformt werden. Der Beruf
des Steel-Pan-Instrumentenbauers ist auf Trinidad ein sehr angesehener Beruf, da es viel Erfahrung und Geschicklichkeit erfordert, gut klingende Exemplare anzufertigen. An dieser Stelle
möchte ich noch auf das beigelegte frei verfügbare E-Book zum Thema Steel-Pan im Eigenbau
(steel p ant uning.pd f )hinweisen.
,→ Steeldrum f sharp 4.wav, applications steelPan.m
7.1.1 Analyse des Spektrums
Bild 7.1: Spektrum: Steel-Drum bei F#’, 370hz
Die Grundfrequenz des Tons lässt sich auf ungefähr 370hz bzw. F#4 bestimmen. In diesem Fall
entspricht das der tiefsten Frequenz, was nicht bei jedem Instrument der Fall sein muss und
daher explizit erwähnt wird. Die nächste sehr energiereiche Frequenz ist die erste Oberschwingung bei ca. 370hz ∗ 2 = 740hz. Tatsächlich sind noch weitere Oberschwingungen vorhanden,
allerdings kommen quasi nur noch Frequenzen im Abstand von ∆ f = 2 ∗ f 0 nach der ersten
Oberschwingung zum tragen und selbst diese sind vergleichsweise schwach und fallen weiter
ab. Das Spektrum gibt nur Auskunft über die Lage und ungefähre Intensitätsverhältnisse der
einzelnen Frequenzen.
24
7.1.2 Analyse des Spektogramms
Bild 7.2: Spektogramm: Steel-Drum bei F#’, 370hz
Anhand des Spektrogramms lassen sich in diesem Beispiel relativ einfach wichtig klangliche
Eigenschaften (zumindest dieses Tons von dieser Steel-Pan) ablesen:
Sobald die Membrane mit einem Schlegel angeschlagen wurde, wird diese â sowie der Rest
der Pan â in Schwingung versetzt, dabei treten in der ’Attack’-Phase für einen Bruchteil einer
Sekunde mehrere Oberschwingungen, sowie inharmonische Frequenzen auf. Mit dem weiteren
Verlauf der Zeit nehmen diese rasch ab, bis nur die beiden sehr stark ausgeprägten untersten
Frequenzen übrig bleiben. Würde man die starken harmonischen Schwingungen (in dem Fall
die ersten 3) herausfiltern, so blieben noch metallische Hammer-artige Geräusche übrig.
,→ Mit der kostenfreien Software SPEAR [5] lässt sich dies in sehr einfacher Weise
nachvollziehen.
25
7.1.3 Analyse der Zeitfunktion
Bild 7.3: Zeitverlauf: Steel-Drum bei F#’, 370hz
Die Amplitude der Zeitfunktion fällt näherungsweise exponentiell ab und idealisiert könnte
man sagen es handelt sich um ein amplitudenmoduliertes Signal im Intervall [0 > t > 2.5].
Diese Eigenschaft lässt sich übrigens auch vor allem in der Intensität (Wechsel zwischen rot
und Dunkelrot) der ersten Oberschwingung im Spektrogramm beobachten.
7.2 Resynthese durch Frequenzmodulation
Vorgehen:
1. Geeignete Wahl und Verschachtlung von Trägern sowie Modulatoren
2. Mithilfe des Spektrogramms und Experimenten geeignete Hüllkurven finden
3. Exponentialfunktion statt konstantem Amplitudenfaktor einsetzen, Parameter am einfachsten experimentell finden.
26
Ansatz zur Wahl der Oszillatoren
Betrachtet man das Spektogramm, so muss man sich Gedanken über den eine passende Verbindung von Trägern und Oszillatoren machen. Im diesem Beispiel nehmen wir zunächst einen
einzelnen Oszillator ohne Modulation. Ein Blick ins Spektrum verrät den Aufbau der weiteren
Oberschwingungen. Dieser ist bei Analyse des Spektrums bereits beschrieben.
Hierfür eignet sich der Einsatz eines Feedback-Modulators mit sehr geringem Rückkopplungsfaktor.
Um ein leichtes Klirren bzw. Vibrato zu erhalten um dem Klang mehr Realismus zu geben
multipliziert man das Feedback-Signal mit dem Ausgang eines modulierten Oszillators, wobei
die Modulationsfrequenz im Beispiel sehr klein gewählt ist. Das ganze entspricht einer Amplitudenmodulation, ist aber so in Matlab am einfachsten. Durch die AM werden jeweils zwei
Seitenbänder zu jeder Teilschwingung erzeugt, wobei diese symmetrisch zu jeder ursprünglichen Frequenz angeordnet sind. Da die Teilschwingungen an sich durch die AM verschwinden,
fügen wir diese durch eine Addition des ursprünglichen Feedback-Signals wieder hinzu.
Das Ergebnis bis an diese Stelle klingt natürlich noch lange nicht nach einem realem Instrument. Die dynamische Entwicklung des Spektrums im Zeitverlauf muss noch durch Hüllkurven
modelliert werden.
Ansatz zur Wahl der Hüllkurven
In der ’Attack’-Phase besteht zunächst ein Art minimales Rauschen über den ganzen abgebildeten Frequenzbereich hinweg, welcher aber nur kurzzeitigen Bestand hat. Zur Modellierung
lässt sich der Feedback-Oszillator ausnutzen, indem man mit einer Exponentialfunktion als variabler Rückkopplungsfaktor arbeitet. Durch die Richtige Wahl der Parameter kann so auch das
Anfangs-Rauschen grob angenähert werden.
Die Grundschwingung muss laut Spektogramm auch langsam abnehmen, dies erreicht man
durch eine Multiplikation z. B. wiederum mit einer Exponentialfunktion.
Abschlies̈end fehlt noch eine Hüllkurve für die Amplitude. Laut Zeitdiagramm nimmt diese
ebenfalls exponentiell ab, also multipliziert man das Signal mit einer geeigneten E-Funktion.
Um nicht sofort bei t = 0 auf maximaler Amplitude zu sein braucht es noch eine ADSRHüllkurve die das ganze abrundet. Und tatsächlich steuert diese eine deutliche Verbesserung
in der Attack-Phase bei.
27
7.2.1 Spektren und Bewertung des Ergebnisses
Schaubilder
Der bisherige Klang trägt noch nicht den typisch metallischen Klang einer Steel-Pan in sich.
Um diesen zu modellieren muss auch der inharmonische Klanganteil nachgebildet werden,
allerdings ist dies alleine mit FM in dem gegebenen Beispiel intuitiv nicht einfach zu lösen.
Ein vergrös̈erter Ausschnitt aus dem Original-Spektrum zeigt kleinere spektrale Häufungen,
insbesondere um die beiden stärksten Frequenzen (Grundschwingung und erste Partialschwingung)
Bild 7.4: Original-Spektrum der ersten beiden Schwingungen
28
Ergebnisse des FM-Modells:
Bild 7.5: Modell-Spektogramm
Hinweis Bei Bedarf können die Schaubilder im M-File generiert und genauer untersucht werden.
29
Bild 7.6: Modell-Spektrum
Abschlies̈ende Bewertung
Die Spektrale Modellierung ist ein sehr kompliziertes und Zeitaufwändiges Verfahren; hierbei
reicht es meistens nicht aus die Frequenzanteile zu untersuchen und beliebig nachzubilden, da
viele Frequenzen auch aufgrund der Physik der Instrumente gekoppelt sind. Besonders komplexe Spektren können nicht nach dem oben genannten Vorgehen in annehmbarer Zeit nachgebildet werden, hier ist eher experimentieren und viel Erfahrung angesagt was es im Vergleich zu
anderen Syntheseverfahren aber sehr unattraktiv macht.
Weiterhin muss noch beachtet werden, dass die oben vorgenommene Modellierung nur für einen
einzigen Ton gilt, im schlechtesten Fall verhält sich das Instrument sehr nicht-linear, dann sind
die Chancen auf gute Resultate sehr gering oder nur unter viel Aufwand machbar.
30
7.3 Versuch: Modellierung einer Pan-Flöte
Bild 7.7: Beispiel einer Panflöte
,→ Soundfile sounds/panmiddle.wav
,→ Analyse Panflute2.m
In diesem Beispiel wird nicht das obige Rekonstruieren des Spektrums nur durch FM versucht,
sondern die FM dient hier zu Generierung von Signalen die dann nach dem Verfahren der subraktiven Synthese nach und nach gefiltert werden.
31
7.3.1 Analyse des Spektrums
Bild 7.8: Spektrum einer Panflöte d”, 587.330hz
Aus dem Frequenzspektrum der Panflöte lässt sich schnell die für Rechteckschwingungen charakteristische Frequenzverteilung erkennen mit f n = f 0 ∗ 2n, dabei ist die Fundamentalschwingung f 0 in der Amplitude die stärkste, gefolgt von den ersten zwei Oberschwingungen die im
ungefährem Verhältnis von 41 zur Grundschwingung stehen. Die dritte und vierte Oberschwingung sind wiederum im Verhältnis von 14 zu den vorherigen. Insgesamt besitzt die Rechteckschwingung nicht viele Obertöne, was auf einen nicht sehr brillanten Höreindruck hinweist wie
man es von einer Flöte auch erwarten würde. Um die einzelnen Teilschwingungen sind noch
kleine Anteile von Rauschen.
32
7.3.2 Analyse des Spektogramms
Bild 7.9: Spektogramm einer Panflöte d’, 587.330hz
Am Spektogram lässt sich ebenfalls das Rechteck wiederfinden und zusätzliche Oberschwingungen, die alle etwas verrauscht scheinen. Ab Sekunde 2 fällt das gesamte Spektogramm ab,
allerdings ist hier zu beachten das es sich um den Zeitpunkt der ’Release’-Phase handelt.
33
7.3.3 Vergleich zu anderen Tonhöhen
,→ sounds/panhigh.wav
Bild 7.10: Spektogramm einer Panflöte e”, 587.330hz
Bild 7.11: Spektrum einer Panflöte e”,
587.330hz
Im Gegensatz zu tieferen Frequenzen gibt es hier im Spektrum nur eine markante Spektrallinie
bei der Grundfrequenz. Auch das Spektogramm unterscheidet sich in der Energieverteilung und
Breite der Seitenbänder von dem des höheren Tons.
34
Bild 7.12: Spektogramm einer kurzen Melodie in tiefer Lage
In diesem Spektogramm ist die Veränderung der Seitenbänder bei verschiedenen Tonhöhen sehr
deutlich sichtbar. In tieferen Frequenzen gibt es in der Anzahl mehr abgestufte Frequenzbänder
oberhalb der Grundfrequenz als in höheren Frequenzlagen. Es scheint ausserdem zu gelten: je
höher der gespielte Ton, desto breiter die Seitenbänder. Dies kommt durch Überlappungen der
Bänder zustande.
35
7.3.4 Analyse der Zeitfunktion
Bild 7.13: Zeitverlauf einer Panflöte d”, 587.330hz
Hier lässt sich zunächst nicht sehr viel ablesen aus̈er dass bei dieser Spielweise die Amplitude nicht wirklich abnimmt und eine Art Amplitudenmodulation vorliegt. Weiterhin steigt die
Amplitude in der ’Attack’-Phase stark und fällt ebenso in der ’Release’-Phase.
36
7.4 Modellierung
7.4 Modellierung
Die aus der Analyse gewonnen Vermutungen und "reichen nicht ganz aus um eine Panflöte halbwegs real nachbilden zu können. Daher muss das Instrument auch physikalisch betrachtet werden bzw. wie der Gesamtklang entsteht (für Details siehe Anhang âFloeten Tonentstehung").
Im Gegensatz zu Instrumenten wie der Trompete führt der Panflöten-Spieler die Luft nicht direkt frontal in das Instrument sondern unter einem bestimmten Winkel, welcher durch die Ausrichtung der Lippen und die Spannung kontrolliert wird. Wählt der Spieler den Winkel richtig
dann entsteht im Rohr (dessen Ende geschlossen ist und reflektiert) eine stehende Welle. Allerdings gibt durch das Anblasen unter einem Winkel auch Teile vom Luftstrom die nicht direkt in
das Rohr gelangen, sondern an dessen Kante aufgeteilt werden oder am Rohr âentlangstreifen".
Dabei entstehen komplizierte Luftverwirbelungen, ebenso kompliziert ist der Vorgang im Rohr
selbst, da die komprimierte Luft nach einem kurzen Moment reflektiert wird und dem Luftstrom
des Spielers entgegenwirkt bis diese soweit entwichen ist das der Zyklus neu beginnt.
7.4.1 FM-Rechteck-Generator
Mit der aus der vorherigen Analyse gewonnenen Erkenntnis, dass der tonale Part sich offensichtlich wie eine Rechteckschwingung verhält, kann diese in MATLAB entweder mit der entsprechenden Funktion erzeugt werden oder man generiert das Signal durch einfache Frequenzmodulation, wobei die Frequenz des Modulators die doppelte Grundfrequenz betragen muss
nach der Form cos(2 ∗ Π ∗ f 0 ∗t + I ∗ cos(2 ∗ Π ∗ 2 ∗ f 0 ∗t)). Der Modulationsindex I wird dabei
optimalerweise auf den Wert 1 gesetzt, dadurch entstehen n = 1 + 2.
7.4.2 FM-Noise-Generator
Das resultierende Ergebnis ist klanglich dem realen Instrument noch weit entfernt, dies liegt
am fehlen der charakteristischen Geräusche die durch die Luftverwirbelungen in und aus̈en am
Rohr entstehen. Um diese nachzubilden wird nun ein Rückgekoppelter Oszillator (FeedbackFM) als zweite Quelle gewählt. Hierbei wird der Rückkoppelfaktor sehr hoch angesetzt um ein
Rauschen zu erhalten. Addiert man das Rausch- und Rechtecksignal erhält man ein dissonantes
Klanggemisch, welches weitere Arbeitsschritte nötig macht.
7.4.3 Formantenfilter
Um das Rauschsignal mit dem tonalen Teil zu verbinden lässt sich am einfachsten der Ansatz
verfolgen, dass Rauschen mit in Serie geschalteten Bandpässen [6] an der Grundfrequenz und
den im Rechteck vorkommenden harmonischen Vielfachen zu filtern (auch Formantenfilter genannt).
Experimentell wurde die Anzahl der Formantenfilter auf 8 beschränkt, welches ein sehr gutes
Ergebnis liefert. Das gefilterte âtonale"Rauschen für sich alleine genommen klingt schon sehr
nach dem holzigen charakteristischem Klang einer angespielten Panflöte. Addiert man jetzt das
tonale Rauschen mit dem Rechteck, so fällt der sehr künstliche Klang des Rechtecksignals nicht
mehr ins Gewicht, geht im Rauschen etwas unter und beide Komponenten harmonieren nun als
Einheit.
37
Bild 7.14: Formantenfilter
7.4.4 Einschwingvorgang
Eine weitere wichtige charakteristische Eigenschaft eines jeden Instruments ist der Einschwingvorgang, welcher bei Panflöten als kurzer druck-artiger Anstieg des nicht-tonalen zu hören ist
und mit ein wenig Verzögerung setzt die tonale Komponente dann ein. Dies lässt sich durch
eine modifizierte ADSR-Hüllkurve bewerkstelligen indem einfach eine Hold-Phase der ADSRFunktion vorangestellt wird, alternativ lies̈e sie sich mit einer Heaviside-Funktion einschalten,
allerdings wird hier auf diese Möglichkeit verzichtet um die Implementierung bei Systemen zu
gewährleisten die solche Sonderfunktionen nicht anbieten. In Matlab ist darauf zu achten die
Hüllkurven so zu implementieren, dass die Attack- und Delay-Phase eine Obergrenze in der
Dauer haben, falls diese Parameter relativ von der Notenlänge abhängen, sonst erhält man eventuell eine sehr gestreckte Einschwingphase, welche dann eher so klingt als wenn man an der
Panflöte versucht die Luft aus den Rohren einzusaugen.
Variabler Tiefpassfilter
Um das Anspielgeräusch noch besser zu simulieren, bedient man sich wieder am Ausgang des
FM-Feedback-Generators und verwendet einen Tiefpassfilter, wobei die Cut-Off-Frequenz von
einer Hüllkurve abhängig gemacht wird, die eine extrem kurve und mittel starke ’Attack’-Phase
hat und rasch abnimmt. Lässt man diese Hüllkurve dann nicht sofort auf Null fallen, sondern
auf einem niedrigem Level bis zum Ende des Tons, so bekommt man einen noch atmungsaktiveren Klang. Insgesamt sollte man darauf achten in der ’Attack’-Phase ein sanftes Rauschen zu
bekommen.
38
7.4 Modellierung
7.4.5 Raumhall
Um den Klang noch zu ’veredeln’ empfiehlt sich besonders bei einer Panflöte ein sogenannter Raumhall. Der in diesem Beispiel verwendete Algorithmus ist relativ hochwertig und sehr
rechenintensiv, hier werden verschiedene Filter mit Rückkopplung verwendet. Bei der Berechnung benötigt dieser für ein ein ganzes Lied mehrere Minuten, daher sollte man ihn beim Testen
abschalten.
39
7.5 Ergebnisse
,→ sounds/pan everdream.mp3
7.5.1 Vergleich im Frequenzbereich
Bild 7.15: Panflöte bei d”’ nachgebildet
Das durch vorwiegend subraktive Synthese entstandene Schaubild zeigt viele Ähnlichkeiten zu
dem Original auf, die Frequenzen sind in den Richtigen lagen und verrauscht und der Klang ist
deutlich mit dem einer Panflöte assoziierbar.
Leider gibt es auch Unterschiede die eine Erweiterung des jetzigen Modelles erfordern; So führt
die Anwendung des Formantenfilters zu einer Verrauschung über einen gros̈en Frequenzbereich
hinweg, den man filtern müsste oder aber einen Weg finden muss den Formantenfilter zu optimieren. Für den relativ warmen Klang des Originals ist sicherlich auch die besondere Verteilung
des "Rauschens"über jedem Partialton verantwortlich. Diese ist in "RauschBändern mit relativ
scharfen Kanten zur Umgebung gegeben, innerhalb der Bänder sieht es etwas "gerupftäus, wobei dieser Effekt in Höheren Frequenzlagen stärker ausfällt. In tieferen Frequenzlagen ist das
Band noch relativ durchgängig an einem Stück.
40
7.5 Ergebnisse
Bild 7.16: Panflöte bei verschiedenen Tönen
7.5.2 Bewertung und Ausblick
Als aller erstes ist festzustellen mit wie wenig Aufwand sich in diesem Fall schon recht gute
klangliche Ergebnisse erzielen lassen. Falls es nun gelingen sollte die spezifischen Frequenzbänder besser nachzubilden und die weiter oben aufgezeigt Veränderung des Spektogramms bei
verschiedenen Tonhöhen in den Griff bekommt, so dürfe das Ergebnis dem Original in nicht
mehr weit entfernt sein.
Verbesserungen können noch beispielsweise durch Frequenzabhängige Hüllkurven, Formantenfilter Bandbreite und Anzahl an Formanten, Verhältnis von Rauschen und Rechtecksignal sowie
das hinzufügen eines Vibratos bei länger andauernden Tönen erreicht werden.
Natürlich kann ein starres Modell wie dieses nicht alle möglichen Spieltechniken mit allen
möglichen dynamischen Parametern und Winkel der Luftströmungen abbilden, dafür bedarf es
physikalischen Modellen mit extra Steuerungselementen für die einzelnen eben genannten Parameter. Tatsächlich existieren sogenannte Wind-Controller mit denen sich das besser bewerkstelligen lässt, der Nachteil hierbei ist aber wohl das man das Instrument beherrschen muss.
Auf Videoportalen wie Youtube können bei Interesse die verschiedensten Modelle begutachtet
werden.
41
8 Schlusswort
Die Frequenzmodulation bietet viele Möglichkeiten zur Erzeugung von imitierenden, wie auch
nicht in der Natur vorkommenden Klängen. Seid den 80ern sind einige Jahre vergangen und
andere Syntheseverfahren die auf den physikalischen Gegebenheiten der Instrumente basieren
haben sich durchgesetzt, allen voran ist mit gestiegener Rechenleitung das Modellieren mit Differentialgleichungen auf dem Vormarsch. Der Nachteil hier besteht zunächst darin, dass lange
nicht jeder über die Kenntnisse verfügt selbst solche Modelle zu implementieren, dies war der
recht gros̈e Vorteil der FM, bei der man an Drehreglern und Hüllkurvengeneratoren solange
experimentierte bis das Resultat zufriedenstellend war. Allerdings sind schon Produkte auf dem
Markt in dem auf Basis des physical modellings mit entsprechenden grafischen Editoren solche
Modelle entworfen werden können, auch solche die man eher nicht in der Realität bauen würde
wie z. B. eine 30 Kilometer lange Klaviersaite.
Die FM hat mittlerweile wieder ein kleines Comeback in dem sie in verschiedene Softwaresynthesizer wieder aufgenommen wird, es scheint also noch eine Nachfrage nach den Retroklängen
aus den 80ern zu geben.
42
Literaturverzeichnis
[1] Wikipedia: Frequenzmodulation
[2] Rudolph: Winkelmodulationen,:
Winkelmodulationen
TFH Berlin
[3] Chowning: FM â Theory and Applications,
Standford University
[4] Wikipedia: Besselfunktion
[5] Klingbeil: http://www.klingbeil.com/spear/
[6] Zölzer: DAFX
43

Studienarbeit Klangsynthese durch Frequenzmodulation

Transcription

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