Funktionen - eine Einführung

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HDL
HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING
BRÜCKENKURS – MATHEMATIK
Girke / Kuhrt
2. Auflage 2001
Studienbrief
2 - 040 - 0004 - D
Funktionen eine Einführung
Leseprobe
Verfasser:
Dipl.-Lehrer Axel Girke
Lehrkraft für besondere Aufgaben
am Fachbereich 1 (Technik I) der FHTW Berlin
Prof. Dr.-Ing. Ralf Kuhrt
Professor für Mathematik im Fachbereich Wirtschaftswissenschaften II
an der FHTW Berlin
Der Studienbrief wurde auf der Grundlage des Curriculums für den studienvorbereitenden
Brückenkurs Mathematik verfaßt. Die Bestätigung des Curriculums erfolgte durch den
Fachausschuß „Grundständiges Fernstudium Wirtschaftsingenieurwesen“,
dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten:
HS Anhalt, FHTW Berlin, TFH Berlin, HTWK Leipzig, FH Magdeburg, FH Merseburg, HS
Mittweida, FH Schmalkalden, FH Stralsund, TFH Wildau und WH Zwickau.
Redaktionsschluß: November 1998
2., überarbeitete und korrigierte Auflage 2001
 1998 byService-Agentur des Hochschulverbundes Distance Learning mit Sitz an der FH Brandenburg.
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der
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Brückenkurs – Mathematik
Funktionen – eine Einführung
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Randsymbole ................................................................................................... 4
Einleitung ................................................................................................................................... 5
1
Definitionen und Darstellungen reeller Funktionen .................................................. 7
1.1
1.2
1.3
1.4
Vorbereitende Erläuterungen ......................................................................................... 7
Definitionen ................................................................................................................ 15
Darstellungen von Funktionen ..................................................................................... 22
Vereinfachungen der analytischen Darstellung von Funktionen................................... 25
2
Grund- und elementare Funktionen ......................................................................... 29
2.1
2.2
2.3
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
Grundfunktionen ......................................................................................................... 29
Elementare Funktionen ................................................................................................ 30
Eigenschaften von Funktionen..................................................................................... 38
Umkehrfunktionen....................................................................................................... 49
Vorbereitende Erläuterungen ....................................................................................... 49
Erste Variante (zur Bildung von Umkehrfunktionen)................................................... 55
Zweite Variante (zur Bildung von Umkehrfunktionen) ................................................ 58
Dritte Variante (graphische Methode zur Bildung von Umkehrfunktionen) ................. 66
Verkettung von Funktionen mit ihren Umkehrfunktionen ............................................ 73
3
Elementartransformationen von Funktionen bzw. Kurven .................................... 74
3.1
3.2
3.3
3.4
Verschiebungen von Kurven........................................................................................ 75
Spiegelungen von Kurven an der y-Achse ................................................................... 84
Spiegelungen von Kurven an der x-Achse ................................................................... 86
Multiplikation mit einem Faktor .................................................................................. 88
4
Rationale Funktionen ................................................................................................ 94
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
Einordnung der rationalen Funktionen......................................................................... 94
Ganzrationale Funktionen............................................................................................ 95
Allgemeine Erörterungen............................................................................................. 95
Funktionen nullten Grades (waagerechte Geraden)...................................................... 99
Funktionen ersten Grades (nicht waagerechte Geraden) .............................................. 99
Funktionen zweiten Grades (Parabeln) ...................................................................... 108
Funktionen dritten Grades (kubische Parabeln),
Horner-Schema und Polynomdivision........................................................................ 113
Funktionen und Nullstellen höheren Grades .............................................................. 122
Gebrochenrationale Funktionen ................................................................................. 126
Unechte und echte Brüche ......................................................................................... 126
Polstellen höheren Grades ......................................................................................... 128
Elementare Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen ................................. 134
4.2.6
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
Lösungen der Übungsaufgaben ............................................................................................. 142
Literaturverzeichnis .............................................................................................................. 154
b) g1 : y = − x2 bzw. g2 : y = − x2 ; x ∈ (0; 1)
c) h1 : y = −
h2 : y =
x ; x ∈ (1; 3) bzw.
x ; x ∈ (1; 3)
Nach diesen allgemeinen Erörterungen werden wir uns nun einzelnen
Funktionen und ihren besonderen Eigenschaften zuwenden.
2
Grund- und elementare Funktionen
2.1
Grundfunktionen
Funktionen können nach unterschiedlichen Kriterien klassifiziert werden. Die am häufigsten verwendete Einteilung ist die in Grundfunktionen, elementare Funktionen und höhere mathematische Funktionen.
Die Grundfunktionen sind in der folgenden Tabelle 2.1 zusammengestellt.
Bemerkung 2.1:
Obwohl erst im späteren Abschnitt 2.4 über Umkehrfunktionen ausführlicher gesprochen wird, sei doch schon vermerkt, daß in der Tabelle 2.1
der Grundfunktionen neben den Konstantenfunktionen die Potenz-, Exponential- und trigonometrischen Funktionen, aber auch die Umkehrfunktionen (Wurzel-, Logarithmus- und Arcusfunktionen) besonders
einfacher Vertreter der Potenz-, Exponential- und trigonometrischen
Funktionen enthalten sind.
Tabelle 2.1
Grundfunktionen
Nr.
Grundfunktionen
Beispiel in der vereinfachten
Darstellung (1.42)
FormelNr.
1.
Konstantenfunktion
y=3
(2.1)
2.
Potenzfunktion
y = x n , n ∈ N \ {0}
(2.2)
3.
Exponentialfunktion
y = exp(x ) oder y = e x
(2.3)
4.
Trigonometrische Funktion
y = sin x
(2.4)
5.
Wurzelfunktion
y = n x , (n ∈ N , n ≥ 2)
(2.5)
6.
Logarithmusfunktion
y = ln x
(2.6)
7.
Arcusfunktion
y = arcsin x
(2.7)
Alle diese Funktionen und einige weitere werden wir im Anschluss noch
genauer erläutern.
29
2.2
Elementare Funktionen
Elementare Funktionen entstehen aus den Grundfunktionen in Form
einer Verknüpfung mehrerer solcher Grundfunktionen:
a) mit Hilfe der rationalen Rechenzeichen ( + , − , ⋅ , ÷ ),
b) durch Bildung verketteter Funktionen (Funktionen von Funktionen).
B
B 2.1
Die Funktion
y = 1 + 3x – 2x2
(2.8)
ist keine Grundfunktion mehr, sondern eine elementare Funktion, weil
hier die Konstantenfunktion 1 und zwei jeweils mit den Konstantenfunktionen 3 (bzw. –2) multiplizierte Potenzfunktionen x (bzw. x2) rational, d. h. mit Hilfe der Rechenzeichen + , − , ⋅ , ÷ , verknüpft werden.
Ähnlich ist z. B. die Funktion
y = − n x + sin x ⋅ ln x
(2.9)
keine Grundfunktion, sondern eine elementare Funktion (wegen der rationalen Verknüpfung der Grundfunktionen y1 = − n x , y 2 = sin x und
y 3 = lnx miteinander).
B 2.2
Andererseits ist auch die Funktion
( )
y = sin x
(2.10)
keine Grundfunktion mehr. Hier liegt eine mittelbare (oder verschachtelte oder verkettete) Funktion vor: Zunächst wird dem Wert x mittels
der Wurzelfunktion ein Wert x zugeordnet, der wiederum als Argument für die Sinusfunktion verwendet wird.
Die Wurzelfunktion wird in dem Zusammenhang (2.10) als innere, die
Sinusfunktion als äußere Funktion bezeichnet.
Ü
Ü 2.1 Untersuchen Sie die folgenden, in der Vereinfachungsform
(1.42) gegebenen Funktionen daraufhin, ob sie
1. Grundfunktionen,
2. elementare Funktionen
sind. Falls dies der Fall sein sollte, ist festzustellen, ob sie elementar sind
− auf Grund der rationalen Verknüpfung von Grundfunktionen,
− auf Grund der Bildung mittelbarer, verketteteter Funktionen!
b) y = ln x 2
c) y = e sin x
d) y = e 2 x − 2e 3x
e) y =
30
( )
a) y = sin x
x 3 − 2x 2 + 1
4
3
x + 3x − 2 x − 4
f) y =
1 − ln x
(x + 1) ⋅ x 2
Für den Gebrauch in der Praxis und im Studium ist es wichtig, die Graphen der wichtigsten Grundfunktionen vor Augen zu haben.
Im ersten Teil des Bildes 2.1 (a bis g) ist deshalb die in Tabelle 2.1 angegebene Auswahl von Grundfunktionen graphisch dargestellt. Prägen
Sie sich die Bilder gut ein (insbesondere die Schnittpunkte der Kurven
mit der x- und der y-Achse)!
Im zweiten Teil des Bildes 2.1 (h bis q) kommen dann einige wichtige
elementare Funktionen und im dritten Teil (r bis v) einige Kurven hinzu,
die nicht mehr Funktionen repräsentieren, also nicht mehr rechtseindeutige Mengen darstellen (Kreiskurve, Ellipsenkurve).
a)
b)
y
y=x
y
y=x4
K
y=x3
y=x2
1
x
x
1
Konstantenfunktion y = K
Potenzfunktion y = xn (n ∈ N \{0})
c)
d)
y
y
y=sin x
1
y=cos x
1
x
0
π
2
π
Exponentialfunktion y = exp(x)
oder y = ex
Trigonometrische Funktionen
y = sin x bzw. y = cos x
e)
f)
y
y=
x
y=
3
y=
1
y
x
4
x
1
x
x
Wurzelfunktionen y = x , n ∈ N\{0}
Bild 2.1
x
Logarithmusfunktion y = ln x
Graphen von Grund- und weiteren wichtigen Funktionen sowie einige wichtige
Relationen
31
g)
y
y = a r c s in x
y= arc c o s x
π /2
1
–1
x
– π /2
Arcusfunktionen y=arcsin x bzw.
y = arccos x
h)
i)
y
y
π/2
–π –π/2
π/2
π
x
x
–π/2
Tangensfunktion y = tan x
Arctan-(Arcustangens-)Funktion
y = arctan x
k)
l)
y
y
x
x
Sinh-(Sinushyperbolicus-) Funktion
x
y = sinh x =
e −e
2
−x
Arsinh-(Areasinushyperbolicus-)
Funktion
y = arsinh x = ln(x+ x 2 + 1 )
n)
m)
y
y
1
x
Cosh-(Kosinushyperbolicus-)Funktion
x
y = cosh x =
32
e +e
2
−x
1
x
Arcosh(-Areakosinushyperbolicus-)
Funktion
y = arcosh x = ln(x+ x 2 − 1 )
p)
o)
y
y
x
x
Hyperbel ersten Grades y =
1
x
Hyperbel zweiten Grades y =
1
x2
r)
q)
y
y
x
Hyperbel dritten Grades y =
1
x3
x
Hyperbel-Normalform:
x2
a2
−
y2
b2
=1
t)
s)
y
y
R
R
y
y0
x
x
x
x0
Kreiskurve x2 + y2 = R2
Verschobene Kreiskurve
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2
u)
v)
b
b
a
y0
a
x0
Ellipsenkurve
x2
a
2
+
y2
b
2
=1
Verschobene Ellipsenkurve
(x − x 0 )2 ( y − y 0 )2
a2
Bild 2.1
+
b2
=1
Graphen von Grund- und weiteren wichtigen Funktionen sowie einige wichtige
Relationen (Fortsetzung)
33
Kommen wir noch einmal auf die Darstellung des Graphen einer Funktion im cartesischen Koordinatenkreuz (entsprechend Bild 1.7, 1.8 und
1.9 a) zurück. Diese graphische Veranschaulichung einer Funktion ist
sehr illustrativ und deshalb beliebtestes Mittel, eine gegebene Funktion
„zu verstehen“, während die analytische (formelmäßige) Darstellung oft
doch eher undurchsichtig wirkt. Sie sollten sich daher immer bemühen,
zu einer gegebenen Funktion den Graphen zu ermitteln. Ist die Funktion
bereits direkt in Form einer Menge von Wertepaaren gegeben, so ist die
graphische Darstellung kein Problem (Bild 1.7 bzw. 1.9 a). Ist die Funktion nicht direkt in Form von Wertepaaren, sondern durch eine Aussageform über die Zuordnung der y- zu den x-Werten gegeben, wie etwa in
Formel (1.10) durch y = f (x ) = x 2 , so ist eine graphische Darstellung der
zugehörigen Kurve mit folgenden Methoden zu erreichen (wobei nur die
gängigsten erwähnt werden sollen):
a) Aufstellen einer Wertetabelle
Zu einer Folge von xi-Werten werden die zugehörigen yi-Werte aus
y i = f (x i ) berechnet. Diese Wertepaare (xi; yi) werden in das Koordinatenkreuz eingetragen und miteinander zu einer Kurve verbunden.
b) Kurvendiskussion
Zu einer gegebenen Funktion werden besonders markante Punkte ermittelt, wie etwa: Schnittpunkt der Kurve mit der y-Achse, Nullstellen der Kurve (d. h. Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse), Polstellen (Stellen, an denen die Funktion für endliche x-Werte unendliche y-Werte annimmt), Lücken (isolierte, d. h. einzelne, Stellen, an
denen die Funktion nicht definiert ist), bestimmte Grenzwerte, Extremwerte, Wendepunkte und dgl. mehr (Im Grunde genommen ist
das auch eine Art Wertetabelle, nur daß man hier die xi-Werte nicht
„wahllos“ herausgreift, sondern eben nur ganz besonders auffällige
Werte untersucht.).
c) Darstellung der Kurve durch einen Computer oder Taschenrechner
Falls Sie einen Computer mit entsprechender Software (z. B. MAPLE,
MATHCAD, MATHEMATICA, GRAPHMATICA, EXCEL, MUPAD
o. ä.) oder einen graphikfähigen Taschenrechner (z. B. TI-92,
HP 48G, CFX-9970G o. ä.) zur Verfügung haben, lassen Sie sich die
Kurven zu gegebenen Funktionen graphisch anzeigen.
d) Methode der elementar transformierten Grundfunktionen
Sie vergleichen die Ihnen gegebenen analytischen Funktionsdarstellungen z. B. mit den in Bild 2.1 gegebenen Grundfunktionen. Häufig
erkennt man dabei, daß die gegebene Funktion sich von einer Grundfunktion nur dadurch unterscheidet, daß sie mit einem Faktor multipliziert, an der x-Achse gespiegelt, an der y-Achse gespiegelt, in Richtung der x- oder y-Achse um einen bestimmten Betrag verschoben ist
o. ä.
34
Diese Elementartransformationen sehen wir uns im Abschnitt 3 genauer
an. Hier wollen wir dieses Problem nur mit einem Beispiel und einer
Aufgabe anreißen.
B 2.3
Die Funktion y = −exp(x + 1) oder y = –e(x
+ 1)
B
soll graphisch darge-
stellt werden.
a) Wertetabelle:
Wir wählen x-Werte aus dem Intervall –2 bis 1 in gleichen Abständen (äqidistante Werte):
Tabelle 2.2 Wertetabelle der Funktion y = –e(x+1)
xi
–2,0
–1,8
–1,6
–1,4
–1,2
–1,0
–0,8
–0,6
xi + 1
–1,0
–0,8
–0,6
–0,4
–0,2
0
0,2
0,4
y i = –exp(xi + 1)
–0,37
–0,45
–0,55
–0,67
–0,82
–1
–1,22
–1,49
xi
–0,4
–0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
xi + 1
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
–1,82
–2,23
–2,72
–3,32
–4,06
–4,95
–6,05
–7,39
y i = –exp(xi + 1)
Hieraus ergibt sich durch Eintragen der (xi, yi)-Wertepaare als Punkte
in ein cartesisches Koordinatensystem und durch Verbindung dieser
Punkte die folgende Kurvendarstellung:
y
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
x
–1
–e
–2
PS
Bild 2.2
Teil der Kurve der Funktion y = – e(x+1)
b) Kurvendiskussion:
Diese Methode ist bei der gegebenen Funktion nicht sehr erfolgversprechend, weil hier nur ein markanter Punkt zu registrieren ist – der
Schnittpunkt mit der y-Achse.
35
Wir erhalten ihn, indem wir x = 0 setzen und uns den zugehörigen
y-Wert aus der Funktionsgleichung berechnen:
xS = 0 : yS = f(xS) = f(0) = – e(0+1) = – e1 = – e = –2,718...
Der Punkt P S(0; –e) ist also der Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir
haben diesen Punkt gleich in Bild 2.2 mit eingetragen, aber – wie
gesagt – daraus allein kann man eine Kurve wohl nicht erkennen und
weitere markante Punkte gibt es nicht.
Die Kurvendiskussion ist besonders für gebrochenrationale Funktionen geeignet. Das sind Funktionen vom Typ der Aufgabe 2.1 e, die
in der Praxis eine große Rolle spielen, deren Kurvendiskussionen
wir deshalb in Kapitel 4 noch eingehender behandeln werden.
c) Computergraphik:
zu Beispiel
2.3 c
zu Bild 2.3
Wer von Ihnen einen Computer besitzt, wird i. d. R. auch das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL auf seinem Gerät installiert haben
und sich bisher wahrscheinlich noch nicht mit den MathematikProgrammen wie z. B. MAPLE, MATHEMATICA, GRAPHMATICA
u. v. a. m. auseinandergesetzt haben. Wir wollen daher hier die Erzeugung der Kurven mit EXCEL kurz erläutern. In EXCEL geht man
dabei so vor wie in Methode a): Zuerst wird eine Wertetabelle erzeugt, dann werden die darin enthaltenen Wertepaare als Kurve dargestellt. In [9] (s. u. ausführliche Lösung zur Aufgabe 4-1.2 c) ist
das Erzeugen eines solchen Graphen mit EXCEL beschrieben.
Viele Studierende behelfen sich auch mit einem der vielen im Angebot befindlichen graphikfähigen Taschenrechner, von denen wir einen mit der hier zu bearbeitenden Funktion y = –e(x+1) in Bild 2.3
dargestellt haben.
Bild 2.3
36
Graphikfähiger Taschenrechner mit dem Graphen der Funktion
y = –e(x+1)
In [9], Kapitel 4, (s. u. ausführliche Lösung zu Aufgabe 4-1.2 e bzw.
zu Aufgabe 2.2 d, γ) haben wir stellvertretend für alle programmierbaren Taschenrechner beschrieben, wie man mit dem Taschenrechner HP 48G bzw TI-92 die Skizzen der Funktionen
π 
y = cos x; x ∈  ,π bzw. y=cos2x; x ∈ (–2π; 2π)
2 
erhält (vgl. auch [7]).
d) Elementartransformationen:
Diese Methode erfordert die Kenntnis der Graphen der Grundfunktionen. Wenn der Exponent nicht x + 1 (sondern x ) hieße, und
wenn außerdem das Minuszeichen vor der e-Funktion fehlte, dann
hätten wir die Exponentialfunktion aus Bild 2.1 c vor uns. Der Verlauf der uns gegebenen Funktion muß sich also aus Bild 2.1 c rekonstruieren lassen.
Befassen wir uns zunächst mit dem Exponenten:
Die beiden Graphen der Funktionen y0 = f0(x) = ex und y1= f1(x) = ex+1
sind gegeneinander um eine Einheit in Richtung der x-Achse verschoben: Sie können sich das sehr leicht überlegen, denn beispielsweise hat die Funktion f0 an der Stelle x = 0 den y-Wert:
y0 = f0(0) = e0 = 1, während die Funktion f1 diesen y-Wert an der Stelle
–1+1
= e0 = 1. Das trifft in ähnlicher Weise
x = −1 aufweist: y1 = f1(–1) = e
auf alle x-Werte zu: Der Graph der Funktion y1 = f1(x) = ex+1 ist also
gegenüber dem der Funktion y0 = f0(x) = ex um eine Einheit nach
„links“ versetzt (die zu den jeweiligen y-Werten gehörigen x-Werte sind
um 1 Einheit niedriger).
Ganz allgemein gilt: Der Graph einer Funktion y = f(x – a) ist gegenüber dem Graphen der Funktion y = f(x) um a Einheiten in
Richtung der positiven x-Achse versetzt, d. h.:


→ y = f(x – a).
y = f(x) Verschiebu
ng in positive x − Richtung um a
(2.11)
Bei unserer Funktion y = f1(x) = e(x+1) = e(x–(–1)) ist a = –1 und daher der Graph um –1 Einheit in Richtung positiver x-Achse (d. h.
um 1 Einheit in Richtung negativer x-Achse) versetzt (vgl. Bild 2.4).
Außerdem trägt die hier zu untersuchende Funktion jedoch noch ein
Minuszeichen: y = f (x) = –e(x+1). Das bedeutet aber nur, daß statt
der für e(x+1) entstehenden positiven y-Werte die y-Werte durchweg
negativ werden (Spiegelung an der x-Achse, vgl. ebenfalls Bild 2.4.
In Abschnitt 3.3 erfolgt eine genauere Besprechung.). Damit haben
wir den Verlauf der angegebenen Funktion.
Hinweis: Sollten noch einige Unklarheiten bezüglich der letzten Methode
bestehen, lesen Sie bitte erst einmal bis einschließlich Kapitel 3 (Elementartransformationen) weiter und kehren Sie dann noch einmal hierher zurück. Sie sollten sich aber dennoch die Formel (2.11) schon einprägen.
37
y
y1 = f1 (x) = e(x+1)
y0 = f0 (x) = ex
–1
x
y = f(x) = – e(x+1)
Bild 2.4
Ü
Konstruktion eines Graphen mit Hilfe von Elementartransformationen
Ü 2.2 Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen
a) y = f (x ) = x ⋅ e − x ;
x ∈ [0; ∞)
b) y = g(x ) = ln (x − 2 ) ;
x>2
π

c) y = h (x ) = − cos x +  ; –4π ≤ x ≤ 4π
2

d) y = u (x ) = cos 2 x ;
–2π ≤ x ≤ 2π
α) mit Hilfe einer Wertetabelle,
β) mit Hilfe eines entsprechend ausgerüsteten Computers (z. B.
EXCEL, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA o. ä.), falls
Sie einen zur Verfügung haben,
zu Aufgabe
2.2 β
γ) mit Hilfe eines Taschenrechners mit Graphikfunktion (PlotFunktion, z. B. TI-92, HP 48G, CFX-9970G o. ä.), falls Sie
über einen solchen verfügen!
zu Aufgabe
2.2 γ
2.3
Eigenschaften von Funktionen
Die möglichen Eigenschaften der Funktionen sind von derart vielfältiger
Natur, daß hier nur eine gewisse Auswahl solcher Eigenschaften vorgestellt werden kann, wobei auf einige wichtige Eigenschaften, die mit den
hier noch nicht behandelten Konzepten der Grenzwert-, der Differentialund der Integralrechnung zusammenhängen, an dieser Stelle nur in sehr
eingeschränktem Maße eingegangen werden kann.
38
D 2.1 Eine Funktion f heißt gerade (auch: symmetrisch bzw. achssymmetrisch), falls für jedes x ∈ Df = (−g; g) bzw. [−g; g] mit
g > 0 (d. h. symmetrischer Definitionsbereich) gilt:
f(−x) = f(x) ;
D
(2.13)
die Funktion f heißt dagegen ungerade (auch: antimetrisch
bzw. punktsymmetrisch) , falls für jedes x ∈ Df = (−g; g) bzw.
[−g; g] mit g > 0 (d. h. symmetrischer Definitionsbereich) gilt:
f(− x) = − f(x) .
B 2.4
(2.14)
Die Funktionen
f: y = f(x) = x2 ; x ∈ [− 2; 2] ⊂ R
(2.15)
h: y = h(x) = cos x ; x ∈ R
(2.16)
B
sind zwei typische Vertreter der Klasse der geraden Funktionen (vgl.
Bild 2.5 a und 2.5 b).
y
4
Ordinate:
Symmetrie3 achse
f(–a) 2 f(a)
1
a g
–g –a
–2
–1,5 –1
0
–0,5
0,5
1,5
1
x
2
Bild 2.5a Normalparabel y = f(x) = x2 als gerade Funktion
y
1
Ordinate:
Symmetrieachse
0,5
–a
–π
a
–0,5 π
0
0,5 π
x
π
–0,5
h(–a)
–1 h(a)
Bild 2.5b Die Cosinusfunktion y = h(x) = cos x als gerade Funktion
39
Es gilt nach Abbildung 2.5 a:
y1 = f(x) = x2 und y2 = f(−x) = (−x)2 = x2,
d. h. es handelt sich um eine Realisierung von Formel (2.13):
y1 = y2
d. h. (−x)2 = x2 .
Ebenso gilt nach Abbildung 2.5 b:
y1 = h(x) = cos x
und
y2 = h(–x) = cos(−x) = cos x,
Quadrantenbeziehung
der Cosinusfunktion
d. h. wiederum ein Spezialfall von Formel (2.13),
y1 = y2
cos(− x) = cos x .
oder
Bemerkung 2.2:
Gerade Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, daß der Graph der
Funktion sich nicht ändert, wenn man ihn an der Ordinate spiegelt (daher die Bezeichnung achssymmetrisch).
B
B 2.5
Die Funktionen
u: y = u(x) = x3 ;
(2.17)
v: y = v(x) = sin x
(2.18)
sind typische Vertreter ungerader Funktionen (vgl. Bild 2.6).
Nach Bild 2.6 a gilt
y1 = u (x) = x3
y2 = u (− x) = (− x)3 = − (x3) = − x3 ;
und
d. h. ein Spezialfall von Formel (2.14):
y1 = − y2
(− x)3 = − (x3) .
⇒
Desgleichen erhalten wir aus Bild 2.6b:
und y2 = v(−x) = sin(− x) = −sin x .
y1 = v(x) = sin x
Quadrantenbeziehung
der Sinusfunktion
Hier ist wiederum mit
y1 = − y2 ,
sin(− x) = −sin x ,
d. h.
die Formel (2.14) wirksam.
y
8
6
4
–g
–a
–2
–1,5 –1
u(a)
2
–0,5
–2
–4
a
0
0,5
1
1,5
u(–a) = –u(a)
–6
–8
Bild 2.6a Kubische Parabel y = u(x) = x3 als ungerade Funktion
40
g
2
x
y
1
v(a)
0,5
–a
–π
0
– 0,5π
π
0,5π a
x
– 0,5
v(–a) = –v(a)
–1
Bild 2.6b Sinusfunktion y = v(x) = sin x als ungerade Funktion
Bemerkung 2.3:
Die ungeraden Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, daß der Graph
in sich selbst übergeht, wenn man ihn in Bezug auf den Nullpunkt des
Koordinatenkreuzes um den Winkel π (=180°) dreht (die Drehachse ist
dabei die z-Achse, jene Achse, die senkrecht auf der Zeichenebene steht
und durch den Nullpunkt verläuft). Wegen der Wichtigkeit des Drehpunktes (hier der Nullpunkt) wird diese Art der Symmetrie als Punktsymmetrie bezeichnet.
Bemerkung 2.4:
Selbstverständlich gibt es auch Funktionen, die weder genau gerade noch
genau ungerade sind, die also weder achs- noch punktsymmetrisch sind:
B 2.6
a) f : y = f(x) = 3x2 + x3 (vgl. Bild 2.7)
Das gleichzeitige Vorhandensein der geraden Potenz 3x2 und der ungeraden Potenz x3 läßt keine der Symmetrien zum Tragen kommen.
B
b) f : y = g(x) = ex (vgl. auch Bild 2.1c)
y
15
10
5
–8
–6
–4
x
0
–2
2
4
6
8
–5
–10
–15
Bild 2.7
Funktion ohne Achs- bzw. Punktsymmetrie
41
Ü
Ü 2.3 Geben Sie für die nachfolgenden Funktionen, dargestellt durch
die Funktionsgleichungen, an, ob sie achs- oder punktsymmetrisch sind bzw. keine dieser Symmetrien aufweisen!
a) f : y = f(x) = 2x
b) g : y = g(x) = 2x + 1
c) h : y = h(x) = –2x2
d) k : y = k(x) = x – 2x3
e) l : y = l(x) = x2 – 2x
 x für x > 0
f) m : y = m(x) = 
− x für x < 0
1
x
g) n : y = n(x) =
i) q : y = q(x) = –
 1 für x > 0
k) r : y = r(x) = 
− 1 für x < 0
2
x2
{ (x; y)
l) u : y = u(x) =
(x ∈ [− 1;1] ) ∧ (y = u (x ) = x ) }
m) Falls Sie Zugang zu einem PC mit entsprechender Software
haben (MATHEMATICA, MATHCAD, EXCEL, GRAPHMATICA, ...), lassen Sie sich die Graphen der Funktionen c),
g), i), k) und l) ausdrucken, um die Symmetrieeigenschaften
der Funktionen anhand der Graphen zu beurteilen!
zu Aufgabe
2.3m
D
h) p : y = p(x) = 5
D 2.2 Eine Funktion f: y = f(x), x ∈ Df, heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn für alle x ∈ Df gilt
f(x + kT) = f(x) ,
(2.19)
wobei noch x + kT ∈ Df bei k ∈ Z vorausgesetzt wird.
B
B 2.7
a) f: y = f(x) = sin x (vgl. Bild 2.8)
y
f(x0)
–2π
x0
1
–π
f(x0+T)
π
0
f(x0+2T)
2π
3π
x0+T
x0+2T
–1
Bild 2.8
42
T
Sinusfunktion y = f(x) = sin x als periodische Funktion
4π
x
Bemerkung 2.5 (Periodendauer):
Die Größe T ist dabei die minimale Periodendauer. Wie aus Bild 2.8
leicht erkennbar ist, ist jedes ganzzahlige Vielfache von T ebenfalls ei~
ne Periodendauer (z. B. T = 2T oder 3T usw.). Wir betrachten im folgenden nur die minimale Periodendauer T, ohne jeweils ausdrücklich
darauf hinzuweisen.
Nach Bild 2.8 gilt in Auswirkung von (2.19):
sin x0 = sin(x0 + T) = sin (x0 + 2T) = ... = sin(x0 + kT),
d. h. also
f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) =...= f(x + kT).
(2.20)
Im übrigen ist die minimale Periodendauer T aus Bild 2.8 ablesbar: Es
gilt hier T = 2π .
b) Auch die in Bild 2.9 dargestellte Sägezahn-Funktion (KippFunktion) s : y = s(x) ist eine periodische Funktion. Solche Funktionen spielen z. B. in TV-Geräten und Monitoren eine entscheidende
Rolle (vgl. etwa „Zeilenkipp“ oder „Bildkipp“ u. dgl.), aber auch im
Maschinenbau und sogar in der Produktwerbung und in der Kunst
(vgl. z. B. den „Lotus-Brunnen“ im Berliner Europa-Center u. ä.)
sind sie zu finden (Bild 2.9).
Aus Bild 2.9 erkennt man die minimale Periodendauer zu T = 1 und
es gilt in Anlehnung an (2.19) beispielsweise:
s(x0 – 2T) = s(x0) = s(x0 + 3T) = ... = s(x0 + kT).
f(x0+kT)
y = s(x)
2,5
2
1,5
1
0,5
–2
x0–2T
Bild 2.9
x
0
–1
T
1
2
3
x0
4
x0+3T
Sägezahn-Funktion (Kipp-Funktion)
x
mit Hilfe einer
3
Wertetabelle oder mit Hilfe eines Computers mit geeigneter
Software (wie MAPLE, MATHEMATICA, EXCEL, MATHCAD
o. ä.) und lesen Sie aus der graphischen Darstellung die Periodendauer ab, falls Sie über einen so ausgestatteten Computer
verfügen!
Ü 2.4 Skizzieren Sie die Funktion y = 2 cos 2π
Ü
Zur Aufgabe
2.4
43
D
B
D 2.3 Sei x1, x2 ∈ Df und es gelte für ansonsten beliebige x1, x2 lediglich die Ungleichung x2 > x1 .
Dann heißt die Funktion f
B 2.8
monoton steigend, falls gilt f(x2) ≥ f(x1),
(2.21a)
streng monoton steigend, falls gilt f(x2) > f(x1),
(2.21b)
monoton fallend, falls gilt f(x2) ≤ f(x1) ,
(2.21c)
streng monoton fallend, falls gilt f(x2) < f(x1) .
(2.21d)
a) f : y = f(x) = x2 ; x ∈ (0; ∞)
ist streng monoton steigend (vgl. Bild 2.10a),
b) g : y = g(x) = x2 ; x ∈ (–∞; 0)
ist streng monoton fallend (vgl. Bild 2.10b),
1
; n ∈ {1; 2; 3; ...}
n
ist streng monoton fallend (vgl. Bild 2.10c).
c) ϕ : y = ϕ(n) =
Diese Funktion ist nur für einzelne (diskrete) Werte von x definiert;
sie ist daher eine diskrete monotone Funktion (vgl. auch Bild 1.7
und Bild 1.9a).
d) Die Sinusfunktion aus Bild 2.8 und die Funktion s aus Bild 2.9 sind
nicht monoton. Dieser Sachverhalt sei anhand der Sägezahnfunktion
erläutert:
Wählt man z. B. x1 und x2 > x1 derart, daß beide Werte auf der gleichen Zahnflanke liegen, so gilt offenbar f(x2) > f(x1), damit würde
eine monoton steigende Funktion vorgetäuscht. Wählt man aber andererseits einen Wert x1 und x2 > x1 so wie in Bild 2.10d, so erkennt
man, daß f(x2) < f(x1) gilt und damit fallende Monotonie geschlußfolgert werden müßte. Insgesamt ist die Sägezahnfunktion also weder steigend noch fallend, sie ist überhaupt nicht monoton.
Bei der Sinusfunktion nach Bild 2.8 ist die Begründung noch einfacher: Da die Funktion abwechselnd steigend und dann wieder fallend ist, muß sie nicht-monoton sein.
44
y
y
4
f(x1)
f(x2)
4
3
f(x2)
f(x1)
1
x1
0
x2
1
x1
2
x
a) Rechter Ast der Normalparabel
(streng monoton steigend)
2
1
x2
–2
x
0
–1
b) Linker Ast der Normalparabel
(streng monoton fallend)
y
y
1
f(x1)
f(x2)
1
1/n
0,5
0
1
2
3
4
0
x
c) Diskrete Funktion
(streng monoton fallend)
1
2
x1
x2
3
x
4
d) Sägezahn-Funktion
(nicht monoton)
Bild 2.10 Monotonie-Eigenschaften von Funktionen
Ü 2.5 Beurteilen Sie die Monotonie-Eigenschaften der nachfolgend
gegebenen Funktionen!
a) f : y = x3 ; x ∈ (–1; 2]
b)
Ü
y
Df
x
Bild 2.11 Eine Funktion zur Aufgabe 2.5b
Eine weitere Eigenschaft wichtiger Funktionen:
D 2.4 Eineindeutigkeit
Eine Funktion y = f(x) mit x ∈ Df , y ∈ Wf (die als solche bereits
eindeutig, genauer: rechtseindeutig oder nacheindeutig, ist) heißt
linkseindeutig oder voreindeutig (gemeinsam mit der Rechtseindeu-
D
45
tigkeit auch: eineindeutig), wenn nicht nur jedem x-Wert aus Df
eindeutig ein y-Wert aus Wf, sondern auch umgekehrt jedem y-Wert
aus Wf eindeutig ein x-Wert aus Df zugeordnet ist, wenn also für
alle x1, x2 ∈ Df gilt:
x1 ≠ x2 ⇔
B
B 2.9
f(x1) ≠ f(x2)
(2.22)
Anhand des Graphen Bild 2.10 a prüfen Sie leicht nach, daß für die
dort gezeigte Funktion jedem beliebigen y-Wert aus dem Wertebereich
W f (links-) eindeutig nur ein x-Wert zugeordnet ist. Das gilt im übrigen
auch für die in nachfolgend genannten Bildern dargestellten Funktionen: Bild 2.10 b, c; Bild 2.1 b im Falle n = 1 (Gerade), n = 3 (kubische
Parabel) usw.; Bild 2.1 c, e, g, i, k, l, n; ferner Bild 2.2; 2.3; 2.6 a .
Jene Funktion in Bild 2.10 d ist jedoch nicht linkseindeutig (z.B. sind
dem y-Wert y = 1 zwei x-Werte zugeordnet, nämlich: x1 = 1,8 und
ein zweiter x-Wert bei 3,8). Ähnliches gilt im übrigen auch für die
Funktionen in Bild 2.1 a; in Bild 2.1 b im Falle n = 2 (Normalparabel),
n = 4 usw.; ferner Bild 2.1 d, h, p; Bild 2.5 a, b; Bild 2.6 b; Bild 2.7,
2.8, 2.9.
Bemerkung 2.6 (Injektivität):
Häufig werden nicht alle y-Werte des Nachbereiches in den Wertepaaren
der Funktion benötigt. Angenommen, der Nachbereich Y der folgenden
Funktionen f sei die gesamte y-Achse:
Ist f zwar eineindeutig, gehören jedoch nicht alle y-Werte des Nachbereiches Y zum Wertebereich Wf (gilt also echt: Wf ⊂ Y), so nennt
man die Funktion injektiv bzw. eine Injektion (Beispiel: Bild 2.12;
aber auch Bild 2.1 c, e, g; Bild 2.2; 2.10 a, b, c).
Nur zur Information: Ist die Funktion f eineindeutig, gehören jedoch
alle Werte des Nachbereichs Y auch tatsächlich zum Wertebereich Wf
der Funktion (gilt also Wf = Y), so heißt die Funktion bijektiv (eine
Bijektion) (Beispiel: Bild 2.1 f, k, l). Eine Surjektion (d.h. eine surjektive Funktion) liegt vor, wenn zwar Wf = Y gilt, die Funktion aber nicht
linkseindeutig ist (Beispiel Bild 2.1 h). Wir benötigen gleich anschließend und im Abschnitt 2.4 nur den Begriff der injektiven Funktion mit
ihrer Eigenschaft der Eineindeutigkeit).
M
Ü
46
Satz 2.1: Eine streng monotone Funktion ist auch immer injektiv, das
Umgekehrte gilt nicht unbedingt (d.h.: Es gibt injektive Funktionen, die
nicht streng monoton sind, z.B. Bild 2.11).
Ü 2.6 Zeigen Sie, daß die in Bild 2.11 dargestellte Funktion zwar injektiv (eineindeutig), aber nicht streng monoton ist!
Hinweis: Beispiel 2.8 d, dort Bild 2.10 d.
Als letzte Eigenschaft sehen wir uns noch die Krümmung einer Funktion
an. Dafür benötigen wir die folgende Betrachtung (s. Bild 2.12):
Verbindet man zwei Punkte des Graphen einer Funktion derart durch
eine Strecke, daß kein weiterer Punkt des Graphen berührt wird, so wird
diese Strecke eine Sehne des Graphen genannt (vgl. Bild 2.12).
y
y
Sehne
Sehne
y2
y2
y
y1
x1
x2
x
a) Konvexe Krümmung
Sehne
Sehne
x1
x2
x
b) Konkave Krümmung
Bild 2.12 Gekrümmte Kurven
Mit Hilfe des Begriffs Sehne können wir nun anschaulich die Krümmung einer Kurve als eine weitere Eigenschaft von Funktionen definieren:
D 2.5 Sei f : y = f(x) ; x ∈ Df , eine glatte Funktion (eine Funktion ohne Unterbrechungen und ohne Ecken). Ferner seien die Stellen
x1, x2 ∈ Df beliebig gewählt und nur der Bedingung x2 > x1 unterworfen. Dann heißt f
D
a) konvex gekrümmt, wenn jeder innere Punkt jeder Sehne
zwischen den gewählten Punktepaaren P1(x1; y1) und
P2(x2; y2) oberhalb des Graphen der Funktion liegt (vgl.
Bild 2.12a),
b) konkav gekrümmt, wenn jeder innere Punkt jeder Sehne
zwischen den gewählten Punktepaaren P1(x1; y1) und
P2(x2; y2) unterhalb des Graphen der Funktion liegt (vgl.
Bild 2.12b).
Ü 2.7 (höherer Schwierigkeitsgrad)
Geben Sie die in Definition 2.5a bzw. 2.5b verbal formulierten
Bedingungen in Form von Ungleichungen für die Funktionswerte
f(x) an!
Ü
Bemerkung 2.7:
Man kann, wie nebenher bemerkt sei, für die Stärke der Krümmung in
fast allen Punkten der Kurve einen Wert angeben, der allgemein mit
κ (griech. Buchstabe, gesprochen: kappa) angegeben wird (vgl. Studienbrief 2-040-0007 [6]). Hier sei zunächst nur mitgeteilt, daß folgende
Grobeinteilung gilt:
47
Konvexe Krümmung
⇔ κ > 0 (Kurve nach oben geöffnet), (2.23 a)
Konkave Krümmung
⇔ κ < 0 (Kurve nach unten geöffnet), (2.23 b)
Krümmungsfreie Kurve ⇔ κ = 0 (Kurve ist eine Gerade).
(2.23 c)
Später, wenn Sie die Differentiation beherrschen (vgl. [6]), können wir
die Krümmung der Kurve einer Funktion wesentlich kürzer und effektiver mit Hilfe der zweiten Ableitung beschreiben.
B
B 2.10 a) Die Funktionen aus Bild 2.1c und Beispiel 2.4 (Bild 2.5 a) besitzen
beispielsweise eine konvexe (und damit nach (2.23 a) positive)
Krümmung.
b) Die Funktionen aus Bild 2.1 e und f, aus Beispiel 2.3 (Bild 2.2) oder
die im folgenden Bild 2.13 dargestellte Funktion f : y = –x2 + 1 besitzen eine konkave (und damit nach (2.23 b) negative) Krümmung.
y
1,5
1
y = –x2 + 1
0,5
–1,5
–1
0
–0,5
–0,5
0,5
1
1,5
x
–1
–1,5
Bild 2.13 Konkav gekrümmte Kurve (κ < 0)
c) Im Falle der Funktionen von Bild 2.1 d, des Beispiels 2.4 (Bild
2.5 b) sowie des Beispiels 2.5 (Bild 2.6 b) unterscheiden sich die
Krümmungen in benachbarten Intervallen dem Vorzeichen nach: Es
existieren Intervalle mit κ > 0 und solche mit κ < 0.
d) Krümmungsfreie Funktionen, d. h. κ = 0, sind selbstverständlich Geraden: y = f(x) = mx + b (mit m < ∞ und b < ∞).
Ü
D
Ü 2.8 Bestimmen Sie die Vorzeichen der Krümmungen für die Funktionen aus den Aufgaben 1.2 a und 1.2 b sowie 1.6 a, 1.6 b und 1.6 e!
D 2.6 Eine Funktion f : y = f(x) ; x ∈ Df , heißt beschränkt, falls zwei
endliche Konstanten K < ∞ und C > – ∞ existieren, so daß für
alle x ∈ Df gilt:
C ≤ f(x) ≤ K.
(2.24)
Dabei wird K als eine obere und C als eine untere Schranke für
die Funktion f bezeichnet.
Vgl. folgendes Bild 2.14!
48
B 2.11 In Bild 2.14 kommen wir noch einmal auf die Funktion aus Beispiel 2.4
(Bild 2.5a) zurück. Der Wertebereich erstreckt sich von 0 bis 4. Die yWerte der Funktion wachsen also nicht über die Konstante
K = 5 oder auch K = 4 hinaus. Diese beiden Konstanten (und alle anderen Konstanten K mit K ≥ 4) stellen also obere Schranken für die
Parabel in Bild 2.14 dar. In ähnlicher Weise sind die Konstanten C = –2
oder C = –1 oder C = 0 (oder jede andere Konstante C mit C ≤ 0) nach
Bild 2.14 als untere Schranken der gegebenen Parabel erkennbar.
6
y
B
K=5
4
K=4
2
–2
–1
0
–2
1
C = –1
2
3
x
C = –2
Bild 2.14 Schranken K und C
2.4
Umkehrfunktionen
Wer von den Lesern schon über Grundkenntnisse zu den Umkehrfunktionen verfügt, kann die folgenden vorbereitenden Erläuterungen übergehen und sogleich mit der Tabelle 2.3 am Schluß des Abschnittes 2.4.1
beginnen sowie Abschnitt 2.4.2 anschließen, der dann etwa dem Niveau
einer 9. Klasse der Realschule entspricht (vgl. etwa [20], dort S. 16).
2.4.1
Vorbereitende Erläuterungen
Die wichtigsten Funktionen sind (im wesentlichen) durch explizit nach y
aufgelöste Funktionsgleichungen gegeben. Hierzu folgen vier Beispiele.
Sie betrachten von diesen vier Funktionsbeispielen zunächst nur die vier
Gleichungen im Fettdruck (alle übrigen Angaben werden später diskutiert):
B. 2.12 y = a ⋅ x
(Geradengleichung, a ≠ 0)
(2.25 a)
y = ex
(Exponentialfunktion: Bild 2.1 c, mit y > 0)
(2.25 b)
y = x2
(Normalparabel, Bild 2.1a, aber: x > 0 und y > 0) (2.25 c)
y = sin x
(Sinusfunktion, Bild 2.1 d, aber: x ∈ (−π/2 ; π/2)
und
(2.25 d)
y ∈ (−1 ; 1)
49

Funktionen - eine Einführung

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