Der Einsatz des Text-Editors im TI 89 / VoyageTM 200
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Der Einsatz des Text-Editors im TI 89 / VoyageTM 200
Der Einsatz des Text-Editors im TI 89 / VoyageTM 200 Beispiel: Geometrische Berechnung des Fulleren C28 Otto M. Keiser D Was ist ein Fulleren? Um 1985 entdeckten Chemiker, dass Kohlenstoff im festen Zustand ausser als Diamant und Graphit auch in Form käfigartiger Moleküle vorliegen kann. Das berühmteste darunter, das „Buckminsterfulleren“C60, hat die Gestalt eines etwa auf 1nm verkleinerten Fussballs, d.h. die 60 C-Atome bilden ein von 12 regulären Fünf- und 20 regulären Sechsecken begrenztes konvexes Polyeder [1]. Inzwischen wurde ein ganzer „Zoo“ solcher „Fullerene“ gefunden und beschrieben, vom kleinsten „Buckybaby“C28 bis zu „Buckyriesen“C960 [1]. Allen ist gemeinsam, dass es sich - aus chemischen Gründen - um Polyeder handelt, die von lauter Fünf- und Sechsecken begrenzt sind. Schon Euler selber hat - die Überlegungen sind einfach - aus seiner Polyederformel abgeleitet, dass ein solches Polyeder genau 12 Fünfecke enthalten muss. Die Entdecker dieser neuen Kohlenstoffform erhielten 1996 den Nobelpreis für Chemie [2]. Seither bin ich in der Mathematik immer wieder auf dieses reichhaltige und anregende Thema zu sprechen gekommen und bin dabei auf begeistertes Interesse der Schüler gestossen. Sie haben mich ermuntert, hin und wieder in der analytischen Geometrie Fullerene zu berechnen. Ein Tetraederfulleren Man kann ein Fulleren C28 aus dem Tetraeder (Seite S) wie folgt konstruieren [3]: Man zeichnet auf jeder Tetraederseitenfläche um seinen Schwerpunkt M ein reguläres Sechseck mit der Seite s, gemäss der Figur aus Abbildung 1. Man ergänzt die Figur durch zwölf Fünfecke. Dabei sind je vier Punkte jedes Fünfecks bereits gezeichnet und die fünfte Ecke, die gemeinsame Ecke von je drei Fünfecken, kommt jeweils automatisch auf die entsprechende Tetraederhöhe zu liegen. z S N Y y A B x C Abb. 1 Die Berechnung von s Die Höhen in der Tetraederseitenfläche haben die Länge: Bei dieser Wahl haben dann automatisch drei Fünfeckseiten die Länge s. Ob dabei die Fünfecke regulär werden, kann durch die Schüler selber, z.B. als Hausaufgabe, untersucht werden. S 3. 2 h Die nachfolgenden Berechnungen beziehen sich auf das angedeutete Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der Mitte der Seite AB, welche auf der y-Achse liegt. Die x-Achse geht durch C. In diesem Koordinatensystem haben die Eckpunkte die folgenden Koordinaten: S S |0 , B 0| |0 , C h|0|0 , 2 2 A 0| D h | 0 | S2 3 Der Schwerpunkt M des rM BCD hat den Ortsvektor (rB rN rC (rC rD ) / 3 . rD ) / 2 . Der Punkt X hat den Ortsvektor rX rM t MN , wobei t . Nun soll t so gewählt werden, dass XY s. Weil XY symmetrisch zur xz-Ebene liegt und weil s dies äquivalent zu 2 yX Seite 1 / 2 2 ( h)2 . 3 Für die Mitte N der Seite CD gilt: In diesem Beitrag soll nur die folgende Frage beantwortet werden: Wie gross muss die Sechseckseite s gewählt werden, damit auch die Kante XY die Länge s hat? s M X MX , ist MX . aus: TI – Nachrichten 2 / 05 Otto M. Keiser Geometrische Berechnung des Fulleren C28 Berechnung von s mit Hilfe des Text-Editors Hand aufs Herz: Wie oft ärgern Sie sich über sich, weil Sie eine Rechnung nach einem Tippfehler nochmals von vorne beginnen müssen. Für längere Sequenzen empfiehlt es sich deshalb, die Formeln - quasi auf Vorrat - in eine neue TextEditor-Datei zu schreiben (siehe untenstehendes Protokoll). Ausser dass die eingegebenen Formeln als Kommandozeilen zu kennzeichnen sind ( 1:Command), ist nichts Neues zu beachten. Willkommen ist zudem die Möglichkeit, die Zeilen zu kommentieren, damit man später die automatisch gespeicherte Datei besser versteht. In aller Ruhe kann man zuletzt die Kommandos überprüfen und sie schliesslich mit schrittweise im Rechenfenster 1:Script view ausführen lassen. Dabei ist es über möglich, den Bildschirm horizontal zu teilen, damit man gleichzeitig die Text-Editor-Datei und das Rechenfenster sieht (mit kann man zwischen den beiden Fenstern hinund herschalten.) Erst jetzt erkennen wir den grossen Vorteil unseres Vorgehens: Aufgrund von unvorhergesehenen Reaktionen des CAS können wir die Text-Editor-Datei nachträglich schmerzlos korrigieren und/oder ergänzen und die Kommandos mit nochmals ausführen lassen. In unserem Fall erweist es sich beispielsweise als sehr hilfreich, die Definition der Tetraederecke D mit der Information S>0 einzugeben und die Gleichung 2 y X MX unter den Bedingungen t>0 und S>0 zu lösen. Die Ausführung des Skripts liefert: s 21 12 3 3 S 0,155 S . Literatur [1] [2] [3] [4] R. F. Curl; R. E. Smalley: Fullerene; Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1991 W. Andreoni: Fullerene: eine neue Ära in der Chemie; NZZ, 30. Oktober 1996 H. R. Schneebeli: Zur Geometrie der Mikrocluster; Elemente der Mathematik 1993, Vol. 48, No.1 J. Douglas Child: Scripting Guide for the TI-92 and TI-92 Plus: Precalculus and Calculus Applications, Texas Instruments 1998, ISBN 1-886309-20-5 Autor: Abb. 2 Otto M. Keiser Hochstrasse 44 CH-8037 Zürich E-Mail: [email protected] Abb. 3 Seite 2 / 2 aus: TI – Nachrichten 2 / 05