Berechnung von Sonnenuhren mit Vektorrechnung

Berechnung von Sonnenuhren mit Vektorrechnung
Üblicherweise werden Sonnenuhren berechnet, indem zunächst die Koordinaten des
Äquatorsystems (Deklination der Sonne δ, Stundenwinkel der Sonne τ) mit Hilfe von ebener und
sphärischer Trigonometrie auf die Koordinaten des Horizontsystems (Azimut a, Sonnenhöhe h)
umgerechnet werden. Anschließend wird mit Überlegungen aus der ebenen Trigonometrie die
Lage des Schattenpunktes der Zeigerspitze auf dem Ziffernblatt ermittelt.
Ich möchte hier eine Vorgangsweise vorstellen, die als einziges Bezugssystem die Erde benützt
und im Wesentlichen unter Verwendung der Vektorrechnung die Lage des Schattenpunktes für
beliebig gedrehte und geneigte Sonnenuhren direkt aus der Deklination der Sonne δ und dem
Stundenwinkel der Sonne τ ermittelt.
• Im ersten Schritt wird die Lage eines um den Winkel α gedrehten und den Winkel β
geneigten Ziffernblattes in Bezug auf das Koordinatensystem der Erde beschrieben. Dies
v
v
erfolgt durch Angabe des Normalvektors n der Ebene, der Richtung h einer horizontalen
v
Geraden, die sich auf dem Ziffernblatt befindet, sowie der Richtung v einer dazu
senkrechten Geraden. Die Vektoren werden jeweils auf die Länge 1 normiert.
• Anschließend wird der durch die Gnomonspitze gehende Lichtstrahl in Bezug auf das
Koordinatensystem der Erde durch eine Punkt-Richtungs-Form angegeben.
• Zuletzt werden der Schnittpunkt des Lichtstrahls mit dem Ziffernblatt sowie die Abstände
auf dem Ziffernblatt x und y berechnet.
Zusammenfassung der Ergebnisse:
Bezeichnungen:
δ ... Deklination der Sonne
τ ... Stundenwinkel
α ... Drehung des Ziffernblattes aus der Südrichtung
β ... Neigung des Ziffernblattes
φ ... Geographische Breite
l 0 ... Normalabstand der Gnomonspitze vom Ziffernblatt
x , y ... Koordinaten des Schattenpunktes auf dem Ziffernblatt.
l
x = v v .(− sin α.sin β. sin δ + sin ϕ.cos β. sin τ. cos δ + cos ϕ.cos α.sin β. sin τ. cos δ )
nk .s
l
y = v v .(− cos ϕ. sin α. sin τ. cos δ − cos α. sin δ )
n k .s
mit:
v v
n k .s = sin ϕ. cos α. cos β. cos τ. cos δ + cos ϕ. sin β. cos τ. cos δ − sin α. cos β. sin τ. cos δ
− cos ϕ. cos α. cos β. sin δ + sin ϕ. sin β. sin δ
l=
l0
sin ϕ.cos α.cos β + cos ϕ.sin β
v v
nk .s > 0 , damit der Lichtstrahl von vorne auf das Ziffernblatt trifft
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1. Lage des Ziffernblattes
a) Vertikales, nach Süden gerichtetes Ziffernblatt:
Die Lage des Ziffernblattes im Koordinatensystem der Erde legen wir durch
v
Angabe des Normalvektors n , der Richtung einer horizontalen Geraden auf
v
v
dem Ziffernblatt h und der Richtung einer dazu senkrechten Geraden v fest.
v
v
v
h
v
n
Die folgenden Skizzen veranschaulichen die Berechnung der Koordinaten von
v v
v
n , h und v für die vertikale, nach Süden gerichtete Sonnenuhr, die sich auf
der geographischen Breite φ befindet:
z
.
v
v v
h
v
n
z
sin φ
v
n
φ – cos
φ
y
x
φ
φ
x
 cos ϕ 
 sin ϕ 
0
 v  


v 
v
n =  0  , h =  1  und v =  0 
 − cos ϕ 
0
 sin ϕ 


 


b) Vertikales, gedrehtes Ziffernblatt:
v
Nun wird das Ziffernblatt um den Winkel α nach Osten gedreht. Drehachse ist der Vektor v .
v
v
Die Richtung der Vertikallinie bleibt bei diesem Vorgang erhalten ( v g = v ). Die Richtung des
v
neuen Normalvektors n g ergibt sich aus folgenden geometrischen Überlegungen:
v v
v = vg
α
v
h
α
sin φ
v
n
v
q.n g – cos φ
tan α
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 0   sin ϕ 
  

v
v
q.n g = n + tan α. 1  =  tan α 
 0   − cos ϕ 
  

v
Die Länge des Vektors k.ng beträgt:
v
q.n g =
(sin ϕ)2 + (tan α )2 + (cos ϕ)2
= 1 + (tan α )2 =
1
cos α
v
Durch Multiplikation mit cos α erhalten wir den Normalvektor n g mit der Länge 1 :
 sin ϕ.cos α 


v
ng = 
sin α

 − cos ϕ. cos α 


v
Die Richtung der Horizontallinie hg des gedrehten Ziffernblattes erhalten wir aus dem
v
v
Vektorprodukt aus v g und n g :
− sin ϕ.sin α
 cos ϕ   sin ϕ.cos α  
  − sin ϕ.sin α 
v

 
 
 
.
2
2
hg =  0  × 
sin α
cos α
 =  (sin ϕ) .cos α + (cos ϕ) .cos α  = 

 sin ϕ   − cos ϕ.cos α  
  cos ϕ.sin α 
cos
.
sin
ϕ
α

 
 
 

c) Gedrehtes und geneigtes Ziffernblatt:
Nun kippen wir das gedrehte Ziffernblatt um den Winkel β nach hinten. Drehachse ist die
v
Horizontallinie hg .
v
v
Die Richtung der Horizontallinie bleibt bei diesem Vorgang erhalten ( hk = h g ). Die Richtungen
v
v
des neuen Normalvektors nk und der neuen Vertikallinie v k erhalten wir durch folgende
geometrische Überlegungen:
v
v
v v
Um in der n g , v g - Ebene zu bleiben, bilden wir die Vektoren q1.n k und q 2 .v k als
v
v
Linearkombinationen von n g und v g :
v
v
v
q1.nk = ng + a1.v g
v
v
v
q2 .v k = v g − a 2 .ng
v
− a 2 .ng
v
q2 .v k
v
vg
β
v
h g⊗
v
q1.nk
β
v
a1.v g
v
ng
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Für die Koeffizienten a 1 und a 2 gilt:
v
v
a1. v g
a 2 .ng
a1.1
a .1
und
=
= a 1 = tan β
= 2 = a 2 = tan β
v
v
1
1
ng
vg
v
v
Die Länge der beiden Vektoren q1.n k und q 2 .v k beträgt jeweils
1 .
cos β
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Nebenrechnung:
v
v
n g + tan β.v g =
=
(sin ϕ.cos α + cos ϕ.tan β )2 + (sin α )2 + (− cos ϕ.cos α + sin ϕ.tan β )2
(sin ϕ)2 .(cos α )2
=
+ 2.sin ϕ.cos ϕ.cos α.tan β + (cos ϕ)2 .(tan β)2 + (sin α )2 + (cos ϕ)2 .(cos α )2 ...
... − 2.sin ϕ.cos ϕ.cos α.tan β + (sin ϕ)2 .(tan β)2 =
=
(cos α )2 + (sin α )2 + (tan β)2
= 1 + (tan β)2 =
1
2
(cos β)
=
1
cos β
__________________________________________________________________________________
Durch Multiplikation mit cos β können sie auf die Länge 1 normiert werden. Wir erhalten
schließlich als Bestimmungsstücke der gedrehten und geneigten Ebene:
Normalvektor:
 sin ϕ.cos α.cos β + cos ϕ.sin β 


v
nk = 
sin α.cos β

 − cos ϕ.cos α.cos β + sin ϕ.sin β 


Vertikallinie:
 cos ϕ.cos β − sin ϕ.cos α.sin β 


v
− sin α.sin β
vk = 

 sin ϕ.cos β + cos ϕ.cos α.sin β 


Horizontallinie:
 − sin ϕ. sin α 
v


hk = 
cos α

 cos ϕ.sin α 


z
2. Richtung des Sonnenstrahles
Ein Strahl von der Sonne schließt mit der x – y –
Ebene den Winkel δ (= Deklination) ein. Wenn sich
nun die Erde um die z – Achse um den Winkel τ (=
Stundenwinkel) dreht, dann verändert sich die
Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen (in Bezug
auf das x,y,z – Koordinatensystem) nach der Formel:
 cos τ. cos δ
v 
s =  − sin τ. cos δ

sin δ

y
δ
x
τ





Die Orientierung von τ wird so gewählt, dass der Winkel im Laufe des Tages zunimmt.
Als schattenwerfenden Punkt (= Endspitze des Gnomons) wählen wir jenen Punkt (l / 0 / 0 ) auf
der x – Achse, der vom Ziffernblatt den Normalabstand l 0 hat.
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l v
l0
Aus  0 . nv k = l erhalten für l den Wert
0
sin ϕ. cos α. cos β + cos ϕ. sin β
 0  nk
 
Die Gleichung des Sonnenstrahls durch diesen Punkt in Vektorform lautet:
x  l 
 cos τ. cos δ 
   


 y  =  0  + λ. − sin τ. cos δ 
 z  0


sin δ
   


3. Lage des Schattenpunktes auf dem Ziffernblatt
Wir verschieben nun die gedrehte und geneigte Ebene so, dass sie durch den Ursprung geht. Die
Ebenengleichung in Normalvektorform lautet dann:
 sin ϕ.cos α.cos β + cos ϕ.sin β   x 

 
sin α.cos β

. y  = 0
 − cos ϕ.cos α.cos β + sin ϕ.sin β   z 

 
Nun bestimmen wir den Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Ebene:
 sin ϕ.cos α.cos β + cos ϕ.sin β   l + λ.cos τ.cos δ 



sin α.cos β

. − λ.sin τ. cos δ  = 0
 − cos ϕ.cos α.cos β + sin ϕ.sin β  

λ.sin δ



β − cos ϕ. sin β
Für λ erhalten wir den Wert λ = l. − sin ϕ. cos α. cos
v v
n k .s
mit:
v v
nk .s = sin ϕ. cos α. cos β. cos τ. cos δ + cos ϕ. sin β. cos τ. cos δ − sin α. cos β. sin τ. cos δ
− cos ϕ. cos α. cos β. sin δ + sin ϕ. sin β. sin δ
Der Schnittpunkt P (und Schattenpunkt auf der Ebene) hat die Koordinaten:
 − sin α. cos β. sin τ. cos δ − cos ϕ. cos α. cos β. sin δ + sin ϕ. sin β. sin δ 
v

l 
P = v v .
sin ϕ. cos α. cos β sin τ. cos δ + cos ϕ. sin β. sin τ. cos δ

n k .s 

− sin ϕ. cos α. cos β. sin δ − cos ϕ. sin β. sin δ


Natürlich ist das Ergebnis nur dann sinnvoll, wenn der Lichtstrahl von vorne auf die Ebene
v
v
auftrifft, wenn also der Winkel zwischen s und nk kleiner als 90° ist
bzw.
v v
n k .s > 0 gilt.
Will man nun die relativen Koordinaten x und y des Schattenpunktes
v
auf dem Ziffernblatt ermitteln, dann muss man den Vektor P auf die
Horizontal- bzw. die Vertikallinie projizieren.
v
vk
x Pv
y
v
nk
(Der Ursprung entspricht dabei dem Mittagspunkt für δ = 0° .)
Man erhält:
vv
P.hk
l
x = v = v v .(− sin α.sin β.sin δ + sin ϕ.cos β.sin τ.cos δ + cos ϕ.cos α.sin β.sin τ.cos δ )
n
hk
k .s
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vv
P.v k
l
y = v = v v .(− cos ϕ.sin α. sin τ.cos δ − cos α.sin δ )
vk
nk .s
Nun kann für jedes beliebig gedrehte und geneigte Ziffernblatt zu jedem Zeitpunkt der Ort des
Schattens berechnet werden.
Mit einem einfachen Excel-Sheet können Zeit- und Datumslinien gezeichnet werden,
(z.B α = 14°, β= 60°):
Für Vertikaluhren bzw. Süduhren muss β = 0° bzw. α = 0° gesetzt werden.
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Nebenrechnungen:
x  l 
 cos τ. cos δ 
   

− sin ϕ. cos α. cos β − cos ϕ. sin β 
. − sin τ. cos ϑ 
v v
 y  =  0  + l.
n k .s
 z  0


sin δ
   


l
x = v v .(sin ϕ.cos α.cos β.cos τ.cos δ + cos ϕ.sin β.cos τ. cos δ − sin α.cos β.sin τ. cos δ
nk .s
− cos ϕ. cos α. cos β. sin δ + sin ϕ. sin β. sin δ − sin ϕ. cos α. cos β. cos τ. cos δ − cos ϕ. sin β. cos τ. cos δ) =
l
= v v .(− sin α. cos β. sin τ. cos δ − cos ϕ. cos α. cos β. sin δ + sin ϕ. sin β. sin δ )
nk .s
vv
l
x = P.hk = v v .(sin ϕ.(sin α )2 .cos β.sin τ. cos δ + sin ϕ. cos ϕ.sin α.cos α. cos β.sin δ − (sin ϕ)2 . sin α. sin β. sin δ
nk .s
+ sin ϕ.(cos α )2 .cos β.sin τ. cos δ + cos ϕ.cos α. sin β. sin τ.cos δ − sin ϕ.cos ϕ. sin α. cos α.cos β. sin δ
− (cos ϕ )2 .sin α.sin β.sin δ) =
l
= v v . sin ϕ. cos β. sin τ. cos δ. (sin α )2 + (cos α )2 − sin α. sin β. sin δ. (sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 + cos ϕ. cos α. sin β. sin τ. cos δ
nk .s
v
l
y = P.v k = v v .(− cos ϕ. sin α.(cos β )2 . sin τ. cos δ + sin ϕ. sin α. cos α. sin β. cos β sin τ − (cos ϕ)2 . cos α.(cos β )2 . sin δ
nk .s
(
(
)
(
)
+ sin ϕ.(cos α )2 . sin β. cos β. sin δ + sin ϕ. cos ϕ. sin β. cos β. sin δ − (sin ϕ )2 . cos α.(sin β)2 . sin δ
− sin ϕ. sin α. cos α. sin β. cos β. sin δ − cos ϕ.. sin α.(sin β )2 . sin τ. cos δ − (sin ϕ)2 . cos α.(cos β )2 . sin δ
− sin ϕ. cos ϕ.(cos α )2 . sin β. cos β. sin δ − sin ϕ. cos ϕ.. sin β. cos β. sin δ − (cos ϕ)2 . cos α.(sin β )2 . sin δ) =
l
= v v .(− cos ϕ. sin α. sin τ. cos δ. (sin β )2 + (cos β )2 − cos α.(cos β)2 . sin δ. (sin ϕ)2 + (cos ϕ )2 −
nk .s
(
(
)
(
)
)
− cos α.(sin β )2 .sin δ. (sin ϕ )2 + (cos ϕ)2 ) =
l
= v v .(− cos ϕ. sin α. sin τ. cos δ − cos α sin δ)
nk .s
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© Schwarz Alfred, A-4202 Hellmonsödt, Sonnenhang 42, E-mail: [email protected]
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