Cursul nr. 6

OSCILATII SI UNDE
Cursul nr.6-7
OSCILATII
6-7.1 Oscilatorul armonic
Miscarea unui corp sub actiunea unei forte constante a fost descrisa in
detaliu in cursul nr. 2. Asa cum s-a aratat, in acest caz acceleratia este
constanta iar legea de miscare si a vitezei sunt date de expresiile (2.24-2.26).
In acest curs vom studia cazul in care forta care actioneaza asupra corpului
nu este constanta, ea variind in timpul miscarii. Exemplul cel mai cunoscut
de forta care variaza in timp este forta elastica , F = − kx . Deoarece
deplasarea este o functie de timp, x = x(t ) , rezulta ca forta este la randul ei
dependenta de timp. Pentru a studia miscarea unui corp de masa m sub
influenta unei forte elastice, F = − kx , sa consideram cazul din figura 6-7.1 ,
in care corpul ete fixat de un resort de constanta elastica k .
Figura 6-7.1. Resortul alungit actionand asupra unui corp de masa m . Pozitia corpului
figurata cu linii intrerupte este pozitia de echilibru pentru care x = 0 .
Considerand ca corpul se misca pe un plan fara frecare, Ff =0, conform legii
fundamentale a dinamicii rezulta ca:
1
d 2x
d 2x
m 2 = −kx sau m 2 + kx = 0 .
dt
dt
(6-7.1)
Ecuatia (6-7.1) este o ecuatie diferentiala omogena de ordinul doi . Solutia
acestei ecuatii, x = x(t ) , reprezinta ecuatia de miscare a corpului de masa
m . Impartind cu m ecuatia (6-7.1) devine,
d 2x
+ ω02 x = 0 ,
2
dt
(6-7.2)
unde
ω02 =
k
.
m
(6-7.3)
Aplicand metoda de rezolvare a ecuatiei diferentiale omogene de ordinul doi
prezentata in anexa I, obtinem urmatoarea solutie generala a ecuatiei (6-7.3):
x(t ) = C1eiω0t + C2 e − iω0t ,
(6-7.4)
unde C1 si C2 sunt doua constante arbitrare complexe, care urmeaza a fi
determinate din conditiile la limita pe care trebuie sa le indeplineasca solutia
(6-7.4). In primul rand, deoarece solutia (6-7.4) reprezinta deplasarea
corpului fata de pozitia de echilibru ( x = 0) ea trebuie sa fie o marime reala,
adica
x(t ) = x(t )∗ .
(6-7.5)
Aceasta conditie este satisfacuta daca
C1 = C2∗ .
(6-7.6)
In plus, daca consideram ca miscarea incepe din pozitia de echilibru, adica la
momentul initial al miscarii, t = 0, corpul se gaseste in x = 0 , obtinem ca
2
C1 = −C2 .
(6-7.7)
∗
Din relatiile (6-7.6) si (6-7.7) rezulta ca C2 = −C2 . Aceasta egalitate este
adevarata daca partea reala a constantei complexe C este egala cu zero,
2
Re C2 = 0. Cu alte cuvinte constanta complexa C2 este de forma
C2 = iC ,
(6-7.8)
unde C este un numar real.
Tinand cont de relatiile (6-7.6,7,8) si de formula lui Euler
e iθ − e − iθ
,
sin θ =
2i
(6-7.9)
solutia generala (6-7.4) se poate scrie sub forma:
x(t ) = A sin ω0t ,
(6-7.10)
unde A = 2C.
La deducerea ecuatiei (6-7.10) am considerat ca la momentul intial corpul se
gasea in pozitia x = 0 . Daca consideram cazul general cand la momentul
t = 0 corpul se gaseste in pozitia x = x0 , atunci solutia (6-7.10) devine,
x(t ) = A sin(ω0t + ϕ 0 ,
(6-7.11)
unde ϕ = ω0t + ϕ 0 poarta denumirea de faza oscilatiei, iar marime
faza la momentul initial sau faza initiala a oscilatiei.
ϕ0 este
In figura 6-7.2 este reprezentata grafic ecuatia de miscare (6-7.10). Asa cum
se observa din figura 6-7.2, corpul are o miscare periodica de du-te-vino in
jurul pozitiei de echilibru x = 0 . Valoarea deplasarii x la momentul t
poarta denumirea de elongatie. Elongatia maxima a miscarii A poarta
denumirea de amplitudinea oscilatiei. Timpul in care corpul efectueaza o
oscilatie completa se numeste perioada oscilatiei si se noteaza cu T0 ,
3
[T0 ]SI
= s (secunde). Din punct de vedere matematic perioada T0 se
defineste ca fiind intervalul de timp minim dupa care punctul material se afla
in aceeasi stare :
A sin[ω0 (t + T0 )] = A sin ω0t .
(6-7.12)
Din aceasta conditie rezulta:
ω0 (t + T0 ) = ω0t + 2π ,
sau
T0 =
2π
ω0
= 2π
m
.
k
(6-7.13)
Numarul de oscilatii efectuate in unitate de timp reprezinta frecventa
−1
oscilatiei,ν , [ν ]SI = s = Hz (Hertz). Este usor de aratat ca intre perioada
si frecventa exista relatia:
ν0 =
1 ω0
=
.
T0 2π
(6-7.14)
Viteza oscilatorului este data de relatia:
v=
dx
π

= Aω 0 cos ω0t = v max sin  ω0t +  ,
dt
2

(6-7.15)
unde v max = Aω 0 . Asa cum rezulta din (6-7.15), viteza este maxima atuci
cand corpul trece prin pozitia de echilibru, x(0) , adica in momentele
t = nT , unde n = 1,2,3... este un numar intreg.
4
Figura 6-7.2. Reprezentare grafica a ecuatiei de miscare x(t ) , a vitezei
v(t ) si a aceleratiei a(t ) .
Conform relatiei ( 2.15) acceleratia oscilatorului este data de relatia:
a=
dv
= − Aω02 sin ω0t = −amax sin ωt = amax sin(ωt + π ) ,
dt
(6-7.16)
2
unde amax = Aω0 . Spre deosebire de viteza, acceleratia este maxima in
mometele in care elongatia este maxima.
Miscarea descrisa de ecuatiile (6-7.10), (6-7.15) si (6-7.16) poarta denumirea
de miscare armonica. Daca asupra corpului actioneaza numai forta elastica
F = −kx , atunci oscilatiile poarta denumirea de oscilatii libere sau oscilatii
proprii ale sistemului respectiv. Frecventa
ν0 =
1 ω0
=
a oscilatiilor se
T0 2π
numeste frecventa proprie de oscilatie a sistemului, iar valoarea sa depinde
numai de proprietatile intrinseci ale sistemului.
Energia totala a oscilatorului este egala cu suma dintre energia cinetica Ec
si energia potentiala U :
E = Ec + U .
(6-7.17)
5
Tinand cont de expresia vitezei ( 6-7.15), obtinem pentru energia cinetica
relatia:
mv 2 1
Ec =
= mω 2 A2 cos 2 ω0t .
2
2
(6-7.18)
Energia potentiala este egala cu lucrul mecanic al fortei elastice pentru a
deplasa corpul la distanta x fata de pozitia de cehilibru:
x
x
1
1
dU = − Fdx ; U = − ∫ Fdx = ∫ kxdx = kx 2 = kA2 sin 2 ω0t . (6-7.19)
2
2
0
0
Inlocuind (6-7.18) si (6-7.19) in (6-7.17) rezulta:
1
1
E = mω02 A2 (sin 2 ω0t + cos 2 ω0t ) = mω02 A2 ,
2
2
(6-7.20)
2
unde am tinut cont ca k = mωo . Deoarece amplitudinea A si pulsatia ω0 a
oscilatiilor sunt constante in timp, rezulta ca energia totala a oscilatorului
este la randul ei constanta in timp. In concluzie, relatia (6-7.20) reprezinta
legea de conservare a energiei pentru un oscilator armonic. Deoarece energia
mecanica a oscilatorului se conserva rezulta ca fortele elastice sunt forte
conservative.
Oscilatiile armonice reprezinta o clasa larga de fenomene din fizica si din
practica. Astfel, este suficient sa aratam ca orice corp efectueaza o miscare
oscilatorie atunci cand acesta este deplasat pe distante mici din pozitia de
echilibru. Pentru a demonstra acest lucru vom tinem cont ca in pozitia de
echilibru energia potentiala este minima, asa cum este ilustrat in figura 67.3.
6
Figura 6-7.3. Pozitia de echilibru stabil a corpului este in punctul in care
energia sa putentiala are un minim. Riginea sistemului de coordonata a fost
astfel aleasa incat pozitia de echilibru a corpului sa fie in punctul x = 0 , iar
energia potentiala in pozitia de echilibru sa fie egala cu zero, U ( x ) = 0 .
Daca dezvoltam functia U ( x ) in serie Taylor in jurul punctului x = 0 ,
obtinem
1  d 2U 
 dU 
2
U ( x ) = U ( 0) + 
 x +  2  x +L
2  dx 
 dx  x = 0
x =0
(6-7.21)
Deoarece in punctul x = 0 energia potentiala U (x ) este minima , derivata
de ordinul intai se anuleaza in acest punct,
 dU 
= 0.


dx

 x =0
In plus, asa am ales origine sistemului de coordonate incat in punctul x = 0
energia potentiala este egala cu zero, U (0) = 0 . Daca consideram numai
cazul deplasarilor mici in jurul pozitiei de echilibru, x << 1, termenii de
ordin superior in x pot fi neglijati in expresia (6-7.15). Tinand cont de aceste
observatii, relatia (6-7.21) devine
1  d 2U 
U ( x) =  2 
2  dx 
x2 .
(6-7.22)
x =0
7
Forta care actioneaza asupra corpului pentru al readuce in pozitia de
echilibru este data de formula
F =−
dU
= −kx ,
dx
(6-7.23)
 dU 
 .
dx

 x =0
unde k = 
Din relatia (6-7.23) rezulta ca forta care actioneaza asupra corpului este o
forta de tip elesatic si, ca rezultat, corpul va efectua oscilatii armonice
atunci cand ele este scos din pozitia de echilibru. Atragem atentia ca acest
lucru este valabil atat timp cat amplitudinea este mica si , ca urmare, in
relatia (6-7.21) termenii de ordin superior in x pot fi neglijati.
De exemplu, atomii, ionii sau moleculele unei retele cristaline efectueaza
miscari oscilatorii in jurul pozitiei de echilibru. Aceste oscilatii sunt
responsabile atat de proprietatiele termice, cat si de dependenta de
temperatura a rezistivitatii electrice a unui metal.
6-7.2 Oscilatii amortizate
In paragraful precedent s-a neglijat influenta fortelor de frecare asupra
miscarii oscilatorii a unui corp. In realitate, asupra unui corp intotdeauna
actioneaza pe laga celelalte forte si fortele de frecare care se opun miscarii.
De exemplu, daca corpul se misca intr-un mediu fluid ( gaz sau lichid)
asupra lui vor actiona fortele de vascozitate, care se opun miscarii. In
general fortele de frecare sunt proportionale cu viteza corpului si au sens
invers vitezei:
r
r
F f = −γv ,
(6-7.24)
unde coeficientul de proportionalitate γ se numeste coeficient de frecare sau
coeficient de rezistenta.
In figura 6-7.4 este ilustrat cazul in care pe langa forta elastica asupra
r
r
punctului material actioneaza si forta de frecare, F f = −γv .
8
r
r
Figura.6-7.4. In realitate pe langa forta elastica F = − kx asupra corpului
r
r
actioneaza si forta de frecare F f = −γv , care intotdeauna se opune miscarii.
Tinand cont de forta de frecare, se obtine uramatoarea ecuatie de miscare:
m
d 2x
2
dt
= − kx − γ v ; m
d 2x
dt
2
+γ
dx
+ kx = 0 .
dt
(6-7.25)
Facand notatiile
2δ =
γ
m
, ω02 =
k
,
m
(6-7.26)
ecuatia miscarii amortizate devine
d 2x
dt
2
+ 2δ
dx
+ ω02 x = 0 ,
dt
(6-7.27)
unde δ se numeste coeficient de amortizare, iar
oscilatiilor in absenta frecarii.
9
ω0 este pulsatia proprie a
Ecuatia caracteristica a ecuatiei diferentiale omogene de gradul doi (6-7.27)
este
r 2 + 2δ r + ω02 = 0 .
(6-7.28)
Solutiile ecuatiei caracteristice (6-7.28) sunt:
r1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 .
(6-7.29)
Valoarea acestor solutii depinde de relatia care exista intre valoarea
coeficientului de amortizare δ si valoarea frecventei proprii de oscilatie
ω0 . Astfel, distingem doua cazuri importante:
a) In cazul in care
sub forma
δ < ω0 solutiile (6-7.29) sunt imaginare si pot fi scrise
r1,2 = −δ ± i ω02 − δ 2 = −δ ± iω ,
(6-7.30)
unde
ω = ω02 − δ 2 .
(6-7.31)
Tinand cont de (6-7.30) solutia generala a ecuatiei de miscare (6-7.27) este
(
)
x(t ) = C1e r1t + C2e r2 t = e −δt C1eiωt + C2e − iωt ,
(6-7.32)
unde C1 si C2 sunt constante arbitrare in general complexe. Determinarea
acestor constante se face din conditiile la limita impuse solutiei (6-7.32) in
asa fel incat aceasta solutie sa aiba sens fizic. In primul rand, elongatia x
∗
trebuie sa fie o marime reala ( x = x ). Aceasta conditie este indeplinita daca
C1 = C2∗ .
Utilizand formulele lui Euler , e
fi scrisa sub forma
± ix
= cos x ± i sin x , solutia (6-7.32) poate
10
x(t ) = e −δt [(C1 + C2 ) cos ω t + i (C1 − C2 ) sin ωt ] ,
(6-7.33)
unde este usor de demonstrat ca combinatiile ( C1 + C2 ) si i (C1 − C2 )
∗
sunt constante reale deoarece C1 = C2 . Facand notatiile
i(C1 − C2 )
C + C2
= A0 ,
= ctgϕ , 1
sin ϕ
C1 + C2
(6-7.34)
solutia (6-7.33) devine
x(t ) = A0e −δt sin(ωt + ϕ ) ,
(6-7.35)
unde A0 si ϕ se determina din conditiile initiale, t = 0 , pe care trebuie sa
le satisfaca elongatia. Din relatia (6-7.35) rezulta ca punctul material executa
o miscare periodica cu perioada
T=
2π
ω
=
2π
ω02
−δ
2
.
(6-7.36)
Este de remarcat ca aceasta perioada este mai mare decat perioada proprie a
miscarii oscilatorii libere (in absenta fortei de frecare) sub influenta aceleiasi
forte elastice.
Spre deosebire de oscilatiile libere in acest caz amplitudinea miscarii este o
functie de timp,
A(t ) = A0e −δ t ,
(6-7.37)
care descreste in timp dupa o lege exponentiala, asa cum este aratat in figura
6-7.5. Asa cum se poate observa din acesta figura, dupa un timp suficient de
lung amplitudinea miscarii devine zero si oscilatia dispare. O astfel de
miscare poarta denumirea de miscare amortizata.
Amortizarea oscilatiilor se caracterizeaza cu ajutorul unei marimi numita
decrement logaritmic al amortizarii, definit prin relatia
11
A(t )
= ln eδT = δ T .
A(t + T )
θ = ln
(6-7.38)
Figura 6-7.5. Reprezentarea grafica a ecuatiei de miscare (6-7.35) pentru
miscarea oscilatorie amortizata.
Pe langa decrementul logaritmic, un alt parametru care caracterizeaza
miscarea amortizata este timpul de relaxare, care reprezinta timpul τ dupa
care amplitudinea oscilatiei scade de e =2,718 ori:
A(t + τ ) =
A(t )
.
e
(6-7.39)
Inlocuind in aceasta relatie de definitie expresia amplitudinii data de relatia
(6-7.37) si luand logaritmul natural din expresia astfel obtinuta, rezulta
pentru timpul de relaxare urmatoarea expresie:
τ=
1
δ
.
(6-7.40)
Timpul de relaxare este o masura a timpului de viata a oscilatiei amortizate.
O alta marime forte des utilizata pentru caracterizarea unui sistem oscilant
este factorul de calitate, Q . Acest parametru este folosit mai ales in
12
caracterizarea circuitelor electrice in curent alternativ, dar este aplicabil
tuturor sistemelor oscilante, indiferent de natura oscilatiilor (mecanice,
electrice, electromagnetice, etc.). Factorul de calitate Q defineste viteza cu
care sistemul oscilant pierde energie datorita existentei fortelor disipative si
se defineste ca fiind produsul dintre 2π si raportul dintre energia la
momentul t , E (t ) , si pierderea de energie intr-un interval de timp egal cu o
perioada de la momentul t , ∆E = E (t + T ) − E (t ) :
Q = 2π
E (t )
E
= 2π
.
E (t + T ) − E (t )
∆E
(6-7.41)
In relatia (6-7.41) s-a introdus ∆E deoarece in cazul unei oscilatii
amortizate energia sistemului scade si , in consecinta, variatia energiei
∆E este negativa. Deoarece, prin conventie, factorul de calitate este o
marime pozitiva, Q > 0, este necesar ca in relatia de definitie (6-7.41) sa se
utilizeze in locul lui ∆E modulul sau, ∆E .
Inlocuind in expresia energiei oscilatorului (6-7.20) amplitudinea oscilatiei
cu relatia (6-7.37) obtinem:
1
1
E (t ) = kA2 = kA02e − 2δ t .
2
2
(6-7.42)
Conform relatiei (6-7.42) energia oscilatorului amortizat scade exponential
cu timpul, coeficientul de amortizare fiind 2δ . Viteza de variatia a energiei
este
dE
= −2δE ,
dt
(6-7.43)
unde semnul minus arata ca energia sistemului scade in timp. Din (6-7.43)
obtinem ca variatia energiei, ∆E , intr-o perioada, dt = T , este data de
relatia:
∆E = −2δTE .
(6-7.44)
13
Tinand cont de relatia de definitie (6-7.41) obtinem pentru factorul de
calitate expresia:
Q = 2π
E
1
τ
= 2π
= 2π ,
∆E
Tδ
T
(6-7.45)
unde am tinut cont ca τ = 1 δ . Daca in relatia de mai sus se inlocuieste
valoarea perioadei (6-7.36) si consideram cazul oscilatiilor slab amortizate
, ω0 >> δ , atunci relatia (6-7.45) devine
Q = ω0τ .
(6-7.46)
In tabelul de mai jos sunt date valorile lui Q pentru cateva sisteme oscilante.
Sistemul oscilant
Q
Pamantul, pentru o unda seismica
250-1400
Cavitate de cupru rezonanta in 104
domeniul microundelor
Coarda de vioara
103
Atom excitat
107
Nucleu excitat
1012
b. In cazul in care fortele de frecare sunt mai mari decat cele elastice
, δ > ω0 , radacinile (6-7.29) ale ecuatiei caracteristice sunt reale, iar solutia
ecuatiei de miscare (6-7.27) devine
x(t ) =C1e
− (δ + δ 2 −ω 02 )t
+ C2 e
− (δ − δ 2 −ω 02 )t
,
(6-7.47)
unde C1 si C2 sunt constante reale. Conform relatiei (6-7.47), in acest caz
elongatia tinde asimptotic catre zero si miscarea este aperiodica, asa cum
este ilustrat in figura 6-7.6.
Din relatia (6-7.46) este usor de aratat ca daca δ > ω0 , atunci factorul de
calitate este subunitar, Q < 1 , iar pentru δ < ω0 factorul de calitate este
supraunitar, Q > 1 . Tinand cont de aceasta observatie se poate afirma ca un
14
sistem oscilant va efectua oscilatii armonice daca Q > 1 , iar pentru Q < 1
sistemul va efectua oscilatii anarmonice. Acest lucru este evident daca
tinem seama ca pentru Q > 1 energia pierduta de sistem este mica si, prin
urmare, la sfarsitul perioadei sistemul are suficienta energie pentru a
continua oscilatia. In cazul Q < 1 sistemul isi pierde intreaga energie
mecanica intr-un interval de timp mai mic decat o perioada, iar oscilatie se
stinge.
Figura 6-7.6, Dependenta elongatiei de timp in cazul in care forta de
frecare este mai mare decat forta elastica, δ > ω0 .
6-7.3 Oscilatii intretinute. Rezonanta
In natura nu exista un oscilator armonic ideal, care sa oscileze un timp
infinit. In realitate asupra oricarui corp care efectueaza o miscare oscilatorie
actioneaza forte de frecare de tipul F f = −γv , care consuma energia
oscilatorului, avand ca efect amortizarea oscilatiilor. Pentru a intretine
oscilatiile este necesar sa se actioneze din exterior cu o forta periodica, care
sa intretina oscilatiilor. Din punct de vedere energetic acest fapt se traduce
prin pomparea periodica de energie in sistem pentru a compensa energia
pierduta datorita fortelor de frecare.
Sa presupunem ca asupra oscilatorului de masa m actioneaza (Fig.67.7) pe langa forta elastica si de frecare si o forta exterioara periodica de
forma
15
Fe = F0 sin ωt ,
(6-7.48)
Figura 6-7.7. In cazul oscilatiilor intretinute pe langa forta elastica si cea de
frecare actioneaza si o forta exterioara, Fe = F0 sin ωt .
unde ω este frecventa cu care actioneaza forta exterioara. In acest caz
ecuatia de miscare se poate scrie sub forma:
m
d 2x
dt 2
dx
+ kx = F0 sin ωt ,
dt
(6-7.49)
dx
F
+ ω02 x = 0 sin ωt ,
dt
m
(6-7.50)
+γ
sau
d 2x
dt
2
+ 2δ
unde δ si ω0 sunt date de relatiile (6-7.26).
Solutia ecuatiei diferentiale neomogene (6-7.50) poate fi scrisa ca suma a
doi termeni: primul termen il reprezinta solutia ecuatiei omogene (fara
membrul drept), care este data de relatia (6-7.35)
x1 (t ) = A0e −δt sin( ω02 − δ 2 t + ϕ0 ) ,
16
(6-7.51)
si o solutie x2 (t ) datorata partii neomogene de forma:
x2 (t ) = A sin(ωt + ϕ ) .
(6-7.52)
Datorita faptului ca termenul x1 (t ) descrie o oscilatie amortizata el devine
zero dupa un timp suficient de lung, t > τ , iar solutia ecuatiei (6-7.50)
devine
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = x2 (t ) = A sin(ωt + ϕ ) .
(6-7.53)
Pentru t < τ iar miscarea se numeste in regim tranzitoriu, iar pentru
t > τ miscarea oscilatorie este in regim stationar. In regim stationar sistemul
oscileaza cu o frecventa ω egala cu cea a fortei de intretinere si nu cu
frecventa proprie a sistemului, ω0 .
Amplitudinea, A , si faza ,ϕ , a oscilatiei fortate se determina din
conditia ca (6-7.53) sa fie o solutie a ecuatiei (6-7.50):
− Aω 2 sin(ωt + ϕ ) + 2δωA cos(ωt + ϕ ) + Aω02 sin(ωt + ϕ ) =
F0
sin ωt
m
Dezvoltand sin(ωt + ϕ ) si cos(ωt + ϕ ) si identificand coeficientii lui
sin ωt si cos ωt din membru stang cu cei din membru drept ai relatiei,
rezulta urmatorul sistem de ecuatii :
A(ω02 − ω 2 ) cos ϕ − 2δωA sin ϕ =
F0
,
m
(6-7.54)
A(ω02 − ω 2 ) sin ϕ − 2δωA cos ϕ = 0 .
Prin rezolvarea acestui sistem rezulta pentru A siϕ urmatoarele valori:
F0
A=
m
(ω02
2 2
2
− −ω ) + 4δ ω
2
,
(6-7.55)
17
tgϕ =
2δω
ω 2 − ω02
.
(6-7.56)
Asa cum rezulta din ecuatiile (6-7.55) si (6-7.56) in regim stationar
amplitudine si faza oscilatiilor intretinute depind de raportul dintre pulsatia
ω a fortei de intretinere si pulsatia ω0 a oscilatiilor proprii ale sistemului.
Valoarea amplitudinii A este o functie de pulsatia ω a fortei de intretinere,
maximul sau fiind determinat de conditia
dA
= 0.
dω
(6-7.57)
Inlocuind in (6-7.57) expresia aplitudinii 6-7.56), obtinem ca amplitudinea
oscilatiei intretinute este maxima daca pulsatia fortei de intretinere este
ωr = ω02 − 2δ 2 .
(6-7.58)
Pulsatia ωr poarta denumirea de pulsatie de rezonanta, iar ν r = ωr 2π
se numeste frecventa de rezonanta. Fenomenul de aparitie a unui maxim de
amplitudine al oscilatiilor intretinute poarta denumire de rezonanta. Valoarea
maxima a amplitudinii se obtine inlocuind (6-7.58) in (6-7.56)
Amax = A(ωr ) =
F0
2mδ
ω02
−δ
2
.
(6-7.59)
Din relatia (6-7.59) rezulta ca maximul amplitudinii este cu atat mai mare cu
cat coeficientul de amortizare δ este mai mic, tinzand la infinit cand δ tinde
la zero. Tinand cont de expresia factorului de calitate (6-7.46), relatiile (67.58) si (6-7.59) pot fi scrise sub forma,
ω r = ω0 1 −
2
Q2
,
(6-7.60)
respectiv
18
Amax =
F0Q
2mω02 1 −
.
1
(6-7.61)
Q2
Dependenta amplitudinii (6-7.55) in functie de pulsatia ω a fortei de
intretinere pentru diferite valori ale lui Q este prezentata in figura 6-7.8.
Figura 6.7.8. Dependenta amplitudinii oscilatiei intretinute de frecventa fortei de
intretinere pentru diferite valori ale factorului de calitatea Q . Linia punctata reprezinta
dependenta frecventei de rezonanta
Q → ∞ frecventa
sistemului, ω r = ω0 .
Pentru
ωr
de factorul de calitate conform relatiei (6-7.60).
de rezonanta este egala cu frecventa propie de oscilatie a
ϕ , dintre elongatia oscilatiei
x = A sin(ωt + ϕ ) si forta externa de intretinere F = F0 sin ωt este, de
asemenea, o functie dependenta de ω , conform relatiei (6-7.56). Este usor
de observat ca pentru valori mici ale lui ω defazajul este zero, iar la
Decalajul in timp, caracterizat de unghiul
19
frecvente inalte este − π . Pentru
ω =ω 0 defazajul este egal cu −
π
2
(vezi
figura 6-7.9).
Figura 6-7.9. Defazajul ϕ dintre elongatia oscilatiei si forta externa. Valoarea negativa a
defazajului indica faptul ca elongatia este in intarziere fata de forta externa de intretinere
a oscilatiilor. De exemplu, pentru
ω =ω 0 , ϕ = −
π
2
, adica eleongatia este in urma
fortei cu un sfert de perioada.
Fenomenul de rezonanta are o larga raspandire in fizica si tehnica: rezonanta
sistemelor mecanice, circuitelor electrice, la scara atomica si moleculara, etc.
6-7.4. Compunerea oscilatiilor
Sa consideram cazul in care un corp executa simultan doua miscari
oscilatorii de forma:
x1 (t ) = A1 sin(ωt + ϕ1 ) ,
(6-7.62)
si
x2 (t ) = A2 sin(ωt + ϕ 2 ) .
(6-7.63)
20
Rezultatul suprapunerii oscilatiilor este tot o oscilatie armonica de aceiasi
frecventa . Prin urmare, oscilatia rezultanta este de forma:
x(t ) = A sin(ωt + ϕ ) .
(6-7.64)
Pentru determinare amplitudinii A si a fazei
tine cont ca
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) .
ϕ a oscilatiei rezultante vom
(6-7.65)
Din punct de vedere matematic, compunerea oscilatiilor (6-7.65) se reduce
adunarea fazorilor corespunzatori, asa cum este aratat in figura 6-7.10.
Figura 6-7.10. Reprezentarea fazoriala a oscilatiilor x1 si x2 . Oscilatia rezultanta se
obtine prin adunarea fazorilor corespunzatori dupa regula paralelogramului. Pentru
determinarea fazei initiale ϕ a oscilatiei rezultante, vectorul corespunzator a fost
descompus pe doua directii perpendiculare x − y .
Din aceasta figura rezulta imediat ca:
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ,
si
21
(6-7.66)
tgϕ =
Ay
Ax
=
A1 y + A2 y
A1x + A2 x
=
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
.
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
(6-7.67)
Conform relatiei (6-7.66), amplitudinea oscilatiei rezultante depinde de
diferenta de faza ϕ 2 − ϕ1 a oscilatiilor componente. Astfel,
A = A1 + A2 pentru ϕ 2 − ϕ1 = 2nπ ,
(6-7.68)
si
A = A1 − A2 pentru ϕ 2 − ϕ1 = (2n + 1)π .
(6-7.69)
In primul caz oscilatiile sunt in faza, iar in ultimul caz sunt in opozitie de
faza.
Este de remarcat ca daca frecventele oscilatiilor componente difera
intre ele, oscilatia rezultanta nu mai este armonica. In acest caz fazori se
rotesc cu viteze unghiulare diferite, iar diferenta de faza ϕ 2 − ϕ1 nu este
constanta in timp si, ca rezultat, amplitudinea oscilatiei rezultante (conform
relatiei (6-7.66) nu este constanta in timp.
6-7.5. Fenomenul de batai
Un caz particular de compunere al oscilatiilor este acela in care se
compun doua oscilatii de frecvente foarte apropiate intre ele, astfel incat:
ω1 ≈ ω2 ; ω1 − ω2 << ω1 sau ω2 .
(6-7.70)
Daca consideram doua oscilatii de forma x1 = A sin ω1t si x2 = A sin ω2t ,
atunci oscilatia rezultata inurma compunerii celor doua oscilatii este:
1
1
x = x1 + x2 = 2 A cos (ω2 − ω1 )t ⋅ cos (ω2 + ω1 )t ,
2
2
22
(6-7.71)
1
2
unde am tinut cont ca: sin α + sin β = 2 cos (α − β ) sin(α + β ) . Asa
cum reiese din relatia (6-7.71), oscilatia rezultanta este sinusoidala cu
1
(ω1+ω2 ) , avand insa aplitudinea lent variabila in timp cu
2
1
frecventa (ω 2 −ω1 ) . Acest fapt este ilustrat in figura 6-7.11 si el poarta
2
pulsatia
denumirea de fenomenul de batai. In acustica acest fenomen se manifesta
prin faptul ca sunetul de frecventa
1
(ω1+ω2 ) se aude succesiv intarindu-se
2
si slabindu-se cu perioada batailor:
Tb =
1
νb
=
2π
1
(ω2 − ω1 )
2
=
4π
.
ω2 − ω1
(6-7.72)
Figura 6-7.11. Fenomenul de batai: amplitudinea oscilatiei rezultante variaza periodic cu
perioada T b .
23