2Âº Bachillerato - FÃsica - Problemas PAU

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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
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–Propagación de la luz–
02/05/2015
1.–
¿Cómo es el ángulo de refracción cuando la luz pasa del aire al agua: mayor, menor o
igual que el ángulo de incidencia? Explique razonadamente la respuesta y dibuje el diagrama de
rayos.
Es menor que el de incidencia.
2.–
¿Cuál es el ángulo límite para un rayo que pasa de agua a aceite? ¿Y para un rayo que pasa
de aceite a agua? Haga un esquema de un rayo que pasa de aceite a agua con un ángulo
ligeramente inferior al ángulo límite.
9
Datos: nagua = 1,33 ;
3.–
9
9
naceite = 1,51
No tiene ; ℓ ≈ 61º 44’.
¿Cuál ha de ser la longitud de onda de un fotón para que tenga una energía de 1,0·10–17 J?
Datos: Constante de Planck: h = 6,626·10–34 J s ;
λ ≈ 20 nm.
Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
4.–
A un prisma óptico de ángulo de refringencia φ = 50º llega un rayo de luz monocromático
bajo un ángulo de incidencia de 40º. Sabiendo que el ángulo de desviación producido por el
prisma en este rayo es de 30º y que el medio que rodea al prisma es aire,
a) calcule el valor del ángulo de emergencia del citado rayo;
b) calcule el valor del índice de refracción del prisma;
c) dibuje la marcha del rayo a través del prisma.
a) i’ = 40º ; b) nr ≈ 1,52.
5.–
Al pasar un rayo luminoso del aire al agua, explique cómo cambia:
a) su velocidad y su dirección de propagación;
b) su longitud de onda y su frecuencia.
a)
vagua (= vaire naire / nagua) < vaire;
sen r (= sen i naire / nagua) < sen i
λagua (= λaire naire / nagua) < λaire; fagua = faire.
9
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
;
b)
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen i = 1,33·sen r ⇔ sen i > sen r ⇔ i > r
(dado que el ángulo debe estar entre 0º y 90º).
El diagrama está en la figura siguiente:
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,33·sen i = 1,51·sen r ⇔ sen i > sen r ⇔ i > r (dado que el ángulo
debe estar entre 0º y 90º). Por lo tanto se acerca a la normal. Al ser menor r
que i, no puede producirse la reflexión total.
Volviendo a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,51·sen ℓ = 1,33·sen 90º
sen ℓ ≈ 0,881 ⇔ ℓ = arc sen 0,881 ≈ 61º 44’.
El esquema del rayo pedido se ve en la figura:
Solución: a) Para hallar la longitud de onda que tiene el fotón, aplicamos la Ecuación de Planck:
𝐸𝐸 = ℎ 𝑓𝑓
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐 ℎ 3,00·108 m s –1 · 6,626·10–34 J s
𝜆𝜆
⇒ 𝜆𝜆 = =
=
=
≅ 2,0·10–8 m.
𝐸𝐸
𝑓𝑓
𝐸𝐸
1,0·10–17 J
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝑇𝑇
ℎ
Solución: a) El ángulo de emergencia se puede obtener aplicando:
δ = i + i’ – ϕ ⇔ i’ = δ – i + ϕ = 30º – 40º + 50º = 40º.
b) Como el ángulo de incidencia es igual al de emergencia, la desviación producida en el rayo es
la mínima. En esas condiciones:
𝜑𝜑
50o
𝑟𝑟 =
=
= 25o .
2
2
Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 40º = nr·sen 25º ⇔ nr ≈ 1,52.
También se podía haber aplicado la fórmula:
𝛿𝛿 + 𝜑𝜑
30o + 50o
sen 𝑚𝑚 2
sin
2
𝑛𝑛 =
=
≅ 1,52.
o
𝜑𝜑
50
sen 2
sin 2
c) El dibujo se ve en la figura adjunta:
Solución: a) Su velocidad disminuye puesto que el agua es más densa, ópticamente (lo que es
una combinación de su permeabilidad magnética y su coeficiente dieléctrico), en proporción
inversa a su índice de refracción. La dirección de propagación cambia de forma que se cumpla la
Segunda Ley de Snell de la refracción que se expresa matemáticamente como ni sen i = nr sen r.
𝑐𝑐
𝑛𝑛aire =
𝑐𝑐
𝑣𝑣aire 𝑛𝑛aire
𝑛𝑛aire sen 𝑖𝑖
𝑣𝑣aire
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
; sen 𝑟𝑟 =
.
𝑐𝑐
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛agua =
𝑣𝑣agua
b) La frecuencia de una radiación no cambia al cambiar de medio ya que la velocidad en la
oscilación (en términos de ciclos por segundo) ha de mantenerse. Sin embargo, la longitud de onda
sí varía siguiendo la siguiente relación:
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝑛𝑛aire =
=
=
𝜆𝜆
𝜆𝜆aire 𝑛𝑛aire
𝑣𝑣aire
𝜆𝜆aire 𝑓𝑓 𝜆𝜆aire
⇔
𝜆𝜆
=
=
.
agua
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛agua =
=
=
𝑣𝑣agua
𝜆𝜆agua 𝑓𝑓 𝜆𝜆agua
Por lo tanto disminuye ya que naire < nagua.
02/05/2015
6.–
Calcule el valor máximo del ángulo β de la figura, para que un submarinista que se
encuentra bajo el agua pueda ver una pelota que flota en la superficie. Justifique brevemente la
respuesta.
9
Datos: Velocidad de la luz en el agua, vagua = 2,3·108 m s–1 ;
8
–1
vaire = 3,00·10 m s
β ≈ 50º.
7.–
9
9
Velocidad de la luz en el aire:
Calcule la frecuencia de una onda de radio que posee 30 m de longitud de onda.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
f = 10 MHz.
8.–
Calcule la velocidad de propagación de un rayo de luz monocromática en un determinado
medio sabiendo que el ángulo límite de reflexión total cuando la luz pasa del medio al aire es de
30°.
Datos: naire = 1,0 ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
v = 150 Mm s–1.
9.–
Complete los espacios correctamente.
El espectro electromagnético se divide en ____________________ por la frecuencia. Los rayos
__________________________ se dividen en torno a tres bandas: UVA, UVB y UVC. La luz solar
contiene radiación de estas bandas. La de (mayor/menor) energía es absorbida por la capa
9
de ozono y el oxígeno de la atmosfera. Los rayos ____________________ procedentes del Sol
Solución: El ángulo límite (o ángulo de reflexión total) es el ángulo para el que se produce la
reflexión total cuando un rayo llega a la superficie de separación entre dos medios transparentes
desde el lado con mayor índice de refracción, esto es, que no puede refractarse por tener que
hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo que es imposible). Si el valor es ligerísimamente inferior
a 90º el rayo prácticamente se mueve por la superficie de separación entre ambos medios, hasta que
incide realmente en la separación y se refleja hacia el interior del agua donde nos encontramos, por
lo que veríamos la pelota. De todas formas el rayo no puede "viajar" estrictamente por la superficie
de separación entre ambos medios ya que no podríamos justificar que, de repente, se difracte.
El valor del ángulo, por tanto, aplicando nagua = c / vagua, será ligerísimamente inferior a:
nagua sen β = naire sen 90º ⇔ sen β·3,00·108 m s–1 / 2,3·108 m s–1 = 1·1 ⇔ β ≈ 50º.
Solución: De la expresión de la velocidad de propagación de una onda:
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
⇔ 𝑓𝑓 = =
= 1,0·107 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆
30 m
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción y la definición de índice de refracción:
𝑛𝑛 sen ℓ = 𝑛𝑛aire sen 90o
𝑐𝑐 sen ℓ 3,00·108 m s –1 · sen 30o
𝑐𝑐
⇔ 𝑣𝑣medio =
=
= 1,50·108 m s–1 .
𝑛𝑛 =
𝑛𝑛aire
1
𝑣𝑣medio
Solución: El espectro electromagnético se divide en bandas por la frecuencia. Los rayos
ultravioletas se dividen en torno a tres bandas: UVA, UVB y UVC. La luz solar contiene radiación
de estas bandas. La de mayor energía es absorbida por la capa de ozono y el oxígeno de la
atmosfera. Los rayos UVA procedentes del Sol provocan el bronceado y los rayos UVB queman la
piel.
provocan el bronceado y los rayos ____________________ queman la piel.
bandas ; ultravioletas ; mayor (UVC) ; UVA ; UVB.
10.–
Considere el dispositivo óptico esquematizado en la figura, formado por dos prismas
idénticos de índice de refracción 1,65, con bases biseladas a 45º y ligeramente separados. Se
hace incidir un rayo láser perpendicularmente a la cara A del dispositivo. Razone si existirá luz
emergente por la cara B, en los siguientes casos:
a) El espacio separador entre los prismas es aire (n = 1,00).
b) El espacio separador entre los prismas es agua (n = 1,33).
Nota: realice en ambos apartados el correspondiente diagrama de la marcha de rayos.
a) No hay rayo emergente ; b) Sí hay rayo emergente.
9
11.–
Considérese un haz de luz monocromática, cuya longitud de onda en el vacío es
λ = 600 nm. Este haz incide, desde el aire, sobre la pared plana de vidrio de un acuario con un
9
ángulo de incidencia de 30°. Determine:
a) el ángulo de refracción en el vidrio, sabiendo que su índice de refracción es n1 = 1,50;
b) la longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de refracción es
n2 = 1,33.
Datos: Índice de refracción del aire n = 1
a) r ≈ 19º 28’ ; b) λagua ≈ 451 nm.
Solución: El rayo incide perpendicularmente en el primer prisma por lo que se refractará sin
desviación y seguirá un camino horizontal por el interior del prisma. Al llegar a la superficie de
separación entre el primer prisma y el espacio entre los prismas se produce un fenómeno de
refracción con un ángulo de incidencia de 45º (se puede comprobar aplicando trigonometría).
a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖
1,65 · sen 45o
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛aire sen 𝑟𝑟 ⇔ 𝑟𝑟 = arc sen
= arc sen
⇒ 𝑟𝑟 no existe.
𝑛𝑛aire
1,00
No existe el ángulo por obtenerse un seno mayor que la unidad, lo que es
imposible. Por lo tanto el rayo no puede refractarse y se produce la reflexión
total. No hay por tanto ningún rayo emergente en la cara B.
b) Aplicando otra vez la 2ª Ley de Snell para la refracción:
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖
1,65 · sen 45o
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛agua sen 𝑟𝑟 ⇔ 𝑟𝑟 = arc sen
= arc sen
≅ 61o 19’.
𝑛𝑛agua
1,33
El rayo se refracta pasando al agua (el rayo sigue una dirección y
sentido por debajo de la horizontal ya que r > 45º). Posteriormente se
va a volver a refractar (y también una parte se refleja) entrando en el
segundo prisma donde se mantiene con un ángulo de 45º sobre la
superficie de separación (o sea, horizontal). Posteriormente incide perpendicularmente en la cara B
y sale al exterior, por lo que sí existe rayo emergente.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,50·sen r ⇔ sen r ≈ 0,333 ⇔ r ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
b) La longitud de onda se puede calcular como:
1m
600 nm · 9
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
10 nm ≅ 4,51·10–7 m.
=
=
⇔ 𝜆𝜆agua =
=
𝑛𝑛2 =
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛2
1,33
12.–
9
9
02/05/2015
Determine el ángulo crítico para reflexión total entre el agua y el aire.
Datos: Índice de refracción del agua = 1,33
ℓagua ≈ 48º 45’.
13.–
Determine el ángulo límite para la luz que pasa del vidrio al agua, cuyos índices de
refracción son 1,54 y 1,33, respectivamente.
ℓ ≈ 59º 44’.
14.–
El ángulo de desviación mínima en un prisma óptico es de 30º. Si el ángulo del prisma es
de 50º y éste está situado en el aire, determine:
a) el ángulo de incidencia para que se produzca la desviación mínima del rayo.
b) el índice de refracción del prisma.
a) i = 40º ; b) nr ≈ 1,52.
9
9
15.–
El ángulo límite de reflexión total para un rayo de luz monocromática que pasa de un
determinado medio al aire es 42°. Calcule la velocidad de propagación de la luz en el medio.
Datos: naire = 1,0 ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
v ≈ 201 Mm s–1.
16.–
El ángulo límite vidrio–agua es de 60º. Un rayo de luz, que se propaga por el vidrio, incide
sobre la superficie de separación con un ángulo de 45º y se refracta dentro del agua.
a) Explique qué es el ángulo límite y determine el índice de refracción del vidrio.
b) Calcule el ángulo de refracción en el agua.
9
Datos: Índice de refracción del agua na = 1,33
a) Ángulo para el que se produce la reflexión total; nvidrio ≈ 1,54 ; b) r = 54º 44’.
9
17.–
El depósito de la figura, cuyo fondo es un espejo, se encuentra parcialmente relleno con un
aceite de índice de refracción naceite =1,45. En su borde se coloca un láser que emite un rayo
luminoso que forma un ángulo α = 45º con la vertical.
a) Trace el rayo luminoso que, tras reflejarse en el fondo del depósito, vuelve a emerger al
aire. Determine el valor del ángulo que forma el rayo respecto a la vertical en el interior del
aceite.
b) Calcule la posición del punto en el que el rayo alcanza el espejo.
a) β ≈ 29º 11’ ; b) ℓ ≈ 6,2 dm.
18.–
9
El espectro visible contiene frecuencias entre 4,0·1014 Hz y 7,0·1014 Hz.
a) Determine las longitudes de onda correspondientes a dichas frecuencias en el vacío.
b) ¿Se modifican estos valores de las frecuencias y de las longitudes de onda cuando la luz se
propaga por el agua? En caso afirmativo, calcule los valores correspondientes.
Datos: Índice de refracción del agua respecto al aire: n = 1,3 ; c = 3,00·108 m s–1
a) λ1 = 0,75 μm; λ2 ≈ 0,43 μm ;
λ’2 ≈ 0,33 μm.
b) Las frecuencias no
varían; λ’1 ≈ 0,58 μm ;
Solución: La condición de reflexión total (el ángulo límite o crítico es el ángulo mínimo para el
que se produce la reflexión total) es:
ni sen ℓagua = nr sen 90º ⇔ 1,33·sen ℓagua = 1·1 ⇔ ℓagua ≈ 48º 45’.
𝑛𝑛agua sen 90o
𝑛𝑛agua
o
𝑛𝑛vidrio sen ℓ = 𝑛𝑛agua sen 90 ⇔ ℓ = arc sen
= arc sen
𝑛𝑛vidrio
𝑛𝑛vidrio
𝑛𝑛agua
1,33
ℓ = arc sen
= arc sen
≅ arc sen 0,864 ≅ 59o 44′.
𝑛𝑛vidrio
1,54
Solución: a) El ángulo de incidencia que produce la desviación mínima (i = i’) se puede obtener
aplicando:
δ + 𝜑𝜑 30o + 50o
δmin = 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖’ – ϕ = 2 𝑖𝑖 – ϕ ⇔ 𝑖𝑖 = min
=
= 40o .
2
2
b) Calculamos r con la fórmula:
𝜑𝜑 50o
𝑟𝑟 = =
= 25o .
2
2
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen 40º = nr·sen 25º ⇔ nr ≈ 1,52.
También se podía haber aplicado la fórmula:
𝛿𝛿
+ 𝜑𝜑
30o + 50o
sen min2
sen
2
𝑛𝑛r =
=
≅ 1,52.
o
𝜑𝜑
50
sen 2
sen 2
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción y la definición de índice de refracción:
𝑛𝑛 sen ℓ = 𝑛𝑛aire sen 90o
𝑐𝑐 sen ℓ 3,00·108 m s –1 · sen 42o
𝑐𝑐
⇔ 𝑣𝑣medio =
=
≅ 2,01·108 m s –1 .
𝑛𝑛 =
𝑛𝑛aire
1,0
𝑣𝑣medio
Solución: a) El ángulo límite es el ángulo mínimo para el que se produce la reflexión total
cuando un rayo llega a la superficie de separación entre dos medios transparentes desde el lado con
mayor índice de refracción, esto es, que no puede refractarse por tener que hacerlo con un ángulo
de 90º o mayor (lo que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio de mayor índice de
refracción.
La condición de reflexión total es:
ni sen ℓvidrio = nr sen 90º ⇔ nvidrio·sen 60º = 1,33·1 ⇔ nvidrio ≈ 1,54.
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,54·sen 45º = 1,33·sen r ⇔ sen r ≈ 0,816 ⇔ r ≈ arc sen 0,816 ≈ 54º 44’.
Solución: a) Ver la figura.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
b) La distancia a la que el rayo alcanza el espejo se calcula por trigonometría.
El rayo incide en el aceite 40 cm a la derecha de la vertical del generador láser (por ser ángulos
de 45º los dos catetos son iguales) y luego avanza hacia la derecha una distancia d que es:
𝑑𝑑
tg 𝛽𝛽 =
⇒ 𝑑𝑑 = ℎ tg 29o 11’ ≅ 0,40 m · 0,559 ≅ 0,22 m.
ℎ
El rayo alcanza al espejo 62 cm a la derecha del emisor láser.
Solución: a) Aplicando la relación:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
3,00·108 m s–1
–7
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆 = ; 𝜆𝜆1 =
= 7,5·10 m ; 𝜆𝜆2 =
≅ 4,3·10–7 m.
𝑇𝑇
𝑓𝑓
4,0·1014 s –1
7,0·1014 s–1
b) Las frecuencias no pueden cambiar cuando se cambia de medio, porque es el estado de
vibración de las ondas, pero las longitudes de onda sí, ya que varía la velocidad de propagación en
cada medio. Por tanto:
𝑐𝑐 𝜆𝜆 𝑓𝑓 𝜆𝜆
𝜆𝜆1 7,5·10–7 m
𝜆𝜆2 4,3·10–7 m
𝑛𝑛 = = ’ = ⇔ 𝜆𝜆′1 =
=
≅ 5,8·10–7 m ; 𝜆𝜆′2 =
≅
≅ 3,3·10–7 m.
𝑣𝑣 𝜆𝜆 𝑓𝑓 𝜆𝜆’
𝑛𝑛
1,3
𝑛𝑛
1,3
02/05/2015
19.–
El espectro visible en el aire está comprendido entre las longitudes de onda 380 nm
(violeta) y 780 nm (rojo).
a) Calcule las frecuencias de estas radiaciones extremas. ¿Cuál de ellas se propaga a mayor
velocidad?
b) Determine entre qué longitudes de onda está comprendido el espectro visible del agua, cuyo
índice de refracción es 4/3.
9
9
a) fv ≈ 789 THz; fr ≈ 385 THz ; b) λv = 285 nm; λr = 585 nm.
20.–
El esquema de la figura representa un montaje utilizado en el laboratorio para una práctica
de óptica. Un rayo luminoso incide desde el aire con ángulo θ1 sobre la cara superior de una
lámina de vidrio de índice de refracción n, y parte de la luz se refleja en la superficie formando
un ángulo θ2, mientras que otra parte se refracta formando un ángulo θ3. Conteste a las
siguientes preguntas:
a) El ángulo θ2, ¿es mayor, menor o igual que θ1? ¿Por qué?
b) ¿Está justificado que en el esquema se represente el ángulo θ3 menor que θ1, o por el
contrario debería haberse dibujado θ3 mayor que θ1? Explique la respuesta.
c) El índice de refracción del vidrio es n = 1,5925 y el ángulo θ3 = 20º exactos. Calcule el
ángulo θ1 con el que incidió el rayo procedente del aire.
Solución: a) De la expresión de la velocidad de propagación de una onda:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓v = =
≅ 7,89·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆v 380 nm · 1 m
109 nm
8
–1
𝑐𝑐
3,00·10 m s
𝑓𝑓r = =
≅ 3,85·1014 Hz.
𝜆𝜆r 780 nm · 1 m
109 nm
La velocidad de propagación de cualquier onda electromagnética en el aire es la misma, c
(realmente sucede para el vacío), por lo que no varía.
b) Ahora aplicamos la expresión del índice refracción del agua, para obtener las longitudes de
onda extremas:
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝑐𝑐
𝑛𝑛 =
=
=
𝑣𝑣agua 𝜆𝜆agua 𝑓𝑓 𝜆𝜆agua
𝜆𝜆v 380 nm
𝜆𝜆r 780 nm
𝜆𝜆agua v = =
= 285 nm ; 𝜆𝜆agua r = =
= 585 nm.
4
4
𝑛𝑛
𝑛𝑛
3
3
Solución: a) El ángulo θ2 es igual al ángulo θ1, lo que cumple la Segunda Ley de Snell de la
reflexión [i = r].
b) El ángulo θ3 ha de ser, con seguridad, menor que el ángulo θ1 porque el rayo pasa del aire
(medio que tiene un índice de refracción igual al del vacío –es ligeramente superior pero
habitualmente se toma como igual–) a un vidrio que tiene un índice mayor (ya que el del vacío es el
menor índice de refracción que existe).
c) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,0003 · sen i = 1,5925 · sen 20º ⇔ sen i = 1,5925 · sen 20º
sen i = 0,5445 ⇔ i = arc sen 0,5445 ≈ 32º 59’.
Datos: naire ≈ 1,0003
9
a) Es igual; el ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales ; b) θ3 < θ1 ; Por ser n > naire
; c) i ≈ 32º 59’.
21.–
El índice de refracción del diamante es de 2,50 y el índice de refracción de la glicerina es
de 1,47.
a) Halle el ángulo límite entre el diamante y la glicerina.
b) Si la glicerina se sustituye por agua, con índice de refracción 1,33, halle el nuevo ángulo
límite.
c) Explique brevemente el concepto de ángulo límite y el funcionamiento de la fibra óptica.
a) ℓ ≈ 36º 1’ ; b) ℓ ≈ 32º 8’ ; c) ángulo para el que un rayo no sale del medio por el que va;
es un cable transparente de índice de refracción elevado por el que se envían rayos de luz con
información que avanza por el cable sin salirse por producirse el fenómeno de la reflexión total
cada vez que el rayo incide en la superficie de separación entre el cable y el protector de éste.
𝑛𝑛glicerina sen 90o
𝑛𝑛glicerina
𝑛𝑛diamante sen ℓ = 𝑛𝑛glicerina sen 90o ⇔ ℓ = arc sen
= arc sen
𝑛𝑛diamante
𝑛𝑛diamante
1,47
ℓ = arc sen
≅ arc sen 0,588 ≅ 36o 1′.
2,50
b) Volviendo a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción:
𝑛𝑛agua
𝑛𝑛diamante sen ℓ = 𝑛𝑛agua sen 90o ⇔ ℓ = arc sen
= arc sen
𝑛𝑛diamante
𝑛𝑛diamante
1,33
ℓ = arc sen
≅ arc sen 0,532 ≅ 32o 8′.
2,50
c) El ángulo límite (o ángulo de reflexión total) es el ángulo mínimo para el que se produce la
hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio
de mayor índice de refracción. Una fibra óptica es un hilo transparente (de un medio con un índice
de refracción mayor que el de su entorno) a lo largo del cual puede propagarse la luz, sin salir al
exterior por incidir el rayo con un ángulo en la superficie interna del hilo que le impide "salir" por
reflexión total.
9
02/05/2015
22.–
El láser de un reproductor de CD genera luz con una longitud de onda de 780 nm medida
en el aire.
a) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en el plástico del CD y calcule la
velocidad de la luz en él.
b) Si la luz láser incide en el plástico con un ángulo de 30º, determine el ángulo de refracción.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1 ;
naire = 1,00 ; nplástico = 1,55
a) No cambian la frecuencia (el periodo y la pulsación) y la amplitud; varían la longitud de
onda y la velocidad; vplástico ≈ 194 Mm s–1 ; b) r ≈ 18º 49’.
23.–
En cada reacción de fusión nuclear en el Sol se emiten 26,7 MeV en forma de 6 fotones de
radiación gamma. Calcule la frecuencia de dicha radiación.
9
Datos: Constante de Planck: h = 6,626·10–34 J s ;
fγ ≈ 1,08 ZHz.
1 eV = 1,602·10–19 J
24.–
En el laboratorio del instituto se han medido los siguientes ángulos de refracción cuando
un haz luminoso incide desde el aire (naire = 1,00) hacia un superficie de un vidrio cuyo índice de
refracción pretendemos determinar. Calcule el índice de refracción de dicho vidrio. ¿Qué ley
física ha tenido en cuenta para calcular el índice de refracción?
9
Experiencia
1
2
3
4
Ángulo de incidencia
20º
29º
40º
50º
Ángulo de refracción
14º
20º
26º
31º
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción y haciendo la media: nr ≈ 1,45.
25.–
un haz luminoso incide desde el aire (naire = 1) hacia un superficie de un vidrio cuyo índice de
refracción pretendemos determinar. Calcule el índice de refracción de dicho vidrio. ¿Qué ley
9
Experiencia
1
2
3
4
19º
30º
40º
49º
12º
19º
24º
29º
nr ≈ 1,56 ; Hemos aplicado la 2ª Ley de Snell de la refracción.
26.–
un haz luminoso incide desde el aire (naire = 1,00) hacia una superficie de un vidrio cuyo índice
de refracción pretendemos determinar. Calcule el índice de refracción de dicho vidrio. ¿Qué ley
9
Experiencia
1
2
3
4
30º
35º
40º
50º
20º
24º
26º
32º
nr ≈ 1,45 ; Hemos aplicado la 2ª Ley de Snell de la refracción.
Solución: a) Una onda electromagnética, cuando cambia de medio, mantiene sin variar su
amplitud y su frecuencia, ya que son inherentes a la onda y no pueden variar. Sin embargo, las
cualidades que sí dependen sólo del medio en el que estemos (la velocidad, la longitud de onda) sí
varían.
De la expresión de la velocidad de propagación y de la de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
⇔ 𝑣𝑣plástico =
=
≅ 1,94·108 m s–1 .
𝑛𝑛plástico =
𝑣𝑣plástico
𝑛𝑛plástico
1,55
Solución: Como la energía que emite la reacción de fusión es en forma de 6 fotones, calculamos
la energía que tiene cada fotón. Posteriormente aplicamos la Ecuación de Planck para calcular la
frecuencia:
106 eV 1,602·10–19 J
26,7
MeV
·
𝐸𝐸
1 MeV ·
1 eV
𝐸𝐸 = 𝑛𝑛 ℎ 𝑓𝑓 ⇒ 𝑓𝑓 =
=
≅ 1,08·1021 Hz.
–34
𝑛𝑛 ℎ
6 · 6,626·10 J s
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los cuatro casos:
Haciendo la media nos queda que:
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r i 1,41 + 1,42 + 1,47 + 1,49
≅
≅ 1,45.
𝑛𝑛�r =
𝑛𝑛
4
Haciendo la media nos queda que: nr = 1,56.
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r 𝑖𝑖 1,57 + 1,54 + 1,58 + 1,56
𝑛𝑛�r =
≅
≅ 1,56.
𝑛𝑛
4
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r 𝑖𝑖 1,46 + 1,41 + 1,47 + 1,45
𝑛𝑛�r =
≅
≅ 1,45.
𝑛𝑛
4
27.–
02/05/2015
En la tabla adjunta se da la velocidad de la luz en tres materiales distintos.
a) Ordene sus índices de refracción de mayor a menor.
b) Si un rayo de luz de frecuencia f que proviene del aire incide sobre la superficie mojada de
un diamante, atravesando los tres materiales, ¿en cuál de ellos será mayor su longitud de
onda? Ordénelas de mayor a menor.
Medio material
Velocidad (km/s)
1
Agua
2,24·105
2
Diamante
1,24·105
3
Aire
2,99·105
9
9
b) λaire > λagua > λdiamante.
28.–
En las auroras boreales la atmósfera emite luz de 557,7 nm. ¿Cuánto vale la energía de un
fotón de esa luz?
Datos: Constante de Planck: h = 6,626·10–34 J s ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 2,998·108 m s−1
E ≈ 356,2 zJ.
29.–
En tres experimentos independientes, un haz de luz de frecuencia f =1,00·1015 Hz incide
desde cada uno de los materiales de la tabla sobre la superficie de separación de éstos con el
aire, con un ángulo de incidencia de 20º, produciéndose reflexión y refracción.
9
9
3,00·108 m s–1
=
≅ 1,00
𝑛𝑛aire =
𝑣𝑣aire 2,99·105 km s –1 · 103 m km–1
El orden pedido es ndiamante > nagua > naire, que es exactamente el inverso de las velocidades de la
luz en dichos medios.
b) Aplicando ahora la expresión de la velocidad de una onda a cada uno de los medios y al
vacío:
𝜆𝜆medio
𝑣𝑣medio
= 𝜆𝜆medio 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆medio =
𝑣𝑣medio =
𝑇𝑇
𝑓𝑓
Dado que la frecuencia es la misma en todos los medios (al ser una característica intrínseca a la
onda) las longitudes de onda son directamente proporcionales a las velocidades por lo que será
mayor aquella en la que la luz vaya a mayor velocidad por lo que el orden pedido es:
λaire > λagua > λdiamante.
Solución: La energía se obtiene de la expresión de Planck:
ℎ 𝑐𝑐 6,626·10–34 J s · 2,998·108 m s –1
𝜆𝜆
⇒ 𝐸𝐸 =
=
≅ 3,562·10–19 J ≅ 2,223 eV.
1
m
𝜆𝜆
557,7 nm · 9
𝑇𝑇
10 nm
Solución: Teniendo en cuenta que la luz, según el enunciado, pasa de los medios al aire:
a) Por la 2ª Ley de Snell para la reflexión, los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, por
lo que el ángulo de reflexión es independiente de la naturaleza de los distintos materiales.
b) De la expresión de la velocidad de propagación y de la de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛medio =
⇔ 𝑣𝑣medio =
.
𝑣𝑣medio
𝑛𝑛medio
La velocidad de propagación de la luz en un medio transparente es inversamente proporcional al
índice de refracción de dicho medio, por lo que será menor en el diamante (n es el mayor).
ndiamante sen i = na sen r ⇔ 2,42·sen 20,0º = 1·sen r ⇔ sen r ≈ 0,828 ⇔ r ≈ 55º 52’.
c) Aplicando el concepto de velocidad de una onda y teniendo en cuenta que la frecuencia es una
de las características fundamentales de las ondas y que no varía con el medio:
𝑐𝑐
𝜆𝜆medio
𝑣𝑣medio
𝑐𝑐
𝑛𝑛medio
𝑣𝑣medio =
= 𝜆𝜆medio 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆medio =
=
=
.
𝑇𝑇
𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑛𝑛medio 𝑓𝑓
La longitud de onda es inversamente proporcional al índice de refracción del medio por lo que
será mayor en el medio con menor índice de refracción (el agua). Se cumplirá que:
na sen i = nagua sen r ⇔ 1,33·sen 20,0º = 1·sen r ⇔ sen r ≈ 0,455 ⇔ r = 27º 3’.
d) La reflexión total se produce cuando nm sen i ≥ na sen 90º ⇔ sen i ≥ na / nm. Los ángulos
límite serán:
sen ℓdiamante = na / ndiamante = 1 / 2,42 ≈ 0,413 ⇒ ℓdiamante ≈ 24º 24’.
sen ℓcuarzo = na / ncuarzo = 1 / 1,46 ≈ 0,685 ⇒ ℓcuarzo ≈ 43º 14’.
sen ℓagua = na / nagua = 1 / 1,33 ≈ 0,752 ⇒ ℓagua ≈ 48º 45’.
Por lo tanto, sólo se produce en el caso del diamante.
Solución: La energía asociada a una frecuencia (Planck) vale:
𝐸𝐸
2,0·10–15 J
𝐸𝐸 = ℎ 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 3,0·1018 Hz
ℎ 6,63·10–34 J s
𝜆𝜆
𝜆𝜆 𝐸𝐸
𝑐𝑐 ℎ 3,00·108 m s –1 · 6,63·10–34 J s
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 =
⇔ 𝜆𝜆 =
=
≅ 9,9·10–11 m.
𝑇𝑇
ℎ
𝐸𝐸
2,0·10–15 J
𝑐𝑐
a) ndiamante > nagua > naire ;
Solución: a) De la expresión de la velocidad de propagación y de la de índice de refracción:
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛agua =
=
≅ 1,34
𝑣𝑣agua 2,24·105 km s –1 · 103 m km–1
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛medio =
⇔ 𝑛𝑛agua =
=
≅ 2,42
𝑣𝑣medio
𝑣𝑣agua 1,24·105 km s –1 · 103 m km–1
Material
Diamante
Cuarzo
Agua
Índice de refracción
2,42
1,46
1,33
a) ¿Depende el ángulo de reflexión del material? Justifique la respuesta.
b) ¿En qué material la velocidad de propagación de la luz es menor? Determine en este caso el
ángulo de refracción.
c) ¿En qué material la longitud de onda del haz de luz es mayor? Determine en este caso el
ángulo de refracción.
d) Si el ángulo de incidencia es de 30,0º, ¿se producirá el fenómeno de reflexión total en
alguno(s) de los materiales?
a) No, aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión: i = r ; b) En el diamante: r ≈ 55º 52’ ;
c) En el agua: r ≈ 27º 3’ ; d) Solo en el caso del diamante, ya que su ángulo límite es 24º 24’ el
único que está por debajo de 30º. (El enunciado, por tanto, debería poner pudiendo producirse
reflexión y refracción).
30.–
En un átomo, un electrón pasa de un nivel de energía a otro nivel inferior. Si la diferencia
de energías es de 2,0·10–15 J, determine la frecuencia y la longitud de onda de la radiación
emitida.
Datos: Constante de Planck: h = 6,63·10–34 J s ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
f ≈ 3,0 EHz ; λ ≈ 99 pm.
02/05/2015
31.–
En un laboratorio de investigación se han medido los siguientes ángulos de refracción
cuando un haz luminoso incide desde el agua (nagua = 1,33) hacia un superficie de un material
transparente desconocido cuyo índice de refracción pretendemos determinar. Calcule el índice
de refracción de dicho material. ¿Qué ley física ha tenido en cuenta para calcular el índice de
refracción?
9
Experiencia
1
2
3
4
18º
26º
35º
44º
14º
20º
27º
33º
a) nr ≈ 1,69 ; b) La 2ª Ley de Snell para la refracción.
32.–
En un laboratorio se han medido los siguientes ángulos de refracción cuando un haz
luminoso incide desde el agua hacia el aire (naire = 1,00). De acuerdo con las mediciones
realizadas responda a las siguientes cuestiones.
a) Determine el índice de refracción del agua.
b) ¿A qué llamamos ángulo límite? Determínelo en base a la tabla adjunta.
c) ¿Qué condiciones deben cumplir los medios para que se produzca la reflexión total?
9
Experiencia
1
2
3
4
20º
30º
40º
48º
26º
43º
63º
90º
a) ni ≈ 1,34 ; b) Ángulo para el que se produce la reflexión total; ℓ = 48º (en la tabla);
ℓ ≈ 48º 16’ (con la media) ; c) Que ni > nr.
9
33.–
Explique el fenómeno de la reflexión total. Calcule el ángulo límite cuando la luz pasa de
un medio con índice de refracción de n = 1,7 al aire (n’ = 1,0).
a) Teoría ; b) ℓ ≈ 36º 2’.
9
34.–
Explique el fenómeno de la reflexión total. Calcule el ángulo límite cuando la luz pasa de
un medio con índice de refracción n = 1,5 al aire (n’ = 1,0).
a) Teoría ; b) ℓ ≈ 41º 49’.
35.–
La figura muestra un rayo de luz que avanza por el aire y se encuentra con un bloque de
vidrio. La luz en parte se refleja y en parte se refracta. Calcule la velocidad de la luz en este
vidrio y su índice de refracción.
Datos: naire = 1 ;
9
vvidrio ≈ 205 Mm s–1 ; nvidrio ≈ 1,46.
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r i 1,70 · 3 + 1,68
𝑛𝑛�r =
≅
≅ 1,69.
4
𝑛𝑛
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los cuatro casos:
ni sen i = nr sen r ⇔ ni·sen 20º = 1,00·sen 26º ⇔ ni ≈ 1,28.
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r i 1,28 + 1,36 + 1,39 + 1,35
𝑛𝑛�r =
≅
≅ 1,34.
𝑛𝑛
4
b) El ángulo límite es el ángulo mínimo para el que se produce la reflexión total cuando un rayo
llega a la superficie de separación entre dos medios transparentes desde el lado con mayor índice de
refracción, esto es, que no puede refractarse por tener que hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo
que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio de mayor índice de refracción.
ℓ = 48º (leído en la tabla, Experiencia 4). Si lo hacemos con la media nos daría:
ni sen ℓagua = nr sen 90º ⇔ 1,34·sen ℓagua = 1·1 ⇔ ℓagua ≈ 48º 16’.
c) Que el medio por el que se propaga la onda tenga mayor índice de refracción que el medio al
que intenta pasar la onda (o que la onda se propague a menor velocidad en el medio en el que está
frente a la velocidad que tendría en el otro medio).
Solución: a) El ángulo límite (o ángulo de reflexión total) es el ángulo mínimo para el que se
produce la reflexión total cuando un rayo llega a la superficie de separación entre dos medios
transparentes desde el lado con mayor índice de refracción, esto es, que no puede refractarse por
tener que hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo que es imposible). El rayo “queda atrapado” en
el medio de mayor índice de refracción. La condición de reflexión total es:
n sen ℓ = n’ sen 90º ⇔ 1,7·sen ℓ = 1,0·1 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,588 ≈ 36º 2’.
el medio de mayor índice de refracción. La condición mínimo ángulo de reflexión total es:
n sen ℓ = n’ sen 90º ⇔ 1,5·sen ℓ = 1,0·1 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,667 ≈ 41º 49’.
Solución: Viendo la figura, se puede deducir que el ángulo de incidencia, que coincide con el
ángulo reflejado (2ª Ley de Snell para la reflexión) vale: 90º – 60º = 30º. Hay que tener en cuenta
que el ángulo de incidencia se mide con respecto a la normal y no con respecto a la superficie.
De la misma manera, el ángulo reflejado vale: 90º – 70º = 20º.
naire sen i = nvidrio sen r ⇔ 1·sen 30º = nvidrio·sen 20º ⇔ nvidrio ≈ 1,46.
De la expresión de la velocidad de propagación de una onda y de la de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛vidrio =
⇔ 𝑣𝑣vidrio =
=
≅ 2,05·108 m s–1 .
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,46
02/05/2015
36.–
Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas, aproximadamente, entre
390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo. ¿Qué intervalo aproximado de energías, en eV,
corresponde a los fotones del espectro visible?
9
Datos: Constante de Planck: h = 6,626·10–34 J s ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1 ;
–19
–9
1 eV = 1,602·10 J ; 1 nm = 10 m
Entre 1,68 eV (rojo) y 3,18 eV (violeta).
9
37.–
Los brotes de rayos gamma son destellos de muy alta energía cuyo origen se atribuye a la
formación de un agujero negro por colapso gravitatorio de una estrella de gran masa. Los
fotones de uno de estos brotes detectados en la Tierra tienen una longitud de onda
1,9878·10−2 m. Determine su energía y compárela con la energía de un láser de luz visible cuya
frecuencia es 6,036·1014 Hz.
Datos: Constante de Planck: h = 6,6261·10–34 J s ; Velocidad de la luz en el vacío:
8
−1
c = 2,9979·10 m s
9
9
9
E ≈ 99,93 fJ ; ERayos γ ≈ 2,500·105 Evisible.
38.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Los Rayos X, la luz visible y los rayos infrarrojos son radiaciones electromagnéticas.
Ordénelas en orden creciente de sus frecuencias e indique algunas diferencias entre ellas.
b) ¿Qué es una onda electromagnética? Explique sus características.
a) finfrarrojos < fvisible < fRayos X. Más energéticos los últimos, atraviesan barreras (la piel) que los
otros no pueden ; b) Interacción autoportante entre un campo magnético y uno eléctrico (ambos
variables) que se propaga a la velocidad de la luz.
39.–
a) Describa brevemente el modelo corpuscular de la luz. ¿Puede explicar dicho modelo los
fenómenos de interferencia luminosa?
b) Dos rayos de luz inciden sobre un punto. ¿Pueden producir oscuridad? Explique
razonadamente este hecho.
a) La luz es un chorro de partículas. No ; b) Sí, si las dos ondas coinciden en oposición de
fase.
40.–
a) Las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío con velocidad c. ¿Cambia su
velocidad de propagación en un medio material? Defina el índice de refracción de un medio.
b) Sitúe, en orden creciente de frecuencias, las siguientes regiones del espectro
electromagnético: infrarrojo, Rayos X, ultravioleta y luz visible. Dos colores del espectro
visible: rojo y verde, por ejemplo, ¿pueden tener la misma intensidad? ¿y la misma
frecuencia?
a) Sí; ni vi = c ; b) finfrarrojos < fvisible < fultravioleta < fRayos X. La misma intensidad, sí; la misma
amplitud, también; la misma frecuencia es imposible; es la cualidad que define los colores.
41.–
9
a) ¿Cuál es la longitud de onda de una estación de radio que emite con una frecuencia de
100 MHz?
b) Si las ondas emitidas se propagaran por el agua, razone si tendrían la misma frecuencia y la
misma longitud de onda. En el caso de que varíe alguna de estas magnitudes, determine su
valor.
Datos: Velocidad de la luz en el aire: c = 3,00·108 m s–1 ;
a) λaire = 3,00 m ;
b) λagua ≈ 2,31 m.
nagua / naire = 1,3
Solución: Aplicando la Ecuación de Planck y la de velocidad de propagación de una onda:
ℎ 𝑐𝑐 6,626·10–34 J s · 3,00·108 m s –1
1 eV
𝐸𝐸v =
=
·
≅ 3,18 eV
1
m
𝜆𝜆v
1,602·10–19 J
390 nm · 9
10 nm
𝑐𝑐 ⇒
–34
𝑐𝑐 = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 =
ℎ 𝑐𝑐 6,626·10 J s · 3,00·108 m s–1
1 eV
𝜆𝜆
𝐸𝐸r =
=
·
≅ 1,68 eV.
1
m
𝜆𝜆r
1,602·10–19 J
740 nm · 9
10 nm
Solución: La energía se obtiene de la expresión de Planck:
ℎ 𝑐𝑐 6,6261·10–34 J s · 2,9979·108 m s–1
𝜆𝜆
⇒ 𝐸𝐸Rayos γ =
=
≅ 9,993·10–14 J.
𝜆𝜆
1,9878·10–12 m
𝑇𝑇
La energía del láser de luz visible es:
Evisible = h f = 6,6261·10–34 J s·6,036·1014 Hz ≈ 4,000·10–19 J.
Por tanto la energía de los rayos gamma es unas 250 000 veces mayor que la de la luz visible.
Solución: a) A mayor frecuencia, mayor cercanía a los rayos γ, los más energéticos (E = h f), por
lo que el orden será: finfrarrojos < fvisible < fRayos X. Los Rayos X son muy energéticos y atraviesan
barreras como la piel o incluso los músculos, por lo que nos sirven para “ver” los huesos, que sí son
opacos a los rayos. El visible es menos energético, pero menos aún el infrarrojo.
Una onda electromagnética es la interacción entre un campo magnético variable y uno eléctrico
(también variable) con lo que se genera una situación autoportante de una onda (no necesita medio
para propagarse) que se mueve a la velocidad de la luz.
Solución: a) Propone que la luz es un chorro de partículas. No explica bien ni el fenómeno de
interferencia ni el de refracción (la velocidad en un medio con mayor índice de refracción debería
ser mayor).
b) Si las dos ondas que llegan lo hacen en oposición de fase, la interferencia es destructiva, por
lo que no se verá luz (zonas oscuras).
Solución: a) Sí. A medida que entran en un medio con índice de refracción mayor, su velocidad
disminuye en la misma proporción. Se cumple que ni vi = c, donde ni es el índice de refracción del
medio, vi la velocidad de la luz en dicho medio y c la velocidad de la luz en el vacío.
b) A mayor frecuencia, mayor cercanía a los Rayos γ, los más energéticos (E = h f), por lo que el
orden será: finfrarrojos < fvisible < fultravioleta < fRayos X. La intensidad es una medida de la energía que
transportan, de la potencia transmitida por unidad de superficie (movimientos tridimensionales) por
lo que puede que dos colores del espectro (las ondas que los transmiten) tengan la misma
intensidad (también se puede interpretar que la pregunta intenta averiguar si pueden tener la misma
amplitud, lo que también tiene respuesta positiva). La misma frecuencia no es posible, porque la
frecuencia es precisamente la cualidad que diferencia una luz de un color de la de otro.
Solución: a) Con la ecuación de la velocidad de propagación de una onda electromagnética:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆 = =
= 3,00 m.
106 Hz
𝑇𝑇
𝑓𝑓
100 MHz · 1 MHz
b) La frecuencia de una onda no se modifica al cambiar de medio, puesto que es inherente a la
vibración. Sin embargo la longitud de onda sí varía por lo que:
𝑐𝑐
𝜆𝜆
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑣𝑣aire 𝑛𝑛aire
𝑣𝑣aire
𝑛𝑛 = ; 𝑣𝑣 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 =
⇔ 𝜆𝜆agua =
=
= 𝑛𝑛
agua
𝑣𝑣
𝑇𝑇
𝑛𝑛
𝑛𝑛agua 𝑓𝑓
𝑛𝑛aire 𝑓𝑓
3,00·108 m s –1
𝜆𝜆agua =
≅ 2,31 m.
106 Hz
1,3 · 100 MHz · 1 MHz
02/05/2015
42.–
9
a) Un rayo de luz incide oblicuamente sobre un vidrio plano de índice de refracción 1,52,
produciéndose un rayo reflejado y otro refractado. Si el ángulo de incidencia es de 20º,
determine el ángulo α que forman entre sí los rayos reflejado y refractado.
b) Si el ángulo de incidencia es un poco mayor que 20º, ¿crecerá o decrecerá el ángulo α?
c) Ordene en frecuencias crecientes las radiaciones: verde, violeta, infrarroja, Rayos X. Haga
lo mismo en longitud de onda.
a)
α ≈ 147º
; b)
decrecerá
; c)
finfrarroja < fverde < fvioleta < fRayos X
;
λRayos X < λvioleta < λverde < λinfrarroja.
43.–
9
a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz.
b) El índice de refracción del agua respecto del aire es n > 1. Razone cuáles de las siguientes
magnitudes cambian, y cómo, al pasar un haz de luz del aire al agua: frecuencia, longitud de
onda, velocidad de propagación.
a) Reflexión: Sigue en el mismo medio; refracción: pasa al otro medio ; b) f no varía; λ y v,
sí.
44.–
a) Enuncie y explique las leyes de la reflexión y de la refracción para las ondas armónicas.
b) Un haz de luz roja, de frecuencia f = 4,0·1014 Hz, viaja por el agua con una velocidad
v = 2,26·108 m s–1, e incide, con un ángulo α1 = 45º, sobre la superficie de separación
agua−aire. La onda refractada emerge formando un ángulo α2 = 70º con la normal a la
superficie de separación. Calcule la velocidad de propagación de la onda en el aire y la
longitud de onda en ambos medios.
b) vaire ≈ 300 Mm s–1 ; λagua ≈ 0,57 μm; λaire ≈ 0,75 μm.
45.–
a) Un rayo que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque con un ángulo de 30°.
¿Qué ángulo forman entre sí los rayos reflejado y refractado?
b) Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire, ¿a partir de qué valor del
ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total?
9
9
Datos: nagua = 1,33
9
a) α ≈ 127º 55’ ; b) ℓagua ≈ 48º 45’.
46.–
a) Cuando un rayo pasa a un medio con mayor índice de refracción, ¿se acerca o se aleja de la
normal?
b) ¿Qué es el ángulo límite? ¿Existe este ángulo en la situación anterior?
a) Se acerca a la normal ; b) Ángulo para el que se produce la reflexión total; No, r < i.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 20º = 1,52·sen r ⇔ sen r ≈ 0,225 ⇔ r ≈ arc sen 0,225 ≈ 13º.
Gráficamente se puede comprobar que el ángulo que nos pide el problema es igual a:
180º – (i + r) por lo que: α = 180º – (20º + 13º) = 147º.
b) A mayor ángulo de incidencia mayor valor de sen i, y como los índices de refracción son
constantes, mayor valor del sen r, por lo que también será mayor el valor de r. Al ser:
α = 180º − (i + r), α será menor.
c) A mayor frecuencia, mayor cercanía a los Rayos γ, los más energéticos (E = h f), por lo que el
orden será: finfrarroja < fverde < fvioleta < fRayos X.
Para la longitud de onda, λ = c / f, el orden será el contrario: λRayos X < λvioleta < λverde < λinfrarroja.
Solución: a) La reflexión se produce cuando la luz llega a la superficie de separación de dos
medios y cambia de dirección y sentido, regresando al medio del que procede. La refracción tiene
lugar cuando la luz llega a la superficie de separación de dos medios translúcidos o transparentes y
pasa al otro medio. Si los índices de refracción de ambos medios son diferentes y no incide
perpendicularmente, la luz se desvía.
b) La frecuencia de la luz no varía al cambiar de medio, sea éste el que sea. La velocidad de
propagación disminuye, al tener el agua mayor índice de refracción y, dado que se cumple que
v = λ f, también disminuye λ.
Solución: a) Teoría
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (nagua sen i = naire sen r) y la expresión del índice
de refracción:
𝑐𝑐
o
𝑛𝑛
𝑣𝑣
𝑐𝑐
sen
70
𝑣𝑣aire
agua
agua
𝑛𝑛 =
; 𝑛𝑛agua · sen 45o = 𝑛𝑛aire · sen 70o ⇔
=
= 𝑐𝑐 =
o
𝑛𝑛aire
sen 45
𝑣𝑣agua
𝑣𝑣
𝑣𝑣aire
𝑣𝑣agua · sen 70o 2,26·108 m s–1 · 0,940
𝑣𝑣aire =
≅
≅ 3,00·108 m s–1
sen 45o
0,707
𝑣𝑣agua
𝜆𝜆
2,26·108 m s –1
𝑣𝑣 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆agua =
=
≅ 5,7·10–7 m = 570 nm
𝑇𝑇
𝑓𝑓
4,0·1014 Hz
𝑣𝑣agua · sen 70o 2,26·108 m s –1 · 0,940
𝑣𝑣aire
𝜆𝜆aire =
=
≅
≅ 7,5·10–7 m = 750 nm.
𝑓𝑓
𝑓𝑓 · sen 45o
4,0·1014 Hz · 0,707
180º – (i + r) por lo que: α ≈ 180º – (30º + 22º 5’) ≈ 127º 55’.
b) La condición de reflexión total es:
ni sen i ≥ nr sen 90º ⇔ 1,33·sen i ≥ 1,00·1 ⇔ ℓagua ≈ 48º 45’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción y por ser nr > ni:
ni sen i = nr sen r ⇔ sen i > sen r ⇔ i > r.
(dado que el ángulo debe estar entre 0º y 90º). Por lo tanto se acerca a la normal.
que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio de mayor índice de refracción. Al ser
menor r que i, no puede producirse la reflexión total.
47.–
9
02/05/2015
a) Defina el concepto de ángulo límite y determine su expresión para el caso de dos medios de
índices de refracción n1 y n2, si n1 > n2.
b) Sabiendo que el ángulo límite definido en un medio material y el aire es 60º, determine la
velocidad de la luz en dicho medio.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3·108 m s–1
a) Ángulo para el cual se produce la reflexión total; ℓ = arc sen (n2 / n1) ; v1 ≈ 260 Mm s–1.
48.–
9
a) Explique en qué consiste y cuándo ocurre el fenómeno de reflexión total de una onda.
Defina el ángulo límite (o crítico).
b) Una onda viaja por un medio con velocidad v e incide sobre la frontera de separación con
otro medio, donde la velocidad de propagación es v’ = 2 v. Si el ángulo de incidencia es
ϕ = 10º, calcule el ángulo de refracción, ϕ’. ¿Para qué ángulos de incidencia se producirá
reflexión total?
a) Ángulo para el cual se produce la reflexión total ; b) ϕ’ = 20º 19’; i ≥ 30º.
49.–
9
a) Razone si tres haces de luz visible de colores azul, amarillo y rojo, respectivamente:
a.1) tienen la misma frecuencia;
a.2) tienen la misma longitud de onda;
a.3) se propagan en el vacío con la misma velocidad.
a.4) ¿Cambiaría alguna de estas magnitudes al propagarse en el agua?
b) ¿Qué es la reflexión total de la luz? ¿Cuándo puede ocurrir?
a) La frecuencia es característica, al igual que la longitud de onda (en el mismo medio); la
velocidad de la luz en el vacío es una constante universal; cambiarían la velocidad y la longitud
de onda ; b) imposibilidad de que se produzca refracción al intentar un rayo salir de un medio
más denso; la reflexión total sólo se produce para algunos ángulos cuando n1 > n2.
50.–
9
a) Explique por qué se forman espejismos en una carretera en un día de verano. ¿Qué indica
esto en relación a la dependencia del índice de refracción del aire?
b) Explique por qué al iluminar con luz blanca la yema de un huevo la vemos amarilla.
c) Ordene de menor a mayor longitud de onda de la luz en el aire: azul, infrarrojo, ultravioleta,
amarillo. Haga lo mismo con la frecuencia de la luz.
a) Por reflexión total en el límite entre aire caliente y frío ; b) Por que la amarilla es la única
que emite; las demás las absorbe ; c) λultravioleta < λazul < λamarillo < λinfrarrojo; frecuencia al revés.
refracción.
n1 sen ℓ = n2 sen 90º ⇔ ℓ = arc sen (n2 / n1)
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (n2 = 1, por ser el aire):
n1 sen ℓ = n2 sen 90º ⇔ n1 sen 60º = 1·sen 90º ⇔ n1 = 1 / sen 60º.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
√3
𝑛𝑛1 =
⇔ 𝑣𝑣1 =
=
= 𝑐𝑐 sen 60o = 3,00·108 m s –1 ·
≅ 2,60·108 m s–1 .
1
𝑣𝑣1
𝑛𝑛1
2
sen 60o
refracción.
b) Calculamos primero la relación entre los índices de refracción, basándonos en su definición:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑣𝑣
⇔ 𝑛𝑛´ = =
= = .
𝑛𝑛 =
𝑣𝑣´ 2 𝑣𝑣 2 2
𝑣𝑣
Aplicando ahora esos datos en la 2ª Ley de Snell de la refracción:
n sen ϕ = n’ sen ϕ’ ⇔ n sen 10º = n / 2·sen ϕ’ ⇔ sen ϕ’ = 2·sen 10º ≈ 0,347.
ϕ’ ≈ arc sen 0,347 = 20º 19’.
n sen i ≥ n’ sen 90º ⇔ n sen i ≥ n / 2·sen 90º ⇔ i ≥ arc sen (0,5) = 30º.
Solución: a.1) La frecuencia de correspondiente a un color (o a un tipo de rayo) es la
característica diferenciadora de éste de los demás colores o zonas del espectro electromagnético.
Por lo tanto, un haz de color rojo tiene distinta frecuencia que la de un rayo azul o amarillo. No
pueden por tanto coincidir en su frecuencia.
a.2) La longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia y la constante de
proporcionalidad es la velocidad por lo que, si no variamos la velocidad (no cambiamos de medio),
la longitud de onda también es característica. Si no cambian de medio tampoco puede coincidir en
su longitud de onda.
a.3) Verdadero. La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal (inamovible) para
todo tipo de radiación electromagnética. No cambia ni aunque el observador esté en movimiento.
a.4) Como hemos dicho, la frecuencia es característica e inherente a cada tipo de radiación, por
lo que no cambia en el agua. Las otras dos sí cambian, en una proporción (en disminución) igual al
valor del índice de refracción: λagua nagua = λvacío ; vagua nagua = c.
b) El ángulo límite (o ángulo de reflexión total) es el ángulo mínimo para el que se produce la
hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo que es imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio
de mayor índice de refracción.
Solución: a) A que los rayos de luz que provienen de puntos altos por encima de la carretera
superan el ángulo de reflexión total en un límite entre dos medios, el aire caliente que se encuentra
en las proximidades del asfalto y el frío que se encuentra por encima de él (con un índice de
refracción mayor) por lo que nos parece que vienen desde la carretera cuando en realidad vienen
desde puntos que están más arriba.
b) Porque la yema absorbe las radiaciones de longitud de onda distinta de la amarilla y sólo
emite ésta, que es la que llega hasta nuestros ojos.
c) Menor longitud de onda corresponde a mayor frecuencia y por tanto a mayor energía, por lo
que el orden es: λultravioleta < λazul < λamarillo < λinfrarrojo.
Para frecuencias el orden es justo al contrario por lo que: finfrarrojo < famarillo < fazul < fultravioleta.
02/05/2015
51.–
9
9
9
a) Explique en qué consiste el fenómeno de dispersión de la luz.
b) El índice de refracción del agua varía, dentro del espectro visible, entre nR = 1,330 para luz
de color rojo y nV = 1,344 para luz de color violeta. Un rayo de luz blanca incide desde el aire
(n = 1) sobre la superficie en calma de una piscina, con ángulo de incidencia ϕ = 60º. Calcule
la dispersión angular (ángulo δ de la figura) que se observa en la luz visible refractada.
a) Separación angular entre rayos refractados de distinta longitud de onda (arcoiris) ; b)
δ ≈ 31’.
52.–
Se construye un prisma óptico de ángulo A con un vidrio de índice de refracción n = 2,0.
Sabiendo que el rayo que incide perpendicularmente en la primera cara lateral del prisma tiene
un ángulo de emergencia de 90º a través de la segunda cara lateral y que el prisma está inmerso
en el aire, determine:
a) el ángulo A del prisma;
b) el valor del ángulo de desviación mínima.
Dibuje la marcha del rayo en ambos casos.
a) A = 45º ; b) δmin ≈ 20º 32’.
53.–
Se dispone de una superficie de vidrio, de índice de refracción 1,50, colocada sobre una
superficie de agua, de índice de refracción 1,30. ¿En qué casos se producirá una reflexión total
en la interfaz comprendida entre ambos medios?
Cuando la luz pase del vidrio al agua con un ángulo igual o mayor que ℓ ≈ 60º 4’.
54.–
Se estudia el fenómeno de la refracción de la luz mediante una experiencia de laboratorio
en la que se hace incidir un rayo láser desde el aire (n = 1) sobre una superficie de un líquido en
calma, y se mide el ángulo de refracción r correspondiente a cada ángulo de incidencia i. Los
datos tomados se presentan en la tabla. Todas las lecturas están en grados.
a) Según estos datos, ¿cuál es el índice de refracción de este líquido?
b) Si el ángulo de incidencia fuese de 58º, ¿cuál sería el ángulo de refracción?
9
9
Experiencia
1
2
3
4
i (º)
30
35
40
50
r (º)
20
24
26
32
a) nlíq ≈ 1,45 ; b) r ≈ 35º 48’.
55.–
Se tiene un prisma óptico de índice de refracción 1,5 inmerso en el aire. La sección del
prisma es un triángulo rectángulo isósceles como muestra la figura. Un rayo luminoso incide
perpendicularmente sobre la cara AB del prisma.
a) Explique si se produce o no reflexión total en la cara BC del prisma.
b) Haga un esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a través del prisma. ¿Cuál es
la dirección del rayo emergente?
a) Sí se produce reflexión total. El rayo incide horizontal en la cara BC y sale vertical y hacia
abajo.
Solución: a) Es la separación angular que se produce entre rayos paralelos de distinta longitud de
onda cuando se produce la refracción de éstos en una superficie de separación entre dos medios
transparentes de distinto índice de refracción (efecto arcoiris).
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los dos casos extremos:
ni sen ϕ = nr sen r ⇔ 1·sen 60º = 1,330·sen r ⇔ sen r ≈ 0,651 ⇔ rR ≈ arc sen 0,651 ≈ 40º 38’.
ni sen ϕ = nr sen r ⇔ 1·sen 60º = 1,344·sen r ⇔ sen r ≈ 0,644 ⇔ rV ≈ arc sen 0,644 ≈ 40º 7’.
Por tanto la dispersión angular será: δ = |rR – rV| ≈ |40º 38’ – 40º 7’| = 31’ ≈ 0,5º.
Solución: a) Por ser la incidencia en la primera superficie de separación perpendicular, el rayo
no se desvía. Aplicando trigonometría observamos que el ángulo de incidencia en la segunda cara
coincide con el ángulo del prisma. Por lo tanto, y aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ √2·sen i = 1,0·sen 90º ⇔ sen i ≈ 0,707 ⇔ i ≈ arc sen 0,707 = 45º.
A = 45º.
b) Obtenemos δmin aplicando la fórmula:
𝛿𝛿 + 𝐴𝐴
sen min2
𝛿𝛿min + 𝐴𝐴
𝐴𝐴
45o
⇔ sen
= 𝑛𝑛r sen = √2 · sen
= √2 · sen 22,5o ≅ 0,541
𝑛𝑛r =
𝐴𝐴
2
2
2
sen 2
𝛿𝛿min + 𝐴𝐴
≅ arc sen 0,541 ≅ 32o 46’ ⇔ 𝛿𝛿min ≅ 2 · 32o 46’ – 45o ≅ 20o 32’.
2
Solución: El ángulo límite se producirá cuando un rayo que se encuentre dentro del bloque de
vidrio intente refractarse dentro del agua (del agua al vidrio no se produce el fenómeno ya que el
vidrio tiene mayor índice de refracción). Su valor es:
nv sen ℓ = na sen 90º ⇔ 1,50·sen ℓ = 1,30·1 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,867 ≈ 60º 4’.
Se producirá la reflexión total para ángulos iguales o mayores que 60º 4’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los cuatro casos:
∑𝑛𝑛1 𝑛𝑛r i 1,46 + 1,41 + 1,47 + 1,45
𝑛𝑛�r =
≅
≅ 1,45.
𝑛𝑛
4
b) Aplicando el dato obtenido al nuevo ángulo de incidencia:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 58º ≈ 1,45·sen r ⇔ r = arc sen 0,585 ≈ 35º 48’.
Solución: a) Tenemos que tratar el caso como una doble refracción. Para la primera cara, y
aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 0º = 1,5·sen r ⇔ sen r = 0 ⇔ r = arc sen 0 = 0º.
Resulta evidente que si incide perpendicularmente no se va a desviar.
Volvemos a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción (segunda cara). Ahora el ángulo de
incidencia es de 45º por ser el prisma un triángulo rectángulo isósceles:
nr sen r’ = ni sen i’ ⇔ 1,5·sen 45º = 1·sen i’ ⇔ sen i’ ≈ 1,06.
Como no hay ningún ángulo que tenga un valor de su seno mayor que 1, tenemos que deducir
que hemos superado el ángulo límite por lo que, en esa cara, se produce una reflexión total.
b) El ángulo de reflexión es de 45º por lo que el rayo se dirigirá hacia abajo, atravesando la
tercera cara del prisma de forma perpendicular, siguiendo su trayectoria descendente.
56.–
02/05/2015
Sea un recipiente con agua cuya superficie está cubierta por una capa de aceite.
a) Haga un diagrama que indique la trayectoria de los rayos de luz al pasar del aire al aceite y
al agua.
b) Determine el ángulo de refracción en el agua si un rayo de luz incide desde el aire sobre la
capa de aceite con un ángulo de 40º. ¿Con qué velocidad se desplazará la luz por el aceite? Si
espesor de la capa de aceite es de 2,0 cm, ¿qué tiempo tardará en atravesarla?
c) Suponga que un haz de luz procedente del fondo del recipiente pasa del agua al aceite.
Calcule el ángulo de incidencia en la superficie de separación entre el agua y el aceite para
que la luz no pase al aire.
Datos: Índices de refracción: n1(aire) = 1,00 ; n2(aceite) = 1,45 ;
8
–1
luz en el vacío: c = 3,00·10 m s
b) e ≈ 28º 54’; vaceite ≈ 207 Mm s–1; t ≈ 0,11 ns ;
n3(agua) = 1,33 ;
Velocidad de la
c) ℓ ≈ 48º 45’.
9
57.–
Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio de índice de refracción 1,40 y ángulo en el
vértice 50º, incide un rayo de luz con un ángulo de 20º. Determine:
a) el ángulo de desviación sufrido por el rayo;
b) el ángulo de desviación mínima que corresponde a este prisma.
Datos: El prisma se encuentra situado en el aire.
a) δ ≈ 25,1º ; b) δmin ≈ 22,55º.
9
Solución: a) Se muestra en la siguiente imagen:
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción dos veces:
𝑛𝑛aire sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛aceite sen 𝑟𝑟
𝑛𝑛aceite sen 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛agua sen 𝑒𝑒 ⇔ 𝑛𝑛aire sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛agua sen 𝑒𝑒
1,00 · sen 40o
≅ arc sen 0,483 ≅ 28o 54’.
𝑒𝑒 = arc sen
1,33
Podemos calcular la velocidad aplicando el índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛ac =
⇔ 𝑣𝑣aceite =
=
≅ 2,07·108 m s–1 .
1,45
𝑣𝑣ac
𝑛𝑛ac
El tiempo lo podemos hallar teniendo en cuenta la velocidad de un movimiento uniforme y los
conceptos relacionados con la trigonometría en una lámina de caras plano–paralelas:
𝑠𝑠
𝑠𝑠
cos 𝑟𝑟 = ⇔ ℓ =
ℓ
cos 𝑟𝑟
𝑠𝑠
𝑐𝑐
ℓ
𝑠𝑠 𝑛𝑛aceite
cos
𝑟𝑟 = 𝑠𝑠 𝑛𝑛aceite = 𝑠𝑠 𝑛𝑛aceite
𝑣𝑣aceite =
⇔
𝑡𝑡
=
=
=
𝑐𝑐
𝑛𝑛aceite
𝑣𝑣
𝑐𝑐 cos 𝑟𝑟
𝑐𝑐 √1 – sen2 𝑟𝑟
𝑛𝑛
𝑛𝑛aire sen 𝑖𝑖 2
aceite
ℓ
�
𝑐𝑐
1
–
�
𝑣𝑣 =
𝑛𝑛aceite �
𝑡𝑡
0,020 m · 1,45
𝑡𝑡 =
≅ 1,1·10–10 s.
1,00 · sen 40o 2
3,00·108 m s –1 · �1 – �
�
1,45
c) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción dos veces:
𝑛𝑛agua sen ℓ = 𝑛𝑛aceite sen 𝑟𝑟
⇔ 𝑛𝑛agua sen ℓ = 𝑛𝑛aire sen 90o
𝑛𝑛aceite sen 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛aire sen 90o
1,00 · sen 90o
ℓ = arc sen
≅ arc sen 0,483 ≅ 48o 45’.
1,33
Como el ángulo del prisma, ϕ, es igual (por construcción geométrica) a la suma de r y r’
podemos obtener r’: r’ = ϕ – r ≈ 50º – 14º 8’ = 35º 52’.
Volvemos a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción (segunda cara):
nr sen r’ = ni sen i’ ⇔ 1,40·sen 35º 52’ = 1,00·sen i’ ⇔ sen i’ ≈ 0,820
i’ ≈ arc sen 0,820 ≈ 55º 7’.
La desviación del rayo en el prisma es igual a: δ = i + i’ – ϕ ≈ 20º + 55º 7’ – 50º ≈ 25º 7’.
b) Obtenemos δmin aplicando la fórmula:
𝛿𝛿 + 𝜑𝜑
sen min2
𝛿𝛿min + 𝜑𝜑
𝜑𝜑
50o
𝑛𝑛r =
⇔
sen
=
𝑛𝑛
sen
=
1,40
·
sen
= 1,40 · sen 25o ≅ 0,592
r
𝜑𝜑
2
2
2
sen 2
𝛿𝛿min + 𝜑𝜑
≅ arc sen 0,592 ≅ 36o 17’ ⇔ 𝛿𝛿min ≅ 2 · 36o 17’ – 50o ≅ 22o 33’.
2
9
02/05/2015
58.–
Sobre la superficie de un bloque de vidrio de índice de refracción 1,60 hay una capa de
agua de índice 1,33. Una luz amarilla de sodio, cuya longitud de onda en el aire es 589·10–9 m,
se propaga por el vidrio hacia el agua.
a) Describa el fenómeno de reflexión total y determine el valor del ángulo límite para esos dos
medios.
b) Calcule la longitud de onda de la luz cuando se propaga por el vidrio y por el agua.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío:
c = 3,00·108 m s–1
a) ℓvidrio–agua ≈ 56º 14’ ; b) λvidrio ≈ 368 nm; λagua ≈ 443 nm.
9
59.–
Sobre un prisma de ángulo 60° como el de la figura, situado en el vacío, incide un rayo
luminoso monocromático que forma un ángulo de 41,3° con la normal a la cara AB. Sabiendo
que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la base AC,
a) calcule el índice de refracción del prisma;
b) realice el esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a través del prisma;
c) determine el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma.
d) Explique si la frecuencia y la longitud de onda correspondientes al rayo luminoso son
distintas, o no, dentro y fuera del prisma.
a) n ≈ 1,32 ; c) δ = 22,6º ; d) f’ = f; λ’ = λ/n.
60.–
Sobre un prisma de vidrio de ángulo 45º e índice de refracción 1,55 incide un rayo de luz
monocromática. Si el ángulo de incidencia es de 30º, calcule el ángulo de emergencia y la
desviación producida en el rayo. Represente un dibujo del prisma donde aparezcan todos los
ángulos mencionados, así como los rayos incidente, interno y saliente del prisma.
i’ ≈ 43º 9’ ; δ ≈ 28º 9’.
9
9
61.–
Sobre un prisma equilátero de ángulo 60º (ver figura), incide un rayo luminoso
monocromático que forma un ángulo de 50º con la normal en la cara AB. Sabiendo que en el
interior del prisma el rayo es paralelo a la base AC,
a) calcule el índice de refracción del prisma;
b) determine el ángulo de desviación del rayo al salir del prisma, dibujando la trayectoria que
sigue el rayo;
c) explique si la frecuencia y la longitud de onda correspondientes al rayo luminoso son
distintas, o no, dentro y fuera del prisma.
Datos: naire = 1
a) n ≈ 1,53 ; b) δ = 40º ; c) f’ = f; λ’ = λ/n.
el medio de mayor índice de refracción. La condición de reflexión total es:
nvidrio sen ℓvidrio = nagua sen 90º ⇔ 1,60·sen ℓvidrio = 1,33·1 ⇔ ℓvidrio ≈ 56º 14’.
b) Como la velocidad de la onda (luz) dentro del vidrio y del agua cambia, la longitud de onda
también cambiará.
𝜆𝜆
𝜆𝜆
𝑐𝑐 𝜆𝜆 𝑓𝑓
=
⇔
𝜆𝜆’ =
𝑛𝑛 = =
𝑛𝑛
𝑣𝑣 𝜆𝜆’ 𝑓𝑓 𝜆𝜆’
–9
𝜆𝜆 589·10 m
𝜆𝜆 589·10–9 m
𝜆𝜆vidrio = =
≅ 368·10–9 m ; 𝜆𝜆agua = =
≅ 443·10–9 m.
𝑛𝑛
1,60
𝑛𝑛
1,33
Solución: a) Como el ángulo ABC es de 60º y el rayo es paralelo al eje AC, el rayo refractado
dentro del prisma forma 30º con la normal.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 41,3º = nr·sen 30º ⇔ nr ≈ 1,32.
b) Ver figura.
c) Por las explicaciones dadas, el ángulo de emergencia es
igual al de incidencia, ya que r y r’ son iguales (rayo paralelo a la
base). Por lo tanto: δ = i + i’ – ϕ = 2·41,3º – 60º = 22,6º.
d) La frecuencia nunca puede cambiar en un cambio de medio,
porque mide el tiempo de vibración de la onda, que no puede variar. Como la velocidad de la onda
(luz) dentro del prisma sí cambia, la longitud de onda también cambiará.
𝑐𝑐 𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
𝑛𝑛 = = ’ =
⇔ 𝜆𝜆′ = .
𝑛𝑛
Como el ángulo del prisma es igual (por construcción geométrica) a la suma de r y r’ podemos
obtener r’: r’ = ϕ – r ≈ 45º – 18º 49’ ≈ 26º 11’.
Volvemos a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción
(segunda cara):
nr sen r’ = ni sen i’ ⇔ 1,55·sen 26º 18’ = 1,00·sen i’
sen i’≈ 0,684 ⇔ i’ ≈ arc sen 0,684 ≈ 43º 9’.
La marcha del rayo se encuentra en la figura adjunta.
La desviación del rayo en el prisma es igual a:
δ = i + i’ – ϕ ≈ 30º + 43º 9’ – 45º ≈ 28º 9’.
Solución: a) Como el ángulo ABC es de 60º y el rayo es paralelo al eje AC, el rayo refractado
dentro del prisma forma 30º con la normal.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 50º = nr sen 30º ⇔ nr ≈ 1,53.
b) Ver figura.
c) Por las explicaciones dadas, el ángulo de emergencia es
igual al de incidencia, ya que r y r’ son iguales (rayo paralelo a la
base). Por lo tanto: δ = i + i’ – ϕ = 2·50º – 60º = 40º.
d) La frecuencia nunca puede cambiar en un cambio de medio,
porque mide el tiempo de vibración de la onda, que no puede variar. Como la velocidad de la onda
(luz) dentro del prisma sí cambia, la longitud de onda también cambiará.
𝑐𝑐 𝜆𝜆 𝑓𝑓 𝜆𝜆
𝜆𝜆
𝑛𝑛 = = ’ =
⇔ 𝜆𝜆′ = .
𝑛𝑛
9
02/05/2015
62.–
Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de 3,0 cm de espesor y situada en el
aire incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia de 35º. La velocidad de
propagación del rayo en la lámina es 2/3 c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío.
a) Determine el índice de refracción de la lámina.
b) Compruebe que el rayo emergerá de la lámina y determine el ángulo de emergencia.
c) Dibuje la marcha del rayo a través de la lámina.
d) Calcule la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.
a) n = 1,5 ; b) i’ ≈ 35º ; d) ℓ ≈ 3,25 cm.
63.–
Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2,0 cm y de índice de
refracción n = 3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo
i1 = 30°.
a) Compruebe que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia.
b) Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral
del rayo emergente.
a) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se cumple que i1 = i2 ; b)
ℓ ≈ 2,1 cm; d ≈ 3,9 mm.
9
9
64.–
Sobre una lámina de vidrio de índice de refracción n = 1,66 de caras plano–paralelas y
espesor e = 5,00 mm, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia ε = 45º.
a) Deduzca el valor del ángulo ε’ que forma el rayo emergente con la normal a la lámina.
b) Calcule el valor de la distancia d entre las direcciones de la recta soporte del rayo incidente
y el rayo emergente, indicada en la figura.
a) ε’ = ε = 45º ; b) d ≈ 1,87 mm.
Solución: a) Aplicando la fórmula del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3
𝑛𝑛 = =
= = 1,50.
𝑣𝑣 2 𝑐𝑐 2
3
b) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2,
se cumple que i1 = i2 por lo que refractará (al pasar de un medio de
índice menor a uno de índice mayor el ángulo será menor, 22º 29’)
para luego emerger con el mismo ángulo, 35º.
c) Dibujo al margen.
d) La distancia recorrida por el rayo cumple que
𝑠𝑠
𝑠𝑠
3·10–2 m
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
≅
≅ 3,25·10–2 m.
ℓ
cos 𝑟𝑟1 cos 22o 29’
Solución: Dibujo al margen.
a) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se
cumple que i1 = i2 por lo que refractará (al pasar de un medio de índice
menor a uno de índice mayor el ángulo será menor, 19º 28’) para luego
emerger con el mismo ángulo, 30º.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1,0·sen 30º = 1,5·sen r1
sen r1 ≈ 0,333 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
La distancia recorrida por el rayo cumple que:
𝑠𝑠
𝑠𝑠
2,0·10–2 m
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
≅
≅ 2,1·10–2 m.
ℓ
El desplazamiento lateral, d, es el cateto opuesto al ángulo i1 – r1. La hipotenusa de ese triángulo
también lo es del triángulo cuyo cateto contiguo al ángulo r1 es s (ver figura).
Por tanto se cumple que:
𝑠𝑠
𝑑𝑑
𝑠𝑠 sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 )
sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 ) =
y cos 𝑟𝑟1 =
⇔ 𝑑𝑑 = ℎ sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 ) =
ℎ
ℎ
cos 𝑟𝑟1
–2
o
2,0·10 m · sen 11 32’
𝑑𝑑 ≅
≅ 3,9·10–3 m.
cos 19o 28’
Solución: a) Como ni sen ε = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen ε’, siendo r1 = r2, se cumple que ε = ε’
por lo que refractará (al pasar de un medio de índice menor a uno de índice mayor el ángulo será
menor, 25º 13’) para luego emerger con el mismo ángulo, 45º.
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara de la lámina:
ni sen ε = nr sen r1 ⇔ 1·sen 45º = 1,66·sen r1 ⇒ sen r1 ≈ 0,426 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,426 ≈ 25º 13’.
El desplazamiento lateral, d, es el cateto opuesto al ángulo ε – r1. La hipotenusa de ese triángulo
es la distancia recorrida por el rayo en el interior de la lámina, ℓ. Por tanto se cumple que:
𝑑𝑑
sen (𝜀𝜀 – 𝑟𝑟1 ) =
ℓ ⇔ 𝑑𝑑 = ℓ sen(𝜀𝜀 – 𝑟𝑟 ) = 𝑒𝑒 sen(𝜀𝜀 – 𝑟𝑟1 )
1
𝑒𝑒
cos 𝑟𝑟1
cos 𝑟𝑟1 =
ℓ
5,00 · 10–3 m · sen 19o 47’
𝑑𝑑 ≅
≅ 1,87·10–3 m.
cos 25o 13’
9
9
02/05/2015
65.–
Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,50 y de 1,00 cm de espesor,
situada en el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30° con la normal a la cara.
Calcule:
a) el ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina. Efectúe la construcción
geométrica correspondiente;
b) la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.
a) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se cumple que i1 = i2 ; b)
ℓ ≈ 1,06 cm.
66.–
Suponga que quiere hacer una demostración del fenómeno de reflexión total. En el
laboratorio dispone de un depósito, que contiene un líquido cuyo índice de refracción vale 1,60
y de un puntero láser de muy baja potencia ¿en qué medio (aire o líquido) colocará el puntero
láser para que se produzca la reflexión total? ¿cuánto valdrá el ángulo límite?
Datos: naire = 1,00
El puntero ha de estar dentro del líquido ; ℓ ≈ 38º 41’.
67.–
Tres espejos planos iguales forman entre sí un ángulo de 120º. Un rayo de luz incide en el
punto medio del primer espejo, formando un ángulo de 30º con él. Dibuje la trayectoria seguida
por el rayo en el sistema de espejos y compruebe que el rayo abandona el sistema de espejos
paralelo a la dirección en la que ha incidido.
Sí sale paralelo.
9
9
68.–
Un bloque de vidrio con un índice de refracción 1,50 se sumerge en agua cuyo índice de
refracción es 1,33. ¿Cuál es el ángulo límite en la interfase agua–vidrio?
ℓ ≈ 62º 27’.
9
69.–
Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción 1,33) y dirige el
haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 40º con la vertical.
a) ¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua (naire = 1,00)?
b) ¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?
Efectúe esquemas gráficos en la explicación de ambos apartados.
a) r ≈ 58º 45’ ; b) ℓ ≈ 48º 45’.
Solución: Dibujo al margen.
a) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se
cumple que i1 = i2 por lo que refractará (al pasar de un medio de índice
emerger con el mismo ángulo, 30º.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1,0·sen 30º = 1,5·sen r1
sen r1 ≈ 0,333 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
1,00·10–2 m
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ≅
=
≅ 1,06·10–2 m.
ℓ
Solución: La reflexión total se producirá cuando un rayo que se encuentre dentro del líquido
intente refractarse dentro del aire (del aire al líquido no se produce el fenómeno ya que el vidrio
tiene mayor índice de refracción) con un ángulo superior al ángulo límite. El valor del ángulo
límite en este problema es:
nℓ sen ℓ = na sen 90º ⇔ 1,60·sen ℓ = 1,00·1 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,625 ≈ 38º 41’.
Solución: Ver la figura.
Si el rayo que incide lo hace con ángulo 180º (horizontal por la izquierda)
el rayo reflejado en el primer espejo sale con un ángulo de 300º (el espejo
está en ángulo 330º por lo que la normal está en 240º; de 180º a 240º van
60º que sumados a la normal dan 300º). El rayo (que viene con un ángulo de
120º –hay que restar 180º porque el punto de incidencia ahora está en otro
punto–) incide en el espejo (270º –normal 180º–) y sale reflejado con un
ángulo de 240º (180º de la normal y 60º de la diferencia entre 180º y 120º).
Al incidir con un ángulo de 60º (240º – 180º) por ser otro el punto de
incidencia sobre el tercer espejo (210º –normal 120º–) sale reflejado con un
ángulo de 180º (120º de la normal y 60º de la diferencia entre 120º y 60º).
180º desde el punto de reflexión es la misma dirección pero sentido
contrario al que traía el rayo inicial.
También se podría haber dicho que la estructura que forman los rayos tiene la forma de cuatro
lados de un hexágono regular, que, por tener un número par de lados, implica que los lados
opuestos sean paralelos, por lo que el rayo sale paralelo.
Solución: El ángulo límite se producirá cuando un rayo que se encuentre dentro del bloque de
vidrio intente refractarse dentro del agua (del agua al vidrio no se produce el fenómeno ya que el
vidrio tiene mayor índice de refracción). Su valor es:
nv sen ℓ = na sen 90º ⇔ 1,50·sen ℓ = 1,33·1 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,887 ≈ 62º 27’.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,33·sen 40º = 1·sen r
sen r ≈ 0,855 ⇔ r ≈ arc sen 0,855 ≈ 58º 45’.
b) El ángulo límite es el ángulo a partir del cual se produce la reflexión total:
ni sen ℓ = nr sen 90º ⇔ 1,33·sen ℓ = 1,00·1 ⇔ ℓ ≈ 48º 45’.
70.–
02/05/2015
Un cubo de vidrio cuyo índice de refracción es n2 = 1,50 se sumerge en agua (n1 = 1,33).
a) Un haz luminoso incide sobre una cara lateral del cubo formando un ángulo αi = 45º.
Calcule el ángulo de salida en la cara horizontal superior del cubo.
b) ¿Con qué ángulo debe incidir el rayo luminoso para que se produzca reflexión total en la
cara superior del cubo?
Trace en ambos apartados la correspondiente marcha de rayos.
a) βr ≈ 61º 28’ ; b) αi ≈ 31º 27’.
9
9
71.–
Un electrón de un átomo salta desde un nivel de energía de 5,00 eV a otro inferior de
3,00 eV, emitiéndose un fotón en el proceso. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de la
radiación emitida, si ésta se propaga en el agua.
Datos: Índice de refracción del agua nagua = 1,33 ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1 ;
–34
–19
Constante de Planck: h = 6,63·10 J s ; Valor absoluto de la carga del electrón: e = 1,60·10 C
a) f ≈ 483 THz ; b) λagua ≈ 467 nm.
72.–
Un foco luminoso puntual está situado bajo la superficie de un estanque de agua.
a) Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 30º. Dibuje en un
esquema los rayos incidente y refractado y calcule el ángulo de refracción.
b) Explique qué es el ángulo límite y determine su valor para este caso.
9
Datos: naire = 1,00 ;
a) r ≈ 41º 41’ ; b) Mínimo ángulo para el que se produce la reflexión total; ℓagua ≈ 48º 45’.
73.–
9
nagua = 1,33
Un fotón tiene una energía de 2,00 eV.
a) Calcule su frecuencia.
b) Determine su longitud de onda en el vacío y en un medio material de índice de refracción
n = 1,45. ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece?
Datos: Constante de Planck: h = 6,626·10–34 J s ; Valor absoluto de la carga del electrón:
e = 1,602·10–19 C ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
a) f ≈ 484 THz ; b) λvacío ≈ 620 nm; λ medio ≈ 427 nm; zona roja.
n1 sen αi = n2 sen αr ⇔ 1,33·sen 45º = 1,50·sen αr.
sen αr ≈ 0,627 ⇔ αr ≈ 38º 50’.
Se forma un triángulo rectángulo en el interior del cubo. El ángulo βi
vale, aproximadamente: 90º – 38º 50’, o sea, 51º 10’.
n1 sen βi = n2 sen βr ⇔ 1,50·sen 51º 10’ ≈ 1,33·sen βr.
sen βr ≈ 0,879 ⇔ βr ≈ 61º 28’.
b) Para contestar esta pregunta tenemos que hacer el razonamiento pero al revés.
Para que se produzca reflexión total en la segunda cara ha de
cumplirse que:
n1 sen βi = n2 sen ℓ ⇔ 1,50·sen βi = 1,33·sen 90º.
sen βi ≈ 0,887 ⇔ βi ≈ 62º 27’.
Se puede calcular el valor de αr resolviendo el triángulo formado lo
que da un valor aproximado de: 90º – 62º 27’, o sea, 27º 33’.
n1 sen αi = n2 sen αr ⇔ 1,33·sen αi ≈ 1,50·sen 27º 33’.
sen αi ≈ 0,522 ⇔ αi ≈ 31º 27’.
Solución: La energía asociada a una frecuencia (Planck) vale:
Δ𝐸𝐸 (5,00 eV – 3,00 eV) · 1,60·10–19 J eV –1
Δ𝐸𝐸 = ℎ 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 =
=
≅ 4,83·1014 Hz.
ℎ
6,63·10–34 J s
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛agua =
=
⇔ 𝜆𝜆agua =
; 𝜆𝜆agua ≅
≅ 4,67·10–7 m.
𝑣𝑣agua 𝜆𝜆agua 𝑓𝑓
1,33 · 4,83·1014 Hz
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,33·sen 30º = 1,00·sen r
sen r ≈ 0,665 ⇔ r ≈ arc sen 0,665 ≈ 41º 41’.
b) El ángulo límite es el ángulo mínimo para el que se produce la
reflexión total cuando un rayo llega a la superficie de separación entre
dos medios transparentes desde el lado con mayor índice de refracción,
esto es, que no puede refractarse por tener que hacerlo con un ángulo de 90º o mayor (lo que es
imposible). El rayo “queda atrapado” en el medio de mayor índice de refracción.
ni sen ℓagua = nr sen 90º ⇔ 1,33·sen ℓagua = 1,00·1 ⇔ ℓagua ≈ 48º 45’.
Solución: a) Para hallar la frecuencia que tiene el fotón, aplicamos la Ecuación de Planck:
1,602·10–19 J
2,00
eV
·
𝐸𝐸
1 eV
𝐸𝐸 = ℎ 𝑓𝑓 ⇒ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,84·1014 Hz.
ℎ
6,626·10–34 J s
b) La longitud de onda se calcula con:
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝜆𝜆
𝜆𝜆
=
≅
≅ 6,20·10–7 m
vacío
𝑣𝑣 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓
14 Hz
𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑓𝑓
1
·
4,84·10
vacío
𝑇𝑇
⇔ 𝜆𝜆 𝑓𝑓 =
⇔
𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛 =
𝜆𝜆medio =
≅
≅ 4,27·10–7 m.
𝑣𝑣
𝑛𝑛medio 𝑓𝑓 1,45 · 4,84·1014 Hz
Comparando con las tablas del espectro se ve que 620 nm corresponde a la zona roja del
espectro.
74.–
02/05/2015
Un haz de luz de 5,00·1014 Hz viaja por el interior de un diamante.
a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante.
b) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de refracción de 10º, dibuje la
trayectoria del haz y determine el ángulo de incidencia.
a) vdiamante ≈ 124 Mm s–1; λdiamante = 248 nm ;
ndiamante = 2,42
b) i ≈ 4º 7’.
9
9
75.–
Un haz de luz de frecuencia f = 4,0·1014 Hz se mueve por el agua, donde el índice de
refracción es n = 1,3 e incide sobre una superficie de separación agua–aire formando un ángulo
de 45º con la normal a dicha superficie. Calcule:
a) la velocidad de propagación de la onda en el agua;
b) la longitud de onda en ambos medios (en el agua y en el aire);
c) el ángulo de refracción.
−1
a) vagua ≈ 0,23 Gm s ;
Índice de refracción del aire: naire = 1,0
b) λagua ≈ 0,58 μm; λaire ≈ 0,75 μm ; c) r ≈ 66º 49’.
76.–
Un haz de luz láser cuya longitud de onda en el aire es 550·10–9 m incide en un bloque de
vidrio.
a) Describa con ayuda de un esquema los fenómenos ópticos que se producen.
b) Si el ángulo de incidencia es de 40º y el de refracción 25º, calcule el índice de refracción del
vidrio y la longitud de onda de la luz láser en el interior del bloque.
9
Datos: naire = 1
b) nvidrio ≈ 1,52; λ ≈ 362 nm.
Solución: a) De la expresión de la velocidad de propagación y de la
de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛diamante =
⇔ 𝑣𝑣diamante =
𝑣𝑣diamante
𝑛𝑛diamante
8
–1
3,00·10 m s
𝑛𝑛diamante =
≅ 1,24·108 m s–1 .
2,42
La frecuencia de una onda no se modifica al cambiar de medio, puesto que es inherente a la
vibración. Sin embargo la longitud de onda sí varía por lo que:
𝜆𝜆
𝑣𝑣 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑇𝑇
⇔ 𝜆𝜆 𝑓𝑓 =
⇔ 𝜆𝜆diamante =
=
≅ 2,48·10–7 m.
𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑛𝑛diamante 𝑓𝑓 2,42 · 5,00·1014 Hz
𝑛𝑛 =
𝑣𝑣
ni sen i = nr sen r ⇔ 2,42·sen i = 1,00·sen 10º ⇔ sen i ≈ 0,072 ⇔ i ≈ arc sen 0,072 ≈ 4º 7’.
Solución: a) Aplicando la expresión del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,0·108 m s –1
𝑛𝑛agua =
; 𝑣𝑣agua =
=
≅ 2,3·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛agua
1,3
b) Aplicando la expresión que relaciona la longitud de onda y la velocidad, y teniendo en cuenta
que la frecuencia es la misma para una onda aunque cambie de medio:
𝑐𝑐
𝑣𝑣aire
𝑐𝑐
3,0·108 m s –1
𝑛𝑛aire
=
=
=
= 7,5·10–7 m
𝜆𝜆aire =
𝑓𝑓
𝑓𝑓
𝑛𝑛aire 𝑓𝑓 1 · 4,0·1014 Hz
𝑐𝑐
3,0·108 m s –1
𝜆𝜆agua =
=
= 5,8·10–7 m.
𝑛𝑛agua 𝑓𝑓 1,3 · 4,0·1014 Hz
c) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,3·sen 45º = 1,0·sen r ⇔ sen r ≈ 0,919 ⇔ r ≈ arc sen 0,919 = 66º 49’.
Solución: a) El rayo, al entrar en el vidrio, que tiene un índice de
refracción mayor que el aire, se desvía acercándose a la normal.
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (naire sen i = nvidrio sen r)
y la expresión del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑛𝑛aire
sen 25o
o
o
𝑛𝑛 = ; 𝑛𝑛aire · sen 40 = 𝑛𝑛vidrio · sen 25 ⇔
=
.
𝑣𝑣
𝑛𝑛vidrio
sen 40o
𝑛𝑛aire · sen 40o 1 · 0,643
𝑛𝑛vidrio =
=
≅ 1,52.
sen 25o
0,423
La frecuencia nunca cambia en un cambio de medio. Como la velocidad de la onda dentro del
medio sí cambia, la longitud de onda también cambiará.
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
550·10–9 m
𝑛𝑛vidrio =
=
=
⇔ 𝜆𝜆vidrio =
≅
≅ 3,62·10–7 m.
𝑣𝑣vidrio
𝜆𝜆vidrio 𝑓𝑓 𝜆𝜆vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,52
77.–
02/05/2015
Un haz de luz monocromática de frecuencia 5,00·1014 Hz se propaga por el aire.
a) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en una lámina de vidrio y calcule
la longitud de onda.
b) ¿Cuál debe ser el ángulo de incidencia en la lámina para que los rayos reflejado y refractado
sean perpendiculares entre sí?
Datos: Constante de Planck: h = 6,63·10–34 J s ; Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1 ;
nvidrio = 1,20
9
9
9
9
a) Cambian: λ, k, vprop, y relacionadas; no cambian: f, E, A y relacionadas; λvid = 500 nm ;
i ≈ 50º 12’.
b)
78.–
Un haz de luz monocromática de longitud de onda 582 nm incide sobre la superficie de un
cristal de caras plano paralelas cuyo índice de refracción es de 1,85 formando un ángulo de 45º.
Calcule:
a) los ángulos de reflexión y refracción sobre la primera cara del cristal;
b) el ángulo de reflexión en la segunda de las caras.
c) ¿Puede darse el fenómeno de reflexión total en alguna de las caras? ¿En cuál de ellas? En
caso de que pueda darse en alguna de las dos, indique a partir de que ángulo.
d) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz dentro del material?
a) αreflexión = 45º; r ≈ 22º 28’ ; b) α’reflexión ≈ 22º 28’ ; c) No; sólo se daría con un ángulo de
incidencia en la segunda cara de 32º 43’ ; d) λ ≈ 315 nm.
79.–
Un haz de luz monocromática incide desde el aire sobre dos placas planas transparentes de
índices de refracción n1 = 2,30 y n2 = 1,73 como indica la figura. Determine el ángulo de
refracción φ de la figura.
φ ≈ 30º 2’.
80.–
Un haz de luz monocromática procedente del aire incide sobre la superficie de vidrio cuyo
índice de refracción es 1,54 con un ángulo de 30º. Averigüe el valor de los ángulos de reflexión
y de refracción.
Datos: Índice de refracción del aire, n = 1
αr = 30º ; r ≈ 18º 57’.
Solución: a) La frecuencia no puede cambiar porque está asociada a la velocidad de vibración de
la onda que no puede cambiar. La velocidad de propagación sí puede cambiar (como de hecho lo
hace) debido a que no ofrecen la misma resistencia al paso de la onda dos medios distintos (con
distinto índice de refracción). Como la velocidad de propagación relaciona la frecuencia con la
longitud de onda está también puede cambiar. La energía, y otras magnitudes relacionadas con ella
no cambian puesto que ésta se relaciona directamente con la frecuencia (la amplitud, etc, tampoco
cambiarán). El número de ondas, y las asociadas con la longitud de onda también cambiarán.
𝑐𝑐
𝜆𝜆vid
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛vid =
; 𝑣𝑣vid =
= 𝜆𝜆vid 𝑓𝑓 =
⇔ 𝜆𝜆vid =
=
= 5,00·10–7 m.
𝑣𝑣vid
𝑇𝑇
𝑛𝑛vid
𝑛𝑛vid 𝑓𝑓 1,20 · 5,00·1014 Hz
b) Se puede comprobar que, para un rayo que experimenta al mismo tiempo refracción y
reflexión, los ángulos que se forman de la normal superior a la inferior son el reflejado, el que
forman el rayo reflejado con el refractado y el refractado. Como eso suma 180º y nos dicen que el
que forman ambos rayos es 90º, la suma del reflejado y el refractado también es 90º.
Por tanto, aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión y la 2ª Ley de Snell para la refracción:
i = i’ ; n1 sen i = n2 sen r = n2 cos i ⇔ tg i = n2 / n1 = 1,20 ⇔ i = arc tg 1,20 ≈ 50º 12’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión, obtenemos que el ángulo de
reflexión es igual al de incidencia por lo que el ángulo de reflexión es 45º.
na sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 45º = 1,85·sen r ⇔ sen r ≈ 0,382 ⇔ r ≈ 22º 28’.
b) Como el ángulo de incidencia en la segunda cara es igual al ángulo de refracción que
acabamos de calcular (por trigonometría) , aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión, el ángulo
reflejado es igual al de incidencia y por tanto es de 22º 28’.
c) Aplicando para la segunda cara la 2ª Ley de Snell para la refracción (i2 = r):
ni sen i2 = nr sen r2 ⇔ 1,85·sen r = 1·sen r2 ⇔ sen r2 ≈ 0,707 ⇔ r2 ≈ arc sen 0,707 = 45º.
Sale paralelo al rayo incidente. (No hacía falta hacer la operación, puesto que los factores son los
mismos que los del apartado anterior). Por tanto, no hay reflexión total en ninguna cara.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción en la segunda cara que es la única donde puede
darse el fenómeno ya que debe pasar de un medio con mayor índice de refracción al de menor:
nv sen i = na sen r ⇔ 1,85·sen ℓ = 1·sen 90º ⇔ sen ℓ ≈ 0,541 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,541 = 32º 43’.
d) Como la velocidad de la onda (luz) dentro del cristal y del aire cambia, la longitud de onda
también cambiará.
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 582·10–9 m
𝑛𝑛 = =
=
⇔ 𝜆𝜆lámina = =
≅ 315·10–9 m.
𝑣𝑣 𝜆𝜆lámina 𝑓𝑓 𝜆𝜆lámina
𝑛𝑛
1,85
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara:
n sen i = n1 sen r.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la segunda cara:
n1 sen r = n2 sen φ = n sen i ⇔ 1,73·sen φ = 1,00·sen 60º ⇔ sen φ ≈ 0,501 ⇔ φ ≈ 30º 2’.
Es innecesario el dato del índice de refracción del medio intermedio, puesto que se puede
resolver el problema sin hacer uso de él.
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión, obtenemos que el ángulo de reflexión
es igual al de incidencia por lo que el ángulo de reflexión es 30º.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,54·sen r ⇔ sen r ≈ 0,325
r ≈ arc sen 0,325 ≈ 18º 57’.
02/05/2015
81.–
Un haz de luz que viaja por el aire incide sobre un bloque de vidrio. Los haces reflejado y
refractado forman ángulos de 30º y 20º, respectivamente, con la normal a la superficie del
bloque.
a) Calcule la velocidad de la luz en el vidrio y el índice de refracción de dicho material.
b) Explique qué es el ángulo límite y determine su valor para el caso descrito.
9
naire = 1,00
a) vvidrio ≈ 205 Mm s ; nvidrio ≈ 1,46 ; b) ángulo para el que un rayo no sale del medio por el
que va; no tiene lugar el fenómeno (si fuera al revés, de vidrio a aire sería ℓ ≈ 43º 10’).
–1
82.–
Un haz de luz roja penetra en una lámina de vidrio de 30 cm de espesor con un ángulo de
incidencia de 30º.
a) Explique si cambia el color de la luz al penetrar en el vidrio y determine el ángulo de
refracción.
b) Determine el ángulo de emergencia (ángulo que forma el rayo que sale de la lámina con la
normal) y el tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina de vidrio.
a) No cambia (no cambia la frecuencia); r ≈ 22º 37’ ;
nvidrio = 1,30 ;
naire = 1
b) r2 = 30º; t = 1,4 ns.
9
83.–
Un haz de luz roja penetra en una lámina de vidrio, de 30 cm de espesor, con un ángulo de
incidencia de 45º.
a) Explique si cambia el color de la luz al penetrar en el vidrio y determine el ángulo de
refracción.
b) Determine el ángulo de emergencia (ángulo del rayo que sale de la lámina con la normal).
¿Qué tiempo tarda la luz en atravesar la lámina de vidrio?
a) No cambia (no cambia la frecuencia); r ≈ 32º 57’ ;
nvidrio = 1,3
b) r2 = 45º; t ≈ 1,55 ns.
9
Solución: a) Como el ángulo del haz reflejado forma un ángulo de 30º con la normal, es que el
haz incidente forma el mismo ángulo (2ª Ley de Snell para la reflexión). Aplicando la 2ª Ley de
Snell de la refracción: ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen 30º = nr·sen 20º ⇔ nr ≈ 1,46.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛vidrio =
≅
≅ 2,05·108 m s–1 .
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,46
El problema plantea el paso de aire (n = 1,00) a vidrio(n = 1,46) por lo que no se dan las
condiciones. Si el rayo pasara de vidrio a aire la condición de reflexión total sería:
ni sen ℓ = nr sen 90º ⇔ 1,46·sen ℓ = 1,00·sen 90º ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,684 ≈ 43º 10’.
Solución: a) La frecuencia de una onda no cambia por cambiar de medio, por lo que no es
posible que un rayo cambie de color (cambio de frecuencia) al atravesar una superficie de
separación entre dos medios transparentes.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1·sen 30º = 1,3·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,385 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,385 ≈ 22º 37’.
b) Aplicando para la segunda cara la 2ª Ley de Snell para la refracción (i2 = r1):
ni sen i2 = nr sen r2 ⇔ 1,3· sen 22º 37’ = 1·sen r2 ⇔ sen r2 = 0,500 ⇔ r2 = arc sen 0,500 = 30º
(no hacía falta hacer la operación, puesto que los factores son los mismos que los del apartado
anterior).
Para poder contestar esta pregunta que se puede obtener sabiendo que es un movimiento
rectilíneo uniforme, necesitamos conocer la distancia recorrida por el rayo y la velocidad de la luz
en el vidrio, que cumplen que:
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑐𝑐
𝑐𝑐
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
; 𝑛𝑛vidrio =
ℓ
cos 𝑟𝑟1
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
𝑠𝑠
ℓ
ℓ
𝑠𝑠 𝑛𝑛vidrio
0,30 m · 1,3
cos 𝑟𝑟
𝑣𝑣 =
⇔ 𝑡𝑡 =
= 𝑐𝑐 1 =
≅
≅ 1,4·10–9 s.
8
𝑡𝑡
𝑣𝑣vidrio
𝑐𝑐 cos 𝑟𝑟1
3,00·10 m s –1 · cos 22o 37´
𝑛𝑛vidrio
Solución: a) La frecuencia de una onda no cambia por cambiar de medio, por lo que no es
posible que un rayo cambie de color (cambio de frecuencia) al atravesar una superficie de
separación entre dos medios transparentes.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1·sen 45º = 1,3·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,544 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,544 ≈ 32º 57’.
b) Aplicando para la segunda cara la 2ª Ley de Snell para la refracción (i2 = r1):
ni sen i2 = nr sen r2 ⇔ 1,3· sen 32º 57’ = 1·sen r2 ⇔ sen r2 ≈ 0,701 ⇔ r2 ≈ arc sen 0,701 = 45º
(no hacía falta hacer la operación, puesto que los factores son los mismos que los del apartado
anterior).
Para poder contestar esta pregunta que se puede obtener sabiendo que es un movimiento
rectilíneo uniforme, necesitamos conocer la distancia recorrida por el rayo y la velocidad de la luz
en el vidrio, que cumplen que:
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑐𝑐
𝑐𝑐
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
; 𝑛𝑛vidrio =
ℓ
cos 𝑟𝑟1
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
𝑠𝑠
ℓ
ℓ
𝑠𝑠 𝑛𝑛vidrio
0,30 m · 1,3
cos 𝑟𝑟
𝑣𝑣 =
⇔ 𝑡𝑡 =
= 𝑐𝑐 1 =
≅
≅ 1,55·10–9 s.
8
𝑡𝑡
𝑣𝑣vidrio
𝑐𝑐 cos 𝑟𝑟1
3,00·10 m s –1 · cos 32o 57´
𝑛𝑛vidrio
9
02/05/2015
84.–
Un haz de luz verde de longitud de onda de 555 nm que se propaga por el vacío incide
sobre la superficie de un material cuyo índice de refracción es n = 1,40. Determine:
a) la frecuencia de la luz;
b) la velocidad de ese haz de luz dentro del material.
c) Si la luz incide sobre la superficie plana del material con un ángulo de 45º, ¿con qué ángulo
sale el rayo refractado?
d) ¿Qué energía tienen los fotones de la luz incidente?
–34
Constante de Planck: h = 6,63·10
a) f ≈ 541 THz ; b) vmaterial ≈ 214 Mm s ; c) r ≈ 30º 20’ ; d) E ≈ 358 zJ.
Js
–1
85.–
Un haz láser que se propaga por un bloque de vidrio tiene una longitud de onda de
550 nm. El haz emerge hacia el aire con un ángulo de incidencia de 25º y un ángulo de
refracción de 40º.
a) Calcule el índice de refracción del vidrio y la longitud de onda de la luz láser en el aire.
b) Razone para qué valores del ángulo de incidencia el haz láser no sale del vidrio.
a) nvidrio ≈ 1,52; λ ≈ 837 nm ;
b) i ≥ 41º 6’.
naire = 1,00
9
9
86.–
Un haz luminoso está constituido por dos rayos de luz superpuestos: uno azul de longitud
de onda 450 nm y otro rojo de longitud de onda 650 nm. Si este haz incide desde el aire sobre la
superficie plana de un vidrio con un ángulo de incidencia de 30º, calcule:
a) el ángulo que forman entre si los rayos azul y rojo reflejados;
b) el ángulo que forman entre si los rayos azul y rojo refractados.
Datos: Índice de refracción del vidrio para el rayo azul:
para el rayo rojo: nrojo = 1,40
nazul = 1,55 : Índice de refracción del vidrio
a) Son paralelos ; b) δ ≈ 2º 6’.
87.–
Un haz luminoso monocromático de frecuencia 5,00·1014 s–1 se propaga por el interior de
un vidrio de índice de refracción nv = 1,55 e incide sobre una superficie plana de separación
vidrio/agua. El índice de refracción del agua es na = 1,33.
a) Determine el ángulo de incidencia del haz con la superficie para que se produzca una
reflexión total. Haga un dibujo.
b) Calcule la velocidad de la luz y la longitud de onda en cada medio.
9
a) i ≥ 59º 6’ ; b) vv ≈ 194 Mm s–1; va ≈ 226 Mm s–1; λv ≈ 388 nm; λa ≈ 452 nm.
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 5,41·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 555 nm · 1 m
109 nm
b) La velocidad se puede calcular con la expresión del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑛𝑛 =
⇔ 𝑣𝑣metal = =
≅ 2,14·108 m s–1 .
𝑣𝑣metal
𝑛𝑛
1,40
d) La energía se obtiene de:
ℎ 𝑐𝑐 6,63·10–34 J s · 3,00·108 m s –1
𝐸𝐸 = ℎ 𝑓𝑓 =
=
≅ 3,58·10–19 J.
1m
𝜆𝜆
555 nm · 9
10 nm
Solución: a) Con los datos que nos dan podemos calcular el índice de refracción del medio,
aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción:
𝑛𝑛aire sen 𝑟𝑟 1,00 · sen 40o 1,00 · 0,643
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛aire sen 𝑟𝑟 ⇔ 𝑛𝑛vidrio =
=
≅
≅ 1,52.
sen 𝑖𝑖
sen 25o
0,423
Para calcular la longitud de onda, y aplicando la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝑛𝑛aire sen 𝑟𝑟 𝜆𝜆vidrio 𝑛𝑛aire sen 𝑟𝑟
𝑛𝑛vidrio =
=
⇔ 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆vidrio 𝑛𝑛vidrio = 𝜆𝜆vidrio
=
𝑣𝑣vidrio
𝜆𝜆vidrio 𝑓𝑓
sen 𝑖𝑖
sen 𝑖𝑖
–9
o
–9
550·10 m · 1,00· sen 40
550·10 m · 1,00 · 0,643
𝜆𝜆 =
≅
≅ 8,37·10–7 m.
o
sen 25
0,423
b) Volviendo a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción:
𝑛𝑛aire sen 90o
𝑛𝑛aire sen 90o
𝑛𝑛vidrio sen 𝑖𝑖 ≥ 𝑛𝑛aire sen 90o ⇔ 𝑖𝑖 ≥ arc sen
= arc sen 𝑛𝑛
aire sen 𝑟𝑟
𝑛𝑛vidrio
sen 𝑖𝑖
o
o
sen 90 sen 𝑖𝑖
1 · sen 25
𝑖𝑖 ≥ arc sen
= arc sen
≅ arc sen 0,657 ≅ 41o 6’.
sen 𝑟𝑟
sen 40o
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la reflexión a los dos casos, obtenemos ángulos
iguales de reflexión de 30º (i = r), por lo que los rayos salen paralelos (δ = 0º).
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los dos casos:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,40·sen r ⇔ sen r ≈ 0,357 ⇔ rr ≈ arc sen 0,357 ≈ 20º 55’.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,55·sen r ⇔ sen r ≈ 0,323 ⇔ rv ≈ arc sen 0,323 ≈ 18º 49’.
Por tanto la dispersion angular será: δ = |rr – rv| ≈ |20º 55’–18º 49’| = 2º 6’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la
refracción:
nv sen i = na sen r ⇔ 1,55·sen i ≥ 1,33·sen 90º
sen i ≥ 0,858 ⇔ i ≥ arc sen 0,858 ≈ 59º 6’.
El esquema del rayo pedido se ve en la figura:
b) Aplicando la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛v =
⇔ 𝑣𝑣v =
=
≅ 1,94·108 m s–1
𝑣𝑣v
𝑛𝑛v
1,55
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛a =
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
≅ 2,26·108 m s –1 .
𝑣𝑣a
𝑛𝑛a
1,33
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛v = =
⇔ 𝜆𝜆v =
=
≅ 3,88·10–7 m
𝑣𝑣v 𝜆𝜆v 𝑓𝑓
𝑛𝑛v 𝑓𝑓 1,55 · 5,00·1014 Hz
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛a = =
⇔ 𝜆𝜆a =
=
≅ 4,52·10–7 m.
𝑣𝑣a 𝜆𝜆a 𝑓𝑓
𝑛𝑛a 𝑓𝑓 1,33 · 5,00·1014 Hz
02/05/2015
88.–
Un láser de helio–neón emite luz de 632,8 nm de longitud de onda que se propaga en un
vidrio de índice de refracción es n = 1,42. Determine la velocidad de propagación, la frecuencia
y la longitud de onda de dicha luz en el vidrio.
9
vvidrio ≈ 211 Mm s–1 ;
–9
1 nm = 10 m
b) f ≈ 474 THz ; c) λvidrio ≈ 446 nm.
89.–
Un láser de helio–neón emite luz de 632,8 nm de longitud de onda en el vacío. Determine
la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda de dicha luz si se propaga por
un vidrio de índice de refracción n = 1,50.
1 nm = 10–9 m
vvidrio = 200 Mm s ; b) f ≈ 474 THz ; c) λvidrio ≈ 422 nm.
–1
9
90.–
Un láser de helio–neón emite luz roja de 632,8 nm de longitud de onda. Determine la
velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda de dicha luz en el agua, cuyo
índice de refracción es n = 1,33.
vagua ≈ 226 Mm s ;
–1
9
9
1 nm = 10–9 m
b) f ≈ 474 THz ; c) λagua ≈ 476 nm.
91.–
Un prisma de sección recta triangular se encuentra inmerso en el aire. Sobre una de sus
caras incide un rayo de luz, con un ángulo de incidencia de 15º, tal como se indica en la figura
adjunta. Si el índice de refracción del prisma es 1,50, determine:
a) el valor del ángulo i2;
b) si se producirá el fenómeno de la reflexión total en la cara mayor del prisma.
a) i2 ≈ 50º 4’ ; b) Sí se produce la reflexión total.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛vidrio =
=
≅ 2,11·108 m s–1 .
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,42
b) La frecuencia no varía puesto que es una de las características fundamentales de las ondas que
no varía con el medio. Por lo tanto y aplicando el concepto de velocidad de una onda en el vacío:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,74·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 632,8 nm · 10–9 m nm–1
Aplicando ahora la expresión de la velocidad de una onda a los dos medios:
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 632,8 nm
𝑛𝑛 = =
=
⇔ 𝜆𝜆vidrio = =
≅ 446 nm = 4,46·10–7 m.
𝑣𝑣 𝜆𝜆vidrio 𝑓𝑓 𝜆𝜆vidrio
𝑛𝑛
1,42
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛vidrio =
=
= 2,00·108 m s–1 .
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,50
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,74·1014 Hz.
–9
–1
𝑇𝑇
𝜆𝜆 632,8 nm · 10 m nm
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 632,8 nm
𝑛𝑛 = =
=
≅ 422 nm = 4,22·10–7 m.
𝑛𝑛
1,50
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛agua =
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
≅ 2,26·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛agua
1,33
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,74·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 632,8 nm · 10–9 m nm–1
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 632,8 nm
𝑛𝑛 = =
=
⇔ 𝜆𝜆agua = =
≅ 476 nm = 4,76·10–7 m.
𝑣𝑣 𝜆𝜆agua 𝑓𝑓 𝜆𝜆agua
𝑛𝑛
1,33
Solución: a) Aplicando conceptos trigonométricos podemos demostrar que i2 es el ángulo
complementario de α, donde α es el tercer ángulo del triángulo que forman los dos lados del prisma
y el rayo dentro de éste. Por tanto: α = 180º – ϕ – β, siendo β el ángulo complementario de el
ángulo r1. De esa forma: i2 = 90º – α = 90º – (180º – ϕ – β) = ϕ + (90º – r1) – 90º = ϕ – r1.
ni sen i = nr sen r1 ⇔ 1,00·sen 15º = 1,50·sen r1 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,173 ≈ 9º 56’.
i2 = ϕ – r1 ≈ 60º – 9º 56’ = 50º 4’.
b) Para producirse la reflexión total al aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción en la cara
mayor deberíamos obtener un seno de valor mayor que la unidad, lo que es imposible:
nr sen i2 = ni sen r2 ⇔ 1,50·sen 50º 4’ ≈ 1,00·sen r2 ⇔ sen r2 ≈ 1,150 ⇒ r2 no existe.
Sí se produce la reflexión total.
02/05/2015
92.–
Un rayo de luz amarilla de 580 nm se propaga por el aire a una velocidad de 3,0·108 m s−1
e incide sobre un vidrio que tiene un índice de refracción de 1,55 para esta luz. Calcule:
a) la frecuencia de la luz amarilla en el aire y su velocidad de propagación en el vidrio;
b) la frecuencia y la longitud de onda de la luz amarilla en el vidrio.
a) faire ≈ 517 THz; vvidrio ≈ 194 Mm s–1 ; b) fvidrio ≈ 517 THz; λvidrio ≈ 374 nm.
9
9
93.–
Un rayo de luz amarilla emitido por una lámpara de sodio posee una longitud de onda en
el vacío de λa = 589·10–9 m. Determine:
a) su frecuencia;
b) la velocidad y su longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo, sabiendo que posee
un índice de refracción n = 1,458;
c) el ángulo de incidencia mínimo para que este rayo de luz, propagándose en el interior de la
fibra de cuarzo, cuando encuentre una superficie de discontinuidad entre el cuarzo y el aire
experimente una reflexión total.
Índice de refracción del aire: naire = 1,00
a) f ≈ 509 THz ; b) v = 206 Mm s–1; λcuarzo ≈ 404 nm ; c) ℓcuarzo ≈ 43º 18’.
9
94.–
Un rayo de luz amarilla, emitida por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en
el vacío de 580·10–9 m.
a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha luz en el interior de
una fibra de cuarzo, cuyo índice de refracción es n = 1,50.
b) ¿Pueden existir valores del ángulo de incidencia para los que un haz de luz, que se propaga
por el interior de una fibra de cuarzo, no salga al exterior? Explique el fenómeno y, en su
caso, calcule los valores del ángulo de incidencia para los cuales tiene lugar.
a) vcuarzo = 200 Mm s–1 ; λcuarzo ≈ 387 nm ; b) α > ℓcuarzo = 41º 49’.
95.–
Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de
incidencia de 30º.
a) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul, componentes de
la luz blanca, si los valores de los índices de refracción del vidrio para estos colores son,
respectivamente, nrojo = 1,612 y nazul = 1,671?
b) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada
una de estas radiaciones en el vidrio, si las longitudes de onda en el vacío son,
respectivamente, λrojo = 656,3 nm y λazul = 486,1 nm?
9
Datos: Velocidad de la luz en el vacío c = 3,00·108 m s–1
a) δ ≈ 0,7º ; b) frojo ≈ 457 THz ; fazul = 6174 THz ;
b) λrojo ≈ 407,1 nm y λazul ≈ 290,9 nm.
Solución: a) Aplicando el concepto de velocidad de una onda:
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 5,17·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆
580·10–9 m
De la expresión de la velocidad de propagación y de la de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
=
≅ 1,94·108 m s–1 .
𝑛𝑛vidrio =
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,55
no varía con el medio. Por lo tanto fvidrio ≈ 5,17·1014 Hz.
Como la velocidad de la onda (luz) dentro del vidrio y del agua cambia, la longitud de onda
también cambiará.
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 580·10–9 m
𝑛𝑛 = =
=
≅ 374·10–9 m.
𝑛𝑛
1,55
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 5,09·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆
589·10–9 m
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
⇔ 𝑣𝑣cuarzo = =
≅ 2,06·108 m s–1 .
𝑛𝑛cuarzo =
𝑣𝑣cuarzo
𝑛𝑛
1,458
1m
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 589 nm · 109 nm
𝑛𝑛 =
=
=
⇔ 𝜆𝜆cuarzo = =
≅ 4,04·10–7 m = 404 nm.
𝑣𝑣cuarzo
1,458
𝜆𝜆cuarzo 𝑓𝑓 𝜆𝜆cuarzo
𝑛𝑛
b) La pregunta está relacionada con la condición de reflexión total (ángulo límite) que es:
ni sen ℓcuarzo = nr sen 90º ⇔ 1,458·sen ℓcuarzo = 1,00·1 ⇔ ℓcuarzo ≈ 43º18’.
Solución: a) Aplicando las relaciones:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
𝑛𝑛cuarzo =
⇔ 𝑣𝑣cuarzo = =
= 2,00·108 m s–1
𝑣𝑣cuarzo
𝑛𝑛
1,50
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 580·10–9 m
𝑛𝑛 =
=
=
⇔ 𝜆𝜆cuarzo = =
≅ 3,87·10–7 m = 387 nm.
1,5
𝑣𝑣cuarzo
𝜆𝜆cuarzo 𝑓𝑓 𝜆𝜆cuarzo
𝑛𝑛
b) La pregunta está relacionada con la condición de ángulo límite que es:
ni sen ℓcuarzo = nr sen 90º ⇔ 1,50·sen ℓcuarzo = 1·1 ⇔ ℓcuarzo = 41º 49’.
La reflexión total se producirá para ángulos por encima del ángulo límite: α > 41º 49’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a los dos casos:
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,612·sen r ⇔ sen r ≈ 0,310 ⇔ rr ≈ arc sen 0,310 ≈ 18º 4’.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,671·sen r ⇔ sen r ≈ 0,299 ⇔ ra ≈ arc sen 0,299 ≈ 17º 25’.
Por tanto la dispersión angular será: δ = |rr – rv| ≈ |18º 4’ – 17º 25’| = 39’≈ 0,65º.
b) De la expresión de la velocidad de propagación de una onda:
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑓𝑓r = =
≅ 4,57·1014 Hz
𝜆𝜆r 656,3 nm · 1 m
𝜆𝜆
109 nm
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔
8
𝑇𝑇
𝑐𝑐
3,00·10 m s–1
𝑓𝑓a = =
≅ 6,17·1014 Hz.
𝜆𝜆a 486,1 nm · 1 m
109 nm
Ahora aplicamos la expresión del índice refracción del vidrio, para obtener las longitudes de
onda de ambas:
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝑛𝑛 =
=
=
𝑣𝑣vidrio 𝜆𝜆vidrio 𝑓𝑓 𝜆𝜆vidrio
𝜆𝜆r 656,3 nm
𝜆𝜆a 486,1 nm
𝜆𝜆vidrio r = =
≅ 407,1 nm ; 𝜆𝜆vidrio a =
=
≅ 290,9 nm.
𝑛𝑛r
1,612
𝑛𝑛a
1,671
9
02/05/2015
96.–
Un rayo de luz cuya longitud de onda en el vacío es λ = 5,9·10–7 m se propaga por el
interior de una fibra óptica de índice de refracción ni = 1,5. Si la fibra óptica tiene un
recubrimiento exterior cuyo índice de refracción es ne = 1,0, determine:
a) la velocidad de propagación y la longitud de onda del rayo en el interior de la fibra óptica;
b) el ángulo de incidencia mínimo en la pared interna de la fibra para que el rayo que incida
sobre ella no salga a la capa externa.
a) vfibra = 0,20 Gm s–1; λfibra ≈ 0,39 μm ;
9
b) ℓ ≈ 41º 49’.
97.–
Un rayo de luz de frecuencia 5,0·1014 Hz penetra en una lámina de vidrio de caras Calcular la velocidad de
paralelas con un ángulo de incidencia de 30º.
propagación 2,0
a) Dibuje en un esquema los rayos incidente, refractado en el vidrio y emergente al aire y
determine los ángulos de refracción y de emergencia.
b) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en el vidrio y calcule la velocidad
de propagación dentro de la lámina.
naire = 1,00 ; nvidrio = 1,50
a) r ≈ 19º 28’; e = 30º ; b) Cambian λ, k, vp, y las relacionadas con ellas.
98.–
Un rayo de luz de longitud de onda 500 nm incide desde aire sobre una lámina de vidrio
de caras planas formando 30° con la normal a la lámina. El espesor de la lámina es 2,0 cm y su
índice de refracción es igual a 1,50.
a) Halle el ángulo que forma el rayo refractado con la normal.
b) ¿Cuál es la velocidad de la luz mientras atraviesa la lámina?
c) Calcule cuánto tiempo tarda la luz en atravesar la lámina.
d) Halle la energía de los correspondientes fotones.
Datos: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1 ; Constante de Planck: h = 6,63·10–34 J s ;
1 nm = 10–9 m ; Índice de refracción del aire n = 1
9
9
a) r ≈ 19º 28’ ; b) vvidrio = 200 Mm s−1 ; c) t ≈ 0,11 ns ; d) E ≈ 398 zJ.
99.–
Un rayo de luz incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia
de 40º. La luz se propaga por el vidrio formando un ángulo de refracción de 25º con la normal.
Sabiendo que la velocidad de la luz en el aire es 3,00·108 m s–1, determine la velocidad de la luz
en el vidrio.
vvidrio ≈ 197 Mm s−1.
Solución: a) Aplicando la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛i =
⇔ 𝑣𝑣fibra = =
= 2,0·108 m s–1 .
𝑣𝑣fibra
𝑛𝑛i
1,5
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆 5,9·10–7 m
𝑛𝑛i =
=
⇔ 𝜆𝜆fibra = =
≅ 3,9·10–7 m.
𝑣𝑣fibra
𝜆𝜆fibra 𝑓𝑓
𝑛𝑛i
1,5
ni sen i = ne sen r ⇔ 1,5·sen ℓ = 1,0·sen 90º.
sen ℓ ≈ 0,667 ⇔ ℓ ≈ arc sen 0,667 ≈ 41º 49’.
Solución: a) El esquema es el siguiente:
ni sen i = nr sen r1 ⇔ 1,00·sen 30º = 1,50·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,333
r1 ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
Como ni sen i = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen e, siendo r1 = r2, se cumple
que i = e por lo que refractará para luego emerger con el mismo ángulo, 30º.
b) No varían las características intrínsecas a la onda, como la amplitud, la
frecuencia, el periodo, la velocidad y aceleración de perturbación y las relacionadas solo con ellas
(energía, etcétera).
Variarán las que tengan influencia del medio donde se encuentran, como la longitud de onda, el
número de ondas, la velocidad de propagación y las relacionadas directamente con ellas.
b) La velocidad de la luz en el vidrio se puede obtener de la expresión del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛vidrio =
=
= 2,00·108 m s–1 .
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
1,50
c) Para contestar esta pregunta hay que tener en cuenta que es un movimiento rectilíneo
uniforme. Necesitamos conocer la distancia recorrida por el rayo (ℓ; llamamos s al espesor de la
lámina, 2,0 cm):
𝑠𝑠
cos 𝑟𝑟 =
ℓ
𝑠𝑠
𝑐𝑐
ℓ
2,0·10–2 m · 1,50
cos
𝑟𝑟 = 𝑠𝑠 𝑛𝑛vid =
𝑣𝑣vidrio =
⇔
𝑡𝑡
=
=
≅ 1,1·10–10 s.
𝑐𝑐
𝑛𝑛vidrio
𝑐𝑐 cos 𝑟𝑟 3,00·108 m s –1 · cos 19,5o
𝑣𝑣vid
𝑛𝑛vid
ℓ
𝑣𝑣 =
𝑡𝑡
d) Para hallar la energía que tiene el fotón, aplicamos la Ecuación de Planck:
𝑐𝑐 ℎ 𝑐𝑐 6,63·10–34 J s · 3,00·108 m s–1
𝜆𝜆
⇒ 𝐸𝐸 = ℎ =
=
≅ 3,98·10–19 J.
–9 m
10
𝜆𝜆
𝜆𝜆
500 nm · 1 nm
𝑇𝑇
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (naire sen i = nvidrio sen r) y la expresión
del índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛aire
sen 𝑟𝑟
𝑣𝑣vidrio
𝑣𝑣
𝑛𝑛 =
; 𝑛𝑛aire · sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛vidrio · sen 𝑟𝑟 ⇔
=
= aire
=
𝑐𝑐
𝑣𝑣
sen 𝑖𝑖
𝑛𝑛vidrio
𝑣𝑣aire
𝑣𝑣vidrio
𝑣𝑣aire · sen 𝑟𝑟 3,00·108 m s –1 · sen 25o 3,00·108 m s –1 · 0,423
𝑣𝑣vidrio =
=
≅
≅ 1,97·108 m s–1 .
sen 𝑖𝑖
sen 40o
0,643
9
100.– Un rayo de luz monocromática emerge desde el interior de un bloque de vidrio hacia el
aire. Si el ángulo de incidencia es de 19,5º y el de refracción de 30º,
a) determine el índice de refracción y la velocidad de propagación de la luz en el vidrio.
b) Como debe saber, pueden existir ángulos de incidencia para los que no hay rayo refractado;
es decir, no sale luz del vidrio. Explique este fenómeno y calcule los ángulos para los que
tiene lugar.
a) nvidrio ≈ 1,50; vvidrio ≈ 200 Mm s–1 ;
reflexión total: i ≥ 41º 49’.
9
02/05/2015
naire = 1,00
b) Ángulo de incidencia mayores que el ángulo de
101.– Un rayo de luz monocromática incide desde el aire perpendicularmente sobre la superficie
lateral de un prisma triangular con índice de refracción 1,10 (ver figura).
a) Haga un esquema con la trayectoria del rayo y calcule el ángulo de refracción con el que el
rayo sale del prisma de nuevo al aire.
b) Calcule la desviación del rayo, al salir del prisma, respecto a la dirección inicial.
Datos: naire = 1,0
9
9
a) r ≈ 72º 18’ ; b) δ ≈ 12º 18’.
102.– Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras
planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina de vidrio, situada en el aire
(naire = 1,00), tiene un espesor de 5,0 cm y un índice de refracción de 1,5.
a) Dibuje el camino seguido por el rayo.
b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.
c) Calcule el ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina.
b) ℓ ≈ 5,3 cm ; c) i2 = 30º.
103.– Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras
planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina de vidrio situada en el aire
tiene un espesor de 5,0 cm y un índice de refracción de 1,5. Calcule la longitud recorrida por el
rayo en el interior de la lámina.
Datos: Índice de refracción del aire: n = 1
ℓ ≈ 5,3 cm.
104.– Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de
índice de refracción 𝑛𝑛 = √2. El ángulo del prisma es α = 60º. Determine:
a) el ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral si el ángulo de incidencia es de
30º. Efectúe un esquema gráfico de la marcha del rayo;
b) el ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia del rayo sea 90º.
a) i’ ≈ 63º 36’ ; b) i ≈ 21º 28’.
9
ni sen i = nr sen r ⇔ ni·sen 19,5º = 1,00·sen 30º ⇔ ni ≈ 1,50.
Aplicando la relación:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
⇔ 𝑣𝑣vidrio = ≅
= 2,00·108 m s–1 .
𝑛𝑛vidrio =
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛
1,50
ni sen i ≥ nr sen 90º ⇔ 1,50·sen i ≥ 1,00·1 ⇔ i ≥ 41º 49’.
Solución: a) Por ser la incidencia en la primera superficie de separación perpendicular, el rayo
no se desvía. Aplicando trigonometría observamos que el ángulo de incidencia en la segunda cara
coincide con el ángulo del prisma. Por lo tanto, y aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
b) Teniendo en cuenta que el ángulo de incidencia inicial es nulo (por entrar perpendicularmente
en el prisma) la desviación del rayo en el prisma es igual a:
δ = i + i’ – ϕ ≈ 0º + 72º 18’ – 60º ≈ 12º 18’.
Solución: a) Dibujo al margen.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1,0·sen 30º = 1,5·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,333
r1 ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
La distancia recorrida por el rayo cumple que
𝑠𝑠
𝑠𝑠
5,0·10–2 m
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
≅
≅ 5,3·10–2 m.
ℓ
c) Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se
cumple que i1 = i2 por lo que refractará (al pasar de un medio de índice menor a uno de índice
mayor el ángulo será menor, 19º 28’) para luego emerger con el mismo ángulo, 30º.
ni sen i1 = nr sen r1 ⇔ 1,0·sen 30º = 1,5·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,333
r1 ≈ arc sen 0,333 ≈ 19º 28’.
𝑠𝑠
𝑠𝑠
5,0·10–2 m
cos 𝑟𝑟1 =
⇔ ℓ=
≅
≅ 5,3·10–2 m.
ℓ
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen 30º = √2·sen r ⇔ sen r ≈ 0,354 ⇔ r ≈ arc sen 0,354 ≈ 20º 42’.
Como el ángulo del prisma es igual (por construcción geométrica) a la suma de r y r’ podemos
obtener r’: r’ = ϕ – r ≈ 60º – 20º 42’ ≈ 39º 18’.
Volvemos a aplicar la 2ª Ley de Snell para la refracción (segunda cara):
nr sen r’ = ni sen i’ ⇔ √2·sen 39º 18’ ≈ 1,00·sen i’
sen i’ ≈ 0,896 ⇔ i’ ≈ arc sen 0,896 ≈ 63º 36’.
La marcha del rayo está en la figura adjunta.
b) La condición de reflexión total es (segunda cara):
nr sen r’ = ni sen 90º ⇔ √2·sen r’ = 1,00·1 ⇔ r’ = 45º.
Haciendo un razonamiento inverso al del apartado a):
r = ϕ – r’ = 60º – 45º = 15º.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción (primera cara):
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen i = √2·sen 15º ⇔ sen i ≈ 0,366 ⇔ i ≈ arc sen 0,366 ≈ 21º 28’.
9
9
02/05/2015
105.– Un rayo de luz monocromática que se propaga en un medio de índice de refracción 1,58
penetra en otro medio de índice de refracción 1,23 formando un ángulo de incidencia de 15º
(respecto a la normal) en la superficie de discontinuidad entre ambos medios.
a) Determine el valor del ángulo de refracción correspondiente al ángulo de incidencia
anterior. Haga un dibujo esquemático.
b) Defina ángulo límite y calcule su valor para este par de medios.
a) r ≈ 19º 25’ ; b) Ángulo de incidencia para un ángulo refractado de 90º ; ℓ ≈ 51º 7’.
106.– Un rayo de luz monocromática se propaga desde el agua hacia el aire.
a) ¿A partir de qué valor del ángulo de incidencia en la superficie de separación de ambos
medios se presenta el fenómeno de reflexión total? ¿Cómo se denomina dicho ángulo?
b) ¿Cuánto vale la velocidad de propagación del rayo de luz en el agua?
Datos: Índice de refracción del agua: na = 4 / 3 ; Índice de refracción del aire: n = 1,0 ;
la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
a) ℓ ≈ 48º 35’; ángulo límite ;
Velocidad de
b) vagua = 225 Mm s–1.
107.– Un rayo de luz monocromática, que posee una longitud de onda de 6,0·10–7 m en el aire,
incide con un ángulo de 30º sobre la superficie del agua, cuyo índice de refracción es 1,33.
Calcule:
a) la frecuencia, la velocidad de propagación y la longitud de onda de la luz en el agua;
b) el ángulo que forman entre sí el rayo reflejado y el refractado.
9
9
a) f = 0,50 PHz; vagua ≈ 226 Mm s–1; λagua ≈ 451 nm ;
b) α ≈ 127º 55’.
108.– Un rayo de luz que se propaga por un medio a una velocidad de 165 000 km s–1 penetra en
otro medio en el que la velocidad de propagación es 230 000 km s–1.
a) Dibuje la trayectoria que sigue el rayo en el segundo medio y calcule el ángulo que forma
con la normal si el ángulo de incidencia es de 30º.
b) ¿En qué medio es mayor el índice de refracción? Justifique la respuesta.
a) r ≈ 44º 11’ ; b) En el primer medio.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,58·sen 15º = 1,23·sen r
sen r ≈ 0,332 ⇔ r ≈ arc sen 0,332 ≈ 19º 25’.
b) Es el menor ángulo de incidencia para el que el rayo no puede salir
del medio con mayor índice de refracción, puesto que el ángulo de
refracción que tendría es de 90º. Se produce la reflexión total.
ni sen i ≥ nr sen 90º ⇔ 1,58·sen i ≥ 1,23·1 ⇔ sen i ≈ 0,778 ⇔ ℓmedio ≈ arc sen 0,778 ≈ 51º 7’.
na sen i = n sen r ⇔ 4 / 3·sen ℓ = 1,0·sen 90º.
sen ℓ = 0,75 ⇔ ℓ = arc sen 0,75 ≈ 48º 35’. Este ángulo se denomina ángulo límite porque es el
que separa la posibilidad de que el rayo se refracte de la de que el rayo se refleje.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛a =
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
= 2,25·108 m s–1 .
4
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛a
3
Solución: a) De la expresión de la velocidad de propagación de una onda y de la de índice de
refracción:
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
= 5,0·1014 Hz
–7
𝜆𝜆
𝑇𝑇
6,0·10 m
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
𝑛𝑛agua =
⇔ 𝑣𝑣agua = =
≅ 2,26·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛
1,33
Ahora aplicamos la expresión del índice refracción del vidrio, para obtener la longitudes de onda
en el agua:
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
6,0·10–7 m
𝑛𝑛 =
=
=
≅ 4,51·10–7 m.
𝑛𝑛r
1,33
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,33·sen r ⇔ sen r ≈ 0,376 ⇔ r = arc sen 0,376 = 22º 5’.
180º − (i + r) por lo que: α ≈ 180º – (30º + 22º 5’) = 127º 55’.
Solución: Ver imagen.
a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción:
ni sen i = nr sen r
𝑐𝑐
𝑐𝑐
sen 𝑖𝑖 sen 𝑟𝑟
sen 𝑖𝑖 =
sen 𝑟𝑟 ⇔
=
⇔
𝑣𝑣1
𝑣𝑣2
𝑣𝑣1
𝑣𝑣2
𝑣𝑣2 sen 𝑖𝑖 2,30·108 m s –1 · sen 30o
sen 𝑟𝑟 =
=
≅ 0,697
𝑣𝑣1
1,65·108 m s –1
𝑟𝑟 ≅ arc sen 0,697 ≅ 44o 11’.
b) Aplicando la expresión del índice refracción de un medio:
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑛𝑛1 =
=
≅
1,82
;
𝑛𝑛
=
=
≅ 1,30.
2
𝑣𝑣1 1,65·108 m s –1
𝑣𝑣2 2,30·108 m s –1
Es mayor en el primer medio.
9
02/05/2015
109.– Un rayo de luz roja que se propaga en el aire tiene una longitud de onda de 650 nm. Al
incidir sobre la superficie de separación de un medio transparente y penetrar en él, la longitud de
onda del rayo pasa a ser de 500 nm.
a) Calcule la frecuencia de la luz roja.
b) Calcule el índice de refracción del medio transparente para la luz roja.
c) Si el rayo incide desde el aire con un ángulo de 30º respecto a la normal, ¿cuál será el
ángulo de refracción en el medio transparente?
d) Si el rayo se propagara por el medio transparente en dirección hacia el aire, ¿cuál sería el
ángulo de incidencia a partir del cual no se produce refracción?
a) f ≈ 462 THz ; b) n = 1,30 ; c) 22º 37’ ; d)
9
ℓmedio ≈ 50º 17’.
110.– Un rayo de luz se propaga desde el aire al agua, de manera que el rayo incidente forma un
ángulo de 30º con la normal a la superficie de separación aire–agua, y el rayo refractado forma
un ángulo de 128º con el rayo reflejado.
a) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua.
b) Si el rayo luminoso invierte el recorrido y se propaga desde el agua al aire, ¿a partir de qué
ángulo de incidencia se produce la reflexión total?
Datos: Velocidad de la luz en el aire: c = 3,00·108 m s–1
a) vagua ≈ 225 Mm s–1 ; b) ℓ ≈ 48º 31’.
9
111.– Un rayo de luz, cuya longitud de onda en el vacío es 6,0·10–7 m se propaga a través del
agua.
a) Defina el índice de refracción y calcule la velocidad de propagación y la longitud de onda
de esa luz en el agua.
b) Si el rayo emerge del agua al aire con un ángulo de 30º, determine el ángulo de incidencia
del rayo en la superficie del agua.
nagua = 1,33
a) Cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio; vagua ≈ 226 Mm s−1;
λagua ≈ 0,45 μm ; b) i ≈ 22º 5’.
112.– Un rayo incide en un prisma triangular (n = 1,5) por el cateto de la izquierda con un
ángulo θi = 30º.
a) Calcule el ángulo θe con el que emerge por el lado de la hipotenusa.
b) ¿Cuál es el ángulo de incidencia θ máximo para que el rayo sufra una reflexión total en la
hipotenusa?
a) θe ≈ 40º 16’ ; b) θ ≈ 4º 47’, por debajo de la normal. Todos los ángulos inferiores a este
experimentarán reflexión total. Por encima de la normal, cualquiera.
9
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,62·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 650 nm · 1 m
109 nm
b) Aplicando la ecuación que nos da el índice de refracción:
1m
650 nm · 9
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
10 nm =1,30.
𝑛𝑛 =
=
=
=
1m
𝑣𝑣medio
𝜆𝜆medio 𝑓𝑓 𝜆𝜆medio
500 nm · 9
10 nm
ni sen i = nr sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,3·sen r ⇔ sen r ≈ 0,385 ⇔ r ≈ arc sen 0,385 = 22º 37’.
ni sen ℓmedio = nr sen 90º ⇔ 1,3·sen ℓmedio = 1·1 ⇔ ℓmedio ≈ 50º 17’.
Solución: a) Con los datos que da el problema, y como la suma del ángulo reflejado (que es igual
que el incidente), el refractado y el que forman reflejado y refractado es 180º, el ángulo reflejado
vale: 180º – 30º – 128º = 22º. Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (ni = 1, por ser el
aire): ni sen i = nagua sen r ⇔ 1·sen 30º = nagua sen 22º ⇔ nagua = sen 30º / sen 22º.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑐𝑐
sen 22o
8
–1
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
= 3,00·10 m s ·
≅ 2,25·108 m s–1 .
𝑛𝑛agua =
𝑣𝑣agua
sen 30o
sen 22o
b) El aángulo mínimo que presenta reflexión total es:
nagua sen ℓ = naire sen 90º ⇔ sen ℓ = sen 90º / nagua = 1 / nagua = sen 22º / sen 30º
ℓ = arc sen (sen 22º / sen 30º) ≈48º 31’.
Solución: a) Índice de refracción de un medio determinado es el cociente entre la velocidad de la
luz en el vacío y la que tiene en dicho medio. Su menor valor es uno, ya que la velocidad de la luz
en el vacío es máxima.
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑛𝑛agua =
≅ 2,26·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛
1,33
La frecuencia nunca cambia en un cambio de medio. Como la velocidad de la onda dentro del
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
6,0·10–7 m
𝑛𝑛agua =
=
=
⇔ 𝜆𝜆agua =
=
≅ 4,5·10–7 m.
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛agua
1,33
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,33·sen i = 1·sen 30º ⇔ sen i ≈ 0,376 ⇔ i ≈ arc sen 0,376 ≈ 22º 5’.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara:
ni sen θi = n sen r ⇔ 1·sen 30º = 1,5·sen r ⇔ sen r ≈ 0,333 ⇔ r ≈ 19º 28’.
Aplicando conceptos trigonométricos al triángulo formado por la normal a ambas caras y el rayo
en el interior del prisma deducimos que:
r + r’ + (180º – 45º) = 180º por lo que: r’ ≈ 45º – 19º 28’ = 25º 32’.
n sen r’ = ni sen θe ⇔ 1,5·sen 25º 32’ ≈ 1·sen θe ⇔ sen θe ≈ 0,646 ⇔ θe ≈ 40º 16’.
b) Aplicando la condición de reflexión total a la segunda cara obtenemos el ángulo ℓ, que es el
ángulo de incidencia en la segunda cara por dentro del prisma:
n sen ℓ = ni sen 90º ⇔ 1,5·sen ℓ = 1·1 ⇔ ℓ ≈ 41º 49’.
Haciendo el razonamiento inverso al del apartado anterior:
rℓ + ℓ + (180º – 45º) = 180º, por lo que: rℓ ≈ 45º – 41º 49’ = 3º 11’.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara:
ni sen θ ≈ n sen rℓ ⇔ 1·sen θ ≈ 1,5·sen 3º 11’ ⇔ sen θ ≈ 0,083 ⇔ θ ≈ 4º 47’.
Cualquier ángulo de incidencia igual o inferior a ese, producirá reflexión total. Esta solución es
para los rayos incidentes “por debajo” de la normal. Los que vengan por encima producen siempre
reflexión total.
9
02/05/2015
113.– Un rayo láser de 55·10–8 m emerge desde el interior de un bloque de vidrio hacia el aire.
El ángulo de incidencia es de 25° y el de refracción es de 40°.
a) Calcule el índice de refracción del vidrio y la longitud de onda del rayo láser en el aire.
b) Explique para qué valores del ángulo de incidencia el rayo no sale del vidrio.
Datos: naire = 1,00
a) nvidrio ≈ 1,52; λ ≈ 0,84 μm ;
9
b) i ≥ 41º 6’.
114.– Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobre el agua de un estanque formando
un ángulo de 20º con la normal.
a) ¿Qué ángulo formarán entre sí los rayos reflejado y refractado?
b) Variando el ángulo de incidencia, ¿podría producirse el fenómeno de reflexión total?
Razone la respuesta.
Datos: naire = 1,00 ;
nagua = 1,33
a) α ≈ 145º 6’ ; b) No, nunca; Sólo puede suceder cuando n disminuye al cambiar de medio.
9
115.– Un rayo luminoso que se propaga por el aire incide sobre el agua de un estanque formando
un ángulo de 30º con la normal a la superficie.
a) ¿Qué ángulo forman con la normal los rayos reflejado y refractado?
b) Si el rayo luminoso se propagase desde el agua hacia el aire, ¿a partir de qué valor del
ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión total?
c) ¿Cuál es la velocidad de la luz dentro del agua?
d) Sabiendo que la luz incidente tenía una frecuencia de 5,00·1014 Hz, ¿cuál es su frecuencia
dentro del agua?
Datos: Índice de refracción del agua nagua = 4/3 ; Índice de refracción del aire naire = 1,00 ;
de la luz en el vacío: c = 3,00·108 m s–1
9
Velocidad
a) i’ = 30º; r ≈ 22º 1’ ; b) ℓagua ≈ 48º 35’ ; c) vagua = 225 Mm s–1 ; d) fagua = 500 THz; la
frecuencia no varía.
116.– Una fuente luminosa emite luz monocromática cuya longitud de onda es (en el vacío) de
650 nm. En un cierto instante la luz atraviesa una zona que está ocupada por aceite. Sabiendo
que el índice de refracción del aceite es 1,46, calcule:
a) la velocidad de propagación de la luz en el aceite;
b) la frecuencia de la luz en el vacío;
c) la frecuencia de la luz en el aceite. ¿Cambia la energía de los fotones al entrar en el aceite?
d) Si se cambia el aceite por una resina sintética cuyo índice de refracción es de 1,80,
¿aumentaría o disminuiría la velocidad de los fotones?
a) vaceite ≈ 205 Mm s–1 ;
b) f ≈ 462 THz ; c) faceite ≈ 4,62 THz; no ; d) disminuye.
117.–
Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío
λ0 = 6,0·10−7 m (luz roja) que se propaga en el agua, de índice de refracción n = l,34. Determine:
a) la velocidad de propagación de la luz en el agua;
b) la frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua.
9
Datos: Velocidad de la luz en el vacío c = 3,00·108 m s–1
a) v ≈ 224 Mm s–1 ; b) f = 0,50 PHz ; λ ≈ 448 nm.
Aplicando la relación:
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝑐𝑐
=
=
⇔ 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆vidrio 𝑛𝑛vidrio ≅ 55·10–8 m · 1,52 ≅ 8,4·10–7 m.
𝑛𝑛 =
𝑣𝑣vidrio 𝜆𝜆vidrio 𝑓𝑓 𝜆𝜆vidrio
b) La condición de reflexión total, aplicando la 2ª Ley de Snell, es:
ni sen i ≥ nr sen 90º ⇔ 1,52·sen i ≥ 1,00·1 ⇔ i ≥ arc sen 0,657 ≈ 41º 6’.
Gráficamente se puede comprobar que el ángulo que nos pide el problema es igual a
180º − (i + r) por lo que: α ≈ 180º – (20º + 14º 54’) ≈ 145º 6’.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen i = 1,33·sen r ⇔ sen i > sen r ⇔ i > r (dado que el ángulo
debe estar entre 0º y 90º). Por lo tanto se acerca a la normal. Al ser menor r que i, no puede
producirse la reflexión total.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell de la reflexión:
sen i = sen i’ ⇔ i’ = i = 30º.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen 30º = 4 / 3·sen r ⇔ sen r ≈ 0,375 ⇔ r ≈ arc sen 0,375 ≈ 22º 1’.
b) La condición de reflexión total, aplicando la 2ª Ley de Snell, es:
ni sen ℓagua = nr sen 90º ⇔ 4 / 3·sen ℓagua = 1,00·1 ⇔ ℓagua ≈ 48º 35’.
c) Aplicando la definición de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
𝑛𝑛agua =
= 2,25·108 m s –1 .
4
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛
3
d) La frecuencia es una característica de las ondas que no cambia cuando se cambia de medio,
por lo que la frecuencia es la misma.
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛aceite =
⇔ 𝑣𝑣aceite =
=
≅ 2,05·108 m s–1 .
𝑣𝑣aceite
𝑛𝑛aceite
1,46
b) Aplicando el concepto de velocidad de una onda:
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 4,62·1014 Hz.
–9
𝑇𝑇
650·10 m
𝜆𝜆
c) La frecuencia no varía puesto que es una de las características fundamentales de las ondas que
no varía con el medio. Por lo tanto faceite ≈ 4,62·1014 Hz.
Como E = h f, y f no varía, la energía tampoco variará.
d) Observando la fórmula que relaciona la velocidad de la luz con el índice de refracción se
comprueba que, cuanto mayor es el índice menor es la velocidad, por lo que disminuiría.
𝑐𝑐
𝑐𝑐 3,00·108 m s–1
𝑛𝑛agua =
≅ 2,24·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛
1,34
b) Teniendo en cuenta que la frecuencia de una onda no varía al cambiar de medio, podemos
obtener, de la expresión de la velocidad de propagación de una onda:
𝜆𝜆0
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 =
= 𝜆𝜆0 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 =
=
= 5,0·1014 Hz.
𝜆𝜆0
𝑇𝑇
6,0·10–7 m
Ahora aplicamos la fórmula al medio agua, para obtener la longitud de onda:
𝑐𝑐
𝜆𝜆0 𝑓𝑓
𝜆𝜆0
𝜆𝜆0 6,0·10–7 m
𝑛𝑛 =
=
=
⇔ 𝜆𝜆agua =
=
≅ 4,48·10–7 m.
𝑛𝑛
1,34
02/05/2015
118.– Una lámina de caras planas y paralelas de índice de refracción n2 = 1,5 se encuentra
rodeada de aire (n1 = 1). Sabiendo que el espesor de la lámina es de 10 cm, averigüe el
desplazamiento lateral de un rayo que incide sobre la lámina con un ángulo de 45º y realice un
esquema de la situación descrita en el enunciado.
d ≈ 3,3 cm.
9
9
9
119.– Una lámina de caras plano−paralelas de índice de refracción nℓ = 2,13 se encuentra
rodeada de aceite na = 1,82. Supongamos que un rayo incide con un ángulo de 45º.
a) Supongamos que el rayo impacta en la primera de las caras. ¿Con qué ángulo de refracción
entra en la lámina?
b) Tras atravesar la lámina el rayo sigue su camino por el aceite. ¿Es este rayo paralelo al que
inicialmente impactó en la lámina? Justifique su respuesta.
c) Para salir de la lámina el rayo experimenta una nueva refracción. ¿Se puede dar en esta
refracción el fenómeno de reflexión total? Justifique su respuesta.
d) ¿Podría haberse dado el fenómeno de reflexión total en la primera de las superficies?
a) r ≈ 37º 10’ ; b) Sí, al tener el mismo índice de refracción ; No, porque el ángulo debe ser
igual al de incidencia ; d) No, por ser ni < nr.
120.– Una lámina de vidrio (índice de refracción, n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor
d se encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia 5,00·1014 Hz
incide desde el agua en la lámina. Determine:
a) las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio;
b) el ángulo de incidencia en la primera cara de la lámina a partir del cual se produce reflexión
total interna en la segunda cara.
Datos: Índice de refracción del agua nagua = 1,33 ;
a) λagua ≈ 451 nm ; λvidrio ≈ 395 nm ;
9
b) i ≥ 48º 45’.
121.– Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en el aire, tiene un espesor de
8,0 cm y un índice de refracción n = 1,60. Calcule, para un rayo de luz monocromática que
incide en la cara superior de la lámina con un ángulo de 45º,
a) los valores del ángulo de refracción en el interior de la lámina y del ángulo de emergencia
correspondiente;
b) el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo al atravesar la lámina.
c) Dibuje la marcha geométrica del rayo.
a) r1 ≈ 26º 13’; i2 = 45º ; b) d ≈ 2,9 cm.
Solución: Como n1 sen ε = n2 sen r1 y n2 sen r2 = n1 sen ε’, siendo r1 = r2,
se cumple que ε = ε’ por lo que refractará (al pasar de un medio de índice
emerger con el mismo ángulo, 45º. El esquema está en la imagen adjunta.
Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara de la
lámina:
n1 sen ε = n2 sen r1 ⇔ 1·sen 45º = 1,5·sen r1 ⇔ sen r1 ≈ 0,471 ⇔ r1 ≈ arc sen 0,471 ≈ 28º 8’.
El desplazamiento lateral, d, es el cateto opuesto al ángulo ε – r1. La hipotenusa de ese triángulo
es la distancia recorrida por el rayo en el interior de la lámina, ℓ. Por tanto se cumple que:
𝑑𝑑
𝑒𝑒
𝑒𝑒 sen (𝜀𝜀 – 𝑟𝑟1 )
sen (𝜀𝜀 – 𝑟𝑟1 ) =
y cos 𝑟𝑟1 =
⇔ 𝑑𝑑 = ℓ sen (𝜀𝜀 – 𝑟𝑟1 ) =
cos 𝑟𝑟1
ℓ
ℓ
–1
o
10 m · sen 16 52’
𝑑𝑑 ≅
≅ 3,3·10–2 m.
cos 28o 8’
na sen i = nℓ sen r ⇔ 1,82·sen 45º = 2,13·sen r ⇔ sen r ≈ 0,604 ⇔ r ≈ 37º 10’.
b) Aplicando para la segunda cara la 2ª Ley de Snell para la refracción (i2 = r):
ni sen i2 = nr sen r2 ⇔ 2,13·sen r = 1,82·sen r2 ⇔ sen r2 ≈ 0,707 ⇔ r2 ≈ arc sen 0,707 = 45º.
Sale paralelo al rayo incidente. (No hacía falta hacer la operación, puesto que los factores son los
mismos que los del apartado anterior).
c) Como el ángulo de incidencia de la primera cara es igual al ángulo de emergencia de la
segunda, no hay reflexión total.
d) Es imposible que se dé el fenómeno de la reflexión total en la primera cara por ser el índice de
refracción del medio por el que viaja el rayo menor que el índice de refracción del medio donde va
a entrar. Una condición necesaria para la reflexión total es que ni > nr.
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐
𝜆𝜆
=
≅ 4,51·10–7 m
agua
𝑐𝑐
𝑛𝑛 =
1,33 · 5,00·1014 s –1
⇔ 𝜆𝜆’ =
;
𝑣𝑣
𝑛𝑛 𝑓𝑓
3,00·108 m s –1
𝑣𝑣 = 𝜆𝜆’ 𝑓𝑓
𝜆𝜆vidrio =
≅ 3,95·10–7 m.
1,52 · 5,00·1014 s –1
b) El rayo viene del agua, pasa a través del vidrio, y se refleja totalmente sin salir al aire por lo
que, aplicando en todos los casos la 2ª Ley de Snell para la refracción:
2ª refracción (reflexión total)
nvidrio sen i’ ≥ naire sen 90º ⇔ 1,52·sen i’ ≥ 1,00·1 ⇔ i’ ≥ 41º 8’.
Aplicando este valor a la 1ª refracción:
nagua sen i ≥ nvidrio sen i’ ⇔ 1,33·sen i ≥ 1,52·0,658 ⇔ i ≥ 48º 45’.
ni sen i = nr sen r ⇔ 1,00·sen 45º = 1,60·sen r ⇔ sen r ≈ 0,442 ⇔ r ≈ 26º 13’.
Como ni sen i1 = nr sen r1 y nr sen r2 = ni sen i2, siendo r1 = r2, se cumple que i1 = i2 por lo que
refractará para luego emerger con el mismo ángulo, 45º.
b) El desplazamiento lateral, d, es el cateto opuesto al ángulo i1 – r1. La hipotenusa de ese
triángulo también lo es del triángulo cuyo cateto contiguo al ángulo r1 es
s (ver figura).
𝑑𝑑
sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 ) =
ℎ ⇔ 𝑑𝑑 = ℎ sen (𝑖𝑖 – 𝑟𝑟 ) = 𝑠𝑠 sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 )
1
1
𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑟𝑟1
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑟𝑟1 =
ℎ
8,0·10–2 m · sen 18o 47’
𝑑𝑑 ≅
≅ 2,9·10–2 m.
cos 26o 13’
c) Dibujo al margen.
02/05/2015
122.– Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en el aire, tiene un espesor de
5,4 cm y un índice de refracción n = 1,64. Un rayo de luz monocromática incide en la cara
superior de la lámina con un ángulo de 45°. Determine:
a) los valores del ángulo de refracción en el interior de la lámina y del ángulo de emergencia;
b) el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo al atravesar la lámina y la
distancia recorrida por el rayo dentro de la misma.
Datos: Índice de refracción del aire n0 = 1
9
a) r ≈ 25º 32’; e = 45º ; b) d ≈ 2,0 cm; ℓ ≈ 6,0 cm.
123.– Una lámina de vidrio, de índice de refracción 1,50, de caras paralelas y espesor 10 cm,
está colocada en el aire. Sobre una de sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la
figura. Calcule:
a) la altura h y la distancia d marcadas en la figura;
b) el tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina.
a) h ≈ 1,2 dm; d ≈ 7,1 cm ;
b) t ≈ 0,61 ns.
9
124.–
9
Una lámpara de sodio emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío
λ0 = 5,89·10–7 m (luz amarilla) que se propaga en el agua, cuyo índice de refracción es n = 1,34.
Halle:
a) la velocidad de propagación de la luz en el agua;
b) la frecuencia y la longitud de onda de dicha luz en el agua.
a) vagua ≈ 224 Mm s–1 ; b) f ≈ 509 THz ; c) λagua ≈ 438 nm.
125.– Una onda de luz que viaja en el aire incide sobre una placa de ámbar con un ángulo de
incidencia de 60°. Si el ángulo de refracción es 34°, ¿cuál es la velocidad de la luz en el ámbar?
Datos: Velocidad de la luz en el aire: vaire = 3,00·108 m s−1
9
vámbar ≈ 194 Mm s−1.
n0 sen i = n sen r ⇔ 1·sen 45º = 1,64·sen r ⇔ sen r ≈ 0,431 ⇔ r ≈ 25º 32’.
Como n0 sen i1 = n sen r1 y n sen r2 = n0 sen i2, siendo r1 = r2, se cumple que i1 = i2 por lo que
refractará para luego emerger con el mismo ángulo, 45º.
b) El desplazamiento lateral, d, es el cateto opuesto al ángulo i1 – r1. La hipotenusa de ese
triángulo también lo es del triángulo cuyo cateto contiguo al ángulo r1 es s (ver figura).
𝑑𝑑
𝑠𝑠
sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 ) =
y cos 𝑟𝑟1 = ⇔
ℎ
ℎ
(
𝑠𝑠 sen 𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 )
𝑑𝑑 = ℎ sen (𝑖𝑖1 – 𝑟𝑟1 ) =
cos 𝑟𝑟1
–2
o
5,4·10 m · sen 19 28’
𝑑𝑑 ≅
≅ 2,0·10–2 m.
cos 250 32’
𝑠𝑠
𝑠𝑠
5,4·10–2 m
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑟𝑟1 = ⇔ ℓ =
≅
≅ 6,0·10–2 m.
ℓ
cos 𝑟𝑟1
cos 25o 32’
Solución: a) Por la 2ª Ley de Snell para la reflexión, los ángulos de incidencia y reflexión
siempre son iguales, por lo que el ángulo de reflexión es 60º. El ángulo que queda debajo del rayo
reflejado, en ese punto, es de 90 – 60º = 30º, puesto que el ángulo entre la normal y la superficie de
la lámina es un ángulo recto.
Por razones trigonométricas , tg 30º = h / 20 cm ⇔ h = 20 cm·tg 30º ≈ 12 cm.
Por razones trigonométricas , tg 35º 16’ ≈ d / 10 cm ⇔ d ≈ 10 cm·tg 35º 16’ ≈ 7,1 cm.
b) Para poder contestar esta pregunta que se puede obtener sabiendo que es un movimiento
rectilíneo uniforme, necesitamos conocer la distancia recorrida por el rayo (ℓ; llamamos s al
espesor de la lámina, 10 cm) y la velocidad de la luz en el vidrio, que cumplen que:
𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑐𝑐
𝑐𝑐
cos 𝑟𝑟 =
⇔ ℓ=
; 𝑛𝑛vidrio =
ℓ
cos 𝑟𝑟
𝑣𝑣vidrio
𝑛𝑛vidrio
𝑠𝑠
ℓ
ℓ
0,10 m · 1,50
𝑟𝑟 = 𝑠𝑠 𝑛𝑛vidrio ≅
𝑣𝑣 =
⇔ 𝑡𝑡 =
= cos
≅ 6,1·10–10 s.
𝑐𝑐
𝑡𝑡
𝑣𝑣vidrio
𝑐𝑐 cos 𝑟𝑟
3,00·108 m s –1 · cos 35o 16´
𝑛𝑛vidrio
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛agua =
⇔ 𝑣𝑣agua =
=
≅ 2,24·108 m s–1 .
𝑣𝑣agua
𝑛𝑛agua
1,34
𝜆𝜆
𝑐𝑐 3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
≅ 5,09·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆
5,89·10–7 m
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆 5,89·10–7 m
𝑛𝑛 = =
=
≅ 4,38·10–7 m.
𝑣𝑣 𝜆𝜆agua 𝑓𝑓 𝜆𝜆agua
𝑛𝑛
1,34
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (naire sen i = námbar sen r) y la expresión
𝑐𝑐
𝑐𝑐
𝑛𝑛aire
sen 𝑟𝑟
𝑣𝑣ámbar
𝑣𝑣
𝑛𝑛 =
; 𝑛𝑛aire · sen 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛ámbar · sen 𝑟𝑟 ⇔
=
= aire
=
𝑐𝑐
𝑣𝑣
𝑛𝑛ámbar
sen 𝑖𝑖
𝑣𝑣aire
𝑣𝑣ámbar
𝑣𝑣aire · sen 𝑟𝑟 3,00·108 m s –1 · sen 34o 3,00·108 m s –1 · 0,559
𝑣𝑣ámbar =
=
≅
≅ 1,94·108 m s–1 .
sen 𝑖𝑖
sen 60o
0,866
9
02/05/2015
126.– Una onda electromagnética armónica de 20 MHz se propaga en el vacío, en el sentido
positivo del eje Ox. El campo eléctrico de dicha onda tiene la dirección del eje Oz y su amplitud
es de 3,0·10–3 N C–1.
a) Escriba la expresión del campo eléctrico �𝑬𝑬⃗ (x, t), sabiendo que en x = 0 su módulo es
máximo cuando t = 0.
��⃗ (t) y la dirección de propagación de la onda.
b) Represente en una gráfica los campos �𝑬𝑬⃗ (t) y 𝑩𝑩
�⃗ mN C–1
��⃗ (x, t) ≈ 3,0·cos 2 π·(2,0·107 t – 0,42 x) 𝒌𝒌
𝑬𝑬
a)
;
b)
��⃗
𝑩𝑩 (x, t) ≈ 10·cos 2 π·(2·107 t − 0,42 x) 𝒋𝒋⃗ pT.
127.– Una onda electromagnética tiene, en el vacío, una longitud de onda de 5,0·10–7 m.
número de onda
a) Determine la frecuencia y el número de onda. ¿Cuál es la energía de los fotones?
Si dicha onda entra en un determinado medio, su velocidad se reduce a 3c/4.
b) Determine el índice de refracción del medio y la frecuencia y la longitud de onda en el
medio.
a)
9
f = 0,60 PHz;
λmedio = 375 nm.
6
–1
k = 2,0·10 ondas m ;
Constante de Planck: h = 6,63·10–34 J s
E ≈ 398 zJ
; b)
nmedio ≈ 1,33;
fmedio = f;
128.– Una onda luminosa incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de
incidencia de 40º. La luz se propaga por el vidrio formando un ángulo de 25º con la normal.
Calcule la velocidad de propagación de la luz en el vidrio.
9
v ≈ 197 Mm s–1.
129.–
9
9
Una onda luminosa posee una longitud de onda de 600 nm. ¿Cuál es su frecuencia?
f = 500 THz.
130.– Una onda luminosa tiene una frecuencia f = 5,5·1014 Hz. Si se propaga a través de un
cierto líquido, su longitud de onda es de 450 nm, calcule:
a) la velocidad de propagación de la luz en el líquido;
b) la longitud de onda en el vacío;
c) el índice de refracción del líquido.
a) vlíquido ≈ 0,25 Gm s–1 ;
1 nm = 10–9 m
b) λ0 ≈ 0,55 μm ; c) nlíquido ≈ 1,2.
Solución: Con los datos que da el problema podemos establecer que:
vp = c = λ f ⇔ k = 2 π / λ = 2 π f / c ≈ 4,2·10–1 rad m–1.
a) ��⃗
𝑬𝑬 (x, t) ≈ 3,0·10–3·cos 2 π·(2,0·107 t – 4,2·10–1 x) �𝒌𝒌⃗ N C–1.
��⃗ se tiene que propagar también por el eje Ox, pero tiene que vibrar en perpendicular a ��⃗
b) 𝑩𝑩
𝑬𝑬 y a
Ox, por ser la dirección de propagación. Por tanto lo hace en el eje Oy.
��⃗
𝑩𝑩 (x, t) ≈ 1,0·10–11·cos 2 π·(2,0·107 t – 4,2·10–1 x) 𝒋𝒋⃗ T.
El valor de la amplitud se obtiene de que se cumple que: q E = q v B ⇔ E = c B.
𝐸𝐸 3,0·10–3 N C –1
𝐵𝐵 = =
= 1,0·10–11 T.
𝑐𝑐
3,0·108 m s –1
𝑐𝑐 3,0·108 m s –1
1
1
𝑐𝑐 = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
= 6,0·1014 Hz; 𝑘𝑘 = =
= 2,0·106 ondas m–1 .
–7
𝜆𝜆
5,0·10 m
𝜆𝜆 5,0·10–7 m
Aplicando la Ecuación de Planck y la de velocidad de propagación de una onda:
ℎ 𝑐𝑐 6,63·10–34 J s · 3,00·108 m s–1
𝜆𝜆
𝑐𝑐 ⇒ 𝐸𝐸 =
=
≅ 3,98·10–19 J.
𝜆𝜆
5,0·10–7 m
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 =
𝑇𝑇
𝜆𝜆
b) Aplicando la expresión de índice de refracción:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
4
𝑛𝑛medio =
=
= ≅ 1,33.
𝑣𝑣medio 3 𝑐𝑐 3
4
La frecuencia nunca puede cambiar en un cambio de medio, porque mide inversamente el
tiempo de vibración de la onda, que no puede variar. Como la velocidad de la onda (luz) dentro del
𝑐𝑐
𝜆𝜆 𝑓𝑓
𝜆𝜆
𝜆𝜆
5·10–7 m
𝑛𝑛medio =
=
=
⇔ 𝜆𝜆medio =
=
= 3,75·10–7 m.
4
𝑣𝑣medio 𝜆𝜆medio 𝑓𝑓 𝜆𝜆medio
𝑛𝑛medio
3
Solución: Aplicando la 2ª Ley de Snell de la refracción (naire sen i = nvidrio sen r) y la expresión
𝑐𝑐
o
𝑐𝑐
𝑛𝑛
sen
25
𝑣𝑣vidrio
𝑣𝑣
aire
aire
𝑛𝑛 =
; 𝑛𝑛aire · sen 40o = 𝑛𝑛vidrio · sen 25o ⇔
=
= 𝑐𝑐
=
.
o
𝑣𝑣
𝑛𝑛vidrio
sen 40
𝑣𝑣aire
𝑣𝑣vidrio
o
8
–1
𝑣𝑣aire · sen 25
3,00·10 m s · 0,423
𝑣𝑣vidrio =
≅
≅ 1,97·108 m s–1 .
o
sen 40
0,643
Solución: De la expresión de la velocidad de propagación de una onda:
𝜆𝜆
𝑐𝑐
3,00·108 m s–1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆 𝑓𝑓 ⇔ 𝑓𝑓 = =
= 5,00·1014 Hz.
𝑇𝑇
𝜆𝜆 600 nm · 1 m
109 nm
Solución: a) La velocidad de propagación se obtiene de la expresión:
Para hallar la frecuencia que tiene el fotón, aplicamos la Ecuación de Planck:
𝜆𝜆ℓ
𝑣𝑣ℓ = = 𝜆𝜆ℓ 𝑓𝑓 = 450·10–9 m · 5,5·1014 Hz ≅ 2,5·108 m s–1 .
𝑇𝑇
b) La longitud de onda en el vacío se calcula como:
𝜆𝜆0
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑐𝑐 = = 𝜆𝜆0 𝑓𝑓 ⇔ 𝜆𝜆0 = =
≅ 5,5·10–7 m.
𝑇𝑇
𝑓𝑓
5,5·1014 Hz
c) Aplicando ahora la expresión de la velocidad de una onda a los dos medios:
𝑐𝑐
𝑐𝑐
3,00·108 m s –1
𝑛𝑛ℓ = =
=
≅ 1,2.
𝑣𝑣ℓ 𝜆𝜆ℓ 𝑓𝑓 450·10–9 m · 5,5·1014 Hz
02/05/2015
131.– Una placa de vidrio de caras paralelas tiene un índice de refracción de n = 1,5. Se sumerge
en un líquido con n = 1,5. ¿Cuál es la trayectoria de un rayo de luz? Razone la respuesta.
El rayo se refracta y no se desvía. La respuesta correcta es la d).
Solución: Aunque a priori se podría considerar que aparece el fenómeno
de la reflexión, este apenas se da, ya que los índices de refracción de ambos
medios son iguales. Por otro lado se cumplirá la ley de la refracción que
dice que: ni sen i = nr sen r , por lo que, al ser iguales ambos índices de
refracción, obliga a que los ángulos sean iguales, por lo que no hay
desviación. Por tanto, la respuesta correcta es la d).
132.– Una placa de vidrio se sitúa horizontalmente sobre un depósito de agua de forma que la
parte superior de la placa está en contacto con el aire como muestra la figura. Un rayo de luz
incide desde el aire a la cara superior del vidrio formando un ángulo α = 30º con la vertical.
a) Calcule el ángulo de refracción del rayo de luz al pasar del vidrio al agua.
b) Deduzca la expresión de la distancia (AB) de desviación del rayo tras atravesar el vidrio y
calcule su valor numérico.
La placa de vidrio tiene un espesor d = 30 mm y su índice de refracción es de 1,60.
Solución: a) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción a la primera cara:
naire sen α = nvidrio sen r.
nvidrio sen r = nagua sen e = naire sen α ⇔ 1,33·sen e = 1,00·sen 30º ⇔ sen e ≈ 0,376.
e ≈ arc sen 0,376 ⇔ e ≈ 22º 5’.
b) Aplicando la 2ª Ley de Snell para la refracción solo a la primera separación de medios:
naire sen α = nvidrio sen r ⇔ 1,00·sen 30º = 1,60·sen r ⇔ sen r ≈ 0,312
r ≈ arc sen 0,312 ≈ 18º 13’.
AB
tg 𝑟𝑟 =
⇔ AB = 𝑑𝑑 tg 𝑟𝑟 ≅ 3,0·10–2 m · tg 18o 13’ ≅ 9,9·10–3 m.
𝑑𝑑
Solución: a) Falsa. Por la 2ª Ley de Snell para la refracción, los ángulos de incidencia y reflexión
siempre cumplen que: n1 sen i = n2 sen r, por lo que si n1 > n2 ⇔ sen i < sen r ⇔ i < r (para
ángulos menores de 90º, que son los que nos ocupan). Por lo que es justo al revés.
b) Falsa. Sólo lo cumplen los ángulos para los que: n1 sen i ≥ n2 sen 90º ⇔ sen i ≥ n2 / n1.
Como la función seno tiene como valor máximo 1, el cociente entre n2 y n1 tendría que dar menor o
igual a uno, lo que implica que n1 tendría que ser igual o mayor que n2, lo que va en contra del
enunciado.
9
9
Datos: Índice de refracción del agua: 1,33 ;
a) e ≈ 22º 5’ ; b) AB ≈ 9,9 mm.
9
9
índice de refracción del aire: 1,00
133.– Una superficie de discontinuidad plana separa dos medios de índices de refracción n1 y n2.
Si un rayo incide desde el medio de índice n1, razone si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas:
a) Si n1 > n2 el ángulo de refracción es menor que el ángulo de incidencia.
b) Si n1 < n2 a partir de un cierto ángulo de incidencia se produce el fenómeno de reflexión
total.
a) Falsa; salvo para ángulos de incidencia nulos, siempre es mayor el de refracción, si n1 > n2 ;
b) falsa; la reflexión total sólo se produce para determinados ángulos cuando n1 > n2.
134.– Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción distintos n1 y n2. Un rayo
de luz incide desde el medio de índice n1. Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones
siguientes:
a) El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión.
b) Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales.
c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano.
d) Si n1 > n2 se produce reflexión total para cualquier ángulo de incidencia.
a) Falso; son iguales ; b) Falso; sólo ocurre para i = r = 0º ; c) Verdadero; y además la
normal ; d) Falso; sólo lo cumplen los ángulos para los que sen i ≥ n2 / n1.
Solución: a) Por la 2ª Ley de Snell para la reflexión, los ángulos de incidencia y reflexión
siempre son iguales, por lo que es falsa.
b) Por la 2ª Ley de Snell para la refracción, los ángulos de incidencia y reflexión siempre
cumplen que: n1 sen i = n2 sen r, por lo que (y dado que los índices de refracción son distintos)
sólo serán iguales los ángulos i y r cuando ambos valgan 0º, ya que el sen 0º vale 0 y sí se
cumpliría la Ley de Snell. Como el enunciado plantea que ocurre siempre, la afirmación es falsa.
c) Verdadera. Así lo afirman la 1ª Ley de Snell tanto de la refracción como la de la reflexión,
incluyendo además la normal dentro del mismo plano.
d) Falso. Sólo lo cumplen los ángulos para los que: n1 sen i ≥ n2 sen 90º ⇔ sen ℓ ≈ n2 / n1.

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