Intermediate Counting and Probability

Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc.
www.artofproblemsolving.com
CONTENTS
Contents
How to Use This Book
iii
Acknowledgements
vii
1
2
Review of Counting & Probability Basics
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basic Counting Techniques . . . . . . . . . .
Basic Probability Techniques . . . . . . . . .
Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pascal’s Triangle and the Binomial Theorem
Summation Notation . . . . . . . . . . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sets and Logic
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Introduction . . .
Sets . . . . . . . .
Operations on Sets
Truth and Logic .
Quantifiers . . . .
Summary . . . . .
1
2
11
18
20
25
26
27
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ix
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Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc.
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CONTENTS
3
4
5
6
A Piece of PIE
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
49
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PIE With 2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . .
PIE With 3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . .
Counting Problems With PIE . . . . . . . . . . . .
PIE With Many Properties . . . . . . . . . . . . .
Counting Items With More Than 1 of Something
Some Harder PIE Problems . . . . . . . . . . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Constructive Counting and 1-1 Correspondences
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
Some Basic Problems . . . . . . . . . . .
Harder Constructive Counting Problems
1-1 Correspondence Basics . . . . . . . .
More Complicated 1-1 Correspondences
Clever 1-1 Correspondences . . . . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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The Pigeonhole Principle
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
It’s Just Common Sense! . . . . . . . . .
Basic Pigeonhole Problems . . . . . . .
More Advanced Pigeonhole Problems
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
84
86
94
99
105
114
118
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Constructive Expectation
6.1
6.2
6.3
6.4?
6.5
49
49
54
58
65
68
73
79
118
118
119
122
127
130
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
Basic Examples . . . . . . . . . . . . . .
Summing Expectations Constructively
A Coat With Many Patches (Reprise) .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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142
Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc.
www.artofproblemsolving.com
CONTENTS
7
Distributions
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
145
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basic Distributions . . . . . . . . . . . . . .
Distributions With Extra Conditions . . . .
More Complicated Distribution Problems
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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149
154
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8
Mathematical Induction
161
9
Fibonacci Numbers
172
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
A Motivating Problem . . . . . . . . . .
Some Fibonacci Problems . . . . . . . .
A Formula for the Fibonacci Numbers
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Recursion
11
Conditional Probability
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
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172
172
175
183
189
192
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
Examples of Recursions . . . . . . . . .
Linear Recurrences . . . . . . . . . . . .
A Hard Recursion Problem . . . . . . .
Problems Involving Catalan Numbers
Formulas for the Catalan Numbers . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basic Examples of Conditional Probability
Some Definitions and Notation . . . . . . .
Harder Examples . . . . . . . . . . . . . . .
Let’s Make a Deal! . . . . . . . . . . . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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200
204
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216
222
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CONTENTS
12
Combinatorial Identities
13
Events With States
14
Generating Functions
15
Graph Theory
16
Challenge Problems
12.1
12.2
12.3
12.4
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6?
14.7
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
Introduction .
Basic Identities
More Identities
Summary . . .
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265
Introduction . . . . . . . . . . . . .
State Diagrams and Random Walks
Events With Infinite States . . . . .
Two-player Strategy Games . . . .
Summary . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basic examples of Generating Functions . . . . . . .
The Binomial Theorem (as a Generating Function) .
Distributions (as Generating Functions) . . . . . . . .
The Generating Function for Partitions . . . . . . . .
The Generating Function for the Fibonacci Numbers
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduction . . . . . . . . . . .
Definitions . . . . . . . . . . . .
Basic Properties of Graphs . . .
Cycles and Paths . . . . . . . . .
Planar Graphs . . . . . . . . . .
Eulerian and Hamiltonian Paths
Summary . . . . . . . . . . . . .
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Copyrighted Material
Excerpt from "Intermediate Counting & Probability" ©2012 AoPS Inc.
www.artofproblemsolving.com
CONTENTS
References
366
Hints to Selected Problems
367
Index
383
xiii
Copyrighted Material