Suites et séries numériques

Psi 945 – 2014/2015
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Chauffe
Suites et séries numériques
Mardi 19 mai 2015
1
Questions de cours
Directement du cours :
– Convergence des séries de Riemann. [preuve]
– Convergence et contrôle du reste pour les séries alternées. [preuve]
– Théorèmes de comparaison
pour les séries
P
Pà termes positif. Savoir par exemple prouver : si un = O(vn )
avec un , vn > 0 et
vn converge, alors
un converge.
– Règle de d’Alembert (Pfffffff.....). [preuve]
– Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
Proche du cours :
P 1
– Convergence des séries de Bertrand
nα nβ
– Formule de Stirling.
n
P
1
–
k = ln n + γ + o(1).
k=1
2
Exercices
Exercice 1 — Centrale 2013
n
P
Soit (un )n∈N une suite de réels positifs. On pose, pour n ∈ N : Sn =
uk et on suppose :
k=0
∀n ∈ N∗ ,
Montrer que
P
S2n 6
1+
1
n
Sn .
un est convergente.
Exercice 2 — CCP 2013
Soit (un )n∈N une suite vérifiant, pour tout n ∈ N : un+1 =
Exercice 3 — CCP 2013
1
On considère la suite (un )n>1 définie par un = P
n
e−un
n+1
· Nature des séries
P
un et
P
(−1)n un ?
·
k2
k=1
P
un converge.
+∞
n
P
P
1
un .
2. Soit, pour n ∈ N∗ , Hn =
k · Montrer : H2n − Hn −→ ln 2. En déduire la valeur de
1. Montrer que la série
n→+∞
k=1
n=1
Exercice 4 — Petites mines 2013
n
√
P
Pour n ∈ N∗ , on note sn =
(−1)k k et tn = sn + sn+1 .
k=1
P
1. Donner la nature de (tn+1 − tn ) ?
2. En déduire que (tn )n∈N converge, avec une limite strictement négative ; puis que sn ∼ (−1)n
P 1
3. Quelle est la nature de
sn ?
1
√
n
2 ·
Exercice 5 — Mines 2013 P
Donner la nature de la série
(Argch(n)
− Argsh(n)).
√
√
« Rappel » 1 : Argch(x) = ln(x + x2 + 1) et Argsh(x) = ln(x + x2 + 1).
Exercice 6 — Centrale
P 2013
Donner la nature de
un , avec un = (ln n)− ln(ln n) .
Exercice 7 — Mines 2013
On suppose : a0 > 0, et pour tout n ∈ N, an+1 = 1 − e−an .
1. Étudier la convergence de (an )n∈N .
P
2. Déterminer la nature de (−1)n an .
P 2
3. Déterminer la nature de
an .
P
P an+1 et en déduire celle de
an .
4. Étudier la nature de
ln an
Exercice 8 — ENSAE 2013
P
Déterminer la nature de
un , avec un =
1
n
(n + 1)1/3 − n1/3 .
Exercice 9 — Petites mines 2014 (MP)
P n n2
est convergente.
Montrer que
n+1
Exercice 10 — TPE 2014 (MP)
Soit (un )n∈N une suite de réels strictement positifs tels que
un+1
2
= 1 − + O(1/n2 ).
un
n
Étudier la nature de
3
P
un .
Indications
– Exercice 1 : que dire de S2 ? Et S4 ? Et S2k ? Le logarithme de ces termes doit pouvoir être majoré...
P
– Exercice 2 : on a un > 0 pour n > 1, et un 6 n1 pour n > 2, donc un −→ 0, puis un ∼ n1 , donc
un
n→+∞
n
P
= O(1/n2 ), donc (−1)n un est somme de deux séries convergentes.
diverge. Ensuite, (−1)n un − (−1)
n
– Exercice 3 : par une formule explicite ou une comparaison somme/intégrale, un ∼ n33 , d’où la convergence. Une nouvelle comparaison somme/intégrale donne la limite demandée (ou encore
: Hn = ln n +
P
γ + o(1)). Enfin, après décomposition en éléments simples de un puis sommation :
un = 18 − 24 ln 2.
n
√
√
– Exercice 4 : tn+1 − tn = (−1)
+ O(1/n3/2 )... Ensuite, écrire tn = 2sn + (−1)n+1 n + 1. Enfin,
2 n
n
(−1)
tn
= t +(−1)2n √n+1 = 2 √
− n+1
+ O(1/n3/2 ) et la nature des trois séries associées à ces termes est
n+1
n
connue (on se souvient que tn −→ ` < 0).
1
sn
n→+∞
– Exercice 5 : on trouvera Argch(n) − Argsh(n) ∼ − 2n1 2 · · ·
2
2
– Exercice 6 : un = e−(ln(ln n)) , or (ln(ln n)) 6 12 ln n pour n assez grand, donc...
−x
– Exercice 7 : l’application f : x 7→ 1 − e stabilise [0, +∞[ et f (x) 6 x pour tout x ∈ R. On a alors
(un )n∈N à valeurs dans R+ et décroissante, puis convergente vers P
` vérifiant f (`) = `, c’est-à-dire
` = 0. Un petit dessin aura évidemment été fait. La série alternée (−1)n an est alors convergente.
P
P
a2
Puisque an+1 −an ∼ − 2n , on aura a2n convergente. Enfin, ln(an ) −→ −∞, donc ln aan+1
diverge
n
n→+∞
∼ − a2n · · ·
(considérer les sommes partielles) ; or on a par ailleurs ln aan+1
n
1
– Exercice 8 : simple petit calcul ! un ∼ 3n5/3 · · ·
2
√
– Exercice 9 : un = e−n ln(1−1/n) ∼ ene · · · Dans l’énoncé initial, il fallait donner un équivalent du reste,
ce qui est possible en MP via un théorème de sommation d’équivalents (sous certaines hypothèses !).
α−2
2
– Exercice 10 : comparer un à n1α en notant rn = un nα : rn+1
rn = 1 + n + O(1/n ). Que dire alors si
on prend par exemple α = 3/2 ?
1. Ces fonctions ont disparu des programmes, normalement...
2