Algebra 1ª parte

MAX PLANCK
VIÑA DEL MAR
CEAVI
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OBSERVA Y ESTUDIA
1 Completar las frases siguientes:
a)
El doble de 8 es...
b) El doble de cualquier número a es...
La expresión «el doble de» que aparece en ambas frases se refiere, en el lenguaje común, a una
cantidad dos veces mayor que la dada, lo que en términos del álgebra, significa multiplicar el valor dado
por 2. Así pues, para calcular el doble de 8, debe realizarse la operación 8 • 2 = 16, valor que
permite completar la frase a). En la frase b), el resultado viene dado por la expresión 2 • a = 2a, que
puede considerarse la fórmula general del doble de cualquier cantidad.
DESARROLLA
El triple de 4 es...
El triple de cualquier número b es...
La mitad de 26 es...
La mitad de cualquier número c es...
La suma de 7 y 12 es...
La suma de 7 y d es...
La mitad de la suma de 8 y 10 es...
La mitad de la suma de a + b es...
La diferencia entre los números 22 y 15 es...
La diferencia entre los números m y n es...
OBSERVA Y ESTUDIA
6 Si x es la altura de una escalera en metros, expresar el ancho en cada caso:
a)
El ancho es una cuarta parte de la altura.
b)
El ancho es 50 cm menos que la altura.
En el caso a). Que el ancho sea una cuarta parte de la altura quiere decir que como x
denota su altura, el ancho será el resultado de dividir x por 4, es decir, es la expresión x/4
metros.
En el caso b) podría caerse en el error de expresar el ancho como x – 50; sin
embargo, este resultado no es correcto, ya que la altura de la escalera viene dada en metros, y no en
centímetros. Teniendo en cuenta que 50 centímetros = 0,5 metros, la respuesta correcta es x –0, 5
metros.
DESARROLLA
Escribir con las reglas del álgebra las siguientes operaciones:
La multiplicación de dos números cualesquiera.
La mitad de un producto cualquiera.
Escribir las siguientes operaciones como expresiones algebraicas:
a)
La diferencia de los cuadrados de dos números cualesquiera.
b)
La raíz cuadrada del producto de tres números cualesquiera.
OBSERVA Y ESTUDIA
9 Describir la relación matemática que se simboliza en cada una de las siguientes expresiones
algebraicas:
a)
2•c
b) 3 • b
c) x +y
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2
Se trata del proceso contrario al de los ejercicios anteriores. Lo primero que debe hacerse es identificar la
letra de la expresión algebraica a) como un número, puesto que se sabe que, en este lenguaje, los literales
representan un número cualquiera. Así pues, c representa un número. Si a éste se le multiplica por 2, se
dirá que esta expresión algebraica representa el doble de un número cualquiera.
En b), la expresión algebraica es muy similar a la anterior, por lo que rápidamente puede decirse lo
que significa: el triple de un número cualquiera. Más complejo es el caso c), donde se tienen dos
literales que se suman; en consecuencia, esta expresión algebraica representa la suma de dos números
cualesquiera (x e y).
DESARROLLA
Describir en lenguaje común las relaciones matemáticas a que se refieren las siguientes expresiones
algebraicas:
a)
x–y
b) (x – y)/3
c) m2 + n2
11 Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior para las siguientes expresiones algebraicas:
a)
b2
b) a 2 – b2
c) a– 2
OBSERVA Y ESTUDIA
12 Escribir, utilizando el lenguaje algebraico, las siguientes expresiones:
a)
El número de horas que hay en m días.
b)
El número de días que hay en m semanas.
c)
El número de semanas que hay en m meses.
Si se sabe que el número de horas que hay en un día es de 24, entonces es lógico establecer que en m
días habrá el producto de 24 horas por cada día, es decir, 24m horas. De igual forma se razona en b) a
partir del conocimiento de que en una semana hay 7 días, para hallar 7m días en m semanas. También en
c), sabido que en un mes hay 4 semanas, se deduce el mismo producto de 4m semanas en ni meses
DESARROLLA
13 Escribir, utilizando el lenguaje algebraico, las siguientes expresiones:
a)
La edad de María dentro de 3 años.
b) La
c)
edad de Pablo hace 5 años.
La suma de las edades de Pablo y María dentro de cuatro años.
14 Hallar, mediante las expresiones algebraicas adecuadas las soluciones a los siguientes problemas:
a)
Un ciclista ha recorrido x km. ¿Cuánto le falta para llegar a la meta, si el recorrido era de 50 km?
b)
Un perro se ha comido 5 salchichas. ¿Cuántas salchichas le faltan por comer, si tenía un total de t
salchichas?
c)
Un cocinero tiene una bolsa de patatas de x kg. Si gasta en una comida el 30 % de las patatas,
¿cuántos kilos de patatas le quedan?
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3
JERARQUÍA DE OPERACIONES Y USO DE PARÉNTESIS EN LA ARITMÉTICA
OBSERVA Y ESTUDIA
18 Escribir la siguiente operación sin utilizar paréntesis:
a+(b +c)
Lo único que hay que tener en cuenta a la hora de quitar paréntesis es el signo que hay delante de
éste. Si es positivo, se quita el paréntesis sin modificar ningún signo de los términos que contenía; si
es negativo, todos los signos de los elementos que incluye el paréntesis se cambian al eliminarlo. Así
pues, la expresión algebraica anterior, es equivalente a a+ b + c.
DESARROLLA
19 Escribir sin paréntesis la siguiente expresión:
a — (b + c)
20 Eliminar el paréntesis de la siguiente expresión:
a — (b — c)
21 Escribir la siguiente expresión simplificada sin paréntesis:
a—(—b+c)
22 Suprimir los símbolos de agrupamiento:
5 + (x — y)
23 Sumar o restar, según el caso, y simplificar:
(3x + 5) + (2x — 3)
24 Hacer la suma algebraica y simplificar:
(6 — x) — (7 + x)
25 Simplificar tanto como sea posible la expresión: (3xy — 2y + 3z) + ( — 3y + 8z)—(--3xy—z)
26 Sumar algebraicamente y eliminar los paréntesis de la siguiente expresión:
(w+2z)—(-3w-5x)+(x+z)—(z—w)
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27 En las siguientes expresiones multiplicar los términos incluidos en el símbolo de agrupamiento
por el factor que le antecede, y simplificar el resultado siempre que sea posible.
a)
2• (x — 3)
b) 4 + 2• (x — 3)
c) x — 2 • (2x + 3)
En el ejercicio a), al multiplicar el factor por los términos, hay que tener en cuenta la regla de
multiplicación de signos: 2 (x — 3) = 2x — 6; en este caso no puede agruparse ningún término, ya
que sólo hay uno en x. En b) se tiene la suma de 4 a la multiplicación 2 • (x — 3). La jerarquía de
operaciones indica que lo primero es la multiplicación. Obsérvese que, en sentido estricto, lo primero
en llevarse a cabo sería la operación interna del paréntesis, pero como no puede hacerse esta resta, ya
que los términos que la componen no se pueden agrupar, se prescinde de este paso. Así pues:
4+2• (x-3)=4+2x-6
A partir de aquí es posible simplificar este resultado, ya que se pueden restar 4 y 6, por lo que queda:
4 + 2x — 6 = 2x — 2
El problema c) es un caso similar al caso anterior. Por consiguiente, primero se
efectúa la multiplicación
x- 2 • ( 2 x + 3 ) = x - 4 x - 6
Luego se agrupan los términos en x, y el resultado queda simplificado como:
x – 4x – 6 = –3x – 6
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28 Escribir sin paréntesis la siguiente expresión:
a• (b – c)
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29 Efectuar la siguiente operación: x • (y + z –t)
Para este caso, se deben multiplicar por x todos los términos que incluye el paréntesis, teniendo en cuenta los signos:
x • (y + z –t) = x y + x z – x t
DESARROLLA
30 Resolver la siguiente multiplicación:
–4• (c – d)
31 Llevar a cabo las operaciones indicadas en la siguiente expresión:
–3• (m - n + q)
32 Hacer la siguiente multiplicación:
2m • (n + p)
33 Ejecutar las operaciones de la expresión:
a • (m – 2n – 4p)
34 Hacer la siguiente multiplicación:
p (q – r + s)
35 Resolver tanto como sea posible la expresión:
k • ( –l + m + n – t)
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36 Teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones, calcular:
3 • [x + 2 • (x – 9)]
Primero debería resolverse el paréntesis, pero como x –9 no se puede agrupar, se ha de efectuar las
operaciones del interior del corchete comenzando siempre por la multiplicación:
3 • [x + 2(x – 9)] = 3 • [x + 2x – 18]
Se efectúan las sumas de dentro del corchete, es decir, se suma x con 2x:
3 [x + 2x – 18] = 3 [3x – 18]
Finalmente, se multiplica el factor 3 por los términos del corchete, que no se pueden agrupar más, y
queda:
3 [3x – 18] = 9x – 54
DESARROLLA
37 Suprimir los símbolos de agrupamiento y simplificar el resultado:
6 – 3 • [x – 2 • (x – y)]
38 Suprimir los símbolos de agrupamiento y simplificar el resultado :
x + 2 [2 – (x + 3)]
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PRIMERAS REGLAS DE LA ESCRITURA ALGEBRAICA
OBSERVA Y ESTUDIA
39 Calcular:
a)
2x + 6x + 8x
b) 3x
c)
– 5x + 8x
2x –x + 3x
d) 5x
+ 6x– 4x
Como todos los términos de la expresión de a) tienen el mismo literal, x, se puede agrupar cada una de
las operaciones en un único término, es decir, se pueden sumar 2 con 6 y con 8 unidades del número x,
con lo que se obtiene 2 + 6 + 8 = 16 unidades del número x. Mediante el lenguaje algebraico, la idea
anterior se expresa de la siguiente manera:
2x + 6x + 8x = (2 + 6 + 8)x = 16x
El caso de b) es similar al anterior, pero ahora uno de los términos es negativo:
3x – 5x + 8x = (3 – 5 + 8)x = 6x
Para resolver el problema e), será necesario tener en cuenta que el segundo término. –x, equivale a –lx:
2x – x + 3x = (2 – 1 + 3)x = 4x
El último ejercicio, d), se resuelve de la misma forma que b):
5x + 6x – 4x = (5 + 6 – 4)x = 7x
DESARROLLA
40 Hacer las siguientes sumas de expresiones algebraicas:
a)
2x + 3x
b)
2x + 3v – 4z + 3x – 2y + 4z
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41 Sumar o restar, según se indique:
(6x + 3xy – 2w + yz) –(2x + 3w – 2yz – 3y) + + (y – xy + w)
Lo primero que procede es quitar los paréntesis, ya que las operaciones que hay en ellos no se pueden
ejecutar, porque contienen términos con diferentes literales. Para quitar los paréntesis, se deben de tener
en cuenta los signos que los preceden: cuando hay un signo +, no cambia ningún signo de los términos incluidos, mientras que si el signo es negativo, se deben cambiar todos los de los términos:
(6x + 3xy – 2w + yz) – (2x + 3w – 2yz – 3y) + + (y – xy + w) =
6x + 3xy – 2w + yz – 2x – – 3w + 2yz + 3y + y – xy + w
A continuación, se agrupan los términos que tienen los mismos literales:
6x + 3xy – 2w + yz – 2x – 3w + 2yz + + 3y + y – xy + w =
6x– 2x+ 3xy - xy – 2w – 3w + w + yz + 2yz + 3y + y
Finalmente, se hacen las sumas algebraicas de los términos agrupados por literales:
6x – 2x + 3xy – xy – 2w – 3w + w + yz + 2yz + 3y + y = 4x + 2xy – 4w + 3yz + 4y
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DESARROLLA
42 Completar, rellenando cada signo de interrogación con el valor adecuado:
7 a • (? b + 3c) = 14 ? b + ? ac
43 Completa, rellenando cada signo de interrogación con cl valor adecuado:
8ab (? + bc) = 6a2b + ?
OBSERVA Y ESTUDIA
44 Resolver la siguiente operación: (x +y)2
Al examinar la operación propuesta, resulta ser el cuadrado de una suma, una de las expresiones
aparecidas en el apartado teórico. Si se recuerda que una suma al cuadrado es igual al cuadrado del
primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo,
resulta la expresión algebraica: (x +y)2 = x2 + 2xy + y2
DESARROLLA
45 Llevar a cabo la siguiente operación: (x + 4)2
46 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
(a + 6)2
47 Desarrollar la siguiente expresión (2 + z)2
48 Ejecutar la operación siguiente: (x – 2)2
49 Resolver la operación (a – 5)2
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50 ¿Cuál es el resultado de esta operación? (a+b) • (a–b)
La operación es conocida como suma por diferencia, cuyo resultado es la diferencia de los cuadrados de
ambos términos:
(a + b) • (a – b) = a2 – b2
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51 Efectuar la siguiente operación: (a + 3)•(a — 3)
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FÓRMULAS DE GEOMETRÍA: PROBLEMAS QUE LLEVAN A LA ESCRITURA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS SENCILLAS
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15 Expresar, mediante el lenguaje algebraico, las áreas de los rectángulos que cumplan las
condiciones siguientes:
a)
Un rectángulo cuya base es tres veces su altura.
b)
Un rectángulo cuya altura es la mitad de la base.
c)
Un rectángulo que tiene de área 32 cm2.
En a), si se denota con la letra b la altura del rectángulo y la base es tres veces la altura, esto significa
que el producto de 3 por la altura es el valor de la base, es decir, 3b. En tal caso, como el área del
rectángulo viene dada por el producto de la base por la altura, el área será 3b • b = 3b2. De manera similar,
en b), si se designa mediante la letra c la base del rectángulo, la altura será su mitad, es decir, c/2 , y el
área vendrá dada por el producto de la base c por la altura c/2, de forma algebraica: c * c/2 = c2/2
Por último, en el ejercicio c) primero se designa con a la base y con h la altura, y se sabe que su
producto, a • b, da el área, luego la expresión buscada es a • b = 32 cm2.
16 Consideremos los dos rectángulos de las figuras siguientes, tales que la base de uno es igual a
la altura del otro y viceversa. ¿Son iguales sus áreas? Demostrarlo con el uso de una igualdad entre expresiones algebraicas. ¿Qué nombre recibe esta propiedad?
Las áreas de ambas figuras son iguales, ya que en la de la izquierda se tiene que el área es igual a base
por altura, es decir, h a, mientras que en la figura de la derecha, por el mismo motivo, el área es a h.
Como se sabe que b • a = a • b, entonces se demuestra que las áreas han de ser iguales. Esta propiedad
se conoce como propiedad conmutativa.
17 ¿Cuál es el área de la siguiente figura?
El área total de la figura se puede calcular de dos formas. En el primer procedimiento, se sabe que,
como la figura es un cuadrado, su área es el cuadrado de su lado, es
decir, es (a + h)2 , ya que (a + b) es su medida en la figura.
También se puede calcular el área de cada uno de los cuatro
paralelogramos en los que está dividida la figura y después
sumarlas para obtener el área total. De esta forma se tiene que la
suma total es la del área del cuadrado mayor, a • a = a2; más la del
menor, b • h = b2; más la de los dos rectángulos, de áreas ab y ba, y
como ab = ha, entonces la conjunta de los rectángulos es 2ab. Al
reunir todos los términos, el área total es
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8
a2 + 2ab + b2
Al desarrollar la solución se comprueba que ambos resultados son idénticos, puesto que
(a + b)2 = a2 + 2ab + h2
es decir, que el cuadrado de una suma es igual a la suma del cuadrado del primer término (a2), más el
cuadrado del segundo (b2 ) más el doble del primero por el segundo (2ab).