TD M_06 - Cours

TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
T RAVAUX D IRIGÉS DE M6
Exercice 1 : Premier vol habité (par un homme)
Le 12 avril 1961, le commandant soviétique Y. Gagarine fut le premier cosmonaute, le vaisseau
spatial satellisé était un engin de masse m = 4725 kg. Les altitudes au périgée P et à l’apogée A
étaient zP = 180 km et zA = 327 km.
Exprimer la vitesse v du satellite en fonction de son altitude z, de zP , zA , MT , RT (masse et rayon
de la Terre) et de G, la constante de gravitation. Calculer v en P et en A.
M
Comme l’énoncé parle de périgée et d’apogée, on est dans le cas
r
d’un état lié (mouvement elliptique, heureusement pour Youri !) et
x
a
k
la relation Em = − 2a s’applique.
A
P
O
T
En notant r = T M = z + RT la distance entre le centre de la
Terre et l’engin spatial, on a ici
2a = rA + rP = RT + zA + RT + zP = 2RT + zA + zP et k = GmMT d’où
b
b
Em = −
b
b
GmMT
1
GmMT
= Ec + Ep = mv 2 −
2RT + zA + zP
2
r
⇒v=
v
u
u
t2GM
T
1
1
−
z + RT
2RT + zA + zP
!
Les applications numériques donnent vP = vmax ≃ 7,9 km.s−1 et vA = vmin ≃ 7,7 km.s−1 .
Exercice 2 : Satellite et frottements
Un satellite M de masse m est placé sur une orbite circulaire de rayon r0 contenue dans le plan
équatorial de la Terre. On travaillera dans le référentiel géocentrique RGéo considéré comme galiléen.
On notera Ω la vitesse angulaire de rotation de la Terre dans RGéo .
1. Déterminer la vitesse v0 du satellite, l’énergie potentielle Ep0 , cinétique Ec0 et mécanique
Em0 du satellite sur cette orbite en fonction de la constante de gravitation G, MT la masse de
la Terre et des données.
2. Avant d’être placé sur son orbite, le satellite est posé sur le sol, en un point P de latitude λ.
Sa vitesse est la vitesse d’entraînement ~ve due à la rotation de la Terre, supposée sphérique
de rayon RT . Déterminer Ep1 , Ec1 et Em1 du satellite au point P Pour le placer sur son orbite,
il faut lui fournir ∆E = Em0 − Em1 .
Où doit-on placer les bases de lancement pour que ∆E soit minimale ?
3. On suppose maintenant que l’altitude du satellite étant faible devant RT , il subit les frottements de l’atmosphère. Son énergie mécanique Em diminue avec le temps selon la loi
Em = Em0 (1 + αt) Quel est le signe de α ? On suppose que la trajectoire reste pratiquement
circulaire. Déterminer en fonction de t, le rayon r de la trajectoire, et la vitesse v du satellite.
Comment v varie-t-elle ? Commentez.
1. On est dans le cas classique d’un mouvement circulaire.
1
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
~v
−−→
En travaillant dans la base polaire, on a ici OM = r0 .~er d’où
˙ eθ et enfin ~a = −r0 θ˙2~er + r0 θ~
¨eθ .
~v = r0 θ.~
La seule force appliquée au satellite { M } est la force de gravitaT
~er .
tion F~ = − GmM
r2
b
r0
M
~F
b
Oz
RT
0
Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, par application
du principe fondamental de la dynamique sur M dans la base polaire,
¨eθ ) = − GmMT ~er
m(−r0 θ˙2~er + r0 θ~
r02
• Par projection selon ~eθ , on obtient θ¨ = 0 ⇒ r0 θ˙ = v0 = Cte, le mouvement est donc
circulaire et uniforme : θ˙ = vr00 .
• Par projection selon ~er , on obtient
v02
GMT
GmMT
⇒
r
⇒ v0 =
−mr0 θ = −
0 2 =
2
r0
r0
r02
˙2
s
GMT
r0
T
On en déduit ensuite son énergie cinétique Ec0 = 12 mv02 = GmM
et Em0 = Ec0 + Ep0 =
2r0
GmMT
k
k
1
2
mv0 − r0 avec k = GmMT d’où Em0 = − 2r0 (on retrouve Em0 = − 2a
avec a = r0 car l’état
2
est lié).
2. Le satellite étant posé à la surface du globe on a simAxe des pôles
T
plement Ep1 = − RkT = − GmM
.
RT
Dans le référentiel géocentrique, il est animé d’un mouvement circulaire uniforme de rayon r1 = HP = RT cos λ
H
et en notant Ω la vitesse angulaire de rotation de la
P
Terre dans RGéo et ve = Ω.r1 = Ω.RT cos λ.
~
Ω
1
1
2
2 2
2
On en déduit Ec1 = 2 mve = 2 mΩ RT cos λ et
λ
O
T
Em1 = Ec1 + Ep1 = 12 mΩ2 RT2 cos2 λ − GmM
.
RT
Équateur
Pour placer le satellite sur son orbite, il faut lui fournir
∆E = Em0 − Em1 .
Cette énergie sera minimale quand λ = 0, c’est à dire
sur l’équateur.
b
3. Si l’énergie mécanique de M diminue, dEdtm = Em0 α < 0 or le satellite était (et reste) dans un
état lié donc Em0 < 0 ⇒ α > 0.
Si on considère que la trajectoire reste quasiment circulaire, on peut encore utiliser la relation
Em = −
GmMT
GmMT
r0
k
⇒ Em0 (1 + αt) = −
⇒r=−
=
2r
2r
2Em0 (1 + αt)
1 + αt
Donc r diminue au cours du temps.
En reprenant le résultat du 1., v =
q
GMT
r
Cela provient du fait que Em = −Ec ⇒
intervenir.
=
dEc
dt
q
GMT
(1 + αt) augmente au cours du temps.
r0
= − Edtm > 0, la force de frottement n’est pas la
seule à
Exercice 3 : Troisième loi de KEPLER
1. Sachant que la trajectoire de la Terre est presque un cercle de rayon a = 150.106 km et que la
constante de gravitation G = 6,67.10−11 SI, calculer la masse du soleil.
2
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
2. La période de révolution de Mars autour du Soleil est de 1,9 année, en déduire a′ le demi
grand axe de l’ellipse décrite par Mars du soleil.
3. Une comète décrit une orbite elliptique autour du soleil, avec une période de 11,5 années.
La distance au périgée est rP = 0,22a ( a : distance terre soleil si on considère le mouvement
de la Terre autour du Soleil comme circulaire), calculer la distance rA de l’apogée au soleil et
l’excentricité e de la trajectoire elliptique. e étant proche de 1, calculer sa vitesse maximale.
4. La comète de Halley est passée en 1986 au voisinage de la Terre. Sa période de révolution autour du Soleil est de 76 ans et sa distance minimale au Soleil est 0,59 u.a (unité astronomique
correspondant à la distance moyenne Terre Soleil).
Calculer la plus grande distance de cette comète au Soleil et l’excentricité de sa trajectoire.
1. Mouvement quasi circulaire de la Terre autour du Soleil
Pour relier MS à a, G et des valeurs connues, on peut passer par
l’expression de v la vitesse de la Terre sur son orbite.
L’énergie mécanique de la Terre est
Em = −
~v
b
a
T
b
S
k
GMT MS
1
GMS
k
= Ec +Ep = Ec − ⇒ Ec =
= MT v 2 ⇒ v 2 =
2a
a
2a
2
a
Le mouvement étant circulaire et uniforme, on a également
v=
2πa
4π 2 a3
4π 2 a2
GMS
T2
4π 2
⇒
M
=
⇒
=
⇒
=
S
T
T2
a
a3
GMS
GT 2
Où T est la période de révolution de la Terre autour du Soleil : T ≃ 365,25 × 24 × 3600
secondes.
L’application numérique donne MS ≃ 2.1030 kg.
2. Par utilisation de la Troisième loi de Kepler,
"
T2
a3
#
Terre
T2
= 3
a
"
#
Mars
T2
T ′2
T′
⇒ 3 = ′3 ⇒ a′ = a
a
a
T
!2
3
≃ 230.106 km.
3. À nouveau, par utilisation de la Troisième loi de Kepler,
"
T2
a3
#
Terre
T2
= 3
a
"
#
Comète
T ′′
⇒a =a
T
′′
!2
3
rP + rA
T ′′
=
⇒ rA = 2a
2
T
!2
3
− rP ≃ 1497.106 km
Par ailleurs, comme
r=
p
p
p
rA − rP
⇒ rA =
et rP =
⇒e=
≃ 0,96
1 + e cos θ
1−e
1+e
rA + rP
Comme e ≃ 1, on a presque un mouvement parabolique,
k
GmMS
1
⇒ vmax = vP ≃
Em ≃ 0 ⇒ Ec = −Ep ⇒ mv 2 = =
2
r
r
s
2GMS
≃ 90 km.s−1
rP
4. Toujours par utilisation de la Troisième loi de Kepler, on calcule de la même manière rA = 35,29
u.a et e = 0,97.
3
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
Exercice 4 : Comète parabolique
Dans le référentiel Héliocentrique, on considère le mouvement d’une comète et celui de la Terre.
La masse du Soleil sera notée M0 . La trajectoire de la Terre est supposée circulaire de rayon r0 .
1. Calculer, en fonction de M0 , r0 et G (la constante de gravitation), la vitesse v0 de la Terre sur
son orbite ainsi que sa période de rotation T0 .
2. La trajectoire de la comète est coplanaire à celle de la Terre, sa distance péricentrique est r20
et sa vitesse maximale est alors 2v0 .
Préciser la forme de la trajectoire de la comète (elliptique, parabolique ou hyperbolique).
Exprimer la vitesse de la comète en fonction de la distance r qui la sépare du soleil.
3. L’orbite de la comète croise celle de la Terre en deux points A et B.
Montrer que AB est un diamètre de l’orbite terrestre.
4. Quel est le temps τ passé par la comète à l’intérieur de l’orbite terrestre en fonction de T0 ?
Ce temps donne un ordre de grandeur de la durée de visibilité à l’œil nu de la comète depuis
Rπ
dθ
la Terre. On donne −2 π (1+cos
= 43
θ)2
2
1. Par un calcul classique (PFD sur la Terre soumis
à la force de gravitation due au Soleil ou
q
GM0
par une méthode énergétique), on obtient v0 =
et comme le mouvement est circulaire
r0
2πr0
uniforme, T0 = v0 .
2. Pour préciser la nature de la trajectoire de la comète, on calcule son énergie mécanique.
Comme elle est constante, on peut la déterminer en se plaçant
à n’importe quel point et
q
GM0
r0
comme l’énoncé précise r et v au périastre (r = 2 ; v = 2v0 = 2 r0 ), on obtient en utilisant
le résultat précédent :
GmM0
2GmM0 2GmM0
1
=
−
=0
Em = Ec + Ep = m(2v0 )2 −
2
r0 /2
r0
r0
ce qui signifie qu’on a affaire à une trajectoire parabolique (d’où le titre de l’exercice).
0
Comme à tout instant Em = 0 = Ec + Ep = 21 mv 2 − GmM
, on
r
q
A
2GM0
.
av =
r
3. La trajectoire est parabolique, son excentricité est donc égale
p
r0
.
à 1 et r = 1+1×cos
θ
r0
De plus, on sait que r minimum (valeur de r quand θ = 0)
2
p
r0
r0
est égal à 2 d’où 2 = 1+1 et p = r0 .
O
T
Finalement, l’équation polaire de la trajectoire de la comète
r0
est r = 1+cos
.
θ
L’orbite de la comète croise celle de la Terre (rayon r0 ) quand
r = r0 , c’est à dire pour θ = ± π2 ce qui veut dire que les
B
points A et B d’intersection de l’orbite de la comète avec
celle de la Terre sont diamétralement opposés : AB est bien
un diamètre de l’orbite terrestre.
4. La force de gravitation étant centrale, on a conservation du moment cinétique de la comète par
rapport au centre du Soleil et la loi des aires est respectée : L0 = Cte ⇒ r 2 θ˙ = r20 .2v0 (valeur en
2
r0
θ = 0) soit θ˙ = dθ
= r0rv20 d’où dt = r0rv0 dθ avec r = 1+cos
.
dt
θ
Or, τ , la durée pendant laquelle la comète est située à r < r0 correspond à − π2 ≤ θ ≤ π2 d’où
b
b
b
b
τ=
Z
π
2
θ=− π2
2T0
r0 dθ
=
≃ 77,5 jours.
2
v0 (1 + cos θ)
3π
Exercice 5 : Voyage Terre – Mars
4
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
Au cours d’un voyage interplanétaire, un vaisseau spatial V
de masse m = 1000 kg, est transféré depuis la Terre T jusqu’à
la planète Mars M. Ce transfert s’effectue selon une orbite
A
elliptique (ellipse de H OHMANN) tangente aux deux orbites
coplanaires pratiquement circulaires, de T et M, de rayons
rT = ST = 150 millions de km et rM = SM = 230 millions de
km, et dont le soleil est un foyer.
On négligera l’influence des autres corps et on ne considérera
que l’attraction solaire. Masse du soleil MS = 2.1030 kg et G =
6,67.10−11 SI. Déterminer en fonction de rT , rM , G et MS , puis calculer :
M
V
b
b
α
θ
b
b
b
S
T
1. L’excentricité e et le paramètre p de l’orbite de transfert de H OHMANN.
2. La durée τ de ce voyage.
3. La variation de vitesse à communiquer au vaisseau lors du lancement depuis l’orbite terrestre puis lors de son arrivée aux abords de Mars.
4. L’augmentation de l’énergie mécanique totale du vaisseau au cours de ce transfert.
5. Mars doit se situer en A au même instant qua le vaisseau V . En déduire la position que doit
avoir M par rapport à T à l’instant du départ : angle α = (ST,SM).
1. Sur l’orbite de transfert de H OHMANN d’excentricité e et le paramètre p, r =
p
,
1+e cos θ
M
b
b
V
α
θ
A
b
b
S
b
T
p
Au périgée, T sur la figure, θ = 0 et alors r = rT = 1+e
.
p
De même à l’apogée, θ = π, r = rM = 1−e . On en déduit
rT
1−e
rM − rT
=
⇒e=
= 0,21 ⇒ p = rT (1 + e) = 182.106km.
rM
1+e
rM + rT
2. Lors du voyage, le vaisseau parcourt la moitié de l’ellipse donc sa durée τ correspond à une
demi période TH du vaisseau sur l’orbite de H OHMANN.
Et, d’après la troisième loi de Kepler,
"
T2
a3
#
Terre
T2
= 3
a
"
#
Hohmann
T2
1 rT + rM
4τ 2
⇒ 3T = rT +rM 3 ⇒ τ =
rT
( 2 )
2
2rT
"
#3
2
TT ≃ 0,71TT
où TT est la période de révolution de la Terre autour du soleil (1 an). On en déduit τ ≃ 8
mois et 20 jours.
5
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
3. Le vaisseau étant dans un état lié (trajectoire circulaire ou elliptique),
v
u
"
#
v
u
"
u
u 2k 1
1
k
1
k
1
1
= t2GMS −
Em = − = Ec + Ep = mv 2 − ⇒ v = t
−
2a
2
r
m r 2a
r 2a
#
Au voisinage de la Terre, surql’orbite circulaire c’est à dire avant l’allumage des moteurs
S
r = rT = a d’où v(T − ) = 2GM
puis toujours en r = RT mais sur l’orbite elliptique
rT
2a = rT + rM d’où v(T + ) =
q
2GMS [ r1T −
1
].
rT +rM
On en déduit au niveau de la Terre ∆vT =
q
GMS
(
rT
q
2rM
rT +rM
− 1) ≃ 3 km.s−1 .
q
Aux environs de Mars par le même type de calculs, ∆vM =
km.s−1
GMS
(1
rM
−
q
2rT
)
rT +rM
≃ −2,7
k
= − GM2rS m d’où
4. Dans le cas d’un mouvement circulaire de rayon Em = − 2a
∆Em = Em (M) − Em (T ) = −
GMS m 1
1
1
rM − rT
(
− ) = GmMS
≃ 1,55.1011 J.
r
rM
rT
2
rM rT
5. Pour ne pas manquer le rendez-vous, il faut que M se situe en A au même instant que V ,
c’est à dire à t = τ .
avec
M étant animé d’un mouvement circulaire uniforme, sa vitesse angulaire est T2πM = π−α
τ
d’après la troisième loi de Kepler,
2
h
hr i3
TM
2τ rT 3 i
TT2
M 2
⇒
α
=
π
1
−
( ) 2 ≃ 45,3ř
=
⇒
T
=
T
H
T
3
rM
rT3
rT
TT rM
Exercice 6 : Changement d’orbite - Ellipse de transfert
La Terre est supposée à symétrie sphérique, de centre C, de rayon r0 . On note g0 l’intensité du
champ de pesanteur terrestre au niveau du sol. On donne r0 = 6400 km et g0 = 9,8 m.s−2 .
1. Un satellite, de masse m, décrit une trajectoire
circulaire rasante de rayon r0 . Quelles sont les
expressions de sa vitesse v0 et de sa période de
révolution T0 ?
2. Un satellite géostationnaire semble fixe pour un
observateur terrestre. Déterminer sa vitesse v1
et le rayon r1 de son orbite.
P
b
b
b
A
C
3. On veut faire passer un satellite de l’orbite circulaire rasante de rayon r0 = CP à l’orbite géostationnaire de rayon r1 = CA.
Un moteur auxiliaire permet de modifier la vitesse du satellite aux points P et A. Après
l’allumage du moteur en P , le satellite parcourt une demi-ellipse, dite de transfert jusqu’en
A où le moteur s’allume à nouveau pour le ralentir.
(a) Déterminer les vitesses v0′ et v1′ du satellite en P et en A sur sa trajectoire elliptique.
(b) Calculer la durée τ du transfert de P à A.
(c) Quelle est l’excentricité de l’orbite de transfert.
6
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
√
0
≃ 1 h 25 min. 2. F~ie + F~grav = ~0 que
1. PFD sur satellite ⇒ v0 = g0 r0 ≃ 7,92 km.s−1 et T0 = 2πr
v0
1
si dans plan équatorial. T1 = 1 jour, v1 = 2πr
et r1 = r0 ( TT10 )3/2 d’où v1 = 3,08 km.s−1 et r1 = 42400
T1
q
k
⇒ v = r0 2g0 ( 1r −
km (36 000 km du sol). 3.a. Sur l’ellipse, Em = − 2a
0
et v1′ = 1,56 km.s−1 . 3.b. τ = 21 T0 ( r02r+r0 1 )3/2 ≃ 5 h 14 min. 3.c. e = rr11 −r
+r0
1
)
r0 +r1
soit v0′ = 10,4 km.s−1
Exercice 7 : Comète de Halley
La comète de Halley est passée en 1986 au voisinage de la Terre. Sa période de révolution autour du Soleil est de 76 ans et sa distance minimale au Soleil est 0,59 u.a (unité astronomique
correspondant à la distance moyenne Terre Soleil).
Calculer la plus grande distance de cette comète au Soleil et l’excentricité de sa trajectoire.
Troisième loi de Kepler ⇒ rA = 35,29 u.a et e = 0,97.
Exercice 8 : Force de gravitation
1. Rappeler l’expression de la force de gravitation exercée par la Terre de centre T et de masse
MT sur un objet A de masse m en fonction de la Constante de gravitation G = 6,67.10−11 SI
et de r = T A.
2. En déduire l’expression de l’énergie potentielle de gravitation.
3. Donner l’expression de l’énergie mécanique du point A ayant une vitesse v à la surface de la
Terre, en déduire la valeur de la vitesse de libération vL : vitesse minimale donnée à l’objet
pour qu’il puisse se libérer de l’attraction terrestre. Calculer vL . (MT = 6.1024 kg et RT = 6400
km).
4. La Terre décrit autour du soleil S de masse MS = 0,33.106MT une orbite pratiquement circulaire de rayon a = 150.106 km. Déterminer en fonction de a, la position d’équigravité du
système T − S par rapport à la Terre ; endroit de l’espace où la force de gravitation due à S
est compensée par celle due à T .
−→
T
T
T
1. F~ = − GmM
T A. 2. δW (F~ ) = −dE
⇒ Ep = − GmM
. 3. Em = 21 mv 2 − GmM
et v = vL quand
r3
r
r
qp
2GMT
Em = 0 pour r = RT soit vL =
≃ 11,2 km.s−1 . 4. A entre T et S : a = SA + AT et
RT
FS/A = FT /A ⇒ T A ≃ 260.103 km.
Exercice 9 : Objets en orbite autour du Soleil
On donne G = 6,67.10−11 SI la constante de gravitation et M0 = 2.1030 kg la masse du Soleil.
1. Mouvement de la Terre.
(a) Exprimer la vitesse v0 de la Terre par rapport au repère galiléen associé au Soleil en
fonction de G, M0 et R0 = 1,5.108 km, le rayon de l’orbite terrestre, supposée circulaire,
autour du Soleil.
(b) Exprimer, en fonction de G, M0 , R0 et MT la masse de la Terre, l’énergie cinétique, l’énergie potentielle (nulle à l’infini), l’énergie totale dont on commentera le signe et le mo~ 0 de la Terre par rapport au Soleil ainsi que sa période de révolution
ment cinétique L
autour de Soleil T0 .
2. Mouvement d’une comète parabolique.
Une comète, dont la trajectoire est coplanaire à l’orbite terrestre a une masse mc . Son périhélie (point le plus proche du Soleil) se trouve à la distance R20 du centre du Soleil et sa vitesse
est en ce point de 2v0 .
(a) Montrer que la trajectoire de la comète est une parabole.
7
TD – M6
Correction
PCSI1 2013 – 2014
(b) Exprimer la vitesse vc de la comète en fonction de sa distance au centre du Soleil rc .
(c) L’orbite de la comète croise celle de la Terre en deux points A et B. Montrer que AB est
un diamètre de l’orbite terrestre.
(d) Quel est le temps τ passé par la comète à l’intérieur de l’orbite terrestre en fonction
de T0 ? Ce temps donne un ordre de grandeur de la durée de visibilité à l’œil nu de la
comète depuis la Terre.
Rπ
dθ
On donne −2 π (1+cos
= 43
θ)2
2
3. Comète de HALLEY.
Le périhélie de la comète de HALLEY se trouve à 0,6R0 du centre du Soleil ; sa période T est
de 76 années terrestres.
(a) Calculer l’excentricité e et le paramètre p de la comète de HALLEY.
(b) A chaque passage, elle perd de sa masse du fait du vent solaire. Sa trajectoire est-elle
modifiée ?
4. Satellite
Un satellite S étant situé en un point P à la distance h = (1 + α)R du centre O du Soleil où R
est “le rayon” du Soleil et α = 5,00.10−2 , on lui communique une vitesse V~ perpendiculaire
~ et de valeur V = βV0 en notant V0 la valeur de V qui lui permettrait de
au rayon vecteur OS
décrire une orbite circulaire autour de O.
Calculer sous forme littérale puis en effectuant les applications numériques, entre quelles
valeurs doit être compris β si l’on veut éviter que le satellite ne “touche la surface du Soleil”,
mais aussi qu’il échappe définitivement à son attraction.
Exercice 10 : Satellite géostationnaire
Un satellite est géostationnaire si il semble immobile pour un observateur situé sur la surface de
la Terre.
1. Montrer que le satellite orbite forcément dans le plan équatorial. On pourra représenter les
forces appliquées au satellite dans le référentiel géocentrique galiléen.
2. Calculer le rayon R de la trajectoire du satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique connaissant la valeur du champ de pesanteur au sol g0 = 9,8 m.s−2 et le rayon de
celle-ci : RT = 6400 km.
3. Calculer l’énergie à fournir pour satelliser ainsi une masse m = 1 kg depuis un point à la
surface de la Terre et à l’équateur. Exprimer cette énergie en kWh et commenter.
g R2 T 2
2
1. R = ( 0 4πT2 )1/3 où T = 1 jour sidéral ≃ 23 h 56 min. 2. W = 2mπ
(R2 −RT2 )+mg0 RT (1− RRT ) ≃ 57,7
T2
J ≃ 16 kWh relativement faible car on a négligé les frottements, le rendement des moteurs ...
8