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Capítulo 1
Movimiento Periódico
Es el movimiento de un cuerpo o partícula que a intervalos iguales de tiempo se repite con las
mismas características. El estudio del movimiento periódico reviste trascendental importancia, ya que
casi la totalidad de los fenómenos físicos conocidos encierran elementos de periodicidad.
1. Movimiento Pendular . Es el movimiento lento de una masa suspendida de un hilo, a uno y otro
lado de su posición de equilibrio.
2. Movimiento Armonico Simple. Es el movimiento rápido de un punto material a uno y otro lado
de su posición de equilibrio.
1.1.
Elementos de un movimiento periódico
Todo movimiento periódico está caracterizado por cuatro propiedades esenciales, a saber:
Período. Tiempo empleado para un ciclo de movimiento. Se designa con la letra T.
Frecuencia. Número de ciclos de movimiento durante un segundo. Se designa con la letra f.
Amplitud. La máxima separación del cuerpo oscilante con respecto a la posición de reposo.
Diferencia de fase. Es la diferencia entre el movimiento de dos péndulos que consiste en el
adelanto o retraso del uno con respecto al otro.
Al analizar las definiciones de período(T) y frecuencia (f) se observa que las dos magnitudes guardan
entre sí, una relación inversa.
De esta forma,
P eriodo =
1
f recuencia
En términos de las variables en las que estan expresadas dichas magnitudes, se obtiene:
T =
f=
1
T
1
f
seg.
ciclos/seg
1
CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO PERIÓDICO
1.2.
2
Problemas resueltos
Un péndulo realiza 120 oscilaciones durante 1 minuto. Hallar el período y la frecuencia del
movimiento.
Solución.
Inicialmente se debe expresar el tiempo en segundos ya que de la definión de frecuencia se
infiere que ésta es la unidad que debe ser utilizada. Se tiene que 1min = 60s.
La frecuencia se definió como el número de oscilaciones por segundo, así:
f = 120osc/60s = 2osc/s
De la relación entre el período y la frecuencia:
T = 1/f = 1osc/(2osc/s) = 0,5s
La frecuencia de un movimiento vibratorio es 4vib/s. Determinar el número de vibraciones que
se verificaran en 12min.
Solución.
De forma análoga al problema anterior, se debe expresar el tiempo en segundos, así:
12min · (60s/1min) = 720s.
Luego el número de vibraciones es:
N ◦ vib = (4vib/s) · 720s = 2880vib
Finalmente en 12min se registran 2880 vibraciones con base en la frecuencia del movimiento
vibratorio.
1.3.
Problemas propuestos
1. La frecuencia de un movimiento oscilatorio es de 8osc/s. Determínese el período del movimiento.
2. El período de un movimiento oscilatorio es de 0.2 segundos. Determinar el número de oscilaciones
que se verificarán en un minuto y medio.
3. Un volante realiza 2400 vueltas cada 2 minutos. Determinar el período y la frecuencia del
movimiento.
4. La hélice de un avión realiza 7200 revoluciones cada minuto y cuarto. Determinar:
Vueltas de la hélice en 6 minutos.
Frecuencia del movimiento.
Periodo del movimiento.
5. Una cuerda realiza 3000 ciclos en 4 seg. y otra 4500 en 9 seg. Calcular cuántas ciclos dará una
más que la otra en 2.5 minutos.
6. La frecuencia de un movimiento es de 3 vib/seg. Determinar el número de oscilaciones que se
verificarán en 3.5 minutos.
Capítulo 2
Movimiento Pendular
Un péndulo está compuesto de una masa suspendida de un hilo que puede oscilar a uno y otro lado
de su posición de equilibrio.
2.1.
Leyes del péndulo
El período de oscilación de un péndulo es independiente del material del que está constituido.Además, es independiente de la amplitud, mientras ésta sea pequeña.
Las oscilaciones de amplitudes menores a 10◦ , son isócronas, es decir, gastan el mismo tiempo.
El período de un movimiento pendular, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la
longitud.
q
T1
L1
=
T2
L2
El período de oscilación de un péndulo está en razón inversa de la raíz cuadrada de la intensidad
de la gravedad.
q
g2
T1
T2 =
g1
La relación del período del péndulo con la longitud y la gravedad se expresa por medio de la
siguiente ecuación:
q
T = 2Π Lg
Figura 2.1: PÉNDULO
3
CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO PENDULAR
2.2.
4
Problemas Resueltos
Un péndulo de 20 centímetros de largo tiene un período de 0,4s; si la longitud del péndulo se
aumenta a 120 centímetros. ¿Cuál es el período del péndulo alargado?
Solución
Como se expuso anteriormente el período de un péndulo es directamente proporcional a la
raíz cuadrada de la longitud.
q
T1
L1
T2 =
L2
En este caso se conocen las variables L1 , L2 , T1 . De la ecuación anterior se despeja T2 .
q
2
T2 = T1 · L
L1
Donde L1 = 20cm,L2 = 120cm,T1 = 0,4s.
Al reemplazar
T2 = 0,4s ·
q
120
20
= 0,98s
Finalmente, el período del péndulo alargado es de 0,98s.
Calcular el período de oscilación de un péndulo de 1m.de longitud.1
Solución
La ecuación que relaciona el período del péndulo con la longitud y la gravedad es:
q
T = 2Π Lg
Donde Π = 3,14159, L = 1m y g = 9,8 sm2 . Al reemplazar:
q
1m
T = 2 · 3,14159 9,8
m = 2s
s2
El período del péndulo es 2s.
¿Qué longitud debe tener un péndulo para que su período sea igual a 1s.?
Solución
De la expresión T = 2Π
cuadrado.
q
L
g
se despeja L, elevando ambos miembros de la igualdad al
T 2 = 4 · Π2 ·
L
g
, luego L =
T 2g
4·Π2
Donde T = 1s,Π = 3,14159 y g = 9,8 sm2 . Al reemplazar
L=
(1s)2 (9,8 m2 )
s
4·(3,141592 )
= 0,25m.
La longitud que debe tener el péndulo para que su período sea de 1s, es 0,25m.
1 Considere
el valor de la aceleración de la gravedad como 9,8 sm2 .
CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO PENDULAR
5
En la construcción de un péndulo que se quería tuviera un período de 0,5s, se comete un error y
su longitud de hace un centímetro más grande que la verdadera. ¿Cuánto se atrasa éste péndulo
en un minuto?
Solución
Se calcula primero la longitud que debe tener el péndulo para que su período sea 0,5s.
De forma análoga al problema anterior, despejo L de la ecuación que la relaciona con el
período y la gravedad.
L=
T 2g
4·Π2
Donde T = 0,5s, Π = 3,14159 y g = 9,8 sm2 . Reemplazando
L=
(0,5s)2 (9,8 m2 )
s
4·(3,141592 )
= 0,062m.
El error cometido en la medición fue de 1cm = 0,01m. Por tanto la nueva longitud es
L2 = 0,062m + 0,01m = 0,072m. El período con dicha longitud se calcula como
q
T2 = 2 · 3,14159 0,072m
9,8 m = 0,538s
s2
El atraso del péndulo cada segundo es:
0,538s − 0,500 = 0,038s
En un minuto el péndulo se atrasa
(60)(0,038s) = 2,31s
2.3.
Problemas Propuestos
1. Calcule la longitud de un péndulo que realiza 14 oscilaciones en 28 segundos.
2. ¿Cuál es el período de un péndulo cuya longitud es tres veces mayor que la del péndulo del
Problema 1?
3. Calcule el número de oscilaciones que realiza un péndulo durante 2 min si tiene un período de
0.6s.
4. ¿En cuánto varía el período del péndulo anterior si se reduce su longitud en 3/4 partes?
5. Un péndulo de 50 centímetros de longitud tiene un período de 0.6 segundos. ¿En cuántos centímetros se debe variar la longitud del péndulo para que el nuevo período sea de 0.3 segundos?.
6. Se registró un período de 0,4s en un lugar donde la aceleración de la gravedad es g = 9,8 sm2 . Al
realizar la medición en otro lugar con el mismo péndulo se registró un período de 0,392s.Calcule
el valor de la gravedad en éste último lugar.
7. En la construcción de un péndulo que se quería tuviera un período de 0,5s, se comete un error
y su longitud de hace ocho milimetros menos que la verdadera. ¿En un minuto, el péndulo se
adelanta o se atrasa y con qué magnitud?
8. Se tiene un sistema compuesto por dos péndulos. El primero de ellos tiene un período de 0,8s.
El otro registra 420 oscilaciones en 3 min. Cuál de los dos péndulos es más largo. Sustente su
respuesta.
9. ¿Cuántas oscilaciones en 15 minutos da un péndulo de 125cm de largo?
10. El péndulo de un reloj tiene un período de 3 s cuando g = 9,8 sm2 . Si su longitud se aumenta en
2mm. ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj de 24 horas?.
Capítulo 3
Movimiento Armónico Simple (MAS)
El tipo de movimiento en que la aceleración de la masa oscilante y la fuerza que actúa sobre ella,
son proporcionales al desplazamiento y siempre están dirigidas al centro, se denomina Movimiento
Armónico Simple.
En la figura 3.1 se muestran dos ejemplos de masas oscilantes.
3.1.
Términos asociados al MAS
OSCILACIÓN SENCILLA. Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria.
OSCILACIÓN COMPLETA. Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria y regreso
hasta el punto de partida, es decir, una oscilación completa es igual a dos oscilaciones sencillas.
PERÍODO (T). Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa.
FRECUENCIA (f). Es la cantidad de oscilaciones completas que la partícula realiza en la unidad
de tiempo (1 segundo). Se sigue cumpliendo que f = T1 .
PUNTO DE EQUILIBRIO. Es el punto central de la trayectoria de la partícula.
PUNTO DE RETORNO. Son los extremos de la trayectoria de la partícula que limitan el
movimiento de la partícula.
ELONGACIÓN (x). Es la distancia que separa la partícula de su posición de equilibrio.
AMPLITUD (A). Es la máxima elongación posible y equivale a la distancia entre el punto de
equilibrio y uno de los puntos de retorno.
La figura 3.2 se puede ver la proyección de un M.A.S sobre el plano.
Figura 3.1: RESORTE y PÉNDULO
6
CAPÍTULO 3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
7
Figura 3.2: PROYECCIÓN DE UN MAS
Figura 3.3: ELONGACIÓN
3.2.
Elongación, Velocidad y Aceleración en el MAS
Si la elongación del Movimiento Armónico Simple se la representa según avanza el tiempo, se obtiene
una gráfica periódica que corresponde a una función trigonométrica del tipo SENO o COSENO.
Si se considera la Velocidad Lineal y la Aceleración Centrípeta de la partícula al mismo tiempo que
ocurre la elongación, se obtienen los siguientes registros:
Elongación en el tiempo t esta dada por la expresión
x = A · Sen(w · t)
y puede verse en la figura 3.3.
Elongación máxima
xmax = A
La velocidad de la partícula es mayor mientras más lejos se encuentra de los puntos de retorno,
siendo máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y mínima (cero)en los puntos de retorno.
Velocidad en el tiempo t esta dada por
V = Aw · Cos(w · t)
o también:
V =w·x
y se muestra en la figura3.4
Velocidad Máxima
Vmax = A · w
Aceleración en el tiempo t
a = −Aw2 · Sen(w · t)
CAPÍTULO 3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
8
Figura 3.4: VELOCIDAD
Figura 3.5: ACELERACIÓN
o también:
a = −w2 · x
y se puede ver en la figura 3.5.
Aceleración Máxima
amax = −A · w2
El signo negativo (-) indica que la aceleración apunta siempre en dirección contraria a la velocidad,
para hacer que la partícula regrese al punto de equilibrio
La Aceleración de las partículas es mayor mientras más lejos se encuentra del punto de equilibrio,
siendo máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en el punto de equilibrio.
Donde
x =Elongación
V =Velocidad Lineal
a =Aceleración Centripeta
A =Amplitud
w =Velocidad Angular = ×t
t = Tiempo Transcurrido
Las fórmulas de Velocidad y Aceleración descritas en la tabla anterior, son consecuencias de la
gráfica inicial de la Elongación, ya que de ésta se derivan las demás. Decidir entre el uso del Seno o el
Coseno para expresar la elongación, depende del instante en que se comienza a contar una oscilación
completa: si es desde el punto de equilibrio (como en la ilustración) es una gráfica senosoidal y si se
inicia desde algún punto de retorno, la gráfica es del tipo cosenosoidal.
Cualquier forma de la gráfica describirá el Movimiento Armónico Simple de la partícula y sus
propiedades partículares, ya que ambas formas son válidas.
CAPÍTULO 3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
9
Las fórmulas anteriores tamien pueden tomar la forma:
.
ELONGACIÓN. x = A · Sen(w · t) → x = A · Cos(w · t)
VELOCIDAD. V = Aw · Cos(w · t) → V = −Aw · Sen(w · t)
ACELERACIÓN. a = −Aw2 · Sen(w · t) →a = −Aw2 · Cos(w · t)
3.3.
Problemas resueltos
Un cuerpo que oscila con un M.A.S. de 10cmde amplitud; posee un período de dos segundos.
Calcular: la elongación, velocidad y aceleración cuando ha trascurrido un sexto de período.
Solución
Cálculo de la elongación
x = A · Cos(w · t) , donde A = 10cm, w =
sexto del período.
2Π
T
y t
=
T
6
porque se hace referencia a un
Al reemplazar
T
Π
x = 10cm · Cos( 2Π
T · ( 6 )) = 10cm · Cos( 3 ) = 5cm
La elongación es de 5cm. Observe que se utilizó w =
calcularlo porque se expresé en función del período t =
2Π
T . El tiempo no fue necesario
T
6 ; el ángulo se midió en radianes.
Cálculo de la velocidad
V = −Aw · Sen(w · t),donde A = 10cm,T = 2s ,w =
2Π
2s y
t=
T
6
.
Al reemplazar
2Π
T
cm
Π
cm
V = −10cm · ( 2Π
2s ) · Sen(( T ) · ( 6 )) =−10 · Π s · Sen( 3 ) = −27,2 s
La velocidad es−27,2 cm
s .
Cálculo de la aceleración
2
a = −Aw2 · Cos(w · t),donde A = 10cm ,w2 = ( 2Π
2s ) , w =
2Π
T y
t=
T
6
.
Al reemplazar
2Π T
Π
cm
2
2 cm
a = −10cm · ( 2Π
2s ) · Cos( T ( 6 )) = −10Π s .Cos( 3 ) = −49,34 s2
La aceleración es de −49,34 cm
s2 .
Calcular la velocidad y la aceleración máxima de un cuerpo que posee M.A.S. de 8cmde amplitud
y 4s de período.
Solución
Cálculo de la velocidad máxima
Vmax = A · w, donde A = 8cm y w =
2Π
T
=
2Π
4s
Al reemplazar
cm
Vmax = 8cm · ( 2Π
4s ) = 12,56 s
Cálculo de la aceleración máxima
2
amax = A · w2 , donde A = 8cm y w2 = ( T2 )2 = ( 2Π
4s )
Al reemplazar
cm
2
amax = 8cm · ( 2Π
4s ) = 19,73 s2
CAPÍTULO 3. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
3.4.
10
Problemas propuestos
1. En un M.A.S. la amplitud tiene un valor de 5 cm y el periodo es de 0.8 seg. Calcular el valor
de la elongación después de un tiempo de 0.2, 0.4 y 1.2 seg de haberse iniciado el movimiento.
2. Una masa realiza un M.A.S. siendo la frecuencia de 4 vib/seg: Determinar el valor de la aceleración cuando la elengación tiene como valores 2 y 5 cm respectivamente.
3. Una particula vibra con un M.A.S. siendo la amplitud de 10 cm y la frecuencia de 0.5 vib/seg.
calcular los valores correspondientes de elongación, velocidad y aceleración, cuando t = T/4,
t=T/2, t=3T/4 y t=T.
4. En un M.A.S. la amplitud vale 10 cm y el periodo 0.4 seg. Hallar los valores de elongación,
velocidad y aceleración al cabo de 1.5 seg de haberse iniciado el movimiento.
5. Un cuerpo vibra con un M.A.S. de amplitud igual a 15 cm y frecuencia 4 vib/seg, Calcular:
Los valores máximos de aceleración y velocidad.
La aceleración y la velocidad cuando el valor de la elongación es de 9 cm.
El tiempo necesario para ir del equilibrio a un punto situado a 12 cm.
6. ¿Cuál es el periodo de vibración de una particula que realiza un M.A.S. si tiene como aceleración
48 cm
s2 , cuando el valor de la elongación es de 3 cm.
7. Calcular la amplitud de un M.A.S. , si se sabe que el valor de la elongación es de 4.75 cm a los
0.8 seg de haberse iniciado el movimiento.
Capítulo 4
Eventos Ondulatorio
Es el movimiento vibratorio, transmitido sucesiva y gradualmente, mediante las vibraciones de
un cuerpo a los diversos puntos del mismo unidos entre si por las diversas fuerzas moleculares, lo
interesante del fenómeno es entender que no hay movimiento de traslación de la materia, lo que
realmente se propaga es un estado de perturbación, una partícula perturbada, perturba a las demás.
Onda
Es una perturbación que viaja a través del espacio o de un medio elástico, transportando energía
sin que haya desplazamiento de masa.
4.1.
Clasificación de las ondas
4.1.1.
Medio de propagación
Mecánicas
Ondas que requieren para desplazarse da un medio elástico que vibre, (ondas en el agua)
Electromagnéticas
Ondas que se propagan en el vacío, (ondas de radio)
4.1.2.
Número de oscilaciones
Pulso o perturbación
Es aquel en la cuál cada partícula del medio permanece en reposo hasta que llegue el impulso, realiza
una oscilación con MAS y después permanece en reposo.
Onda periódica
Son aquellas en las cuales las partículas del medio tiene un movimiento periódico, debido a que la
fuente perturbadora vibra continuamente. Si la fuente vibra con MAS, la onda periódica es llamada
armónica.
11
CAPÍTULO 4. EVENTOS ONDULATORIO
12
Figura 4.1: Onda
4.1.3.
Dirección de propagación
Ondas transversales
Son aquellas que se caracterizan por que las partículas del medio vibran perpendicularmente a la
dirección de propagación de la onda. (Una cuerda sometida a una tensión se pone a oscilar en uno de
sus extremos)
Ondas longitudinales
Se caracteriza porque las partículas del medio vibran en la misma dirección de propagación de la onda,
(ondas de radio)
4.1.4.
Número de dimensiones en las que se propagan
Unidimensionales: Se propaga en una sola dimensión. (Onda en una cuerda)
Bidimensionales: Se propaga en dos dimensiones. (Ondas en el agua)
Tridimensionales: Se propaga en tras dimensiones. (luz que se propaga en el espacio)
4.2.
Términos asociados al movimiento ondulatorio
Amplitud:
Máxima separación con respecto a la posición de equilibrio.
La parte superior de la onda se denomina cresta y la parte inferior se llama valle
Velocidad de propagación
Corresponde a la distancia a que se transmite el movimiento ondulatorio durante un segundo,
independientemente de que sea un movimiento ondulatorio longitudinal o transversal, la perturbación
se propaga con velocidad uniforme siendo la elasticidad del medio y la densidad los dos factores que
determinan la magnitud de su valor.
Longitud de onda
Una partícula al realizar un ciclo completo de vibración emplea un determinado tiempo al cual se
le denomina periodo, pero durante este tiempo el movimiento se habrá propagado hasta una cierta
distancia, a esta distancia corresponde el concepto de longitud de onda.
Por lo tanto por longitud de onda debe entenderse como la distancia a que el movimiento ondulatorio
se propaga durante un periodo.
Ahora si T es el periodo y V la velocidad de propagación, la longitud de onda esta dada por la
expresión:
CAPÍTULO 4. EVENTOS ONDULATORIO
13
Figura 4.2: Longitud de onda
Longitud de onda = Velocidad por periodo
λ = VT
4.3.
4.3.1.
V
f
=
Fenómenos ondulatorios
Principio de Huygens
Todo punto de un medio a donde llega un movimiento ondulatorio de un centro primario principal,
se convierte en nuevo centro de vibración dando lugar a una serie de ondas alrededor de si.
4.3.2.
Principio de superposición
Cuando dos ondas se encuentran se combinan para tomar formas complejas, pero una vez se han
cruzado, retoman su forma inicial y siguen viajando a lo largo de su dirección de propagación.
4.3.3.
Frente de onda
Cuando se tienen muchos centros emisores de ondas, las ondas generadas se mezclan de tal manera
que las crestas parciales se entrecruzarán para formar una sola y los valles también se confundirán
en uno solo, formando una sola onda que se considera la envolvente de todas, a esta envolvente que
corresponde la tangente común de todas ellas se le denomina frente de onda.
4.3.4.
Reflexión
Es el cambio en la dirección de propagación que experimenta una onda cuando choca con un
obstáculo, además el ángulo con que incide la onda contra la superficie es igual al ángulo con que se
refleja.
4.3.5.
Refracción
Es el fenómeno que tiene lugar cuando un movimiento ondulatorio atraviesa la superficie de separación de dos medios de diferentes propiedades y en los que el movimiento se propaga con velocidades
diferentes V1 y V2. De otro lado entre el seno del ángulo de incidencia y el de refracción, existe una
relación constante que es igual a la que existe entre las velocidades del movimiento en los dos medios.
sen(Θi)
sen(Θr)
=
V1
V2
CAPÍTULO 4. EVENTOS ONDULATORIO
14
Figura 4.3: Ondas Estacionarias
4.3.6.
Difracción
Fenómeno que se presenta cuando una onda pasa a través de un orificio de tamaño menor que la
longitud de onda o pasa cerca de un obstáculo, se manifiesta porque la onda se curva al pasar por la
abertura y bordea el obstáculo.
4.3.7.
Polarización
Solo se presenta en las ondas transversales y consiste en reducir todos los planos de vibración de
la onda a uno solo.
4.3.8.
Interferencia
Es el fenómeno ondulatorio que se presenta cuando en un punto o región del espacio incide mas de
una onda, se manifiesta porque en dicho punto la amplitud de la onda es la sumatoria algebraica de
las elongaciones de las ondas incidentes.
4.3.9.
Ondas estacionarias
Es un tipo de interferencia muy importante, que tiene lugar cuando dos ondas de la misma amplitud y frecuencia se propagan en sentido contrario, en un mismo medio. Producto de la interferencia
producida, algunos puntos del medio presentan interferencia por refuerzo, ellos vibran con máxima
amplitud y se denominan vientres, en tanto que otros en los que hay interferencia por anulación no
vibran y reciben el nombre de nodos.
Capítulo 5
Acústica
15
Capítulo 6
Óptica
16