Esercizi max/min hessiano nullo

6
Esercitazioni di Analisi Matematica 2
1.2
Punti stazionari con hessiano nullo
Sia data la funzione f : A ✓ R2 ! R differenziabile in A. Ricordiamo che se x0 e`
punto stazionario con hessiano nullo non possiamo studiarne la natura se non usando la
definizione. Avvertiamo che non esiste un modo generale per procedere.
not
• Valutazione lungo rette. Si considerino le funzioni gm (x) = f (x, y0 + m (x
not
e g1 (x) = f (0, x x0 ):
x0 ))
– se esistono due valori distinti m1 , m2 2 R [ {1} tali per cui x0 e` punto di
massimo per gm1 (x) ma e` punto di minimo per gm2 (x) allora x0 non e` punto di
estremo per f ;
– se esiste almeno un valore di m 2 R [ {1} tale per cui il punto x0 e` punto di
flesso per gm (x), allora x0 non e` punto di estremo;
– se per ogni valore di m 2 R [ {1} il punto x0 e` sempre di massimo, oppure
sempre di minimo, per gm (x) allora non posso concludere nulla sulla natura del
punto stazionario x0 della funzione f , e devo procedere con altre analisi.
Il ragionamento qui scritto vale in generale con qualsiasi famiglia di curve: ad esempio la famiglia delle funzioni potenze y = y0 + (x x0 )n .
• Definizione di punto di estremo. Si studia f in un opportuno intorno D ✓ A di x0 :
se si verifica che
f (D) f (x0 )
allora il punto e` di minimo, invece se
f (D)  f (x0 )
allora il punto e` di massimo. Se non esiste un tale intorno di x0 diremo che il punto
non e` di estremo. I punti di sella con hessiano nullo non sono qui trattati.
Esempio 1.2.1. Trovare i punti di massimo, minimo e sella della funzione
f (x, y) = x4 + 3y 2 + 4xy 3 .
Le derivate parziali prime sono
fx = 4x3 + 4y 3
fy = 6y + 12xy 2 .
Dall’annullamento delle derivate parziali prime otteniamo che
✓
◆
✓
◆
1 1
1
1
p ,p
A=
B= p , p
C = (0, 0) .
2 2
2
2
Un semplice calcolo mostra che l’hessiano di f e`
Hf (x, y) = 72 x2 + 4x3 y
2y 4
da cui Hf (A) = Hf (B) = 72 < 0 e Hf (C) = 0. Si deduce che A e B sono punti di sella,
mentre per C dobbiamo effettuare altre analisi.
1 - Punti critici
7
Studiamo l’andamento di f lungo le rette passanti per (0, 0): consideriamo
⇢
f (x, mx) = (1 + 4m3 ) x4 + 3m2 x2 m 6= 1
gm (x) =
f (0, x) = 3x2
m=1
da cui
0
gm
(x)
=
⇢
4 (1 + 4m3 ) x3 + 6m2 x = 2x ((1 + 4m3 ) x2 + 6m2 ) m 6= 1
6x
m = 1.
0
Dallo studio di gm
(x) si deduce che x = 0 e` punto di minimo per ogni m 2 R [ {1}. Non
possiamo concludere che (0, 0) e` punto di minimo per f .
Usiamo allora la definizione di punto di minimo. La funzione f si pu`o riscrivere come
f (x, y) = x4 + y 2 (3 + 4xy) .
Per 3 + 4xy
0 si ha f (x, y)
f (0, 0) = 0: allora prendendo
D = (x, y) 2 R | x2 + y 2  1 ⇢ {(x, y) 2 R | 3 + 4xy
0}
f (0, 0) = 0 ne consegue che (0, 0) e` punto di minimo relativo per f .
e avendosi f (D)
2
52
.5
1
0
2 .5
50
0
y
1
0
x
22
2
2.5 5
2
5
2 .5
2
2
1
0
x
52.5 0
z
0
5
0
2.5
y 0
100
5
1
2
Esempio 1.2.2. Trovare i punti di massimo, minimo e sella della funzione
p
f (x, y) = x2 y
3xy 2 .
Le derivate parziali prime sono
fx = 2xy
p
3y 2
f y = x2
p
2 3xy.
Dall’annullamento delle derivate parziali prime otteniamo che (0, 0) e` il solo punto stazionario.
Un semplice calcolo mostra che l’hessiano e` ivi nullo. Vediamo se (0, 0) pu`o essere un punto
di estremo usando il metodo della valutazione lungo le rette passanti per (0, 0):
⇢
p 2 3
f (x, mx) = m
3m x m 6= 1
gm (x) =
f (0, x) = 0
m=1
Dobbiamo studiare l’andamento delle curve gm (x): derivando
⇢
p 2 2
2 m
3m x m 6= 1
0
gm (x) =
0
m=1
8
Esercitazioni di Analisi Matematica 2
p
0
La funzione gm
e` positiva (rispettivamente negativa)h se il coefficiente
2 m
i
p
3m2 e` positivo
0
(negativo). Ne discende che gm
e` positiva per m 2 0, 33 e negativa nell’insieme complementare. Ne consegue che x = 0 e` punto di flesso per gm (x) per ogni m: allora (0, 0) non e` punto
di estremo per f .
Vediamo l’altro metodo, ovvero cerchiamo di verificare la definizione di punto di estremo:
consideriamo l’insieme D definito come
D = (x, y) 2 R2 | x2 + y 2  1
da cui passando in coordinate polari abbiamo2
⇣
f (D) = ⇢3 cos ✓ sin ✓ cos ✓
p
⌘ ⇢3
⇣
3 sin ✓ =
sin (2✓) cos ✓
2
p
⌘
3 sin ✓ .
Poich`e f (D) f (0, 0) = 0 non e` verificata per ogni valore di ✓ 2 [0, 2⇡] e ✏ 2 [0, 1] avremo
che il punto non e` di estremo.
1
1
y 00.
2
0
2
0
0.
0 .4
1
y
1 1
x
45
1
0
0
0 .4 1
5
0
1
1
2
45
0
0
z
0
0.45
0
2
1
0
5
0.
45
1
0
x
1
Esempio 1.2.3. Trovare i punti di massimo, minimo e sella della funzione
f (x, y) = (x2 + y 2 )e
(x2 +y 2 )
.
Le derivate parziali sono
fx = e
(x2 +y 2 )
⇥
2x(1
x2
y2)
⇤
fy = e
(x2 +y 2 )
⇥
2y(1
x2
y2)
⇤
Uguagliando le derivate prime a zero troviamo i punti stazionari: abbiamo (0, 0) e x2 + y 2 = 1.
In questo caso nell’insieme dei punti stazionari vi e` un insieme continuo di punti. L’Hessiano
di f e`
Hf (x, y) =
=
e
4e
x2
y2
⇥
2 + 4x4 2y 2 + 2x2 (2y 2
2
2
4e x y xy( 2 + x2 + y 2 )
2x2
2y 2
1 + x2 + y 2
1 + 2x4
5)
⇤
4e
e
x2
5y 2 + 2y 4
y2
x2
⇥
2
y 2 xy(
2 + x2 + y 2 )
10y 2 + 4y 4 + x2 (4y 2
5x2 + 4x2 y 2 .
2)
⇤
.
Abbiamo che H(0, 0) = 4 > 0 e fxx (0, 0) > 0 da cui consegue che (0, 0) e` un punto di
minimo. L’hessiano in x2 + y 2 = 1 e` nullo: serve un’analisi pi`u approfondita. Consideriamo
D = x2 + y 2 = ✏2 | 12 < ✏ < 32 che e` un intorno di x2 + y 2 = 1.
2
Nel seguito indicheremo con Metodo delle circonferenze concentriche quando, nel metodo della verifica
della definizione di punto di estremo, l’intorno D di x0 e` a simmetria polare.
1 - Punti critici
0.5
9
z
0.4
0.3
0.2
3
x
0.1
2
1
3
1
1
2
1
3
2
2
y
3
Vediamo se f (D)  f (0, 0) = e 1 : usando il metodo delle circonferenze concentriche su D
2
abbiamo f (D) = ✏2 e ✏ : si verifica facilmente, sfruttando gli strumenti del corso di Analisi 1,
che si ha il massimo per ✏ = 1 ovvero per x2 + y 2 = 1.
2
0.1
y
1.3
22
1
0
1
2
x
2
0
0 .2 .3
0.
2
0 .1
0 .1
1
0
3 0.2
0.3
0.
2
0.1
0 .1 . 2
0
y 0
0.1
0
0 .3
3
1
0.
0.2
0.2
0.1
0.2
0 .2
0.3
0.3
z
0.4
0.1
2
1
0
x
1
2
Punti critici non stazionari
Esempio 1.3.1. Trovare i punti di massimo, minimo e sella della funzione
p
f (x, y) = x2 + y 2 x2 y 3 .
Calcoliamo le derivate parziali prime:
x
fx (x, y) = p
2
x + y2
2x
y
fy (x, y) = p
2
x + y2
3y 2 .
Osserviamo che fx e fy non sono definite in (0, 0) da cui risulta che e` un punto critico non
stazionario.
1
Lo studio dei punti stazionari porge che A =
, 0 e B = 12 , 0 sono punti di sella e che
2