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M´ecanique des fluides - Bachelor 2015 - TD 9
TD9
Correction
Exercice 1
−1/6
1. On suppose que h = hn au niveau du pont. En utilisant la formule de J¨aggi, on calcule K = 23.2 d90
30 m1/3 s−1 . L’´equation de Manning-Strickler, pour un canal infiniment large, devient :
3/5 3/5
Q
q
√
√
=
.
hn =
K iaval
bK iaval
=
On trouve hn2 = 1.3 m (avec b = 4 m), inf´erieure `a h0 , donc la s´ecurit´e du pont est assur´ee. Note : comme
1,3 m est du mˆeme ordre de grandeur que b l’hypoth`ese d’un canal infiniment large est discutable, ici on
l’a choisi uniquement pour simplifier les calculs.
2. On d´etermine tout d’abord le r´egime d’´ecoulement pour les tron¸cons 1 (amont) et 2 (aval). Pour cela on
calcule la hauteur normale hn1 dans le tron¸con 1 et la hauteur critique hc (hauteur d’eau pour F r = 1) :
3/5
2/3
Q
Q
√
, hc =
.
hn1 =
√
b g
bK iamont
On trouve hn1 = 0, 47 m < hc = 0, 61 m < hn2 = 1, 3 m. L’´ecoulement passe donc d’un r´egime torrentiel
` un r´egime fluvial, il y a donc un ressaut qui se forme au changement de r´egime. Dans la zone o`
a
u se
produit le ressaut, l’´ecoulement est tr`es turbulent, localement la hauteur d’eau peut ˆetre importante avec
une forte ´erosion. Ainsi il est important de connaˆıtre la position de celui-ci.
Pour cela, on utilise la formule et la r`egle donn´ees dans l’´enonc´e. On obtient : hcj
n1 = 0, 71 m < hn2
(avec F r1 = 1.49). Le ressaut se situe donc dans la partie amont, il n’y a donc pas lieu de pr´evoir des
protections suppl´ementaires proche du pont. On utilise pour Froude :
F r1 =
Q
√
3/2
hn1 b g cos θhn1
Exercice 2
1. hc dans le premier partie :
hc =
Q2
gb2
1/3
=
202
10 · 102
1/3
= 0.737 m
hc dans la deuxi`eme partie :
hc =
Q2
gb2
1/3
=
202
10 · 52
1/3
= 1.169 m
2. hn dans le premier partie :
Q =
Q =
b + 2h =
b + 2h =
2/3
bhKRH
√
i, avec RH =
bh
b + 2h
√ (bh)5/3
K i
(b + 2h)2/3
√ 3/2
K
(bh)5/3 i
Q
3/2
K
(bh)5/2 i3/4
Q
f (h)
=
b + 2h − βh5/2 = 0, avec β =
f 0 (h)
=
5
2 − βh3/2
2
1
K
Q
3/2
b5/2 i3/4 = 13.34
M´ecanique des fluides - Bachelor 2015 - TD 9
Pour le m´ethode de Newton :
hn+1 = hn −
f (hn )
f 0 (hn )
Pour h0 on prend (pour un canal infiniment large) :
h0 =
q
√
K i
3/5
= 0.895
Par la suite on fait dans la calculatrice :
hn+1 = Ans −
f (Ans)
f 0 (Ans)
et la solution converge vers hn = 0.96
Dans la deuxi`eme partie β = 4.15 et hn = 1.27
3. Voir page 120 dans les notes : ”Passage d’un seuil ou d’un d´eversoir”.
2
Est u2g h ? :
hn
u2
2g
0.496
=
1.27 m
2
1
Q
=
= 0.496
2g bhn
1.27
Donc on peut utilise :
h =
h =
1/3
3 q2
+ p, (avec p = 1.0 le hauteur the seuil)
2 g
2.75 m
4. Dans le premier partie Froude est :
F r1 =
Q
20
√
√
= 0.67
=
bhn ghn
10 · 0.96 10 · 0.96
Donc le r´egime est subcritique.
Dans la deuxi`eme partie Froude est :
F r2 =
Q
20
√
√
=
= 0.88
bhn ghn
5 · 1.27 10 · 1.27
Donc le r´egime est aussi subcritique.
5.
hc1
hn1
hc2
hn2
hc
h
2