Semaine 21 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand

Semaine 21 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
8 avril 2015
Exercices
Exercice 1. Calculer :
0
−1
= .
..
−1
1
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
−1
1
.. . 1
0
C1 ← C1 + Cn , L1 ← L1 + Ln , Dn = Dn−2
Exercice 2. Calculer en établissant une relation de récurrence
1 · · · 1 .. . .
.
. (0)
1 (0) 1 Dn = −1 + Dn−1 = 2 − n
Exercice 3. Calculer :
a + b
a
.
..
a
b
a
Dn = .
..
a
b
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
a
···
b .. ..
.
. ..
..
.
.
b · · · a a + b
b a 0 · · ·
.. .
..
.
. a . .
+
. .
.
..
..
b ..
a ··· a
a+b
b
..
.
b a + b
0
..
.
a Dn−1
n
Dn = aDn−1 +bn , puis si b 6= 0 D
bn = b bn−1 +1 que l’on résout comme une suite arithméticon+1
−an+1
géométrique/ou arithmétique, donc si a 6= b Dn = b b−a
et (n + 1)an sinon
Exercice 4. Soit E un K espace vectoriel de dimension n, u ∈ L(E) et B = (e1 , . . . , en ) une
base de E. Montrer que pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ E n :
n
X
i=1
det (x1 , . . . , u(xi ), . . . , xn ) = Tr(u) det(x1 , . . . , xn )
B
B
1
Exercice 5. Soit A ∈ Mn (K), on note ψ : M 7→ AM ∈ L(Mn (C)) donner det ψ, T r(ψ)
Exercice 6. Soit M ∈ Mn (R), telle que mij ∈ {−1, 1} pour tout i, j montrer que 2n−1 | det A
Exercice 7. Soit P, N ∈ Mn (R) tel que P est inversible, montrer qu’il existe α > 0 tel que
x ∈ ]−α, α[ =⇒ P + xN ∈ GLn (R)
Exercice 8. Soit n ∈ N, n ≥ 2, trouver tous les A ∈ Mn (K) tel que pour tout M ∈ Mn (K) on
ait :
det A + M = det A + det M
Exercice 9. Soient A, B deux matrices qui commutent dans Mn (R), montrer que det A2 +B 2 ≥ 0
Exercice 10. Soit A ∈ Mn (Z), on dit que A ∈ GLn (Z) si A est inversible et que son inverse
est dans Mn (Z).
1. Montrer que A ∈ GLn (Z) si et seulement si det A = 1
2. Soient A, B deux matrices de Mn (Z) tel que :
∀i ∈ J1, 2n + 1K , A + kB ∈ GLn (Z)
Calculer det A, det B
1. Si AA−1 = In avec A−1 ∈ Mn (Z), alors en passant au det on a que det A|1 et donc
t
det A = ±1, réciproquement dans ce cas là A−1 = det1 A Com(A) ∈ Mn (Z)
2. P (x) = det(A+xB)2 −1 a plus de racines que 2n, donc det A+xB = ±1, donc det A = ±1,
et 0 ← det( x1 A + B) = det A+xB
→ det B
xn
Exercice 11. Soient A, B deux matrices inversibles qui commutent, montrer alors que leurs
comatrices commutent, est-ce encore le cas lorsqu’on ne suppose plus les matrices inversibles ?
Si A, B commutent et sont inversibles alors leurs inverses commutent, et leurs inverses sont
proportionnels à la transposé de leur comatrice, donc t Com A et t Com B commutent, en passant
à la transposée, on obtient le résultat.
Dans le cas général on peut vérifier que A − xIn et B − xIn commutent encore et pour x
suffisamment petit ces matrices sont inversibles (car le polynôme caractéristique n’a qu’un nombre
fini de racines), puis on fait tendre x vers 0, le résultat s’en déduit donc par limite, (par continuité
du déterminant).
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