Álgebra lineal Abril 16, 2015 Guillermo Mantilla

´
Algebra
lineal
Abril 16, 2015
Guillermo Mantilla-Soler
Taller 4.
Bases ortnonormales: Sea {u1 , ..., um } una base para W un sub-espacio de Rn . En clase vimos un
algoritmo1 para construir una base ortonormal {w1 , ..., wn } de W . En estas notas les recuerdo en detalle
el procedimiento. La idea del algoritmo se basa en lo que pasa en el caso de dos vectores {u1 , u2 }: como
vimos en clase si tomamos
v2 := u2 − Proyu1 (u2 )
v2 es ortogonal a u1 y si llamamos v1 := u1 tenemos que span{u1 , u2 }=span{v1 , v2 }. En particular hemos
construido dos vectores {v1 , v2 }, que generan lo mismo que {u1 , u2 }, con la particularidad que v1 · v2 = 0.
Si adicionalmente queremos vectores de norma (magnitud o longitud) 1 podemos tomar
w1 =
v1
v2
y w2 =
.
||v1 ||
||v2 ||
El caso general es exactamente igual que el caso de dos vectores:
Algoritmo de Gram-Schmidt.
Supongamos que {u1 , ..., um } una base para W . El output del algoritmo ser´a {w1 , ..., wn } una base
ortonormal de W .
i) Defina v1 = u1 y para k = 2, ..., m defina
vk := uk − ProySpan{v1 ,...,vk−1 } (uk ).
Lo anterior se puede escribir de manera m´as expl´ıcita como
vk = uk − Proyv1 (uk ) − ... − Proyvk−1 (uk ).
ii) Los vectores {v1 , ..., vm } obtenidos son ortogonales entre si y generan W . Para obtener vectores de
magnitud 1 se normalizan los vi es decir se toman wi = ||vvii || para i = 1, ..., n.
El mismo procedimiento de arriba, pero sin hacer referencia a proyecciones de manera expl´ıcita, est´
a
dado por:
• w1 =
u1
ku1 k
• wk =
uk − (w1 · uk )w1 − (w2 · uk )w2 − ... − (wk−1 · uk )wk−1
para k = 2, ..., m
kuk − (w1 · uk )w1 − (w2 · uk )w2 − ... − (wk−1 · uk )wk−1 k
1´
este
algoritmo se conoce como proceso de ortonormalizaci´
on de Gram-Schmidt
Problema

1
2
• Encuentre una base para W el espacio nulo de la matriz A = 
3
4

−1 2 0
−2 4 0
.
−3 6 0
−4 8 0
• Encuentre una base ortonormal para W .
• Encuentre una base para W ⊥ el espacio ortogonal de W .
 
0
0

. Escriba el vector v como v = vW + vW ⊥ donde vW ∈ W y vW ⊥ ∈ W ⊥ .
• Sea v =  
3
4