DS6 14-15

PCSI
DS 6 PHYSIQUE
21/03/2015
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le
barème d'évaluation.
Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3.
Le sujet est constitué de 3 exercices indépendants.
*
*
*
I Chambre à bulles
Une chambre à bulles est un espace fermé contenant un liquide, par exemple de l’hydrogène, et formant une traînée des bulles sur la
trajectoire d'une particule qui le traverse, trajectoire qui peut donc ensuite être observée et photographiée ou filmée. Ces chambres
étaient utilisées comme détecteur de particules au milieu du XXe siècle.
La chambre à bulles a été inventée par Donald A. Glaser en 1952, ce qui lui valut le Prix Nobel de physique en 1960.
Chambre à bulles exposée à l'extérieur d'un
bâtiment du Fermilab près de Chicago
Image prise dans une chambre à bulles montrant les
trajectoires des particules courbées par un champ magnétique
La chambre à bulles est plongée dans un champ magnétique puissant. Les particules chargées qui la traversent subissent alors la force
de Lorentz qui courbe leur trajectoire. En fonction de la direction de la courbure de la trajectoire et du sens du champ magnétique
appliqué, on est en mesure de déterminer le signe de la particule détectée. De plus, en mesurant le rayon de courbure de la trajectoire,
on peut mesurer la vitesse à laquelle se déplace la particule et donc en déduire son énergie.
Dans ce type de détecteurs, les particules ont une trajectoire en forme de spirale.
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On étudie ici le mouvement d'un proton dans une chambre à bulles.
!
Un proton de masse m et de charge e, considéré comme un point matériel, a une vitesse initiale v o en un point fixe O.
!
Il est dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme et constant B .
Le liquide exerce sur ce proton une force de frottement fluide :
!
!
f =-K v
€
€
!
où K est une constante positive et v est la vitesse du proton à l'instant de date t.
Par la suite, on posera : ω = eB/m et τ = m/K.
€
€
1) Faire le bilan des €
forces exercées sur le proton se déplaçant dans le
! liquide (on négligera le poids du proton) et établir l'équation
différentielle du mouvement du proton portant sur le vecteur vitesse v .
2) On désigne par Oxyz un trièdre orthogonal direct lié au référentiel galiléen, et par ( u x , u y , uz ) la base de vecteurs unitaires qui
lui est associée.
€
!
!
On choisit : B = B uz et v o = vo u x .
a) Si la force de frottement était négligeable, quelle serait la variation d'énergie
du proton ? Justifier. En déduire une
€ € cinétique
€
caractéristique du mouvement.
quelle serait alors la trajectoire du proton. On donnera les caractéristiques de cette trajectoire en détaillant précisément
€Rappeler
€
€
les différentes
étapes€de ce calcul.
b) Qualitativement, et en justifiant à partir de considérations énergétiques, quelles sont les modifications apportées par la force
de frottement fluide sur cette trajectoire ? Justifier alors l’allure de la trajectoire observée.
c) Montrer que l'équation différentielle vectorielle du 1) peut se mettre sous la forme de trois équations différentielles scalaires :
€
dv x
= a vy - b vx
dt
dv y
= - a vx - b vy
dt
dv z
= - b vz
dt
€
Déterminer a et b en fonction de ω et τ.
d) Résoudre la dernière équation pour obtenir la loi horaire z(t) en supposant z(t = 0) = 0.
En déduire une caractéristique de la trajectoire. €
e) La résolution (non demandée) des deux autres équations couplées permet d’obtenir les solutions :
vo ⎡
−bt ⎤
⎢⎣b + ( a sin at − b cos at )e ⎥⎦
2
2
a +b
vo ⎡
−bt ⎤
y(t) =
⎢⎣−a + (bsin at + a cos at )e ⎥⎦
2
2
a +b
x(t) =
€
Compléter alors la représentation de la trajectoire du b) en y faisant figurer les axes cartésiens, le champ magnétique, la vitesse
initiale et le point de l’espace atteint au bout d’un temps très long.
€
3) Pourquoi certaines spirales semblent-elles « déformées » sur le cliché photographique par rapport à la représentation
précédente ?
Comment peut-on expliquer que l’on observe une brusque interruption de certaines trajectoires ?
La chambre à bulles qui nécessitait de photographier la trajectoire des particules a depuis été remplacée par la chambre à fils
permettant un traitement informatique des données, et donc la détermination avec précision de la trajectoire des particules qui la
traversent.
Une chambre à fils, ou plus précisément chambre proportionnelle multifilaire (MWPC pour multi-wire proportional chamber), est un
détecteur de particules ionisées inventé en 1968 par le physicien franco-polonais Georges Charpak, ce qui lui valut le prix Nobel de
physique en 1992.
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II Tunnel terrestre
1) Question préliminaire
On considère un point M de masse m situé à l’intérieur de la Terre, à la
distance r de son centre O.
On peut montrer que l’attraction terrestre se traduit par une force agissant
!
r !
sur ce point de valeur : F = −mg 0 u r .
R
g0 = 10 m.s-2 est l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre, R =
! OM OM
6,4.106 m est le rayon de la Terre, r = OM et u r =
est le
=
OM
r
€
vecteur unitaire radial.
mg 0 r 2
Montrer que cette force dérive de l’énergie potentielle E p (r) =
si
2R
€
l’on prend Ep(r = 0) = 0 au centre de la Terre.
M (m)
H
A
B
x
d
O
2) On considère un tunnel rectiligne AB, d’axe Ox, ne passant pas par O et
€ du tunnel au centre de la
traversant la Terre. On note d la distance OH
Terre.
Compte tenu de son faible diamètre devant le rayon terrestre, on néglige
l’influence de la masse de terre excavée sur le champ gravitationnel.
Un véhicule, assimilé à un point matériel M (masse m), glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du point A de la
surface terrestre, sans vitesse initiale.
Quelle est la vitesse maximale vm atteinte par le véhicule au cours de son mouvement ? Calculer vm avec d = 5,0.106 m.
Exprimer x = HM en fonction du temps par une méthode énergétique. Retrouver l’expression de vm.
3) Représenter et commenter le profil d’énergie potentielle, graphe de Ep(x). Décrire le mouvement du point M à partir de sa
position initiale en A.
€
III À la recherche de la valeur de la constante gravitationnelle
1) Expérience de Cavendish
Le physicien britannique Henry Cavendish a réalisé en 1798 une expérience destinée à « peser la terre ». Il s’agissait plus
exactement de déterminer la constante de gravitation G, apparaissant dans l’expression de la force de gravitation, dont on peut
déduire ensuite la masse de la Terre en connaissant la valeur du champ de pesanteur terrestre.
L’expérience utilise un pendule de torsion, consistant en un fléau (tige rigide
horizontale de longueur 2L = 20 cm, de masse négligeable) suspendu à un fil
vertical ; celui-ci, lorsqu’il est tordu d’un angle α, exerce sur le fléau un couple
de torsion dont le moment par rapport à l’axe confondu avec le fil vaut :
Mtorsion = -Cα, avec C = 5,0.10-7 N.m.rad-1.
À chaque extrémité du fléau sont placées deux petites sphères de même masse m
2L
= 50 g. On approche de chacune d’elle une sphère beaucoup plus grosse dans le
même plan horizontal, de masse M = 30 kg, la distance entre le centre d’une
grosse sphère et celui de la petite sphère la plus proche étant d = 15 cm.
Pour chaque grosse sphère, on ne tiendra compte que de son action sur la petite
sphère la plus proche.
Lorsqu’on fait passer, par un dispositif opératoire non représenté ici, les deux grosses sphères de la position 1 à la position 2, le
fléau tourne d’un angle 2θ.
a) La norme de la force attractive de gravitation s’exerçant entre deux sphères de masses m1 et m2, dont les centres sont séparés
mm
d’une distance r, est Fg = G 1 2 2 .
r
€
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Que devient cette expression si l’une des sphères est la Terre (de rayon RT = 6,4.103 km et de masse MT) et l’autre une masse m
quelconque au voisinage de la Terre ? En déduire l’expression de la norme du champ de pesanteur g en fonction de G, RT et MT.
b) L’angle de torsion mesuré dans l’expérience de Cavendish vaut 2θ = 3,6.10-3 rad. Cet angle étant très faible, on peut
considérer que les droites joignant les centres des sphères voisines sont orthogonales au fléau. Déterminer l’expression de la
Cθd 2
constante de gravitation G =
et sa valeur numérique. Il pourra être utile de faire un schéma correspondant à une vue de
2MmL
dessus du dispositif en y portant les différentes grandeurs intervenant dans le problème.
c) En déduire la masse de la Terre (g = 9,8 m.s-2) et sa masse volumique moyenne.
€
d) Si toutes les mesures (sur C, θ, d, M, m et L) étaient réalisées avec une précision de 1%, quelle serait alors la précision
u(z)
u 2 (x)
u 2 (y)
relative obtenue sur G ? Indication :
pour z(x, y) = xy 2 .
=
+4
2
2
z
x
y
e) Afin de se rendre compte de la difficulté de la mesure, calculer la valeur numérique de la force s’exerçant entre les deux
€ surface de la Terre serait équivalent à cette force. Commenter.
sphères en interaction. En déduire la masse dont le poids à la
€
f) La mesure angulaire est réalisée par un miroir fixé sur le fléau et déviant un faisceau lumineux : méthode de Pogendorff.
Faire un schéma de ce dispositif et en déduire la déviation du spot lumineux sur une échelle fixée sur un mur à D = 5,0 m du
pendule.
g) La détermination de la constante de torsion C du fil dont la valeur est nécessaire à cette expérience est déduite de la période T
des oscillations de la balance en l’absence de l’influence des sphères de masses M.
Etablir l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion. On donne J = 2mL2 son moment d’inertie par rapport à
l’axe de rotation en considérant négligeable le terme du à la tige reliant les deux petites sphères devant celui du à ces dernières.
8m
Montrer que T = πL
. Faire l’application numérique.
C
La valeur obtenue à l’époque par Cavendish fut de G = 6,754.10-11 m3.kg-1.s-2.
€
2) Expérience de Boys
Sir Charles Vernon Boys a cherché en 1895 à améliorer le dispositif précédent.
a) En reprenant les résultats du 1), exprimer l’angle θ de rotation du pendule en fonction de G, M, T, d et L.
Indiquer alors comment θ varie avec L pour une valeur donnée de la période T.
b) Les résultats de la question précédente montre que pour T et L donnés, la déviation θ ne dépend pas de la valeur m des petites
masses. Cette valeur n’intervient que pour déterminer la section s du fil de torsion à employer, section qui est liée à sa constante
s2
de torsion C et à sa longueur Lo par la relation de Coulomb : C = k
, où k est une constante.
Lo
m
Afin dévaluer le risque de rupture du fil, déterminer la "charge"
du fil par unité d’aire de section en fonction de k, L, T, Lo et
s
m.
Comment évolue-t-elle avec m, à T et L données ? €
€
c) A la lumière des réponses aux deux questions précédentes,
indiquer si Boys a du augmenter ou réduire la taille du dispositif
pour en améliorer la précision en augmentant l’angle de rotation pour une période donnée.
De plus, Boys améliore aussi la précision en travaillant dans le vide et en trouvant une astuce pour minimiser l’interaction entre
les sphères les plus éloignées. Il obtint la valeur G = 6,663.10-11 m3.kg-1.s-2.
3) Expérience de Heyl
En 1942, Paul Renno Heyl réalise au « Bureau of Standards » de Washington la première mesure dite moderne. Pour cela, il
détermine la période du pendule de torsion pour deux positions différentes des deux grosses masses attirantes.
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a) On considère d’abord les oscillations du système au voisinage de la position d’équilibre où le fléau est dirigé suivant la droite
EF joignant les centres de sphères de masses M (figure ci-dessous à gauche), et nous considérerons une position dans laquelle il
a tourné de l’angle θ (figure ci-dessous à droite, où est représentée la moitié gauche du fléau).
H
M
M
B0
E
L
O
m
L
D0
B
F
m
a
a
L
F
E
α
θ
B0
O
a
Montrer que la période des oscillations T est telle que :
⎡
⎤
4π 2
1 ⎢
2GMmaL ⎥
=
C+
.
T2
2mL2 ⎢⎣
( a − L) 3 ⎥⎦
La rotation du pendule étant très faible, on pourra d’une part au premier ordre confondre le sinus et la tangente des angles α et θ
avec l’angle lui même, et d’autre part confondre la distance EB avec EB0 (variation d’une quantité qui est du second ordre par
rapport à θ).
€
b) On place ensuite le pendule dans la position d’équilibre ci-dessous.
B0
M
m
M
O
E
D0
F
m
On mesure la période T’ des petites oscillations autour de cette position.
Cette dernière est alors donnée par la relation (on ne demande pas de l’établir) :
⎡
⎤
4π 2
1 ⎢
12GMma 2 L2 ⎥
=
C−
.
5 / 2 ⎥
T '2
2mL2 ⎢
a 2 + L2
⎢⎣
⎥⎦
En déduire l’expression littérale de G en fonction des données.
Application numérique : m = 50,0 g ; L = 10,0 cm ; M = 47,8 kg ; a = 24,0 cm ; T = 1754 s ; T’ = 2081s.
(
)
€ -11 m3.kg-1.s-2.
La valeur mesurée fut alors de G = 6,670.10
Au cours des dernières années, de nombreuses mesures ont été réalisées, sans pour autant améliorer la valeur de G dont le
quatrième chiffre significatif (autour de 3) est toujours sujet à discussion.
La valeur recommandée actuellement est de G = (6,67384 ± 0,00080).10-11 m3.kg-1.s-2.
c) On donne ci dessous l’incertitude relative sur quelques constantes fondamentales de la physique :
Constante de Planck
Charge élémentaire
Nombre d’Avogadro
Constante de Boltzmann
h
e
NA
k
4,4.10-8
2,2.10-8
4,4.10-8
9,1.10-7
Commenter.
Les mesures récentes ont montré que cette constante est bien indépendante de la distance des masses. Par ailleurs, il faut noter que
la faible précision de G ne pose pas de problèmes aux astronomes dans la mesure où en général, ce n’est par G mais le produit
G.M qui est utilisé par les astronomes, M étant soit la masse du Soleil, soit celle de la Terre. Ces deux constantes sont alors
connues avec 10 décimales.
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