Exercice 1 bernoulli ou pas ? Exercice 2 - Rallymaths

Exercice 1 bernoulli ou pas ?
FICHE 1
1) Un joueur gagne 1 e avec la probabilité de 0,5 ou perd 1 e avec la probabilité de 0,3. Est-ce
une épreuve de bernoulli ?
2) Un joueur gagne 10 e avec la probabilité de 0,2 ou perd 2 e avec la probabilité de 0,8. Est-ce
une épreuve de bernoulli ?
3) On a écrit les dix lettres du nom « BERNOUILLI » sur des cartons. On pioche un carton
au hasard et on observe si la lettre est une voyelle ou une consonne. Est-ce une épreuve de
bernoulli ?
4) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. On tire successivement et sans remise
4 boules de l’urne en notant à chaque fois sa couleur. Est-ce un schéma de bernoulli ?
5) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. On tire successivement et avec remise
4 boules de l’urne en notant à chaque fois sa couleur. Est-ce un schéma de bernoulli ?
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 10 : LOI BINOMIALE - ÉCHANTILLONNAGE
6) Une classe comprend 70% de filles. On désigne au hasard deux élèves de la classe et on note
s’il s’agit d’une fille ou d’un garçon. Est-ce un schéma de bernoulli ?
7) Lors d’une épreuve de saut à la perche trois perchistes de niveaux différents tentent l’un après
l’autre de passer la barre des 6 mètres. Est-ce un schéma de bernoulli ?
8) Lors d’une épreuve de saut à la perche le même perchiste tente de passer trois fois de suite
la barre des 6 mètres. On admet qu’à chaque fois la probabilité qu’il a de réussir son saut est
la même. Est-ce un schéma de bernoulli ?
Exercice 2 - Épreuve de bernoulli (1)
Dans chaque cas, expliquer pourquoi il s’agit d’une épreuve de bernoulli puis proposer un
schéma de bernoulli. Attention à l’indépendance des épreuves !
1) On lance un dé cubique bien équilibré. On observe si le « 6 » apparaît.
2) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on observe s’il s’agit d’un roi.
3) On dispose d’un trousseau de 5 clés dont une seulement ouvre la porte. On essaye une clé au
hasard.
Exercice 3 - Épreuve de bernoulli (2)
Dans chaque cas, expliquer pourquoi il s’agit d’une épreuve de bernoulli puis proposer un
schéma de bernoulli. Attention à l’indépendance des épreuves !
1) 1% des pièces fabriquées par une chaîne d’usinage présentent un défaut. On prélève une pièce
au hasard - parmi un nombre très important de pièces - et on observe si elle présente un
défaut.
2) Dans un QCM pour chaque question 4 réponses sont proposées dont une seule est correcte.
On répond au hasard à une des questions.
3) On choisit un chiffre au hasard - entre 0 et 9 - et on observe s’il est divisible par 3.
Exercice 4 - Schéma de bernoulli (1)
Dans chaque cas, représenter à l’aide d’une arbre pondéré le schéma de bernoulli proposé.
1) Au tir à l’arc, Guillaume atteint la cible quatre fois sur cinq. Il effectue quatre tirs successifs.
2) Dans une région pétrolifère la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est
de 0,15. On effectue 3 forages au hasard.
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Exercice 5 - Schéma de bernoulli (2)
FICHE 2
Dans chaque cas, représenter à l’aide d’une arbre pondéré le schéma de bernoulli proposé.
1) On estime que le nombre de gauchers dans la population française est d’environ 12%. On
choisit 5 personnes au hasard et on observe si elles sont gauchères ou droitières.
2) Le cycle d’allumage d’un feu tricolore est le suivant :
• 15 secondes VERT ;
• 5 secondes ORANGE ;
• 40 secondes ROUGE.
Lors d’un parcours on rencontre successivement 3 feux tricolores.
On passe si le feu est VERT, sinon on s’arrête.
Exercice 6 - Coefficients binomiaux (1)
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 10 : LOI BINOMIALE - ÉCHANTILLONNAGE
S
L’arbre pondéré ci-contre représente un
schéma de bernoulli.
n
On rappelle que
représente le
k
nombre de chemins réalisant k succès
pour n répétitions.
S
S
S
S
S
S
1) À partir de l’arbre, déterminer les
coefficients binomiaux :
3
3
3
3
,
,
et
.
0
1
2
3
3 X
3
2) Calculer
de deux façons
k
S
S
S
S
S
k=0
S
différentes.
S
Exercice 7 - Coefficients binomiaux (2)
1) Construire un arbre qui représente une répétition de 4 épreuves de bernoulli identiques et
indépendantes.
4
4
4
4
4
2) À partir de l’arbre, calculer les coefficients binomiaux :
,
,
,
et
.
0
1
2
3
4
Exercice 8 - Coefficients binomiaux (3)
10
10
= 210 et que
= 252.
4
5
En déduire la valeur des entiers :
10
1)
6
On sait que
2)
11
5
Exercice 9 - Coefficients binomiaux (4)
Calculer à l’aide la calculatrice :
5
6
1)
2)
3
2
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3)
5
2
10
4)
4
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Exercice 10 - Coefficients binomiaux (5)
FICHE 3
1) Compléter avec la calculatrice le tableau suivant avec les coefficients binomiaux pour n = 8.
k
8
k
0
2) Vérifier que :
1
2
3
8 X
8
k=0
k
4
5
6
7
8
= 28
Exercice 11 - Loi binomiale (1)
Il naît en moyenne 106 garçons pour 100 filles.
CHAP. 10 : LOI BINOMIALE - ÉCHANTILLONNAGE
1) Un enfant va naître. Quelle est la probabilité de l’événement « cet enfant sera une fille » ?
2) Dans une famille, il naît cinq enfants. Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de
filles de la famille.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
b) Calculer la probabilité pour qu’il y ait dans cette famille trois filles et deux garçons.
Exercice 12 - Loi binomiale (2)
Dans une compagnie d’assurance, on a pu constater que sur les 12 000 assurés, 600 avaient au moins
une déclaration de sinistre dans l’année.
La compagnie possède un dossier pour chaque assuré. On prélève au hasard et avec remise 10 de ces
12 000 dossiers. On note X la variable aléatoire donnant, parmi les 10 dossiers prélevés, le nombre
d’assurés ayant fait une déclaration de sinistre dans l’année.
1) Quelle est la loi suivie par X ?
2) Calculer la probabilité qu’un seul assuré parmi les dix choisis ait fait au moins une déclaration
de sinistre dans l’année.
3) Calculer la probabilité qu’au moins un assuré parmi les dix ait fait une déclaration de sinistre
dans l’année.
Exercice 13 - Loi binomiale (3)
On lance deux dés cubiques bien équilibrés. On gagne si les chiffres des deux dés sont identiques.
PREMIÈRE S - EXERCICES
1) Calculer la probabilité de gagner.
2) On répète quatre fois l’expérience et on définit la variable aléatoire X donnant le nombre de
parties gagnées.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b) Déterminer la probabilité de ne gagner aucune fois.
c) Déterminer la probabilité de gagner deux fois.
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Exercice 27
FICHE 8
Les résultats approchés seront donnés sous forme décimale, arrondis à 10−3 .
Pour répondre aux questions on pourra s’aider d’arbres pondérés.
Un centre d’entraînement réputé se voit confier de très nombreux
chevaux, juments et mâles, spécialisés en trotteurs ou en galopeurs
selon leurs aptitudes. Ainsi le centre comprend 62 % de galopeurs,
30 % de juments dont 35 % font du galop.
On définit les événements suivants :
• J : « Le cheval est une jument »,
• T : « Le cheval est un trotteur ».
Un lad, chargé des soins, choisit au hasard un cheval du centre.
1) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un trotteur ?
2)
a) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit une jument qui fasse du galop ?
b) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du galop ?
4) Tôt le matin, il faut transporter quatre chevaux, du centre d’entraînement à l’hippodrome.
Pour cela, un apprenti choisit les chevaux au hasard et de manière indépendante (on admettra
que le nombre de chevaux hébergés dans ce centre est suffisamment grand pour pouvoir
modéliser le choix des quatre chevaux par des tirages successifs avec remise).
a) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux trotteurs parmi les quatre chevaux
choisis.
b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un galopeur parmi les quatre chevaux choisis.
PREMIÈRE S - EXERCICES
CHAP. 10 : LOI BINOMIALE - ÉCHANTILLONNAGE
3) Le lad a choisi un mâle. Quelle est la probabilité que ce ne soit pas un trotteur ?
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